Paano mahanap ang kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic. Ang kabuuan ng mga unang n-term ng isang arithmetic progression

Itinuring ng isang tao ang salitang "pag-unlad" nang may pag-iingat, bilang isang napakakomplikadong termino mula sa mga seksyon ng mas mataas na matematika. Samantala, ang pinakasimpleng pag-unlad ng aritmetika ay ang gawain ng taxi counter (kung saan nananatili pa rin ang mga ito). At upang maunawaan ang kakanyahan (at sa matematika ay walang mas mahalaga kaysa sa "upang maunawaan ang kakanyahan") ng isang pagkakasunud-sunod ng aritmetika ay hindi napakahirap, na nasuri ang ilang mga elementarya na konsepto.

Pagkakasunod-sunod ng numero ng matematika

Nakaugalian na tawagan ang isang numerical sequence ng isang serye ng mga numero, na ang bawat isa ay may sariling numero.

at 1 ang unang miyembro ng sequence;

at 2 ang pangalawang miyembro ng sequence;

at ang 7 ay ang ikapitong miyembro ng sequence;

at ang n ay ang ika-n miyembro ng sequence;

Gayunpaman, hindi anumang arbitrary na hanay ng mga numero at numero ang interesado sa amin. Itutuon natin ang ating pansin sa isang numerical sequence kung saan ang halaga ng n-th na miyembro ay nauugnay sa ordinal na numero nito sa pamamagitan ng isang dependence na malinaw na mabubuo sa matematika. Sa madaling salita: ang numerical value ng nth number ay ilang function ng n.

a - halaga ng isang miyembro ng numerical sequence;

n ang serial number nito;

Ang f(n) ay isang function kung saan ang ordinal sa numeric sequence n ay ang argument.

Kahulugan

Ang pag-unlad ng aritmetika ay karaniwang tinatawag na pagkakasunod-sunod ng numero kung saan ang bawat kasunod na termino ay mas malaki (mas mababa) kaysa sa nauna sa pamamagitan ng parehong numero. Ang formula para sa ika-n miyembro ng isang arithmetic sequence ay ang mga sumusunod:

a n - ang halaga ng kasalukuyang miyembro ng arithmetic progression;

a n+1 - ang formula ng susunod na numero;

d - pagkakaiba (isang tiyak na numero).

Madaling matukoy na kung ang pagkakaiba ay positibo (d>0), kung gayon ang bawat kasunod na miyembro ng seryeng isasaalang-alang ay magiging mas malaki kaysa sa nauna, at ang gayong pag-unlad ng aritmetika ay tataas.

Sa graph sa ibaba, madaling makita kung bakit tinatawag na "tumataas" ang pagkakasunod-sunod ng numero.

Sa mga kaso kung saan negatibo ang pagkakaiba (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Ang halaga ng tinukoy na miyembro

Minsan kinakailangan upang matukoy ang halaga ng ilang di-makatwirang termino a n ng isang pag-unlad ng aritmetika. Magagawa mo ito sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagkalkula ng mga halaga ng lahat ng miyembro ng pag-unlad ng aritmetika, mula sa una hanggang sa nais. Gayunpaman, ang paraang ito ay hindi palaging katanggap-tanggap kung, halimbawa, ito ay kinakailangan upang mahanap ang halaga ng limang libo o walong milyong termino. Ang tradisyonal na pagkalkula ay tatagal ng mahabang panahon. Gayunpaman, ang isang tiyak na pag-unlad ng aritmetika ay maaaring siyasatin gamit ang ilang partikular na mga formula. Mayroon ding formula para sa nth term: ang halaga ng sinumang miyembro ng isang arithmetic progression ay maaaring matukoy bilang ang kabuuan ng unang miyembro ng progression na may pagkakaiba ng progression, na i-multiply sa bilang ng gustong miyembro, minus one .

Ang formula ay pangkalahatan para sa pagtaas at pagbaba ng pag-unlad.

Isang halimbawa ng pagkalkula ng halaga ng isang ibinigay na miyembro

Lutasin natin ang sumusunod na problema sa paghahanap ng halaga ng n-th na miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Kundisyon: mayroong pag-unlad ng arithmetic na may mga parameter:

Ang unang miyembro ng sequence ay 3;

Ang pagkakaiba sa serye ng numero ay 1.2.

Gawain: kailangang hanapin ang halaga ng 214 termino

Solusyon: upang matukoy ang halaga ng isang ibinigay na miyembro, ginagamit namin ang formula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Ang pagpapalit ng data mula sa pahayag ng problema sa expression, mayroon kaming:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Sagot: Ang ika-214 na miyembro ng sequence ay katumbas ng 258.6.

Ang mga pakinabang ng paraan ng pagkalkula na ito ay halata - ang buong solusyon ay tumatagal ng hindi hihigit sa 2 linya.

Kabuuan ng ibinigay na bilang ng mga termino

Kadalasan, sa isang naibigay na serye ng aritmetika, kinakailangan upang matukoy ang kabuuan ng mga halaga ng ilan sa mga segment nito. Hindi rin nito kailangang kalkulahin ang mga halaga ng bawat termino at pagkatapos ay buuin ang mga ito. Ang pamamaraang ito ay naaangkop kung ang bilang ng mga termino na ang kabuuan ay dapat matagpuan ay maliit. Sa ibang mga kaso, mas maginhawang gamitin ang sumusunod na formula.

Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika mula 1 hanggang n ay katumbas ng kabuuan ng una at ika-n miyembro, na pinarami ng bilang ng miyembro n at hinati sa dalawa. Kung sa formula ang halaga ng n-th na miyembro ay pinalitan ng expression mula sa nakaraang talata ng artikulo, makukuha natin:

Halimbawa ng pagkalkula

Halimbawa, lutasin natin ang isang problema sa mga sumusunod na kondisyon:

Ang unang termino ng sequence ay zero;

Ang pagkakaiba ay 0.5.

Sa problema, kinakailangan upang matukoy ang kabuuan ng mga tuntunin ng serye mula 56 hanggang 101.

Solusyon. Gamitin natin ang formula para sa pagtukoy ng kabuuan ng pag-unlad:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Una, tinutukoy namin ang kabuuan ng mga halaga ng 101 miyembro ng pag-unlad sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga ibinigay na kondisyon ng aming problema sa formula:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Malinaw, upang malaman ang kabuuan ng mga tuntunin ng pag-unlad mula sa ika-56 hanggang ika-101, kinakailangan na ibawas ang S 55 mula sa S 101.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

Kaya ang kabuuan ng pag-unlad ng arithmetic para sa halimbawang ito ay:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5

Halimbawa ng praktikal na aplikasyon ng arithmetic progression

Sa dulo ng artikulo, bumalik tayo sa halimbawa ng pagkakasunud-sunod ng aritmetika na ibinigay sa unang talata - isang taximeter (metro ng kotse ng taxi). Isaalang-alang natin ang gayong halimbawa.

Ang pagpasok sa isang taxi (na may kasamang 3 km) ay nagkakahalaga ng 50 rubles. Ang bawat kasunod na kilometro ay binabayaran sa rate na 22 rubles / km. Layo ng paglalakbay 30 km. Kalkulahin ang halaga ng biyahe.

1. Itapon natin ang unang 3 km, ang presyo nito ay kasama sa halaga ng landing.

30 - 3 = 27 km.

2. Ang karagdagang pagkalkula ay walang iba kundi ang pag-parse ng isang serye ng numero ng aritmetika.

Ang numero ng miyembro ay ang bilang ng mga kilometrong nilakbay (bawas sa unang tatlo).

Ang halaga ng miyembro ay ang kabuuan.

Ang unang termino sa problemang ito ay magiging katumbas ng isang 1 = 50 rubles.

Pagkakaiba sa pag-unlad d = 22 p.

ang bilang ng interes sa amin - ang halaga ng (27 + 1)th miyembro ng arithmetic progression - ang pagbabasa ng metro sa dulo ng ika-27 kilometro - 27.999 ... = 28 km.

isang 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Ang mga kalkulasyon ng data ng kalendaryo para sa isang di-makatwirang mahabang panahon ay batay sa mga formula na naglalarawan ng ilang mga numerical na pagkakasunud-sunod. Sa astronomiya, ang haba ng orbit ay nakadepende sa geometriko sa distansya ng celestial body sa luminary. Bilang karagdagan, ang iba't ibang mga numerical na serye ay matagumpay na ginagamit sa mga istatistika at iba pang inilapat na sangay ng matematika.

Ang isa pang uri ng pagkakasunod-sunod ng numero ay geometric

Ang isang geometric na pag-unlad ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang malaki, kumpara sa isang arithmetic, rate ng pagbabago. Ito ay hindi nagkataon na sa pulitika, sosyolohiya, gamot, madalas, upang ipakita ang mataas na bilis ng pagkalat ng isang partikular na kababalaghan, halimbawa, isang sakit sa panahon ng isang epidemya, sinasabi nila na ang proseso ay bubuo ng exponentially.

Ang N-th na miyembro ng serye ng geometric na numero ay naiiba mula sa nauna dahil pinarami ito ng ilang pare-parehong numero - ang denominator, halimbawa, ang unang miyembro ay 1, ang denominator ay 2, ayon sa pagkakabanggit, pagkatapos:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - ang halaga ng kasalukuyang miyembro ng geometric progression;

b n+1 - ang formula ng susunod na miyembro ng geometric progression;

q ay ang denominator ng isang geometric progression (constant number).

Kung ang graph ng isang arithmetic progression ay isang tuwid na linya, kung gayon ang geometriko ay gumuhit ng bahagyang naiibang larawan:

Tulad ng sa kaso ng aritmetika, ang isang geometric na pag-unlad ay may pormula para sa halaga ng isang arbitraryong miyembro. Anumang n-th term ng isang geometric progression ay katumbas ng produkto ng unang termino at ang denominator ng progression sa kapangyarihan ng n na binabawasan ng isa:

Halimbawa. Mayroon kaming geometric progression na ang unang termino ay katumbas ng 3 at ang denominator ng progression ay katumbas ng 1.5. Hanapin ang ika-5 termino ng progression

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

Ang kabuuan ng isang naibigay na bilang ng mga miyembro ay kinakalkula din gamit ang isang espesyal na formula. Ang kabuuan ng unang n miyembro ng isang geometric na pag-unlad ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng produkto ng ika-na miyembro ng pag-unlad at ang denominator nito at ang unang miyembro ng pag-unlad, na hinati ng denominator na binawasan ng isa:

Kung papalitan ang b n gamit ang formula na tinalakay sa itaas, ang halaga ng kabuuan ng unang n miyembro ng itinuturing na serye ng numero ay kukuha ng form:

Halimbawa. Ang geometric progression ay nagsisimula sa unang termino na katumbas ng 1. Ang denominator ay nakatakdang katumbas ng 3. Hanapin natin ang kabuuan ng unang walong termino.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Kapag nag-aaral ng algebra sa isang sekondaryang paaralan (grade 9), isa sa mga mahalagang paksa ay ang pag-aaral ng mga numerical sequence, na kinabibilangan ng mga progression - geometric at arithmetic. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang isang pag-unlad ng aritmetika at mga halimbawa na may mga solusyon.

Ano ang isang pag-unlad ng aritmetika?

Upang maunawaan ito, kinakailangang magbigay ng kahulugan ng pag-unlad na isinasaalang-alang, gayundin ang pagbibigay ng mga pangunahing pormula na higit pang gagamitin sa paglutas ng mga problema.

Ang aritmetika o algebraic progression ay isang set ng mga nakaayos na rational na numero, na ang bawat miyembro ay naiiba sa nauna sa pamamagitan ng ilang pare-parehong halaga. Ang halagang ito ay tinatawag na pagkakaiba. Iyon ay, alam mo ang sinumang miyembro ng isang nakaayos na serye ng mga numero at ang pagkakaiba, maaari mong ibalik ang buong pag-unlad ng aritmetika.

Kumuha tayo ng isang halimbawa. Ang susunod na pagkakasunud-sunod ng mga numero ay isang pag-unlad ng aritmetika: 4, 8, 12, 16, ..., dahil ang pagkakaiba sa kasong ito ay 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ngunit ang hanay ng mga numero 3, 5, 8, 12, 17 ay hindi na maiuugnay sa itinuturing na uri ng pag-unlad, dahil ang pagkakaiba para dito ay hindi isang pare-parehong halaga (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Mahahalagang Formula

Ibinibigay na namin ngayon ang mga pangunahing formula na kakailanganin upang malutas ang mga problema gamit ang isang pag-unlad ng arithmetic. Hayaan ang isang n tukuyin ang ika-na miyembro ng sequence, kung saan ang n ay isang integer. Ang pagkakaiba ay tinutukoy ng letrang Latin na d. Kung gayon ang mga sumusunod na expression ay totoo:

1. Upang matukoy ang halaga ng nth term, ang formula ay angkop: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Upang matukoy ang kabuuan ng unang n termino: S n = (a n + a 1)*n/2.

Upang maunawaan ang anumang mga halimbawa ng isang pag-unlad ng aritmetika na may solusyon sa ika-9 na baitang, sapat na tandaan ang dalawang formula na ito, dahil ang anumang mga problema ng uri na isinasaalang-alang ay binuo sa kanilang paggamit. Gayundin, huwag kalimutan na ang pagkakaiba sa pag-unlad ay tinutukoy ng formula: d = a n - a n-1 .

Halimbawa #1: Paghahanap ng Hindi Kilalang Miyembro

Nagbibigay kami ng isang simpleng halimbawa ng isang pag-unlad ng aritmetika at ang mga formula na dapat gamitin upang malutas.

Hayaang ibigay ang pagkakasunod-sunod na 10, 8, 6, 4, ..., kailangan na makahanap ng limang termino dito.

Ito ay sumusunod na mula sa mga kondisyon ng problema na ang unang 4 na termino ay kilala. Ang ikalima ay maaaring tukuyin sa dalawang paraan:

1. Kalkulahin muna natin ang pagkakaiba. Mayroon kaming: d = 8 - 10 = -2. Katulad nito, ang isa ay maaaring tumagal ng anumang dalawang iba pang termino na nakatayo sa tabi ng isa't isa. Halimbawa, d = 4 - 6 = -2. Dahil alam na d \u003d a n - a n-1, pagkatapos ay d \u003d a 5 - a 4, mula sa kung saan kami makakakuha ng: a 5 \u003d a 4 + d. Pinapalitan namin ang mga kilalang halaga: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Ang pangalawang pamamaraan ay nangangailangan din ng kaalaman sa pagkakaiba ng pag-unlad na pinag-uusapan, kaya kailangan mo munang matukoy ito, tulad ng ipinapakita sa itaas (d = -2). Alam na ang unang termino a 1 = 10, ginagamit namin ang formula para sa n bilang ng sequence. Mayroon kaming: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Ang pagpapalit ng n = 5 sa huling expression, makukuha natin ang: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Tulad ng nakikita mo, ang parehong mga solusyon ay humahantong sa parehong resulta. Tandaan na sa halimbawang ito ang pagkakaiba d ng pag-unlad ay negatibo. Ang ganitong mga pagkakasunud-sunod ay tinatawag na pagbaba dahil ang bawat sunud-sunod na termino ay mas mababa kaysa sa nauna.

Halimbawa #2: pagkakaiba sa pag-unlad

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain, magbigay ng isang halimbawa kung paano

Ito ay kilala na sa ilang mga ang 1st term ay katumbas ng 6, at ang 7th term ay katumbas ng 18. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba at ibalik ang sequence na ito sa 7th term.

Gamitin natin ang formula upang matukoy ang hindi kilalang termino: a n = (n - 1) * d + a 1 . Pinapalitan namin ang kilalang data mula sa kundisyon dito, iyon ay, ang mga numero a 1 at 7, mayroon kami: 18 \u003d 6 + 6 * d. Mula sa expression na ito, madali mong makalkula ang pagkakaiba: d = (18 - 6) / 6 = 2. Kaya, ang unang bahagi ng problema ay nasagot.

Upang maibalik ang sequence sa ika-7 miyembro, dapat mong gamitin ang kahulugan ng isang algebraic progression, iyon ay, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, at iba pa. Bilang resulta, ibinabalik namin ang buong sequence: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 at 7 = 18.

Halimbawa #3: paggawa ng progreso

Lalo pa nating gawing kumplikado ang kalagayan ng problema. Ngayon ay kailangan mong sagutin ang tanong kung paano makahanap ng isang pag-unlad ng aritmetika. Maaari nating ibigay ang sumusunod na halimbawa: dalawang numero ang ibinigay, halimbawa, 4 at 5. Kinakailangang gumawa ng algebraic progression upang ang tatlo pang termino ay magkasya sa pagitan ng mga ito.

Bago simulan ang paglutas ng problemang ito, kinakailangan upang maunawaan kung anong lugar ang sasakupin ng mga ibinigay na numero sa pag-unlad sa hinaharap. Dahil magkakaroon ng tatlong higit pang mga termino sa pagitan nila, pagkatapos ay isang 1 \u003d -4 at isang 5 \u003d 5. Kapag naitatag ito, nagpapatuloy kami sa isang gawain na katulad ng nauna. Muli, para sa nth term, ginagamit namin ang formula, nakukuha namin: isang 5 \u003d isang 1 + 4 * d. Mula sa: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Dito, ang pagkakaiba ay hindi isang integer na halaga, ngunit ito ay isang rational na numero, kaya ang mga formula para sa algebraic progression ay nananatiling pareho.

Ngayon, idagdag natin ang nakitang pagkakaiba sa isang 1 at ibalik ang mga nawawalang miyembro ng progression. Nakukuha namin ang: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, isang 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u,0,0 na kasabay ng kalagayan ng problema.

Halimbawa #4: Ang unang miyembro ng progression

Patuloy kaming nagbibigay ng mga halimbawa ng pag-unlad ng aritmetika na may solusyon. Sa lahat ng nakaraang problema, ang unang bilang ng algebraic progression ay kilala. Ngayon isaalang-alang ang isang problema ng ibang uri: hayaan ang dalawang numero na ibigay, kung saan ang isang 15 = 50 at isang 43 = 37. Ito ay kinakailangan upang mahanap mula sa kung anong numero ang sequence na ito ay nagsisimula.

Ang mga formula na ginamit hanggang ngayon ay may kaalaman sa isang 1 at d. Walang nalalaman tungkol sa mga numerong ito sa kondisyon ng problema. Gayunpaman, isulat natin ang mga expression para sa bawat termino kung saan mayroon tayong impormasyon: a 15 = a 1 + 14 * d at a 43 = a 1 + 42 * d. Nakakuha kami ng dalawang equation kung saan mayroong 2 hindi kilalang dami (a 1 at d). Nangangahulugan ito na ang problema ay nabawasan sa paglutas ng isang sistema ng mga linear equation.

Ang tinukoy na sistema ay pinakamadaling lutasin kung nagpapahayag ka ng 1 sa bawat equation, at pagkatapos ay ihambing ang mga resultang expression. Unang equation: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; pangalawang equation: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Ang equating mga expression na ito, makakakuha tayo ng: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, kung saan ang pagkakaiba d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (3 decimal na lugar lamang ang ibinigay).

Alam ang d, maaari mong gamitin ang alinman sa 2 expression sa itaas para sa isang 1 . Halimbawa, una: isang 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.

Kung may mga pagdududa tungkol sa resulta, maaari mong suriin ito, halimbawa, matukoy ang ika-43 na miyembro ng pag-unlad, na tinukoy sa kondisyon. Nakukuha namin ang: isang 43 \u003d isang 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Ang isang maliit na error ay dahil sa ang katunayan na ang rounding sa thousandths ay ginamit sa mga kalkulasyon.

Halimbawa #5: Sum

Ngayon tingnan natin ang ilang mga halimbawa na may mga solusyon para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Hayaang magbigay ng numerical progression ng sumusunod na form: 1, 2, 3, 4, ...,. Paano makalkula ang kabuuan ng 100 ng mga numerong ito?

Salamat sa pag-unlad ng teknolohiya ng computer, maaaring malutas ang problemang ito, iyon ay, sunud-sunod na pagdaragdag ng lahat ng mga numero, na gagawin ng computer sa sandaling pinindot ng isang tao ang Enter key. Gayunpaman, ang problema ay maaaring malutas sa pag-iisip kung bibigyan mo ng pansin na ang ipinakita na serye ng mga numero ay isang algebraic progression, at ang pagkakaiba nito ay 1. Ang paglalapat ng formula para sa kabuuan, makakakuha tayo ng: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Nakakagulat na tandaan na ang problemang ito ay tinatawag na "Gaussian", dahil sa simula ng ika-18 siglo ang sikat na Aleman, na nasa edad na 10 taong gulang pa lamang, ay nagawang lutasin ito sa kanyang isip sa loob ng ilang segundo. Hindi alam ng batang lalaki ang formula para sa kabuuan ng isang algebraic progression, ngunit napansin niya na kung magdadagdag ka ng mga pares ng mga numero na matatagpuan sa mga gilid ng sequence, palagi kang makakakuha ng parehong resulta, iyon ay, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., at dahil ang mga kabuuan na ito ay magiging eksaktong 50 (100 / 2), kung gayon upang makuha ang tamang sagot, sapat na upang i-multiply ang 50 sa 101.

Halimbawa #6: kabuuan ng mga termino mula n hanggang m

Ang isa pang tipikal na halimbawa ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ang mga sumusunod: binigyan ng serye ng mga numero: 3, 7, 11, 15, ..., kailangan mong hanapin kung ano ang magiging kabuuan ng mga termino nito mula 8 hanggang 14.

Ang problema ay nalutas sa dalawang paraan. Ang una sa mga ito ay nagsasangkot ng paghahanap ng mga hindi kilalang termino mula 8 hanggang 14, at pagkatapos ay pagbubuod ng mga ito nang sunud-sunod. Dahil kakaunti ang mga termino, ang pamamaraang ito ay hindi sapat na matrabaho. Gayunpaman, iminungkahi na lutasin ang problemang ito sa pamamagitan ng pangalawang paraan, na mas pangkalahatan.

Ang ideya ay upang makakuha ng isang formula para sa kabuuan ng isang algebraic progression sa pagitan ng mga terminong m at n, kung saan ang n > m ay mga integer. Para sa parehong mga kaso, sumulat kami ng dalawang expression para sa kabuuan:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Dahil n > m, halatang kasama sa 2 sum ang una. Ang huling konklusyon ay nangangahulugan na kung kukunin natin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga kabuuan na ito, at idagdag ang terminong a m dito (sa kaso ng pagkuha ng pagkakaiba, ito ay ibabawas mula sa kabuuan S n), pagkatapos ay makukuha natin ang kinakailangang sagot sa problema. Mayroon kaming: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Kinakailangang palitan ang mga formula para sa a n at a m sa expression na ito. Pagkatapos ay makukuha natin ang: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Ang resultang formula ay medyo mahirap, gayunpaman, ang kabuuan ng S mn ay nakasalalay lamang sa n, m, a 1 at d. Sa aming kaso, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ang pagpapalit sa mga numerong ito, makakakuha tayo ng: S mn = 301.

Tulad ng makikita mula sa mga solusyon sa itaas, ang lahat ng mga problema ay batay sa kaalaman ng expression para sa ika-n na termino at ang formula para sa kabuuan ng hanay ng mga unang termino. Bago mo simulan ang paglutas ng alinman sa mga problemang ito, inirerekumenda na maingat mong basahin ang kondisyon, malinaw na maunawaan kung ano ang gusto mong hanapin, at pagkatapos ay magpatuloy sa solusyon.

Ang isa pang tip ay upang magsikap para sa pagiging simple, iyon ay, kung masasagot mo ang tanong nang hindi gumagamit ng kumplikadong mga kalkulasyon sa matematika, kailangan mong gawin iyon, dahil sa kasong ito ang posibilidad na magkamali ay mas mababa. Halimbawa, sa halimbawa ng isang pag-unlad ng arithmetic na may solusyon No. 6, maaaring huminto ang isa sa formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, at hatiin ang pangkalahatang gawain sa magkakahiwalay na mga subtask (sa kasong ito, hanapin muna ang mga terminong a n at a m).

Kung may mga pagdududa tungkol sa resulta na nakuha, inirerekumenda na suriin ito, tulad ng ginawa sa ilan sa mga halimbawang ibinigay. Paano makahanap ng pag-unlad ng aritmetika, nalaman. Kapag naisip mo na, hindi na ito mahirap.

Halimbawa, ang sequence \(2\); \(5\); \(walo\); \(labing-isa\); Ang \(14\)… ay isang pag-unlad ng aritmetika, dahil ang bawat susunod na elemento ay naiiba sa nauna nang tatlo (maaaring makuha mula sa nauna sa pamamagitan ng pagdaragdag ng tatlo):

Sa pag-unlad na ito, ang pagkakaiba \(d\) ay positibo (katumbas ng \(3\)), at samakatuwid ang bawat susunod na termino ay mas malaki kaysa sa nauna. Ang ganitong mga pag-unlad ay tinatawag dumarami.

Gayunpaman, ang \(d\) ay maaari ding negatibong numero. Halimbawa, sa arithmetic progression \(16\); \(sampu\); \(apat\); \(-2\); \(-8\)… ang pagkakaiba sa pag-unlad \(d\) ay katumbas ng minus anim.

At sa kasong ito, ang bawat susunod na elemento ay magiging mas mababa kaysa sa nauna. Ang mga pag-unlad na ito ay tinatawag bumababa.

Arithmetic progression notation

Ang pag-unlad ay tinutukoy ng isang maliit na letrang Latin.

Ang mga numero na bumubuo ng isang pag-unlad ay tinatawag na ito mga miyembro(o mga elemento).

Ang mga ito ay tinutukoy ng parehong titik bilang pag-unlad ng aritmetika, ngunit may numerical index na katumbas ng numero ng elemento sa pagkakasunud-sunod.

Halimbawa, ang arithmetic progression \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) ay binubuo ng mga elementong \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) at iba pa.

Sa madaling salita, para sa pag-unlad \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Paglutas ng mga problema sa isang pag-unlad ng aritmetika

Sa prinsipyo, ang impormasyon sa itaas ay sapat na upang malutas ang halos anumang problema sa isang pag-unlad ng aritmetika (kabilang ang mga inaalok sa OGE).

Halimbawa (OGE). Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng mga kundisyon \(b_1=7; d=4\). Hanapin ang \(b_5\).
Solusyon:

Sagot: \(b_5=23\)

Halimbawa (OGE). Ang unang tatlong termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay: \(62; 49; 36…\) Hanapin ang halaga ng unang negatibong termino ng pag-usad na ito..
Solusyon:

Sagot: \(-3\)

Halimbawa (OGE). Ilang sunud-sunod na elemento ng isang arithmetic progression ang ibinibigay: \(...5; x; 10; 12.5...\) Hanapin ang halaga ng elemento na tinutukoy ng titik \(x\).
Solusyon:

Sagot: \(7,5\).

Halimbawa (OGE). Ang arithmetic progression ay ibinibigay ng mga sumusunod na kondisyon: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Hanapin ang kabuuan ng unang anim na termino ng progression na ito.
Solusyon:

Sagot: \(S_6=9\).

Halimbawa (OGE). Sa arithmetic progression \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Hanapin ang pagkakaiba ng pag-unlad na ito.
Solusyon:

Sagot: \(d=7\).

Mahahalagang Arithmetic Progression Formula

Tulad ng nakikita mo, maraming mga problema sa pag-unlad ng aritmetika ay maaaring malutas sa pamamagitan lamang ng pag-unawa sa pangunahing bagay - na ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang hanay ng mga numero, at ang bawat susunod na elemento sa kadena na ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong numero sa nauna (ang pagkakaiba ng pag-unlad).

Gayunpaman, kung minsan may mga sitwasyon kung kailan napakahirap na malutas ang "sa noo". Halimbawa, isipin na sa pinakaunang halimbawa, kailangan nating hanapin hindi ang ikalimang elemento \(b_5\), ngunit ang tatlong daan at walumpu't anim na \(b_(386)\). Ano ito, namin \ (385 \) beses upang magdagdag ng apat? O isipin na sa penultimate na halimbawa, kailangan mong hanapin ang kabuuan ng unang pitumpu't tatlong elemento. Nakakalito ang pagbibilang...

Samakatuwid, sa ganitong mga kaso, hindi nila nalulutas ang "sa noo", ngunit gumagamit ng mga espesyal na formula na nagmula para sa pag-unlad ng aritmetika. At ang mga pangunahing ay ang pormula para sa ika-n na termino ng pag-unlad at ang pormula para sa kabuuan ng \(n\) ng mga unang termino.

Formula para sa \(n\)th miyembro: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kung saan ang \(a_1\) ay ang unang miyembro ng progression;
\(n\) – numero ng kinakailangang elemento;
Ang \(a_n\) ay isang miyembro ng progression na may numerong \(n\).

Ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa amin upang mabilis na mahanap ang hindi bababa sa tatlong daan, kahit na ang ika-milyong elemento, alam lamang ang una at ang pagkakaiba ng pag-unlad.

Halimbawa. Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng mga kondisyon: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Hanapin ang \(b_(246)\).
Solusyon:

Sagot: \(b_(246)=1850\).

Ang formula para sa kabuuan ng unang n termino ay: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kung saan

Ang \(a_n\) ay ang huling summed term;

Halimbawa (OGE). Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng mga kondisyon \(a_n=3.4n-0.6\). Hanapin ang kabuuan ng unang \(25\) mga tuntunin ng pag-usad na ito.
Solusyon:

Sagot: \(S_(25)=1090\).

Para sa kabuuan ng \(n\) ng mga unang termino, maaari kang makakuha ng isa pang formula: kailangan mo lang na \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) sa halip na \(a_n\) palitan ang formula para dito \(a_n=a_1+(n-1)d\). Nakukuha namin:

Ang formula para sa kabuuan ng unang n termino ay: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kung saan

\(S_n\) – ang kinakailangang kabuuan \(n\) ng mga unang elemento;
Ang \(a_1\) ay ang unang termino na susumahin;
\(d\) – pagkakaiba sa pag-unlad;
\(n\) - ang bilang ng mga elemento sa kabuuan.

Halimbawa. Hanapin ang kabuuan ng unang \(33\)-ex terms ng arithmetic progression: \(17\); \(15,5\); \(labing-apat\)…
Solusyon:

Sagot: \(S_(33)=-231\).

Mas kumplikadong mga problema sa pag-unlad ng aritmetika

Ngayon ay mayroon ka na ng lahat ng impormasyong kailangan mo upang malutas ang halos anumang problema sa pag-unlad ng arithmetic. Tapusin natin ang paksa sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang ng mga problema kung saan kailangan mong hindi lamang maglapat ng mga formula, ngunit mag-isip din ng kaunti (sa matematika, maaari itong maging kapaki-pakinabang ☺)

Halimbawa (OGE). Hanapin ang kabuuan ng lahat ng negatibong termino ng progression: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Solusyon:

Sagot: \(S_(65)=-630.5\).

Halimbawa (OGE). Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng mga kondisyon: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Hanapin ang kabuuan mula sa \(26\)th hanggang \(42\) kasama ang elemento.
Solusyon:

Sagot: \(S=1683\).

Para sa isang pag-unlad ng aritmetika, may ilan pang mga formula na hindi namin isinasaalang-alang sa artikulong ito dahil sa kanilang mababang praktikal na pagiging kapaki-pakinabang. Gayunpaman, madali mong mahahanap ang mga ito.

Kaya't umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:
Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring mayroong kasing dami hangga't gusto mo (sa aming kaso, sila). Gaano man karaming numero ang ating isulat, palagi nating masasabi kung alin sa mga ito ang una, alin ang pangalawa, at iba pa hanggang sa huli, ibig sabihin, maaari nating bilangin ang mga ito. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero:

Numeric na pagkakasunud-sunod
Halimbawa, para sa aming sequence:

Ang itinalagang numero ay partikular sa isang sequence number lamang. Sa madaling salita, walang tatlong segundong numero sa sequence. Ang pangalawang numero (tulad ng -th na numero) ay palaging pareho.
Ang numerong may numero ay tinatawag na -th na miyembro ng sequence.

Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence ng ilang titik (halimbawa,), at bawat miyembro ng sequence na ito - ang parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito: .

Sa kaso natin:

Sabihin nating mayroon tayong numerical sequence kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay.
Halimbawa:

atbp.
Ang nasabing numerical sequence ay tinatawag na arithmetic progression.
Ang terminong "pag-unlad" ay ipinakilala ng Romanong may-akda na si Boethius noong ika-6 na siglo at naunawaan sa mas malawak na kahulugan bilang isang walang katapusang numerical sequence. Ang pangalan na "aritmetika" ay inilipat mula sa teorya ng tuluy-tuloy na mga proporsyon, kung saan ang mga sinaunang Greeks ay nakikibahagi sa.

Ito ay isang numerical sequence, ang bawat miyembro nito ay katumbas ng nauna, idinagdag na may parehong numero. Ang bilang na ito ay tinatawag na pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika at tinutukoy.

Subukang tukuyin kung aling mga pagkakasunud-sunod ng numero ang isang pag-unlad ng aritmetika at alin ang hindi:

a)
b)
c)
d)

Nakuha ko? Ihambing ang aming mga sagot:
Ay pag-unlad ng aritmetika - b, c.
Ay hindi pag-unlad ng aritmetika - a, d.

Bumalik tayo sa ibinigay na pag-unlad () at subukang hanapin ang halaga ng ika-miyembro nito. Umiiral dalawa paraan upang mahanap ito.

1. Pamamaraan

Maaari tayong magdagdag sa dating halaga ng numero ng pag-unlad hanggang sa maabot natin ang ika-tanim na termino ng pag-unlad. Mabuti na wala tayong gaanong ibuod - tatlong value lang:

Kaya, ang -ika miyembro ng inilarawan na pag-unlad ng aritmetika ay katumbas ng.

2. Pamamaraan

Paano kung kailangan nating hanapin ang halaga ng ika-taon ng pag-unlad? Ang pagsusuma ay aabutin kami ng higit sa isang oras, at hindi isang katotohanan na hindi kami magkakamali sa pagdaragdag ng mga numero.
Siyempre, ang mga mathematician ay gumawa ng isang paraan kung saan hindi mo kailangang idagdag ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika sa nakaraang halaga. Tingnang mabuti ang iginuhit na larawan ... Tiyak na napansin mo na ang isang tiyak na pattern, katulad:

Halimbawa, tingnan natin kung ano ang bumubuo sa halaga ng -th na miyembro ng pag-unlad ng arithmetic na ito:


Sa ibang salita:

Subukang independiyenteng hanapin sa ganitong paraan ang halaga ng isang miyembro ng pag-unlad ng arithmetic na ito.

Kinakalkula? Ihambing ang iyong mga entry sa sagot:

Bigyang-pansin na nakuha mo ang eksaktong parehong numero tulad ng sa nakaraang pamamaraan, nang sunud-sunod naming idinagdag ang mga miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika sa nakaraang halaga.
Subukan nating "i-depersonalize" ang formula na ito - dinadala natin ito sa isang pangkalahatang anyo at makuha ang:

Ang mga pag-unlad ng aritmetika ay tumataas o bumababa.

Tumataas- mga pag-unlad kung saan ang bawat kasunod na halaga ng mga termino ay mas malaki kaysa sa nauna.
Halimbawa:

Pababa- mga pag-unlad kung saan ang bawat kasunod na halaga ng mga termino ay mas mababa kaysa sa nauna.
Halimbawa:

Ang hinangong formula ay ginagamit sa pagkalkula ng mga termino sa parehong pagtaas at pagbaba ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Tingnan natin ito sa pagsasanay.
Binigyan kami ng aritmetika na pag-unlad na binubuo ng mga sumusunod na numero:

Simula noon:

Kaya, kami ay kumbinsido na ang formula ay gumagana kapwa sa pagpapababa at sa pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika.
Subukang hanapin ang -th at -th na miyembro ng arithmetic progression na ito nang mag-isa.

Ihambing natin ang mga resulta:

Arithmetic progression property

Gawin nating kumplikado ang gawain - nakukuha natin ang ari-arian ng isang pag-unlad ng aritmetika.
Ipagpalagay na binibigyan tayo ng sumusunod na kondisyon:
- pag-unlad ng aritmetika, hanapin ang halaga.
Madali lang, sabi mo, at simulang magbilang ayon sa formula na alam mo na:

Hayaan, a, pagkatapos:

Ganap na tama. Ito ay lumiliko na una naming mahanap, pagkatapos ay idagdag ito sa unang numero at makuha ang aming hinahanap. Kung ang pag-unlad ay kinakatawan ng maliliit na halaga, kung gayon walang kumplikado tungkol dito, ngunit paano kung bibigyan tayo ng mga numero sa kondisyon? Sumang-ayon, may posibilidad na magkamali sa mga kalkulasyon.
Ngayon isipin, posible bang malutas ang problemang ito sa isang hakbang gamit ang anumang formula? Siyempre, oo, at susubukan naming ilabas ito ngayon.

Tukuyin natin ang nais na termino ng pag-unlad ng aritmetika bilang, alam natin ang pormula para sa paghahanap nito - ito ang parehong pormula na hinango natin sa simula:
, pagkatapos:

• ang dating miyembro ng progression ay:
• ang susunod na termino ng pag-unlad ay:

Isama natin ang nakaraan at susunod na mga miyembro ng progression:

Lumalabas na ang kabuuan ng nauna at kasunod na mga miyembro ng progression ay dalawang beses ang halaga ng miyembro ng progression na matatagpuan sa pagitan nila. Sa madaling salita, upang mahanap ang halaga ng isang miyembro ng pag-unlad na may kilalang dati at sunud-sunod na mga halaga, kinakailangan na idagdag ang mga ito at hatiin sa.

Ayun, pareho kami ng number. Ayusin natin ang materyal. Kalkulahin ang halaga para sa pag-unlad sa iyong sarili, dahil ito ay hindi mahirap sa lahat.

Magaling! Alam mo halos lahat tungkol sa pag-unlad! Ito ay nananatiling alamin lamang ang isang pormula, na, ayon sa alamat, isa sa mga pinakadakilang mathematician sa lahat ng oras, ang "hari ng mga mathematician" - si Karl Gauss, ay madaling nahulaan para sa kanyang sarili ...

Noong 9 na taong gulang si Carl Gauss, ang guro, na abala sa pagsuri sa gawain ng mga mag-aaral mula sa ibang mga klase, ay nagtanong ng sumusunod na gawain sa aralin: "Kalkulahin ang kabuuan ng lahat ng natural na mga numero mula hanggang sa (ayon sa iba pang mga mapagkukunan hanggang sa) kasama. " Ano ang sorpresa ng guro nang ang isa sa kanyang mga mag-aaral (ito ay si Karl Gauss) pagkatapos ng isang minuto ay nagbigay ng tamang sagot sa gawain, habang ang karamihan sa mga kaklase ng daredevil pagkatapos ng mahabang kalkulasyon ay nakatanggap ng maling resulta ...

Napansin ng batang si Carl Gauss ang isang pattern na madali mong mapapansin.
Sabihin nating mayroon tayong aritmetikong pag-unlad na binubuo ng -ti na mga miyembro: Kailangan nating hanapin ang kabuuan ng mga ibinigay na miyembro ng arithmetic progression. Siyempre, maaari nating manu-manong buod ang lahat ng mga halaga, ngunit paano kung kailangan nating hanapin ang kabuuan ng mga termino nito sa gawain, tulad ng hinahanap ni Gauss?

Ilarawan natin ang pag-unlad na ibinigay sa atin. Tingnang mabuti ang mga naka-highlight na numero at subukang magsagawa ng iba't ibang mga operasyong matematika sa kanila.


Sinubukan? Ano ang napansin mo? Tama! Ang kanilang mga kabuuan ay pantay

Ngayon sagutin mo, ilan kaya ang mga ganoong pares sa progression na ibinigay sa atin? Siyempre, eksaktong kalahati ng lahat ng mga numero, iyon ay.
Batay sa katotohanan na ang kabuuan ng dalawang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay pantay, at magkatulad na magkaparehong mga pares, nakuha namin na ang kabuuang kabuuan ay katumbas ng:
.
Kaya, ang formula para sa kabuuan ng mga unang termino ng anumang pag-unlad ng arithmetic ay magiging:

Sa ilang mga problema, hindi namin alam ang ika-katawagan, ngunit alam namin ang pagkakaiba ng pag-unlad. Subukang palitan sa sum formula, ang formula ng ika-miyembro.
Ano ang nakuha mo?

Magaling! Ngayon bumalik tayo sa problema na ibinigay kay Carl Gauss: kalkulahin para sa iyong sarili kung ano ang kabuuan ng mga numero na nagsisimula sa -th ay, at ang kabuuan ng mga numero na nagsisimula sa -th.

Magkano ang nakuha mo?
Gauss pala na ang kabuuan ng mga termino ay pantay, at ang kabuuan ng mga termino. Ganyan ka ba nagdesisyon?

Sa katunayan, ang pormula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika ay napatunayan ng sinaunang siyentipikong Griyego na si Diophantus noong ika-3 siglo, at sa buong panahong ito, ginamit ng mga matalinong tao ang mga katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika na may lakas at pangunahing.
Halimbawa, isipin ang Sinaunang Ehipto at ang pinakamalaking lugar ng pagtatayo noong panahong iyon - ang pagtatayo ng isang pyramid ... Ang pigura ay nagpapakita ng isang bahagi nito.

Nasaan ang progression dito na sinasabi mo? Tumingin ng mabuti at maghanap ng pattern sa bilang ng mga bloke ng buhangin sa bawat hilera ng pyramid wall.


Bakit hindi isang arithmetic progression? Bilangin kung gaano karaming mga bloke ang kailangan upang makabuo ng isang pader kung ang mga bloke ng brick ay inilalagay sa base. Sana hindi ka magbilang sa pamamagitan ng paggalaw ng iyong daliri sa monitor, naaalala mo ba ang huling formula at lahat ng sinabi namin tungkol sa pag-unlad ng aritmetika?

Sa kasong ito, ang pag-unlad ay ganito ang hitsura:
Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika.
Ang bilang ng mga miyembro ng isang arithmetic progression.
Palitan natin ang aming data sa mga huling formula (binibilang namin ang bilang ng mga bloke sa 2 paraan).

Paraan 1.

Paraan 2.

At ngayon maaari mo ring kalkulahin sa monitor: ihambing ang nakuha na mga halaga sa bilang ng mga bloke na nasa aming pyramid. Pumayag ba ito? Magaling, pinagkadalubhasaan mo ang kabuuan ng mga tuntunin ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Siyempre, hindi ka makakagawa ng isang pyramid mula sa mga bloke sa base, ngunit mula sa? Subukang kalkulahin kung gaano karaming mga sand brick ang kailangan upang makabuo ng pader na may ganitong kondisyon.
Inayos mo ba?
Ang tamang sagot ay mga bloke:

Pag-eehersisyo

Mga gawain:

1. Si Masha ay nasa hugis para sa tag-araw. Araw-araw dinadagdagan niya ang bilang ng mga squats. Ilang beses mag-squat si Masha sa mga linggo kung nag-squats siya sa unang workout.
2. Ano ang kabuuan ng lahat ng mga kakaibang numero na nakapaloob sa.
3. Kapag nag-iimbak ng mga log, ang mga magtotroso ay nagsasalansan ng mga ito sa paraang ang bawat tuktok na layer ay naglalaman ng isang mas kaunting log kaysa sa nauna. Ilang troso ang nasa isang masonerya, kung ang base ng masonerya ay troso.

Mga sagot:

1. Tukuyin natin ang mga parameter ng pag-unlad ng aritmetika. Sa kasong ito
   (linggo = araw).

   Sagot: Sa dalawang linggo, dapat maglupasay si Masha isang beses sa isang araw.

2. Unang odd na numero, huling numero.
   Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika.
   Ang bilang ng mga kakaibang numero sa - kalahati, gayunpaman, suriin ang katotohanang ito gamit ang formula para sa paghahanap ng -th miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic:

   Ang mga numero ay naglalaman ng mga kakaibang numero.
   Pinapalitan namin ang magagamit na data sa formula:

   Sagot: Ang kabuuan ng lahat ng mga kakaibang numero na nakapaloob sa ay katumbas ng.

3. Alalahanin ang problema tungkol sa mga pyramid. Para sa aming kaso, a , dahil ang bawat tuktok na layer ay nababawasan ng isang log, mayroon lamang isang bungkos ng mga layer, iyon ay.
   Palitan ang data sa formula:

   Sagot: May mga troso sa pagmamason.

Summing up

1. - isang numerical sequence kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay. Ito ay tumataas at bumababa.
2. Paghahanap ng formula ika-miyembro ng isang arithmetic progression ay isinulat ng formula - , kung saan ang bilang ng mga numero sa progression.
3. Pag-aari ng mga miyembro ng isang arithmetic progression- - kung saan - ang bilang ng mga numero sa progression.
4. Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang arithmetic progression ay matatagpuan sa dalawang paraan:
   
   , kung saan ang bilang ng mga halaga.

ARITMETIKONG PAG-UNLAD. AVERAGE LEVEL

Numeric na pagkakasunud-sunod

Umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:

Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring mayroong kasing dami hangga't gusto mo. Ngunit palagi mong masasabi kung alin sa kanila ang una, alin ang pangalawa, at iba pa, iyon ay, maaari nating bilangin sila. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero.

Numeric na pagkakasunud-sunod ay isang hanay ng mga numero, ang bawat isa ay maaaring magtalaga ng isang natatanging numero.

Sa madaling salita, ang bawat numero ay maaaring iugnay sa isang tiyak na natural na numero, at isa lamang. At hindi namin itatalaga ang numerong ito sa anumang iba pang numero mula sa set na ito.

Ang numerong may numero ay tinatawag na -th na miyembro ng sequence.

Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence ng ilang titik (halimbawa,), at bawat miyembro ng sequence na ito - ang parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito: .

Ito ay napaka-maginhawa kung ang -th miyembro ng sequence ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng ilang formula. Halimbawa, ang formula

nagtatakda ng pagkakasunud-sunod:

At ang formula ay ang sumusunod na pagkakasunud-sunod:

Halimbawa, ang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod (ang unang termino dito ay pantay, at ang pagkakaiba). O (, pagkakaiba).

pormula ng ika-apat na termino

Tinatawag namin ang paulit-ulit na formula kung saan, upang malaman ang -th term, kailangan mong malaman ang nauna o ilang nauna:

Upang mahanap, halimbawa, ang ika-kataga ng pag-unlad gamit ang gayong formula, kailangan nating kalkulahin ang nakaraang siyam. Halimbawa, hayaan. Pagkatapos:

Well, ngayon malinaw na kung ano ang formula?

Sa bawat linya, idinaragdag namin sa, pinarami ng ilang numero. Para saan? Napakasimple: ito ang bilang ng kasalukuyang miyembro na binawasan:

Mas komportable ngayon, tama ba? Sinusuri namin:

Magpasya para sa iyong sarili:

Sa isang pag-unlad ng arithmetic, hanapin ang formula para sa ika-n na termino at hanapin ang ika-100 termino.

Solusyon:

Ang unang miyembro ay pantay. At ano ang pagkakaiba? At narito kung ano:

(pagkatapos ng lahat, ito ay tinatawag na pagkakaiba dahil ito ay katumbas ng pagkakaiba ng mga sunud-sunod na miyembro ng pag-unlad).

Kaya ang formula ay:

Pagkatapos ang ika-daang termino ay:

Ano ang kabuuan ng lahat ng natural na numero mula hanggang?

Ayon sa alamat, ang mahusay na matematiko na si Carl Gauss, bilang isang 9 na taong gulang na batang lalaki, ay kinakalkula ang halagang ito sa loob ng ilang minuto. Napansin niya na ang kabuuan ng una at huling bilang ay pantay, ang kabuuan ng pangalawa at penultimate ay pareho, ang kabuuan ng ikatlo at ang ika-3 mula sa dulo ay pareho, at iba pa. Ilan ang mga ganoong pares? Tama, eksaktong kalahati ng bilang ng lahat ng mga numero, iyon ay. Kaya,

Ang pangkalahatang formula para sa kabuuan ng mga unang termino ng anumang pag-unlad ng arithmetic ay:

Halimbawa:
Hanapin ang kabuuan ng lahat ng dalawang-digit na multiple.

Solusyon:

Ang unang ganoong numero ay ito. Ang bawat susunod ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng isang numero sa nauna. Kaya, ang mga bilang ng interes sa amin ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika na may unang termino at ang pagkakaiba.

Ang pormula para sa ika-apat na termino para sa pag-unlad na ito ay:

Ilang termino ang nasa progreso kung dapat silang lahat ay dalawang digit?

Napakadaling: .

Magiging pantay ang huling termino ng pag-unlad. Pagkatapos ang kabuuan:

Sagot: .

Ngayon magpasya para sa iyong sarili:

1. Araw-araw ang atleta ay tumatakbo ng 1m higit pa kaysa sa nakaraang araw. Ilang kilometro ang tatakbo niya sa mga linggo kung tumakbo siya ng km m sa unang araw?
2. Ang isang siklista ay sumasakay ng mas maraming milya bawat araw kaysa sa nauna. Sa unang araw ay naglakbay siya ng km. Ilang araw ang kailangan niyang magmaneho para maabot ang isang kilometro? Ilang kilometro ang lalakbayin niya sa huling araw ng paglalakbay?
3. Ang presyo ng refrigerator sa tindahan ay binabawasan ng parehong halaga bawat taon. Tukuyin kung magkano ang presyo ng isang refrigerator na nabawasan bawat taon kung, ilagay para sa pagbebenta para sa rubles, anim na taon mamaya ito ay ibinebenta para sa rubles.

Mga sagot:

1. Ang pinakamahalagang bagay dito ay kilalanin ang pag-unlad ng aritmetika at matukoy ang mga parameter nito. Sa kasong ito, (linggo = araw). Kailangan mong tukuyin ang kabuuan ng mga unang tuntunin ng pag-unlad na ito:
   .
   Sagot:
2. Narito ito ay ibinigay:, ito ay kinakailangan upang mahanap.
   Malinaw, kailangan mong gumamit ng parehong sum formula tulad ng sa nakaraang problema:
   .
   Palitan ang mga halaga:

   Ang ugat ay halatang hindi magkasya, kaya ang sagot.
   Kalkulahin natin ang distansyang nilakbay sa huling araw gamit ang formula ng -th na miyembro:
   (km).
   Sagot:

3. Ibinigay: . Hanapin: .
   Hindi ito nagiging mas madali:
   (kuskusin).
   Sagot:

ARITMETIKONG PAG-UNLAD. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING

Ito ay isang numerical sequence kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay tumataas () at bumababa ().

Halimbawa:

Ang formula para sa paghahanap ng n-th na miyembro ng isang arithmetic progression

ay nakasulat bilang isang formula, kung saan ang bilang ng mga numero sa pag-unlad.

Pag-aari ng mga miyembro ng isang arithmetic progression

Pinapadali nito ang paghahanap ng miyembro ng progression kung kilala ang mga kalapit na miyembro nito - nasaan ang bilang ng mga numero sa progression.

Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang arithmetic progression

Mayroong dalawang paraan upang mahanap ang kabuuan:

Nasaan ang bilang ng mga halaga.

Nasaan ang bilang ng mga halaga.

ANG NATITING 2/3 ARTIKULO AY MAGAAGAMIT LAMANG SA INYONG MGA MAG-AARAL NA MATALINO!

Maging isang mag-aaral ng YouClever,

Maghanda para sa OGE o PAGGAMIT sa matematika sa presyong "isang tasa ng kape kada buwan",

At makakuha din ng walang limitasyong access sa "YouClever" na aklat-aralin, ang "100gia" na programa sa pagsasanay (solution book), walang limitasyong pagsubok na PAGGAMIT at OGE, 6000 mga gawain na may pagsusuri ng mga solusyon at iba pang mga serbisyo ng YouClever at 100gia.

Uri ng aralin: pag-aaral ng bagong materyal.

Layunin ng Aralin:

• pagpapalawak at pagpapalalim ng mga ideya ng mga mag-aaral tungkol sa mga gawaing nalutas gamit ang pag-unlad ng arithmetic; organisasyon ng aktibidad sa paghahanap ng mga mag-aaral kapag kumukuha ng pormula para sa kabuuan ng unang n miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika;
• pag-unlad ng mga kasanayan upang malayang makakuha ng bagong kaalaman, gumamit ng nakuha na kaalaman upang makamit ang gawain;
• pag-unlad ng pagnanais at pangangailangan na gawing pangkalahatan ang mga katotohanang nakuha, ang pag-unlad ng kalayaan.

Mga gawain:

• gawing pangkalahatan at gawing sistematiko ang umiiral na kaalaman sa paksang "Arithmetic progression";
• kumuha ng mga formula para sa pagkalkula ng kabuuan ng unang n miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic;
• ituro kung paano ilapat ang mga nakuhang formula sa paglutas ng iba't ibang problema;
• maakit ang atensyon ng mga mag-aaral sa pamamaraan para sa paghahanap ng halaga ng isang numerical expression.

Kagamitan:

• card na may mga gawain para sa trabaho sa mga grupo at pares;
• papel ng pagsusuri;
• pagtatanghal"Aritmetikong pag-unlad".

I. Aktwalisasyon ng pangunahing kaalaman.

1. Malayang gawain nang magkapares.

1st option:

Tukuyin ang isang pag-unlad ng aritmetika. Sumulat ng isang recursive formula na tumutukoy sa isang pag-unlad ng arithmetic. Magbigay ng halimbawa ng pag-unlad ng aritmetika at ipahiwatig ang pagkakaiba nito.

2nd option:

Isulat ang formula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic. Hanapin ang ika-100 termino ng isang pag-unlad ng arithmetic ( isang n}: 2, 5, 8 …
Sa oras na ito, dalawang estudyante sa likod ng pisara ang naghahanda ng mga sagot sa parehong mga tanong.
Sinusuri ng mga mag-aaral ang gawain ng kapareha sa pamamagitan ng paghahambing nito sa pisara. (Ang mga leaflet na may mga sagot ay ibibigay).

2. sandali ng laro.

Ehersisyo 1.

Guro. Naglihi ako ng ilang pag-unlad ng aritmetika. Magtanong sa akin ng dalawang tanong lamang upang pagkatapos ng mga sagot ay mabilis mong pangalanan ang ika-7 miyembro ng pag-unlad na ito. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Mga tanong mula sa mga mag-aaral.

1. Ano ang ikaanim na termino ng pag-unlad at ano ang pagkakaiba?
2. Ano ang ikawalong termino ng pag-unlad at ano ang pagkakaiba?

Kung wala nang mga katanungan, maaari silang pasiglahin ng guro - isang "pagbabawal" sa d (pagkakaiba), iyon ay, hindi pinapayagan na magtanong kung ano ang pagkakaiba. Maaari kang magtanong: ano ang ika-6 na termino ng pag-unlad at ano ang ika-8 termino ng pag-unlad?

Gawain 2.

Mayroong 20 numero na nakasulat sa pisara: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Nakatalikod ang guro sa pisara. Sinasabi ng mga estudyante ang numero ng numero, at agad na tinawag ng guro ang numero mismo. Ipaliwanag kung paano ko ito magagawa?

Naaalala ng guro ang pormula ng ika-1 termino isang n \u003d 3n - 2 at, pinapalitan ang ibinigay na mga halaga ng n, hinahanap ang kaukulang mga halaga a n .

II. Pahayag ng gawaing pang-edukasyon.

Iminumungkahi kong lutasin ang isang lumang problema noong ika-2 milenyo BC, na matatagpuan sa Egyptian papyri.

Isang gawain:“Sabihin sa inyo: hatiin ang 10 takal ng barley sa pagitan ng 10 tao, ang pagkakaiba ng bawat tao at ng kanyang kapwa ay 1/8 ng sukat.”

• Paano nauugnay ang problemang ito sa paksa ng pag-unlad ng aritmetika? (Ang bawat susunod na tao ay makakakuha ng 1/8 ng panukat na higit pa, kaya ang pagkakaiba ay d=1/8, 10 tao, kaya n=10.)
• Ano sa palagay mo ang ibig sabihin ng numero 10? (Ang kabuuan ng lahat ng miyembro ng progression.)
• Ano pa ang kailangan mong malaman para maging madali at simple ang paghahati ng barley ayon sa kondisyon ng problema? (Ang unang termino ng pag-unlad.)

Layunin ng aralin- pagkuha ng dependence ng kabuuan ng mga tuntunin ng pag-unlad sa kanilang numero, ang unang termino at ang pagkakaiba, at pagsuri kung ang problema ay nalutas nang tama sa sinaunang panahon.

Bago makuha ang formula, tingnan natin kung paano nalutas ng mga sinaunang Egyptian ang problema.

At nalutas nila ito tulad nito:

1) 10 sukat: 10 = 1 sukat - average na bahagi;
2) 1 sukat ∙ = 2 sukat - nadoble karaniwan ibahagi.
nadoble karaniwan ang bahagi ay ang kabuuan ng mga bahagi ng ika-5 at ika-6 na tao.
3) 2 sukat - 1/8 sukat = 1 7/8 sukat - dalawang beses ang bahagi ng ikalimang tao.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - ang bahagi ng ikalima; at iba pa, mahahanap mo ang bahagi ng bawat nauna at kasunod na tao.

Nakukuha namin ang pagkakasunud-sunod:

III. Ang solusyon sa gawain.

1. Magpangkat-pangkat

1st group: Hanapin ang kabuuan ng 20 magkakasunod na natural na numero: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Sa pangkalahatan

II pangkat: Hanapin ang kabuuan ng mga natural na numero mula 1 hanggang 100 (Alamat ng Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Konklusyon:

III pangkat: Hanapin ang kabuuan ng mga natural na numero mula 1 hanggang 21.

Solusyon: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Konklusyon:

IV pangkat: Hanapin ang kabuuan ng mga natural na numero mula 1 hanggang 101.

Konklusyon:

Ang pamamaraang ito ng paglutas ng mga itinuturing na problema ay tinatawag na "Gauss method".

2. Ang bawat pangkat ay naglalahad ng solusyon sa suliranin sa pisara.

3. Paglalahat ng mga iminungkahing solusyon para sa isang di-makatwirang pag-unlad ng arithmetic:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Nahanap namin ang kabuuan na ito sa pamamagitan ng pagtatalo nang katulad:

4. Nalutas na ba natin ang gawain?(Oo.)

IV. Pangunahing pag-unawa at paggamit ng mga nakuhang formula sa paglutas ng mga problema.

1. Sinusuri ang solusyon ng isang lumang problema sa pamamagitan ng formula.

2. Paglalapat ng pormula sa paglutas ng iba't ibang suliranin.

3. Mga pagsasanay para sa pagbuo ng kakayahang magamit ang formula sa paglutas ng mga problema.

A) Blg. 613

binigay :( at n) - pag-unlad ng aritmetika;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Hanapin: S 1500

Solusyon: , at 1 = 1, at 1500 = 1500,

B) Ibinigay: ( at n) - pag-unlad ng aritmetika;
(at n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Hanapin: n
Solusyon:

V. Independiyenteng trabaho na may mutual na pagpapatunay.

Nagtrabaho si Denis bilang isang courier. Sa unang buwan, ang kanyang suweldo ay 200 rubles, sa bawat kasunod na buwan ay tumaas ito ng 30 rubles. Magkano ang kinita niya sa isang taon?

binigay :( at n) - pag-unlad ng aritmetika;
a 1 = 200, d=30, n=12
Hanapin: S 12
Solusyon:

Sagot: Nakatanggap si Denis ng 4380 rubles para sa taon.

VI. Pagtuturo sa takdang-aralin.

1. p. 4.3 - alamin ang derivation ng formula.
2. №№ 585, 623 .
3. Bumuo ng isang problema na malulutas gamit ang pormula para sa kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng aritmetika.

VII. Pagbubuod ng aralin.

1. Iskor sheet

2. Ipagpatuloy ang mga pangungusap

• Ngayon sa klase natutunan ko...
• Mga Natutunang Formula...
• Sa tingin ko …

3. Mahahanap mo ba ang kabuuan ng mga numero mula 1 hanggang 500? Anong paraan ang iyong gagamitin upang malutas ang problemang ito?

Bibliograpiya.

1. Algebra, ika-9 na baitang. Textbook para sa mga institusyong pang-edukasyon. Ed. G.V. Dorofeeva. Moscow: Enlightenment, 2009.