Normal na plane equation sa vector form. Mga equation ng eroplano: pangkalahatan, sa pamamagitan ng tatlong puntos, normal

Equation ng isang eroplano. Paano magsulat ng isang equation ng isang eroplano?
Mutual na pag-aayos ng mga eroplano. Mga gawain

Ang spatial geometry ay hindi mas kumplikado kaysa sa "flat" na geometry, at ang aming mga flight sa kalawakan ay nagsisimula sa artikulong ito. Upang makabisado ang paksa, kailangan mong magkaroon ng isang mahusay na pag-unawa sa mga vector, bilang karagdagan, ipinapayong maging pamilyar sa geometry ng eroplano - magkakaroon ng maraming pagkakatulad, maraming pagkakatulad, kaya ang impormasyon ay mas mahusay na matutunaw. Sa isang serye ng aking mga aralin, nagbubukas ang 2D na mundo gamit ang isang artikulo Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano. Ngunit ngayon ay umalis na si Batman sa flat TV screen at naglulunsad mula sa Baikonur Cosmodrome.

Magsimula tayo sa mga guhit at simbolo. Sa eskematiko, ang eroplano ay maaaring iguhit sa anyo ng isang paralelogram, na lumilikha ng impresyon ng espasyo:

Ang eroplano ay walang katapusan, ngunit mayroon tayong pagkakataon na ilarawan ang isang piraso lamang nito. Sa pagsasagawa, bilang karagdagan sa paralelogram, ang isang hugis-itlog o kahit isang ulap ay iginuhit din. Para sa mga teknikal na kadahilanan, mas maginhawa para sa akin na ilarawan ang eroplano nang eksakto sa ganitong paraan at sa eksaktong posisyong ito. Ang mga tunay na eroplano, na isasaalang-alang namin sa mga praktikal na halimbawa, ay matatagpuan sa anumang paraan - kunin ang pagguhit sa iyong mga kamay at paikutin ito sa kalawakan, na nagbibigay sa eroplano ng anumang slope, anumang anggulo.

Mga pagtatalaga: Ang mga eroplano ay karaniwang tinutukoy sa maliliit na letrang Griyego, tila upang hindi malito ang mga ito tuwid na linya sa isang eroplano o kasama tuwid na linya sa kalawakan. Sanay na akong gumamit ng sulat . Sa pagguhit ito ay ang titik na "sigma", at hindi isang butas sa lahat. Bagaman, ang holey na eroplano ay tiyak na nakakatawa.

Sa ilang mga kaso, madaling gamitin ang parehong mga letrang Griyego na may mas mababang mga subscript para magtalaga ng mga eroplano, halimbawa, .

Malinaw na ang eroplano ay natatanging tinukoy ng tatlong magkakaibang mga punto na hindi nakahiga sa parehong linya. Samakatuwid, ang mga tatlong-titik na pagtatalaga ng mga eroplano ay medyo popular - sa pamamagitan ng mga puntos na kabilang sa kanila, halimbawa, atbp. Kadalasan ang mga titik ay nakapaloob sa panaklong: , upang hindi malito ang eroplano sa isa pang geometric na pigura.

Para sa mga makaranasang mambabasa ay ibibigay ko mabilis na access menu:

• Paano lumikha ng isang equation ng isang eroplano gamit ang isang punto at dalawang vectors?
• Paano lumikha ng isang equation ng isang eroplano gamit ang isang punto at isang normal na vector?

at hindi kami mangungulit sa mahabang paghihintay:

Pangkalahatang equation ng eroplano

Ang pangkalahatang equation ng eroplano ay may anyo , kung saan ang mga coefficient ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras.

Ang isang bilang ng mga teoretikal na kalkulasyon at praktikal na mga problema ay wasto kapwa para sa karaniwang orthonormal na batayan at para sa affine na batayan ng espasyo (kung ang langis ay langis, bumalik sa aralin Linear (hindi) dependence ng mga vectors. Batayan ng mga vector). Para sa pagiging simple, ipagpalagay namin na ang lahat ng mga kaganapan ay nangyayari sa isang orthonormal na batayan at isang Cartesian rectangular coordinate system.

Ngayon, sanayin natin nang kaunti ang ating spatial na imahinasyon. Okay lang kung masama ang sa iyo, ngayon ay bubuoin natin ito ng kaunti. Kahit na ang paglalaro sa nerbiyos ay nangangailangan ng pagsasanay.

Sa pinaka-pangkalahatang kaso, kapag ang mga numero ay hindi katumbas ng zero, ang eroplano ay nag-intersect sa lahat ng tatlong coordinate axes. Halimbawa, tulad nito:

Uulitin ko muli na ang eroplano ay nagpapatuloy nang walang katiyakan sa lahat ng direksyon, at mayroon tayong pagkakataon na ilarawan ang bahagi lamang nito.

Isaalang-alang natin ang pinakasimpleng mga equation ng mga eroplano:

Paano maintindihan ang equation na ito? Pag-isipan ito: "Z" ay palaging katumbas ng zero, para sa anumang mga halaga ng "X" at "Y". Ito ang equation ng "katutubong" coordinate plane. Sa katunayan, pormal na ang equation ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod: , mula sa kung saan malinaw mong makikita na wala kaming pakialam kung anong halaga ng "x" at "y", mahalaga na ang "z" ay katumbas ng zero.

Gayundin:
– equation ng coordinate plane;
– equation ng coordinate plane.

Palubhain natin ang problema nang kaunti, isaalang-alang ang isang eroplano (dito at higit pa sa talata ay ipinapalagay natin na ang mga numerical coefficient ay hindi katumbas ng zero). Isulat muli natin ang equation sa anyo: . Paano ito maintindihan? Ang "X" ay LAGING, para sa anumang mga halaga ng "Y" at "Z", katumbas ng isang tiyak na numero. Ang eroplanong ito ay parallel sa coordinate plane. Halimbawa, ang isang eroplano ay parallel sa isang eroplano at dumadaan sa isang punto.

Gayundin:
– equation ng isang eroplano na parallel sa coordinate plane;
– equation ng isang eroplano na parallel sa coordinate plane.

Magdagdag tayo ng mga miyembro: . Ang equation ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod: , ibig sabihin, ang "zet" ay maaaring maging anuman. Ano ang ibig sabihin nito? Ang "X" at "Y" ay konektado sa pamamagitan ng kaugnayan, na gumuhit ng isang tiyak na tuwid na linya sa eroplano (malalaman mo equation ng isang linya sa isang eroplano?). Dahil ang "z" ay maaaring maging anuman, ang tuwid na linyang ito ay "ginagaya" sa anumang taas. Kaya, ang equation ay tumutukoy sa isang eroplanong parallel sa coordinate axis

Gayundin:
– equation ng isang eroplano na parallel sa coordinate axis;
– equation ng isang eroplano na parallel sa coordinate axis.

Kung ang mga libreng termino ay zero, ang mga eroplano ay direktang dadaan sa mga kaukulang axes. Halimbawa, ang klasikong "direktang proporsyonalidad": . Gumuhit ng isang tuwid na linya sa eroplano at i-multiply ito sa isip pataas at pababa (dahil ang "Z" ay anuman). Konklusyon: ang eroplano na tinukoy ng equation ay dumadaan sa coordinate axis.

Kinumpleto namin ang pagsusuri: ang equation ng eroplano dumadaan sa pinanggalingan. Buweno, narito, medyo halata na ang punto ay nakakatugon sa equation na ito.

At sa wakas, ang kaso na ipinakita sa pagguhit: – ang eroplano ay palakaibigan sa lahat ng mga coordinate axes, habang ito ay palaging "pumuputol" ng isang tatsulok, na maaaring matatagpuan sa alinman sa walong octants.

Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay sa espasyo

Upang maunawaan ang impormasyong kailangan mong mag-aral ng mabuti linear inequalities sa eroplano, dahil maraming bagay ang magkakatulad. Ang talata ay magiging isang maikling pangkalahatang-ideya na may ilang mga halimbawa, dahil ang materyal ay medyo bihira sa pagsasanay.

Kung ang equation ay tumutukoy sa isang eroplano, kung gayon ang mga hindi pagkakapantay-pantay
magtanong kalahating espasyo. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit (ang huling dalawa sa listahan), kung gayon ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay, bilang karagdagan sa kalahating espasyo, ay kasama rin ang eroplano mismo.

Halimbawa 5

Hanapin ang unit na normal na vector ng eroplano .

Solusyon: Ang unit vector ay isang vector na ang haba ay isa. Tukuyin natin ang vector na ito sa pamamagitan ng . Ito ay ganap na malinaw na ang mga vector ay collinear:

Una, tinanggal namin ang normal na vector mula sa equation ng eroplano: .

Paano makahanap ng unit vector? Upang mahanap ang unit vector, kailangan mo bawat hatiin ang vector coordinate sa haba ng vector.

Isulat muli natin ang normal na vector sa anyo at hanapin ang haba nito:

Ayon sa itaas:

Sagot:

Pagpapatunay: kung ano ang kinakailangan upang ma-verify.

Malamang napansin iyon ng mga mambabasa na maingat na nag-aral sa huling talata ng aralin ang mga coordinate ng unit vector ay eksaktong mga direksyon cosine ng vector:

Magpahinga muna tayo sa problemang kinakaharap: kapag binigyan ka ng arbitrary non-zero vector, at ayon sa kondisyon ay kinakailangan na hanapin ang mga direksyon ng cosine nito (tingnan ang mga huling problema ng aralin Tuldok na produkto ng mga vector), pagkatapos ikaw, sa katunayan, ay makahanap ng isang unit vector collinear sa isang ito. Actually dalawang gawain sa isang bote.

Ang pangangailangan upang mahanap ang yunit ng normal na vector arises sa ilang mga problema ng mathematical analysis.

Naisip namin kung paano mangisda ng isang normal na vector, ngayon sagutin natin ang kabaligtaran na tanong:

Paano lumikha ng isang equation ng isang eroplano gamit ang isang punto at isang normal na vector?

Ang matibay na pagtatayo ng isang normal na vector at isang punto ay kilala sa dartboard. Mangyaring iunat ang iyong kamay at pumili ng isang arbitrary na punto sa espasyo, halimbawa, isang maliit na pusa sa sideboard. Malinaw, sa pamamagitan ng puntong ito maaari kang gumuhit ng isang solong eroplano na patayo sa iyong kamay.

Ang equation ng isang eroplano na dumadaan sa isang punto na patayo sa vector ay ipinahayag ng formula:

Normal na equation ng eroplano.

Ang pangkalahatang equation ng eroplano ng form ay tinatawag normal na equation ng eroplano, kung ang haba ng vector katumbas ng isa, ibig sabihin, , At .

Madalas mong makikita na ang normal na equation ng isang eroplano ay nakasulat bilang . Narito ang mga direksyon cosine ng normal na vector ng isang naibigay na eroplano ng haba ng yunit, iyon ay, at p– isang di-negatibong numero na katumbas ng distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa eroplano.

Normal na equation ng isang eroplano sa isang rectangular coordinate system Oxyz tumutukoy sa isang eroplano na inalis mula sa pinanggalingan sa pamamagitan ng isang distansya p sa positibong direksyon ng normal na vector ng eroplanong ito . Kung p=0, pagkatapos ay dadaan ang eroplano sa pinanggalingan.

Magbigay tayo ng isang halimbawa ng isang normal na equation ng eroplano.

Hayaang tukuyin ang eroplano sa isang rectangular coordinate system Oxyz pangkalahatang plane equation ng form . Ang pangkalahatang equation na ito ng eroplano ay ang normal na equation ng eroplano. Sa katunayan, ang normal na vector ng eroplanong ito ay ay may haba na katumbas ng pagkakaisa, dahil .

Ang equation ng isang eroplano sa normal na anyo ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang distansya mula sa isang punto sa isang eroplano.

Distansya mula sa isang punto hanggang sa isang eroplano.

Ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano ay ang pinakamaliit sa mga distansya sa pagitan ng puntong ito at ang mga punto ng eroplano. Ito ay kilala na distansya mula sa isang punto hanggang sa isang eroplano ay katumbas ng haba ng patayo na iginuhit mula sa puntong ito hanggang sa eroplano.

Kung at ang pinagmulan ng mga coordinate ay nasa magkaibang panig ng eroplano, sa kabaligtaran ng kaso. Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang eroplano ay

Mutual na pag-aayos ng mga eroplano. Mga kondisyon para sa parallelism at perpendicularity ng mga eroplano.

Distansya sa pagitan ng mga parallel na eroplano

Mga kaugnay na konsepto

Parallel ang mga eroplano , Kung

o (Vector na produkto)

Ang mga eroplano ay patayo, Kung

O kaya . (Scalar na produkto)

Diretso sa kalawakan. Iba't ibang uri ng straight line equation.

Mga equation ng isang tuwid na linya sa espasyo - paunang impormasyon.

Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano Oxy ay isang linear equation sa dalawang variable x At y, na nasiyahan sa pamamagitan ng mga coordinate ng anumang punto sa isang linya at hindi nasisiyahan sa pamamagitan ng mga coordinate ng anumang iba pang mga punto. Sa isang tuwid na linya sa tatlong-dimensional na espasyo ang sitwasyon ay medyo naiiba - walang linear equation na may tatlong variable x, y At z, na masisiyahan lamang sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga puntos sa isang linya na tinukoy sa isang rectangular coordinate system Oxyz. Sa katunayan, isang equation ng form , kung saan x, y At z ay mga variable, at A, B, C At D– ilang totoong numero, at A, SA At SA ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras, ay kumakatawan pangkalahatang equation ng eroplano. Pagkatapos ay lumitaw ang tanong: "Paano mailalarawan ang isang tuwid na linya sa isang hugis-parihaba na coordinate system? Oxyz»?

Ang sagot dito ay nakapaloob sa mga sumusunod na talata ng artikulo.

Ang mga equation ng isang tuwid na linya sa espasyo ay ang mga equation ng dalawang intersecting na eroplano.

Alalahanin natin ang isang axiom: kung ang dalawang eroplano sa kalawakan ay may isang karaniwang punto, kung gayon mayroon silang isang karaniwang tuwid na linya kung saan matatagpuan ang lahat ng mga karaniwang punto ng mga eroplanong ito. Kaya, ang isang tuwid na linya sa kalawakan ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng pagtukoy ng dalawang eroplano na nagsasalubong sa tuwid na linyang ito.

Isalin natin ang huling pahayag sa wika ng algebra.

Hayaang maayos ang isang rectangular coordinate system sa three-dimensional na espasyo Oxyz at ito ay kilala na ang tuwid na linya a ay ang linya ng intersection ng dalawang eroplano at, na tumutugma sa mga pangkalahatang equation ng eroplano ng form at, ayon sa pagkakabanggit. Dahil ito ay tuwid a ay ang hanay ng lahat ng mga karaniwang punto ng mga eroplano at, pagkatapos ay ang mga coordinate ng anumang punto sa linyang a ay sabay-sabay na masisiyahan ang parehong equation at ang equation, ang mga coordinate ng walang iba pang mga punto ay sabay-sabay na masisiyahan ang parehong mga equation ng mga eroplano. Samakatuwid, ang mga coordinate ng anumang punto sa linya a sa isang rectangular coordinate system Oxyz kumatawan partikular na solusyon sa isang sistema ng mga linear equation mabait , at ang pangkalahatang solusyon sa sistema ng mga equation tinutukoy ang mga coordinate ng bawat punto sa isang linya a, ibig sabihin, ay tumutukoy sa isang tuwid na linya a.

Kaya, isang tuwid na linya sa espasyo sa isang rectangular coordinate system Oxyz ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng isang sistema ng mga equation ng dalawang intersecting na eroplano .

Narito ang isang halimbawa ng pagtukoy ng isang tuwid na linya sa espasyo gamit ang isang sistema ng dalawang equation - .

Ang paglalarawan ng isang tuwid na linya na may mga equation ng dalawang intersecting na eroplano ay mahusay para sa paghahanap ng mga coordinate ng intersection point ng isang linya at isang eroplano, at kung kailan din paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya sa espasyo.

Inirerekomenda namin ang karagdagang pag-aaral ng paksang ito sa pamamagitan ng pagsangguni sa artikulo mga equation ng isang linya sa espasyo - mga equation ng dalawang intersecting na eroplano. Nagbibigay ito ng mas detalyadong impormasyon, tinatalakay nang detalyado ang mga solusyon sa karaniwang mga halimbawa at problema, at nagpapakita rin ng paraan para sa paglipat sa mga equation ng isang tuwid na linya sa isang puwang ng ibang uri.

Dapat pansinin na mayroong iba't ibang mga paraan upang tukuyin ang isang linya sa espasyo, at sa pagsasagawa, ang isang tuwid na linya ay kadalasang binibigyang kahulugan hindi sa pamamagitan ng dalawang intersecting na eroplano, ngunit sa pamamagitan ng nagdidirekta na vector ng tuwid na linya at isang puntong nakahiga sa tuwid na linyang ito. Sa mga kasong ito, mas madaling makakuha ng mga canonical at parametric na equation ng isang linya sa espasyo. Pag-uusapan natin ang mga ito sa mga sumusunod na talata.

Parametric equation ng isang linya sa espasyo.

Parametric equation ng isang linya sa espasyo kamukha ,

saan x 1 ,y 1 At z 1 - mga coordinate ng ilang punto sa linya, a x , a y At a z (a x , a y At a z ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras) - katumbas mga coordinate ng nagdidirekta na vector ng tuwid na linya, a ay ilang parameter na maaaring tumagal ng anumang tunay na halaga.

Para sa anumang halaga ng parameter, gamit ang mga parametric equation ng isang linya sa espasyo, maaari naming kalkulahin ang isang triple ng mga numero,

ito ay tumutugma sa ilang punto sa linya (kaya ang pangalan ng ganitong uri ng line equation). Halimbawa, kapag

mula sa mga parametric equation ng isang tuwid na linya sa espasyo ay nakuha namin ang mga coordinate x 1 , y 1 At z 1 : .

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang isang tuwid na linya na tinukoy ng mga parametric equation ng form . Ang linyang ito ay dumadaan sa isang punto, at ang vector ng direksyon ng linyang ito ay may mga coordinate.

Inirerekumenda namin ang patuloy na pag-aaral ng paksa sa pamamagitan ng pagsangguni sa artikulo parametric equation ng isang linya sa espasyo. Ipinapakita nito ang derivation ng mga parametric equation ng isang linya sa espasyo, sinusuri ang mga espesyal na kaso ng parametric equation ng isang linya sa espasyo, nagbibigay ng mga graphic na ilustrasyon, nagbibigay ng mga detalyadong solusyon sa mga problemang katangian, at nagpapahiwatig ng koneksyon sa pagitan ng parametric equation ng isang linya at iba pang uri ng mga equation ng isang linya.

Canonical equation ng isang tuwid na linya sa espasyo.

Ang pagkakaroon ng pagresolba sa bawat isa sa mga parametric straight line equation ng form patungkol sa parameter, madali itong puntahan canonical equation ng isang tuwid na linya sa espasyo mabait .

Ang mga canonical equation ng isang linya sa espasyo ay tumutukoy sa isang linya na dumadaan sa isang punto , at ang vector ng direksyon ng tuwid na linya ay ang vector . Halimbawa, ang mga equation ng isang tuwid na linya sa canonical form tumutugma sa isang linya na dumadaan sa isang punto sa espasyo na may mga coordinate, ang vector ng direksyon ng linyang ito ay may mga coordinate.

Dapat pansinin na ang isa o dalawa sa mga numero sa mga canonical equation ng isang linya ay maaaring katumbas ng zero (lahat ng tatlong numero ay hindi maaaring katumbas ng zero sa parehong oras, dahil ang direksyon ng vector ng isang linya ay hindi maaaring maging zero). Pagkatapos ay isang notasyon ng form ay itinuturing na pormal (dahil ang mga denominador ng isa o dalawang fraction ay magkakaroon ng mga zero) at dapat na maunawaan bilang , Saan.

Kung ang isa sa mga numero sa mga canonical equation ng isang linya ay katumbas ng zero, kung gayon ang linya ay nasa isa sa mga coordinate plane, o sa isang eroplanong parallel dito. Kung ang dalawa sa mga numero ay zero, kung gayon ang linya ay maaaring tumutugma sa isa sa mga coordinate axes o kahanay nito. Halimbawa, isang linya na tumutugma sa mga canonical equation ng isang linya sa espasyo ng form , nakahiga sa eroplano z=-2, na parallel sa coordinate plane Oxy, at ang coordinate axis Oy ay tinutukoy ng mga canonical equation.

Para sa mga graphic na paglalarawan ng mga kasong ito, ang derivation ng canonical equation ng isang linya sa kalawakan, ang mga detalyadong solusyon ng mga tipikal na halimbawa at problema, pati na rin ang paglipat mula sa canonical equation ng isang linya patungo sa iba pang equation ng isang linya sa espasyo, tingnan ang artikulo canonical equation ng isang linya sa espasyo.

Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya. Transition mula sa pangkalahatan hanggang sa canonical equation.

Ang posisyon ng eroplano sa kalawakan ay ganap na matutukoy kung tutukuyin natin ang distansya nito mula sa pinanggalingan O, ibig sabihin, ang haba ng patayo na OT na iginuhit mula sa punto O hanggang sa eroplano, at ang unit vector n° patayo sa eroplano at nakadirekta mula sa ang pinagmulan O sa eroplano (Larawan 110).

Kapag ang point M ay gumagalaw sa kahabaan ng isang eroplano, ang radius vector nito ay nagbabago upang ito ay palaging nakatali sa ilang kundisyon. Tingnan natin kung ano ang kondisyong ito. Malinaw, para sa anumang punto na nakahiga sa eroplano, mayroon kaming:

Ang kundisyong ito ay humahawak lamang para sa mga punto sa eroplano; ito ay nilabag kung ang punto M ay nasa labas ng eroplano. Kaya, ang pagkakapantay-pantay (1) ay nagpapahayag ng isang pag-aari na karaniwan sa lahat ng mga punto ng eroplano at sa kanila lamang. Ayon sa § 7 ch. 11 mayroon kaming:

at, samakatuwid, ang equation (1) ay maaaring muling isulat bilang:

Ang equation (G) ay nagpapahayag ng kondisyon kung saan ang punto ) ay nasa isang partikular na eroplano, at tinatawag na normal na equation ng eroplanong ito. Ang radius vector ng isang arbitrary point M ng eroplano ay tinatawag na kasalukuyang radius vector.

Ang equation (1) ng eroplano ay nakasulat sa vector form. Ang paglipat sa mga coordinate at paglalagay ng pinagmulan ng mga coordinate sa pinagmulan ng mga vectors - point O, tandaan namin na ang mga projection ng unit vector sa mga coordinate axes ay ang mga cosine ng mga anggulo na ginawa ng mga axes na may ganitong vector, at ang projection ng radius vector ng point M

nagsisilbing mga coordinate ng punto, ibig sabihin, mayroon kaming:

Ang equation (G) ay nagiging coordinate:

Kapag isinalin ang vector equation (G) ng eroplano sa coordinate equation (2), ginamit namin ang formula (15) § 9 Ch. 11, na nagpapahayag ng scalar na produkto sa pamamagitan ng mga projection ng mga vector. Ang equation (2) ay nagpapahayag ng kondisyon kung saan ang puntong M(x, y, z) ay nasa isang partikular na eroplano, at tinatawag na normal na equation ng eroplanong ito sa coordinate form. Ang resultang equation (2) ay nasa unang degree na may kaugnayan sa , ibig sabihin, anumang eroplano ay maaaring katawanin ng isang equation ng unang degree na may kaugnayan sa kasalukuyang mga coordinate.

Tandaan na ang mga nagmula na equation (1") at (2) ay nananatiling wasto kahit na kapag , ibig sabihin, ang ibinigay na eroplano ay dumaan sa pinanggalingan ng mga coordinate. Sa kasong ito, maaari tayong kumuha ng alinman sa dalawang unit vector na patayo sa eroplano at naiiba ng isa mula sa ibang direksyon.

Magkomento. Ang normal na plane equation (2) ay maaaring makuha nang hindi gumagamit ng vector method.

Sumakay tayo ng isang arbitrary na eroplano at gumuhit ng linya I sa pamamagitan ng pinagmulan ng mga coordinate na patayo dito. Itakda sa linyang ito ang isang positibong direksyon mula sa pinanggalingan ng mga coordinate patungo sa eroplano (kung ang napiling eroplano ay dumaan sa pinagmulan ng mga coordinate, pagkatapos ay anumang direksyon sa maaaring kunin ang linya).

Ang posisyon ng eroplanong ito sa espasyo ay ganap na tinutukoy ng distansya nito mula sa pinagmulan ng mga coordinate, ibig sabihin, ang haba ng segment ng l axis mula sa pinagmulan ng mga coordinate hanggang sa punto ng intersection nito sa eroplano (sa Fig. 111 - segment) at ang mga anggulo sa pagitan ng axis at ng coordinate axes. Kapag ang isang punto ay gumagalaw sa kahabaan ng isang eroplano na may mga coordinate, ang mga coordinate nito ay nagbabago upang sila ay palaging nakatali sa ilang kundisyon. Tingnan natin kung ano ang kondisyong ito.

Buuin natin ito sa Fig. 111 coordinate sirang linya OPSM ng isang arbitrary point M ng eroplano. Kunin natin ang projection ng putol na linyang ito sa l axis. Napansin na ang projection ng isang putol na linya ay katumbas ng projection ng pagsasara ng segment nito (Kabanata I, § 3), mayroon kami.

Upang makuha ang pangkalahatang equation ng isang eroplano, suriin natin ang eroplano na dumadaan sa isang naibigay na punto.

Magkaroon ng tatlong coordinate axes na alam na natin sa kalawakan - baka, Oy At Oz. Hawakan ang sheet ng papel upang ito ay manatiling patag. Ang eroplano ang magiging sheet mismo at ang pagpapatuloy nito sa lahat ng direksyon.

Hayaan P arbitrary na eroplano sa kalawakan. Ang bawat vector na patayo dito ay tinatawag normal na vector sa eroplanong ito. Naturally, pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang non-zero vector.

Kung ang anumang punto sa eroplano ay kilala P at ilang normal na vector dito, pagkatapos ay sa pamamagitan ng dalawang kondisyong ito ang eroplano sa kalawakan ay ganap na tinukoy(sa pamamagitan ng isang naibigay na punto maaari kang gumuhit ng isang solong eroplano na patayo sa ibinigay na vector). Ang pangkalahatang equation ng eroplano ay magiging:

Kaya, ang mga kondisyon na tumutukoy sa equation ng eroplano ay. Upang makuha ang iyong sarili equation ng eroplano, pagkakaroon ng form sa itaas, sumakay sa eroplano P arbitraryo punto M na may mga variable na coordinate x, y, z. Ang puntong ito ay kabilang sa eroplano kung vector patayo sa vector(Larawan 1). Para dito, ayon sa kondisyon ng perpendicularity ng mga vectors, kinakailangan at sapat na ang scalar product ng mga vectors na ito ay katumbas ng zero, iyon ay.

Ang vector ay tinukoy sa pamamagitan ng kundisyon. Nahanap namin ang mga coordinate ng vector gamit ang formula :

.

Ngayon, gamit ang scalar product ng vectors formula , ipinapahayag namin ang scalar product sa coordinate form:

Since the point M(x; y; z) ay pinili nang arbitraryo sa eroplano, pagkatapos ang huling equation ay nasiyahan sa pamamagitan ng mga coordinate ng anumang punto na nakahiga sa eroplano P. Para sa isang punto N, hindi nakahiga sa isang ibinigay na eroplano, i.e. ang pagkakapantay-pantay (1) ay nilabag.

Halimbawa 1. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa isang punto at patayo sa vector.

Solusyon. Gamitin natin ang formula (1) at tingnan itong muli:

Sa formula na ito ang mga numero A , B At C mga coordinate ng vector, at mga numero x0 , y0 At z0 - mga coordinate ng punto.

Ang mga kalkulasyon ay napaka-simple: pinapalitan namin ang mga numerong ito sa formula at makuha

Pina-multiply namin ang lahat ng kailangang paramihin at idagdag lamang ang mga numero (na walang mga titik). Resulta:

.

Ang kinakailangang equation ng eroplano sa halimbawang ito ay lumabas na ipinahayag ng isang pangkalahatang equation ng unang degree na may paggalang sa mga variable na coordinate x, y, z di-makatwirang punto ng eroplano.

Kaya, isang equation ng form

tinawag pangkalahatang equation ng eroplano .

Halimbawa 2. Bumuo sa isang hugis-parihaba na Cartesian coordinate system ng isang eroplano na ibinigay ng equation .

Solusyon. Upang makagawa ng isang eroplano, kinakailangan at sapat na malaman ang alinman sa tatlo sa mga punto nito na hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya, halimbawa, ang mga punto ng intersection ng eroplano na may mga coordinate axes.

Paano mahahanap ang mga puntong ito? Upang mahanap ang punto ng intersection sa axis Oz, kailangan mong palitan ang mga zero para sa X at Y sa equation na ibinigay sa pahayag ng problema: x = y= 0 . Samakatuwid nakukuha namin z= 6. Kaya, ang ibinigay na eroplano ay nag-intersect sa axis Oz sa punto A(0; 0; 6) .

Sa parehong paraan nakita namin ang punto ng intersection ng eroplano na may axis Oy. Sa x = z= 0 ang nakukuha natin y= −3, iyon ay, ang punto B(0; −3; 0) .

At sa wakas, nakita namin ang punto ng intersection ng aming eroplano sa axis baka. Sa y = z= 0 ang nakukuha natin x= 2, iyon ay, isang punto C(2; 0; 0). Batay sa tatlong puntos na nakuha sa aming solusyon A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) at C(2; 0; 0) gawin ang ibinigay na eroplano.

Isaalang-alang natin ngayon mga espesyal na kaso ng pangkalahatang equation ng eroplano. Ito ay mga kaso kapag ang ilang mga coefficient ng equation (2) ay naging zero.

1. Kailan D= 0 equation tumutukoy sa isang eroplanong dumadaan sa pinanggalingan, dahil ang mga coordinate ng punto 0 (0; 0; 0) matugunan ang equation na ito.

2. Kailan A= 0 equation tumutukoy sa isang eroplanong parallel sa axis baka, dahil ang normal na vector ng eroplanong ito ay patayo sa axis baka(ang projection nito sa axis baka katumbas ng zero). Katulad nito, kapag B= 0 eroplano parallel sa axis Oy, At kailan C= 0 eroplano parallel sa axis Oz.

3. Kailan A=D= Ang 0 equation ay tumutukoy sa isang eroplanong dumadaan sa axis baka, dahil ito ay parallel sa axis baka (A=D= 0). Katulad nito, ang eroplano ay dumadaan sa axis Oy, at ang eroplano sa pamamagitan ng axis Oz.

4. Kailan A=B= Ang 0 equation ay tumutukoy sa isang eroplanong parallel sa coordinate plane xOy, dahil ito ay parallel sa mga axes baka (A= 0) at Oy (B= 0). Katulad nito, ang eroplano ay parallel sa eroplano yOz, at ang eroplano ay ang eroplano xOz.

5. Kailan A=B=D= 0 equation (o z = 0) ay tumutukoy sa coordinate plane xOy, dahil ito ay parallel sa eroplano xOy (A=B= 0) at dumadaan sa pinanggalingan ( D= 0). Gayundin, Eq. y= 0 sa espasyo ay tumutukoy sa coordinate plane xOz, at ang equation x = 0 - coordinate plane yOz.

Halimbawa 3. Lumikha ng isang equation ng eroplano P, na dumadaan sa axis Oy at panahon.

Solusyon. Kaya ang eroplano ay dumadaan sa axis Oy. Samakatuwid, sa kanyang equation y= 0 at ang equation na ito ay may anyo . Upang matukoy ang mga coefficient A At C samantalahin natin ang katotohanan na ang punto ay kabilang sa eroplano P .

Samakatuwid, kabilang sa mga coordinate nito ay mayroong mga maaaring ipalit sa equation ng eroplano na nakuha na natin (). Tingnan natin muli ang mga coordinate ng punto:

M0 (2; −4; 3) .

Sa kanila x = 2 , z= 3 . Pinapalitan namin ang mga ito sa pangkalahatang equation at makuha ang equation para sa aming partikular na kaso:

2A + 3C = 0 .

Umalis 2 A sa kaliwang bahagi ng equation, ilipat 3 C sa kanang bahagi at makuha namin

A = −1,5C .

Pagpapalit sa nahanap na halaga A sa equation, nakukuha namin

o .

Ito ang equation na kinakailangan sa halimbawang kondisyon.

Lutasin ang problema ng plane equation sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon

Halimbawa 4. Tukuyin ang isang eroplano (o mga eroplano, kung higit sa isa) na may kinalaman sa mga coordinate axes o coordinate planes kung ang (mga) eroplano ay ibinigay ng equation.

Ang mga solusyon sa mga karaniwang problema na nangyayari sa panahon ng mga pagsusulit ay nasa aklat-aralin na "Mga problema sa isang eroplano: parallelism, perpendicularity, intersection ng tatlong eroplano sa isang punto."

Equation ng isang eroplano na dumadaan sa tatlong puntos

Tulad ng nabanggit na, ang isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paggawa ng isang eroplano, bilang karagdagan sa isang punto at ang normal na vector, ay tatlong puntos din na hindi nakahiga sa parehong linya.

Hayaang ibigay ang tatlong magkakaibang puntos , at , hindi nakahiga sa parehong linya. Dahil ang ipinahiwatig na tatlong puntos ay hindi namamalagi sa parehong linya, ang mga vector ay hindi collinear, at samakatuwid ang anumang punto sa eroplano ay namamalagi sa parehong eroplano na may mga puntos, at kung at kung ang mga vectors lamang , at coplanar, i.e. noon at kailan lang pinaghalong produkto ng mga vector na ito katumbas ng zero.

Gamit ang expression para sa pinaghalong produkto sa mga coordinate, nakuha namin ang equation ng eroplano

(3)

Pagkatapos ibunyag ang determinant, ang equation na ito ay nagiging equation ng form (2), i.e. pangkalahatang equation ng eroplano.

Halimbawa 5. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplano na dumadaan sa tatlong ibinigay na mga punto na hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya:

at tukuyin ang isang espesyal na kaso ng pangkalahatang equation ng isang linya, kung mangyari ang isa.

Solusyon. Ayon sa formula (3) mayroon tayong:

Normal na equation ng eroplano. Distansya mula sa punto hanggang sa eroplano

Ang normal na equation ng isang eroplano ay ang equation nito, na nakasulat sa anyo

Isaalang-alang natin ang eroplanong Q sa kalawakan. Ang posisyon nito ay ganap na tinutukoy sa pamamagitan ng pagtukoy sa vector N patayo sa eroplanong ito at ilang nakapirming punto na nakahiga sa eroplanong Q. Ang vector N na patayo sa Q plane ay tinatawag na normal na vector ng eroplanong ito. Kung ipahiwatig natin sa pamamagitan ng A, B at C ang mga projection ng normal na vector N, kung gayon

Kunin natin ang equation ng eroplanong Q na dumadaan sa isang naibigay na punto at pagkakaroon ng isang naibigay na normal na vector . Upang gawin ito, isaalang-alang ang isang vector na nagkokonekta sa isang punto na may isang arbitrary na punto sa Q plane (Larawan 81).

Para sa anumang posisyon ng point M sa plane Q, ang vector MHM ay patayo sa normal na vector N ng plane Q. Samakatuwid, ang scalar product Let us write the scalar product in terms of projections. Dahil ang , at ay isang vector, kung gayon

at samakatuwid

Ipinakita namin na ang mga coordinate ng anumang punto sa Q plane ay nakakatugon sa equation (4). Madaling makita na ang mga coordinate ng mga puntos na hindi nakahiga sa Q plane ay hindi nakakatugon sa equation na ito (sa huling kaso). Dahil dito, nakuha namin ang kinakailangang equation para sa eroplanong Q. Ang equation (4) ay tinatawag na equation ng eroplano na dumadaan sa isang ibinigay na punto. Ito ay nasa unang antas na may kaugnayan sa kasalukuyang mga coordinate

Kaya, ipinakita namin na ang bawat eroplano ay tumutugma sa isang equation ng unang degree na may paggalang sa kasalukuyang mga coordinate.

Halimbawa 1. Isulat ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang puntong patayo sa vector.

Solusyon. Dito . Batay sa formula (4) nakukuha natin

o, pagkatapos ng pagpapasimple,

Sa pamamagitan ng pagbibigay ng mga coefficient A, B at C ng equation (4) ng magkakaibang mga halaga, maaari nating makuha ang equation ng anumang eroplano na dumadaan sa punto. Ang hanay ng mga eroplano na dumadaan sa isang naibigay na punto ay tinatawag na isang bundle ng mga eroplano. Ang equation (4), kung saan ang mga coefficient A, B at C ay maaaring kumuha ng anumang mga halaga, ay tinatawag na equation ng isang bungkos ng mga eroplano.

Halimbawa 2. Gumawa ng equation para sa isang eroplanong dumadaan sa tatlong puntos (Larawan 82).

Solusyon. Isulat natin ang equation para sa isang grupo ng mga eroplano na dumadaan sa punto