Independent work "demonstrative function". Exponential function - mga katangian, graph, formula Isang independiyenteng exponential function ng mga katangian at graph nito

Aralin #2

Paksa: Isang exponential function, mga katangian at graph nito.

Target: Suriin ang kalidad ng asimilasyon ng konsepto ng "exponential function"; upang bumuo ng mga kasanayan sa pagkilala sa isang exponential function, sa paggamit ng mga katangian at graph nito, upang turuan ang mga mag-aaral na gamitin ang analytical at graphic na mga anyo ng pagtatala ng exponential function; magbigay ng isang kapaligiran sa pagtatrabaho sa silid-aralan.

Kagamitan: board, mga poster

Anyo ng Aralin: silid-aralan

Uri ng aralin: praktikal na aralin

Uri ng aralin: aralin sa pagsasanay sa kasanayan

Lesson Plan

1. Pansamahang sandali

2. Malayang gawain at pagsuri ng takdang-aralin

3. Paglutas ng problema

4. Pagbubuod

5. Takdang-Aralin

Sa panahon ng mga klase.

1. Pansamahang sandali :

Kamusta. Buksan ang mga notebook, isulat ang petsa ngayon at ang paksa ng aralin na "Exponential function". Ngayon ay patuloy nating pag-aaralan ang exponential function, mga katangian nito at graph.

2. Malayang gawain at pagsuri ng takdang-aralin .

Target: suriin ang kalidad ng asimilasyon ng konsepto ng "exponential function" at suriin ang katuparan ng teoretikal na bahagi ng araling-bahay

Paraan: pagsubok na gawain, pangharap na survey

Bilang takdang-aralin, binigyan ka ng mga numero mula sa libro ng problema at isang talata mula sa aklat-aralin. Hindi namin susuriin ang pagpapatupad ng mga numero mula sa aklat-aralin ngayon, ngunit ibibigay mo ang iyong mga kuwaderno sa pagtatapos ng aralin. Ngayon ang teorya ay susubukan sa anyo ng isang maliit na pagsubok. Ang gawain ay pareho para sa lahat: bibigyan ka ng isang listahan ng mga function, dapat mong malaman kung alin sa mga ito ang nagpapahiwatig (salungguhitan ang mga ito). At sa tabi ng exponential function, kailangan mong isulat kung ito ay tumataas o bumababa.

Ngayon sabay nating tandaan kung anong function ang tinatawag na exponential?

Ang isang function ng form , kung saan at , ay tinatawag na exponential function.

Ano ang saklaw ng pagpapaandar na ito?

Lahat ng totoong numero.

Ano ang saklaw ng exponential function?

Lahat ng positibong tunay na numero.

Bumababa kung ang base ay mas malaki sa zero ngunit mas mababa sa isa.

Kailan bumababa ang exponential function sa domain nito?

Tumataas kung ang base ay mas malaki kaysa sa isa.

3. Paglutas ng problema

Target: upang bumuo ng mga kasanayan sa pagkilala sa isang exponential function, sa paggamit ng mga katangian at graph nito, upang turuan ang mga mag-aaral na gamitin ang analytical at graphical na mga anyo ng pagtatala ng exponential function

Pamamaraan: pagpapakita ng guro ng paglutas ng mga tipikal na problema, oral work, trabaho sa pisara, trabaho sa isang kuwaderno, pakikipag-usap ng guro sa mga mag-aaral.

Ang mga katangian ng exponential function ay maaaring gamitin kapag naghahambing ng 2 o higit pang mga numero. Halimbawa: Hindi. 000. Ihambing ang mga halaga at kung a) ..gif" width="37" height="20 src=">, kung gayon ito ay medyo nakakalito na trabaho: kailangan nating kunin ang cube root ng 3 at 9, at ihambing ang mga ito. Ngunit alam natin na tumataas ito, ito ay nasa sarili nitong pila ay nangangahulugan na kapag tumaas ang argumento, tumataas ang halaga ng function, iyon ay, sapat na para sa atin na ihambing ang mga halaga ng argumento sa isa't isa at, malinaw naman, na (maaaring ipakita sa isang poster na may pagtaas ng exponential function). At palaging kapag nilulutas ang mga ganitong halimbawa, tukuyin muna ang base ng exponential function, ihambing sa 1, tukuyin ang monotonicity at magpatuloy sa paghahambing ng mga argumento. Sa kaso ng isang bumababa na function: habang ang argument ay tumataas, ang halaga ng function ay bumababa, samakatuwid, ang inequality sign ay nababago kapag lumilipat mula sa hindi pagkakapantay-pantay ng mga argumento sa hindi pagkakapantay-pantay ng mga function. Pagkatapos ay malulutas namin nang pasalita: b)

-

AT)

-

G)

-

- Hindi. 000. Ihambing ang mga numero: a) at

Samakatuwid, ang pag-andar ay tumataas, kung gayon

Bakit ?

Pagtaas ng function at

Samakatuwid, ang pag-andar ay bumababa, kung gayon

Ang parehong mga function ay tumataas sa kanilang buong domain ng kahulugan, dahil ang mga ito ay exponential na may base na mas malaki kaysa sa isa.

Ano ang kahulugan nito?

Bumubuo kami ng mga tsart:

Aling function ang lumalaki nang mas mabilis kapag nagsusumikap https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Aling function ang mas mabilis na bumababa kapag nagsusumikap https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Sa pagitan, alin sa mga function ang may pinakamalaking halaga sa isang partikular na punto?

D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Una, alamin natin ang saklaw ng mga function na ito. Sila ba magkasabay?

Oo, ang domain ng mga function na ito ay lahat ng tunay na numero.

Pangalanan ang saklaw ng bawat isa sa mga function na ito.

Ang mga saklaw ng mga function na ito ay nag-tutugma: lahat ng positibong tunay na numero.

Tukuyin ang uri ng monotonicity ng bawat isa sa mga function.

Bumababa ang lahat ng tatlong function sa kanilang buong domain ng kahulugan, dahil exponential ang mga ito na may baseng mas mababa sa isa at mas malaki sa zero.

Ano ang singular na punto ng graph ng isang exponential function?

Ano ang kahulugan nito?

Anuman ang base ng antas ng isang exponential function, kung ang exponent ay 0, kung gayon ang value ng function na ito ay 1.

Bumubuo kami ng mga tsart:

Suriin natin ang mga tsart. Ilang intersection point mayroon ang mga function graph?

Aling function ang bumababa nang mas mabilis kapag nagsusumikap? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

Aling function ang lumalaki nang mas mabilis kapag nagsusumikap? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

Sa pagitan, alin sa mga function ang may pinakamalaking halaga sa isang partikular na punto?

Sa pagitan, alin sa mga function ang may pinakamalaking halaga sa isang partikular na punto?

Bakit ang mga exponential function na may iba't ibang base ay mayroon lamang isang punto ng intersection?

Ang mga exponential function ay mahigpit na monotoniko sa kanilang buong domain ng kahulugan, kaya maaari lamang silang mag-intersect sa isang punto.

Ang susunod na gawain ay tututuon sa paggamit ng property na ito. № 000. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang ibinigay na function sa isang ibinigay na pagitan a). Alalahanin na ang isang mahigpit na monotonikong function ay tumatagal ng pinakamababa at pinakamataas na halaga nito sa mga dulo ng isang naibigay na agwat. At kung tumataas ang function, ang pinakamalaking halaga nito ay nasa kanang dulo ng segment, at ang pinakamaliit sa kaliwang dulo ng segment (pagpapakita sa poster, gamit ang exponential function bilang isang halimbawa). Kung ang function ay bumababa, ang pinakamalaking halaga nito ay nasa kaliwang dulo ng segment, at ang pinakamaliit sa kanang dulo ng segment (pagpapakita sa poster, gamit ang exponential function bilang isang halimbawa). Tumataas ang function, dahil, samakatuwid, ang pinakamaliit na halaga ng function ay nasa puntong https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" >. Mga puntos b ) , sa) d) lutasin ang mga notebook sa iyong sarili, susuriin namin ito nang pasalita.

Lutasin ng mga mag-aaral ang problema sa kanilang kuwaderno

- № 000. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang ibinigay na function sa isang ibinigay na pagitan a) . Ang gawaing ito ay halos kapareho ng nauna. Ngunit dito ay hindi ibinigay ang isang segment, ngunit isang ray. Alam namin na tumataas ang function, at wala itong pinakamalaki o pinakamaliit na halaga sa buong linya ng numero https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">, at may posibilidad na sa , ibig sabihin, sa ray, ang function na sa ay 0, ngunit wala itong pinakamaliit na halaga, ngunit ito ang may pinakamalaking halaga sa punto . Mga puntos b) , sa) , G) Lutasin ang iyong sariling mga notebook, susuriin namin ito nang pasalita.

Ang data ng sanggunian sa exponential function ay ibinigay - mga pangunahing katangian, mga graph at mga formula. Ang mga sumusunod na isyu ay isinasaalang-alang: domain ng kahulugan, set ng mga halaga, monotonicity, inverse function, derivative, integral, pagpapalawak ng power series at representasyon sa pamamagitan ng mga kumplikadong numero.

Mga katangian ng exponential function

Ang exponential function na y = a x ay may mga sumusunod na katangian sa hanay ng mga tunay na numero () :
(1.1) ay tinukoy at tuloy-tuloy, para sa , para sa lahat;
(1.2) kapag ang isang ≠ 1 ay may maraming kahulugan;
(1.3) mahigpit na tumataas sa , mahigpit na bumababa sa ,
ay pare-pareho sa ;
(1.4) sa ;
sa ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Iba pang mga kapaki-pakinabang na formula
.
Ang formula para sa pag-convert sa isang exponential function na may ibang power base:

Para sa b = e , nakukuha natin ang pagpapahayag ng exponential function sa mga tuntunin ng exponent:

Mga pribadong halaga

, , , , .

Ipinapakita ng figure ang mga graph ng exponential function
y (x) = x
para sa apat na halaga mga batayan ng degree:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 at a = 1/8 . Ito ay makikita na para sa isang > 1 Ang exponential function ay monotonically tumataas. Kung mas malaki ang base ng degree a, mas malakas ang paglago. Sa 0 < a < 1 Ang exponential function ay monotonically bumababa. Kung mas maliit ang exponent a, mas malakas ang pagbaba.

Pataas pababa

Ang exponential function sa ay mahigpit na monotoniko, kaya wala itong extrema. Ang mga pangunahing katangian nito ay ipinakita sa talahanayan.

Baliktad na pag-andar

Ang reciprocal ng isang exponential function na may base ng degree a ay ang logarithm sa base a.

Kung , kung gayon
.
Kung , kung gayon
.

Differentiation ng exponential function

Upang pag-iba-ibahin ang isang exponential function, ang base nito ay dapat na bawasan sa bilang na e, ilapat ang talahanayan ng mga derivatives at ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function.

Upang gawin ito, kailangan mong gamitin ang pag-aari ng logarithms
at ang formula mula sa talahanayan ng mga derivatives:
.

Hayaang magbigay ng exponential function:
.
Dinala namin ito sa base e:

Inilapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong function. Upang gawin ito, ipinakilala namin ang isang variable

Pagkatapos

Mula sa talahanayan ng mga derivatives mayroon tayo (palitan ang variable x ng z ):
.
Dahil ay isang pare-pareho, ang derivative ng z na may paggalang sa x ay
.
Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function:
.

Derivative ng exponential function

.
Derivative ng ika-na order:
.
Pinagmulan ng mga formula > > >

Isang halimbawa ng pagkakaiba-iba ng exponential function

Hanapin ang derivative ng isang function
y= 35 x

Solusyon

Ipinapahayag namin ang base ng exponential function sa mga tuntunin ng numero e.
3 = e log 3
Pagkatapos
.
Ipinakilala namin ang isang variable
.
Pagkatapos

Mula sa talahanayan ng mga derivatives makikita natin:
.
Dahil ang 5ln 3 ay isang pare-pareho, kung gayon ang derivative ng z na may paggalang sa x ay:
.
Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong pag-andar, mayroon kaming:
.

Sagot

integral

Mga expression sa mga tuntunin ng kumplikadong mga numero

Isaalang-alang ang complex number function z:
f (z) = az
kung saan z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Ipinapahayag namin ang complex constant a sa mga tuntunin ng modulus r at ang argumento φ :
a = r e i φ
Pagkatapos


.
Ang argumento φ ay hindi natatanging tinukoy. Sa pangkalahatan
φ = φ 0 + 2 pn,
kung saan ang n ay isang integer. Samakatuwid, ang function na f (z) ay malabo rin. Kadalasang isinasaalang-alang ang pangunahing kahalagahan nito
.

Mga halimbawa:

Halimbawa Blg. 1. (Upang mahanap ang saklaw ng isang function). Anong mga halaga ng argumento ang wasto para sa mga pag-andar:

Halimbawa Blg. 2. (Upang mahanap ang hanay ng isang function). Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng isang function. Tukuyin ang saklaw at saklaw ng function:

Halimbawa Blg. 3. (Upang ipahiwatig ang mga pagitan ng paghahambing sa yunit). Ihambing ang bawat isa sa mga sumusunod na kapangyarihan sa isa:

Halimbawa Blg. 4. (Upang pag-aralan ang function para sa monotonicity). Ihambing sa magnitude ang mga tunay na numero m at n kung:

Halimbawa Blg. 5. (Upang pag-aralan ang function para sa monotonicity). Gumawa ng konklusyon tungkol sa base a kung:

y(x) = 10x; f(x) = 6x; z(x) - 4x

Paano nauugnay ang mga graph ng exponential function sa isa't isa para sa x > 0, x = 0, x< 0?

mesa. Konklusyon:

mesa. Konklusyon:

Sa isang coordinate plane, ang mga graph ng mga function ay naka-plot:

y(x) = (0,1)x; f(x) = (0.5)x; z(x) = (0.8)x.

Paano nauugnay ang mga graph ng exponential function sa isa't isa para sa x > 0, x = 0, x< 0?

Konklusyon

Sa gawaing kursong ito sa paksang "Exponential function" Isinaalang-alang ko ang konsepto nito, mga pangunahing katangian at mga graph.

Ang paksa ng exponential function, sa pangkalahatan, ay isa sa pinakamadalas na ginagamit sa mga kalkulasyon at paglutas ng iba't ibang problema.

Ang mga halimbawa at gawain ay ibinigay sa gawain, naiiba sa pagiging kumplikado at nilalaman.

Ang gawaing kurso, sa palagay ko, ay ginawa sa loob ng balangkas ng pamamaraan ng pagtuturo ng matematika at maaaring magamit bilang isang visual aid para sa mga full-time at part-time na mga mag-aaral.

Malayang gawain sa paksa"Exponential function". Ang malayang gawain ay naglalaman ng 2 opsyon para sa tatlong gawain bawat isa. Ang mga teksto sa sariling pag-aaral ay nahahati sa tatlong antas ng kahirapan. Ang bawat gawain ng variant ay tumutugma sa antas ng kahirapan nito. Ang isang independiyenteng gawain ay nilikha sa editor ng teksto ng Microsoft Word. Para sa kaginhawahan, ang mga tamang sagot ay ibinigay.

Tingnan ang nilalaman ng dokumento
"Malayang gawain "Exponential function""

Republika ng Belarus

Institusyong pang-edukasyon ng estado "Lyceum of Novopolotsk"

Malayang gawain sa matematika, section algebra

Paksa: exponential function

Inihanda ni: Konovalyonok

Olga,

mas mataas na guro sa matematika

Opsyon 1

1. Paghambingin:

1) at

2)
at

a) ang halaga ng a;

b) domain ng kahulugan;

Pagpipilian2

1. Paghambingin:

1) at

2)
at

2. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na ibinigay ng formula
sa set D. Tukuyin para dito:

a) ang halaga ng a;

b) domain ng kahulugan;

c) itakda (domain) ng mga halaga;

d) mga pagitan ng pagtaas (pagbaba);

e) mga coordinate ng mga punto ng intersection ng graph na may Oy axis;

f) halaga sa mga puntos na x1= -1 at x2= 1;

g) ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga.

3. Tukuyin ang natural na domain ng expression (а1):

Opsyon 1

1. 1) ; 2)

Malayang gawain sa paksa"Exponential function". Ang malayang gawain ay naglalaman ng 2 opsyon para sa tatlong gawain bawat isa. Ang mga teksto sa sariling pag-aaral ay nahahati sa tatlong antas ng kahirapan. Ang bawat gawain ng variant ay tumutugma sa antas ng kahirapan nito. Ang isang independiyenteng gawain ay nilikha sa editor ng teksto ng Microsoft Word. Para sa kaginhawahan, ang mga tamang sagot ay ibinigay.

Tingnan ang nilalaman ng dokumento
"Malayang gawain "Exponential function""

Republika ng Belarus

Institusyong pang-edukasyon ng estado "Lyceum of Novopolotsk"

Malayang gawain sa matematika, section algebra

Paksa: exponential function

Inihanda ni: Konovalyonok

Olga,

mas mataas na guro sa matematika

Opsyon 1

1. Paghambingin:

1) at

2)
at

a) ang halaga ng a;

b) domain ng kahulugan;

Pagpipilian2

1. Paghambingin:

1) at

2)
at

2. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na ibinigay ng formula
sa set D. Tukuyin para dito:

a) ang halaga ng a;

b) domain ng kahulugan;

c) itakda (domain) ng mga halaga;

d) mga pagitan ng pagtaas (pagbaba);

e) mga coordinate ng mga punto ng intersection ng graph na may Oy axis;

f) halaga sa mga puntos na x1= -1 at x2= 1;

g) ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga.

3. Tukuyin ang natural na domain ng expression (а1):

Opsyon 1

1. 1) ; 2)