2 ірраціональні рівняння. Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
Ірраціональними називаються рівняння, що містять невідому величину під знаком кореня. Такі, наприклад, рівняння
У багатьох випадках, застосовуючи одноразово або багаторазово зведення у ступінь обох частин рівняння, вдається звести ірраціональне рівняння до рівня алгебри того чи іншого ступеня (що є наслідком вихідного рівняння). Так як при зведенні рівняння в ступінь можуть з'явитися сторонні рішення, то, вирішивши рівняння алгебри, до якого ми привели дане ірраціональне рівняння, слід знайдені корені перевірити підстановкою в початкове рівняння і зберегти лише ті, які йому задовольняють, а інші - сторонні - відкинути.
При вирішенні ірраціональних рівнянь ми обмежуємося тільки його дійсним корінням; все коріння парного ступеня у записи рівнянь розуміються в арифметичному значенні.
Розглянемо деякі типові приклади ірраціональних рівнянь.
А. Порівняння, що містять невідому під знаком квадратного кореня. Якщо дане рівняння містить лише один квадратний корінь, під знаком якого є невідома, то слід цей корінь усамітнити, тобто помістити в одній частині рівняння, а всі інші члени перенести в іншу частину. Після зведення в квадрат обох частин рівняння ми вже звільнимось від ірраціональності і отримаємо рівняння алгебри для
Приклад 1. Розв'язати рівняння.
Рішення. Усамітнюємо корінь у лівій частині рівняння;
Зводимо отриману рівність у квадрат:
Знаходимо коріння цього рівняння:
Перевірка показує, що лише задовольняє вихідне рівняння.
Якщо рівняння входить два і більше кореня, що містять х, то зведення в квадрат доводиться повторювати кілька разів.
Приклад 2. Розв'язати такі рівняння:
Рішення, а) Зводимо обидві частини рівняння квадрат:
Усамітнюємо корінь:
Отримане рівняння знову зводимо у квадрат:
Після перетворень отримуємо наступне квадратне рівняння:
вирішуємо його:
Підстановкою у вихідне рівняння переконуємось у тому, що є його корінь, а для нього є стороннім коренем.
б) Приклад можна вирішити тим самим методом, яким було вирішено приклад а). Однак, скориставшись тим, що права частина цього рівняння не містить невідомої величини, вчинимо інакше. Помножимо рівняння на вираз, пов'язане з його лівою частиною; отримаємо
Праворуч стоїть добуток суми на різницю, тобто різницю квадратів. Звідси
У лівій частині цього рівняння стояла сума квадратних коренів; в лівій частині отриманого тепер рівняння стоїть різниця того ж коріння. Запишемо дане та отримане рівняння:
Взявши суму цих рівнянь, отримуємо
Зведемо в квадрат останнє рівняння і після спрощень отримаємо
Звідси знаходимо. Перевіркою переконуємося у цьому, що коренем даного рівняння є лише число . Приклад 3. Розв'язати рівняння
Тут уже під знаком радикала ми маємо квадратні тричлени.
Рішення. Помножуємо рівняння на вираз, пов'язане з його лівою частиною:
Віднімемо останнє рівняння з цього:
Зводимо це рівняння у квадрат:
З останнього рівняння знаходимо. Перевіркою переконуємося, що коренем цього рівняння є лише число х = 1.
Б. У рівняння, що містять коріння третього ступеня. Системи ірраціональних рівнянь. Обмежимося окремими прикладами таких рівнянь та систем.
Приклад 4. Розв'язати рівняння
Рішення. Покажемо два способи розв'язання рівняння (70.1). Перший метод. Зведемо обидві частини даного рівняння куб (див. формулу (20.8)):
(Тут ми замінили суму кубічних коренів числом 4, користуючись рівнянням).
Отже, маємо
тобто, після спрощень,
звідки Обидва корені задовольняють вихідне рівняння.
Другий спосіб. Покладемо
Рівняння (70.1) запишеться як . Крім того, видно, що . Від рівняння (70.1) ми перейшли до системи
Розділивши перше рівняння системи почленно на друге, знайдемо
Якщо рівняння змінна міститься під знаком квадратного кореня, то рівняння називають ірраціональним.
Розглянемо ірраціональне рівняння
Ця рівність, за визначенням квадратного кореня, означає, що 2х + 1 = З2. Фактично від заданого ірраціонального рівняння ми перейшли до раціонального рівняння 2х + 1 = 9, звівши квадрат обидві частини ірраціонального рівняння. Метод зведення у квадрат обох частин рівняння - основний метод розв'язання ірраціональних рівнянь. Втім, це зрозуміло: як інакше звільнитися від знака квадратного кореня? З рівняння 2х + 1 = 9 знаходимо х = 4.
Це і корінь рівняння 2х + 1 = 9, і заданого ірраціонального рівняння.
Метод зведення в квадрат технічно нескладний, але іноді призводить до неприємностей. Розглянемо, наприклад, ірраціональне рівняння
Звівши обидві його частини у квадрат, отримаємо
Далі маємо:
2x-4x = -7+5; -2x = -2; х = 1.
Але значення х – 1, будучи коренем раціонального рівняння 2x – 5 = 4x – 7, не є коренем заданого ірраціонального рівняння. Чому? Підставивши 1 замість х у задане ірраціональне рівняння, отримаємо 
. Як же можна говорити про виконання числової рівності, якщо і в лівій і правій його частині містяться вирази, що не мають сенсу? У таких випадках говорять: х = 1 — сторонній корінь для заданого ірраціонального рівняння. Виходить, що задане ірраціональне рівняння не має коріння.
Вирішимо ірраціональне рівняння
-
Коріння цього рівняння можна знайти усно, як ми це робили наприкінці попереднього параграфа: їхній добуток дорівнює - 38, а сума дорівнює - 17; неважко здогадатися, що це числа 2
і – 19. Отже, х 1 = 2, х 2 = – 19.
Підставивши значення 2 замість х у задане ірраціональне рівняння, отримаємо
Це не вірно.
Підставивши значення - 19 замість х у задане ірраціональне рівняння, отримаємо
Це також не так.
Який висновок? Обидва знайдені значення - стороннє коріння. Іншими словами, задане ірраціональне рівняння, як і попереднє, не має коріння.
Стороннє коріння - не нове для вас поняття, стороннє коріння вже зустрічалося при вирішенні раціональних рівнянь, виявити їх допомагає перевірка. Для ірраціональних рівнянь перевірка — обов'язковий етап вирішення рівняння, який допоможе виявити стороннє коріння, якщо воно є, і відкинути його (зазвичай говорять «відсіяти»).
Отже, ірраціональне рівняння вирішують шляхом зведення обох його частин у квадрат; вирішивши отримане в результаті раціональне рівняння, треба обов'язково зробити перевірку, відсіявши можливе стороннє коріння.
Використовуючи цей висновок, розглянемо кілька прикладів.
приклад 1.Вирішити рівняння
Рішення. Зведемо обидві частини рівняння (1) у квадрат:
Далі послідовно маємо
5х – 16 = х 2 – 4х + 4;
х 2 – 4х + 4 – 5х + 16 = 0;
х 2 - 9х + 20 = 0;
х 1 = 5, х 2 = 4.
Перевірка. Підставивши х = 5 до рівняння (1), отримаємо правильну рівність. Підставивши х = 4 до рівняння (1), отримаємо правильну рівність. Отже, обидва знайдені значення – корені рівняння (1).
Відповідь: 4; 5.
приклад 2.Вирішити рівняння 
(це рівняння зустрілося нам у § 22 і його рішення ми «відклали до кращих часів»). ірраціонального рівняння, отримаємо
2x2 + 8 * + 16 = (44 - 2х) 2 .
Далі маємо
2х 2 + 8х + 16 = 1936 - 176x + 4x 2;
- 2х 2 + 184x - 1920 = 0;
х 2 – 92x + 960 = 0;
х 1 = 80, х 2 = 12.
Перевірка. Підставивши х = 80 у задане ірраціональне рівняння, отримаємо
Це, очевидно, неправильна рівність, оскільки в його правій частині міститься негативне число, а в лівій — позитивне число. Значить, х = 80 - сторонній корінь для рівняння.
Підставивши х = 12 у задане ірраціональне рівняння, отримаємо
Т. е. . = 20, - правильна рівність. Отже, х = 12 – корінь даного рівняння.
Відповідь: 12.
Розділимо обидві частини останнього рівняння почленно на 2:
Перевірка. Підставивши значення x = 14 рівняння (2), отримаємо 
- Неправильна рівність, значить, x = 14 - сторонній корінь.
Підставивши значення x = -1 до рівняння (2), отримаємо 
- Правильна рівність. Тому x = - 1 - Корінь рівняння (2).
Відповідь: - 1.
приклад 4.Вирішити рівняння 
Рішення. Звичайно, можна вирішити це рівняння за тією самою схемою, яку ми застосовували у попередніх прикладах: переписати рівняння у вигляді
Звести обидві частини цього рівняння в квадрат, вирішити отримане раціональне рівняння та перевірити знайдене коріння підстановкою їх у
вихідне ірраціональне рівняння.
Але ми застосуємо більш витончений спосіб: введемо нову змінну у = . Тоді отримаємо 2у 2 + у - 3 = 0 – квадратне рівняння щодо змінної у. Знайдемо його коріння: у 1 = 1, у 2 = -. Таким чином, завдання звелося до вирішення двох
З першого рівняння знаходимо х = 1, друге рівняння не має коріння (ви ж пам'ятаєте, що набуває лише невід'ємних значень).
Відповідь: 1.
Завершимо цей параграф досить серйозною теоретичною розмовою. Справа в наступному. Ви вже нагромадили деякий досвід у вирішенні різних рівнянь: лінійних, квадратних, раціональних, ірраціональних. Ви знаєте, що при розв'язанні рівнянь виконують різні перетворення,
наприклад: член рівняння переносять з однієї частини рівняння до іншої з протилежним знаком; обидві частини рівняння множать або ділять на те саме відмінне від нуля число; звільняються від знаменника, тобто замінюють рівняння = 0 рівнянням р(х) = 0; обидві частини рівняння зводять у квадрат.
Звичайно, ви звернули увагу на те, що в результаті деяких перетворень могли з'явитися сторонні корені, а тому доводилося бути пильними: перевіряти все знайдене коріння. Ось ми й спробуємо зараз осмислити це з теоретичної точки зору.
Визначення. Два рівняння f(x) = g(x) і r(x) = s(х) називають рівносильними, якщо вони мають однакові корені (або, зокрема, якщо обидва рівняння не мають коренів).
Зазвичай під час вирішення рівняння намагаються замінити це рівняння простішим, але рівносильним йому. Таку заміну називають рівносильним перетворенням рівняння.
Рівносильними перетвореннями рівняння є такі перетворення:
1. Перенесення членів рівняння з однієї частини рівняння до іншої з протилежними знаками.
Наприклад, заміна рівняння 2х + 5 = 7х - 8 рівнянням 2х - 7х = - 8 - 5 є рівносильне перетворення рівняння. Це означає що
рівняння 2х + 5 = 7х -8 та 2х - 7х = -8 - 5 рівносильні.
2. Множення або розподіл обох частин рівняння на те саме відмінне від нуля число.
Наприклад, заміна рівняння 0,5x 2 - 0,3x = 2 рівнянням 5х2 - Зх = 20
(обидві частини рівняння помножили почленно на 10) є рівносильне перетворення рівняння.
Нерівносильними перетвореннями рівняння є такі перетворення:
1. Звільнення від знаменників, які містять змінні.
Наприклад, заміна рівняння рівнянням х 2 = 4 є нерівносильним перетворенням рівняння. Справа в тому, що рівняння х 2 = 4 має два корені: 2 і - 2, а заданому рівнянню значення х = 2 задовольняти не може (знаменник перетворюється на нуль). У таких випадках ми говорили так: х = 2 — сторонній корінь.
2. Зведення обох частин рівняння квадрат.
Приклади наводити не будемо, оскільки їх було чимало у цьому параграфі.
Якщо в процесі розв'язування рівняння застосовувалося одне із зазначених нерівносильних перетворень, то всі знайдені корені треба перевірити підстановкою у вихідне рівняння, оскільки серед них можуть виявитися сторонні корені.
Розв'язання ірраціональних рівнянь.
У цій статті ми поговоримо про способи вирішення найпростіших ірраціональних рівнянь.
Ірраціональним рівняннямназивається рівняння, що містить невідоме під знаком кореня.
Давайте розглянемо два види ірраціональних рівняньякі дуже схожі на перший погляд, але по суті сильно один від одного відрізняються.
(1)
(2)
У першому рівнянні ми бачимо, що невідоме стоїть під знаком кореня третього ступеня. Ми можемо витягувати корінь непарного ступеня з негативного числа, тому у цьому рівнянні немає жодних обмежень ні на вираз, що стоїть під знаком кореня, ні на вираз, що стоїть у правій частині рівняння. Ми можемо звести обидві частини рівняння на третій ступінь, щоб позбутися кореня. Отримаємо рівносильне рівняння:
При зведенні правої та лівої частини рівняння на непарний ступінь ми можемо не побоюватися отримати сторонні корені.
Приклад 1. Розв'яжемо рівняння 
Зведемо обидві частини рівняння на третій ступінь. Отримаємо рівносильне рівняння:
Перенесемо всі доданки в один бік і винесемо за дужки х:
Прирівняємо кожен множник до нуля, отримаємо:
Відповідь: (0; 1; 2)
Подивимося уважно на друге рівняння: . У лівій частині рівняння стоїть квадратний корінь, який набуває лише невід'ємних значень. Тому, щоб рівняння мало рішення, права частина теж має бути невід'ємною. Тому на праву частину рівняння накладається умова:
Title="(!LANG:g(x)>=0"> - это !} умова існування коріння.
Щоб вирішити рівняння такого виду, потрібно обидві частини рівняння звести у квадрат:
(3)
Зведення в квадрат може призвести до появи сторонніх коренів, тому нам потрібно рівняння:
Title="(!LANG:f(x)>=0"> (4)!}
Однак, нерівність (4) випливає з умови (3): якщо у правій частині рівності стоїть квадрат якогось виразу, а квадрат будь-якого виразу може набувати лише невід'ємних значень, отже ліва частина теж має бути невід'ємною. Тому умова (4) автоматично випливає з умови (3) і наше рівняння рівносильно системі:
Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}
Приклад 2 .Розв'яжемо рівняння:
.
Перейдемо до рівносильної системи:
Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}
Вирішимо перше рівняння системи і перевіримо, яке коріння задовольняє нерівності.
Нерівності title="(!LANG:1-x>=0">удовлетворяет только корень !}
Відповідь: x=1
Увага!Якщо ми в процесі рішення зводимо обидві частини рівняння в квадрат, то слід пам'ятати, що можуть виникнути сторонні корені. Тому або потрібно переходити до рівносильної системи, або наприкінці рішення ЗРОБИТИ ПЕРЕВІРКУ: знайти коріння і підставити їх у вихідне рівняння.
Приклад 3. Розв'яжемо рівняння:
Щоб вирішити це рівняння, нам також потрібно звести обидві частини квадрата. Давайте в цьому рівнянні не морочимось з ОДЗ і умовою існування коріння, а просто наприкінці рішення зробимо перевірку.
Зробимо обидві частини рівняння в квадрат:
Перенесемо доданок, що містить корінь вліво, а всі інші доданки вправо:
Ще раз зведемо обидві частини рівняння у квадрат:
По теремі Вієта:
Зробимо перевірку. Для цього підставимо знайдене коріння у вихідне рівняння. Вочевидь, що з права частина вихідного рівняння негативна, а ліва позитивна.
При отримуємо правильну рівність.
Рівняння, у яких під знаком кореня міститься змінна, називають ірраціональними.
Методи вирішення ірраціональних рівнянь, як правило, засновані на можливості заміни (за допомогою деяких перетворень) ірраціонального рівняння раціональним рівнянням, яке або еквівалентне вихідному ірраціональному рівнянню, або є його наслідком. Найчастіше обидві частини рівняння зводять в один і той самий ступінь. У цьому виходить рівняння, що є наслідком вихідного.
При вирішенні ірраціональних рівнянь необхідно враховувати таке:
1) якщо показник кореня - парне число, то підкорене вираз має бути негативним; при цьому значення кореня також є невід'ємним (визначення кореня з парним показником ступеня);
2) якщо показник кореня - непарне число, то підкорене вираз може бути будь-яким дійсним числом; у цьому випадку знак кореня збігається зі знаком підкореного виразу.
приклад 1.Вирішити рівняння
Зведемо обидві частини рівняння квадрат.
x 2 – 3 = 1;
Перенесемо -3 з лівої частини рівняння в праву і виконаємо приведення подібних доданків.
x 2 = 4;
Отримане неповне квадратне рівняння має два корені -2 та 2.
Зробимо перевірку отриманого коріння, для цього зробимо підстановку значень змінної x у вихідне рівняння.
Перевірка.
При x 1 = -2 - Істинно:
При x 2 = -2 істинно.
Звідси випливає, що вихідне ірраціональне рівняння має два корені -2 та 2.
приклад 2.Вирішити рівняння 
.
Це рівняння можна вирішити за такою ж методикою, як і в першому прикладі, але ми зробимо інакше.
Знайдемо ОДЗ цього рівняння. З визначення квадратного кореня слід, що у даному рівнянні одночасно мають виконуватися дві умови:
ОДЗ цього поранення: x.
Відповідь: коріння немає.
приклад 3.Вирішити рівняння 
=+ 2.
Знаходження ОДЗ у цьому рівнянні є досить важким завданням. Зведемо обидві частини рівняння квадрат:
x 3 + 4x - 1 - 8 = x 3 - 1 + 4 + 4x;
=0;
x 1 = 1; х 2 =0.
Провівши перевірку встановлюємо, що x 2 = 0 зайвий корінь.
Відповідь: х 1 =1.
приклад 4.Розв'язати рівняння x =.
У цьому прикладі ОДЗ легко знайти. ОДЗ цього рівняння: x[-1;).
Зведемо обидві частини цього рівняння квадрат, в результаті отримаємо рівняння x 2 = x + 1. Коріння цього рівняння:
Здійснити перевірку знайденого коріння важко. Але, незважаючи на те, що обидва корені належать ОДЗ стверджувати, що обидва корені є корінням вихідного рівняння не можна. Це спричинить помилку. В даному випадку ірраціональне рівняння рівносильне сукупності двох нерівностей та одного рівняння:
x + 10 і x0 і x 2 = x + 1, з якої випливає, що негативний корінь для ірраціонального рівняння є стороннім і його слід відкинути.
Приклад 5 .Розв'язати рівняння+= 7.
Зведемо обидві частини рівняння квадрат і виконаємо приведення подібних членів, переніс доданків з однієї частини рівності в іншу і множення обох частин на 0,5. В результаті ми отримаємо рівняння
= 12, (*) є наслідком вихідного. Знову зведемо обидві частини рівняння квадрат. Отримаємо рівняння (х + 5) (20 - х) = 144, що є наслідком вихідного. Отримане рівняння наводиться до виду x 2 – 15x + 44 =0.
Це рівняння (що є наслідком вихідного) має коріння x 1 = 4, х 2 = 11. Обидва корені, як показує перевірка, задовольняють вихідного рівняння.
Відп. х 1 = 4, х 2 = 11.
Зауваження. При зведенні рівнянь у квадрат учні нерідко в рівняннях типу (*) виробляють перемноження підкорених виразів, тобто замість рівняння = 12, пишуть рівняння 
= 12. Не призводить до помилок, оскільки рівняння є наслідками рівнянь. Слід, проте, пам'ятати, що у випадку таке перемноження підкорених виразів дає нерівносильні рівняння.
У розглянутих вище прикладах можна було спочатку перенести один із радикалів у праву частину рівняння. Тоді в лівій частині рівняння залишиться один радикал і після зведення обох частин рівняння квадрат в лівій частині рівняння вийде раціональна функція. Такий прийом (усамітнення радикала) досить часто застосовується під час вирішення ірраціональних рівнянь.
Приклад 6. Вирішити рівняння-=3.
Усамітнивши перший радикал, отримуємо рівняння
=+ 3, рівносильне вихідному.
Зводячи обидві частини цього рівняння квадрат, отримуємо рівняння
x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, рівносильне рівнянню
4x – 5 = 3(*). Це рівняння є наслідком вихідного рівняння. Зводячи обидві частини рівняння квадрат, приходимо до рівняння
16x 2 - 40x + 25 = 9(x 2 - Зх + 3), або
7x 2 – 13x – 2 = 0.
Це рівняння є наслідком рівняння (*) (отже, і вихідного рівняння) і має коріння. Перший корінь x 1 = 2 задовольняє вихідного рівняння, а другий x 2 = - не задовольняє.
Відповідь: x = 2.
Зауважимо, що якби ми одразу, не усамітнивши один із радикалів, зводили обидві частини вихідного рівняння у квадрат нам довелося б виконати досить громіздкі перетворення.
При розв'язанні ірраціональних рівнянь, крім усамітнення радикалів, використовують і інші методи. Розглянемо приклад використання методу заміни невідомого (метод запровадження допоміжної змінної).
