3 вектори перпендикулярні якщо. Знаходження вектора, перпендикулярного даному вектору, приклади та рішення

Інструкція

Якщо вихідний вектор зображений на кресленні у прямокутній двовимірній системі координат і перпендикулярний йому потрібно побудувати там, виходьте з визначення перпендикулярності векторів на площині. Воно говорить, що кут між такою парою спрямованих відрізків повинен дорівнювати 90°. Таких векторів можна побудувати нескінченне. Тому накресліть у будь-якому зручному місці площини перпендикуляр до вихідного вектора, відкладіть на ньому відрізок, рівний довжині заданої впорядкованої пари точок і призначте один з кінців початком перпендикулярного вектора. Зробіть це за допомогою транспортира та лінійки.

Якщо ж вихідний вектор заданий двовимірними координатами ? Це означає, що вам потрібно підібрати для шуканого вектора ō = (X₂,Y₂) такі координати, при яких виконуватиметься рівність (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0. Це можна зробити так: виберіть будь-яке ненульове значення для координати X₂, а координату Y₂ розрахуйте за формулою Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Наприклад, для вектора ? = (15; 5) буде вектор?, з абсцисою, що дорівнює одиниці, і ординатою, що дорівнює -(15 * 1) / 5 = -3, тобто. ? = (1; -3).

Для тривимірної та будь-якої іншої ортогональної системи координат вірна та сама необхідна і достатня умова перпендикулярності векторів - їх скалярне твір має дорівнювати нулю. Тому, якщо вихідний спрямований відрізок заданий координатами ? + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Найпростіше привласнити X₂ і Y₂ одиничні значення, а Z₂ розрахувати з рівності, що спростилася Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁*1)/Z₁ = -(X₁+Y Z₁. Наприклад, для вектора ā = (3,5,4) ця набуде такого вигляду: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Тоді абсцису та ординату перпендикулярного вектора прийміть за одиницю, а в цьому випадку дорівнюватиме -(3+5)/4 = -2.

Джерела:

• знайти вектор якщо він перпендикулярний

Перпендикулярними називаються вектора, Кут між якими становить 90º. Перпендикулярні вектори будуються за допомогою креслярських інструментів. Якщо відомі їх координати, перевірити чи знайти перпендикулярність векторів можна аналітичними методами.

Вам знадобиться

• - транспортир;
• - циркуль;
• - Лінійка.

Інструкція

Побудуйте вектор перпендикулярний даному. Для цього в точці, яка початком вектора, відновіть перпендикуляр. Це можна з допомогою транспортира, відклавши кут 90º. Якщо транспортир немає, зробіть це циркулем.

Встановіть його у точку початку вектора. Проведіть коло довільним радіусом. Потім побудуйте дві з центрами в точках, де перше коло перетнуло пряму, на якій лежить вектор. Радіуси цих кіл повинні бути рівні між собою і більше першого побудованого кола. На точках перетину кіл побудуйте пряму, яка буде перпендикулярна вихідному вектору в точці його початку, і відкладіть на ній вектор, перпендикулярний даному.

Ця стаття розкриває зміст перпендикулярності двох векторів на площині у тривимірному просторі та знаходження координат вектора, перпендикулярному одному або цілій парі векторів. Тема застосовна для завдань, пов'язаних із рівняннями прямих та площин.

Ми розглянемо необхідну і достатню умову перпендикулярності двох векторів, вирішимо за методом знаходження вектора, перпендикулярному заданому, торкнемося ситуації з відшукання вектора, який перпендикулярний двом векторам.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Необхідна та достатня умова перпендикулярності двох векторів

Застосуємо правило про перпендикулярні вектори на площині і в тривимірному просторі.

Визначення 1

За умови значення кута між двома ненульовими векторами рівним 90° (π 2 радіан) називають перпендикулярними.

Що це означає, і в яких ситуаціях необхідно знати про їхню перпендикулярність?

Встановлення перпендикулярності можливе через креслення. При відкладенні вектора на площині заданих точок можна геометрично виміряти кут між ними. Перпендикулярність векторів і буде встановлена, то не зовсім точно. Найчастіше ці завдання не дозволяють робити це за допомогою транспортира, тому даний метод застосовується тільки у випадку, коли нічого більше про вектори невідомо.

Більшість випадків доказу перпендикулярності двох ненульових векторів на площині або у просторі провадиться за допомогою необхідної та достатньої умови перпендикулярності двох векторів.

Теорема 1

Скалярне добуток двох ненульових векторів a → і b → рівному нулю до виконання рівності a → , b → = 0 досить їх перпендикулярності.

Доказ 1

Нехай задані вектори a → і b → перпендикулярні, виконаємо доказ рівності a ⇀ , b → = 0 .

З визначення про скалярний добуток векторівми знаємо, що воно дорівнює добутку довжин заданих векторів на косинус кута між ними. За умовою a → і b → перпендикулярні, отже, виходячи з визначення, кут між ними 90 ° . Тоді маємо a → , b → = a → b → cos (a → b → ^) = a → b → cos 90 ° = 0 .

Друга частина доказу

За умови, коли a ⇀ , b → = 0 довести перпендикулярність a → та b → .

По суті, доказ є зворотним попередньому. Відомо, що a → та b → ненульові, отже, з рівності a ⇀ , b → = a → b → cos (a → , b →) ^ знайдемо косинус. Тоді отримаємо cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → b → = 0 a b b = 0 . Оскільки косинус дорівнює нулю, можемо дійти невтішного висновку, що кут a → , b → ^ векторів a → і b → дорівнює 90 ° . За визначенням це і є необхідна та достатня властивість.

Умови перпендикулярності на координатній площині

Розділ скалярного твору в координатахдемонструє нерівність (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , справедлива для векторів з координатами a → = (a x , a y) та b → = (b x , b y) , на площині та (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y для векторів a → = (a x , a y , a z) та b → = (b x , b y , b z) у просторі. Необхідною і достатньою умовою перпендикулярності двох векторів у координатній площині має вигляд a x · b x + a y · b y = 0 для тривимірного простору a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 .

Застосуємо на практиці та розглянемо на прикладах.

Приклад 1

Перевірити властивість перпендикулярності двох векторів a → = (2 , - 3) , b → = (- 6 , - 4).

Рішення

Для вирішення цього завдання необхідно знайти скалярне твір. Якщо за умовою воно дорівнюватиме нулю, значить, вони перпендикулярні.

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Умова виконана, отже, задані вектори перпендикулярні площині.

Відповідь:так, задані вектори a → та b → перпендикулярні.

Приклад 2

Дано координатні вектори i → , j → , k → . Перевірити, чи вектори i → - j → та i → + 2 · j → + 2 · k → бути перпендикулярними.

Рішення

Щоб згадати, як визначаються координати вектора, потрібно прочитати статтю про координати вектора у прямокутній системі координат.Таким чином отримуємо, що задані вектори i → - j → і i → + 2 · j → + 2 · k → є відповідні координати (1 , - 1 , 0) і (1 , 2 , 2) . Підставляємо числові значення та отримуємо: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (-1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .

Вираз не дорівнює нулю (i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j →) ≠ 0 , а це означає, що вектори i → - j → та i → + 2 · j → + 2 · k → не перпендикулярні, оскільки умова не виконалася.

Відповідь:ні, вектори i → - j → та i → + 2 · j → + 2 · k → не перпендикулярні.

Приклад 3

Дано вектори a → = (1 , 0 , - 2) і b → = (λ , 5 , 1) . Знайти значення λ , у якому дані вектори перпендикулярні.

Рішення

Використовуємо умову перпендикулярності двох векторів у просторі у квадратній формі, тоді отримаємо

a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ⇔ 1 · λ + 0 · 5 + (-2) · 1 = 0 ⇔ λ = 2

Відповідь:вектори перпендикулярні при значенні = 2 .

Є випадки, коли питання про перпендикулярність неможливе навіть за необхідної та достатньої умови. При відомих даних про три сторони трикутника на двох векторах, можливо, знайти кут між векторамита перевірити його.

Приклад 4

Даний трикутник АВС зі сторонами АВ = 8, АС = 6, ВС = 10 см. перевірити на перпендикулярність вектори A B → і A C →.

Рішення

При перпендикулярності векторів A B → та A C → трикутник A B C вважається прямокутним. Тоді застосуємо теорему Піфагора, де ВС – гіпотенуза трикутника. Рівність B C 2 = A B 2 + A C 2 має виконатися. Звідси випливає, що 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Отже, АВ і АС є катетами трикутника АВС, отже, A B → і A C → перпендикулярні.

Важливо навчитися знаходити координати вектора, перпендикулярного заданому. Це можливо як у площині, і у просторі за умови перпендикулярності векторів.

Знаходження вектора, перпендикулярного даному у площині.

Ненульовий вектор a → може мати безліч перпендикулярних векторів на площині. Зобразимо це на координатній прямій.

Вказано ненульовий вектор a → , що лежить на прямій а. Тоді заданий b → , розташований на будь-якій прямій, перпендикулярній до прямої а, стає перпендикулярним і a → . Якщо вектору i → перпендикулярний вектор j → або будь-який із векторів λ · j → при λ дорівнює будь-якому дійсному числу крім нуля, то знаходження координат вектора b → , перпендикулярному a → = (a x , a y) , зводиться до нескінченної множини рішень. Але необхідно знайти координати вектора, перпендикулярного a = (a x , a y) . Для цього необхідно записати умову перпендикулярності векторів у такій формі a x · b x + a y · b y = 0 . Маємо b x і b y , які є шуканими координатами перпендикулярного вектора. Коли a x ≠ 0 значення b y є ненульовим, а b x обчислимо з нерівності a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x . При a x = 0 і a y ≠ 0 присвоюємо b x будь-яке значення крім нуля, а b y знаходимо з виразу b y = - a x · b x a y .

Приклад 5

Даний вектор з координатами a → = (-2, 2). Знайти перпендикулярний даному вектору.

Рішення

Позначимо шуканий вектор як b → (b x , b y). Знайти його координати можна за умови перпендикулярності векторів a → та b → . Тоді отримаємо: (a → , b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0 . Привласним b y = 1 і підставимо: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Звідси з формули отримаємо b x = - 2 - 2 = 12. Отже вектор b → = (1 2 , 1) є вектором, перпендикулярним a → .

Відповідь: b → = (1 2 , 1) .

Якщо порушується питання тривимірному просторі, завдання вирішується за тим самим принципом. При заданому векторі a → = (a x , a y , a z) існує безліч перпендикулярних векторів. Зафіксує це координатної тривимірної площині. Дано a → , що лежить на прямій a . Перпендикулярну пряму a площину позначаємо α . У цьому випадку будь-який ненульовий вектор b → із площини α перпендикулярний a → .

Необхідно знайти координати b → , перпендикулярного до ненульового вектора a → = (a x , a y , a z) .

Нехай заданий b → з координатами b x , b y b z . Щоб знайти їх, необхідно застосувати визначення умов перпендикулярності двох векторів. Рівність a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 має виконуватися. З умови a → - ненульовий, отже, одна з координат має значення, що не дорівнює нулю. Припустимо, що a x ≠ 0 (a y ≠ 0 або a z ≠ 0). Отже, маємо право розділити на цю координату всю нерівність a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0, отримаємо вираз b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . Надає координатам b y і b x будь-яке значення, обчислюємо значення b x , виходячи з формули, b x = - a y · b y + a z · b z a x . Шуканий перпендикулярний вектор матиме значення a → = (a x , a y , a z) .

Розглянемо підтвердження з прикладу.

Приклад 6

Дано вектор з координатами a → = (1, 2, 3)   . Знайти вектор, перпендикулярний даному.

Рішення

Позначимо шуканий вектор за b → = (b x , b y , b z). Виходячи з умови про перпендикулярність векторів, скалярний твір має дорівнювати нулю.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 · 1 · b x + 2 · b y + 3 · b z = 0 ⇔ b x = - (2 · b y + 3 · b z)

Якщо значення b y = 1, b z = 1, тоді b x = - 2 · b y - 3 · b z = - (2 · 1 + 3 · 1) = - 5 . Звідси випливає, що координати вектора b → (- 5, 1, 1). Вектор b → є одним із перпендикулярних векторів заданому.

Відповідь: b → = (- 5, 1, 1).

Знаходження координат вектора, перпендикулярного двом заданим векторам

Потрібно знайти координати вектора у тривимірному просторі. Він перпендикулярний не коллінеаренним векторам a → (a x , a y , a z) і b → = (b x , b y , b z) . За умови колінеарності векторів a → та b → у задачі достатньо буде знайти вектор, перпендикулярний a → або b → .

За рішенням застосовується поняття векторного твору векторів.

Векторні твори векторів a → і b → називають вектор, одночасно перпендикулярний і a → b → . Для розв'язання цієї задачі застосовується векторний добуток a → × b → . Для тривимірного простору має вигляд → → → → → → → → → → →

Розберемо детальніше векторний добуток на прикладі задачі.

Приклад 7

Задані вектори b → = (0, 2, 3) та a → = (2, 1, 0). Знайти координати будь-якого перпендикулярного вектора даним одночасно.

Рішення

Для вирішення необхідно знайти векторне твір векторів. (Необхідно звернутись до пункту обчислення визначника матрицідля знаходження вектора). Отримаємо:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → · 1 · 3 + j → · 0 · 0 + k → · 2 · 2 - k → · 1 · 0 - j → · 2 · 3 - i → · 0 · 2 = 3 · i → + (- 6) · j → + 4 · k →

Відповідь: (3 , - 6 , 4) - координати вектора, одночасно перпендикулярного заданим a → та b → .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Умови перпендикулярності векторів

Вектори є перпендикулярними тоді і лише тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Дано два вектори a(xa;ya) і b(xb;yb). Ці вектори будуть перпендикулярні, якщо вираз xaxb+yayb=0.

Вектори паралельні, якщо їхній векторний добуток дорівнює нулю

Рівняння прямої на площині. Основні завдання прямо на площині.

Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку Ах + Ву + С = 0, причому постійні А, не рівні нулю одночасно, тобто. А2 + В2  0. Це рівняння першого порядку називають загальним рівнянням прямою. Залежно від значень постійних А, В і С можливі наступні окремі випадки: - C = 0, А  0, В  0 – пряма проходить через початок координат - А = 0, В  0, С  0 ( By

C = 0) - пряма паралельна осі Ох-В = 0, А  0, С  0 (Ax + C = 0) - пряма паралельна осі Оу-В = С = 0, А  0 - пряма збігається з віссю Оу- А = С = 0, В  0 – пряма збігається з віссю Ох Рівняння прямої може бути представлене у різному вигляді залежно від будь-яких заданих початкових умов.

Якщо хоча б один із коефіцієнтів А, В, С ур-я Ах + Ву + С = 0 дорівнює 0, ур-е
зв. неповним. По виду рівняння прямої можна судити про її становище
плоксоти ОХУ. Можливі випадки:
1 С=0 L: Ax+By=0 т. Про(0,0) задовольняє цього рівняння означає пряма
проходить через початок координат
2 А=0 L: Ву+С=0 - нормальний в-р n=(0,B) перпендикулярний осі ОХ звідси
слід, що пряма паралельна вісь ОХ
3 В = 0 L: Ay+C=0 0 - номаральний в-р n=(А,0) перпендикулярний осі ОY звідси
слід, що пряма паралельна вісь ОУ
4 А=0, С=0 L: By=0(y=0(L=OX)
5 B = 0, C = 0 L: Ax = 0 (x = 0 (L = OY)
6 A (0, В (0, С (0 L; - не проходить через початок координат і перетинає)
обидві осі.

Рівняння прямої на площині, що проходить через дві задані точки і :

Кут між площинами.

Вирахування визначників

Обчислення визначників ґрунтується на їх відомих властивостях, що належать до визначників усіх порядків. Ось ці властивості:

1. Якщо переставити два рядки (або два стовпці) визначника, визначник змінить знак.

2. Якщо відповідні елементи двох стовпців (або двох рядків) визначника дорівнюють або пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

3. Значення визначника не зміниться, якщо поміняти місцями рядки та стовпці, зберігши їхній порядок.

4. Якщо всі елементи якогось рядка (або стовпця) мають спільний множник, його можна винести за знак визначника.

5. Значення визначника не зміниться, якщо до елементів одного рядка (або стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (або стовпця), помножені на те саме число.

Матриця і дія над ними

Матриця- Математичний об'єкт, що записується у вигляді прямокутної таблиці чисел (або елементів кільця) і що допускає алгебраїчні операції (складання, віднімання, множення та ін) між ним та іншими подібними об'єктами. Зазвичай матриці є двовимірними (прямокутними) таблицями. Іноді розглядають багатовимірні матриці чи матриці непрямокутної форми.

Зазвичай матрицю позначають великою літерою латинського алфавіту і виділяють круглими дужками "(...)" (зустрічається також виділення квадратними дужками "[...]" або подвійними прямими лініями "||...||").

Числа, що становлять матрицю (елементи матриці), часто позначають тією ж літерою, що й саму матрицю, але малої (наприклад a11 є елементом матриці А).

У кожного елемента матриці є 2 нижні індекси (aij) - перший «i» позначає номер рядка, в якому знаходиться елемент, а другий «j» - номер стовпця. Говорять "матриця розмірності", маючи на увазі, що в матриці m рядків і n стовпців. В одній матриці завжди,

Операції над матрицями

Нехай aij – елементи матриці A, а bij – елементи матриці B.

Лінійні операції:

Множення матриці A на число λ (позначення: λA) полягає у побудові матриці B, елементи якої отримані шляхом множення кожного елемента матриці A на це число, тобто кожен елемент матриці B дорівнює

Додавання матриць A + B є операція знаходження матриці C, всі елементи якої дорівнюють попарній сумі всіх відповідних елементів матриць A і B, тобто кожен елемент матриці C дорівнює

Віднімання матриць A − B визначається аналогічно до складання, це операція знаходження матриці C, елементи якої

Додавання та віднімання допускається тільки для матриць однакового розміру.

Існує нульова матриця Θ така, що її додаток до іншої матриці A не змінює A, тобто

Усі елементи нульової матриці дорівнюють нулю.

Нелінійні операції:

Множення матриць (позначення: AB, рідше зі знаком множення) - є операція обчислення матриці C, елементи якої дорівнюють сумі творів елементів у відповідному рядку першого множника та стовпці другого.cij = ∑

У першому множнику має бути стільки ж стовпців, скільки рядків у другому. Якщо матриця A має розмірність, B - то розмірність їх твору AB = C є. Множення матриць не комутативно.

Множення матриць асоціативно. Зводити у ступінь можна лише квадратні матриці.

Транспонування матриці (позначення: AT) - операція, коли він матриця відбивається щодо головної діагоналі, тобто

Якщо A - матриця розміру, то AT - матриця розміру

Похідна складної функції

Складна функція має вигляд: F(x) = f(g(x)), тобто. є функцією функції. Наприклад, y = sin2x, y = ln(x2+2x) тощо.

Якщо в точці х функція g(x) похідну g"(x) , а в точці u = g(x) функція f(u) має похідну f"(u), то похідна складної функції f(g(x)) точці х існує і дорівнює f"(u) g"(x).

Похідна неявної функції

У багатьох задачах функція y(x) задана невним чином. Наприклад, для наведених нижче функцій

неможливо отримати залежність y(x) у явному вигляді.

Алгоритм обчислення похідної y"(x) від неявної функції виглядає так:

Спочатку необхідно продиференціювати обидві частини рівняння по відношенню до x, припускаючи, що y - це функція, що диференціюється x і використовуючи правило обчислення похідної від складної функції;

Розв'язати отримане рівняння щодо похідної y"(x).

Розглянемо кілька прикладів для ілюстрації.

Продиференціювати функцію y(x), задану рівнянням.

Продиференціюємо обидві частини рівняння змінної x:

що призводить до результату

Правило Лапіталя

Правило Лопіталя. Нехай ф-ція f (x) і g (x) має в окр. т-ки х0 пр-ні f і g виключаючи можливість саму цю т-ку х0. Нехай lim(х®Dх)=lim(x®Dx)g(x)=0 так що f(x)/g(x) при x®x0 дає 0/0. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4), коли він збігається з межею відношення ф-ції lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim(x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)

44 .1.(Критерій монотонності функції, що має похідну на інтервалі) Нехай функція безперервна на

(a,b), і має в кожній точці похідну f"(x). Тоді

1)f зростає на (a,b) тоді і лише тоді, коли

2) зменшується на (a,b) тоді і лише тоді, коли

2. (Достатня умова суворої монотонності функції, що має похідну на інтервалі) Нехай функція безперервна на (a,b), і має в кожній точці похідну f"(x).

1) якщо f суворо зростає на (a, b);

2) якщо f суворо зменшується на (a,b).

Назад, взагалі кажучи, неправильно. Похідна строго монотонної функції може звертатися до нуля. Однак безліч точок, де похідна не дорівнює нулю, має бути щільно на інтервалі (a, b). Точніше має місце.

3. (Критерій суворої монотонності функції, що має похідну на інтервалі) Нехай і всюди на інтервалі визначена похідна f"(x). Тоді f строго зростає на інтервалі (a,b) тоді і тільки тоді, коли виконані такі дві умови:

Скалярський витвір векторів. Кут між векторами. Умови паралельності чи перпендикулярності векторів.

Скалярним твором векторів називається добуток їх довжин на косинус кута між ними:

Цілком аналогічно, як у планіметрії, доводяться такі твердження:

Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю і тоді, коли ці вектори перпендикулярні.

Скалярний квадрат вектора, тобто скалярний добуток його самого на себе, дорівнює квадрату його довжини.

Скалярний добуток двох векторів і заданих своїми координатами може бути обчислений за формулою

Вектори є перпендикулярними тоді і лише тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю. приклад. Дано два вектори і . Ці вектори будуть перпендикулярні, якщо вираз x1x2 + y1y2 = 0. Кутом між ненульовими векторами називається кут між прямими, для яких векторні дані є напрямними. Кут між будь-яким вектором та нульовим вектором за визначенням вважаємо рівним нулю. Якщо кут між векторами дорівнює 90°, такі вектори називаються перпендикулярними. Кут між векторами будемо позначати так: