8 мірний куб. Гіперкуб

Всесвіт чотирьох вимірів, або чотирьох координат, так само незадовільний, як трьох. Можна сказати, що ми не маємо всіх даних, необхідних для побудови всесвіту, оскільки ні три координати старої фізики, ні чотири координати нової не достатні для опису, всьогорізноманіття явищ у всесвіті.

Розглянемо по порядку "куби" різних розмірностей.

Одномірним кубом на прямій є відрізок. Двовимірним – квадрат. Кордон квадрата складається з чотирьох точок - вершині чотирьох відрізків - ребер.Таким чином, квадрат має на межі елементи двох типів: крапки та відрізки. Кордон тривимірного куба містить елементи трьох типів: вершини - їх 8, ребра (відрізки) -їх 12 і грані (квадрати) -їх 6. Одновимірний відрізок АВ служить гранню двовимірного квадрата ABCD, квадрат - стороною куба ABCDHEFG, який, у свою чергу, буде стороною чотиривимірного гіперкуба.

У чотиривимірному гіперкубі, таким чином, виявиться 16 вершин: 8 вершин вихідного куба і 8 зрушеного в четвертому вимірі. Він має 32 ребра - по 12 дають початкове і кінцеве положення вихідного куба, і ще 8 ребер "намалюють" вісім його вершин, що перемістилися в четвертий вимір. Ті ж міркування можна виконати і для граней гіперкуба. У двовимірному просторі вона одна (сам квадрат), у куба їх 6 (по дві грані від квадрата, що перемістився, і ще чотири опишуть його сторони). Чотиривимірний гіперкуб має 24 квадратні грані - 12 квадратів вихідного куба у двох положеннях та 12 квадратів від дванадцяти його ребер.

Координати учотиривимірному просторі.

Точка пряма визначається як число, точка площини як пара чисел, точка тривимірного простору як трійка чисел. Тому цілком природно побудувати геометрію чотиривимірного простору, визначивши точку цього уявного простору як четвірку чисел.

Двовимірною гранню чотиривимірного куба називається безліч точок, для яких дві якісь координати можуть набувати різноманітних значень від 0 до 1, а дві інші постійні (рівні або 0, або 1).

Тривимірною гранню Чотиривимірний куб називається безліч точок, у яких три координати приймають всі можливі значення від 0 до 1, а одна постійна (рівна або 0, або 1).

Розгортки кубів різних розмірів.

Беремо відрізок, з усіх боків помістимо по відрізку, і ще один прикріпимо до будь-якого, в даному випадку правого відрізка.

Отримали розгортку квадрата.

Беремо квадрат, з усіх боків помістимо квадратом, ще один прикріпимо до будь-якого, в даному випадку до нижнього квадрата.

Це розгортка тривимірного куба.

Чотиривимірний куб

Беремо куб, з усіх боків помістимо по кубу, ще один прикріпимо до будь-якого, нижнього куба.

Розгортка чотиривимірного куба

Уявімо, що чотиривимірний куб зроблений з дроту і в вершині (1; 1; 1; 1) сидить мурашка, тоді з однієї вершини в іншу мураху доведеться повзти по ребрах.

Запитання: по скільки ребрах йому доведеться повзти, щоб потрапити у вершину (0; 0; 0; 0)?

По 4 ребрах, тобто вершину (0; 0; 0; 0) - вершина 4 порядку, пройшовши по 1 ребру він може потрапити у вершину, що має одну з координат 0, це вершина 1 порядку, пройшовши по 2 ребрах він може потрапити в вершини де 2 нуля, це вершини 2 порядку, таких вершин 6, пройшовши по 3 ребрах, він потрапить у вершини у яких 3 координати нуль, це вершини третього порядку.

Існують інші куби в багатовимірному просторі. Крім тесеракта можна побудувати куби з великою кількістю вимірювань. Моделью п'ятивимірного куба є пентеракт. Пентеракт має 32 вершини, 80 ребер, 80 граней, 40 кубів та 10 тесеракт.

Художники, режисери, скульптори, вчені по-різному становлять багатовимірний куб. Наведемо деякі приклади:

Багато письменників-фантастів описують у своїх творах тессеракт. Наприклад, Роберт Енсон Хайнлайн (1907–1988) згадував гіперкуби у принаймні трьох з його науково-популярних оповідань. У «Будинку чотирьох вимірів» він описав будинок, збудований як розгортка тесеракту.

Сюжет фільму «Куб-2» зосереджується на восьми незнайомцях, спійманих у пастку у гіперкубі.

« Розп'яття» Сальвадора Дали 1954 (1951) рік. Сюрреалізм Далі шукав точок дотику нашої реальності та потойбічного, зокрема, 4-мірного світу. Тому, з одного боку, разюче, а, з іншого, нічого дивного в тому, що геометрична фігура з кубиків, що утворює християнський хрест, є зображенням 3-мірної розгортки 4-мірного куба або тесеракта.

21 жовтня на математичному факультеті Університету штату Пенсільванія відбулося відкриття незвичайної скульптури під назвою "Октакуб". Вона є зображенням чотиривимірного геометричного об'єкта в тривимірному просторі. На думку автора скульптури, професора Адріана Окнеану, такої красивої фігури такого роду у світі не існувало, ні віртуально, ні фізично, хоча тривимірні проекції чотиривимірних фігур виготовлялися й раніше.

Взагалі математики легко оперують з чотири-, п'яти-і ще багатовимірнішими об'єктами, проте зобразити їх у тривимірному просторі неможливо. «Октакуб», як і всі подібні постаті, не є справді чотиривимірним. Його можна порівняти з картою – проекцією тривимірної поверхні земної кулі на плоский аркуш паперу.

Тривимірна проекція чотиривимірної фігури була одержана Окнеану методом радіальної стереографії за допомогою комп'ютера. При цьому було збережено симетрію вихідної чотиривимірної фігури. Скульптура має 24 вершини та 96 граней. У чотиривимірному просторі грані фігури прямі, але у проекції вони викривлені. Кути між гранями у тривимірної проекції і вихідної фігури однакові.

"Октакуб" був виготовлений з нержавіючої сталі в інженерних майстернях Університету штату Пенсільванія. Встановлено скульптуру у відремонтованому корпусі імені Макалістера математичного факультету.

Багатомірний простір цікавив багатьох вчених, таких як Рене Декарт, Герман Мінковський. У наші дні йде збільшення знань з цієї теми. Це допомагає математикам, дослідникам та винахідникам сучасності у досягненні їх цілей та розвитку науки. Крок у багатовимірний простір - це крок у нову більш розвинену епоху людства.

Почнемо з пояснення, що таке чотиривимірне простір.

Це – одномірний простір, тобто просто вісь OX. Будь-яка точка на ній характеризується однією координатою.

Тепер проведемо вісь OY перпендикулярно до осі OX. Ось і вийшов двовимірний простір, тобто площина XOY. Будь-яка точка на ній характеризується двома координатами - абсцисою та ординатою.

Проведемо вісь OZ перпендикулярно до осей OX і OY. Вийде тривимірний простір, в якому будь-яка точка має абсцис, ординат і аплікат.

Логічно, що четверта вісь, OQ, має бути перпендикулярною до осей OX, OY і OZ одночасно. Але ми не можемо точно збудувати таку вісь, і тому залишається лише спробувати уявити її собі. Кожна точка в чотиривимірному просторі має чотири координати: x, y, z і q.

Тепер побачимо, як з'явився чотиривимірний куб.

На зображенні зображена фігура одновимірного простору - лінія.

Якщо зробити паралельне перенесення цієї лінії вздовж осі OY, а потім з'єднати відповідні кінці двох ліній, що вийшли, вийде квадрат.

Аналогічно, якщо зробити паралельне перенесення квадрата вздовж осі OZ і з'єднати відповідні вершини, то вийде куб.

А якщо зробити паралельне перенесення куба вздовж осі OQ і з'єднати вершини двох цих кубів, ми отримаємо чотиривимірний куб. До речі, він називається тесеракт.

Щоб намалювати куб на площині, потрібно його спроектувати. Наочно це виглядає так:

Припустимо, що в повітрі над поверхнею висить каркасна моделькуба, тобто як би "зроблена з дроту", а над нею - лампочка. Якщо увімкнути лампочку, обвести олівцем тінь від куба, а потім вимкнути лампочку, то на поверхні буде зображено проекцію куба.

Перейдемо до трохи складнішого. Ще раз подивіться на малюнок із лампочкою: як бачите, всі промені зійшлися в одній точці. Вона називається точкою сходуі використовується для побудови перспективної проекції(а буває і паралельна, коли всі промені паралельні один одному. Результат - не створюється відчуття об'єму, але вона легша, і при тому якщо точка сходу досить сильно віддалена від об'єкта, що проектується, то різниця між цими двома проекціями мало помітна). Щоб спроектувати дану точку на дану площину, використовуючи точку сходу, потрібно провести пряму через точку сходу і дану точку, а потім знайти точку перетину прямої і площини, що вийшла. А для того, щоб спроектувати складнішу фігуру, скажімо, куб, потрібно спроектувати кожну його вершину, а потім відповідні точки з'єднати. Слід зауважити, що алгоритм проекції простору на підпростірможна узагальнити для випадку 4D->3D, а не лише 3D->2D.

Як я вже казав, ми не можемо собі точно уявити, як виглядає вісь OQ, як і тессеракт. Зате ми можемо отримати обмежене уявлення про нього, якщо спроектуємо його на об'єм, а потім намалюємо це на екрані комп'ютера!

Тепер поговоримо про проекцію тесеракту.

Зліва знаходиться проекція куба на площину, а праворуч - тесеракта на об'єм. Вони досить схожі: проекція куба виглядає як два квадрати, маленький і великий, один усередині іншого, і які відповідні вершини з'єднані лініями. А проекція тесеракта виглядає як два куби, маленький і великий, один усередині іншого, і які відповідні вершини з'єднані. Але ми всі бачили куб, і можемо з упевненістю сказати, що і маленький квадрат, і великий, і чотири трапеції зверху, знизу, праворуч і ліворуч від маленького квадрата, насправді є квадратами, причому рівними. І у тесеракта теж саме. І великий куб, і маленький куб, і шість усічених пірамід з боків від маленького куба - це куби, причому рівні.

Моя програма вміє не тільки малювати проекцію тесеракта на об'єм, а й обертати його. Розглянемо, як це робиться.

Спершу я вам розповім, що таке обертання паралельно площині.

Уявіть, що куб обертається навколо осі OZ. Тоді кожна з його вершин описує коло навколо осі OZ.

А коло – фігура плоска. І площини кожного з цих кіл паралельні між собою, і в даному випадку паралельні площині XOY. Тобто ми можемо говорити не тільки про обертання навколо осі OZ, а ще й про обертання паралельно площині XOY. можемо говорити про обертання навколо прямої лише тоді, коли маємо справу з тривимірним простором. У двовимірному все обертається навколо крапки, у чотиривимірному - навколо площини, у п'ятивимірному просторі ми говоримо про обертання навколо об'єму. І якщо обертання навколо точки ми можемо собі уявити, то обертання навколо площини та обсягу – щось немислиме. А якщо говоритимемо про обертання паралельно площині, то тоді в будь-якому n-мірному просторі точка може обертатися паралельно площині.

Багато хто з вас, ймовірно, чув про матрицю повороту. Помноживши точку на неї, отримаємо точку, повернуту паралельно площині на кут фі. Для двовимірного простору вона виглядає так:

Як множити: ікс точки, повернутої на кут фі = косинус кута фі*ікс первісної точки мінус синус кута фі*гравець початкової точки;
гравець точки, повернутої на кут фі=синус кута фі*ікс первісної точки плюс косинус кута фі*ігр початкової точки.
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, де Xa і Ya - абсциса та ордината точки, яку потрібно повернути, Xa` і Ya` - абсциса та ордината вже повернутої точки

Для тривимірного простору ця матриця узагальнюється так:

Обертання паралельно площині XOY. Як бачимо, координата Z не змінюється, а змінюються лише X та Y
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa+cosф*Ya+Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (по суті, Za`=Za)

Обертання паралельно площині XOZ. Нічого нового,
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya` = Xa * 0 + Ya * 1 + Za * 0 (по суті, Ya ` = Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

І третя матриця.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (по суті, Xa`=Xa)
Ya` = Xa * 0 + cosф * Ya - sinф * Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

А для четвертого виміру вони виглядають так:


Думаю, ви вже зрозуміли, що на що множити, тому зайвий раз не буду розписувати. Зате зауважу, що вона робить те саме, що й матриця для повороту паралельно площині в тривимірному просторі! І та, і це змінюють лише ординату і аплікату, інші координати не чіпають, тому її можна використовувати й у тривимірному випадку, просто не звертаючи уваги на четверту координату.

А ось із формулою проекції не все так просто. Скільки я не читав форумів, мені не підійшов жоден із способів проекції. Паралельна мені не підходила, тому що проекція не виглядатиме об'ємною. В одних формулах проекції для знаходження точки потрібно вирішити систему рівнянь (а я не знаю, як навчити комп'ютер їх вирішувати), інші я просто не зрозумів ... Загалом, я вирішив придумати свій спосіб. Розглянемо при цьому проекцію 2D->1D.

pov означає "Point of view" (точка зору), ptp означає "Point to project" (точка, яку потрібно спроектувати), а ptp` - це точка, що шукається на осі OX.

Кути povptpB і ptpptp`A рівні як відповідні (пунктирна лінія паралельна осі OX, пряма povptp – січна).
Ікс точки ptp` дорівнює іксу точки ptp мінус довжина відрізка ptp`A. Цей відрізок можна знайти з трикутника ptpptp`A: ptp`A = ptpA/тангенс кута ptpptp`A. Ми можемо знайти цей тангенс з трикутника povptpB: тангенс кута ptpptp`A = (Ypov-Yptp) (Xpov-Xptp).
Відповідь: Xptp`=Xptp-Yptp/тангенс кута ptpptp`A.

Я не став детально розписувати цей алгоритм тут, тому що там купа окремих випадків, коли формула дещо змінюється. Кому це цікаво – подивіться у вихідниках програми, там все розписано у коментарях.

Для того, щоб спроектувати точку тривимірного простору на площину, просто розглянемо дві площини - XOZ та YOZ, і для кожної з них вирішимо це завдання. У разі чотиривимірного простору слід розглянути вже три площини: XOQ, YOQ та ZOQ.

І нарешті про програму. Вона діє так: ініціалізувати шістнадцять вершин тесеракта -> залежно від введених користувачем команд повернути його -> спроецировать на об'єм -> залежно від введених користувачем команд повернути його проекцію -> спроектувати на площину -> намалювати.

Проекції та повороти я написав сам. Вони працюють за формулами, які я щойно описав. Бібліотека OpenGL малює лінії, а також займається змішуванням кольорів. А координати вершин тесеракту обчислюються таким чином:

Координати вершин лінії з центром на початку координат і довжиною 2 - (1) та (-1);
- " - " - квадрата - " - " - і ребром довжиною 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) та (-1; -1);
- " - " - куба - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Як можна було помітити, квадрат - одна лінія над віссю OY і одна лінія під віссю OY; куб - це один квадрат спереду від площини XOY, один за нею; Тессеракт - це один куб по той бік об'єму XOYZ, і один - по цю. Але куди легше сприйняти це чергування одиниць та мінус одиниць, якщо їх записати у стовпчик

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

У першому стовпчику один і мінус один чергуються. У другому стовпці спочатку йде два плюси, потім два мінуси. У третьому – чотири плюс одиниці, а потім чотири мінус одиниці. То були вершини куба. У тессеракта їх вдвічі більше, і тому потрібно було написати цикл для їхнього оголошення, інакше дуже легко заплутатися.

Моя програма також вміє малювати анагліф. Щасливі володарі 3D-окулярів можуть спостерігати стереоскопічну картинку. У малюванні картинки немає нічого хитрого, просто малюється дві проекції на площину для правого та лівого очей. Зате програма стає набагато наочнішою і цікавішою, а головне - дає краще уявлення про чотиривимірний світ.

Менш значні функції - підсвічування однієї з граней червоним, щоб краще можна було розглянути повороти, а так само дрібні зручності - регуляція координат точок-«очей», збільшення та зменшення швидкості повороту.

Архів із програмою, вихідником та інструкцією користування.

У геометрії гіперкуб- це n-мірна аналогія квадрата ( n= 2) та куба ( n= 3). Це замкнута опукла постать, що складається з груп паралельних ліній, розташованих на протилежних краях фігури, і з'єднаних один з одним під прямим кутом.

Ця фігура також відома під назвою тесеракт(Tesseract). Тессеракт відноситься до куба, як куб відноситься до квадрата. Більш формально, тессеракт може бути описаний як правильний опуклий чотиривимірний політоп (багатогранник), межа якого складається з восьми кубічних осередків.

Згідно з Окфордським словником англійської мови, слово "tesseract" було придумано в 1888 році Чарльзом Говардом Хінтоном (Charles Howard Hinton) і використано в його книзі "Нова ера думки" ("A New Era of Thought"). Слово було утворене від грецького "τεσσερες ακτινες" ("чотири промені"), є у вигляді чотири осі координат. Крім цього, у деяких джерелах, цю ж фігуру називали тетракубом(Tetracube).

n-мірний гіперкуб також називається n-кубом.

Точка - це гіперкуб розмірності 0. Якщо зрушити точку на одиницю довжини, вийде відрізок одиничної довжини - гіперкуб розмірності 1. Далі, якщо зрушити відрізок на одиницю довжини в напрямку перпендикулярному напрямку відрізка вийде куб - гіперкуб розмірності 2. Зсув квадрат на одиницю довжини в напрямку Перпендикулярна площині квадрата, виходить куб - гіперкуб розмірності 3. Цей процес може бути узагальнений на будь-яку кількість вимірювань. Наприклад, якщо зрушити куб на одиницю довжини четвертому вимірі, вийде тессеракт.

Сімейство гіперкубів є одним із небагатьох правильних багатогранників, які можуть бути представлені в будь-якому вимірі.

Елементи гіперкубу

Гіперкуб розмірності nмає 2 n"сторон" (одномірна лінія має 2 точки; двомірний квадрат - 4 сторони; тривимірний куб - 6 граней; чотиривимірний тесеракт - 8 осередків). Кількість вершин (точок) гіперкубу дорівнює 2 n(Наприклад, для куба - 2 3 вершин).

Кількість m-мірних гіперкубів на кордоні n-куба одно

Наприклад, на кордоні гіперкуба знаходяться 8 кубів, 24 квадрати, 32 ребра та 16 вершин.

Проекція на площину

Формування гіперкуба може бути представлене в такий спосіб:

• Дві точки A та B можуть бути з'єднані, утворюючи відрізок AB.
• Два паралельні відрізки AB і CD можуть бути з'єднані, утворюючи квадрат ABCD.
• Два паралельні квадрати ABCD і EFGH можуть бути з'єднані, утворюючи куб ABCDEFGH.
• Два паралельні куби ABCDEFGH і IJKLMNOP можуть бути з'єднані, утворюючи гіперкуб ABCDEFGHIJKLMNOP.

Останню структуру нелегко уявити, але можна зобразити її проекцію на двовимірний або тривимірний простір. Більше того, проекції на двомірну площину можуть бути кориснішими можливістю перестановки позицій спроектованих вершин. У цьому випадку можна отримати зображення, які більше не відображають просторові відносини елементів усередині тесеракту, але ілюструють структуру з'єднань вершин, як на прикладах нижче.

На першій ілюстрації показано, як у принципі утворюється тессеракт шляхом з'єднання двох кубів. Ця схема схожа на схему створення куба із двох квадратів. На другій схемі показано, що всі ребра тесеракта мають однакову довжину. Ця схема також змушують шукати з'єднані один з одним куби. На третій схемі вершини тессеракта розташовані відповідно до відстаней уздовж граней щодо нижньої точки. Ця схема цікава тим, що вона використовується як базова схема для мережевої топології з'єднання процесорів при організації паралельних обчислень: відстань між будь-якими двома вузлами не перевищує 4 довжин ребер і існує багато різних шляхів для врівноваження навантаження.

Гіперкуб у мистецтві

Гіперкуб з'явився в науково-фантастичній літературі з 1940 року, коли Роберт Хайнлайн в оповіданні "Будинок, який збудував Тіл" ("And He Built a Crooked House") описав будинок, збудований за формою розгортки тесеракту. У оповіданні цей Далі цей будинок згортається, перетворюючись на чотиривимірний тесеракт. Після цього гіперкуб з'являється у багатьох книгах та новелах.

У фільмі "Куб 2: Гіперкуб" розповідається про вісім людей, замкнених у мережі гіперкубів.

На картині Сальвадора Далі "Розп'яття" ("Crucifixion (Corpus Hypercubus)", 1954) зображено Ісуса розп'ятого на розгортці тесеракта. Цю картину можна побачити у Музеї Мистецтв (Metropolitan Museum of Art) у Нью-Йорку.

Висновок

Гіперкуб - один із найпростіших чотиривимірних об'єктів, на прикладі якого можна побачити всю складність і незвичайність четвертого виміру. І те, що виглядає неможливим у трьох вимірах, можливо у чотирьох, наприклад, неможливих фігур. Так, наприклад, бруски неможливого трикутника у чотирьох вимірах будуть з'єднані під прямими кутами. І ця фігура виглядатиме так з усіх точок огляду, і не спотворюватиметься на відміну від реалізацій неможливого трикутника у тривимірному просторі (див.

Гіперкуб та Платонові тіла

Змоделювати в системі «Вектор» усічений ікосаедр («футбольний м'яч»)
у якого кожен п'ятикутник обмежений шестикутниками

Усічений ікосаедрможе бути отриманий зрізанням 12 вершин з утворенням граней у вигляді правильних п'ятикутників. При цьому кількість вершин нового багатогранника збільшується в 5 разів (12×5=60), 20 трикутних граней перетворюються на правильні шестикутники (всього граней стає 20+12=32), а число ребер зростає до 30+12×5=90.

Кроки побудови усіченого ікосаедра в системі «Вектор»

Фігури у 4-мірному просторі.

--à

--à ?

Наприклад, дано куб та гіперкуб. У гіперкубі 24 грані. Значить, у 4-мірного октаедра буде 24 вершини. Хоча ні, гіперкуб – 8 граней кубів – у кожному центрі – вершина. Значить, у 4-мірного октаедра буде 8 вершини того легше.

4-мірний октаедр. Він складається з восьми рівносторонніх і рівних між собою тетраедрів,
з'єднаних по чотири біля кожної вершини.

Мал. Спроба змоделювати
гіперкулю-гіперсферу в системі «Вектор»

Передня – задня грані – кулі без спотворення. Ще шість куль – можна задати через еліпсоїди або квадратичні поверхні (через 4 лінії контуру як утворюють) або через грані (спочатку задаються через утворюючі).

Ще прийоми «побудувати» гіперсферу
- той самий «футбольний м'яч» у 4-мірному просторі

Додаток 2

Для опуклих багатогранників має місце властивість, що зв'язує число його вершин, ребер і граней, доведене в 1752 Леонардом Ейлером, і назва теореми Ейлера.

Перш ніж його сформулювати розглянемо відомі нам багатогранники та заповнимо наступну таблицю, в якій В – число вершин, Р – ребер та Г – граней даного багатогранника:

З цієї таблиці безпосередньо видно, що для всіх обраних багатогранників має місце рівність В - Р + Г = 2. Виявляється, що ця рівність справедлива не тільки для цих багатогранників, але і для опуклого довільного багатогранника.

Теорема Ейлер. Для будь-якого опуклого багатогранника має місце рівність

В - Р + Г = 2,

де В – число вершин, Р – число ребер та Г – число граней даного багатогранника.

Доведення.Для підтвердження цієї рівності представимо поверхню даного багатогранника виготовленої з еластичного матеріалу. Видалимо (виріжемо) одну з його граней і поверхню, що залишилася, розтягнемо на площині. Отримаємо багатокутник (утворений ребрами віддаленої грані багатогранника), розбитий більш дрібні багатокутники (утворені іншими гранями багатогранника).

Зауважимо, що багатокутники можна деформувати, збільшувати, зменшувати або навіть викривляти їхні сторони, аби при цьому не відбувалося розривів сторін. Число вершин, ребер та граней при цьому не зміниться.

Доведемо, що для отриманого розбиття багатокутника на дрібніші багатокутники має місце рівність

(*) В - Р + Г " = 1,

де В – загальна кількість вершин, Р – загальна кількість ребер і Р” – число багатокутників, що входять у розбиття. Зрозуміло, що Р” = Г – 1, де Р – число граней даного багатогранника.

Доведемо, що рівність (*) не зміниться, якщо у якомусь багатокутнику даного розбиття провести діагональ (рис. 5, а). Справді, після проведення такої діагоналі у новому розбиття буде В вершин, Р+1 ребер і кількість багатокутників збільшиться на одиницю. Отже, маємо

В - (Р + 1) + (Г "+1) = В - Р + Г" .

Користуючись цією властивістю, проведемо діагоналі, що розбивають вхідні багатокутники на трикутники, і для розбиття покажемо здійсненність рівності (*) (рис. 5, б). Для цього будемо послідовно прибирати зовнішні ребра, зменшуючи кількість трикутників. При цьому можливі два випадки:

а) для видалення трикутника ABCпотрібно зняти два ребра, у нашому випадку ABі BC;

б) видалення трикутникаMKNпотрібно зняти одне ребро, у нашому випадкуMN.

В обох випадках рівність (*) не зміниться. Наприклад, у першому випадку після видалення трикутника граф складатиметься з В – 1 вершин, Р – 2 ребер та Г” – 1 багатокутника:

(В - 1) - (Р + 2) + (Г" - 1) = В - Р + Г".

Самостійно розгляньте другий випадок.

Таким чином, видалення одного трикутника не змінює рівність (*). Продовжуючи цей процес видалення трикутників, зрештою ми прийдемо до розбиття, що складається з одного трикутника. Для такого розбиття В = 3, Р = 3, Г " = 1 і, отже, B - Р + Г " = 1. Отже, рівність (*) має місце і для вихідного розбиття, звідки остаточно отримуємо, що для цього розбиття багатокутника справедлива рівність (*). Таким чином, для вихідного опуклого багатогранника справедлива рівність В – Р + Г = 2.

Приклад багатогранника, для якого не виконується співвідношення Ейлера,показаний малюнку 6. Цей багатогранник має 16 вершин, 32 ребра і 16 граней. Отже, при цьому багатогранника виконується рівність В – Р + Г = 0.

Додаток 3.

Фільм Куб 2: Гіперкуб» (англ. Cube 2: Hypercube) – фантастичний фільм, продовження фільму «Куб».

Вісім незнайомих людей прокидаються у кімнатах, що мають форму куба. Кімнати знаходяться усередині чотиривимірного гіперкубу. Кімнати постійно переміщуються шляхом "квантової телепортації", і якщо перелізти до сусідньої кімнати, то повернутися до попередньої вже малоймовірно. У гіперкубі перетинаються паралельні світи, час у деяких кімнатах протікає по-різному, і деякі кімнати є смертельними пастками.

Сюжетно картина багато в чому повторює історію першої частини, що також відбивається і образах деяких персонажів. У кімнатах гіперкуба гине нобелівський лауреат Розенцвейг, який розрахував точний час знищення гіперкуба.

Критика

Якщо в першій частині люди ув'язнені в лабіринт намагалися допомогти один одному, у цьому фільмі кожен сам за себе. Дуже багато зайвих спецефектів (вони ж пастки) які ніяк не пов'язують логічно цю частину фільму з попередньою. Тобто виходить фільм Куб 2 - це такий собі лабіринт майбутнього 2020-2030 років, але ніяк не 2000. У першій частині всі види пасток може теоретично створити людину. У другій частині ці пастки – програма якогось комп'ютера, так звана "Віртуальна реальність".

Ще коли я був студентом-першокурсником у мене з одним моїм одногрупником вийшла гаряча суперечка. Він казав, що чотиривимірний куб уявити не можна ні в якому вигляді, а я запевняв, що його можна уявити досить виразно. Тоді я навіть зробив із скріпок проекцію гіперкуба на наш тривимірний простір... Але давайте про все гаразд.
Що таке гіперкуб (тессеракт) та чотиривимірний простір
У нашому звичному просторі три виміри. З геометричної точки зору це означає, що в ньому можна вказати три взаємно-перпендикулярні прямі. Тобто для будь-якої прямої можна знайти другу, перпендикулярну до першої, а для пари можна знайти третю пряму, перпендикулярну до двох перших. Знайти четверту пряму, перпендикулярну до трьох наявних, вже не вдасться.

Чотиривимірний простір відрізняється від нашого лише тим, що в ньому є ще один додатковий напрямок. Якщо у вас вже є три взаємно перпендикулярні прямі, то ви можете знайти четверту, таку, що вона буде перпендикуляра всім трьом.
Гіперкуб це просто куб у чотиривимірному просторі.
Чи можна уявити чотиривимірний простір та гіперкуб?
Це питання схоже на питання: «чи можна уявити Тайну Вечерю, подивившись на однойменну картину (1495-1498) Леонардо да Вінчі (1452-1519)?»
З одного боку, ви звичайно не уявите те, що бачив Ісус (він сидить обличчям до глядача), тим більше ви не відчуєте запаху саду за вікном і смаку їжі на столі, не почуєте співу птахів... Ви не отримаєте повного уявлення про те, що відбувалося. того вечора, але не можна сказати, що ви не дізнаєтеся нічого нового і що картина не становить жодного інтересу.
Аналогічна ситуація і з питанням про гіперкуб. Цілком уявити його не можна, але можна наблизитися до розуміння, яким він є.

Простір-час та евклідовий чотиривимірний простір
Сподіваюся, що вам вдалося уявити гіперкуб. Але чи вдалося вам наблизитися до розуміння, як влаштовано чотиривимірний простір-час у якому ми живемо? На жаль, не зовсім.
Тут ми говорили про евклідове чотиривимірне простір, але простір-час має зовсім інші властивості. Зокрема, при будь-яких поворотах відрізки залишаються завжди нахилені до осі часу або під кутом менше 45 градусів або під кутом більше 45 градусів.

Проекції та зір мешканця чотиривимірного простору
Декілька слів про зір
Ми живемо у тривимірному світі, але бачимо його двовимірним. Це пов'язано з тим, що сітківка наших очей розташована в площині, що має лише два виміри. Саме тому ми здатні сприймати двовимірні картини та знаходити їх схожими на реальність. (Звичайно, завдяки акомодації, око може оцінити відстань до об'єкта, але це вже побічне явище, пов'язане з оптикою, вбудованою в наше око.)
Очі мешканця чотиривимірного простору повинні мати тривимірну сітківку. Така істота може відразу побачити тривимірну фігуру повністю: всі її межі та начинки. (Так само ми можемо побачити двовимірну фігуру, всі її грані і начинки.)
Таким чином, за допомогою наших органів зору ми не здатні сприйняти чотиривимірний куб так, як його сприймав би мешканець чотиривимірного простору. На жаль. Залишається тільки сподіватися на уявний погляд і фантазію, які, на щастя, не мають фізичних обмежень.
Проте, зображуючи гіперкуб на площині, я змушений робити його проекцію на двовимірний простір. Зважайте на цю обставину, при вивченні малюнків.
Перетину ребер
Звичайно, ребра гіперкуба не перетинаються. Перетини з'являються лише на малюнках. Втім, це не повинно викликати подиву, адже ребра звичайного куба на малюнках теж перетинаються.
Довжини ребер
Всі грані і ребра чотиривимірного куба рівні. На малюнку вони виходять не рівними тільки тому, що розташовані під різними кутами напряму погляду. Однак можна розгорнути гіперкуб так, що всі проекції матимуть однакову довжину.