Аксіома паралельних прямих підтвердження. Урок "аксіома паралельних прямих"
1. Якщо дві прямі паралельні третій прямий, то вони є паралельними:
Якщо a||cі b||c, то a||b.
2. Якщо дві прямі перпендикулярні до третьої прямої, то вони паралельні:
Якщо a⊥cі b⊥c, то a||b.
Інші ознаки паралельності прямих засновані на кутах, що утворюються при перетині двох прямих третьої.
3. Якщо сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то прямі паралельні:
Якщо ∠1 + ∠2 = 180°, то a||b.
4. Якщо відповідні кути рівні, то прямі паралельні:
Якщо ∠2 = ∠4, то a||b.
5. Якщо внутрішні навхрест лежачі кути рівні, то прямі паралельні:
Якщо ∠1 = ∠3, то a||b.
Властивості паралельних прямих
Твердження, обернені ознаками паралельності прямих, є їх властивостями. Вони засновані на властивостях кутів, утворених перетином двох паралельних прямих третьої прямої.
1. При перетині двох паралельних прямих третьої прямої сума утворених ними внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°:
Якщо a||b, то ∠1 + ∠2 = 180 °.
2. При перетині двох паралельних прямих третьої прямої, утворені ними відповідні кути рівні:
Якщо a||b, то ∠2 = ∠4.
3. При перетині двох паралельних прямих третьої прямої, утворені ними навхрест лежачі кути рівні:
Якщо a||b, то ∠1 = ∠3.
Наступна властивість є окремим випадком для кожного попереднього:
4. Якщо пряма на площині перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої:
Якщо a||bі c⊥a, то c⊥b.
П'ята властивість - це аксіома паралельності прямих:
5. Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній прямій.
Аксіома паралельності Евкліда
Аксіома паралельності Евкліда, або п'ятий постулат- Одна з аксіом, що лежать в основі класичної планіметрії. Вперше наведено у «Початках» Евкліда:
Евклід розрізняє поняття постулаті аксіомане пояснюючи їх відмінності; у різних манускриптах «Почав» Евкліда розбиття тверджень на аксіоми і постулати по-різному, як і збігається та його порядок. У класичному виданні "Початок" Гейберга сформульоване твердження є п'ятим постулатом.
Сучасною мовою текст Евкліда можна переформулювати так:
Якщо сума внутрішніх кутів із загальною стороною, утворених двома прямими при перетині їх третьої, з однієї зі сторін від січної менше 180°, то ці прямі перетинаються, і притому по ту ж сторону від січної.
П'ятий постулат дуже відрізняється від інших постулатів Евкліда, простих і інтуїтивно очевидних (див. Початки Евкліда). Тому протягом 2 тисячоліть не припинялися спроби виключити його зі списку аксіом та вивести як теорему. Усі ці спроби скінчилися невдачею. «Ймовірно, неможливо в науці знайти більш захоплюючу та драматичну історію, ніж історія п'ятого постулату Евкліда». Незважаючи на негативний результат, ці пошуки були марними, оскільки в кінцевому рахунку призвели до повного перегляду наукових уявлень про геометрію Всесвіту.
Еквівалентні формулювання постулату про паралельні
У сучасних джерелах зазвичай наводиться інше формулювання постулату про паралельні, еквівалентне (рівносильне) V постулату і належить Проклу (за кордоном її часто називають аксіомою Плейфера):
У площині через точку, що не лежить на цій прямій, можна провести одну і тільки одну пряму, паралельну даній.
У цьому формулюванні слова «одну і тільки одну» часто замінюють на «тільки одну» або «не більше однієї», оскільки існування хоча б однієї такої паралельної одразу випливає з теорем 27 і 28 «Початок» Евкліда.
Взагалі у постулату є безліч еквівалентних формулювань, багато з яких здаються досить очевидними. Ось деякі з них:
§ Існує прямокутник ( хоча б один), тобто чотирикутник, у якого всі кути прямі.
§ Існують подібні, але не рівні трикутники ( аксіома Валліса, 1693).
§ Будь-яку фігуру можна пропорційно збільшити.
§ Існує трикутник скільки завгодно великої площі.
§ Пряма, що проходить через точку всередині кута, перетинає принаймні одну його сторону ( аксіома Лоренца, 1791).
§ Через кожну точку всередині гострого кута завжди можна провести пряму, що перетинає обидві сторони.
§ Якщо дві прямі в один бік розходяться, то в інший – зближуються.
§ Прямі, що зближуються, рано чи пізно перетнуться.
§ Варіант: перпендикуляр і похила до однієї і тієї ж прямої неодмінно перетинаються (аксіома Лежандра).
§ Точки, рівновіддалені від цієї прямої (по одну її сторону), утворюють пряму,
§ Якщо дві прямі почали зближуватися, то неможливо, щоб вони почали (в той же бік, без перетину) розходитися ( аксіома Роберта Сімсона, 1756).
§ Сума кутів однакова у всіх трикутників.
§ Існує трикутник, сума кутів якого дорівнює двом прямим.
§ Дві прямі, паралельні третій, паралельні та один одному ( аксіома Остроградського, 1855).
§ Пряма, що перетинає одну з паралельних прямих, неодмінно перетне й іншу.
§ Через будь-які три точки можна провести або пряму, або коло.
§ Варіант: для будь-якого невиродженого трикутника існує описане коло ( аксіома Фаркаша Бойяї).
§ Справедлива теорема Піфагора.
Еквівалентність їх означає, що всі вони можуть бути доведені, якщо прийняти V постулат, і навпаки, замінивши V постулат будь-яке з цих тверджень, ми зможемо довести вихідний V постулат як теорему.
Якщо замість V постулату припустити, що для пари точка-пряма V постулат невірний, то отримана система аксіом описуватиме геометрію Лобачевського. Зрозуміло, що в геометрії Лобачевського всі перераховані вище еквівалентні твердження невірні.
Система аксіом сферичної геометрії вимагає зміни також інших аксіом Евкліда.
П'ятий постулат різко виділяється з-поміж інших, цілком очевидних, він більше схожий на складну, неочевидну теорему. Евклід, мабуть, усвідомлював це, і тому перші 28 пропозицій у «Початках» доводяться без його допомоги.
«Евкліду, безумовно, мали бути відомі різні форми постулату про паралельні». Чому ж він вибрав наведену, складну та громіздку? Історики висловлювали різні припущення щодо причин такого вибору. В.П. Смілга вважав, що Евклід таким формулюванням вказував на те, що дана частина теорії є незавершеною. М. Клайн звертає увагу на те, що п'ятий постулат Евкліда має локальнийхарактер, тобто описує подію на обмеженій ділянці площини, тоді як, наприклад, аксіома Прокла стверджує факт паралельності, що вимагає розгляду всієї нескінченної прямої. Потрібно пояснити, що античні математики уникали використовувати актуальну нескінченність; наприклад, другий постулат Евкліда стверджує не нескінченність прямої, а лише те, що «пряму можна безперервно продовжувати». З точки зору античних математиків, вищенаведені еквіваленти постулату про паралельні могли здаватися неприйнятними: вони або посилаються на актуальну нескінченність або (не введене) поняття виміру, або теж не дуже очевидні.
Вивчаючи властивості геометричних фігур, ми довели низку теорем. У цьому ми спиралися, зазвичай, на доведені раніше теореми. А на чому ґрунтуються докази найперших теорем геометрії? Відповідь на це питання таке: деякі твердження про властивості геометричних фігур приймаються як вихідні положення, на основі яких доводяться далі теореми і взагалі будується вся геометрія. Такі вихідні положення називаються аксіомами.
Деякі аксіоми були сформульовані ще першому розділі (хоча вони й не називалися там аксіомами). Наприклад, аксіомою є твердження про те, що
Багато інших аксіомів, хоч і не були виділені особливо, але фактично використовувалися в наших міркуваннях. Так, порівняння двох відрізків ми проводили за допомогою накладення одного відрізка на інший. Можливість такого накладення випливає з наступної аксіоми:
Порівняння двох кутів ґрунтується на аналогічній аксіомі:
Всі ці аксіоми є очевидними і не викликають сумнівів. Саме слово «аксіома» походить від грецького «аксіос», що означає «цінний, гідний». Повний список аксіом планіметрії, прийнятих у нашому курсі геометрії, ми наводимо наприкінці підручника.
Такий підхід до побудови геометрії, коли спочатку формулюються вихідні положення - аксіоми, а потім на їх основі шляхом логічних міркувань доводяться інші твердження, зародився ще в давнину і був викладений у знаменитому творі "Початку" давньогрецького вченого Евкліда. Деякі з аксіом Евкліда (частину він називав постулатами) і зараз використовуються в курсах геометрії, а сама геометрія, викладена в «Початках», називається евклідовою геометрією. У наступному пункті ми познайомимося з одним із найвідоміших аксіом геометрії.
Аксіома паралельних прямих
Розглянемо довільну пряму а і точку М, яка не лежить на ній (рис. 110, а). Доведемо, що через точку М можна провести пряму, паралельну до прямої а. Для цього проведемо через точку М дві прямі: спочатку пряму перпендикулярно до прямої а, а потім пряму b перпендикулярно до прямої с (рис. 110, (б). Оскільки прямі а і b перпендикулярні до прямої с, то вони паралельні.
Рис. 110
Отже, через точку М проходить пряма b, паралельна до прямої а. Виникає наступне питання: чи можна через точку М провести ще одну пряму, паралельну до прямої а?
Нам видається, що якщо пряму b «повернути» навіть на дуже малий кут навколо точки М, то вона перетне пряму а (пряма b на малюнку 110,6). Іншими словами, нам здається, що через точку М не можна провести іншу пряму ( відмінну від b), паралельну до прямої а. А чи можна це твердження довести?
Це питання має велику історію. У «Початках» Евкліда міститься постулат (п'ятий постулат Евкліда), з якого випливає, що через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести лише одну пряму, паралельну даній. Багато математиків, починаючи з давніх часів, робили спроби довести п'ятий постулат Евкліда, тобто вивести його з інших аксіом. Однак ці спроби щоразу виявлялися невдалими. І лише в минулому столітті було остаточно з'ясовано, що твердження про єдиність прямої, що проходить через дану точку паралельно даній прямій, не може бути доведено на основі інших аксіом Евкліда, а саме є аксіомою.
Величезну роль вирішенні цього непростого питання зіграв великий російський математик Микола Іванович Лобачевський (1792-1856).
Отже, як ще одне з вихідних положень, ми приймаємо аксіому паралельних прямих.
Твердження, що виводяться безпосередньо з аксіом або теорем, називаються наслідками. Наприклад, твердження 1 і 2 (див. с. 35) є наслідками теореми про бісектрису рівнобедреного трикутника.
Розглянемо деякі наслідки з аксіоми паралельних прямих.
Дійсно, нехай прямі а і b паралельні та пряма з перетинає пряму а в точці М (рис. 111, а). Доведемо, що пряма з перетинає і пряму b. Якби пряма не перетинала пряму b, то через точку М проходили б дві прямі (прямі а і с), паралельні прямій b (рис. 111, б). Але це суперечить аксіомі паралельних прямих, і, отже, пряма з перетинає пряму b.
Рис. 111
Справді, нехай прямі а і Ь паралельні до прямої (рис. 112, а). Доведемо, що а || b. Припустимо, що прямі а і b не є паралельними, тобто перетинаються в деякій точці М (рис. 112,6). Тоді через точку М проходять дві прямі (прямі а та b), паралельні прямій с.
Рис. 112
Але це суперечить аксіомі паралельних прямих. Тому наше припущення неправильне, а отже, прямі а та b паралельні.
Теореми про кутах, утворених двома паралельними прямими та січній
У кожній теоремі розрізняють дві частини: умоваі висновок. Умова теореми - те, що дано, а висновок - те, що потрібно довести.
Розглянемо, наприклад, теорему, що виражає ознаку паралельності двох прямих: якщо при перетині двох прямих січною навхрест лежачі кути рівні, то прямі паралельні.
У цій теоремі умовою є перша частина твердження: «при перетині двох прямих січною навхрест лежачі кути рівні» (це дано), а висновком - друга частина: «прямі паралельні» (це потрібно довести).
Теорема, зворотна дана, називається така теорема, у якій умовою є висновок цієї теореми, а висновком - умова цієї теореми. Доведемо теореми, обернені до трьох теорем п. 25.
Теорема
Доведення
Нехай паралельні прямі а та b перетнуті січною MN. Доведемо, що навхрест кути, що лежать, наприклад 1 і 2, рівні (рис. 113).
Рис. 113
Припустимо, що кути 1 та 2 не рівні. Відкладемо від променя MN кут PMN, що дорівнює куту 2, так, щоб ∠PMN і ∠2 були навхрест лежачими кутами при перетині прямих МР і b сіючої MN. По побудові ці навхрест лежачі кути рівні, тому МР || b. Ми отримали, що через точку М проходять дві прямі (прямі а та МР), паралельні до прямої Ь. Але це суперечить аксіомі паралельних прямих. Отже, наше припущення є невірним і ∠1 = ∠2. Теорему доведено.
Зауваження
За доказом цієї теореми ми використовували спосіб міркувань, який називається методом доказу від протилежного.
Ми припустили, що при перетині паралельних прямих а і b січної MN навхрест кути 1 і 2, що лежать, не рівні, тобто припустили протилежне тому, що потрібно довести. Виходячи з цього припущення, шляхом міркувань ми дійшли суперечності з аксіомою паралельних прямих. Це означає, що наше припущення є невірним і, отже, ∠1 = ∠2.
Такий спосіб міркування часто використовується в математиці. Ми ним користувалися і раніше, наприклад, у п. 12 при доказі того, що дві прямі, перпендикулярні до третьої, не перетинаються. Цим же методом ми користувалися п. 28 при доказі наслідків 1 0 і 2 0 з аксіоми паралельних прямих.
Слідство
Справді, нехай || b, з ⊥ a, тобто ∠1 = 90° (рис. 114). Пряма з перетинає пряму а тому вона перетинає також пряму b. При перетині паралельних прямих а і Ь січної с утворюються рівні навхрест кути, що лежать: ∠1=∠2. Так як ∠1 = 90°, то і ∠2 = 90°, тобто з ⊥ b, що потрібно було довести.
Рис. 114
Теорема
Доведення
Нехай паралельні прямі а і b перетнуті січною с. Доведемо, що відповідні кути, наприклад 1 та 2, рівні (див. рис. 102). Оскільки а || b, то навхрест кути, що лежать 1 і 3 рівні.
Кути 2 та 3 рівні як вертикальні. З рівностей ∠1 = ∠3 і ∠2 = ∠3 випливає, що ∠1 = ∠2. Теорему доведено.
Теорема
Доведення
Нехай паралельні прямі а і b перетнуті січною с (див. рис. 102). Доведемо, наприклад, що ∠1 + ∠4 = 180°. Оскільки а || b, то відповідні кути 1 та 2 рівні. Кути 2 та 4 суміжні, тому ∠2 + ∠4 = 180°. З рівностей ∠1 = ∠2 і ∠2 + ∠4 = 180° випливає, що ∠1 + ∠4 = 180°. Теорему доведено.
Зауваження
Якщо доведено деяку теорему, то звідси ще не випливає справедливість зворотного твердження. Більше того, зворотне твердження не завжди є вірним. Наведемо найпростіший приклад. Ми знаємо, що якщо кути вертикальні, вони рівні. Зворотне твердження: «якщо кути рівні, вони вертикальні», звісно, неправильно.
Кути з відповідно паралельними або перпендикулярними сторонами
Доведемо теорему про кути із відповідно паралельними сторонами.
Теорема
Доведення
Нехай ∠AOB та ∠A 1 O 1 B 1 - дані кути та ОА || Про 1 А 1, ВВ || О 1 В 1 . Якщо кут АОВ розгорнутий, то і кут А1О1В1 - розгорнутий (поясніть чому), тому ці кути рівні. Нехай ∠AOB – нерозгорнутий кут. Можливі випадки розташування кутів АОВ та А1О1В1 зображені на малюнку 115, а і б. Пряма О 1 В 1 перетинає пряму О 1 А 1 і, отже, перетинає паралельну їй пряму ОА в деякій точці М. Паралельні прямі ОВ і О 1 В 1 перетнуті секучою ОМ, тому один з кутів, утворених при перетині прямих О 1 і ОА (кут 1 на малюнку 115), дорівнює куту АОВ (як навхрест кути, що лежать). Паралельні прямі ОА і О 1 А 1 пересічені січучою О 1 М, тому або ∠1 = ∠A 1 O 1 B 1 (рис. 115, а), або ∠1 + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° (рис. 115, б). З рівності ∠1 = ∠AOB та останніх двох рівностей випливає, що або ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 (див. рис. 115, а), або ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° ( див. рис.115, б). Теорему доведено.
Рис. 115
Доведемо тепер теорему про кути з перпендикулярними сторонами.
Теорема
Доведення
Нехай ∠AOB і ∠A 1 O 1 B 1 - дані кути, OA ⊥ O 1 A 1 , OB ⊥ O 1 B 1 . Якщо кут АОВ розгорнутий чи прямий, те й кут А 1 О 1 В 1 розгорнутий чи прямий (поясніть чому), тому ці кути рівні. Нехай ∠AOB< 180°, О ∉ О 1 А 1 , О ∉ О 1 В 1 (случаи О ∈ O 1 А 1 , О ∈ О 1 В 1 рассмотрите самостоятельно).
Можливі два випадки (рис. 116).
1 0 . ∠AOB< 90° (см. рис. 116, а). Проведём луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой О А. Далее, проведём луч OD так, чтобы прямые ОВ и OD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой О А. Поскольку ∠AOB = 90° - ∠AOD и ∠COD = 90° - ∠AOD, то ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD соответственно параллельны сторонам угла А 1 О 1 В 1 (объясните почему), поэтому либо ∠COD = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠COD + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Следовательно, либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°.
2 0 . ∠AOB > 90° (див. рис. 116, б). Проведемо промінь ОС так, щоб кут АОС був суміжним із кутом АОВ. Кут АОС гострий, та його сторони відповідно перпендикулярні сторонам кута А 1 Про 1 У 1 . Отже, ∠AOC + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°, або ∠AOC = ∠A 1 O 1 B 1 . У першому випадку ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , у другому випадку ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Теорему доведено.
Завдання
196. Дано трикутник АВС. Скільки прямих, паралельних стороні АВ можна провести через вершину С?
197. Через точку, що не лежить на прямій р, проведено чотири прямі. Скільки із цих прямих перетинають пряму р? Розгляньте всі можливі випадки.
198. Прямі а та b перпендикулярні до прямої р, пряма з перетинає пряму а. Чи перетинає пряма з прямою b?
199. Пряма р паралельна стороні АВ трикутника АВС. Доведіть, що прямі ВС та АС перетинають пряму р.
200. На малюнку 117 AD | p та PQ || НД. Доведіть, що пряма р перетинає прямі АВ, АВ, АС, ВС та PQ.
Рис. 117
201. Сума навхрест лежачих кутів при перетині двох паралельних прямих січної дорівнює 210°. Знайдіть ці кути.
202. На малюнку 118 прямі а, b і с пересічені прямою d, ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138°. Які з прямих а, b та з паралельні?
Рис. 118
203. Знайдіть усі кути, утворені при перетині двох паралельних прямих а і b січної с, якщо:
а) один із кутів дорівнює 150°;
б) один із кутів на 70° більший за інший.
204. Кінці відрізка АВ лежать на паралельних прямих а та b. Пряма, що проходить через середину Про цього відрізка, перетинає прямі а та b у точках С та D. Доведіть, що СО = ОD.
205. За даними малюнку 119 знайдіть ∠1.
Рис. 119
206. ∠ABC = 70°, a ABCD = 110°. Чи можуть прямі АВ та CD бути:
а) паралельними;
б) такими, що перетинаються?
207. Дайте відповідь на запитання задачі 206, якщо ∠АВС = 65°, а ∠BCD= 105°.
208. Різниця двох односторонніх кутів при перетині двох паралельних прямих січної дорівнює 50°. Знайдіть ці кути.
209. На малюнку 120 а || b, з || d, ∠4 = 45 °. Знайдіть кути 1, 2 та 3.
Рис. 120
210. Два тіла Р 1 та Р 2 підвішені на кінцях нитки, перекинутої через блоки А та В (рис. 121). Третє тіло Р 3 підвішене до тієї ж нитки у точці З і врівноважує тіла Р 1 та Р 2 . (При цьому АР 1 || ВР 2 || СР 3 .) Доведіть, що ∠ACB = ∠CAP 1 + ∠CBP 2 .
Рис. 121
211. Дві паралельні прямі перетнуті січною. Доведіть, що: а) бісектриси навхрест лежачих кутів паралельні; б) бісектриси односторонніх кутів перпендикулярні.
212. Прямі, що містять висоти АА 1 і ВВ 1 трикутника АВС, перетинаються в точці Н, кут В тупий, ∠C = 20°. Знайдіть кут АHВ.
Відповіді до завдань
196. Одну пряму.
197. Три чи чотири.
201. 105 °, 105 °.
203. б) Чотири кути по 55°, чотири інші кути по 125°.
206. а) Так; б) так.
207. а) Ні; б) так.
208. 115 ° і 65 °.
209. ∠1 = 135 °, ∠2 = 45 °, ∠3 = 135 °.
210. Вказівка. Розглянути продовження променя СР 3 .
Ми використовували й інші аксіоми, хоча особливо їх не виділяли. Так, порівняння двох відрізків ми проводили з допомогою накладання. Можливість такого накладення випливає з аксіоми «На будь-якому промені від його початку можна відкласти відрізок, рівний цьому, і до того ж лише один»
Ці аксіоми не викликають сумнівів та за допомогою них доводяться інші твердження. Такий спосіб зародився дуже давно і був викладений у творі "Початку" вченого Евкліда. Деякі з аксіом Евкліда - постулати зараз використовуються в геометрії, а сама геометрія, викладена в «Початках», називається Евклідовою геометрією.
Теореми про кутах, утворених двома паралельними та січною. Умова – те, що дано. Висновок – те, що потрібно довести. Теорема, обернена даної –така теорема, у якій умовою є висновок даної теореми, а висновком – умова цієї теореми.
Зауваження. Якщо доведено деяку теорему, то звідси ще не випливає справедливість зворотного твердження. Більше того, зворотне твердження не завжди є вірним. Наприклад, "вертикальні кути рівні". Зворотне твердження: "якщо кути рівні, то вони вертикальні" - звичайно ж, неправильно.
