Алгоритм розв'язання дробових нерівностей із логарифмами. Складні логарифмічні нерівності

Вам здається, що до ЄДІ є ще час, і ви встигнете підготуватися? Можливо, це й так. Але в будь-якому випадку, чим раніше школяр починає підготовку, тим успішніше він складає іспити. Сьогодні ми вирішили присвятити статтю логарифмічним нерівностям. Це одне із завдань, а значить, можливість отримати додатковий бал.

Ви знаєте, що таке логарифм(log)? Ми дуже сподіваємося, що так. Але навіть якщо ви не маєте відповіді на це питання, це не проблема. Зрозуміти, що таке логарифм, дуже просто.

Чому саме 4? У такий ступінь потрібно звести число 3, щоб вийшло 81. Коли ви зрозуміли принцип, можна приступати і складніших обчислень.

Нерівності ви проходили ще кілька років тому. І з того часу вони постійно зустрічаються вам у математиці. Якщо у вас є проблеми з розв'язанням нерівностей, ознайомтеся з відповідним розділом.
Тепер, коли ми познайомилися з поняттями окремо, перейдемо до їхнього розгляду загалом.

Найпростіша логарифмічна нерівність.

Найпростіші логарифмічні нерівності не обмежуються цим прикладом, є ще три лише з іншими знаками. Навіщо це потрібно? Щоб повніше зрозуміти, як вирішувати нерівність із логарифмами. Тепер наведемо більш застосовний приклад, все ще досить простий, складні логарифмічні нерівності залишимо потім.

Як це вирішити? Все починається з ОДЗ. Про нього варто знати більше, якщо хочеться завжди легко вирішувати будь-яку нерівність.

Що таке ОДЗ? ОДЗ для логарифмічних нерівностей

Абревіатура розшифровується як область допустимих значень. У завданнях для ЄДІ часто спливає це формулювання. ОДЗ стане вам у нагоді не тільки у випадку логарифмічних нерівностей.

Подивіться ще раз на наведений вище приклад. Ми розглядатимемо ОДЗ, виходячи з нього, щоб ви зрозуміли принцип, і вирішення логарифмічних нерівностей не викликало питань. З визначення логарифму випливає, що 2х+4 має бути більше нуля. У нашому випадку це означає таке.

Це число за визначенням має бути позитивним. Вирішіть нерівність, подану вище. Це можна зробити навіть усно, тут явно, що X не може бути меншим за 2. Вирішення нерівності і буде визначенням області допустимих значень.
Тепер перейдемо до вирішення найпростішої логарифмічної нерівності.

Відкидаємо з обох частин нерівності самі логарифми. Що в результаті залишається? Просте нерівність.

Вирішити його нескладно. X має бути більше -0,5. Тепер поєднуємо два отримані значення системи. Таким чином,

Це і буде область допустимих значень для логарифмічної нерівності, що розглядається.

Навіщо взагалі потрібне ОДЗ? Це можливість відсіяти невірні та неможливі відповіді. Якщо відповідь не входить у область допустимих значень, отже, відповідь просто немає сенсу. Це варто запам'ятати надовго, оскільки в ЄДІ часто трапляється необхідність пошуку ОДЗ, і стосується вона не лише логарифмічних нерівностей.

Алгоритм розв'язання логарифмічної нерівності

Рішення складається з кількох етапів. По-перше, необхідно знайти область допустимих значень. В ОДЗ буде два значення, це ми розглянули вище. Далі потрібно вирішити саму нерівність. Методи вирішення бувають такими:

• метод заміни множників;
• декомпозиції;
• метод раціоналізації.

Залежно від ситуації варто застосовувати один із перерахованих вище методів. Перейдемо безпосередньо до рішення. Розкриємо найпопулярніший метод, який підходить для вирішення завдань ЄДІ практично у всіх випадках. Далі ми розглянемо спосіб декомпозиції. Він може допомогти, якщо трапилася особливо «хитромудра» нерівність. Отже, алгоритм розв'язання логарифмічної нерівності.

Приклади рішення :

Ми не дарма взяли саме таку нерівність! Зверніть увагу на основу. Запам'ятайте: якщо воно більше одиниці, знак залишається незмінним при знаходженні області допустимих значень; інакше потрібно змінити знак нерівності.

В результаті ми отримуємо нерівність:

Тепер наводимо ліву частину до виду рівняння, що дорівнює нулю. Замість знака "менше" ставимо "рівно", вирішуємо рівняння. Таким чином ми знайдемо ОДЗ. Сподіваємось, що з вирішенням такого простого рівняння у вас не буде проблем. Відповіді -4 та -2. Це ще не все. Потрібно відобразити ці точки на графіці, розставити "+" та "-". Що для цього потрібно зробити? Підставити у вираз числа з інтервалів. Де значення позитивні, там ставимо "+".

Відповідь: не може бути більше -4 і менше -2.

Ми знайшли область допустимих значень тільки для лівої частини, тепер потрібно знайти область допустимих значень правої частини. Це значно легше. Відповідь: -2. Перетинаємо обидві отримані області.

І тільки тепер починаємо вирішувати саму нерівність.

Спростимо його наскільки можливо, щоб вирішувати було легше.

Знову застосовуємо метод інтервалів у рішенні. Опустимо викладки, з ним уже й так усе зрозуміло за попереднім прикладом. Відповідь.

Але цей метод підходить, якщо логарифмічна нерівність має однакові підстави.

Вирішення логарифмічних рівнянь і нерівностей з різними підставами передбачає початкове приведення до однієї основи. Далі застосовуйте описаний вище метод. Але є й складніший випадок. Розглянемо один із найскладніших видів логарифмічних нерівностей.

Логарифмічні нерівності зі змінною основою

Як вирішувати нерівності з такими характеристиками? Так, і такі можуть зустрітися у ЄДІ. Вирішення нерівностей нижченаведеним способом теж корисно позначиться на вашому освітньому процесі. Розберемося у питанні докладним чином. Відкинемо теорію, перейдемо одразу до практики. Щоб вирішувати логарифмічні нерівності, достатньо одного разу ознайомитись із прикладом.

Щоб вирішити логарифмічну нерівність представленого виду, необхідно привести праву частину до логарифму з тією самою підставою. Принцип нагадує рівносильні переходи. У результаті нерівність виглядатиме так.

Власне, залишається створити систему нерівностей без логарифмів. Використовуючи метод раціоналізації, переходимо до рівносильної системи нерівностей. Ви зрозумієте і саме правило, коли підставите відповідні значення та простежите їх зміни. У системі будуть такі нерівності.

Скориставшись методом раціоналізації при розв'язанні нерівностей потрібно пам'ятати таке: з підстави необхідно відняти одиницю, х за визначенням логарифму з обох частин нерівності віднімається (праве з лівого), два вирази перемножуються і виставляються під вихідним знаком по відношенню до нуля.

Подальше рішення здійснюється методом інтервалів, тут усе просто. Вам важливо зрозуміти відмінності у методах вирішення, тоді все почне легко виходити.

У логарифмічних нерівностях багато аспектів. Найпростіші їх вирішувати досить легко. Як зробити так, щоб вирішувати кожну з них без проблем? Усі відповіді ви вже отримали у цій статті. Тепер попереду на вас чекає тривала практика. Постійно практикуйтеся у вирішенні найрізноманітніших завдань у рамках іспиту та зможете отримати найвищий бал. Успіхів вам у вашій непростій справі!

Серед усього різноманіття логарифмічних нерівностей окремо вивчають нерівності зі змінною основою. Вони вирішуються за спеціальною формулою, яку чомусь рідко розповідають у школі:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) · (k (x) - 1) ∨ 0

Замість галки «∨» можна поставити будь-який знак нерівності: більше чи менше. Головне, щоб у обох нерівностях знаки були однаковими.

Так ми позбавляємося логарифмів і зводимо завдання до раціональної нерівності. Останнє вирішується набагато простіше, але при відкиданні логарифмів може виникнути зайве коріння. Щоб їх відсікти, достатньо знайти область допустимих значень. Якщо ви забули ОДЗ логарифму, настійно рекомендую повторити – див. «Що таке логарифм».

Все, що пов'язане з областю допустимих значень, треба виписати та вирішити окремо:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Ці чотири нерівності становлять систему і мають виконуватися одночасно. Коли область допустимих значень знайдено, залишається перетнути її з розв'язанням раціональної нерівності - і відповідь готова.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

Для початку випишемо ОДЗ логарифму:

Перші дві нерівності виконуються автоматично, а останню доведеться розписати. Оскільки квадрат числа дорівнює нулю і тоді, коли саме число дорівнює нулю, маємо:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Виходить, що ОДЗ логарифму - усі числа, крім нуля: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Тепер вирішуємо основну нерівність:

Виконуємо перехід від логарифмічної нерівності до раціональної. У вихідній нерівності стоїть знак «менше», отже, отримана нерівність теж має бути зі знаком «менше». Маємо:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) · x 2< 0;
(3 − x ) · (3 + x ) · x 2< 0.

Нулі цього виразу: x = 3; x = -3; x = 0. Причому x = 0 - корінь другої кратності, отже, при переході через нього знак функції не змінюється. Маємо:

Отримуємо x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ця множина повністю міститься в ОДЗ логарифму, отже це і є відповідь.

Перетворення логарифмічних нерівностей

Часто вихідна нерівність відрізняється від наведеного вище. Це легко виправити за стандартними правилами роботи з логарифмами – див. «Основні властивості логарифмів». А саме:

1. Будь-яке число представимо у вигляді логарифму із заданою основою;
2. Суму та різницю логарифмів з однаковими підставами можна замінити одним логарифмом.

Окремо хочу нагадати про область допустимих значень. Оскільки у вихідній нерівності може бути кілька логарифмів, потрібно знайти ОДЗ кожного з них. Таким чином, загальна схема розв'язання логарифмічних нерівностей така:

1. Знайти ОДЗ кожного логарифму, що входить у нерівність;
2. Звести нерівність до стандартної за формулами додавання та віднімання логарифмів;
3. Вирішити отриману нерівність за схемою, наведеною вище.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

Знайдемо область визначення (ОДЗ) першого логарифму:

Вирішуємо методом інтервалів. Знаходимо нулі чисельника:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Потім – нулі знаменника:

x − 1 = 0;
x = 1.

Відзначаємо нулі та знаки на координатній стрілі:

Отримуємо x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). У другого логарифму ОДЗ буде так само. Не вірите – можете перевірити. Тепер перетворимо другий логарифм так, щоб у основі стояла двійка:

Як бачите, трійки в основі та перед логарифмом скоротилися. Отримали два логарифми з однаковою основою. Складаємо їх:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Набули стандартної логарифмічної нерівності. Позбавляємося логарифмів за формулою. Оскільки у вихідній нерівності стоїть знак «менше», отриманий раціональний вираз теж має бути меншим за нуль. Маємо:

(f (x) - g (x)) · (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Отримали дві множини:

1. ОДЗ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Кандидат відповідь: x ∈ (−1; 3).

Залишилося перетнути ці множини - отримаємо справжню відповідь:

Нас цікавить перетин множин, тому обираємо інтервали, зафарбовані на обох стрілах. Отримуємо x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - усі точки виколоти.

Логарифмічні нерівності

На попередніх уроках ми з вами познайомилися з логарифмічними рівняннями, і тепер знаємо, що це таке і як їх вирішувати. А сьогоднішній урок буде присвячено вивченню логарифмічних нерівностей. Що ж це за такі нерівності та у чому різниця між розв'язанням логарифмічного рівняння та нерівності?

Логарифмічні нерівності - це нерівності, які мають змінну, що стоїть під знаком логарифму або на його підставі.

Або ж, можна ще сказати, що логарифмічна нерівність – це така нерівність, в якій її невідома величина, як і в логарифмічному рівнянні, стоятиме під знаком логарифму.

Найпростіші логарифмічні нерівності мають такий вигляд:

де f(x) та g(x) є деякими виразами, які залежать від x.

Давайте це розглянемо такий приклад: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Розв'язання логарифмічних нерівностей

Перед розв'язанням логарифмічних нерівностей варто зазначити, що вони при вирішенні мають схожість з показовими нерівностями, а саме:

По-перше, при переході від логарифмів до виразів, що стоять під знаком логарифму, нам також необхідно порівняти основу логарифму з одиницею;

По-друге, вирішуючи логарифмічну нерівність, використовуючи заміну змінних, нам необхідно вирішувати нерівності щодо заміни до того моменту, поки ми не отримаємо найпростішу нерівність.

Але це ми з вами розглянули подібні моменти розв'язання логарифмічних нерівностей. А зараз звернемо увагу на досить істотну відмінність. Нам з вами відомо, що логарифмічна функція має обмежену область визначення, тому переходячи від логарифмів до виразів, що стоять під знаком логарифму, потрібно брати до уваги область допустимих значень (ОДЗ).

Тобто слід враховувати, що, вирішуючи логарифмічне рівняння ми з вами, можемо спочатку знаходити коріння рівняння, а потім робити перевірку цього рішення. А ось вирішити логарифмічну нерівність так не вийде, оскільки, переходячи від логарифмів до виразів, що стоять під знаком логарифму, необхідно буде записувати ОДЗ нерівності.

До того ж варто запам'ятати, що теорія нерівностей складається з дійсних чисел, якими є позитивні та негативні числа, і навіть число 0.

Наприклад, коли число «а» є позитивним, необхідно використовувати такий запис: a >0. У цьому випадку, як сума, так і добуток цих чисел також будуть позитивними.

Основним принципом розв'язання нерівності є його заміна на простішу нерівність, але головне, щоб вона була рівносильна цьому. Далі, також ми здобули нерівність і знову її замінили на ту, яка має більш простий вигляд і т.д.

Вирішуючи нерівності зі змінною необхідно шукати всі її рішення. Якщо дві нерівності мають одну змінну х, такі нерівності рівносильні, за умови, що й рішення збігаються.

Виконуючи завдання на розв'язання логарифмічних нерівностей, слід запам'ятати, що коли a > 1, то логарифмічна функція зростає, а коли 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Способи розв'язання логарифмічних нерівностей

Зараз розглянемо деякі способи, які мають місце під час вирішення логарифмічних нерівностей. Для кращого розуміння та засвоєння, спробуємо у них розібратися на конкретних прикладах.

Нам з вами відомо, що найпростіша логарифмічна нерівність має такий вигляд:

У цій нерівності V є одним з таких знаків нерівності, як:<,>, ≤ або ≥.

Коли основа даного логарифму більше одиниці (a>1), здійснюючи перехід від логарифмів до виразів, що стоять під знаком логарифму, то в цьому варіанті знак нерівності зберігається, і нерівність матиме такий вигляд:

що рівносильно такій системі:

У разі ж, коли основа логарифму більша за нуль і менше одиниці (0

Це рівносильно даній системі:

Подивимося ще приклади вирішення найпростіших логарифмічних нерівностей, наведених на малюнку нижче:

Рішення прикладів

Завдання.Давайте спробуємо вирішити таку ось нерівність:

Вирішення області допустимих значень.

Тепер спробуємо помножити його праву частину на:

Дивимося, що в нас вийде:

Тепер, давайте з вами перейдемо до перетворення підлогарифмічних виразів. У зв'язку з тим, що основа логарифму 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8> 16;
3x > 24;
х > 8.

А з цього випливає, що інтервал, який ми отримали, повністю належить ОДЗ і є вирішенням такої нерівності.

Ось яка відповідь у нас вийшла:

Що необхідно для вирішення логарифмічних нерівностей?

А тепер спробуємо проаналізувати, що нам необхідно для успішного вирішення логарифмічних нерівностей?

По-перше, зосередити всю свою увагу і постаратися не допускати помилок при виконанні перетворень, які дано в цій нерівності. Також слід запам'ятати, що при вирішенні таких нерівностей потрібно не допускати розширень та звужень ОДЗ нерівності, які можуть призвести до втрати або придбання сторонніх рішень.

По-друге, при розв'язанні логарифмічних нерівностей необхідно навчитися мислити логічно та розуміти різницю між такими поняттями, як система нерівностей та сукупність нерівностей, щоб ви без проблем змогли здійснювати відбір розв'язків нерівності, при цьому керуючись її ОДЗ.

По-третє, для успішного розв'язання таких нерівностей кожен з вас повинен добре знати всі властивості елементарних функцій і чітко розуміти їх зміст. До таких функцій відносяться не лише логарифмічні, а й раціональні, статечні, тригонометричні і т.д., одним словом, усі ті, які ви вивчали протягом шкільного навчання алгебри.

Як бачите, вивчивши тему про логарифмічні нерівності, у вирішенні цих нерівностей немає нічого складного за умови, якщо ви будете уважні та наполегливі у досягненні поставленої мети. Щоб у вирішенні нерівностей не виникало жодних проблем, потрібно якнайбільше тренуватися, вирішуючи різні завдання і при цьому запам'ятовувати основні способи вирішення таких нерівностей та їх систем. При невдалих рішеннях логарифмічних нерівностей слід уважно проаналізувати свої помилки, щоб у майбутньому не повертатися до них знову.

Домашнє завдання

Для кращого засвоєння теми та закріплення пройденого матеріалу вирішіть наступні нерівності:

ЛОГАРИФМІЧНІ НЕРІВНОСТІ В ЄДІ

Сєчін Михайло Олександрович

Мала академія наук учнівської молоді РК «Шукач»

МБОУ «Радянська ЗОШ №1», 11 клас, смт. Радянський Радянського району

Гунько Людмила Дмитрівна, вчитель МБОУ «Радянська ЗОШ №1»

Радянського району

Мета роботи:дослідження механізму розв'язання логарифмічних нерівностей С3 за допомогою нестандартних методів; виявлення цікавих фактів логарифму.

Предмет дослідження:

3) Навчитися вирішувати конкретні логарифмічні нерівності С3 з допомогою нестандартних методів.

Результати:

Зміст

Введение………………………………………………………………………….4

Глава 1. Історія питання……………………………………………………...5

Глава 2. Збірник логарифмічних нерівностей ………………………… 7

2.1. Рівносильні переходи та узагальнений метод інтервалів…………… 7

2.2. Метод раціоналізації ………………………………………………… 15

2.3. Нестандартна підстановка……………….......................................... ..... 22

2.4. Завдання з пастками…………………………………………………… 27

Заключение…………………………………………………………………… 30

Література……………………………………………………………………. 31

Вступ

Я навчаюсь в 11 класі і планую вступити до ВНЗ, де профільним предметом є математика. А тому багато працюю із завданнями частини С. У завданні С3 потрібно вирішити нестандартну нерівність або систему нерівностей, як правило, пов'язану з логарифмами. Під час підготовки до іспиту я зіткнувся з проблемою дефіциту методів і прийомів розв'язання екзаменаційних логарифмічних нерівностей, пропонованих С3. Методи, які вивчаються у шкільній програмі з цієї теми, не дають бази для вирішення завдань С3. Вчитель з математики запропонувала мені попрацювати із завданнями С3 самостійно під її керівництвом. Крім цього, мене зацікавило питання: а у житті нашому зустрічаються логарифми?

З огляду на це і була обрана тема:

«Логарифмічні нерівності в ЄДІ»

Мета роботи:дослідження механізму розв'язання задач С3 за допомогою нестандартних методів; виявлення цікавих фактів логарифму.

Предмет дослідження:

1) Знайти необхідні відомості про нестандартні методи розв'язання логарифмічних нерівностей.

2) Знайти додаткові відомості про логарифми.

3) Навчитися вирішувати конкретні завдання С3 з допомогою нестандартних методів.

Результати:

Практична значимість полягає у розширенні апарату для вирішення задач С3. Даний матеріал можна буде використовувати на деяких уроках для проведення гуртків, факультативних занять з математики.

Проектним продуктом стане збірка "Логарифмічні нерівності С3 з рішеннями".

Розділ 1. Історія питання

Протягом 16 століття швидко зростала кількість наближених обчислень насамперед в астрономії. Удосконалення інструментів, дослідження планетних рухів та інші роботи вимагали колосальних, іноді багаторічних розрахунків. Астрономії загрожувала реальна небезпека потонути у невиконаних розрахунках. Проблеми виникали й інших областях, наприклад, у страховому справі потрібні були таблиці складних відсотків щодо різноманітних значень відсотка. Головну складність становили множення, розподіл багатозначних чисел, особливо тригонометричних величин.

Відкриття логарифмів спиралося добре відомі до кінця 16 століття властивості прогресій. Про зв'язок між членами геометричної прогресії q, q2, q3, ... та арифметичною прогресією їх показників 1, 2, 3,... говорив ще в "Псалміті" Архімед. Іншою причиною було поширення поняття ступеня на негативні та дробові показники. Багато авторів вказували, що множення, поділу, зведення в ступінь і вилучення кореня в геометричній прогресії відповідають в арифметичній - в тому ж порядку - додавання, віднімання, множення та поділ.

Тут ховалася ідея логарифму як показника ступеня.

В історії розвитку вчення про логарифми пройшло кілька етапів.

1 етап

Логарифми були винайдені не пізніше 1594 незалежно один від одного шотландським бароном Непером (1550-1617) і через десять років швейцарським механіком Бюрги (1552-1632). Обидва хотіли дати новий зручний засіб арифметичних обчислень, хоча вони підійшли до цього завдання по-різному. Непер кінематично висловив логарифмічну функцію і тим самим вступив у нову область теорії функції. Бюргі залишився на ґрунті розгляду дискретних прогресій. Втім, визначення логарифму в обох не схоже на сучасне. Термін "логарифм" (logarithmus) належить Неперу. Він виник із поєднання грецьких слів: logos - "відношення" і ariqmo - "число", яке означало "число відносин". Спочатку Непер користувався іншим терміном: numeri artificiales - "штучні числа", на противагу numeri naturalts - "числам природним".

У 1615 році в бесіді з професором математики Грешем Коледжу в Лондоні Генрі Брігсом (1561-1631) Непер запропонував прийняти за логарифм одиниці нуль, а за логарифм десяти - 100, або, що зводиться до того ж, просто 1. Так з'явилися десяткові логарифи було надруковано перші логарифмічні таблиці. Пізніше таблиці Брігса доповнив голландський книготорговець та аматор математики Андріан Флакк (1600-1667). Непер і Брігс, хоча прийшли до логарифм раніше за всіх, опублікували свої таблиці пізніше за інших - в 1620 році. Знаки log та Log були введені у 1624 році І. Кеплером. Термін "натуральний логарифм" запровадили Менголі в 1659 р. і за ним М. Меркатор в 1668 р., а видав таблиці натуральних логарифмів чисел від 1 до 1000 під назвою "Нові логарифми" лондонський вчитель Джон Спейдел.

Російською мовою перші логарифмічні таблиці було видано 1703 року. Але у всіх логарифмічних таблицях були допущені помилки під час обчислення. Перші безпомилкові таблиці вийшли 1857 року у Берліні у обробці німецького математика До. Бремикера (1804-1877).

2 етап

Подальший розвиток теорії логарифмів пов'язаний з ширшим застосуванням аналітичної геометрії та обчислення нескінченно малих. На той час відноситься встановлення зв'язку між квадратурою рівносторонньої гіперболи та натуральним логарифмом. Теорія логарифмів цього періоду пов'язана з іменами цілого ряду математиків.

Німецький математик, астроном та інженер Ніколаус Меркатор у творі

"Логарифмотехніка" (1668) наводить ряд, що дає розкладання ln(x+1)

ступеням х:

Цей вираз точно відповідає ходу його думки, хоча він, звичайно, користувався не знаками d, ... , а більш громіздкою символікою. З відкриттям логарифмічного ряду змінилася техніка обчислення логарифмів: вони почали визначатися з допомогою нескінченних рядів. У своїх лекціях "Елементарна математика з вищої точки зору", прочитаних у 1907-1908 роках, Ф. Клейн запропонував використовувати формулу як вихідний пункт побудови теорії логарифмів.

3 етап

Визначення логарифмічної функції як зворотної функції

показовою, логарифма як показника ступеня даної основи

було сформульовано не відразу. Твір Леонарда Ейлера (1707-1783)

"Введення в аналіз нескінченно малих" (1748) послужило подальшому

розвитку теорії логарифмічної функції Таким чином,

пройшло 134 роки з того часу, як логарифми вперше були введені

(вважаючи з 1614 р.), перш ніж математики дійшли визначення

поняття логарифму, яке покладено тепер основою шкільного курсу.

Глава 2. Збірник логарифмічних нерівностей

2.1. Рівносильні переходи та узагальнений метод інтервалів.

Рівносильні переходи

якщо а > 1

якщо 0 < а < 1

Узагальнений метод інтервалів

Цей спосіб найбільш універсальний під час вирішення нерівностей практично будь-якого типу. Схема рішення виглядає так:

1. Привести нерівність до такого виду, де у лівій частині знаходиться функція
, а правої 0.

2. Знайти область визначення функції
.

3. Знайти нулі функції
тобто вирішити рівняння
(а розв'язувати рівняння зазвичай простіше, ніж розв'язувати нерівність).

4. Зобразити на числовій прямій область визначення та нулі функції.

5. Визначити знаки функції
на одержаних інтервалах.

6. Вибрати інтервали, де функція набирає необхідних значень, і записати відповідь.

приклад 1.

Рішення:

Застосуємо метод інтервалів

звідки

При цих значеннях усі вирази, що стоять під знаками логарифмів, є позитивними.

Відповідь:

приклад 2.

Рішення:

1-й спосіб . ОДЗ визначається нерівністю x> 3. Логарифмуючи за таких xна підставі 10, отримуємо

Остання нерівність можна було вирішувати, застосовуючи правила розкладання, тобто. порівнюючи з нулем співмножники. Однак у даному випадку легко визначити інтервали знаковості функції

тому можна застосувати метод інтервалів.

Функція f(x) = 2x(x- 3,5)lgǀ x- 3ǀ безперервна при x> 3 і звертається в нуль у точках x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Таким чином, визначаємо інтервали знаковості функції f(x):

Відповідь:

2-й спосіб . Застосуємо безпосередньо до нерівності ідеї методу інтервалів.

Для цього нагадаємо, що вирази a b - a c і ( a - 1)(b– 1) мають один знак. Тоді наша нерівність при x> 3 рівносильно нерівності

або

Остання нерівність вирішується методом інтервалів

Відповідь:

приклад 3.

Рішення:

Застосуємо метод інтервалів

Відповідь:

приклад 4.

Рішення:

Так як 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 за всіх дійсних x, то

Для вирішення другої нерівності скористаємося методом інтервалів

У першій нерівності зробимо заміну

тоді приходимо до нерівності 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, які задовольняють нерівності -0,5< y < 1.

Звідки, оскільки

отримуємо нерівність

яке виконується за тих x, для яких 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Тепер з урахуванням вирішення другої нерівності системи остаточно отримуємо

Відповідь:

Приклад 5.

Рішення:

Нерівність рівносильна сукупності систем

або

Застосуємо метод інтервалів або

Відповідь:

Приклад 6.

Рішення:

Нерівність рівносильна системі

Нехай

тоді y > 0,

і перша нерівність

системи набуває вигляду

або, розкладаючи

квадратний тричлен на множники,

Застосовуючи до останньої нерівності метод інтервалів,

бачимо, що його рішеннями, що задовольняють умову y> 0 будуть усі y > 4.

Таким чином вихідна нерівність еквівалентна системі:

Отже, рішеннями нерівності є всі

2.2. Метод раціоналізації.

Раніше методом раціоналізації нерівності не вирішували, її не знали. Це "новий сучасний ефективний метод розв'язання показових та логарифмічних нерівностей" (цитата з книжки Колесникової С.І.)
І навіть якщо педагог його знав, була побоювання - а чи знає його експерт ЄДІ, а чому в школі його не дають? Були ситуації, коли вчитель говорив учневі: "Де взяв? Сідай – 2."
Нині метод повсюдно просувається. І для експертів є методичні вказівки, пов'язані з цим методом, і в "Найповніших виданнях типових варіантів..." у рішенні С3 використовується цей метод.
МЕТОД ЧУДОВИЙ!

«Чарівна таблиця»

В інших джерелах

якщо a >1 і b >1, log a b >0 і (a -1)(b -1)>0;

якщо a >1 та 0

якщо 0<a<1 и b >1, то log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;