Алгоритм розв'язання раціональних рівнянь. Мотиваційно-орієнтовний етап

На цьому уроці буде розглянуто розв'язання раціональних рівнянь. За допомогою раціональних рівнянь вирішується ціла низка завдань, які виникають не лише на сторінках підручника математики, а й у житті. Проте, щоб вирішити раціональне рівняння, його ще необхідно вміти правильно скласти. Тому на даному уроці ми не лише розглянемо приклади розв'язання раціональних рівнянь як таких, а й приклади математичного моделювання завдання, що призводить до виникнення відповідних раціональних рівнянь.

Тема:Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами

Урок:Розв'язання раціональних рівнянь

Як ви вже встигли помітити на попередньому уроці, основа розв'язання раціональних рівнянь – техніка перетворення раціональних виразів. Розглянемо приклад розв'язання раціонального рівняння.

Приклад 1

Вирішити рівняння: .

Рішення:

Насамперед звернемо увагу на те, що в чисельниках обох дробів, а також у правій частині рівняння стоять парні числа. Тобто можна спростити рівняння, поділивши обидві його частини на . Цей крок не є обов'язковим, але чим простіше рівняння, тим легше його вирішувати, а чим менше числа, що фігурують у рівнянні, тим легше арифметичні обчислення за його розв'язання.

В результаті скорочення отримуємо:

Тепер перенесемо всі члени рівняння в ліву частину, щоб отримати праворуч, а потім наведемо отримані в лівій частині дроби до спільного знаменника:

Нагадаємо, що дріб дорівнює тоді і тільки тоді, коли її чисельник дорівнює , а знаменник не дорівнює . Тому наше рівняння перетворюється на таку систему:

Тепер згадаємо ще один важливий факт: твір одно тоді і тільки тоді, коли хоча б один з його множників дорівнює, а решта множників при цьому існують. І наша система перетворюється на таку:

.

Обидва отримані корені є рішеннями даного рівняння, оскільки за них знаменник визначений.

Розглянуте нами рівняння є моделлю для такого завдання:

Завдання 1

Човен пройшов за течією річки і проти течії річки, витративши весь шлях . Чому дорівнює власна швидкість човна, якщо швидкість течії річки дорівнює?

Рішення:

Розв'язання даної задачі здійснимо за допомогою методу математичного моделювання та виділимо 3 етапи даного методу.

Етап 1. Складання математичної моделі

Позначимо через власну швидкість човна (це стандартний прийом під час вирішення текстових завдань - позначити з допомогою невідомої ту величину, що запитується за умови завдання). Тоді:

Швидкість руху човна за течією річки;

Швидкість руху човна проти течії річки.

У цьому випадку, скориставшись формулою: , отримуємо, що час руху човна за течією річки виражається як , а час руху човна проти течії річки - . Тоді загальний час руху човна дорівнює, звідки отримуємо рівняння:

- це і є математична модель цієї задачі.

Етап 2. Робота з математичною моделлю

У разі робота з математичної моделлю зводиться до розв'язання даного раціонального рівняння, що ми зробили у прикладі 1. У цьому отримали коріння рівняння: .

Етап 3. Відповідь на запитання задачі

Справа в тому, що математична модель тому і є математичною, що абстрагована від реального життя. Якщо брати саме це завдання, то математична модель - це рівняння, яке може мати будь-яке коріння. Проте невідома величина позначає швидкість човна, тому може бути, наприклад, негативною. Або: не може бути менше швидкості течії річки, інакше б човен не зміг би пливти проти течії. І такі обмеження можуть бути в різних завданнях. Тому, перш ніж записати відповідь, необхідно оцінити, чи є вона правдоподібною.

В даному випадку очевидно, що не підходить, тому що човен не зміг би з такою швидкістю плисти проти течії. Тому у відповідь піде лише одна величина: .

Відповідь:

Розглянемо кілька прикладів рішення безпосередньо раціональних рівнянь.

Приклад 2

Вирішити рівняння: .

Рішення:

Перенесемо всі складові в ліву частину, а потім наведемо дроби до спільного знаменника.

Відповідь: .

Приклад 3

Вирішити рівняння: .

Рішення:

У цьому рівнянні у правій частині вже стоїть, тому нічого переносити ліву частину не потрібно. Відразу наведемо дроби в лівій частині до спільного знаменника:

Знову скористаємося тим фактом, що дріб дорівнює тоді і тільки тоді, коли її чисельник дорівнює , а знаменник не дорівнює . З цього випливає, що дане рівняння еквівалентне системі:

Підставивши це значення в знаменник, переконуємося, що він не дорівнює . Отже, це значення змінної є відповіддю.

Відповідь: .

Приклад 4

Вирішити рівняння: .

Рішення:

Схема розв'язання цього рівняння абсолютно така сама, як і в попередніх:

Відповідь: .

До розв'язання раціональних рівнянь часто зводяться різноманітні завдання. Розглянемо один із таких прикладів.

Завдання 2

Чи існує таке значення, при якому різниця дробів і дорівнює?

Цілі уроку:

Навчальна:

• формування поняття дробових раціонального рівняння;
• розглянути різні способи розв'язання дробових раціональних рівнянь;
• розглянути алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь, що включає умову рівності дробу нулю;
• навчити рішенню дробових раціональних рівнянь за алгоритмом;
• перевірка рівня засвоєння теми шляхом проведення тестової роботи.

Розвиваюча:

• розвиток уміння правильно оперувати здобутими знаннями, логічно мислити;
• розвиток інтелектуальних умінь та розумових операцій - аналіз, синтез, порівняння та узагальнення;
• розвиток ініціативи, вміння приймати рішення, не зупинятися на досягнутому;
• розвиток критичного мислення;
• розвиток навичок дослідницької роботи.

Виховує:

• виховання пізнавального інтересу до предмета;
• виховання самостійності під час вирішення навчальних завдань;
• виховання волі та завзяття задля досягнення кінцевих результатів.

Тип уроку: урок - пояснення нового матеріалу

Хід уроку

1. Організаційний момент.

Здрастуйте, хлопці! На дошці написані рівняння подивіться на них уважно. Чи всі з цих рівнянь ви можете вирішити? Які ні і чому?

Рівняння, в яких ліва і правяча частина є дробово-раціональними виразами, називаються дробові раціональні рівняння. Як ви вважаєте, що ми вивчатимемо сьогодні на уроці? Сформулюйте тему уроку. Отже, відкриваємо зошити та записуємо тему уроку «Рішення дробових раціональних рівнянь».

2. Актуалізація знань. Фронтальне опитування, усна робота із класом.

Нині ж ми повторимо основний теоретичний матеріал, який знадобиться нам вивчення нової теми. Дайте відповідь, будь ласка, на такі запитання:

1. Що таке рівняння? ( Рівність зі змінною чи змінними.)
2. Як називається рівняння №1? ( Лінійне.) Спосіб розв'язання лінійних рівнянь. ( Усі з невідомим перенести до лівої частини рівняння, усі числа - до правої. Навести подібні доданки. Знайти невідомий множник).
3. Як називається рівняння №3? ( Квадратне.) Способи розв'язання квадратних рівнянь. ( Виділення повного квадрата, за формулами, використовуючи теорему Вієта та її наслідки.)
4. Що таке пропорція? ( Рівність двох відносин.) Основна властивість пропорції. ( Якщо пропорція вірна, то добуток її крайніх членів дорівнює добутку середніх членів.)
5. Які властивості використовуються під час вирішення рівнянь? ( 1. Якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини до іншої, змінивши його знак, то вийде рівняння, що дорівнює даному. 2. Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на те саме відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному.)
6. Коли дріб дорівнює нулю? ( Дроб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.)

3. Пояснення нового матеріалу.

Вирішити в зошитах та на дошці рівняння №2.

Відповідь: 10.

Яке дробово-раціональне рівняння можна спробувати розв'язати, використовуючи основну властивість пропорції? (№5).

(х-2)(х-4) = (х+2)(х+3)

х 2 -4х-2х +8 = х 2 +3х +2х +6

х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

Вирішити в зошитах та на дошці рівняння №4.

Відповідь: 1,5.

Яке дробово-раціональне рівняння можна спробувати вирішити, помножуючи обидві частини рівняння на знаменник? (№6).

х 2 -7х +12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Відповідь: 3;4.

Тепер спробуйте вирішити рівняння №7 одним із способів.

Поясніть, чому так вийшло? Чому в одному випадку три корені, в іншому – два? Які числа є корінням даного дробно-раціонального рівняння?

Досі учні з поняттям стороннього коріння не зустрічалися, їм справді дуже важко зрозуміти, чому так вийшло. Якщо в класі ніхто не може дати чіткого пояснення цієї ситуації, тоді вчитель задає питання, що наводять.

• Чим відрізняються рівняння № 2 та 4 від рівнянь № 5,6,7? ( У рівняннях № 2 і 4 у знаменнику числа, № 5-7 – вирази зі змінною.)
• Що таке корінь рівняння? ( Значення змінної, у якому рівняння перетворюється на правильну рівність.)
• Як з'ясувати чи є число коренем рівняння? ( Зробити перевірку.)

Під час перевірки деякі учні зауважують, що доводиться ділити на нуль. Вони роблять висновок, що числа 0 і 5 є корінням даного рівняння. Виникає питання: чи існує спосіб розв'язання дробових раціональних рівнянь, що дозволяє виключити цю помилку? Так, це спосіб ґрунтується на умові рівності дробу нулю.

х 2 -3х-10 = 0, D = 49, х 1 = 5, х 2 = -2.

Якщо х=5, то х(х-5)=0, отже 5- сторонній корінь.

Якщо х=-2, то х(х-5)≠0.

Відповідь: -2.

Спробуймо сформулювати алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь даним способом. Діти самі формулюють алгоритм.

Алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь:

1. Перенести все до лівої частини.
2. Привести дроби до спільного знаменника.
3. Скласти систему: дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.
4. Вирішити рівняння.
5. Перевірити нерівність, щоб унеможливити стороннє коріння.
6. Записати відповідь.

Обговорення: як оформити рішення, якщо використовується основна властивість пропорції та множення обох частин рівняння загальний знаменник. (Доповнити рішення: виключити з його коріння ті, які перетворюють на нуль спільний знаменник).

4. Первинне осмислення нового матеріалу.

Робота у парах. Учні вибирають спосіб розв'язання рівняння самостійно залежно від виду рівняння. Завдання із підручника «Алгебра 8», Ю.М. Макарічев, 2007: № 600 (б, в, і); № 601 (а, д, ж). Вчитель контролює виконання завдання, відповідає на питання, надає допомогу слабоуспевающим учням. Самоперевірка: відповіді записані на дошці.

б) 2 – сторонній корінь. Відповідь:3.

в) 2 – сторонній корінь. Відповідь: 1,5.

а) Відповідь: -12,5.

ж) Відповідь: 1; 1,5.

5. Постановка домашнього завдання.

1. Прочитати п.25 із підручника, розібрати приклади 1-3.
2. Вивчити алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь.
3. Вирішити в зошитах № 600 (а, г, д); №601(г,з).
4. Спробувати вирішити №696(а)(за бажанням).

6. Виконання контролюючого завдання з вивченої теми.

Робота виконується на листочках.

Приклад завдання:

А) Які із рівнянь є дробовими раціональними?

Б) Дроб дорівнює нулю, коли чисельник ______________________ , а знаменник _______________________ .

В) Чи є число -3 коренем рівняння №6?

Р) Розв'язати рівняння №7.

Критерії оцінювання завдання:

• "5" ставиться, якщо учень виконав правильно більше 90% завдання.
• "4" - 75%-89%
• "3" - 50%-74%
• «2» ставиться учню, який виконав менше 50% завдання.
• Оцінка 2 у журнал не ставиться, 3 – за бажанням.

7. Рефлексія.

На листочках із самостійною роботою поставте:

• 1 – якщо на уроці вам було цікаво та зрозуміло;
• 2 - цікаво, але не зрозуміло;
• 3 – не цікаво, але зрозуміло;
• 4 – не цікаво, не зрозуміло.

8. Підбиття підсумків уроку.

Отже, сьогодні на уроці ми з вами познайомилися з дробовими раціональними рівняннями, навчилися розв'язувати ці рівняння у різний спосіб, перевірили свої знання за допомогою навчальної самостійної роботи. Результати самостійної роботи ви дізнаєтесь на наступному уроці, вдома ви матимете можливість закріпити отримані знання.

Який метод розв'язання дробових раціональних рівнянь, на Вашу думку, є більш легким, доступним, раціональним? Незалежно від способу розв'язання дробових раціональних рівнянь, про що потрібно не забувати? У чому «підступність» дробових раціональних рівнянь?

Всім дякую, урок закінчено.

Простіше кажучи, це рівняння, в яких є хоча б одна зі змінною у знаменнику.

Наприклад:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

приклад недробово-раціональних рівнянь:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Як вирішуються дробові раціональні рівняння?

Головне, що треба запам'ятати про дробові раціональні рівняння - в них треба писати. І після знаходження коріння – обов'язково перевіряти їх на допустимість. Інакше може з'явитися стороннє коріння, і все рішення вважатиметься невірним.

Алгоритм розв'язання дробово-раціонального рівняння:

Випишіть і вирішіть ОДЗ.

Помножте кожен член рівняння на спільний знаменник і скоротить отримані дроби. Знаменники при цьому пропадуть.

Запишіть рівняння, не розкриваючи дужок.

Розв'яжіть отримане рівняння.

Перевірте знайдене коріння з ОДЗ.

Запишіть у відповідь коріння, яке пройшло перевірку в п.7.

Алгоритм не заучуйте, 3-5 вирішених рівнянь - і він запам'ятається сам.

приклад . Розв'яжіть дробово-раціональне рівняння \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Рішення:

Відповідь: \(3\).

приклад . Знайдіть корені дробово-раціонального рівняння \(=0\)

Рішення:

Відповідь: \(\frac(1)(2)\).

Презентація та урок на тему: "Раціональні рівняння. Алгоритм та приклади вирішення раціональних рівнянь"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Посібник до підручника Макарічева Ю.М. Посібник до підручника Мордковича О.Г.

Знайомство з ірраціональними рівняннями

Нехай $r(x)$ – це раціональний вираз. Такий вираз може являти собою простий багаточлен від змінної $х$ або відношення багаточленів (вводиться операція поділу, як для раціональних чисел).
Рівняння $ r (x) = 0 $ називається раціональним рівнянням.
Будь-яке рівняння виду $p(x)=q(x)$, де $p(x)$ і $q(x)$ – раціональні вирази, також буде раціональним рівнянням.

Розглянемо приклади розв'язання раціональних рівнянь.

Рішення.
Перенесемо всі вирази в ліву частину: $ frac (5x-3) (x-3) - frac (2x-3) (x) = 0 $.
Якби в лівій частині рівняння були представлені звичайні числа, ми привели б два дроби до спільного знаменника.
Давайте так і зробимо: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x )=\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) *x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Отримали рівняння: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Дроб дорівнює нулю, тоді і тільки тоді, коли чисельник дробу дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. Тоді окремо прирівняємо чисельник до нуля і знайдемо коріння чисельника.
$3(x^2+2x-3)=0$ або $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=frac(-2±sqrt(4-4*(-3)))(2)=frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Тепер перевіримо знаменник дробу: $(x-3)*x≠0$.
Добуток двох чисел дорівнює нулю, коли хоча б одне з цих чисел дорівнює нулю. Тоді: $x≠0$ або $x-3≠0$.
$x≠0$ або $x≠3$.
Коріння, отримані в чисельнику та знаменнику, не збігаються. Значить у відповідь записуємо обидва корені чисельника.
Відповідь: $ х = 1 $ або $ х = -3 $.

Якщо раптом, один з коренів чисельника збігся з коренем знаменника, його слід виключити. Таке коріння називається стороннім!

Алгоритм розв'язання раціональних рівнянь:

приклад 2.
Розв'яжіть рівняння: $frac(3x)(x-1)+frac(4)(x+1)=frac(6)(x^2-1)$.

Рішення.
Вирішимо згідно з пунктами алгоритму.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Прирівняємо чисельник до нуля: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1) (3); 1 $.
4. Прирівняємо знаменник до нуля:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ і $x=-1$.
Один із коренів $х=1$ збігся з коренем із чисельника, тоді ми його у відповідь не записуємо.
Відповідь: $ х = -1 $.

Вирішувати раціональні рівняння зручно за допомогою методу заміни змінних. Давайте продемонструємо це.

приклад 3.
Розв'язати рівняння: $x^4+12x^2-64=0$.

Рішення.
Введемо заміну: $ t = x ^ 2 $.
Тоді наше рівняння набуде вигляду:
$t^2+12t-64=0$ - звичайне квадратне рівняння.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 $.
Введемо зворотну заміну: $ x ^ 2 = 4 $ або $ x ^ 2 = -16 $.
Корінням першого рівняння є пара чисел $х=±2$. Друге – не має коріння.
Відповідь: $ х = ± 2 $.

приклад 4.
Розв'язати рівняння: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Рішення.
Введемо нову змінну: $ t = x ^ 2 + x + 1 $.
Тоді рівняння набуде вигляду: $t=\frac(15)(t+2)$.
Далі діятимемо за алгоритмом.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $ t 2 +2 t-15 = 0 $.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 $.
4. $t≠-2$ - коріння не співпадає.
Введемо зворотну заміну.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Розв'яжемо кожне рівняння окремо:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ні коріння.
І друге рівняння: $ x ^ 2 + x-2 = 0 $.
Корінням цього рівняння будуть числа $х=-2$ і $х=1$.
Відповідь: $ х = -2 $ і $ х = 1 $.

Приклад 5.
Розв'язати рівняння: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Рішення.
Введемо заміну: $ t = x + \ frac (1) (x) $.
Тоді:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ або $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Здобули рівняння: $t^2-2+t=4$.
$ t 2 + t-6 = 0 $.
Корінням даного рівняння є пара:
$ t = -3 $ і $ t = 2 $.
Введемо зворотну заміну:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$ x + \ frac (1) (x) = 2 $.
Вирішимо окремо.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=frac(-3±sqrt(9-4))(2)=frac(-3±sqrt(5))(2)$.
Розв'яжемо друге рівняння:
$ x + \ frac (1) (x) -2 = 0 $.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Коренем цього рівняння є число $х = 1 $.
Відповідь: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Завдання для самостійного вирішення

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

§ 1 Ціле та дробове раціональні рівняння

У цьому уроці розберемо такі поняття, як раціональне рівняння, раціональне вираження, вираз, дробовий вираз. Розглянемо розв'язання раціональних рівнянь.

Раціональним рівнянням називають рівняння, у якому ліва та права частини є раціональними виразами.

Раціональні вирази бувають:

дрібні.

Цілий вираз складено з чисел, змінних, цілих ступенів за допомогою дій додавання, віднімання, множення, а також поділу на число, відмінне від нуля.

Наприклад:

У дробових виразах є розподіл на змінну або вираз зі змінною. Наприклад:

Дробове вираження не при всіх значеннях змінних, що входять до нього, має сенс. Наприклад, вираз

при х = -9 немає сенсу, оскільки за х = -9 знаменник перетворюється на нуль.

Значить, раціональне рівняння може бути цілим та дробовим.

Ціле раціональне рівняння – це раціональне рівняння, в якому ліва та права частини – цілі вирази.

Наприклад:

Дробове раціональне рівняння - це раціональне рівняння, у якому або ліва, або права частини - дробові вирази.

Наприклад:

§ 2 Розв'язання цілого раціонального рівняння

Розглянемо розв'язання цілого раціонального рівняння.

Наприклад:

Помножимо обидві частини рівняння на найменший загальний знаменник знаменників дробів, що входять до нього.

Для цього:

1. знайдемо спільний знаменник для знаменників 2, 3, 6. Він дорівнює 6;

2. знайдемо додатковий множник для кожного дробу. Для цього спільний знаменник 6 ділимо на кожен знаменник

додатковий множник для дробу

додатковий множник для дробу

3. помножимо чисельники дробів на відповідні їм додаткові множники. Таким чином, отримаємо рівняння

яке рівносильне даному рівнянню

Зліва розкриємо дужки, праву частину перенесемо наліво, змінивши знак доданку при перенесенні на протилежний.

Наведемо подібні члени багаточлена та отримаємо

Бачимо, що рівняння лінійне.

Вирішивши його, знайдемо, що х = 0,5.

§ 3 Розв'язання дробового раціонального рівняння

Розглянемо рішення дробового раціонального рівняння.

Наприклад:

1. Помножимо обидві частини рівняння на найменший загальний знаменник знаменників вхідних до нього раціональних дробів.

Знайдемо спільний знаменник для знаменників х + 7 та х - 1.

Він дорівнює їхньому твору (х + 7) (х - 1).

2.Знайдемо додатковий множник для кожного раціонального дробу.

І тому загальний знаменник (х + 7)(х - 1) ділимо за кожен знаменник. Додатковий множник для дробу

дорівнює х - 1,

додатковий множник для дробу

дорівнює х +7.

3. Помножимо чисельники дробів на відповідні їм додаткові множники.

Отримаємо рівняння (2х - 1) (х - 1) = (3х + 4) (х + 7), яке рівносильне даному рівнянню

4.Зліва і справа помножимо двочлен на двочлен і отримаємо наступне рівняння

5.Праву частину перенесемо наліво, змінивши знак кожного доданка при перенесенні на протилежний:

6.Наведемо подібні члени багаточлена:

7. Можна обидві частини розділити на -1. Отримаємо квадратне рівняння:

8. Вирішивши його, знайдемо коріння

Тому що в рівнянні

ліва і права частини - дробові вирази, а в дробових виразах при деяких значеннях змінних знаменник може звернутися в нуль, необхідно перевірити, чи не звертається в нуль при знайдених х1 і х2 загальний знаменник.

При х = -27 загальний знаменник (х + 7) (х - 1) не звертається в нуль, при х = -1 загальний знаменник також не дорівнює нулю.

Отже, обидва корені -27 і -1 є корінням рівняння.

При вирішенні дробового раціонального рівняння краще відразу вказати область допустимих значень. Виключити ті значення, у яких загальний знаменник перетворюється на нуль.

Розглянемо ще один приклад розв'язання дробового раціонального рівняння.

Наприклад, вирішимо рівняння

Знаменник дробу правої частини рівняння розкладемо на множники

Отримаємо рівняння

Знайдемо спільний знаменник для знаменників (х – 5), х, х(х – 5).

Їм буде вираз х(х – 5).

тепер знайдемо область допустимих значень рівняння

І тому загальний знаменник прирівняємо до нуля х(х - 5) = 0.

Отримаємо рівняння, вирішивши яке, знайдемо, що за х = 0 або за х = 5 загальний знаменник перетворюється на нуль.

Отже, х = 0 чи х = 5 неможливо знайти корінням нашого рівняння.

Тепер можна знайти додаткові множники.

Додатковим множником для раціонального дробу

додатковим множником для дробу

буде (х - 5),

а додатковий множник дробу

Числювачі помножимо на відповідні додаткові множники.

Отримаємо рівняння х(х – 3) + 1(х – 5) = 1(х + 5).

Розкриємо дужки зліва і справа, х2 – 3х + х – 5 = х + 5.

Перенесемо доданки праворуч наліво, змінивши знак складових, що переносяться:

Х2 - 3х + х - 5 - х - 5 = 0

І після приведення подібних членів отримаємо квадратне рівняння х2 – 3х – 10 = 0. Вирішивши його, знайдемо коріння х1 = –2; х2 = 5.

Але ми вже з'ясували, що за х = 5 загальний знаменник х(х - 5) перетворюється на нуль. Отже, корінням нашого рівняння

буде х = -2.

§ 4 Короткі підсумки уроку

Важливо запам'ятати:

При розв'язанні дробових раціональних рівнянь треба вчинити так:

1.Знайти загальний знаменник дробів, що входять до рівняння. При цьому якщо знаменники дробів можна розкласти на множники, розкласти їх на множники і потім знайти спільний знаменник.

2. Помножити обидві частини рівняння на загальний знаменник: знайти додаткові множники, помножити чисельники на додаткові множники.

3. Вирішити ціле рівняння, що вийшло.

4.Виключити з його коріння ті, які перетворюють на нуль спільний знаменник.

Список використаної литературы:

1. Макарічев Ю.М., Н. Г. Міндюк, Нєшков К.І., Суворова С.Б. / За редакцією Теляковського С.А. Алгебра: навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ. - М: Просвітництво, 2013.
2. Мордковіч А.Г. Алгебра. 8 кл.: У двох частинах. Ч.1: Навч. для загальноосвіт. установ. - М: Мнемозіна.
3. Рурукін О.М. Поурочні розробки з алгебри: 8 клас. - М.: ВАКО, 2010.
4. Алгебра 8 клас: поурочні плани за підручником Ю.М. Макарічева, Н.Г. Міндюк, К.І. Нешкова, С.Б. Суворової / Авт.-упоряд. Т.л. Афанасьєва, Л.А. Тапіліна. -Волгоград: Вчитель, 2005.