Алгоритм віднімання стовпчиком. II

Віднімання однозначного числа b з однозначного чи двозначного числа а, що не перевищує 18, зводиться до пошуку такого числа с, що b + с = а, і відбувається з урахуванням таблиці додавання однозначних чисел.

Якщо числа а і b багатозначні і b< а, то смысл действия вычи­тания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определен­ному алгоритму. Выясним, каким образом возникает это алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Розглянемо різницю чисел 485 і 231. Скористаємося правилом запису чисел у десятковій системі числення і представимо дану різницю у такому вигляді: 485 - 231 = 4 10 2 + 8 10 + 5) - (2 10 2 + 3 10 + 1). Щоб відняти з числа 4 10 2 +8 10+5 суму 2 10 2 +3 10+1, достатньо відняти від нього кожне доданок цієї суми одне за одним, і тоді:

(4 10 2 + 8 10 + 5) - (2 10 2 +3 10 + 1)= (4 10 2 +8 10+5) - 2 10 2 – 3 10-1.

Щоб відняти число із суми, достатньо відняти його від будь-якого одного доданку (більшого або рівного цьому числу). Тому число 2 10 2 віднімемо з доданку 4 10 2 , число 3 10 - з доданку 8 10, а число 1 - з доданку 5, тоді: (4 10 2 +8 10+5) - 2 10 2 - 3 10 - 1 = = (4 10 2 - 2 10 2) + (8 10 - 3 10) + (5-1).

Скористаємося дистрибутивністю множення щодо віднімання і винесемо за дужки 10 2 і 10. Тоді вираз матиме вигляд: (4-2) 10 2 + (8 - 3) 10 + (5 - 1). Бачимо, що віднімання тризначного числа 231 із тризначного числа 485 звелося до віднімання однозначних чисел, зображених цифрами відповідних розрядів у записі заданих трицифрових чисел. Різниці 4 - 2, 8 - 3 і 5 - 1 знаходимо за таблицею додавання і отримуємо вираз: 2 10 2 + 5 10 + 4, яке є записом числа 254 в десятковій системі числення. Таким чином, 485 - 231 = 254. Вираз (4 - 2) 10 2 + (8 - 3) 10 + (5 - 1) задає правило віднімання, яке зазвичай виконується стовпчиком:

Бачимо, що віднімання багатозначного числа з багатозначного ґрунтується на:

– спосіб запису числа в десятковій системі числення;

– правила віднімання числа з суми та суми з числа;

– властивість дистрибутивності множення щодо віднімання;

- Таблиці складання однозначних чисел.

Неважко переконатися в тому, що якщо в якомусь розряді зменшуваного стоїть однозначне число, менше числа в тому ж розряді віднімається, то в основі віднімання лежать ті ж теоретичні факти та таблиця додавання однозначних чисел. Знайдемо, наприклад, Різниця чисел 760 - 326. Скористаємося правилом запису чисел в десятковій системі числення і представимо цю різницю в такому вигляді: 760 - 326 = (7 10 2 +6 10 + 0) - (3 10 2 + 2 10 + 6).

Оскільки з числа 0 не можна відняти 6, то виконати віднімання аналогічне тому, як було зроблено в першому випадку, неможливо. Тому візьмемо з числа 760 один десяток і представимо його в 10 одиниць - десяткова система числення дозволяє це зробити тоді матимемо вираз: (7 10 2 + 5 10 + 10) - (3 10 2 + 2 10 + 6). Якщо тепер скористатися правилами віднімання суми з числа та числа з суми, а також дистрибутивністю множення щодо віднімання, то отримаємо вираз (7-3) 10 2 + (5- 2) 10 + (10 - 6) та 4 10 2 + 3 10 + 4. Остання сума є запис числа 434 у десятковій системі числення. Значить, 760 – 326 = 434.

Розглянемо процес віднімання багатозначного числа від багатозначного у загальному вигляді.

Нехай дані два числа х = а n × 10 n + а n – 1 × 10 n – 1 + …+ а 1 × 10 + а 0 і у = b n × 10 n + b n – 1 × 10 n – 1 + …+ b 1 × 10 + b 0 . Відомо також, що у< х. Используя правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, дистрибутивность умножения относительно вычитания, можно записать, что

х - у = (а n - b n) × 10 n + (а n - 1 - b n - 1) × 10 n - 1 + … (а 0 - b 0) (1)

Ця формула задає алгоритм віднімання, але за умови, що всіх k виконується умова а k b k . Якщо ж цю умову не виконуєте, то беремо найменше k, для якого а k< b k . Пусть m - наименьше индекс, такой, что m >k і а m ¹ 0, а а m - 1 = ... = а k +1 = 0. Має місцерівність а m × 10 m = (а m - 1) × 10 m + 9 × 10 m -1 +. + 9×10 k + 1 + 10 ×10 k (наприклад, якщо m=4, k=1, а m =6, то 6·10 4 = 5·10 4 + 9·10 3 + 9·10 2 + 10 · 10). Тому у рівності (1) вираз (а m - b m) ×10 m + ... + (а k - b k) ×10 k можна замінити на (а m - b m - 1)×10 m + (9 - b m – 1) ×10 m -1 + (9 - b k + 1) × 10 k +1 + (а k + 10 - b k) × 10 k . З того, що а k< b k < 10, вытекает неравенство 0 < 10 + а k - b k < 10, а из того, что 0 < b s £ 9, вытекает неравенство 0 < 9 - b s < 10, где k + 1 £ s £ т - 1. Поэтому в записи х –у = =(а n - b n) × 10 n + … + (а m - b m - 1)×10 m + (9 - b m -1)×10 m –1 + …+ (9 - b k + 1)×10 k +1 + (а k + 10 - b k)×10 k + …+(а 0 - b 0)все коэффициенты с индексом, меньшим т, неотрицательны и не превосходят 9. Применяя далее те же преобразования к коэффициентам а n - b n , …, а m - b m - 1, через n шагов придем к записи разности х -у в виде х – у = с п × 10 n + с п - 1 × 10 n -1 …+ с 0 , где для всех k выполняется неравенство 0 < с k < 10. Если при этом ока­жется, что с п = 0, то надо отбросить первые слагаемые, вплоть до первого коэффициента, отличного от нуля.

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

Несуперечлива система аксіом називається незалежною, якщо жодна з аксіом цієї системи не є наслідком інших аксіом цієї системи

При аксіоматичному побудові теорії по суті всі твердження виводяться шляхом доказу з аксіом тому до системи аксіом пред'являються.. система аксіом називається несуперечливою якщо з неї не можна логічно.

Якщо Вам потрібний додатковий матеріал на цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що робитимемо з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Всі теми цього розділу:

Кількісні натуральні числа. Рахунок
Аксіоматична теорія описує натуральне число як елемент нескінченного ряду, в якому числа розташовуються у порядку, існує перше число тощо. Іншими словами, в аксіоматик

Запитання для самоконтролю
1. Назвіть види множин, дайте їм характеристику. Які можна робити операції над множинами? 2. Що таке "число", "цифра", "рахунок"? 3. У чому зв'язок та відмінність рахунку та зміни

Основна література; Додаткова литература Введение. Ввівши поняття відрізка натурального ряду, ми з'ясували

Теоретико-множинний зміст суми
Додавання цілих невід'ємних чисел пов'язане з об'єднанням кінцевих множин, що не перетинаються. Наприклад, якщо множина А містить 5 елементів, а множина В - 4 елементи і перетнутий

В аксіоматичній теорії віднімання натуральних чисел визначено як операція, обернена додавання: а – b = с u ($ сÎN) b + с = а. Віднімання цілих невід'ємних чисел визначає

Теоретико-множинний зміст твору
Визначення множення натуральних чисел в аксіоматичній теорії ґрунтується на понятті відношення «безпосередньо слідувати за» та додаванні. У шкільному курсі математики використовується інше визначення

Теоретико-множинний сенс приватного натуральних чисел
В аксіоматичній теорії розподіл визначається як операція, обернена до множення, тому між розподілом і множенням встановлюється тісний взаємозв'язок. Якщо а× b = с, то знаючи твір з

Позиційні та непозиційні системи обчислення
Зміст 1. Позиційні та непозиційні системи числення. 2. Запис числа у десятковій системі числення. Основна література;

Мова для найменування, запису чисел та виконання дій над ними називають системою числення
Називати числа та вести рахунок люди навчилися ще до появи писемності. У цьому їм допомагали насамперед пальці рук і ніг. З давніх-давен вживався ще такий вид інструментального рахунку, як дерева

Запис числа у десятковій системі числення
Як відомо, у десятковій системі числення для запису чисел користується 10 знаків (цифр): 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. З них утворюю кінцеві послідовності, які є короткими записами

Алгоритм додавання
Додавання однозначних чисел можна виконати, ґрунтуючись на визначенні цієї дії, але щоб щоразу не звертатися до визначення, всі суми, які виходять при складанні однозначних чисел,

Описаний процес дозволяє сформулювати в загальному вигляді алгоритм віднімання чисел у десятковій системі числення
1. Записуємо віднімаємо під зменшуваним так, щоб відповідні розряди знаходилися один під одним. 2. Якщо цифра в розряді одиниць віднімається не перевищує відповідної цифри розумний

Алгоритм множення
Множення однозначних чисел можна виконати, ґрунтуючись на визначенні цієї дії. Але щоб не звертатися до визначення, всі твори однозначних чисел записують в особливу таблі

Алгоритм розподілу
Коли йдеться про техніку розподілу чисел, то цей процес розглядають як дію розподілу із залишком: розділити ціле невід'ємне число а на натуральне число b - це означає знайти

Узагальненням різних випадків розподілу цілого невід'ємного числа а на натуральне число b є наступний алгоритм розподілу куточком
1. Якщо а = b, то приватне q = 1, залишок r = 0. 2. Якщо а > b і число розрядів у числах а та b однаково, то приватне q знаходимо перебором, послідовно помножуючи b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

4. Прості числа. 5. Способи знаходження найбільшого загального дільника та найменшого загального кратного чисел. Основна література; Додатково

Відношення ділимості та її властивості
Визначення.Нехай дані натуральні числа а і b. Говорять, що число а ділиться на число b, якщо є таке натуральне число q, що а = bq. У цьому випадку чис

Ознаки подільності
Розглянуті властивості відносини ділимості дозволяють довести відомі ознаки ділимості чисел, записаних у десятковій системі числення, на 2, 3, 4, 5, 9. Ознаки ділимості дозволяю

Найменше загальне кратне та найбільший спільний дільник
Розглянемо відомі зі шкільного курсу математики поняття найменшого загального кратного та найбільшого спільного дільника натуральних чисел, сформулюємо їх основні властивості, опустивши всі докази

Прості числа
Прості числа грають велику роль математиці - сутнісно є «цеглинами», у тому числі будуються складові числа. Це стверджується в теоремі, яка називається основною теоремою арифмет

Способи знаходження найбільшого загального дільника та найменшого загального кратного чисел
Розглянемо спочатку спосіб, що базується на розкладанні даних чисел на прості множники. Нехай дані два числа 3600 і 288. Представимо їх у канонічному вигляді: 3600 = 24×3

Про розширення безлічі натуральних чисел
1. Поняття дробу. 2. Позитивні раціональні числа. 3. Запис позитивних раціональних чисел як десяткових дробів. 4. Дійсні ч

Поняття дробу
Нехай потрібно виміряти довжину відрізка х за допомогою одиничного відрізка е (рис. 1). При вимірі виявилося

Позитивні раціональні числа
Відношення рівності є ставленням еквівалентності на множині дробів, тому воно породжує на ньому класи еквівалентності. У кожному такому класі містяться рівні міжсобою дробу. на

Додавання позитивних раціональних чисел комутативно та асоціативно,
("а, b Î Q+) а + b= b + а; ("а, b, с Î Q+) (а + b)+ с = а + (b+ с) Перш ніж сформулювати визначення

Запис позитивних раціональних чисел у вигляді десяткових дробів
У практичній діяльності широко використовуються дроби, знаменники яких є ступенями 10. Їх називають десятковими. Визначення. Десять

Справжні числа
Однією з джерел появи десяткових дробів є розподіл натуральних чисел, іншим - вимір величин. З'ясуємо, наприклад, як можуть вийти десяткові дроби при вимірі довжини відрізка.

Теоретико-множинний сенс різниці
8. Відносини «більше на» та «менше на». 9. Правила віднімання числа із суми та суми з числа. 10. З історії виникнення та розвитку способів запису натуральних чисел та нуля.

Безліч позитивних раціональних чисел як розширення множини натуральних чисел
27. Запис позитивних раціональних чисел як десяткових дробів. 28. Дійсні числа. МОДУЛЬ 4. ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВЕЛИЧ

Поняття позитивної скалярної величини та її виміру
Розглянемо два висловлювання, в яких використовується слово «довжина»: 1) Багато навколишніх предметів мають довжину. 2) Стіл має довжину. У першому реченні стверджується,

Запитання 6.Алгоритми письмового складання та віднімання.

Як показує практика засвоєння алгоритмів письмового складання та віднімання не є легкою справою. Одна з причин труднощів у неправильній організації навчального процесу. Має бути спрямованість на особистість школяра, його індивідуальні здібності.

При виконанні письмових обчислень швидко розвивається втома під час роботи з числами, оскільки потрібно виконати велику кількість операцій, щоб знайти результат, витратити більше зусиль і часу, потрібна більша зосередженість уваги, отже, з'являються помилки. Уникнути швидкої стомлюваності допоможе чергування різної діяльності: усної з письмовою, розв'язання прикладів із розв'язанням задач, стандартні завдання виконувати рідше, більше завдань, що вимагають кмітливості, нестандартних підходів.

Учні негаразд швидко втомлюються, якщо вони досить повно сприймають нові знання та отримують зразок обчислення, записаний у знаковій формі, а також у словесному формулюванні (у вигляді пояснення рішення). Вивченню теми також мають передувати підготовча робота, оскільки розуміння матеріалу, що вивчається, є величезним внутрішнім стимулом до вивчення математики.

Слід дітям показувати знайомий матеріал, оскільки вони намагаються сприймати весь матеріал як новий, не виділяючи відомого, а водночас вивчення великого навчального матеріалу може бути не під силу. Вивчення письмових обчислень дає можливість постановки проблемних питань, організації спільного пошуку ними відповідей, навчання самоконтролю.

Письмові прийоми включають такі випадки (див. табл. вище)

додавання та віднімання без переходу через десяток;

правило перевірки складання та віднімання;

письмові прийоми складання з переходом через десяток;

письмові прийоми віднімання з переходом через десяток.

На підготовчому етапі можна давати таблицю додавання та віднімання в межах 20, вивчені усні прийоми додавання та віднімання в межах 100. При ознайомленні необхідно показати 2 види запису прийомів: у рядок і в стовпчик, звертаючи увагу, що при додаванні та відніманні одиниці другого числа підписуються під одиницями першого числа, а десятки під десятками.

35 (дати лише запис, не вимагаючи обчислення). Умова 12 прикладу відокремлюється від відповіді

рисою, що означає знак «рівно».

Пояснення письмового додавання та віднімання можна розпочати з усного рішення прикладів на додавання та віднімання двоцифрових чисел без переходу через десяток. Потім самостійно виконати запис прикладу в стовпчик, як зручніший. Вчителю слід показати, що у кожному з розрядів числа складаються однозначні. Складання та віднімання починається з одиниць. Для введення обчислень із переходом через розряд можна дати завдання спостерігати різницю між прикладами:

47 47 47 74 74 74

32 33 34 53 54 55

На початковому етапі можна дозволити використовувати точку як опорний сигнал для самоконтролю. Крапка (опорний сигнал) – чинник суто психологічний, отже, підвищить увагу. Якщо учень втомився, відчуває, що увага ослаблена, може поставити крапку. Засвоїти нові знання допоможуть чіткі алгоритми, які представлені у підручниках математики для початкових шкіл.

Наприклад: 56+23. Міркування учнів: пишу 56 нижче пишу в стовпчик 23 (одиниці підписую під одиницями, десятки під десятками), ставлю знак +, наголошую, обчислюю. Складаю одиниці, складаю десятки, читаю відповідь. Алгоритм віднімання: віднімаю одиниці, віднімаю десятки, читаю відповідь. Вони складені на основі алгоритмів письмового додавання та віднімання курсу математики.

В основі дії додавання лежить наступний алгоритм:

Записують друге доданків під першим так, щоб відповідні розряди знаходилися один під одним.

Складають цифри розряду одиниць. Якщо сума менша за 10, її записують у розряд одиниць відповіді і переходять до наступного розряду.

Якщо сума цифр більше 10 або дорівнює, то представляють її у вигляді: 10 + с 0 де з 0 - однозначне число записують з 0 в розряд одиниць відповіді і додають 1 до цифри десятків першого доданку, після чого переходять до розряду десятків.

Повторюють самі дії з десятками, потім із сотнями тощо. Процес складання закінчується, коли зроблено додавання цифр старших розрядів.

Алгоритм віднімання.

Записують віднімається b n , b n -1 … b 1 , b 0 під зменшуваним, так, щоб відповідні розряди знаходилися один під одним.

Якщо цифра в розряді одиниць віднімається не перевищує відповідної цифри зменшуваного, її віднімають з відповідної цифри зменшуваного, після чого переходять до наступного розряду.

3.Якщо цифра одиниць віднімається більше цифри одиниць зменшуваного, тобто. a 0

4. Якщо цифра одиниці віднімається більше цифри одиниць, що зменшується, а цифри, що стоять у розряді десятків, сотень і т.д. зменшуваного, дорівнюють 0, то беруть першу, відмінну від 0, цифру в зменшуваному (після розряду одиниць), зменшують її на 1, усі цифри в молодших розрядах до розряду десятків включно збільшують на 9, а цифру в розряді одиниць на 10, віднімають b 0 з 10+ a 0 записують результат у розряді одиниць різниці і переходять до наступного розряду.

Вчителю необхідно знати алгоритми складання та віднімання у загальному вигляді, щоб:

а) при ознайомленні з алгоритмом правильно організувати роботу;

б) керувати діяльністю школярів, спрямованої на засвоєння алгоритму;

в) у заняттях алгоритму враховувати всі можливості його використання.

Діяльність учнів, спрямовану формування навичок письмового складання і віднімання може бути організована по-різному.

Типові помилки.

При використанні обчислювальних прийомів додавання та віднімання в межах 100 учнями можуть бути допущені такі помилки.

Змішують прийоми обчислень, засновані на правилах віднімання суми з числа та числа з суми:

50-36=50-(30+6)=(50-30)+6=26

56-30=(50+6)-30=(50-30)-6=14

2. Не розрізняють розрядів під час додавання:

54+2=74 (кількість десятків складається з числом одиниць)

54-40=50 (з числа одиниць віднімають число десятків)

3. Припускаються помилок у табличному додаванні та відніманні:

4. Пропускають операції обчислювального прийому або включають зайві:

76-20 = 50 (пропуск операції +6)

64+30=97 (+3 – зайва операція)

5. Змішують дії додавання та віднімання:

Методичне завдання:

Як слід організувати роботу учнів, щоб запобігти появі таких помилок.