Аналітичний метод розв'язання системи тригонометричних рівнянь. Тригонометричні рівняння

Транскрипт

1 І. В. Яковлєв Матеріали з математики MathUs.ru Системи тригонометричних рівнянь У цій статті ми розглядаємо тригонометричні системи двох рівнянь з двома невідомими. Методи вирішення таких систем та різні спеціальні прийоми ми вивчатимемо одразу на конкретних прикладах. Може статися, що одне з рівнянь системи містить тригонометричні функції від невідомих x та y, а інше рівняння є лінійним щодо x та y. У такому випадку діємо очевидно: одну з невідомих виражаємо з лінійного рівняння і підставляємо в інше рівняння системи. Завдання 1. Розв'язати систему: x + y =, sin x + sin y = 1. Рішення. З першого рівняння виражаємо y через x: і підставляємо у друге рівняння: y = x, sin x + sin x) = 1 sin x = 1 sin x = 1. Вийшло найпростіше тригонометричне рівняння щодо x. Його рішення запишемо у вигляді двох серій: x1 = 6 + n, x = nn Z). Залишається знайти відповідні значення y: y 1 = x 1 = 5 6 n, y = x = 6 n. Як завжди у разі системи рівнянь, відповідь надається у вигляді перерахування пар x; y). 6+n; 5) 5 6 n, 6 + n;) 6 n, n Z. Зверніть увагу, що x та y пов'язані один з одним за допомогою цілісного параметра n. А саме, якщо у виразі для x стоїть +n, то у виразі для y автоматично з'являється n, причому з тим самим n. Це наслідок «жорсткої» залежності між x та y, що задається рівнянням x + y =. Завдання. Розв'язати систему: cos x + cos y = 1, x y =. Рішення. Тут є сенс спочатку перетворити перше рівняння системи: 1 + cos x cos y = 1 cos x + cos y = 1 cosx + y) cosx y) = 1. 1

2 Таким чином, наша система дорівнює такій системі: cosx + y) cosx y) = 1, x y =. Підставляємо x y = перше рівняння: cosx + y) cos = 1 cosx + y) = 1 x + y = n n Z). В результаті приходимо до системи: x + y = n, x y =. Складаємо ці рівняння, ділимо на та знаходимо x; віднімаємо з першого рівняння друге, ділимо на і знаходимо y: x = + n, y = + n n Z). + n; + n), n Z. У ряді випадків тригонометричну систему вдається звести до системи алгебраїчних рівнянь відповідною заміною змінних. Завдання. Розв'язати систему: sin x + cos y = 1, sin x cos y = 1. Рішення. Заміна u = sin x, v = cos y призводить до алгебраїчної системи щодо u і v: u + v = 1, u v = 1. Цю систему ви легко вирішите самостійно. Рішення єдине: u = 1, v = 0. Зворотна заміна призводить до двох найпростіших тригонометричних рівнянь: sin x = 1, cos y = 0, звідки + k; + n), k, n Z. x = + k, y = + n k, n Z). Тепер у запису відповіді фігурують два цілих параметри k і n. Відмінність від попередніх завдань полягає в тому, що в даній системі відсутній «жорсткий» зв'язок між x і y (наприклад, у вигляді лінійного рівняння), тому x і y значно більшою мірою незалежні один від одного.

3 В даному випадку було б помилкою використовувати лише один цілочисельний параметр n, записавши відповідь у вигляді + n;) + n. Це призвело б до втрати нескінченної множини 5 рішень системи. Наприклад, втратилося б рішення;), що виникає при k = 1 і n = 0. Завдання 4. Розв'язати систему: sin x + sin y = 1 cos x + cos y =. Рішення. Перетворимо спочатку друге рівняння: 1 sin x + 1 sin y) = sin x + 4 sin y = 1. Тепер робимо заміну: u = sin x, v = sin y. Отримаємо систему: u + v = 1, u + 4v = 1. Рішення цієї системи служать дві пари: u 1 = 0, v 1 = 1/ і u = /, v = 1/6. Залишається зробити зворотну заміну: sin x = 0, sin x = sin y = 1 або sin y = 1 6, і записати відповідь. k; 1) n 6 + n); 1) k arcsin + k; 1)n arcsin 16 + n), k, n Z. Завдання 5. Розв'язати систему: cos x + cos y = 1, sin x sin y = 4. Рішення. Тут для отримання системи алгебри потрібно попрацювати ще більше. Перше рівняння нашої системи запишемо у вигляді: У другому рівнянні маємо: cos x + y cos x y = 1. = sin x sin y = cosx y) cosx + y) = = cos x y 1 Таким чином, вихідна система дорівнює системі: cos x + y cos x y = 1, cos x y cos x + y = 4. cos x + y) 1 = cos x y cos x + y.

4 Робимо заміну u = cos x y, v = cos x + y і отримуємо систему алгебри: uv = 1, u v = 4. Рішеннями цієї системи служать дві пари: u 1 = 1, v 1 = 1/ і u = 1, v = 1/. Перша пара дає систему: x y = 1, = k, Звідси cos x y cos x + y Друга пара дає систему: cos x y cos x + y = 1 x + y x = ± + n + k), y = 1, = 1 = ± + n k, n Z). = ± + n k). x y = + k, x + y = ± + k, n Z). Звідси x = ± + n + k), y = ± + n k). ±) + n + k); ± + n k), ± + n + k); ±) + n k), k, n Z. Однак звести систему тригонометричних рівнянь до системи рівнянь алгебри вдається далеко не завжди. У ряді випадків потрібно застосовувати різні спеціальні прийоми. Іноді вдається спростити систему шляхом складання чи віднімання рівнянь. Завдання 6. Розв'язати систему: sin x cos y = 4 cos x sin y = 1 4. Рішення. Складаючи та віднімаючи ці рівняння, отримаємо рівносильну систему: sinx + y) = 1, sinx y) = 1. А ця система, у свою чергу, рівносильна сукупності двох систем: x + y = + k, x + y = x y = + k або 6 + n x y = n k, n Z). 4

5 Звідси x = + k + n), x = + k + n); + k n), k, n Z. 6 Іноді можна дійти вирішення, помножуючи рівняння один на одного. Завдання 7. Розв'язати систему: tg x = sin y, ctg x = cos y. Рішення. Нагадаємо, що помножити рівняння системи один на одного це означає записати рівняння виду «твор лівих частин і добутку правих частин». Отримане рівняння буде наслідком вихідної системи, тобто всі рішення вихідної системи задовольняють і отриманому рівнянню). В даному випадку множення рівнянь системи призводить до рівняння: 1 = sin y cos (y y sin y, звідки y = / 4 + n n Z). Підставляти y в такому вигляді в систему краще розбити на дві серії: y 1 = 4 + n, Підставляємо y 1 в перше рівняння системи: y = 4 + n. tg x = sin y 1 = 1 x 1 = 4 + k k Z). Легко бачити, що підстановка y 1 у друге рівняння системи призведе до того ж результату. Тепер підставляємо y: tg x = sin y = 1 x = 4 + k k Z). 4+k;) 4+n, 4)+k; 4 + n, k, n Z. Іноді до результату наводить розподіл рівнянь один на одного. Завдання 8. Розв'язати систему: cos x + cos y = 1, sin x + sin y =. Рішення. Перетворимо: cos x + y sin x + y cos x y cos x y = 1 =. 5

6 Введемо тимчасово позначення: α = x + y, β = x y. Тоді отримана система перепишеться у вигляді: cos cos β = 1, sin cos β =. Зрозуміло, що cos 0. Тоді, поділивши друге рівняння на перше, прийдемо до рівняння tg α =, яке є наслідком системи. Маємо: α = + n n Z), і знову з метою подальшої підстановки в систему) нам зручно розбити отриману множину на дві серії: α 1 = + n, α = 4 + n. Підстановка α 1 у будь-яке із рівнянь системи призводить до рівняння: cos β = 1 β 1 = k k Z). Аналогічно, підстановка у будь-яке з рівнянь системи дає рівняння: cos β = 1 β = + k k Z). Отже, маємо: тобто звідки ? k, x = + n + k), x = 7 + n + k), y = або + n k) y = + n k). + n + k);) 7 + n k), + n + k);) + n k), k, n Z. У деяких випадках на допомогу приходить основне тригонометричне тотожність. Завдання 9. Розв'язати систему: sin x = 1 sin y cos x = cos y. Рішення. Зведемо обидві частини кожного рівняння квадрат: sin x = 1 sin y), cos x = cos y. 6

7 Складемо отримані рівняння: = 1 sin y) + cos y = 1 sin y + sin y + cos y = sin y, звідки sin y = 0 та y = n n Z). Це наслідок вихідної системи; тобто, для будь-якої пари x; y), яка є рішенням системи, друге число цієї пари матиме вигляд n з деяким цілим n. Розбиваємо y на дві серії: y1=n, y=+n. Підставляємо y 1 у вихідну систему: sin x = 1 sin y1 = 1, cos x = cos y1 = 1 Рішенням даної системи є серія sin x = 1, cos x = 1. x 1 = 4 + k k Z). Зверніть увагу, що тепер недостатньо було б підставити y1 у якесь одне з рівнянь системи. Підстановка y 1 у перше та друге рівняння системи призводить до системи двох різних рівнянь щодо x.) Аналогічно, підставляємо y у вихідну систему: Звідси sin x = 1 sin y = 1, cos x = cos y = 1 x = 4 + k k Z ).)) 4+k; n + k; + n, k, n Z. 4 sin x = 1, cos x = 1. Іноді в ході перетворень вдається отримати просте співвідношення між невідомими і висловити з цього співвідношення одне невідоме через інше. Завдання 10. Розв'язати систему: 5 cos x cos y = sin x siny x) + cos y = 1. Рішення. У другому рівнянні системи перетворимо подвоєний добуток синусів у різницю косінусів: cos x y) cos y + cos y = 1 cosx y) = 1 x y = n n Z). Виражаємо звідси y через x: y = x + n, 7

8 і підставляємо перше рівняння системи: 5 cos x cos x = 5 cos x cos x 1) = cos x 5 cos x + = 0. Подальше тривіально. Отримуємо: cos x = 1, звідки x = ± Залишається знайти y із отриманого вище співвідношення: + k k Z). y = ±+4k+n. ± + k; ± + 4k + n), k, n Z. Зрозуміло, розглянуті завдання не охоплюють всієї різноманітності систем тригонометричних рівнянь. У будь-якій непростій ситуації потрібно виявляти винахідливість, яка виробляється тільки практикою вирішення різноманітних завдань. У всіх відповідях передбачається, що k, n Z. Завдання 1. Розв'яжіть систему: x + y =, cos x cos y = 1. б) x + y =, sin x sin y = 1. + n; n), + n; 4 n); б) n; n). Розв'яжіть систему: x + y = 4, tg x tg y = 1 б) 6. x y = 5, sin x = sin y. arctg 1+n; arctg 1 n), arctg 1 + n; arctg 1 n); б) + n; 6+n). Розв'яжіть систему: sin x + sin y = 1, x y = 4 б). x + y =, sin x sin y = n; 6 + n); б) 6+n; 6 n) 8

9 4. Розв'яжіть систему: sin x + cos y = 0, sin x + cos y = 1. б) sin x + cos y = 1, sin x cos y =. 1) k 6 + k; ± + n); 1) k k; ± + n); б) 1) k 4 + k; + n) 5. Розв'яжіть систему: cos x + cos y = 1, tg x + tg y =, sin x sin y = б) 4. ctg x + ctg y = 9 5. ± + k; n); б) arctg 5+k; arctg 1+n), arctg 1+k; arctg 5 + n) 6. Розв'яжіть систему: sin x + cos y = 1, cos x cos y = 1. б) sin x + cos x = + sin y + cos y, sin x + sin y = 0. 1) k 6 + k; ± + n); б) 4±4+k; 5 4 ± 4 + n) 7. Розв'яжіть систему: sin x + sin y =, cos x cos y = 1. 1) k 4 + k + n); 1) k 4 + k n)); 1) k k + n + 1); 1)k k n 1)) 8. Розв'яжіть систему: sin x sin y = 1 4, tg x tg y =, cos x cos y = б) 4. sin x sin y = 4. ± 6 + k + n); ± 6 + k n)); б) ± + k + n); ± + k n)) 9. Розв'яжіть систему: 4 sin x cos y = 1, tg x = tg y. б) sin x = cos x cos y, cos x = sin x sin y k n k) ; 1) k 1 + n + k)); б)) 4 + k; 4 + k + n 9

10 10. Розв'яжіть систему: cos x = tg ( cos y = tg y +), 4 x +). 4 k; n), 4+k; 4+n), +k; + n) 11. Розв'яжіть систему: tg 4 + x = cos y,) tg 4 x = sin y. k; 4+n), +k; 4 + n) 1. Розв'яжіть систему: sin x + sin y = 1, cos x cos y =. 6 + n + k); n k)), 6 + n + k); n k)) 1. Розв'яжіть систему: tg x + tg y =, cos x cos y = n + k); 4 + n k)) 14. Розв'яжіть систему: sin x = sin y, cos x = cos y. 6+k; 4+n), 6+k; 4+n), k; 4+n), k; 4 + n) 15. Розв'яжіть систему: 6 cos x + 4 cos y = 5, sin x + sin y = 0. arccos 4 + k; arccos n), arccos 4+k; arccos n) 16. Розв'яжіть систему: 4 tg x = tg y, sin x cosx y) = sin y. б) ctg x + sin y = sin x, sin x sinx + y = cos y. k; n); б)) 4 + k; n + k; + n) 10

11 17. «Фізтех», 010) Розв'язати систему рівнянь 5 sin x cos y =, sin y + cos x =. 4 + k, 6 + n); k, n Z 18. МДУ, екз. для іностр. гр-н, 01) Розв'яжіть систему рівнянь: 4 + cos x = 7 sin y, y x = y 4. + n; 6 + n), + n; n), + n; 6 n), + n; 5 6 n), n Z 19. МДУ, ВМК, 005) Знайдіть усі розв'язки системи рівнянь sin x + y) = 1, xy = 9. xn, 4 + n) xn, де xn = 8 + n ± n) 6 , n Z, n, 1, 0, 1 0. МДУ, географічн. ф-т, 005) Розв'яжіть систему рівнянь 1 sin x sin y =, 6 sin x + cos y =. 1) n n, k), k, n Z 1. МДУ, ф-т держ. управління, 005) Розв'яжіть систему рівнянь sin x sin 1 = 0, cos x cos 1 = n, n Z. МФТІ, 199) Розв'яжіть систему рівнянь 10 cos x = 7 cos x cos y, sin x = cos x sin y. arccos + n, 1)k arcsin 5); 6 + k arccos + n, 1)k+1 arcsin 5), 6 + k k, n Z 11

12 . МФТІ, 199) Розв'яжіть систему рівнянь tg x 4 ctg x = tg y, 4 sin x = sin x cos y. arctg 4 + n, arccos 4 + k); + arctg 4 + n, + arccos 4 + k), k, n Z 4. МФТІ, 1996) Розв'яжіть систему рівнянь sin x = sin y, cos y + cos x sin x = 4. ± 6 + n, 1)k k ); k, n Z 5. МФТІ, 1996) Розв'яжіть систему рівнянь sin x +) = sin y cos y, 4 sin y + sin x = 4 + sin x. 1) n 1 + n, 4 + 1) k 4 + k); k, n Z 6. МФТІ, 1997) Розв'яжіть систему рівнянь 9 cos x cos y 5 sin x sin y = 6, 7 cos x cos y sin x sin y = 4. ± n + k, ± 6 + n + k) ; k, n Z 1

І. В. Яковлєв Матеріали з математики MathUs.ru Мінімаксні завдання в тригонометрії У цьому листку розглядаються рівняння, для вирішення яких використовуються оцінки правої та лівої частин. Щоб стало

І. В. Яковлєв Матеріали з математики MathUs.ru Тригонометричні рівняння з модулем Цей листок присвячений тригонометричним рівнянням, в яких тригонометричні функції від невідомої величини містяться

Практична робота: Розв'язання тригонометричних рівнянь різних типів Розробник: І. А. Кочеткова, Ж. І. Тимошко Мета роботи: 1) Повторити тригонометричні формули подвійного аргументу, формули додавання,

І В Яковлєв Матеріали з математики MathUsru Тригонометричні нерівності Передбачається, що читач вміє вирішувати найпростіші тригонометричні нерівності Ми ж переходимо до більш складних завдань

І. В. Яковлєв Матеріали з математики MathUs.ru Тригонометричні перетворення та обчислення Завдання, пов'язані з тригонометричними перетвореннями та обчисленнями, як правило, не складні і тому нечасто

Зміст І В Яковлєв Матеріали з математики MathUsru Ірраціональні рівняння та системи 1 Облік ОДЗ 1 Рівносильні перетворення 3 Заміна змінної 6 4 Розмноження на сполучене 7 5 Системи рівнянь

І. В. Яковлєв Матеріали з математики MathUs.ru Найпростіші тригонометричні рівняння Ми приступаємо до вивчення тригонометричних рівнянь центральної теми всього тригонометричного розділу. Нехай a

Агентство освіти адміністрації Красноярського краю Красноярський державний університет Заочна природнича школа при КрасДУ Математика: Модуль для 0 класу Навчально-методична частина/ Упоряд:

Інваріантність та завдання з параметрами Г.І. Фалін, А.І. Фалін МДУ ім.м.в.ломоносова http://mech.math.msu.su/ falin 1 Введение У сучасній математиці важливу роль грає поняття інваріантності, тобто. незмінності

І. В. Яковлєв Матеріали з математики MthUs.ru Дослідження тригонометричних функцій Нагадаємо, що функція fx) називається періодичною, якщо існує таке число T 0, що для будь-якого x з області визначення

Тема 14 «Алгебраїчні рівняння та системи нелінійних рівнянь» Багаточлен ступеня n називається многочлен виду P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, де a 0, a 1, a n-1, a n задані числа, a 0,

І. В. Яковлєв Матеріали з математики MathUs.ru Тренувальні завдання Симетрія в задачах з параметрами 1. (МДУ, ф-т ґрунтознавства, 001) При яких значеннях b рівняння має рівно один корінь? tg b = log

Міністерство науки і освіти Російської Федерації Московський Державний Університет Геодезії і Картографії Т. М. Корольова, Є. Г. Маркарян, Ю. М. Нейман

Урок алгебри у 10 класі Тема уроку: Способи розв'язання тригонометричних рівнянь Мета уроку: Узагальнення та систематизація знань учнів на тему. Завдання уроку: 1) Освітні - Розширити та поглибити

Приклади рішень контрольних робіт Л.І. Терьохіна, І.І. Фікс 1 Контрольна робота 1 Лінійна алгебра Розв'язати матричне рівняння ((3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 (1 0 = 3 2 3) Виконаємо спочатку множення матриць на

ІНТЕГРУВАННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ Інтегрування твору синусів і косинусів різних аргументів Тригонометричні формули k m [(m k (m k ],

Міністерство освіти та науки Російської Федерації Московський фізико-технічний інститут (державний університет) Заочна фізико-технічна школа МАТЕМАТИКА Тотожні перетворення. Рішення

Ірраціональні рівняння та нерівності Зміст Ірраціональні рівняння Метод зведення обох частин рівняння в один і той же ступінь Завдання Завдання Завдання Заміна ірраціонального рівняння змішаної

Міністерство освіти Республіки Білорусь Молодечненський державний політехнічний технікум Практична робота: Розв'язання тригонометричних рівнянь, що наводяться до найпростіших. Розробник: І.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ ТОМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Факультет прикладної математики та кібернетики Кафедра теорії ймовірностей та математичної статистики МЕЖІ Методичне

10 клас, базовий рівень Завдання 1 Варіант 0 (демонстраційний, з рішеннями) Заочна математична школа 009/010 навчальний рік 1 Подайте вираз у вигляді багаточлена стандартного виду та знайдіть його

Лекції «НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ» Укладач: ВПБєлкін Лекція Невизначений інтеграл Основні поняття Властивості невизначеного інтегралу 3 Основна таблиця первісних 3 4 Типові приклади 3 5 Найпростіші

4. Тригонометрія Тепер все готове для того, щоб надати суворі визначення тригонометричних функцій. На перший погляд вони, мабуть, видадуться досить дивними; проте ми покажемо, що певні

Тема МЕЖІ ФУНКЦІЙ Число А називається межею функції у=f), при х прагне до нескінченності, якщо для будь-якого, скільки завгодно малого числа ε>, знайдеться таке позитивне числоs, що при всіх >S виконується

Федеральне агентство з освіти Державна освітня установа вищої професійної освіти Ухтинський державний технічний університет (УДТУ) МЕЖ ФУНКЦІЇ Методичні

НЕ ДЕМІДОВА ОСНОВИ ТРИГОНОМЕТРІ Навчальний посібник для іноземних громадян Міністерство освіти і науки Російської Федерації Федеральна державна освітня бюджетна установа вищого професійного

Тема 1 Дійсні числа та дії над ними 4 години 11 Розвиток поняття про число 1 Спочатку під числами розуміли лише натуральні числа, яких достатньо для рахунку окремих предметів Безліч

Розв'язання тригонометричних рівнянь Розв'язання тригонометричних рівнянь Цілі: Познайомитись із видами тригонометричних рівнянь Познайомитись із способами розв'язання рівнянь. Виробити навички застосування

І. В. Яковлєв Матеріали з математики MathUs.ru Симетрія в задачах з параметрами Сіметрія одне з ключових понять математики та фізики. Ви знайомі з геометричною симетрією фігур та взагалі різних

Контрольна робота. Дані матриці A, B і D. Знайти AB 9D, якщо: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножимо матриці A 3 і B 3. буде C розміру 3 3, що складається з елементів

Лекція 13: Класифікація квадрик на площині Уральський федеральний університет, Інститут математики та комп'ютерних наук, кафедра алгебри та дискретної математики Вступні зауваження У попередніх трьох

Заняття. Ступінь із довільним дійсним показником, її властивості. Ступінна функція, її властивості, графіки. Згадати властивості ступеня з раціональним показником. a a a a a для натурального разів

8.3 клас, Математика (підручник Макаричів) 2016-2017 н.р. Тема модуля 5 «Квадратний корінь. Ступінь із цілим показником» У тесті перевіряються теоретична та практична частини. ТЕМА Знати Вміти Знати

Кафедра вищої математики ВДТУ-ВДАСУ, Доц. Сєдаєв А.А. 06 г П Р О І З В О Д Н А Я?.. з нуля?.. Д Л Я Ч АЙ Н І К О В? Якщо зустрівшись із необхідністю знайти

Міністерство освіти і науки Російської Федерації НАЦІОНАЛЬНИЙ ДОСЛІДНИЙ МОСКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ БУДІВЕЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Кафедра прикладної механіки та математики ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІЙНІ

Тема: Перетворення тригонометричних виразів Облік ОДЗ у тригонометричних рівняннях Підготовка до ЄДІ (завдання 9; ; 8) Визначення: Область визначення рівняння f g або областю допустимих значень

Московський авіаційний інститут (національний дослідний університет) Кафедра "Вища математика" Межі Похідні Функції кількох змінних Методичні вказівки та варіанти контрольних

Глава 4 Межа функції 4 1 ПОНЯТТЯ МЕЖІ ФУНКЦІЇ У цьому розділі основну увагу приділено поняттю межі функції. Визначено, що таке межа функції у нескінченності, а потім межа у точці, межі

Тема 7 Ранг матриці Базовий мінор Теорема про ранг матриці та її наслідки Системи m лінійних рівнянь з невідомими Теорема Кронекера-Капеллі Фундаментальна система рішень однорідної системи лінійних

Тема 1-8: Комплексні числа А. Я. Овсянніков Уральський федеральний університет Інститут математики та комп'ютерних наук кафедра алгебри та дискретної математики алгебра та геометрія для механіків (1 семестр)

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ поняття, які можна описати, але не можна строго визначити, тому що будь-яка спроба дати суворе визначення неминуче зведеться до заміни поняття, що визначається поняття йому

Метод поділу змінних (метод Фур'є) Загальні принципи методу поділу змінних Для найпростішого рівняння з приватними похідними поділ змінних це пошук рішень виду тільки від t. u (x, t

64 7 клас Алгебра (5 год на тиждень, 175 год) Алгебраїчний компонент (3 год на тиждень) 105 год та геометричний компонент (2 год на тиждень) 70 год Використані навчальні посібники: 1. Ареф'єва, І. Г. Алгебра: навч. допомога

Міністерство освіти Російської Федерації Російський державний університет нафти та газу імені ІМ Губкіна ВІ Іванов Методичні вказівки до вивчення теми «ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ» (для студентів

Практичне заняття Тема: Функція Область визначення та безліч значень функції Мета: Формування навичок знаходження області визначення функцій та обчислення приватних значень функцій На виконання

РІШЕННЯ ЗАВДАНЬ ВАРІАНТУ 0 Нагадаємо, що на перевірку здаються рішення завдань тільки з частини Розв'язання завдань частин і виконуються на чернетках і на оцінку ніяк не впливають

57(07) Д ДГ Дем'янов НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ Навчально-довідковий посібник Челябінськ 00 УДК 57 (0765) Дем'янов ДГ Невизначений інтеграл: Навчально-довідковий посібник / За ред. СА Уфімцева Челябін:

Фізтех 0, 0 клас, рішення квитка cos x cosx Розв'яжіть рівняння = cos x sin x Відповідь x = k 6 +, x = + k 6, x = + k, k Ζ Рішення Можливі два випадки cos x cos x sin x sin x а) cos x 0 Тоді = = tg x = x =

ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФОРМУЛИ Успіх розв'язання тригонометричних рівнянь та нерівностей, докази тригонометричних тотожностей та розв'язання обчислювальних завдань значною мірою визначаються знанням основних

Заняття 14 Комплексні числа. ЛОДУ з постійними коефіцієнтами. 14.1 Комплексні числа Комплексним числом називається вираз виду z = x + iy, де x R. Є взаємно однозначна відповідність між множиною

Запитання Які числа називають натуральними? Відповідь Натуральними називають числа, які використовують за рахунку Що таке класи та розряди у записі чисел? Як називають числа під час додавання? Сформулюйте комбінаційний

А А КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА ПСКІВ ББК 57 К45 Друкується за рішенням кафедри алгебри та геометрії та редакційно-видавничої ради ПДПІ ім СМ Кірова Рецензент: Медведєва ІН, кандидат фіз мат наук, доцент

Лекція Диференціальні рівняння -го порядку (ДК-) Загальний вид диференціального рівняння порядку n запишеться: (n) F, = 0 () Рівняння -го порядку (n =) набуде вигляду F(,) = 0 Подібні рівняння

ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ Хабаровськ 01 р. ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНЦІЯ З ОСВІТИ Державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Тихоокеанський державний

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Санкт-Петербурзький державний архітектурно-будівельний університет

МАТЕМАТИКА, клас Відповіді та критерії, Квітень Варіант/завдання ВІДПОВІДІ В В В В В В В7 З 4 7 4 arccos 7 44,7 9 8 + n, n, 4 8 7 4,4,8 4 4, 4, 9, 4 (;) (log ;) + n, 8 49 8,7 (4;) (; +), 8 9, 4 8 + 7

Умови задач 1 Муніципальний етап 8 клас 1. На дошці написано два числа. Одне з них збільшили у 6 разів, а інше зменшили на 2015 рік, при цьому сума чисел не змінилася. Знайдіть хоча б одну пару таких

Невизначений інтеграл Вступна частина Визначення Функція F() називається первісною для даної функції f(), якщо F() f(), або, що те ж саме, df f d Ця функція f() може мати різні первісні,

Московський фізико-технічний інститут Ірраціональні рівняння та нерівності Методичний посібник з підготовки до олімпіад Упорядник: Паркевич Єгор Вадимович Москва 04 Введення У цій роботі ми розглянемо

ОСНОВИ ВЕКТОРНОГО ЗЛІЧЕННЯ Вектором називається кількісна характеристика, що має не тільки числову величину, а й напрямок Іноді кажуть, що вектор це спрямований відрізок Векторна система

Показові рівняння. Методи розв'язання. Дубова Марія Ігорівна 7 78-57 Показовим називається рівняння, що містить змінну лише у показнику ступеня. Розглянемо кілька типів показових рівнянь,

МАВ(С)ОУ «ЦО 1» Математика 1 клас Тригонометрія ЗАЛІК 1, Таблиці, контрольні роботи, заліки Вчитель Немова Н.М. Перша кваліфікація 15 уч г Пояснювальна записка. Цей дидактичний матеріал призначений

Первісна і невизначений інтеграл Основні поняття та формули 1. Визначення первісної та невизначеної інтегралу. Визначення. Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на проміжку

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ Інтегрування раціональних дробів Раціональним дробом називається дріб виду P Q, де P і Q багаточлени Раціональний дріб називається правильним, якщо ступінь многочлена P нижче ступеня

І. В. Яковлєв Матеріали з математики MthUs.ru Стаття написана у співавторстві з А. Г. Малковою Найпростіші тригонометричні рівняння. Попередня стаття була присвячена головній ідеї вирішення найпростіших тригонометричних

Тема Невизначений інтеграл Основні методи інтегрування Інтегрування частинами Нехай u і v дві функції, що диференціюються одного і того ж аргументу Відомо, що d(u v) udv vdu (77) Візьмемо від обох

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Московський фізико-технічний інститут (державний університет) Заочна фізико-технічна школа МАТЕМАТИКА Квадратні рівняння Завдання для 8-х

Завдання в одну дію з цілими числами (формальні) стор. 1 06.09.2012 1) Вирішити нерівність: x 7 17. 2) Помножити 612 на 100000. 3) Чому дорівнює різниця чисел 661 та 752? 4) Порівняти вирази: 54 6 та 7.

ЛЕКЦІЯ N Диференціальні рівняння вищих порядків, методи вирішення Завдання Коші Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків Однорідні лінійні рівняння Диференціальні рівняння вищих порядків,

Методи розв'язання тригонометричних рівнянь

Вступ 2

Методи розв'язання тригонометричних рівнянь 5

Алгебраїчний 5

Розв'язання рівнянь за допомогою умови рівності однойменних тригонометричних функцій 7

Розкладання на множники 8

Приведення до однорідного рівняння 10

Введення допоміжного кута 11

Перетворення твору на суму 14

Універсальна підстановка 14

Висновок 17

Вступ

До десятого класу порядок дій багатьох вправ, що веде до мети, зазвичай однозначно визначений. Наприклад, лінійні та квадратні рівняння та нерівності, дробові рівняння та рівняння, що приводяться до квадратних, тощо. Не розбираючи докладно принципу вирішення кожного зі згаданих прикладів, відзначимо те загальне, що необхідне їх успішного рішення.

Найчастіше треба встановити, якого типу належить завдання, згадати послідовність дій, які ведуть мети, і здійснити ці действия. Очевидно, що успіх чи неуспіх учня в оволодінні прийомами розв'язання рівнянь залежить головним чином від того, наскільки він зуміє правильно визначити тип рівняння та згадати послідовність усіх етапів його розв'язання. Вочевидь, у своїй передбачається, що учень має навичками виконання тотожних перетворень і обчислень.

Зовсім інша ситуація виходить, коли школяр зустрічається із тригонометричними рівняннями. При цьому встановити факт, що рівняння є тригонометричним, неважко. Складнощі виникають при знаходженні порядку дій, які б призвели до позитивного результату. І тут перед учнем постають дві проблеми. На вигляд рівняння важко визначити тип. А не знаючи типу, майже неможливо вибрати потрібну формулу з кількох десятків, що є у розпорядженні.

Щоб допомогти учням знайти вірну дорогу у складному лабіринті тригонометричних рівнянь, їх спочатку знайомлять із рівняннями, які після введення нової змінної наводяться до квадратних. Потім вирішують однорідні рівняння та приведені до них. Все закінчується, зазвичай, рівняннями, на вирішення яких треба розкласти на множники ліву частину, прирівнявши потім кожен із множників нанівець.

Розуміючи, що розібраних на уроках півтора десятка рівнянь явно недостатньо, щоб пустити учня в самостійне плавання тригонометричним "морем", вчитель додає від себе ще кілька рекомендацій.

Щоб розв'язати тригонометричне рівняння, треба спробувати:

Привести всі функції, що входять до рівняння до «однакових кутів»;

Привести рівняння до "однакових функцій";

Розкласти ліву частину рівняння на множники тощо.

Але, незважаючи на знання основних типів тригонометричних рівнянь і кількох принципів пошуку їх вирішення, багато учнів, як і раніше, опиняються в глухому куті перед кожним рівнянням, що незначно відрізняється від тих, що вирішувалися раніше. Залишається незрозумілим, чого слід прагнути, маючи те чи інше рівняння, чому в одному випадку треба застосовувати формули подвійного кута, в іншому - половинного, а в третьому - формули додавання і т.д.

Визначення 1.Тригонометричним називається рівняння, в якому невідоме міститься під знаком тригонометричних функцій.

Визначення 2.Говорять, що в тригонометричному рівнянні однакові кути, якщо всі тригонометричні функції, що входять до нього, мають рівні аргументи. Говорять, що в тригонометричному рівнянні однакові функції, якщо воно містить лише одну з тригонометричних функцій.

Визначення 3.Ступенем одночлена, що містить тригонометричні функції, називається сума показників ступенів тригонометричних функцій, що входять до нього.

Визначення 4.Рівняння називається однорідним, якщо всі одночлени, що входять до нього, мають один і той самий ступінь. Цей ступінь називається порядком рівняння.

Визначення 5.Тригонометричне рівняння, що містить лише функції sinі cos, називається однорідним, якщо всі одночлени щодо тригонометричних функцій мають однаковий ступінь, а самі тригонометричні функції мають рівні кути та число одночленів на 1 більше за порядок рівняння.

Методи розв'язання тригонометричних рівнянь.

Розв'язання тригонометричних рівнянь складається з двох етапів: перетворення рівняння для отримання його найпростішого виду та рішення отриманого найпростішого тригонометричного рівняння. Існує сім основних методів розв'язання тригонометричних рівнянь.

I. Алгебраїчний метод.Цей метод добре відомий із алгебри. (Метод заміни змінний та підстановки).

Розв'язати рівняння.

1)

Введемо позначення x=2 sin3 t, отримаємо

Вирішуючи це рівняння, отримуємо:
або

тобто. можна записати

При записі отриманого рішення через наявність знаків ступінь
записувати немає сенсу.

Відповідь:

Позначимо

Отримуємо квадратне рівняння
. Його корінням є числа
і
. Тому дане рівняння зводиться до найпростіших тригонометричних рівнянь.
і
. Вирішуючи їх, знаходимо, що
або
.

Відповідь:
;
.

Позначимо

не задовольняє умову

Значить

Відповідь:

Перетворимо ліву частину рівняння:

Таким чином, це вихідне рівняння можна записати у вигляді:

, тобто.

Позначивши
, отримаємо
Вирішивши дане квадратне рівняння маємо:

не задовольняє умову

Записуємо рішення вихідного рівняння:

Відповідь:

Підстановка
зводить дане рівняння до квадратного рівняння
. Його корінням є числа
і
. Так як
то задане рівняння коренів не має.

Відповідь: коріння немає.

II. Розв'язання рівнянь за допомогою рівності однойменних тригонометричних функцій.

а)
, якщо

б)
, якщо

в)
, якщо

Використовуючи ці умови, розглянемо рішення наступних рівнянь:

6)

Користуючись сказаним у п. а) отримуємо, що рівняння має рішення в тому і лише в тому випадку, коли
.

Вирішуючи це рівняння, знаходимо
.

Маємо дві групи рішень:

.

7) Розв'язати рівняння:
.

Користуючись умовою п. б) виводимо, що
.

Вирішуючи ці квадратні рівняння, отримуємо:

.

8) Розв'язати рівняння
.

З цього рівняння виводимо, що . Вирішуючи це квадратне рівняння, знаходимо, що

.

III. Розкладання на множники.

Цей метод розглядаємо на прикладах.

9) Розв'язати рівняння
.

Рішення. Перенесемо всі члени рівняння вліво: .

Перетворимо і розкладемо на множники вираз у лівій частині рівняння:
.

.

.

1)
2)

Т.к.
і
не набувають значення нуль

одночасно, то розділимо обидві частини

рівняння на
,

Відповідь:

10) Розв'язати рівняння:

Рішення.

або

Відповідь:

11) Розв'язати рівняння

Рішення:

1)
2)
3)

,

Відповідь:

IV. Приведення до однорідного рівняння.

Щоб розв'язати однорідне рівняння треба:

Перенести всі його члени до лівої частини;

Винести всі спільні множники за дужки;

Прирівняти всі множники та дужки до нуля;

Дужки, прирівняні до нуля, дають однорідне рівняння меншою мірою, яке слід розділити на
(або
) у старшому ступені;

Вирішити отримане рівняння алгебри щодо
.

Розглянемо приклади:

12) Розв'язати рівняння:

Рішення.

Розділимо обидві частини рівняння на
,

Вводячи позначення
, ім'ям

коріння цього рівняння:

звідси 1)
2)

Відповідь:

13) Розв'язати рівняння:

Рішення. Використовуючи формули подвійного кута та основне тригонометричне тотожність, наводимо дане рівняння до половинного аргументу:

Після приведення подібних доданків маємо:

Розділивши однорідне останнє рівняння на
, отримаємо

Позначу
, отримаємо квадратне рівняння
, корінням якого є числа

Таким чином

Вираз
звертається в нуль при
, тобто. при
,
.

Отримане нами рішення рівняння не включає дані числа.

Відповідь:
, .

V. Введення допоміжного кута.

Розглянемо рівняння виду

Де a, b, c- Коефіцієнти, x- Невідоме.

Розділимо обидві частини цього рівняння на

Тепер коефіцієнти рівняння мають властивості синуса і косинуса, саме: модуль кожного їх вбирається у одиниці, а сума їх квадратів дорівнює 1.

Тоді можна позначити їх відповідно
(тут - Допоміжний кут) і наше рівняння набуває вигляду: .

Тоді

І його рішення

Зауважимо, що введені позначення взаємозамінні.

14) Розв'язати рівняння:

Рішення. Тут
тому ділимо обидві частини рівняння на

Відповідь:

15) Розв'язати рівняння

Рішення. Так як
, то дане рівняння рівносильне рівнянню

Так як
, то існує такий кут, що
,
(Тобто.
).

Маємо

Так як
, то остаточно отримуємо:

.

Зауважимо, що рівняння виду мають рішення тоді і лише тоді, коли

16) Розв'язати рівняння:

Для розв'язання цього рівняння згрупуємо тригонометричні функції з однаковими аргументами

Розділимо обидві частини рівняння на два

Перетворимо суму тригонометричних функцій на твір:

Відповідь:

VI. Перетворення твору на суму.

Тут застосовуються відповідні формули.

17) Розв'язати рівняння:

Рішення. Перетворимо ліву частину на суму:

VII.Універсальна підстановка.

,

ці формули вірні всім

Підстановка
називається універсальною.

18) Розв'язати рівняння:

Рішення: Замінимо та
на їх вираз через
і позначимо
.

Отримуємо раціональне рівняння
, яке перетворюється на квадратне
.

Корінням цього рівняння є числа
.

Тому завдання звелося до розв'язання двох рівнянь
.

Знаходимо, що
.

Значення виду
вихідного рівняння не задовольняє, що перевіряється перевіркою - підстановкою даного значення tу вихідне рівняння.

Відповідь:
.

Зауваження. Рівняння можна було вирішити іншим способом.

Розділимо обидві частини цього рівняння на 5 (тобто на
):
.

Так як
, то існує таке число
, що
і
. Тому рівняння набуває вигляду:
або
. Звідси знаходимо, що
де
.

19) Розв'язати рівняння
.

Рішення. Оскільки функції
і
мають найбільше значення, що дорівнює 1, то їх сума дорівнює 2, якщо
і
одночасно, тобто
.

Відповідь:
.

При вирішенні цього рівняння застосовувалася обмеженість функцій та .

Висновок.

Працюючи над темою «Рішення тригонометричних рівнянь» кожному вчителю корисно виконувати такі рекомендації:

Систематизувати методи розв'язання тригонометричних рівнянь.

Вибрати собі кроки з виконання аналізу рівняння та ознаки доцільності використання тієї чи іншої метод решения.

Продумати способи самоконтролю своєї діяльності щодо реалізації методу.

Навчитися складати «свої» рівняння на кожен із методів, що вивчаються.

Додаток №1

Розв'яжіть однорідні або приведені до однорідним рівняння.

Уроки 54-55. Системи тригонометричних рівнянь (факультативне заняття)

Ціль: розглянути найбільш типові системи тригонометричних рівнянь та способи їх розв'язання.

I. Повідомлення теми та мети уроків

ІІ. Повторення та закріплення пройденого матеріалу

1. Відповіді на запитання щодо домашнього завдання (розбір невирішених завдань).

2. Контроль засвоєння матеріалу (самостійна робота).

Варіант 1

Розв'яжіть нерівність:

Варіант 2

Розв'яжіть нерівність:

ІІІ. Вивчення нового матеріалу

На іспитах системи тригонометричних рівнянь зустрічаються набагато рідше тригонометричних рівнянь та нерівностей. Чіткої класифікації систем тригонометричних рівнянь немає. Тому умовно розіб'ємо їх на групи та розглянемо способи вирішення цих завдань.

1. Найпростіші системи рівнянь

До них віднесемо системи, у яких або одне із рівнянь є лінійним, або рівняння системи можуть бути вирішені незалежно одна від одної.

Приклад 1

Розв'яжемо систему рівнянь

Так як перше рівняння є лінійним, то висловимо з нього зміннуі підставимо на друге рівняння:Використовуємо формулу приведення та основне тригонометричне тотожність. Отримаємо рівнянняабо Введемо нову змінну t = sin у. Маємо квадратне рівняння 3 t 2 - 7 t + 2 = 0, коріння якого t 1 = 1/3 та t 2 = 2 (не підходить, оскільки sin у ≤ 1). Повернемося до старої невідомої та отримаємо рівняння sin y = 1/3, рішення якогоТепер легко знайти невідому:Отже, система рівнянь має рішенняде n ∈ Z.

Приклад 2

Розв'яжемо систему рівнянь

Рівняння системи є незалежними. Тому можна записати розв'язки кожного рівняння. Отримаємо:Почленно складемо та віднімемо рівняння цієї системи лінійних рівнянь і знайдемо:звідки

Звернімо увагу на те, що через незалежність рівнянь при знаходженні х - у і х + у повинні бути вказані різні цілі числа n і k. Якби замість k було також поставлено n , то рішення мали б вигляд:При цьому було б втрачено безліч рішень і, крім того, виник би зв'язок між змінними x і у: х = 3у (чого немає насправді). Наприклад, легко перевірити, що дана система має рішення х = 5π і у = п (відповідно до отриманих формул), яке при k = n знайти неможливо. Тому будьте уважнішими.

2. Системи виду

Такі системи призводять до найпростіших при складанні та відніманні рівнянь. При цьому отримаємо системиабо Зазначимо очевидне обмеження:і Саме рішення таких систем складнощів не представляє.

Приклад 3

Розв'яжемо систему рівнянь

Перетворимо спочатку друге рівняння системи, використовуючи рівністьОтримаємо: Підставимо в чисельник цього дробу перше рівняння:і висловимо Тепер маємо систему рівняньСкладемо і віднімемо ці рівняння. Маємо: абоЗапишемо рішення цієї найпростішої системи:Складаючи та віднімаючи ці лінійні рівняння, знаходимо:

3. Системи виду

Такі системи можна розглядати як найпростіші та вирішувати їх відповідним чином. Проте є й інший спосіб розв'язання: перетворити суму тригонометричних функцій на твір і використовувати рівняння, що залишилося.

Приклад 4

Розв'яжемо систему рівнянь

Спочатку перетворимо перше рівняння, використовуючи формулу суми синусів кутів. Отримаємо:Використовуючи друге рівняння, маємо:звідки Випишемо рішення цього рівняння:З урахуванням другого рівняння цієї системи отримуємо систему лінійних рівняньЗ цієї системи знаходимо Такі рішення зручно записати більш раціональному вигляді. Для верхніх знаків маємо:для нижніх знаків -

4. Системи виду

Насамперед необхідно отримати рівняння, що містить лише одну невідому. Для цього, наприклад, висловимо з одного рівняння sin у, з іншого - cos у. Зведемо у квадрат ці співвідношення і складемо. Тоді виходить тригонометричне рівняння, що містить невідому х. Вирішуємо таке рівняння. Потім, використовуючи будь-яке рівняння даної системи, отримуємо рівняння для знаходження невідомої.

Приклад 5

Розв'яжемо систему рівнянь

Запишемо систему у виглядіЗведемо в квадрат кожне рівняння системи та отримаємо:Складемо рівняння цієї системи:або Використовуючи основне тригонометричне тотожність, запишемо рівняння у виглядіабо Вирішення цього рівняння cos x = 1/2 (тоді ) та cos x = 1/4 (звідки ), де n , k ∈ Z . Враховуючи зв'язок між невідомими cos y = 1 - 3 cos x отримаємо: для cos x = 1/2 cos y = -1/2; для cos x = 1/4 cos y = 1/4. Необхідно пам'ятати, що при вирішенні системи рівнянь проводилося зведення у квадрат і ця операція могла призвести до появи сторонніх коренів. Тому треба врахувати перше рівняння даної системи, з якого випливає, що величини sin x та sin має бути одного знака.

З урахуванням цього отримаємо розв'язання даної системи рівняньі де n, m, k, l ∈ Z . При цьому для невідомих х і одночасно вибирають або верхні, або нижні знаки.

В окремому випадкусистема може бути вирішена перетворенням суми (або різниці) тригонометричних функцій на твір і наступним почленним поділом рівнянь один на одного.

Приклад 6

Розв'яжемо систему рівнянь

У кожному рівнянні перетворимо суму та різницю функцій у твір і розділимо кожне рівняння на 2. Отримаємо:Оскільки жоден множник у лівих частинах рівнянь не дорівнює нулю, то почленно розділимо рівняння одне одного (наприклад, друге перше). Отримаємо:звідки Підставимо знайдене значеннянаприклад, у перше рівняння:Врахуємо, що Тоді звідки

Отримали систему лінійних рівняньСкладаючи та віднімаючи рівняння цієї системи, знайдемоі де n, k ∈ Z.

5. Системи, які вирішуються за допомогою заміни невідомих

Якщо система містить лише дві тригонометричні функції або наводиться до такого виду, то зручно використовувати заміну невідомих.

Приклад 7

Розв'яжемо систему рівнянь

Оскільки до цієї системи входять лише дві тригонометричні функції, то введемо нові змінні а = tg х та b = sin у. Отримаємо систему рівнянь алгебриЗ першого рівняння виразимо а = b + 3 і підставимо у друге:або Коріння цього квадратного рівняння b 1 = 1 та b 2 = -4. Відповідні значення а1 = 4 та а2 = -1. Повернемося до старих невідомих. Отримаємо дві системи найпростіших тригонометричних рівнянь:

а) її вирішення де n, k ∈ Z.

б) рішень не має, оскільки sin у ≥ -1.

Приклад 8

Розв'яжемо систему рівнянь

Перетворимо друге рівняння системи так, щоб воно містило лише функції sin х і cos у. І тому використовуємо формули зниження ступеня. Отримаємо:(звідки ) та (тоді ). Друге рівняння системи має вигляд:або Отримали систему тригонометричних рівняньВведемо нові змінні a = sin х та b = cos у. Маємо симетричну систему рівнянь єдине рішення якої a = b = 1/2. Повернемося до старих невідомих і отримаємо найпростішу систему тригонометричних рівняньрішення якої де n, k ∈ Z.

6. Системи, для яких важливі особливості рівнянь

Практично під час вирішення будь-якої системи рівнянь використовуються ті чи інші її особливості. Зокрема, одне із найбільш загальних прийомів рішення системи - тотожні перетворення, дозволяють отримати рівняння, що містить лише одну невідому. Вибір перетворень, звісно, ​​визначається специфікою рівнянь системи.

Приклад 9

Вирішимо систему

Звернімо увагу на ліві частини рівнянь, наприкладВикористовуючи формули наведення, зробимо функцію з аргументом π/4 + х. Отримаємо:Тоді система рівнянь має вигляд:Щоб виключити змінну х, почленно помножимо рівняння та отримаємо:або 1 = sin 3 2у, звідки sin 2у = 1. Знаходимо і Зручно окремо розглянути випадки парних та непарних значень. n. Для парних n (n = 2 k , де k ∈ Z ) Тоді з першого рівняння даної системи отримаємо:де m ∈ Z . Для непарних Тоді з першого рівняння маємо:Отже, ця система має рішення

Як і разі рівнянь, досить часто зустрічаються системи рівнянь, у яких істотну роль грає обмеженість функцій синуса і косинуса.

Приклад 10

Розв'яжемо систему рівнянь

Насамперед перетворимо перше рівняння системи:або або або або Враховуючи обмеженість функції синуса, бачимо, що ліва частина рівняння не менше 2, а права частина не більше 2. Тому таке рівняння рівносильне умовам sin 2 2х = 1 та sin 2 у = 1.

Друге рівняння системи запишемо у вигляді sin 2 у = 1 - cos 2 z або sin 2 у = sin 2 z і тоді sin 2 z = 1. Отримали систему найпростіших тригонометричних рівняньВикористовуючи формулу зниження ступеня, запишемо систему якабо тоді

Зрозуміло, при розв'язанні інших систем тригонометричних рівнянь необхідно звертати увагу на особливості цих рівнянь.

Завантажити матеріал

Повний текст матеріалу дивіться в файлі, що скачується.
На сторінці наведено лише фрагмент матеріалу.

Готові роботи

ДИПЛОМНІ РОБОТИ

Багато чого вже позаду і тепер ти – випускник, якщо, звісно, ​​вчасно напишеш дипломну роботу. Але життя - така штука, що тільки зараз тобі стає зрозуміло, що, переставши бути студентом, ти втратиш усі студентські радості, багато з яких, ти так і не скуштував, все відкладаючи та відкладаючи на потім. І тепер, замість того, щоб надолужувати втрачене, ти копишся над дипломною роботою? Є чудовий вихід: завантажити потрібну тобі дипломну роботу з нашого сайту - і в тебе миттю з'явиться багато вільного часу!
Дипломні роботи успішно захищені у провідних Університетах РК.
Вартість роботи від 20 000 тенге

КУРСОВІ РОБОТИ

Курсовий проект – це перша серйозна практична робота. Саме з написання курсової розпочинається підготовка до розробки дипломних проектів. Якщо студент навчитися правильно викладати зміст теми в курсовому проекті та грамотно його оформляти, то надалі у нього не виникне проблем ні з написанням звітів, ні зі складанням дипломних робіт, ні з виконанням інших практичних завдань. Щоб надати допомогу студентам у написанні цього типу студентської роботи і роз'яснити питання, що виникають під час її складання, власне кажучи, і був створений даний інформаційний розділ.
Вартість роботи від 2500 тенге

МАГІСТЕРСЬКІ ДИСЕРТАЦІЇ

В даний час у вищих навчальних закладах Казахстану та країн СНД дуже поширений ступінь вищої професійної освіти, який слідує після бакалаврату - магістратура. У магістратурі навчаються з метою отримання диплома магістра, який визнається в більшості країн світу більше, ніж диплом бакалавра, а також визнається зарубіжними роботодавцями. Підсумком навчання у магістратурі є захист магістерської дисертації.
Ми надамо Вам актуальний аналітичний та текстовий матеріал, у вартість включено 2 наукові статті та автореферат.
Вартість роботи від 35 000 тенге

ЗВІТИ З ПРАКТИКИ

Після проходження будь-якого типу студентської практики (навчальної, виробничої, переддипломної) потрібно скласти звіт. Цей документ буде підтвердженням практичної роботи студента та основою формування оцінки за практику. Зазвичай, щоб скласти звіт з практики, потрібно зібрати та проаналізувати інформацію про підприємстві, розглянути структуру та розпорядок роботи організації, в якій проходить практика, скласти календарний план та описати свою практичну діяльність.
Ми допоможемо написати звіт про проходження практики з урахуванням специфіки діяльності конкретного підприємства.

У цьому практичному уроці буде розглянуто кілька типових прикладів, які демонструють методи розв'язання тригонометричних рівнянь та його систем.

Цей урок допоможе Вам підготуватися до одного з типів завдання В5 та С1.

Підготовка до ЄДІ з математики

Експеримент

Урок 10. Тригонометричні функції. Тригонометричні рівняння та їх системи.

Практика

Конспект уроку

Основну частину уроку ми присвятимо розв'язанню тригонометричних рівнянь та систем, але почнемо із завдань на властивості тригонометричних функцій, які з розв'язуванням рівнянь не пов'язані. Розглянемо обчислення періоду тригонометричних функцій зі складним аргументом.

Завдання №1. Обчислити період функцій а); б) .

Скористаємося вказаними у лекції формулами.

а) Для функції період. У разі , тобто . .

б) Для функції період. В нас, т.к. аргумент можна уявити як розділеним на три, а й помноженим на . Інші дії з функцією (множення на , додавання 1) не впливає на аргумент, тому нас не цікавлять.

Отримуємо, що

Відповідь. а); б).

Переходимо до основної частини нашої практики та починаємо розв'язання тригонометричних рівнянь. Для зручності розберемо рішення тих прикладів, які ми згадували в лекції, коли перераховували основні види рівнянь.

Завдання №2. Розв'язати рівняння: а); б); в); г).

Для знаходження коріння таких рівнянь користуємося формулами загальних рішень.

Для обчислення значень аркфункції користуємося непарністю арктангенсу та таблицею значень тригонометричних функцій, що ми докладно розглядали на попередньому уроці. Далі не будемо окремо зупинятись на цих діях.

г) При вирішенні рівняння хочеться написати за загальною формулою, що Але цього робити не можна. Тут є важливою перевірка області значень косинуса, яка перевіряється спочатку рішення рівняння.

Оскільки , що лежить у області значень функції, отже, рівняння немає рішень.

Важливо не переплутати значення з табличним значенням косинуса, будьте уважні!

Зауваження. Досить часто в задачах на розв'язання тригонометричних рівнянь і систем потрібно вказати не загальне рішення, що демонструє нескінченну родину коренів, а вибрати лише кілька з них, що лежать у певному діапазоні значень. Давайте проробимо ці дії з прикладу відповіді до пункту «в».

Додаткове завдання до пункту «в». Вказати кількість коренів рівняння, які належать проміжку та перерахувати їх.

Загальне рішення нам уже відоме:

Щоб вказати коріння, що належать зазначеному проміжку, їх необхідно по черзі виписати, підставляючи конкретні значення параметра. Підставлятимемо цілі числа, починаючи з , т.к. коріння нас цікавить із діапазону, який близький до нуля.

При підстановці ми отримаємо ще більше значення кореня, тому немає сенсу це робити. Тепер підставимо негативні значення:

Підставляти з тих самих міркувань немає сенсу. Отже, ми знайшли єдиний корінь рівняння, що належить вказаному діапазону.

Відповідь. ; вказаному діапазону належить одне значення кореня рівняння.

Аналогічна постановка питання пошуку певних значень коренів рівнянь може зустрічатися й у завданнях інших типів, далі ми витрачатимемо цей час. Пошук необхідних коренів завжди виконуватиметься аналогічно. Іноді для цього зображують тригонометричне коло. Спробуйте самі нанести на коло коріння рівнянь із пунктів «а» та «б», які потрапляють у діапазон .

Завдання №3. Вирішити рівняння .

Скористаємося методом знаходження коріння з використанням тригонометричного кола, як це було показано на лекції.

Наносимо на коло точки, що відповідають кутам, при яких . Такий кут один.

Перше значення кута, що відповідає зазначеній точці - точка знаходиться на промені, який є початком відліку. Далі, щоб потрапити ще раз у цю ж точку, але вже за іншого значення кута, необхідно до першого знайденого кореня додати і отримаємо наступний корінь . Для отримання наступного кореня необхідно виконати ту ж операцію і т.д.

Таким чином, можемо вказати загальне рішення, яке демонструватиме, що для отримання всіх коренів рівняння до першого значення необхідно будь-яку кількість разів додавати :

Нагадаємо, що аналогічним способом вирішуються рівняння виду:

Завдання №4. Вирішити рівняння .

Наявність складного аргументу не змінює того, що рівняння, по суті, є найпростішим і підхід до рішення зберігається. Просто тепер у ролі аргументу виступає. Його й пишемо у формулі загального рішення:

Завдання №5. Вирішити рівняння .

Найголовніше, це припустити типову помилку і скоротити обидві сторони рівняння на , т.к. при цьому ми втратимо коріння рівняння, що відповідає . Грамотний підхід до рішення передбачає перенесення всіх виразів в один бік та винесення загального множника.

На цьому етапі необхідно згадати, що якщо добуток дорівнює нулю, то це можливо в тому випадку, якщо один з множників дорівнює нулю, або інший. Таким чином, наше рівняння перетворюється на сукупність рівнянь:

Перше рівняння вирішуємо, як окремий випадок найпростішого рівняння. Зробіть це самостійно, ми випишемо готовий результат. У другому рівнянні виконаємо дії, щоб привести його до найпростішого вигляду зі складним аргументом і вирішимо за загальною формулою коріння.

Зверніть увагу на такий нюанс – при записі загальної формули коріння другого рівняння ми використовуємо інший параметр «». Це з тим, що ми вирішуємо сукупність незалежних рівнянь й у них має бути загальних параметрів. В результаті отримуємо два незалежні сімейства рішень.

Відповідь. ; .

Завдання №6. Вирішити рівняння .

Для спрощення скористаємося формулою перетворення твору тригонометричних функцій на суму

Скористаємося парністю косинуса і взаємознищимо однаковий доданок у двох частинах рівняння.

Перенесемо все в один бік і скористаємося формулою різниці косінусів, щоб отримати добуток функцій, що дорівнює нулю. Застосуємо для цього формулу .

Скоротимо обидві сторони рівняння на:

Ми звели рівняння до форми твору, яка в нас вийшла у попередньому прикладі. Пропонуємо вам самим вирішувати його до кінця. Вкажемо остаточну відповідь.

У принципі це вже остаточна відповідь. Однак його можна записати компактніше у вигляді одного сімейства рішень, а не двох. У першому рішенні вказані всі чверті частин , тоді як у другому все половини частин , але половини входять у чверті, оскільки половина - це дві чверті. Таким чином, друге сімейство коренів входить до першого, і підсумкову відповідь можна описати першим сімейством рішень.

Щоб краще розібратися в цих міркуваннях, спробуйте нанести отримане коріння на тригонометричне коло.

Відповідь. або .

Ми розглянули одне рівняння з використанням перетворень тригонометричних функцій, проте їх безліч, як і типів перетворень. Рівняння використання універсальної тригонометричної підстановки, приклад якої ми приводили на позаминулому уроці, ми розглянемо після того, як розберемо метод заміни.

Завдання №7. Вирішити рівняння .

У разі необхідно спочатку спробувати звести рівняння до використання однієї тригонометричної функції. Т.к. легко виражається через з використанням тригонометричної одиниці, ми легко зведемо рівняння до синусів.

Підставимо вираз у наше рівняння:

Оскільки все зведено однієї функції можемо виконати заміну: .

Отримали квадратне рівняння, яке легко вирішити будь-якими зручними для вас способами, наприклад, з використанням теореми Вієта легко отримати, що:

Перше рівняння немає рішень, т.к. значення синуса виходить за допустиму область.

Друге рівняння пропонуємо вирішити самостійно, т.к. це вже розглянутий нами тип окремих випадків найпростіших рівнянь. Випишемо його коріння:

Відповідь. .

Завдання №8. Вирішити рівняння .

У зазначеному рівнянні відразу не видно способи розв'язання, які ми вже розглянули. У разі треба спробувати застосувати формули універсальної тригонометричної підстановки, які допоможуть привести рівняння однієї функції.

Скористаємося формулами: і , які приведуть усі рівняння до .

Зараз видно, що можна виконати заміну.

Складемо дроби і помножимо обидві частини рівняння знаменник, т.к. він , не дорівнює нулю.

Ми привели рівняння вже розглянутої раніше формі, тобто. до твору множників, що дорівнює нулю.

Виконаємо зворотну підстановку:

Обидва отримані сімейства рішень можна легко об'єднати в одне:

Відповідь. .

Завдання №9. Розв'яжіть рівняння. У відповідь вкажіть лише коріння, кратне.

Зазначене рівняння ускладнюється після приведення до синусів чи косинусів, як це хочеться зробити за допомогою формули тригонометричної одиниці. Тому використовується інший спосіб.

Вказане рівняння ми назвали однорідним, так називають рівняння, у яких після перестановки місцями невідомих функцій чи змінних нічого не зміниться. Переставте місцями синус із косинусом, і ви переконаєтесь, що це наш випадок.

Вирішують однорідні рівняння розподілом обох частин на старший рівень функції. У нашому випадку це або . Вибираємо ту, яка нам більше подобається, і ділимо на неї обидві сторони рівняння. Візьмемо, наприклад, для цього. При цьому обов'язково необхідно перевірити, чи не втратимо ми при такому розподілі коріння, що відповідає , тобто. . Для цього спочатку підставимо у вихідне рівняння.

Оскільки ми отримали не тотожність, то не буде відповідати коріння нашого рівняння.

Тепер можемо сміливо ділити на:

Ми звели рівняння до заміни, а такий метод вирішення вже було розглянуто. Як то кажуть «виливаємо воду з чайника» і зводимо завдання до вже відомого. Дорішайте далі самі. Ми вкажемо остаточну відповідь:

Оскільки за умови завдання від нас вимагають вказати тільки коріння кратне, то у відповідь запишемо лише перше сімейство рішень.

Завдання №10. Вирішити рівняння .

Зазначене рівняння дивує тим, що в ньому дві невідомі, а як ми знаємо, вирішити у загальному випадку таке рівняння не можна. Інша проблема у тому, що це рівняння принципово відрізняється від усіх розглянутих раніше, т.к. невідома у ньому перебуває у аргументі тригонометричної функції.

Щоб його вирішити, звернемо увагу на властивості функцій, які прирівнюються ліворуч та праворуч. Саме нас цікавить, якими значеннями обмежені ці функції.

Для косинуса нам відома область значень:

Для квадратичної функції:

З цього можна дійти невтішного висновку, що це висловлювання можуть лише одне загальне значення, коли кожне їх дорівнює 1. Отримуємо систему рівнянь:

Обидва рівняння виходять незалежними та містять по одній змінній, тому легко вирішуються вже відомими нам методами.

Звичайно ж, зазначений спосіб неочевидний, а завдання відноситься до завдань підвищеної складності. Цей метод іноді називають "міні-макс", т.к. використовується рівність мінімального та максимального значення функцій.

Тепер розглянемо окремо методи розв'язання систем тригонометричних рівнянь. Методи їх рішень стандартні, просто ми ще користуватимемося формулами перетворень тригонометричних функцій. Розберемо найпоширеніші типи таких систем.

Завдання №11. Розв'язати систему рівнянь .

Вирішуємо методом підстановки, виражаємо з простішого лінійного рівняння, наприклад, і підставляємо його на друге рівняння:

У другому рівнянні користуємося тим, що періодом синуса, тобто. його можна забрати, і синус непарна функція, тобто. з неї виноситься мінус.

За формулою складання гармонійних коливань наводимо до однієї тригонометричної функції друге рівняння. Спробуйте виконати ці перетворення самостійно.

Підставимо отримане рішення у вираз для:

У разі ми використовуємо той самий параметр обох сімейств рішень, т.к. вони залежні одна від одної.

Системи із найпростіших тригонометричних рівнянь.

Завдання №12. Розв'язати систему рівнянь .

Обидва рівняння в системі є окремими випадками найпростіших рівнянь, ми вміємо їх вирішувати, і система швидко зводиться до лінійної.

Параметри обох рівняннях різні, т.к. ми вирішили рівняння незалежно один від одного і змінні ще не висловлювалися одна через одну.

Тепер вирішуємо лінійну систему методом підстановки або додавання, як вам більше подобається, проробіть ці дії самостійно. Вкажемо кінцевий результат.

Зверніть увагу на запис рішення системи, коли змінні залежать одночасно від двох параметрів. Щоб виписати чисельні значення коренів у разі підставляються по черзі всі цілі значення параметрів , які залежать друг від друга.

У цій практичній частині уроку ми з вами розглянули кілька типових прикладів, де продемонстрували методи розв'язання тригонометричних рівнянь та їх систем.