Арифметична прогресія. Формула n-ого члена арифметичної прогресії
План-конспект уроку на тему: «Формулаn-ого члена геометричної прогресії». Підготовка до ОДЕ.
основна ціль: закріпити поняття геометричної прогресії;
познайомити учнів із формулою n-ого члена геометричної прогресії;
застосування цієї формули та властивості на прикладах та задачах.
УМК:Алгебра.9класс.Підручник для учнів загальноосвітніх установ / (А.Г.Мордкович та ін); під редакцією А.Г.Мордковича.-11-е вид., стер.-М.: Мнемозіна, 2009.-255 с.: іл.
Клас: 9
Тип уроку:урок вивчення нового матеріалу
Хід уроку.
Організаційний момент (1 хв)
Вчитель вітає дітей.
Усна робота. (9 хв)
Знайдіть середнє геометричне чисел 16 та 25; 9 та 36; 49 та 81; 12 та 25.
Розв'яжіть рівняння: b 2 =3, b 2 =-3, b 3 =-27, x 6 =164.
Є радіоактивна речовина масою 256 г, вага якої за добу зменшується вдвічі. Якою стане маса речовини на другу добу? На третю добу? На восьму добу? (256; 128; 64; 32; 16; 8; 4; 2; 1;…)
Ми з вами бачимо, що отримана нами послідовність є... геометричною прогресією. Давайте згадаємо її визначення.
Дається визначення : Геометричною прогресією називається послідовність відмінних від нуля чисел, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на те саме число.
Запитання: - Як виходить другий член послідовності? Третій? Восьмий? (Поділом попереднього члена на 2 або множенням на12 ). Це число називають знаменником геометричної прогресії та позначають q .
Перевірка домашнього завдання (5 хв)
Вивчення нового матеріалу. (10 хв)
Випишіть послідовність, що відповідає умові задачі.
У сприятливих умовах бактерії розмножуються так, що протягом однієї хвилини кожна ділиться на дві. Скільки бактерій з'явилося на 5-й хвилині? (Див. рис.1)
Скільки їх буде за три хвилини?
На 1-ій хвилині - 2
на 2-ій хвилині - 4
на 3-й хвилині - 8
на 4-й хвилині - 16
на 5-й хвилині - 32
Чи можемо продовжити?
на 6-ій хвилині - 64
на 7-ій хвилині - 128
на 8-ій хвилині - 256
на 9-ій хвилині - 512
на 10-ій хвилині - 1024
на 11-ій хвилині - 2048
на 12-й хвилині - 4096
на 13-й хвилині - 8192
Висновок:отже необхідна формула знаходження n-ого члена геометричної прогресії.
Розглянемо геометричну прогресію b1; b 2; b 3 ,...,b n зі знаменником q. Маємо:
b 1 = b 1
b 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q 2
b 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 3
b 5 = b 3 q = (b 1 q 3) q = b 1 q 4 і т.д.
Неважко здогадатися, що для будь-якого n справедлива нерівність
b n = b 1 q n - 1
Цеn-ого члена геометричної прогресії
Спробуємо перевірити справедливість цієї формули для вже відомого нам завдання з бактеріями. Порахуємо 5-й член послідовності
b n = b 1 q n - 1= b 5 = b 1 q 5-1 = 1 · 2 4 = 1 · 16 = 16.
b n = b 1 q n - 1 = b 11 = b 1 q 11-1 = 1 · 2 10 = 1 · 1024 = 1024.
Закріплення вивченого матеріалу: (10)
ПР Приклад 1-2.
УЧ: № 17.10 (а, б),
№ 17.11(а,б),
№ 17.12(а,б)
Фізкультхвилинка (1 хв)
Підготовка до ОДЕ. (15 хв)
Картки
Домашнє завдання: (1 хв.)
№ 17.10(в,г), 17.12(в,г), 17.14, 17.16
Підбиття підсумків уроку (1 хв)
Завдання №1
Щоб знайти суму арифметичної прогресіїу нас є дві формули.
різницю прогресії.
d=a2-a1=-5-(-7)=2.
Підставляємо все у формулу:
S50=50*(2*(-7)+(50-1)*2)/2=50*(-14+98)/2=50*42=2100
Відповідь: S50 = 2100
Завдання №2
d=a2-a1=3-1=2.
Підставляємо все у формулу:
S60 = 60 * (2 * 1 + (60-1) * 2) / 2 = 30 * (2 +118) = 30 * 120 = 3600
Відповідь: S60 = 3600
Завдання №3
Знаючи, що an+1=an+4, тобто. a10=a9+4, можна, звичайно, обчислити всі перші 10 членів послідовності, але це трудомістко. До того ж, якби потрібно було вирахувати 300-й член, це зайняло б дуже багато часу.
Є спосіб простіше:
У арифметичної прогресії an=a1+(n-1)d, нам невідома лише d. Обчислити її можна за такою формулою: d=an+1-an
Використовуючи цю формулу та умову завдання, бачимо, що d=4. Тоді:
a10=a1+(10-1)4
a10=3+9*4=39. Відповідь: a10=39
Завдання №4
Знаючи, що bn+1=1/2*bn, тобто. b7 = 1 / 2 * b6, можна, звичайно, обчислити всі перші 7 членів послідовності, але це трудомістко. До того ж, якби потрібно було вирахувати 300-й член, це зайняло б дуже багато часу.
Є спосіб простіше:
У геометричній прогресії bn=b1qn-1, нам невідома лише q. Обчислити її можна за такою формулою: bn+1/bn=q
Використовуючи цю формулу та умову завдання, бачимо, що q=1/2. Тоді:
b7=b1(1/2)(7-1)
b7=-128*(1/2)6=-128*1/64=-2.
Відповідь: b7=-2
Завдання №5
Щоб знайти суму перших 4 членів даної геометричній прогресії, скористаємося формулами. У нашому випадку зручніше скористатися першою. Для цього необхідно дізнатися b1 - перший член прогресії та q - знаменник прогресії.
b1 = 62,5 * 21 = 125 (з умови завдання). А q=2.
Тоді S4 = 125 * (1-24) / (1-2) = 125 * (1-16) / (-1) = 125 * 15 = 1875
Відповідь: S4=1875
Завдання № 6
У геометричній прогресії сума першого та другого членів дорівнює 75, а сума другого та третього членів дорівнює 150. Знайдіть перші три члени цієї прогресії.
bn=b1qn-1
Тоді b2=b1q2-1=b1q
За умовою:
1) b1 + b2 = 75
b1+b1q=75
b1(1+q)=75
2) b2+b3=150
b1q+b1q2=150
b1(q+q2)=150
b1(q+1)q=150
Підставляємо з п. 1)
75q = 150 = q = 2, тоді b1 (1 +2) = 75 = b1 = 25
b2 = 25 * 2 = 50
b3 = 25 * 22 = 100
Відповідь: b1 = 25, b2 = 50, b3 = 100
Завдання №7
В даному випадку, замість того, щоб скористатися формуламидля геометричній прогресії, Легше вирішити це завдання "в лоб". Тобто. знайти b2, b3, ..., b7.
b1 = 64 (за умовою).
b2=b1*1/2=64*1/2=64/2=32
b3=b2*1/2=32/2=16
b4=16/2=8
b5=8/2=4
b6=4/2=2
b7=2/2=1 Відповідь: b7=1
Картка 1 №1 . Дана арифметична прогресія: -7; -5; -3; … Знайдіть суму перших п'ятдесяти її членів. №2 . Дана арифметична прогресія: 1; 3; 5; …. Знайдіть суму перших шістдесят її членів. №3. Арифметична прогресія (a n) задано умовами: a 1 =3, a n+1 =a n +4. Знайдіть a 10 . №4. Геометрична прогресія (b n) задана умовами: b 1 = -128, b n +1 = 1/2 * b n . Знайдіть b 7 . №5. Геометрична прогресія задана умовою bn = 62,5 * 2n. Знайдіть суму перших її 4 членів. №6 №7. Геометрична прогресія (b n) задана умовами: b 1 =64, b n+1 = b n *1/2. Знайдіть b 7 . |
Картка 1 №1 . Дана арифметична прогресія: -7; -5; -3; … Знайдіть суму перших п'ятдесяти її членів. №2 . Дана арифметична прогресія: 1; 3; 5; …. Знайдіть суму перших шістдесят її членів. №3. Арифметична прогресія (a n) задано умовами: a 1 =3, a n+1 =a n +4. Знайдіть a 10 . №4. Геометрична прогресія (b n) задана умовами: b 1 = -128, b n +1 = 1/2 * b n . Знайдіть b 7 . №5. Геометрична прогресія задана умовою bn = 62,5 * 2n. Знайдіть суму перших її 4 членів. №6 . У геометричній прогресії сума першого та другого членів дорівнює 75, а сума другого та третього членів дорівнює 150. Знайдіть перші три члени цієї прогресії. № 7. Геометрична прогресія (bn) задана умовами: b 1 =64, bn+1=bn*1/2. Знайдіть b 7 . |
Завдання №3 із 127. Номер задачі на WWW.FIPI.RU - 1C5D03
Показати розв'язання задачі
Дана арифметична прогресія: -6; -2; 2; … Знайдіть суму перших п'ятдесяти її членів.
Щоб знайти суму арифметичної прогресіїу нас є дві формули.
a50 ми не знаємо, тому скористаємось другою формулою. Для цього знайдемо d - різницю прогресії.
d=a2-a1=-2-(-6)=4.
Підставляємо все у формулу:
S50=50*(2*(-6)+(50-1)*4)/2=50*(-12+196)/2=50*92=4600
Відповідь: S50 = 4600
Завдання №4 із 127. Номер задачі на WWW.FIPI.RU - FD1ABB
Показати розв'язання задачі
Дана арифметична прогресія: -1; 2; 5; …. Знайдіть суму перших п'ятдесяти п'яти її членів.
Щоб знайти суму арифметичної прогресіїу нас є дві формули.
a55 ми не знаємо, тому скористаємось другою формулою. Для цього знайдемо d - різницю прогресії.
d=a2-a1=2-(-1)=3.
Підставляємо все у формулу:
S55 = 55 * (2 * (-1) + (55-1) * 3) / 2 = 55 * (-2 +162) / 2 = 55 * 80 = 4400
Відповідь: S55 = 4400
Завдання №19 із 127. Номер задачі на WWW.FIPI.RU - 34D7F8
Показати розв'язання задачі
Виписано перші три члени арифметичної прогресії: 20; 17; 14. Яка кількість стоїть у цій арифметичній прогресії на 91-му місці?
n-ий член арифметичної прогресіїдорівнює a1+(n-1)d
a1=20
d=a2-a1=17-20=-3
a91=a1+(n-1)d=20+(91-1)(-3)=20-270=-250
Відповідь: a91=-250
Завдання №22 із 127. Номер задачі на WWW.FIPI.RU - 4CBA5B
Показати розв'язання задачі
Записано перших трьох членів арифметичної прогресії: -4; 2; 8; … Яке число стоїть у цій арифметичній прогресії на 81-му місці?
n-ий член арифметичної прогресіїдорівнює a1+(n-1)d
a1=-4
d=a2-a1=2-(-4)=6
a81=a1+(n-1)d=-4+(81-1)6=-4+480=476
Відповідь: a81 = 476
Завдання №79 із 127. Номер задачі на WWW.FIPI.RU - 4C12DC
Показати розв'язання задачі
Виписано перші кілька членів арифметичної прогресії: -7; -5; -3; … Знайдіть її шістнадцятий член.
n-ий член арифметичної прогресіїдорівнює a1+(n-1)d
a1=-7 (за умовою)
a2=-5 (за умовою)
d=a2-a1=-5-(-7)=2
a16=a1+(n-1)d=-7+(16-1)2=-7+30=23
Відповідь: a16 = 23
Завдання №82 із 127. Номер задачі на WWW.FIPI.RU - 4D6C7C
Показати розв'язання задачі
Дано геометричну прогресію (b n), знаменник якої дорівнює 2, b 1 =16. Знайдіть b 4 .
Кожен член геометричній прогресіїможна висловити крізь перший член.
bn=b1qn-1
Отже, b4=b1q4-1=b1q3=16*23=16*8=128
Відповідь: 128
Терміновий вклад, покладений у ощадний банк, щорічно збільшувався на 5%. Яким стане внесок через 8 років, якщо спочатку він дорівнював 1000 руб.? (1000; 1050; 1102,5; 1157,625; ...) Питання: Як виходить другий член послідовності? Третій? Восьмий? (множенням попереднього на 1,05).
У чому головна сутність формули?
Ця формула дозволяє знайти будь-який ЗА ЙОГО НОМЕРЕ " n" .
Зрозуміло, треба знати ще перший член a 1і різниця прогресії d, Так без цих параметрів конкретну прогресію і не запишеш.
Завчити (або зашпаргалити) цю формулу мало. Потрібно засвоїти її суть і застосувати формулу в різних завданнях. Та ще й не забути в потрібний момент, так...) Як не забути- я не знаю. А от як згадати,при необхідності - точно підкажу. Тим, хто урок до кінця подужає.)
Отже, розберемося із формулою n-го члена арифметичної прогресії.
Що таке формула взагалі – ми собі уявляємо.) Що таке арифметична прогресія, номер члена, різниця прогресії – доступно викладено у попередньому уроці. Загляньте, до речі, як не читали. Там просто все. Залишилося розібратися, що таке n-й член.
Прогресію у загальному вигляді можна записати у вигляді ряду чисел:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- Позначає перший член арифметичної прогресії, a 3- третій член, a 4- Четвертий, і так далі. Якщо нас цікавить п'ятий член, скажімо, ми працюємо з a 5, якщо сто двадцятий - з a 120.
А як позначити у загальному вигляді будь-якийчлен арифметичної прогресії, з будь-якимномером? Дуже просто! Ось так:
a n
Це і є n-й член арифметичної прогресії.Під літерою n ховаються відразу всі номери членів: 1, 2, 3, 4 тощо.
І що нам дає такий запис? Подумаєш, замість цифри букву записали...
Цей запис дає нам потужний інструмент для роботи з арифметичною прогресією. Використовуючи позначення a n, ми можемо швидко знайти будь-якийчлен будь-якийарифметичній прогресії. І ще купу завдань щодо прогресії вирішити. Самі далі побачите.
У формулі n-го члена арифметичної прогресії:
a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- Перший член арифметичної прогресії;
n- Номер члена.
Формула пов'язує ключові параметри будь-якої прогресії: a n; a 1; dі n. Навколо цих властивостей і крутяться всі завдання з прогресії.
Формула n-го члена можна використовувати й у записи конкретної прогресії. Наприклад, завдання може бути сказано, що прогресія задана умовою:
a n = 5 + (n-1) ·2.
Таке завдання може і в глухий кут поставити ... Немає ні ряду, ні різниці ... Але, порівнюючи умову з формулою, легко збагнути, що в цій прогресії a 1 =5, а d=2.
А буває ще зліше!) Якщо взяти ту ж умову: a n = 5 + (n-1) · 2,та розкрити дужки та привести подібні? Отримаємо нову формулу:
a n = 3 + 2n.
Це Тільки не загальна, а для конкретної прогресії. Ось тут і ховається підводний камінь. Деякі думають, що перший член – це трійка. Хоча реально перший член - п'ятірка... Трохи нижче ми попрацюємо з такою формулою.
У завдання на прогресію зустрічається ще одне позначення - a n+1. Це, як ви здогадалися, "ен плюс перший" член прогресії. Сенс його простий і нешкідливий.) Це член прогресії, номер якого більший за номер n на одиницю. Наприклад, якщо в якомусь завданні ми беремо за a nп'ятий член, то a n+1буде шостим членом. І тому подібне.
Найчастіше позначення a n+1зустрічається у рекурентних формулах. Не лякайтеся цього страшного слова!) Це просто спосіб висловлювання члена арифметичної прогресії через попередній.Припустимо, нам дана арифметична прогресія ось у такому вигляді, за допомогою рекурентної формули:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Четвертий – через третій, п'ятий – через четвертий, тощо. А як порахувати одразу, скажімо двадцятий член, a 20? А ніяк!) Поки 19-й член не дізнаємось, 20-й не порахувати. У цьому є принципова відмінність рекурентної формули від формули n-го члена. Рекурентна працює тільки через попереднійчлен, а формула n-го члена – через першийі дозволяє відразузнаходити будь-який член за його номером. Не прораховуючи цілий ряд чисел по порядку.
В арифметичній прогресії рекурентну формулу легко перетворити на звичайну. Порахувати пару послідовних членів, обчислити різницю d,знайти, якщо треба, перший член a 1, Записати формулу у звичайному вигляді, та й працювати з нею. У ДПА подібні завдання часто зустрічаються.
Застосування формули n члена арифметичної прогресії.
Спочатку розглянемо пряме застосування формули. Наприкінці попереднього уроку було завдання:
Дана арифметична прогресія (a n). Знайти a 121 якщо a 1 =3, а d=1/6.
Це завдання можна без будь-яких формул вирішити, просто з сенсу арифметичної прогресії. Додавати, та додавати... Годинник-другий.)
А за формулою рішення займе менше хвилини. Можете засікати час.) Вирішуємо.
В умовах наведено всі дані для використання формули: a 1 =3, d=1/6.Залишається збагнути, чому одно n.Не питання! Нам треба знайти a 121. Ось і пишемо:
Прошу звернути увагу! Замість індексу nз'явилося конкретне число: 121. Що цілком логічно.) Нас цікавить член арифметичної прогресії номер сто двадцять один.Ось це і буде наше n.Саме це значення n= 121 ми і підставимо далі до формули, до дужок. Підставляємо всі числа у формулу та вважаємо:
a 121 = 3 + (121-1) · 1/6 = 3 +20 = 23
Ось і всі справи. Так само швидко можна було знайти і п'ятсот десятий член, і тисяча третій, кожен. Ставимо замість nпотрібний номер в індексі у літери " a"і в дужках, та й рахуємо.
Нагадаю суть: ця формула дозволяє знайти будь-якийчлен арифметичної прогресії ЗА ЙОГО НОМЕРЕ " n" .
Вирішимо завдання хитрішим. Нехай нам трапилося таке завдання:
Знайдіть перший член арифметичної прогресії (a n), якщо a 17 = -2; d=-0,5.
Якщо виникли труднощі, підкажу перший крок. Запишіть формулу n члена арифметичної прогресії!Так Так. Руками запишіть, прямо в зошиті:
a n = a 1 + (n-1)d |
А тепер, дивлячись на літери формули, розуміємо, які дані ми маємо, а чого не вистачає? Є d=-0,5,є сімнадцятий член ... Все? Якщо вважаєте, що все, то завдання не вирішите, так...
У нас ще є номер n! В умові a 17 =-2заховані два параметри.Це значення сімнадцятого члена (-2), та її номер (17). Тобто. n=17.Ця "дрібниця" часто проскакує повз голову, а без неї, (без "дрібниці", а не голови!) завдання не вирішити. Хоча... і без голови теж.)
Тепер можна просто тупо підставити наші дані у формулу:
a 17 = a 1 + (17-1) · (-0,5)
Ах да, a 17нам відомо, що це -2. Ну гаразд, підставимо:
-2 = a 1 + (17-1) · (-0,5)
Ось по суті, і все. Залишилося висловити перший член арифметичної прогресії з формули, та порахувати. Вийде відповідь: a 1 = 6.
Такий прийом – запис формули та проста підстановка відомих даних – чудово допомагає у простих завданнях. Ну, треба, звичайно, вміти висловлювати змінну з формули, а що робити! Без цього вміння математику можна взагалі не вивчати.
Ще одне популярне завдання:
Знайдіть різницю арифметичної прогресії (a n), якщо a 1 =2; a 15 = 12.
Що робимо? Ви здивуєтеся, пишемо формулу!)
a n = a 1 + (n-1)d |
Розуміємо, що нам відомо: a 1 = 2; a 15 = 12; і (спеціально виокремлю!) n=15. Сміливо підставляємо у формулу:
12 = 2 + (15-1) d
Вважаємо арифметику.)
12 = 2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Це правильна відповідь.
Так, завдання на a n , a 1і dвирішили. Залишилося навчитися знаходити:
Число 99 є членом арифметичної прогресії (a n), де a 1 = 12; d=3. Знайти номер члена.
Підставляємо у формулу n-го члена відомі нам величини:
a n = 12 + (n-1) · 3
На перший погляд, тут дві невідомі величини: a n та n.Але a n- це якийсь член прогресії з номером n... І цей член прогресії ми знаємо! Це 99. Ми не знаємо його номер n,так цей номер і потрібно знайти. Підставляємо член прогресії 99 у формулу:
99 = 12 + (n-1) · 3
Висловлюємося з формули nвважаємо. Отримаємо відповідь: n=30.
А тепер завдання на ту саму тему, але більш творча):
Визначте, чи буде число 117 членом арифметичної прогресії (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Знову пишемо формулу. Що немає ніяких параметрів? Гм... А очі нам навіщо дано?) Перший член прогресії бачимо? Бачимо. Це –3,6. Можна сміливо записати: a 1 = -3,6.Різниця dможна з ряду визначити? Легко, якщо знаєте, що таке різницю арифметичної прогресії:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Так, найпростіше зробили. Залишилося розібратися з невідомим номером nі незрозумілим числом 117. У попередній задачі хоч було відомо, що дано саме член прогресії. А тут і того не знаємо... Як бути! Ну, як бути, як бути... Включити творчі здібності!
Ми припустимо,що 117 - це все-таки член нашої прогресії. З невідомим номером n. І, як у попередній задачі, спробуємо знайти цей номер. Тобто. пишемо формулу (так-так!) і підставляємо наші числа:
117 = -3,6 + (n-1) · 1,2
Знову висловлюємося з формулиn, вважаємо та отримуємо:
Опаньки! Номер вийшов дробовий!Сто один із половиною. А дрібних номерів у прогресіях не буває.Який висновок зробимо? Так! Число 117 не єчленом нашої прогресії. Воно знаходиться десь між сто першим і сто другим членом. Якби номер вийшов натуральним, тобто. позитивним цілим, число було б членом прогресії зі знайденим номером. А в нашому випадку відповідь завдання буде: ні.
Завдання на основі реального варіанту ГІА:
Арифметична прогресія задана умовою:
a n = -4 + 6,8 n
Знайти перший і десятий члени прогресії.
Тут прогресію задано не зовсім звичним чином. Формула якась... Буває.) Однак, ця формула (як я писав вище) - теж формула n-го члена арифметичної прогресії!Вона також дозволяє знайти будь-який член прогресії за його номером.
Шукаємо перший член. Той, хто думає. що перший член – мінус чотири, фатально помиляється!) Тому, що формула у завданні – видозмінена. Перший член арифметичної прогресії у ній захований.Нічого, зараз знайдемо.)
Так само, як і в попередніх завданнях, підставляємо n=1у цю формулу:
a 1 = -4 + 6,8 · 1 = 2,8
Ось! Перший член 2,8, а чи не -4!
Аналогічно шукаємо десятий член:
a 10 = -4 + 6,8 · 10 = 64
Ось і всі справи.
А тепер тим, хто дочитав до цих рядків, - обіцяний бонус.)
Припустимо, у складній бойовій обстановці ГІА або ЄДІ ви забули корисну формулу n-го члена арифметичної прогресії. Щось пригадується, але невпевнено якось... Чи то nтам, чи n+1, чи то n-1...Як бути!?
Спокій! Цю формулу легко вивести. Не дуже суворо, але для впевненості та правильного рішення точно вистачить!) Для висновку достатньо пам'ятати елементарний сенс арифметичної прогресії та мати пару-трійку хвилин часу. Потрібно просто намалювати картинку. Для наочності.
Малюємо числову вісь та відзначаємо на ній перший. другий, третій тощо. члени. І відзначаємо різницю dміж членами. Ось так:
Дивимося на картинку і розуміємо: чому дорівнює другий член? Другий одне d:
a 2 =a 1 + 1 ·d
Чому дорівнює третій член? Третійчлен дорівнює перший член плюс два d.
a 3 =a 1 + 2 ·d
Уловлюєте? Я не дарма деякі слова виділяю жирним шрифтом. Ну гаразд, ще один крок).
Чому дорівнює четвертий член? Четвертийчлен дорівнює перший член плюс три d.
a 4 =a 1 + 3 ·d
Час зрозуміти, що кількість проміжків, тобто. d, завжди один менше, ніж номер шуканого члена n. Тобто, до номера n, кількість проміжківбуде n-1.Отже, формула буде (без варіантів!):
a n = a 1 + (n-1)d |
Взагалі, наочні картинки дуже допомагають вирішувати багато завдань у математиці. Не нехтуйте картинками. Але якщо картинку намалювати важко, то... тільки формула!) Крім того, формула n-го члена дозволяє підключити до вирішення весь потужний арсенал математики - рівняння, нерівності, системи і т.д. Картинку в рівняння не вставиш...
Завдання для самостійного вирішення.
Для розминки:
1. В арифметичній прогресії (a n) a 2 = 3; a 5 =5,1. Знайти a 3 .
Підказка: за картинкою завдання вирішується секунд за 20... За формулою – складніше виходить. Але для освоєння формули - корисніше.) У Розділі 555 це завдання вирішено і з картинці, і за формулою. Відчуйте різницю!)
А це – вже не розминка.)
2. В арифметичній прогресії (a n) a 85 = 19,1; a 236 = 49, 3. Знайти a 3 .
Що, не хочеться малюнок малювати?) Ще б пак! Краще за формулою, так...
3. Арифметична прогресія задана умовою:a 1 =-5,5; an+1 = an+0,5. Знайдіть сто двадцять п'ятий член цієї прогресії.
У цьому вся завдання прогресія задана рекурентним способом. Але рахувати до сто двадцять п'ятого члена... Не всім такий подвиг під силу. Зате формула n-го члена під силу кожному!
4. Дана арифметична прогресія (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Знайти номер найменшого позитивного члена прогресії.
5. За умовою завдання 4 знайти суму найменшого позитивного та найбільшого негативного членів прогресії.
6. Добуток п'ятого та дванадцятого членів зростаючої арифметичної прогресії дорівнює -2,5, а сума третього та одинадцятого членів дорівнює нулю. Знайти a 14 .
Не найпростіше завдання, так ...) Тут спосіб "на пальцях" не прокотить. Прийде формули писати і рівняння розв'язувати.
Відповіді (безладно):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Вийшло? Це приємно!)
Чи не все виходить? Буває. До речі, в останньому завданні є один тонкий момент. Уважність під час читання завдання буде потрібна. І логіка.
Розв'язання цих завдань докладно розібрано у Розділі 555. І елемент фантазії для четвертої, і тонкий момент для шостий, і загальні підходи на вирішення будь-яких завдань на формулу n-го члена - все розписано. Рекомендую.
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Тема урока: Розділ 2 . Арифметична прогресія. Формула n-ого члена арифметичної прогресії.
Цілі уроку:
Оцінка:визначають результати своєї роботи на уроці Синтез:формулюють визначення арифметичної прогресії, застосовують формулу n-ого члена, використовують властивості Аналіз:порівнюють способи знаходження n-ого члена арифметичної прогресії Застосування:демонструють застосування формули n-ого члена арифметичної прогресії Розуміння:обговорюють висновок формули n-ого члена арифметичної прогресії Знання:розповідають визначення арифметичної прогресії, формулу n-ого члена |
Навчально-виховні завдання: Освітня: |
забезпечити засвоєння нових знань на цю тему, сформувати навички застосування знань з арифметичної прогресії до завдань реальної ситуації через групове навчання. |
Розвиваюча:розвиток здатності висловлювати думки, пізнавальних здібностей, формування алгоритмічного мислення, розширення кругозору |
Виховна:сприяти виявленню, розкриттю здібностей учнів, збуджувати інтерес до предмета, спонукати учнів до застосування здобутих знань |
Результати навчання: Учні знають: визначення арифметичної прогресії, застосовують формулу n-ого члена |
Учні вміють : застосовувати формулу n-ого члена арифметичної прогресії до практичних завдань, працювати в групі, ясно висловлювати думки, брати участь у дискусії, вміють слухати та чути |
Тип уроку: повідомлення нових знань
Форма проведення уроку: бесіда
Методи навчання:
За джерелом отримання знань: словесні, наочні, практичні
За способом організації пізнавальної діяльності: пояснювально-ілюстративні, репродуктивні
Методи виховання: Організація діяльності, формування світогляду, стимулювання діяльності, здійснення контролю, взаємоконтролю, самоконтролю.
Форми навчання: колективні, індивідуальні, групові.
Основні поняття теми:
Завдання додому: №206, 207(1,3),
Обладнання, ресурси, наочні посібники:підручник,роздавальний матеріал
Вчитель: Шурінова Є.К.
Хід уроку
Етапи уроку | |
Оргмомент. Завдання:забезпечити нормальну зовнішню обстановку на уроці, психологічно підготувати дітей до спілкування | Вітання Перевірка підготовленості до уроку Організація уваги школярів Ознайомлення із планом проведення уроку |
Перевірка домашнього завдання. Завдання:встановити правильність, повноту та усвідомленість виконання всіма учнями домашнього завдання, виявити прогалини у знаннях, усунути під час перевірки виявлені прогалини | Виявлення ступеня засвоєння заданого навчального матеріалу Фронтальне опитування. . Питання кросворду : 1. Числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з тим самим числом. 2. Різниця послідовно однакових членів. 3. Спосіб завдання послідовності. 4. Різниця наступного та попереднього членів прогресії. 5. Елементи, у тому числі складається послідовність. 6. Натуральне число, що означає місце члена в послідовності. 7. Функція, задана на множині натуральних чисел. 8. Послідовність, що містить кінцеве число членів. |
Дзвінок. Завдання:забезпечити включення школярів у спільну діяльність із визначення цілей навчального заняття. | Повідомлення теми уроку Формулювання мети разом із учнями Сьогодні на уроці ми познайомимося з арифметичною прогресією, вивчимо її властивість, виведемо формулу п-го члена арифметичної прогресії і вирішимо завдання застосування цих формул. |
Актуалізація знань та умінь Завдання:психологічна підготовка учня: зосередження уваги, усвідомлення важливості майбутньої діяльності, збудження інтересу до уроку; учні відтворюють відомі їм знання, усвідомлюють їх, узагальнюють факти, пов'язують старі знання з новими умовами, новими даними тощо. | Розподіл на групи: Зібрати картинку та розділитись на 4 групи. 1) 1, 3, 5, 7, 9, … 2) 5, 8, 11, 14, … 3) -1, -2, -3, -4, … 4) -2, -4, -6, -8, … Давайте разом з вами знайдемо закономірності Учні: 1) кожен член числової послідовності на 2 більший за попередній; 2) кожен член числової послідовності на 3 більший за попередній; 3) кожен член числової послідовності на 1 менший за попередній; 4) кожен член числової послідовності на 2 менший за попередній. |
Осмислення Вивчення нового матеріалу. Завдання:забезпечити сприйняття, осмислення та первинне запам'ятовування матеріалу, що вивчається, усвідомлення своїх способів опрацювання навчальної інформації | Числову послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює сумі попереднього члена і одного і того ж числа d називають арифметичною прогресією. a n +1 = a n + d , n є N Число d називають різницею арифметичної прогресії d = a n +1 - a n Якщо різницю між наступним і попереднім членами послідовності є те саме число, це арифметична прогресія. Вочевидь, у своїй передбачається, що виявлена закономірність справедлива як для явно виписаних членів послідовності, але й усієї послідовності загалом. |
Закріплення нових знань та умінь. Завдання:забезпечити підвищення рівня осмислення учнями вивченого матеріалу, глибини його засвоєння | 1.Знайдіть різницю арифметичної прогресії, якщо а8 - а5 = - 21,3. Рішення: використовуючи формулу п-го члена арифметичної прогресії, маємо: a 8 =d(8-1)+а 1 та а5=d(5-1)+а1. Отримаємо: а8 - а5 = - 21,3 7d + а1 - (4d + а1) = - 21,3 7d+ а1 - 4d - а1 = - 21,3 3d = - 21,3 d = - 7,1 Відповідь: d = - 7,1 Двоє учнів записують рішення на дошці, відповіді вписують у віконце та перевіряють правильність свого рішення. 2. Технічне завдання. Тіло в першу секунду руху пройшло 7 м, а за кожну наступну секунду – на 3 м більше, ніж за попередню. Яка відстань тіло минуло за восьму секунду? Рішення: а1 = 7, d = 3. Знайдемо а8. а8 = d (8-1) + а1 = 3 7 +7 = 28. Отже за восьму секунду тіло пройшло 28 метрів. Відповідь: 28 метрів. Додаток 1 |
Перевірка нових знань Завдання:встановити правильність та усвідомленість учнями вивченого матеріалу, виявити прогалини первинного осмислення | Робота із підручником. Рівень А: № 208,209 Рівень В: 212 |
Корекція знань. Завдання:скоригувати виявлені проблеми | Організація діяльності учнів з корекції виявлених недоліків Індивідуальне завдання. Повторне роз'яснення вчителя. |
Підведення підсумків. Рефлексія. Завдання:ініціювати рефлексію учнів щодо свого емоційного стану, дати оцінку роботі окремих учнів та всього класу | Мобілізація учнів на рефлексію Оцінити за 10-бальною шкалою роботу на занятті з позиції: „Я” 0________10 „Ми” 0________10 „Справа” 0________10 Виставлення оцінок. |
Завдання 1 На турбазі можна взяти човен напрокат. Вартість прокату визначається так: за першу годину треба заплатити 100 руб., а за кожен наступний (повний або неповний) - 55 руб. Скільки рублів треба заплатити за човен, взятий на одну годину, на дві години, на три години тощо?
Висновок: 1. Якщо d>0, то арифметична прогресія є зростаючою. 2. Якщо d 0, арифметична прогресія є зростаючою. 2. Якщо d"> 0, то арифметична прогресія є зростаючою. 2. Якщо d"> 0, то арифметична прогресія є зростаючою. 2. Якщо d" title="(!LANG:Висновок: 1. Якщо d>0, то арифметична прогресія є зростаючою. 2. Якщо d"> title="Висновок: 1. Якщо d>0, то арифметична прогресія є зростаючою. 2. Якщо d"> !}
1. Наступний член арифметичної прогресії Попередній член ар" title="(!LANG:: Характеристична властивість арифметичної прогресії: Кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх з ним членів тобто n > 1 Наступний член арифметичної прогресії Попередній член ар" class="link_thumb"> 23 !}: Характеристичне властивість арифметичної прогресії: Кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх із нею членів тобто. n > 1. Наступний член арифметичної прогресії Попередній член арифметичної прогресії 1. Наступний член арифметичної прогресії Попередній член ар"> 1. Наступний член арифметичної прогресії Попередній член арифметичної прогресії"> 1. Наступний член арифметичної прогресії Попередній член ар" title="(!LANG:: Характеристична властивість арифметичної прогресії: прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх з ним членів, тобто n > 1. Наступний член арифметичної прогресії Попередній член ар"> title=": Характеристичне властивість арифметичної прогресії: Кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх із нею членів тобто. n > 1. Наступний член арифметичної прогресії Попередній член ар"> !}
Завдання 1* На турбазі можна взяти човен напрокат. Вартість прокату визначається так: за першу годину треба заплатити 100 руб., а за кожен наступний (повний або неповний) - 55 руб. Скільки рублів треба заплатити за човен, взятий на дві доби?