Арифметичний корінь натурального ступеня є самостійним. Корінь та його властивості

розв'яжемо просте завдання знаходження сторони квадрата площа якого дорівнює 9 см 2 . Якщо приймаємо, що сторона квадрата Асм, то складаємо відповідно до умов задачі рівняння:

Ах А = 9

А 2 = 9

А 2 -9 = 0

(А-3)(А+3)=0

А=3 чи А=-3

Довжина сторони квадрата може бути негативним числом, тому шукана сторони квадрата 3 див.

При розв'язанні рівняння ми знайшли числа 3 і -3, квадрати яких дорівнюють 9. Кожне з цих чисел називають квадратним коренем із числа 9. Невід'ємний із цього коріння, тобто число 3, називають арифметичним коренем числа.

Цілком логічно прийняти той факт, що корінь можна знаходити з чисел третього ступеня (кубічний корінь), четвертого ступеня і так далі. І в принципі корінь – це зворотна операція до зведення в ступінь.

Коренемn -го ступеняз числа α є таке число b, де b n = α .

Тут n-натуральне число прийнято називати показником кореня(або ступенем кореня); як правило, воно більше або дорівнює 2, тому що випадок n = 1 банально.

Позначають на листі так символ (знак кореня) у правій частині називається радикалом. Число α - підкорене вираз. Для нашого прикладу зі стороною рішення могло мати такий вигляд: тому що (± 3) 2 = 9 .

Ми отримали позитивне та негативне значення кореня. Ця особливість ускладнює розрахунки. Щоб досягти однозначності, було введено поняття арифметичного кореня, Значення якого завжди зі знаком плюс, тобто тільки позитивне.

Коріньназивається арифметичнимякщо він витягується з позитивного числа і сам є позитивним числом.

Наприклад,

Арифметичний корінь заданого ступеня із заданого числа існує лише один.

Операцію розрахунків прийнято називати « вилученням кореня n-й ступеня» з числа α . По суті ми виконуємо операцію зворотну до зведення в ступінь, а саме - знаходження основи ступеня bза відомим показником nта результату зведення у ступінь

α = b n.

Коріння другого і третього ступеня використовується на практиці частіше за інших і тому їм було дано спеціальні назви.

Квадратний корінь: У цьому випадку показник 2 ступеня прийнято не писати, а термін «корінь» без вказівки ступеня найчастіше означає квадратний корінь. Геометрично тлумачення є довжиною сторони квадрата, площа якого дорівнює α .

Кубічний корінь: Геометрично тлумаченням, виступає довжина ребра куба, обсяг якого дорівнює α .

Властивості арифметичного коріння.

1) При обчисленні арифметичного кореня з твору, необхідно витягти його з кожного співмножника окремо

Наприклад,

2) Для розрахунку кореня з дробу, необхідно витягти його з чисельника та знаменника даного дробу

Наприклад,

3) При розрахунку кореня зі ступеня, необхідно розділити показник ступеня на показник кореня

Наприклад,

Перші розрахунки, пов'язані з вилученням квадратного кореня, виявлено у роботах математиків стародавнього Вавилону та Китаю, Індії, Греції (про досягнення стародавнього Єгипту щодо джерел інформації немає).

Математики стародавнього Вавилона (II тисячоліття е.) застосовували для добування квадратного кореня особливий чисельний метод. Початкове наближення для квадратного кореня знаходили виходячи з найближчого до кореня (у менший бік) натурального числа n. Представивши підкорене вираз у вигляді: α=n 2 +r, отримуємо: x 0 =n+r/2n, Потім застосовувався ітеративний процес уточнення:

Ітерації у цьому методі дуже швидко сходяться. Для ,

Наприклад, α=5; n=2; r=1; x 0 = 9/4 = 2,25і ми отримуємо послідовність наближень:

У заключному значенні вірні всі цифри, крім останньої.

Греки сформулювали проблему подвоєння куба, яка зводилася до побудови кубічного кореня за допомогою циркуля та лінійки. Правила обчислення будь-якого ступеня з цілого числа вивчені математиками Індії та арабських держав. Далі вони набули широкого розвитку в середньовічній Європі.

Сьогодні для зручності розрахунків квадратного і кубічного коріння широко використовуються калькулятори.

У цій статті ми запровадимо поняття кореня з числа. Діятимемо послідовно: почнемо з квадратного кореня, від нього перейдемо до опису кубічного кореня, після цього узагальнемо поняття кореня, визначивши корінь n-го ступеня. При цьому вводитимемо визначення, позначення, наводитимемо приклади коренів і даватимемо необхідні пояснення та коментарі.

Квадратний корінь, арифметичний квадратний корінь

Щоб зрозуміти визначення кореня з числа, і квадратного кореня зокрема потрібно мати . У цьому пункті ми часто зіштовхуватимемося з другим ступенем числа - квадратом числа.

Почнемо з визначення квадратного кореня.

Визначення

Квадратний корінь з числа a- Це число, квадрат якого дорівнює a.

Щоб привести приклади квадратного коріння, Візьмемо кілька чисел, наприклад, 5 , −0,3 , 0,3 , 0 , і зведемо їх у квадрат, отримаємо відповідно числа 25 , 0,09 , 0,09 і 0 (5 2 =5·5=25 , (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 = 0,3 0,3 = 0,09 і 0 2 = 0 0 = 0). Тоді за даним визначенням число 5 є квадратним коренем з числа 25 , числа −0,3 і 0,3 є квадратні корені з 0,09 , а 0 – це квадратний корінь з нуля.

Слід зазначити, що для будь-якого числа a існує , квадрат якого дорівнює a . А саме, для будь-якого негативного числа a не існує жодного дійсного числа b, квадрат якого дорівнював би a. Справді, рівність a=b 2 неможлива для будь-якого негативного a , оскільки b 2 – невід'ємне число за будь-якого b . Таким чином, на безлічі дійсних чисел немає квадратного кореня з негативного числа. Іншими словами, на безлічі дійсних чисел квадратний корінь із негативного числа не визначається і не має сенсу.

Звідси випливає логічне питання: «А чи для будь-якого невід'ємного a існує квадратний корінь з a»? Відповідь – так. Обгрунтуванням цього факту вважатимуться конструктивний спосіб, що використовується знаходження значення квадратного кореня .

Тоді постає наступне логічне питання: «Яке число всіх квадратних коренів з даного невід'ємного числа a – один, два, три, чи ще більше»? Ось відповідь на нього: якщо a дорівнює нулю, то єдиним квадратним коренем з нуля є нуль; якщо ж a – деяке позитивне число, кількість квадратних коренів із числа a дорівнює двом, причому коріння є . Обґрунтуємо це.

Почнемо з нагоди a = 0 . Спочатку покажемо, що нуль справді є квадратним коренем із нуля. Це з очевидної рівності 0 2 =0·0=0 і визначення квадратного кореня.

Тепер доведемо, що 0 – єдиний квадратний корінь із нуля. Скористаємося методом від неприємного. Припустимо, що існує деяке число b, відмінне від нуля, яке є квадратним коренем з нуля. Тоді має виконуватися умова b 2 =0 , що неможливо, оскільки за будь-якому відмінному від нуля b значення виразу b 2 є позитивним. Ми дійшли суперечності. Це доводить, що 0 – єдиний квадратний корінь із нуля.

Переходимо до випадків, коли a – позитивне число. Вище ми сказали, що завжди існує квадратний корінь з будь-якого невід'ємного числа, нехай квадратним коренем a є число b . Припустимо, що є число c , яке також є квадратним коренем з a . Тоді визначення квадратного кореня справедливі рівності b 2 =a і c 2 =a , їх слід, що b 2 −c 2 =a−a=0 , але оскільки b 2 −c 2 =(b−c)·( b+c) , то (b-c) · (b + c) = 0 . Отримана рівність у силу властивостей дій із дійсними числамиможливо лише тоді, коли b-c=0 або b+c=0. Таким чином, числа b та c рівні або протилежні.

Якщо ж припустити, що є число d , є ще одним квадратним коренем у складі a , то міркуваннями, аналогічними вже наведеним, доводиться, що d дорівнює числу b чи числу c . Отже, число квадратних коренів із позитивного числа дорівнює двом, причому квадратне коріння є протилежними числами.

Для зручності роботи з квадратним корінням негативний корінь «відокремлюється» від позитивного. З цією метою вводиться визначення арифметичного квадратного кореня.

Визначення

Арифметичний квадратний корінь з негативного числа a- Це невід'ємне число, квадрат якого дорівнює a.

Для арифметичного квадратного кореня у складі a прийнято позначення . Знак називається знаком арифметичного квадратного кореня. Його також називають знаком радикалу. Тому можна частину чути як «корінь», так і «радикал», що означає той самий об'єкт.

Число під знаком арифметичного квадратного кореня називають підкореним числом, а вираз під знаком кореня – підкореним виразом, у своїй термін «підкорене число» часто замінюють на «підкорене вираз». Наприклад, у записі число 151 – це підкорене число, а запису вираз a є підкореним виразом.

При читанні слово "арифметичний" часто опускається, наприклад, запис читають як "квадратний корінь із семи цілих двадцяти дев'яти сотих". Слово «арифметичний» вимовляють лише тоді, коли хочуть особливо наголосити, що йдеться саме про позитивне квадратне коріння з числа.

У світлі введеного позначення визначення арифметичного квадратного кореня слід, що й у будь-якого неотрицательного числа a .

Квадратне коріння з позитивного числа a за допомогою знака арифметичного квадратного кореня записується як і . Наприклад, квадратне коріння з числа 13 є і . Арифметичний квадратний корінь з нуля дорівнює нулю, тобто . Для негативних чисел a записи ми не надаватимемо сенсу аж до вивчення комплексних чисел. Наприклад, позбавлені сенсу вираження та .

За підсумками визначення квадратного кореня доводяться властивості квадратних коренів , які найчастіше застосовуються практично.

На закінчення цього пункту зауважимо, що квадратне коріння з числа a є рішеннями виду x 2 =a щодо змінної x .

Кубічний корінь із числа

Визначення кубічного кореняу складі a дається аналогічно визначенню квадратного кореня. Тільки воно базується на понятті куба числа, а чи не квадрата.

Визначення

Кубічним коренем з числа aназивається число, куб якого дорівнює a.

Наведемо приклади кубічного коріння. Для цього візьмемо кілька чисел, наприклад, 7 , 0 , −2/3 і зведемо їх у куб: 7 3 =7·7·7=343 , 0 3 =0·0·0=0 , . Тоді, ґрунтуючись на визначенні кубічного кореня, можна стверджувати, що число 7 – це кубічний корінь із 343 , 0 є кубічний корінь із нуля, а −2/3 є кубічним коренем із −8/27 .

Можна показати, що кубічний корінь у складі a , на відміну квадратного кореня, завжди існує, причому як для неотрицательных a , але й будь-якого дійсного числа a . Для цього можна використовувати той самий спосіб, про який ми згадували щодо квадратного кореня.

Більше того, існує лише єдиний кубічний корінь з даного числа a. Доведемо останнє твердження. І тому окремо розглянемо три випадки: a – позитивне число, a=0 і a – негативне число.

Легко показати, що при позитивному кубічний корінь з a не може бути ні негативним числом, ні нулем. Справді, нехай b є кубічним коренем з a тоді за визначенням ми можемо записати рівність b 3 =a . Відомо, що це рівність може бути правильним при негативних b і за b=0 , оскільки у випадках b 3 =b·b буде негативним числом чи нулем відповідно. Отже, кубічний корінь із позитивного числа a є позитивним числом.

Тепер припустимо, що крім числа b існує ще один кубічний корінь із числа a, позначимо його c. Тоді c 3 = a. Отже, b 3 −c 3 =a−a=0 , але b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(це формула скороченого множення різницю кубів), звідки (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0 . Отримана рівність можлива лише коли b−c=0 або b 2 +b·c+c 2 =0 . З першої рівності маємо b=c , а друга рівність немає рішень, тому що ліва його частина є позитивним числом для будь-яких позитивних чисел b і c як сума трьох позитивних доданків b 2 , b·c і c 2 . Цим доведено єдиність кубічного кореня з позитивного числа a.

При a=0 кубічним коренем у складі a є лише число нуль. Дійсно, якщо припустити, що існує число b , яке є відмінним від нуля кубічним коренем з нуля, то повинна виконуватись рівність b 3 =0 , яка можлива лише при b = 0 .

Для негативних a можна навести міркування, аналогічні випадку позитивних a . По-перше, показуємо, що кубічний корінь з негативного числа не може дорівнювати ні позитивному числу, ні нулю. По-друге, припускаємо, що існує другий кубічний корінь із негативного числа і показуємо, що він обов'язково збігатиметься з першим.

Отже, завжди існує кубічний корінь з будь-якого даного дійсного числа a, причому єдиний.

Дамо визначення арифметичного кубічного кореня.

Визначення

Арифметичним кубічним коренем із невід'ємного числа aназивається невід'ємне число, куб якого дорівнює a.

Арифметичний кубічний корінь з невід'ємного числа a позначається як знак називається знаком арифметичного кубічного кореня, число 3 в цьому записі називається показником кореня. Число під знаком кореня – це підкорене число, вираз під знаком кореня – це підкорене вираз.

Хоча арифметичний кубічний корінь визначається лише негативних чисел a , але зручно також використовувати записи, у яких під знаком арифметичного кубічного кореня перебувають негативні числа. Розумітимемо їх так: , де a – позитивне число. Наприклад, .

Про властивості кубічного коріння ми поговоримо в загальній статті властивості коренів.

Обчислення значення кубічного кореня називається вилученням кубічного кореня, це дію розібрано у статті витяг коренів: способи, приклади, рішення .

На закінчення цього пункту скажемо, що кубічний корінь у складі a є рішенням виду x 3 =a .

Корінь n-ого ступеня, арифметичний корінь ступеня n

Узагальнемо поняття кореня з числа – введемо визначення кореня n-ого ступенядля n.

Визначення

Корінь n-ого ступеня з числа a- Це число, n-я ступінь якого дорівнює a .

З цього визначення зрозуміло, що корінь першого ступеня з числа a є число a , оскільки щодо ступеня з натуральним показником ми прийняли a 1 =a .

Вище ми розглянули окремі випадки кореня n-ого ступеня при n=2 і n=3 – квадратний корінь і кубічний корінь. Тобто квадратний корінь – це корінь другого ступеня, а кубічний корінь – корінь третього ступеня. Для вивчення коренів n-ого ступеня при n=4, 5, 6, … їх зручно розділити на дві групи: перша група – коріння парних ступенів (тобто, при n=4, 6, 8, …), друга група – коріння непарних ступенів (тобто, при n=5, 7, 9, …). Це з тим, що коріння парних ступенів аналогічні квадратному кореню, а коріння непарних ступенів – кубическому. Розберемося з ними по черзі.

Почнемо з коренів, ступенями яких є парні числа 4, 6, 8, … Як ми вже сказали, вони аналогічні квадратного кореня з числа a . Тобто корінь будь-якого парного ступеня з числа a існує лише для невід'ємного a . Причому, якщо a=0 , то корінь a єдиний і дорівнює нулю, а якщо a>0 , то існує два корені парного ступеня з числа a , причому вони є протилежними числами.

Обґрунтуємо останнє твердження. Нехай b – корінь парного ступеня (позначимо її як 2m, де m – деяке натуральне число) з числа a. Припустимо, що є число c – ще один корінь ступеня 2·m у складі a . Тоді b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Але ми знаємо виду b 2·m −c 2·m = (b−c)·(b+c)· (b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2)тоді (b−c)·(b+c)· (b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2)=0. З цієї рівності випливає, що b−c=0 , або b+c=0 , або b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2 =0. Перші дві рівності означають, що числа b та c рівні або b та c – протилежні. А остання рівність справедлива лише за b=c=0 , оскільки у його лівої частини перебуває вираз, яке неотрицательно при будь-яких b і як сума неотрицательных чисел.

Що стосується коренів n-ого ступеня при непарних n, то вони аналогічні кубічному кореню. Тобто корінь будь-якого непарного ступеня з числа a існує для будь-якого дійсного числа a, причому для даного числа a він є єдиним.

Єдиність кореня непарного ступеня 2·m+1 у складі a доводиться за аналогією з доказом єдиності кубічного кореня з a . Тільки тут замість рівності a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2)використовується рівність виду b 2·m+1 −c 2·m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Вираз в останній дужці можна переписати як b 2·m +c 2·m +b·c·(b 2·m−2 +c 2·m−2 + b·c·(b 2·m−4 +c 2·m−4 +b·c·(…+(b 2 +c 2 +b·c)))). Наприклад, при m=2 маємо b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Коли a і b обидва позитивні чи обидва негативні їх добуток є позитивним числом, тоді вираз b 2 +c 2 +b·c , що у дужках найвищого ступеня вкладеності, є позитивним як сума позитивних чисел. Тепер, просуваючись послідовно до виразів у дужках попередніх ступенів вкладеності, переконуємося, що вони також є позитивними як суми позитивних чисел. У результаті отримуємо, що рівність b 2·m+1 −c 2·m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0можливо тільки тоді, коли b−c=0 , тобто коли число b дорівнює числу c .

Настав час розібратися з позначеннями коренів n-ого ступеня. Для цього дається визначення арифметичного кореня n-ого ступеня.

Визначення

Арифметичним коренем n-го ступеня з невід'ємного числа aназивається невід'ємне число, n -я ступінь якого дорівнює a.

Арифметичним коренем n-го ступеня з неотрицательного числа називається неотрицательное число, n-я ступінь якого дорівнює :

Ступінь кореня - це натуральне число, більше 1.

3.

4.

Приватні випадки:

1. Якщо показник кореня ціле непарне число(), то підкорене вираз може бути негативним.

У разі непарного показника рівнянняпри будь-якому дійсному значенні та цілому ЗАВЖДИ має єдиний корінь:

Для кореня непарного ступеня справедливо тотожність:

,

2. Якщо показник кореня ціле парне число (), то підкорене вираз може бути негативним.

У разі парного показника рівняннямає

при єдине коріння

і, якщо і

Для кореня парного ступеня справедливо тотожність:

Для кореня парного ступеня справедливі рівність:

Ступенева функція, її властивості та графік.

Ступінна функція та її властивості.

Ступінна функція з натуральним показником. Функція у = х n де n - натуральне число, називається статечною функцією з натуральним показником. При n = 1 отримуємо функцію у = х, її властивості:

Пряма пропорційність. Прямою пропорційністю називається функція, задана формулою у = kx n де число k називається коефіцієнтом пропорційності.

Перелічимо властивості функції у = kx.

Область визначення функції – безліч усіх дійсних чисел.

y = kx - непарна функція (f(-х) = k(-х)=-kx = -k(х)).

3) При k > 0 функція зростає, а при k< 0 убывает на всей числовой прямой.

Графік (пряма) зображено малюнку II.1.

Мал. ІІ.1.

При n=2 отримуємо функцію y = х 2 її властивості:

Функція у-х 2 . Перерахуємо властивості функції у = х2.

у = х 2 - парна функція (f(-х) = (-x) 2 = x 2 = f(х)).

На проміжку функція зменшується.

Насправді, якщо ,то - х 1 > - х 2 > 0, тому

(-х 1) 2 > (- х 2) 2 , тобто , а це і означає зменшення функції.

Графіком функції y=х 2 є парабола. Цей графік зображено малюнку II.2.

Мал. ІІ.2.

При n = 3 отримуємо функцію у = х 3 її властивості:

Область визначення функції – вся числова пряма.

y = х 3 - непарна функція (f(-х) = (-x) 2 = - х 3 = - f(x)).

3) Функція y = x 3 зростає на всій числовій прямій. Графік функції y = x 3 зображено малюнку. Він називається кубічною параболою.

Графік (кубічна парабола) зображено малюнку II.3.

Мал. ІІ.3.

Нехай n- довільне парне натуральне число, більше двох:

n = 4, 6, 8, ... . У цьому випадку функція у = х n має ті ж властивості, що і функція у = х 2 . Графік такої функції нагадує параболу у = х 2 тільки гілки графіка при | n | >1 тим крутіше йдуть нагору, що більше n, а при цьому «тісніше притискаються» до осі х, що більше n.

Нехай n - довільне непарне число, більше за три: n = = 5, 7, 9, ... . У цьому випадку функція у = х n має ті ж властивості, що і функція у = х 3 . Графік такої функції нагадує кубічну параболу (тільки гілки графіка тим крутіше йдуть вгору, вниз, чим більше n. Зазначимо також, що на проміжку (0; 1) графік статечної функції у = х n тим повільніше віддаляється від осі х зі зростанням х, ніж більше n.

Ступінна функція з цілим негативним показником. Розглянемо функцію у = х - n, де n - натуральне число. При n = 1 отримуємо у = х - n або у = Властивості цієї функції:

Графік (гіперболу) зображено малюнку II.4.

Арифметичний корінь другого ступеня

Визначення 1

Коренем другого ступеня (або квадратним коренем) у складі $a$називають таке число, яке при зведенні в квадрат дорівнюватиме $a$.

Приклад 1

$7^2=7 \cdot 7=49$, отже число $7$ є коренем 2-го ступеня у складі $49$;

$0,9^2=0,9 \cdot 0,9=0,81$, отже число $0,9$ є коренем 2-го ступеня у складі $0,81$;

$1^2=1 \cdot 1=1$, отже число $1$ є коренем 2-го ступеня у складі $1$.

Зауваження 2

Простіше кажучи, для будь-якого числа $a

$a=b^2$ при негативному $a$ не так, т.к. $a=b^2$ не може бути негативним за будь-якого значення $b$.

Можна зробити висновок, що для дійсних чисел не може існувати корінь 2-го ступеня із негативного числа.

Примітка 3

Т.к. $0^2=0 \cdot 0=0$, то з визначення випливає, що нуль – корінь 2-го ступеня з нуля.

Визначення 2

Арифметичним коренем 2-го ступеня з $a$($a \ge 0$) є невід'ємне число, яке при зведенні в квадрат дорівнює $a$.

Коріння 2-го ступеня ще називаються квадратним корінням.

Позначають арифметичний корінь 2-го ступеня з $a$ як $sqrt(a)$ або можна зустріти позначення $sqrt(a)$. Але найчастіше для квадратного кореня число $2$ - показник кореня- Не вказується. Знак «$\sqrt( )$» – знак арифметичного кореня 2-го ступеня, який ще називають « знак радикала». Поняття «корінь» і «радикал» – це назви одного й того самого об'єкта.

Якщо під знаком арифметичного кореня стоїть число, його називають підкореним числом, а якщо вираз, то - підкореним виразом.

Читається запис $\sqrt(8)$ як "арифметичний корінь 2-го ступеня з восьми", причому слово "арифметичний" часто не називають.

Визначення 3

Відповідно до визначення арифметичного кореня 2-го ступеняможна записати:

Для будь-якого $a \ge 0$:

$(\sqrt(a))^2=a$,

$\sqrt(a) \ge 0$.

Ми показали різницю між коренем другого ступеня та арифметичним коренем другого ступеня. Далі розглядатимемо лише коріння з неотрицательных чисел і виразів, тобто. лише арифметичні.

Арифметичний корінь третього ступеня

Визначення 4

Арифметичним коренем 3-го ступеня (або кубічним коренем) у складі $a$($a \ge 0$) називають невід'ємне число, яке при зведенні в куб дорівнюватиме $a$.

Часто арифметичний слово опускають і говорять «корінь 3-го ступеня з числа $а$».

Позначають арифметичний корінь 3-го ступеня з $а$ як $\sqrt(a)$, знак «$\sqrt( )$» – знак арифметичного кореня 3-го ступеня, а число $3$ у цьому записі називається показником кореня. Число або вираз, що стоїть під знаком кореня, називають підкореним.

Приклад 2

$\sqrt(3,5)$ – арифметичний корінь 3-го ступеня із $3,5$ або кубічний корінь із $3,5$;

$\sqrt(x+5)$ – арифметичний корінь 3-го ступеня з $x+5$ або кубічний корінь із $x+5$.

Арифметичний корінь n-го ступеня

Визначення 5

Арифметичним коренем n-го ступеняз $a \ge 0$ називають невід'ємне число, яке при зведенні в $n$-ну ступінь стане рівним $a$.

Позначення арифметичного кореня ступеня $n$ із $a \ge 0$:

де $a$ - підкорене число або вираз,

Початковий рівень

Корінь та його властивості. Детальна теорія з прикладами (2019)

Давай спробуємо розібратися, що це за поняття таке «корінь» та «з чим його їдять». Для цього розглянемо приклади, з якими ти вже стикався на уроках (ну, або тобі з цим тільки доведеться зіткнутися).

Наприклад, маємо рівняння. Яке рішення даного рівняння? Які числа можна звести до квадрата і отримати при цьому? Згадавши таблицю множення, ти легко даси відповідь: і (адже при перемноженні двох негативних чисел виходить позитивне число)! Для спрощення математики ввели спеціальне поняття квадратного кореня і надали йому спеціальний символ.

Дамо визначення арифметичного квадратного кореня.

А чому ж число має бути обов'язково невід'ємним? Наприклад, чому дорівнює. Так-так спробуємо підібрати. Може, три? Перевіримо: , а чи не. Може? Знову ж таки, перевіряємо: . Ну що ж, не підбирається? Це й слід було чекати - бо немає таких чисел, які при зведенні у квадрат дають негативне число!
Це треба запам'ятати: число або вираз під знаком кореня має бути негативним!

Однак найуважніші вже напевно помітили, що у визначенні сказано, що рішення квадратного кореня з числа називається таке невід'ємнечисло, квадрат якого дорівнює». Хтось із вас скаже, що на самому початку ми розбирали приклад, підбирали числа, які можна звести в квадрат і отримати при цьому, відповідь була і, а тут йдеться про якесь «невід'ємне число»! Таке зауваження цілком доречне. Тут необхідно просто розмежувати поняття квадратних рівнянь та арифметичного квадратного кореня у складі. Наприклад, не рівносильне виразу.

З цього випливає, що, тобто або. (Читай тему « »)

А слід, що.

Звичайно, це дуже плутає, але це необхідно запам'ятати, що знаки є результатом розв'язання рівняння, тому що при вирішенні рівняння ми повинні записати всі ікси, які при підстановці у вихідне рівняння дадуть правильний результат. Наше квадратне рівняння підходить як, так і.

Однак, якщо просто витягувати квадратний коріньз чогось, то завжди отримуємо один невід'ємний результат.

А тепер спробуй розв'язати таке рівняння. Вже все не так просто і гладко, правда? Спробуй перебрати числа, може щось і вигорить? Почнемо з самого початку – з нуля: – не підходить, рухаємось далі – менше трьох, теж відкидаємо, а що якщо. Перевіримо: - теж підходить, т.к. це більше трьох. З негативними числами вийде така сама історія. І що тепер робити? Невже перебір нам нічого не дав? Зовсім ні, тепер ми точно знаємо, що відповіддю буде деяке число між і, а також і. Крім того, очевидно, що рішення не будуть цілими числами. Більше того, вони не є раціональними. І що далі? Давай побудуємо графік функції та відзначимо на ньому рішення.

Давай спробуємо обдурити систему та отримати відповідь за допомогою калькулятора! Виймемо корінь з, діл-те! Ой-ой-ой, виходить, що. Таке число ніколи не кінчається. Як же таке запам'ятати, адже на іспиті калькулятора не буде! Все дуже просто, це й не треба запам'ятовувати, потрібно пам'ятати (або вміти швидко прикинути) приблизне значення. і вже самі собою відповіді. Такі числа називаються ірраціональними, саме для спрощення запису таких чисел і було запроваджено поняття квадратного кореня.

Розглянемо ще один приклад для закріплення. Розберемо таке завдання: тобі потрібно перетнути по діагоналі квадратне поле зі стороною кілометрів, скільки кілометрів тобі доведеться пройти?

Найочевидніше тут розглянути окремо трикутник і користуватися теоремою Піфагора: . Таким чином, . То чому ж тут однакова відстань? Очевидно, що відстань не може бути негативною, отримуємо, що. Корінь із двох приблизно дорівнює, але, як ми помітили раніше, вже є повноцінною відповіддю.

Щоб вирішення прикладів з корінням не викликало проблем, необхідно їх бачити та впізнавати. Для цього необхідно знати щонайменше квадрати чисел від до, а також вміти їх розпізнати. Наприклад, треба зазначити, що у квадраті одно, і навіть, навпаки, що - це у квадраті.

Вловив, що таке квадратне коріння? Тоді наріши кілька прикладів.

приклади.

Ну як, вийшло? Тепер давай подивимося такі приклади:

Відповіді:

Кубічний корінь

Ну що ж, з поняттям квадратного кореня начебто розібралися, тепер постараємося розібратися, що таке кубічний корінь і в чому їхня відмінність.

Кубічний корінь із деякого числа - це число, куб якого дорівнює. Помітили, тут все набагато простіше? Тут немає жодних обмежень на можливі значення як значення під знаком кубічного кореня, так і числа. Тобто кубічний корінь можна витягти з числа: .

Вловили, що таке кубічний корінь і як його добувати? Тоді наперед вирішувати приклади.

приклади.

Відповіді:

Корінь - ого ступеня

Ну що ж, ми розібралися з поняттями квадратного та кубічного кореня. Тепер узагальним отримані знання поняттям корінь -ого ступеня.

Корінь -ого ступеняу складі — це число, -ая ступінь якого дорівнює, тобто.

рівносильно.

Якщо - парно, то:

• при негативному, вираз не має сенсу (коріння парного ступеня з негативних чисел витягти не можна!);
• при невід'ємному() Вираз має один невід'ємний корінь.

Якщо - непарно, то вираз має єдиний корінь за будь-якого.

Не лякайтеся, тут діють такі ж принципи, що і з квадратним і кубічним корінням. Тобто принципи, які ми застосовували при розгляді квадратних коренів, поширюємо на всі корені парного ступеня.

А ті властивості, які застосовували для кубічного кореня, поширюються на корені непарного ступеня.

Ну що, стало зрозуміліше? Давайте розбиратися на прикладах:

Тут все більш-менш зрозуміло: спочатку дивимося - ага, ступінь - парна, під коренем число позитивне, значить наше завдання - знайти таке число, четвертий ступінь якого дасть нам. Ну, чи є припущення? Може? Точно, !

Так, ступінь дорівнює - непарна, під коренем число негативне. Наше завдання – знайти таке число, при зведенні якого у ступінь виходить. Відразу помітити корінь досить важко. Однак можна відразу звузити область пошуку, правда? По-перше, безперечно шукане число негативно, а по-друге, можна помітити, що - непарне, а значить і число, що шукається - непарне. Спробуй підібрати коріння. Звичайно ж, і можна сміливо відкидати. Може?

Так, це те, що ми шукали! Зауваж, що з спрощення розрахунку ми користувалися властивостями ступенів: .

Основні властивості коренів

Зрозуміло? Якщо ні, то розглянувши приклади, все має стати на свої місця.

Розмноження коренів

Як множити коріння? На це питання допомагає відповісти найпростіша та базова властивість:

Почнемо з простенького:

Коріння з чисел, що вийшло, рівно не витягуються? Не біда – ось вам такі приклади:

А якщо множників не два, а більше? Теж саме! Формула множення коренів працює з будь-якою кількістю множників:

Що ми можемо зробити з ним? Ну звичайно, сховати трійку під коренем, пам'ятаючи при цьому, що трійка - корінь квадратний!

Навіщо нам це потрібне? Так просто, щоб розширити наші можливості при вирішенні прикладів:

Як тобі така властивість коріння? Істотно спрощує життя? На мене, так точно! Тільки треба пам'ятати, що вносити під знак кореня парного ступеня ми можемо лише позитивні числа.

Подивимося, де це ще може стати в нагоді. Наприклад, у задачі вимагають порівняти два числа:

Що більше:

Відразу і не скажеш. Ну що, скористаємось розібраною властивістю внесення числа під знак кореня? Тоді вперед:

Ну і, знаючи, що чим більше число під знаком кореня, тим більше корінь! Тобто. якщо, отже, . Звідси твердо робимо висновок, що. І ніхто не переконає нас у протилежному!

До цього ми вносили множник під знак кореня, а як його винести? Треба просто розкласти його на множники та витягти те, що витягується!

Можна було піти іншим шляхом і розкласти на інші множники:

Непогано, правда? Будь-який із цих підходів вірний, вирішуй як тобі зручно.

Ось, наприклад, такий вираз:

У цьому прикладі ступінь парний, а якщо він буде непарний? Знову ж таки, застосуй властивості ступеня і розклади все на множники:

З цим начебто все ясно, а от як витягти корінь з числа в міру? Ось, наприклад, таке:

Досить просто, правда? А якщо ступінь більше двох? Дотримуємося тієї ж логіки, використовуючи властивості ступенів:

Ну як усе зрозуміло? Тоді такий приклад:

Це підводне каміння, про них завжди варто пам'ятати. Це і є відображення на прикладах якості:

Зрозуміло? Закріплюй на прикладах:

Ага, бачимо, корінь парною мірою, негативне число під коренем теж парною мірою. Ну і те саме виходить? А ось що:

От і все! Тепер такі приклади:

Вловив? Тоді наперед вирішувати приклади.

приклади.

Відповіді.

Якщо отримав відповіді, можна зі спокійною душею рухатися далі. Якщо ні, то давай розберемося в цих прикладах:

Подивимося на дві інші властивості коренів:

Ці властивості обов'язково треба розбирати на прикладах. Ну що, займемося цим?

Розібрався? Давай закріпимо.

приклади.

Відповіді.

КОРНІ І ЇХ ВЛАСТИВОСТІ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Арифметичний квадратний корінь

Рівняння має два рішення: в. Це числа, квадрат яких дорівнює.

Розглянемо рівняння. Вирішимо його графічно. Намалюємо графік функції та лінію на рівні. Крапки перетину цих ліній і будуть рішеннями. Бачимо, що й у цього рівняння два рішення – одне позитивне, інше негативне:

Але в даному випадку рішення не є цілими числами. Більше того, вони не є раціональними. Щоб записати ці ірраціональні рішення, ми вводимо спеціальний символ квадратного кореня.

Арифметичний квадратний корінь- Це невід'ємне число, квадрат якого дорівнює. При виразі не визначено, т.к. немає такого числа, квадрат якого дорівнює негативному числу.

Корінь із квадрата: .

Наприклад, . А слід, що або.

Ще раз звертаю увагу, це дуже важливо: Квадратний корінь – це завжди невід'ємне число: !

Кубічний коріньу складі — це число, куб якого дорівнює. Кубічний корінь визначено всім. Його можна витягти з числа: . Як бачимо, він може набувати і негативних значень.

Корінь -ой ступеня у складі — це число, -я ступінь якого дорівнює, тобто.

Якщо – парно, тоді:

• якщо, то корінь -ого ступеня a не визначений.
• якщо, то невід'ємний корінь рівняння називається арифметичним коренем -ой ступеня і позначається.

Якщо - непарно, тоді рівняння має єдиний корінь за будь-якого.

Ти помітив, що ліворуч від знаку кореня ми пишемо його ступінь? Але не для квадратного кореня! Якщо бачиш корінь без ступеня, то він квадратний (ступеня).

приклади.

Основні властивості коренів

КОРНІ І ЇХ ВЛАСТИВОСТІ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Квадратним коренем (арифметичним квадратним коренем)з невід'ємного числа називається таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює

Властивості коріння: