Боковими гранями прямокутного паралелепіпеда є. Визначення: поняття обсягу

На цьому уроці всі охочі матимуть змогу вивчити тему «Прямокутний паралелепіпед». На початку уроку ми повторимо, що таке довільний та прямий паралелепіпеди, пригадаємо властивості їх протилежних граней та діагоналей паралелепіпеда. Потім розглянемо, що таке прямокутний паралелепіпед, та обговоримо його основні властивості.

Тема: Перпендикулярність прямих та площин

Урок: Прямокутний паралелепіпед

Поверхня, складена з двох рівних паралелограмів АВСD і А 1 В 1 С 1 D 1 і чотирьох паралелограмів АВВ 1 А 1 , ВСС 1 В 1 , СDD 1 С 1 , DАА 1 D 1 називається паралелепіпедом(Рис. 1).

Мал. 1 Паралелепіпед

Тобто: маємо два рівні паралелограми АВСD і А 1 В 1 З 1 D 1 (основи), вони лежать у паралельних площинах так, що бічні ребра АА 1 , ВВ 1 , DD 1 , СС 1 паралельні. Таким чином, складена з паралелограмів поверхня називається паралелепіпедом.

Таким чином, поверхня паралелепіпеда - це сума всіх паралелограмів, з яких складено паралелепіпед.

1. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні.

(Фігури рівні, тобто їх можна поєднати накладенням)

Наприклад:

АВСD = А 1 В 1 З 1 D 1 (рівні паралелограми за визначенням),

АА 1 В 1 В = DD 1 С 1 С (оскільки АА 1 В 1 В і DD 1 С 1 С - протилежні грані паралелепіпеда),

АА 1 D 1 D = ВВ 1 З 1 З (оскільки АА 1 D 1 D і ВВ 1 З 1 З - протилежні грані паралелепіпеда).

2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.

Діагоналі паралелепіпеда АС 1 , В 1 D, А 1 С, D 1 перетинаються в одній точці О, і кожна діагональ ділиться цією точкою навпіл (рис. 2).

Мал. 2 Діагоналі паралелепіпеда перетинаються і ділитися точкою перетину навпіл.

3. Є три четвірки рівних і паралельних ребер паралелепіпеда: 1 - АВ, А 1 В 1 , D 1 C 1 , DC, 2 - AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, 3 - АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 .

Визначення. Паралелепіпед називається прямим, якщо його бічні ребра перпендикулярні до основ.

Нехай бічне ребро АА 1 перпендикулярне до основи (рис. 3). Це означає, що пряма АА 1 перпендикулярна до прямих АD і АВ, які лежать у площині основи. Отже, в бічних гранях лежать прямокутники. А в основах лежать довільні паралелограми. Позначимо, ∠BAD = φ, кут φ може бути будь-яким.

Мал. 3 Прямий паралелепіпед

Отже, прямий паралелепіпед - це паралелепіпед, в якому бічні ребра перпендикулярні основ паралелепіпеда.

Визначення. Паралелепіпед називається прямокутним,якщо його бічні ребра перпендикулярні до основи. Основи є прямокутниками.

Паралелепіпед АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 - прямокутний (рис. 4), якщо:

1. АА 1 ⊥ АВСD (бічне ребро перпендикулярно площині основи, тобто паралелепіпед прямої).

2. ∠ВАD = 90°, тобто в основі лежить прямокутник.

Мал. 4 Прямокутний паралелепіпед

Прямокутний паралелепіпед має всі властивості довільного паралелепіпеда.Але є додаткові властивості, що виводяться з визначення прямокутного паралелепіпеда.

Отже, прямокутний паралелепіпед- це паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні до основи. Основа прямокутного паралелепіпеда - прямокутник.

1. У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней прямокутники.

АВСD і А1В1С1D1 - прямокутники за визначенням.

2. Бічні ребра перпендикулярні до основи. Отже, всі бічні грані прямокутного паралелепіпеда – прямокутники.

3. Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.

Розглянемо, наприклад, двогранний кут прямокутного паралелепіпеда з ребром АВ, тобто двогранний кут між площинами АВВ 1 та АВС.

АВ - ребро, точка А 1 лежить в одній площині - у площині АВВ 1, а точка D в іншій - у площині А 1 В 1 З 1 D 1 . Тоді розглянутий двогранний кут можна позначити так: ∠А 1 АВD.

Візьмемо точку А на ребері АВ. АА 1 - перпендикуляр до ребра АВ у площині АВВ-1, AD перпендикуляр до ребра АВ у площині АВС. Отже, ∠А 1 АD – лінійний кут даного двогранного кута. ∠А 1 АD = 90°, отже, двогранний кут при ребері АВ дорівнює 90°.

∠(АВВ 1 , АВС) = ∠(АВ) = ∠А 1 АВD= ∠А 1 АD = 90°.

Аналогічно доводиться, що будь-які двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.

Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Примітка. Довжини трьох ребер, що виходять з однієї вершини прямокутного паралелепіпеда, є вимірами прямокутного паралелепіпеда. Їх іноді називають довжина, ширина, висота.

Дано: АВСDА 1 В 1 З 1 D 1 - прямокутний паралелепіпед (рис. 5).

Довести: .

Мал. 5 Прямокутний паралелепіпед

Доведення:

Пряма СС 1 перпендикулярна площині АВС, отже, і прямий АС. Отже, трикутник СС 1 А – прямокутний. За теоремою Піфагора:

Розглянемо прямокутний трикутник АВС. За теоремою Піфагора:

Але ВС та AD - протилежні сторони прямокутника. Значить, НД = AD. Тоді:

Так як , а , те. Оскільки СС 1 = АА 1 , те що потрібно було довести.

Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.

Позначимо виміри паралелепіпеда АВС як a, b, c (див. рис. 6), тоді АС 1 = СА 1 = В 1 D = DВ 1 =

На цьому уроці всі охочі матимуть змогу вивчити тему «Прямокутний паралелепіпед». На початку уроку ми повторимо, що таке довільний та прямий паралелепіпеди, пригадаємо властивості їх протилежних граней та діагоналей паралелепіпеда. Потім розглянемо, що таке прямокутний паралелепіпед, та обговоримо його основні властивості.

Тема: Перпендикулярність прямих та площин

Урок: Прямокутний паралелепіпед

Поверхня, складена з двох рівних паралелограмів АВСD і А 1 В 1 С 1 D 1 і чотирьох паралелограмів АВВ 1 А 1 , ВСС 1 В 1 , СDD 1 С 1 , DАА 1 D 1 називається паралелепіпедом(Рис. 1).

Мал. 1 Паралелепіпед

Тобто: маємо два рівні паралелограми АВСD і А 1 В 1 З 1 D 1 (основи), вони лежать у паралельних площинах так, що бічні ребра АА 1 , ВВ 1 , DD 1 , СС 1 паралельні. Таким чином, складена з паралелограмів поверхня називається паралелепіпедом.

Таким чином, поверхня паралелепіпеда - це сума всіх паралелограмів, з яких складено паралелепіпед.

1. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні.

(Фігури рівні, тобто їх можна поєднати накладенням)

Наприклад:

АВСD = А 1 В 1 З 1 D 1 (рівні паралелограми за визначенням),

АА 1 В 1 В = DD 1 С 1 С (оскільки АА 1 В 1 В і DD 1 С 1 С - протилежні грані паралелепіпеда),

АА 1 D 1 D = ВВ 1 З 1 З (оскільки АА 1 D 1 D і ВВ 1 З 1 З - протилежні грані паралелепіпеда).

2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.

Діагоналі паралелепіпеда АС 1 , В 1 D, А 1 С, D 1 перетинаються в одній точці О, і кожна діагональ ділиться цією точкою навпіл (рис. 2).

Мал. 2 Діагоналі паралелепіпеда перетинаються і ділитися точкою перетину навпіл.

3. Є три четвірки рівних і паралельних ребер паралелепіпеда: 1 - АВ, А 1 В 1 , D 1 C 1 , DC, 2 - AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, 3 - АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 .

Визначення. Паралелепіпед називається прямим, якщо його бічні ребра перпендикулярні до основ.

Нехай бічне ребро АА 1 перпендикулярне до основи (рис. 3). Це означає, що пряма АА 1 перпендикулярна до прямих АD і АВ, які лежать у площині основи. Отже, в бічних гранях лежать прямокутники. А в основах лежать довільні паралелограми. Позначимо, ∠BAD = φ, кут φ може бути будь-яким.

Мал. 3 Прямий паралелепіпед

Отже, прямий паралелепіпед - це паралелепіпед, в якому бічні ребра перпендикулярні основ паралелепіпеда.

Визначення. Паралелепіпед називається прямокутним,якщо його бічні ребра перпендикулярні до основи. Основи є прямокутниками.

Паралелепіпед АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 - прямокутний (рис. 4), якщо:

1. АА 1 ⊥ АВСD (бічне ребро перпендикулярно площині основи, тобто паралелепіпед прямої).

2. ∠ВАD = 90°, тобто в основі лежить прямокутник.

Мал. 4 Прямокутний паралелепіпед

Прямокутний паралелепіпед має всі властивості довільного паралелепіпеда.Але є додаткові властивості, що виводяться з визначення прямокутного паралелепіпеда.

Отже, прямокутний паралелепіпед- це паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні до основи. Основа прямокутного паралелепіпеда - прямокутник.

1. У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней прямокутники.

АВСD і А1В1С1D1 - прямокутники за визначенням.

2. Бічні ребра перпендикулярні до основи. Отже, всі бічні грані прямокутного паралелепіпеда – прямокутники.

3. Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.

Розглянемо, наприклад, двогранний кут прямокутного паралелепіпеда з ребром АВ, тобто двогранний кут між площинами АВВ 1 та АВС.

АВ - ребро, точка А 1 лежить в одній площині - у площині АВВ 1, а точка D в іншій - у площині А 1 В 1 З 1 D 1 . Тоді розглянутий двогранний кут можна позначити так: ∠А 1 АВD.

Візьмемо точку А на ребері АВ. АА 1 - перпендикуляр до ребра АВ у площині АВВ-1, AD перпендикуляр до ребра АВ у площині АВС. Отже, ∠А 1 АD – лінійний кут даного двогранного кута. ∠А 1 АD = 90°, отже, двогранний кут при ребері АВ дорівнює 90°.

∠(АВВ 1 , АВС) = ∠(АВ) = ∠А 1 АВD= ∠А 1 АD = 90°.

Аналогічно доводиться, що будь-які двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.

Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Примітка. Довжини трьох ребер, що виходять з однієї вершини прямокутного паралелепіпеда, є вимірами прямокутного паралелепіпеда. Їх іноді називають довжина, ширина, висота.

Дано: АВСDА 1 В 1 З 1 D 1 - прямокутний паралелепіпед (рис. 5).

Довести: .

Мал. 5 Прямокутний паралелепіпед

Доведення:

Пряма СС 1 перпендикулярна площині АВС, отже, і прямий АС. Отже, трикутник СС 1 А – прямокутний. За теоремою Піфагора:

Розглянемо прямокутний трикутник АВС. За теоремою Піфагора:

Але ВС та AD - протилежні сторони прямокутника. Значить, НД = AD. Тоді:

Так як , а , те. Оскільки СС 1 = АА 1 , те що потрібно було довести.

Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.

Позначимо виміри паралелепіпеда АВС як a, b, c (див. рис. 6), тоді АС 1 = СА 1 = В 1 D = DВ 1 =

Визначення

Багатогранникомназиватимемо замкнуту поверхню, складену з багатокутників і обмежує деяку частину простору.

Відрізки, що є сторонами цих багатокутників, називаються ребрамибагатогранника, а самі багатокутники – гранями. Вершини багатокутників називаються вершинами багатогранника.

Розглянемо тільки опуклі багатогранники (це такий багатогранник, який знаходиться по одну сторону від кожної площини, що містить його грань).

Багатокутники, у тому числі складений багатогранник, утворюють його поверхню. Частина простору, яку обмежує цей багатогранник, називається його начинкою.

Визначення: призма

Розглянемо два рівні багатокутники \(A_1A_2A_3...A_n\) і \(B_1B_2B_3...B_n\) , що знаходяться в паралельних площинах так, що відрізки \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)паралельні. Багатогранник, утворений багатокутниками \(A_1A_2A_3...A_n\) та \(B_1B_2B_3...B_n\) , а також паралелограмами \(A_1B_1B_2A_2, \ A_2B_2B_3A_3, ...\)називається (\(n\) -вугільною) призмою.

Багатокутники \(A_1A_2A_3...A_n\) і \(B_1B_2B_3...B_n\) називаються основами призми, паралелограми \(A_1B_1B_2A_2, \ A_2B_2B_3A_3, ...\)– бічними гранями, відрізки \(A_1B_1, \A_2B_2, \..., A_nB_n\)– бічними ребрами.
Таким чином, бічні ребра призми паралельні та рівні між собою.

Розглянемо приклад – призма \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), В основі якої лежить опуклий п'ятикутник.

Висотапризми – це перпендикуляр, опущений із будь-якої точки однієї основи до площини іншої основи.

Якщо бічні ребра не перпендикулярні до основи, то така призма називається похилій(рис. 1), інакше – прямий. У прямій призми бічні ребра є висотами, а бічні грані – рівними прямокутниками.

Якщо в основі прямої призми лежить правильний багатокутник, то призма називається правильною.

Визначення: поняття обсягу

Одиниця виміру обсягу – одиничний куб (куб розмірами \(1\times1\times1\) од\(^3\) , де од - деяка одиниця виміру).

Можна сміливо сказати, що обсяг багатогранника – це величина простору, яку обмежує цей багатогранник. Інакше: це величина, числове значення якої показує, скільки разів одиничний куб та його частини вміщуються в даний багатогранник.

Об'єм має ті ж властивості, що і площа:

1. Об'єми рівних фігур рівні.

2. Якщо багатогранник складений з декількох багатогранників, що не перетинаються, то його обсяг дорівнює сумі обсягів цих багатогранників.

3. Обсяг – величина невід'ємна.

4. Об'єм вимірюється в см(^3\) (кубічні сантиметри), м(^3\) (кубічні метри) і т.д.

Теорема

1. Площа бічної поверхні призми дорівнює добутку периметра основи висоту призми.
Площа бічної поверхні – сума площ бічних граней призми.

2. Обсяг призми дорівнює добутку площі підстави на висоту призми: \

Визначення: паралелепіпед

Паралелепіпед- Це призма, в основі якої лежить паралелограм.

Всі грані паралелепіпеда (їх (6): (4) бічні грані і (2) підстави) являють собою паралелограми, причому протилежні грані (паралельні один одному) є рівними паралелограми (рис. 2).

Діагональ паралелепіпеда- Це відрізок, що з'єднує дві вершини паралелепіпеда, що не лежать в одній грані (їх (8 \): \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\)і т.д.).

Прямокутний паралелепіпед- це прямий паралелепіпед, в основі якого лежить прямокутник.
Т.к. це прямий паралелепіпед, то бічні грані є прямокутниками. Значить взагалі всі грані прямокутного паралелепіпеда – прямокутники.

Усі діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні (це випливає з рівності трикутників \(\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\)і т.д.).

Зауваження

Таким чином, паралелепіпед має всі властивості призми.

Теорема

Площа бічної поверхні прямокутного паралелепіпеда дорівнює \

Площа повної поверхні прямокутного паралелепіпеда дорівнює \

Теорема

Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його ребер, що виходять з однієї вершини (три виміри прямокутного паралелепіпеда): \

Доведення

Т.к. у прямокутного паралелепіпеда бічні ребра перпендикулярні до основи, то є і його висотами, тобто \(h=AA_1=c\) Т.к. в основі лежить прямокутник, то \(S_(\text(осн))=AB\cdot AD=ab\). Звідси і випливає ця формула.

Теорема

Діагональ \(d\) прямокутного паралелепіпеда шукається за формулою (де \(a,b,c\) - вимірювання паралелепіпеда) \

Доведення

Розглянемо рис. 3. Т.к. в основі лежить прямокутник, то \(\triangle ABD\) - прямокутний, отже, за теоремою Піфагора \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Т.к. всі бічні ребра перпендикулярні основам, то \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\)перпендикулярно будь-якої прямої у цій площині, тобто. \(BB_1\perp BD\) . Значить, \(\triangle BB_1D) - прямокутний. Тоді за теоремою Піфагора \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), Чтд.

Визначення: куб

Куб- це прямокутний паралелепіпед, усі грані якого – рівні квадрати.

Таким чином, три виміри дорівнюють між собою: \(a=b=c\) . Значить, вірні такі

Теореми

1. Об'єм куба з ребром \(a\) дорівнює \(V_(\text(куба))=a^3\) .

2. Діагональ куба шукається за формулою (d = a sqrt3).

3. Площа повної поверхні куба \(S_(\text(повн.пов-ти куба))=6a^2\).

На цьому уроці всі охочі матимуть змогу вивчити тему «Прямокутний паралелепіпед». На початку уроку ми повторимо, що таке довільний та прямий паралелепіпеди, пригадаємо властивості їх протилежних граней та діагоналей паралелепіпеда. Потім розглянемо, що таке прямокутний паралелепіпед, та обговоримо його основні властивості.

Тема: Перпендикулярність прямих та площин

Урок: Прямокутний паралелепіпед

Поверхня, складена з двох рівних паралелограмів АВСD і А 1 В 1 С 1 D 1 і чотирьох паралелограмів АВВ 1 А 1 , ВСС 1 В 1 , СDD 1 С 1 , DАА 1 D 1 називається паралелепіпедом(Рис. 1).

Мал. 1 Паралелепіпед

Тобто: маємо два рівні паралелограми АВСD і А 1 В 1 З 1 D 1 (основи), вони лежать у паралельних площинах так, що бічні ребра АА 1 , ВВ 1 , DD 1 , СС 1 паралельні. Таким чином, складена з паралелограмів поверхня називається паралелепіпедом.

Таким чином, поверхня паралелепіпеда - це сума всіх паралелограмів, з яких складено паралелепіпед.

1. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні.

(Фігури рівні, тобто їх можна поєднати накладенням)

Наприклад:

АВСD = А 1 В 1 З 1 D 1 (рівні паралелограми за визначенням),

АА 1 В 1 В = DD 1 С 1 С (оскільки АА 1 В 1 В і DD 1 С 1 С - протилежні грані паралелепіпеда),

АА 1 D 1 D = ВВ 1 З 1 З (оскільки АА 1 D 1 D і ВВ 1 З 1 З - протилежні грані паралелепіпеда).

2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.

Діагоналі паралелепіпеда АС 1 , В 1 D, А 1 С, D 1 перетинаються в одній точці О, і кожна діагональ ділиться цією точкою навпіл (рис. 2).

Мал. 2 Діагоналі паралелепіпеда перетинаються і ділитися точкою перетину навпіл.

3. Є три четвірки рівних і паралельних ребер паралелепіпеда: 1 - АВ, А 1 В 1 , D 1 C 1 , DC, 2 - AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, 3 - АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 .

Визначення. Паралелепіпед називається прямим, якщо його бічні ребра перпендикулярні до основ.

Нехай бічне ребро АА 1 перпендикулярне до основи (рис. 3). Це означає, що пряма АА 1 перпендикулярна до прямих АD і АВ, які лежать у площині основи. Отже, в бічних гранях лежать прямокутники. А в основах лежать довільні паралелограми. Позначимо, ∠BAD = φ, кут φ може бути будь-яким.

Мал. 3 Прямий паралелепіпед

Отже, прямий паралелепіпед - це паралелепіпед, в якому бічні ребра перпендикулярні основ паралелепіпеда.

Визначення. Паралелепіпед називається прямокутним,якщо його бічні ребра перпендикулярні до основи. Основи є прямокутниками.

Паралелепіпед АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 - прямокутний (рис. 4), якщо:

1. АА 1 ⊥ АВСD (бічне ребро перпендикулярно площині основи, тобто паралелепіпед прямої).

2. ∠ВАD = 90°, тобто в основі лежить прямокутник.

Мал. 4 Прямокутний паралелепіпед

Прямокутний паралелепіпед має всі властивості довільного паралелепіпеда.Але є додаткові властивості, що виводяться з визначення прямокутного паралелепіпеда.

Отже, прямокутний паралелепіпед- це паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні до основи. Основа прямокутного паралелепіпеда - прямокутник.

1. У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней прямокутники.

АВСD і А1В1С1D1 - прямокутники за визначенням.

2. Бічні ребра перпендикулярні до основи. Отже, всі бічні грані прямокутного паралелепіпеда – прямокутники.

3. Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.

Розглянемо, наприклад, двогранний кут прямокутного паралелепіпеда з ребром АВ, тобто двогранний кут між площинами АВВ 1 та АВС.

АВ - ребро, точка А 1 лежить в одній площині - у площині АВВ 1, а точка D в іншій - у площині А 1 В 1 З 1 D 1 . Тоді розглянутий двогранний кут можна позначити так: ∠А 1 АВD.

Візьмемо точку А на ребері АВ. АА 1 - перпендикуляр до ребра АВ у площині АВВ-1, AD перпендикуляр до ребра АВ у площині АВС. Отже, ∠А 1 АD – лінійний кут даного двогранного кута. ∠А 1 АD = 90°, отже, двогранний кут при ребері АВ дорівнює 90°.

∠(АВВ 1 , АВС) = ∠(АВ) = ∠А 1 АВD= ∠А 1 АD = 90°.

Аналогічно доводиться, що будь-які двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.

Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Примітка. Довжини трьох ребер, що виходять з однієї вершини прямокутного паралелепіпеда, є вимірами прямокутного паралелепіпеда. Їх іноді називають довжина, ширина, висота.

Дано: АВСDА 1 В 1 З 1 D 1 - прямокутний паралелепіпед (рис. 5).

Довести: .

Мал. 5 Прямокутний паралелепіпед

Доведення:

Пряма СС 1 перпендикулярна площині АВС, отже, і прямий АС. Отже, трикутник СС 1 А – прямокутний. За теоремою Піфагора:

Розглянемо прямокутний трикутник АВС. За теоремою Піфагора:

Але ВС та AD - протилежні сторони прямокутника. Значить, НД = AD. Тоді:

Так як , а , те. Оскільки СС 1 = АА 1 , те що потрібно було довести.

Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.

Позначимо виміри паралелепіпеда АВС як a, b, c (див. рис. 6), тоді АС 1 = СА 1 = В 1 D = DВ 1 =