Центральний момент третього ладу. Числові характеристики випадкових величин

Початковим моментом k -го порядку випадкової величиниX X k :

Зокрема,

Центральним моментом k -го порядку випадкової величиниXназивається математичне очікування величини k :

. (5.11)

Зокрема,

Скориставшись визначеннями та властивостями математичного очікування та дисперсії, можна отримати, що

,

,

Моменти вищих порядків застосовуються рідко.

Припустимо, що розподіл випадкової величини симетрично щодо математичного очікування. Тоді всі центральні непарні порядку дорівнюють нулю. Це можна пояснити тим, що для кожного позитивного значення відхилення X–M[X] знайдеться (через симетричність розподілу) рівне йому за абсолютною величиною негативне значення, причому їхні ймовірності будуть однаковими. Якщо центральний момент дорівнює непарного порядку не дорівнює нулю, це говорить про асиметричності розподілу і що більше момент, то більше вписувалося асиметрія. Тому як характеристики асиметрії розподілу найрозумніше взяти якийсь непарний центральний момент. Так як центральний момент 1-го порядку завжди дорівнює нулю, то доцільно для цього використовувати центральний момент 3-го порядку. Однак прийняти цей момент для оцінки асиметричності незручно, тому що його величина залежить від одиниць, в яких вимірюється випадкова величина. Щоб усунути цей недолік,  3 ділять на  3 і таким чином одержують характеристику.

Коефіцієнтом асиметрії A називається величина

. (5.12)

Рис. 5.1

Як відомо, дисперсія (2-й центральний момент) служить для характеристики розсіювання значень випадкової величини навколо математичного очікування. Чим більша дисперсія, тим більша полога відповідна крива розподілу. Проте нормований момент 2-го порядку  2 / 2 не може бути характеристикою "плосковершинності" або "гостровершинності" розподілу тому, що для будь-якого розподілу D[ x]/ 2 =1. І тут використовують центральний момент 4-го порядку.

Ексцесом E називається величина

. (5.13)

Ч

Рис. 5.2

Приклад 5.6.ДСВ X задана наступним законом розподілу:

Знайти коефіцієнт асиметрії та ексцес.

Рис. 5.4

Тепер обчислимо центральні моменти:

Центральними називаються моменти розподілу, при обчисленні яких за вихідну величину приймаються відхилення варіантів середньої арифметичної даного ряду.

1. Розрахуємо центральний момент першого порядку за такою формулою:

2. Розрахуємо центральний момент другого порядку за такою формулою:

де – значення середини інтервалів;

Це середнє виважене;

Fi-число значень.

3. Розрахуємо центральний момент третього порядку за такою формулою:

де – значення середини інтервалів; - це середнє виважене; - fi-число значень.

4. Розрахуємо центральний момент четвертого порядку за такою формулою:

де – значення середини інтервалів; - це середнє виважене; - fi-число значень.

Розрахунок для таблиці 3.2

Розрахунок для таблиці 3.4

1. Розрахуємо центральний момент першого порядку за формулою (7.1):

2. Розрахуємо центральний момент другого порядку за формулою (7.2):

3. Розрахуємо центральний момент третього порядку за формулою (7.3):

4. Розрахуємо центральний момент четвертого порядку за формулою (7.4):

Розрахунок для таблиці 3.6

1. Розрахуємо центральний момент першого порядку за формулою (7.1):

2. Розрахуємо центральний момент другого порядку за формулою (7.2):

3. Розрахуємо центральний момент третього порядку за формулою (7.3):

4. Розрахуємо центральний момент четвертого порядку за формулою (7.4):

Розраховано моменти 1,2,3,4 порядків за трьома завданнями. Де момент третього порядку знадобиться розрахунку асиметрії, а момент четвертого порядку знадобиться розрахунку ексцесу.

РОЗРАХУНОК АСИМЕТРІЇ РОЗПОДІЛУ

У статистичній практиці зустрічаються різноманітні розподіли. Розрізняють такі різновиди кривих розподілу:

· Одновершинні криві: симетричні, помірно асиметричні та вкрай асиметричні;

· Багатовершинні криві.

Для однорідних сукупностей, зазвичай, характерні одновершинні розподіли. Багатовершинність свідчить про неоднорідність сукупності, що вивчається. Поява двох або більше вершин робить необхідним перегрупування даних з метою виділення більш однорідних груп.

З'ясування загального характеру розподілу передбачає оцінку його однорідності, і навіть обчислення показників асиметрії та ексцесу. Для симетричних розподілів частоти будь-яких двох варіантів, що стоять в обидві сторони від центру розподілу, рівні між собою. Розраховані для таких розподілів середня, мода та медіана також рівні.

При порівняльному вивченні асиметрії кількох розподілів з різними одиницями виміру обчислюється відносний показник асиметрії ():

де -це середнє зважене; Mo-мода; -Середньоквадратична зважена дисперсія; Me-Медіана.

Його величина може бути позитивною та негативною. У першому випадку йдеться про правосторонню асиметрію, а в другому - про лівосторонню.

При правосторонній асиметрії Mo>Me>x. Найбільш широко (як показник асиметрії) застосовується відношення центрального моменту третього порядку до середнього відхилення даного ряду в кубі:

де-Центральний момент третього порядку; -Середнє квадратичне відхилення в кубі.

Застосування цього показника дає можливість визначити як величину асиметрії, а й перевірити її наявність у генеральній сукупності. Вважають, що асиметрія вище 0,5 (незалежно від знака) вважається значною; якщо вона менша за 0,25, то незначною.

Оцінка суттєвості проводиться на основі середньої квадратичної помилки, коефіцієнта асиметрії (), яка залежить від числа спостережень (n) та розраховується за формулою:

де n-число спостережень.

Що стосується асиметрія істотна і розподіл ознаки у генеральній сукупності несиметрично. В іншому випадку асиметрія несуттєва і її наявність може бути викликана випадковими обставинами.

Розрахунок для таблиці 3.2Угруповання населення за середньомісячною заробітною платою, руб.

Лівостороння, значна асиметрія.

Розрахунок для таблиці 3.4Угруповання магазинів по роздрібному товарообігу, млн. руб.

1. Визначимо асиметрії за формулою (7.5):

Правостороння, значна асиметрія.

Розрахунок для таблиці 3.6Угруповання транспортних організацій з вантажообігу транспорту загального користування (млн.т.км)

1. Визначимо асиметрії за формулою (7.5):

Правостороння, незначна асиметрія.

РОЗРАХУНОК ЕКСЦЕСУ РОЗПОДІЛУ

Для симетричних розподілів може бути розрахований показник ексцесу ():

де – центральний момент четвертого порядку; - Середньо квадратичне відхилення в четвертому ступені.

Розрахунок для таблиці 3.2Угруповання населення за середньомісячною заробітною платою, руб.

Розрахунок для таблиці 3.4Угруповання магазинів по роздрібному товарообігу, млн. руб.

Розрахуємо показник ексцесу за формулою (7.7)

Гостровершинний розподіл.

Розрахунок для таблиці 3.6Угруповання транспортних організацій з вантажообігу транспорту загального користування (млн.т.км)

Розрахуємо показник ексцесу за формулою (7.7)

Плосковершинний розподіл.

ОЦІНКА ОДНОРІДНОСТІ СУКУПНОСТІ

Оцінка однорідності таблиці 3.2Угруповання населення за середньомісячною заробітною платою, руб.

Необхідно відзначити, що хоча показники асиметрії та ексцесу характеризують безпосередньо лише форму розподілу ознаки в межах досліджуваної сукупності, проте їх визначення має не тільки описове значення. Часто асиметрія та ексцес дають певні вказівки для подальшого дослідження соціально – економічних явищ. Отриманий результат свідчить про наявність значної за величиною та негативної за своїм характером асиметрії, слід зазначити, що асиметрія є лівосторонньою. Крім того сукупність має плосковершинний розподіл.

Оцінка однорідності таблиці 3.4Угруповання магазинів по роздрібному товарообігу, млн. руб.

Отриманий результат свідчить про наявність значної за величиною та позитивної за своїм характером асиметрії, слід зауважити, що асиметрія є правосторонньою. А також сукупність має гостро-вершинний розподіл.

Оцінка однорідності таблиці 3.6Угруповання транспортних організацій з вантажообігу транспорту загального користування (млн.т.км)

Отриманий результат свідчить про наявність незначної за величиною та позитивної за своїм характером асиметрії, слід зауважити, що асиметрія є правосторонньою. Крім того, сукупність має плосковершинний розподіл.

Для характеристики різних властивостей випадкових величин використовуються початкові та центральні моменти.

Початковим моментомk-го порядкувипадкової величини Х називається математичне очікування k-го ступеня цієї величини:

α К = М.

Для дискретної випадкової величини

Ц

Х = Х - М [Х]

Умовимося відрізняти центровану с.в. 0 зверху.

Центральним моментомS-го порядкуназивається математичне очікування S-го ступеня центрованої випадкової величини

 S = M [(X – m x) S ].

Для дискретної випадкової величини

 S = (xi – m x) S pi .

Для безперервної випадкової величини

.

Властивості моментів випадкових величин

початковий момент першого порядку дорівнює математичному очікуванню (за визначенням):

α 1 = М = m x.

центральний момент першого порядку завжди дорівнює нулю (доведемо на прикладі дискретної с. в.):

 1 = M [(X – m x) 1 ] = (xi – m x) pi = x i p i – m x p i = m x -m x p i = m x -m x = 0.

Центральний момент другого порядку характеризує розкид випадкової величини навколо її математичного очікування.

Центральний момент другого порядку називається дисперсієюс. в. і позначається D[X] або Dx

Дисперсія має розмірність квадрата випадкової величини.

Середнє квадратичне відхиленняσ х = √D x.

σ х – як і D x характеризує розкид випадкової величини навколо її математичного очікування але має розмірність випадкової величини.

другий початковий момент α 2 характеризує ступінь розкиду випадкової величини навколо її математичного очікування, а також усунення випадкової величини на числовій осі

Зв'язок першого та другого початкових моментів з дисперсією (на прикладі безперервної с. в.):

Третій центральний момент характеризує ступінь розкиду випадкової величини навколо математичного очікування, і навіть ступінь асиметрії розподілу випадкової величини.

f(x ср) > f(-x ср)

Для симетричних законів розподілу m3 = 0.

Для характеристики лише ступеня асиметрії використовується так званий коефіцієнт асиметрії

Для симетричного закону розподілу Sk = 0

четвертий центральний момент характеризує ступінь розкиду випадкової величини навколо математичного очікування, а також ступінь гострості закону розподілу.

Математичне очікування. Математичним очікуваннямдискретної випадкової величини Х, що приймає кінцеве число значень хiз ймовірностями рi, називається сума:

Математичним очікуваннямбезперервної випадкової величини Хназивається інтеграл від добутку її значень хна щільність розподілу ймовірностей f(x):

(6б)

Невласний інтеграл (6 б) передбачається абсолютно схожим (інакше говорять, що математичне очікування М(Х) не існує). Математичне очікування характеризує середнє значеннявипадкової величини Х. Його розмірність збігається із розмірністю випадкової величини.

Властивості математичного очікування:

Дисперсія. Дисперсієювипадкової величини Хназивається число:

Дисперсія є характеристикою розсіюваннязначень випадкової величини Хщодо її середнього значення М(Х). Розмірність дисперсії дорівнює розмірності випадкової величини у квадраті. Виходячи з визначень дисперсії (8) та математичного очікування (5) для дискретної випадкової величини та (6) для безперервної випадкової величини отримаємо аналогічні вирази для дисперсії:

(9)

Тут m = М(Х).

Властивості дисперсії:

Середнє квадратичне відхилення:

(11)

Так як розмірність середнього квадратичного відхилення та ж, що й у випадкової величини, воно частіше, ніж дисперсія, використовується як міра розсіювання.

Моменти розподілу. Поняття математичного очікування та дисперсії є окремими випадками більш загального поняття для числових характеристик випадкових величин. моментів розподілу. Моменти розподілу випадкової величини вводяться як математичні очікування деяких найпростіших функцій випадкової величини. Так, моментом порядку kщодо точки х 0 називається математичне очікування М(Х–х 0 )k. Моменти щодо початку координат х= 0 називаються початковими моментамита позначаються:

(12)

Початковий момент першого порядку є центр розподілу випадкової величини, що розглядається:

(13)

Моменти щодо центру розподілу х= mназиваються центральними моментамита позначаються:

(14)

З (7) слід, що центральний момент першого порядку завжди дорівнює нулю:

Центральні моменти не залежать від початку відліку значень випадкової величини, тому що при зрушенні на постійне значення Зїї центр розподілу зрушується на те саме значення З, а відхилення від центру не змінюється: Х – m = (Х – З) – (m – З).
Тепер очевидно, що дисперсія– це центральний момент другого порядку:

Асиметрія. Центральний момент третього порядку:

(17)

служить для оцінки асиметрії розподілу. Якщо розподіл симетрично щодо точки х= m, то центральний момент третього порядку дорівнюватиме нулю (як і всі центральні моменти непарних порядків). Тому, якщо центральний момент третього порядку відмінний від нуля, то розподіл не може бути симетричним. Величину асиметрії оцінюють за допомогою безрозмірного коефіцієнта асиметрії:

(18)

Знак коефіцієнта асиметрії (18) свідчить про правосторонню чи лівосторонню асиметрію (рис. 2).

Рис. 2. Види асиметрії розподілів.

Ексцес. Центральний момент четвертого порядку:

(19)

служить для оцінки так званого ексцеса, Що визначає ступінь крутості (гостровершинності) кривої розподілу поблизу центру розподілу по відношенню до кривої нормального розподілу. Так як для нормального розподілу, то як ексцес приймається величина:

(20)

На рис. 3 наведено приклади кривих розподілу з різними значеннями ексцесу. Для нормального розподілу Е= 0. Криві, більш гостроверхі, ніж нормальна, мають позитивний ексцес, більш плосковершинні - негативний.

Рис. 3. Криві розподіли з різним ступенем крутості (ексцесом).

p align="justify"> Моменти більш високих порядків в інженерних додатках математичної статистики зазвичай не застосовуються.

Мода дискретнийвипадкової величини – це найбільш ймовірне значення. Модою безперервнийвипадкової величини називається її значення, у якому щільність ймовірності максимальна (рис. 2). Якщо крива розподілу має один максимум, то розподіл називається унімодальним. Якщо крива розподілу має більше одного максимуму, то розподіл називається полімодальним. Іноді зустрічаються розподіли, криві яких мають максимум, а мінімум. Такі розподіли називаються антимодальними. Загалом мода і математичне очікування випадкової величини не збігаються. В окремому випадку, для модального, тобто. що має моду, симетричного розподілу та за умови, що існує математичне очікування, останнє збігається з модою та центром симетрії розподілу.

Медіана випадкової величини Х– це її значення Ме, котрій має місце рівність: тобто. рівноймовірно, що випадкова величина Хвиявиться менше чи більше Ме. Геометрично медіана– це абсцис точки, в якій площа під кривою розподілу ділиться навпіл (рис. 2). У разі симетричного модального розподілу медіана, мода та математичне очікування збігаються.

Очевидно, що початковий вибірковий момент нульового порядку завжди дорівнює 1, а початковий вибірковий момент першого порядку

Визначення 2.19 Центральним моментом k - го порядку вибіркиx 1 , x 2 , …, x nназивається середнє k-тих ступенів відхилень даних вибіркових значень від середнього , тобто

З цього визначення випливає, що центральний вибірковий момент нульового порядку дорівнює 1. При k = 1 виходить, що

а при k= 2 маємо

.

Отже, вибіркова дисперсія є центральним вибірковим моментом другого порядку. Для обчислення центрального вибіркового моменту третього порядку використовуємо стандартні перетворення алгебри:

В результаті вийшло вираз центрального моменту третього порядку через початкові моменти. Таким же способом знаходяться вирази для центральних моментів вищих порядків. Наведемо ряд формул, які на практиці використовуються найчастіше:

При обчисленні початкових та центральних вибіркових моментів використовуються прийоми та таблиці, аналогічні тим, які застосовувалися раніше для обчислення середнього та дисперсії.

Приклад 2.28У ході соціологічного дослідження зібрано відповіді 25 рядових співробітників установи про кількість стресових ситуацій, що виникали на роботі протягом тижня. Дані опитування наведено у наступній таблиці. Знайдемо початкові та центральні вибіркові моменти першого, другого, третього та четвертого порядків.

Таблиця 2.20– Дані дослідження стресових ситуацій

Необхідні проміжні розрахунки фіксуватимемо в наступній таблиці.

Таблиця 2.21 –Обчислення початкових та центральних моментів

Об'єм вибірки n = 25. Обчислимо початкові вибіркові моменти:

; ;

; .

Використовуючи відповідні формули, обчислимо центральні вибіркові моменти:

Округлимо отримані значення центральних моментів:

; ; ;

Початкові та центральні вибіркові моменти є аналогами відповідних понять теоретичних моментів усієї генеральної сукупності значень досліджуваної випадкової величини.

Визначення 2.20 Початковим моментомk-го порядку випадкової величини Х називається число , що дорівнює математичному очікуваннюk-й ступеня величини Х:

.

Для обчислення початкового моменту k-го порядку застосовуються такі формулы:

Очевидно, що математичне очікування випадкової величини є початковим моментом першого порядку, а дисперсія центральним моментом другого порядку. Як теоретичні, і вибіркові моменти використовуються щодо закону розподілу випадкової величини. Усі центральні моменти парних порядків, як дисперсія, характеризують розсіювання значень випадкової величини навколо математичного очікування. Центральні моменти непарних порядків виявляють асиметрію розподілу щодо центру. Зокрема, якщо значення випадкової величини розподілені симетрично щодо математичного очікування, всі її існуючі моменти непарних порядків дорівнюють нулю. З іншого боку, існування відмінного від нуля центрального моменту непарного порядку вказує на наявність асиметрії розподілу.