До чого дорівнює модуль числа а. Протилежні числа

Модуль числа a- Це відстань від початку координат до точки А(a).

Щоб зрозуміти це визначення, підставимо замість змінної aбудь-яке число, наприклад 3 і спробуємо знову прочитати його:

Модуль числа 3 - Це відстань від початку координат до точки А(3 ).

Стає ясно, що модуль це ні що інше, як звичайна відстань. Спробуймо побачити відстань від початку координат до точки А( 3 )

Відстань від початку координат до точки А( 3 ) дорівнює 3 (трьом одиницям або трьом крокам).

Модуль числа позначає двома вертикальними лініями, наприклад:

Модуль числа 3 позначається так: |3|

Модуль числа 4 позначається так: |4|

Модуль числа 5 позначається так: |5|

Ми шукали модуль числа 3 і з'ясували, що він дорівнює 3. Так і записуємо:

Читається як: «Модуль числа три дорівнює три»

Тепер спробуємо відшукати модуль числа -3. Знову ж таки повертаємося до визначення і підставляємо в нього число -3. Тільки замість крапки Aвикористовуємо нову точку B. Крапку Aми вже використали у першому прикладі.

Модулем числа - 3 називають відстань від початку координат до точки B(—3 ).

Відстань від одного пункту до іншого може бути негативним. Тому і модуль будь-якого негативного числа, будучи відстанню, теж не буде негативним. Модуль числа -3 буде число 3. Відстань від початку координат до точки B(-3) дорівнює також трьом одиницям:

Читається як: «Модуль числа мінус три дорівнює три»

Модуль числа 0 дорівнює 0, як точка з координатою 0 збігається з початком координат, тобто. відстань від початку координат до точки O(0)одно нулю:

«Модуль нуля дорівнює нулю»

Робимо висновки:

• Модуль числа може бути негативним;
• Для позитивного числа та нуля модуль дорівнює самому числу, а для негативного – протилежному числу;
• Протилежні числа мають рівні модулі.

Протилежні числа

Числа, що відрізняються лише знаками називають протилежними. Наприклад, числа −2 та 2 є протилежними. Вони відрізняються лише знаками. У числа −2 знак мінуса, а у 2 знак плюса, але ми його не бачимо, тому що плюс, як ми говорили раніше, за традицією не пишуть.

Ще приклади протилежних чисел:

Протилежні числа мають рівні модулі. Наприклад, знайдемо модулі для −2 та 2

На малюнку видно, що відстань від початку координат до точок A(−2)і B(2)однаково дорівнює двом крокам.

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Протилежні числа- Це числа, які відрізняються один від одного тільки знаком. Вираз -Аозначає, що це число протилежнечислу а.

Наприклад, 7 та – 7;
41 і - 41 і т.д.

Число 0 протилежне самому собі!

Тобто для того, щоб показати протилежність чиселв математиці використовують знак « – ».

Приписавши знак « – » перед позитивним числом 5 , ми отримаємо негативне число – 5 .

Приписавши знак « – » перед негативним числом – 5 , ми отримаємо протилежне йому позитивне число 5 , Тобто - (-5) = 5.

– (–а) = а

На координатній прямій точці, у яких протилежні координати, розташовані на однаковій відстані від початку відліку.

AO = OC
BO = OD

Модуль числа

Модуль числа– це відстань (в поодиноких відрізках) від початку відліку до точки, яка зображує це число на координатній прямій.

Точки А(– 4) та В (4) віддалені від початку відліку на 4 одиничні відрізки, а числа – 4 та 4 мають однакові модулі, рівні 4.

Модуль числа позначають | а |

Оскільки модуль – це відстань, а відстань може бути негативним, то модуль числа не може бути негативним числом!!!

Модулем позитивного числа і нуля є те саме число, а модулем негативного числа – протилежне йому число:

| а | = а, якщо а ≥ 0 (якщо а – невід'ємне число)

| а | = - а, якщо а< 0 (если а – отрицательное число)

Висновки

Властивості модуля числа:

1. Модуль числа може бути негативним. Модуль числа завжди або позитивне чи дорівнює 0.

1. Протилежні числа мають рівні модулі.

| - А | = | а | = а

приклад, | - 12 | = | 12 | = 12

Розв'язання рівнянь (приклади)

1. - x = 7
замість -x та 7 напишемо протилежні їм числа, використовуючи знак «–»
–(– x) = – 7
скористаємося правилом, що – (–а) = а отримаємо
x = - 7

2. - x = - 10
–(– x) = –(– 10)
x = 10

3. x = –(– 32)
x = 32

4. | x | = 4
x = 4 або x = - 4
Відповідь: 4; - 4

5. | x | = 0
x = 0
Відповідь: 0

6. | y | = - 8
модуль не може бути негативним числом, а значить, дане рівняння не має рішення
Відповідь: немає коренів

7. | - x | = 12
пригадаємо другу властивість модуля, що| – а| = |а| = а, тоді
| x | = 12
x = 12 або x = - 12
Відповідь: 12; - 12

8. | y | - 2 = 12
подібні рівняння вирішуються як прості рівняння, тільки з урахуванням модуля
| y | = 12 + 2
| y | = 14
y = 14 або y = - 14
Відповідь: 14; - 14

9. 10 - 2 | x | = 4
2| x | = 10 - 4
2| x | = 6
| x | = 6: 2
| x | = 3
x = 3 або x = - 3
Відповідь: 3; - 3

Тобто при вирішенні рівнянь, що містять модуль, ми отримаємо три види відповіді:
два корені (якщо під знаком модуля позитивне число), один корінь (якщо під знаком модуля 0)
немає коренів (якщо під знаком модуля від'ємне число).

Вирішення найпростіших нерівностей, що містять модуль

У 5 класі ми вирішували приклади із найпростішими нерівностями. Лінійні нерівності бувають суворі та нестрогі.
Суворі нерівності– це нерівності зі знаками більше (>) або менше (<).
x > a; x< a;
Нестрогі нерівності– це нерівності зі знаками більше або дорівнює (≥) або менше або дорівнює (≤).
x ≥ a; x ≤ a.

Приклади

1. Знайдіть усі натуральні значення x, при яких є правильною нерівність x< 9

Рішення.
Ця нерівність буде правильною за таких значень x: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8.
Відповідь: х = (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) – натуральні рішення даної нерівності.

Примітка:
Число 0 не є розв'язанням цієї нерівності, тому що 0 не є натуральним числом;
Число 9 не є рішенням цієї нерівності, так як дана нерівність суворе, тобто х строго менше 9 і не може бути рівним 9.

2. азадовольняє нерівність а> 12?

Рішення.
Оскільки нерівність сувора, то число 13 є найменшим натуральним значенням а, яке задовольняє цю нерівність.
Відповідь: 13

3. Яке найменше натуральне значення азадовольняє нерівність а ≥ 12?

Рішення.
Оскільки нерівність несувора, то число 12 є найменшим натуральним значенням а, яке задовольняє цю нерівність.
Відповідь: 12.

4. < x < 9

Рішення.
Нерівність подвійна (читають як «х більше від 2, але менше від 9»), строга, тому 3; 4; 5; 6; 7; 8 – натуральні рішення цієї подвійної нерівності.
Відповідь: х = (3; 4; 5; 6; 7; 8)

5. Знайдіть усі натуральні значення x, при яких є правильною нерівність 2< x ≤ 9.

Рішення.
3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 – натуральні рішення цієї подвійної нерівності.
Відповідь:х = (3; 4; 5; 6; 7; 8; 9)

6. Знайти всі цілі числа, які задовольняють нерівність| x |< 5.

Рішення.
| x |< 5 (читаем как «расстояние от начала отсчёта до точки изображающей х меньше 5»).
Нерівність | x |< 5 эквивалентно (може бути також записано) –5 < x < 5. Неравенство двойное, строгое, поэтому данное неравенство будет правильным при таких значениях x: –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4.
Відповідь:х = (-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4)

7. Знайти всі цілі числа, які задовольняють нерівність| x | ≤ 5.

Рішення.
Нерівність | x | ≤ 5 еквівалентно –5 ≤ x ≤ 5. Нерівність подвійна, не сувора, тому числа –5 і 5 увійдуть у безліч чисел, при яких ця нерівність буде правильною. Таким чином, ця нерівність буде правильною за таких значень x: –5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.
Відповідь: х = (-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5)

8. Знайти всі цілі числа, які задовольняють нерівність | x | > 2 та позначте їх на координатній прямій.

Рішення.
Нерівність | x | > 2 еквівалентно x< – 2 или x >2. Позначимо на координатній прямій точці, координати яких задовольняють даній нерівності

Оскільки нерівність сувора, то числа - 2 і 2 не входять до множини цілих чисел, при яких ця нерівність буде правильною. А на координатній прямій ці точки позначаємо як незафарбовану точку.

Відповідь: х = (…–5; –4; –3; 3; 4; 5…)

9. Знайти всі цілі числа, які задовольняють нерівність | x | ≥ 2 та позначте їх на координатній прямій.

Рішення.
Нерівність | x | ≥ 2 еквівалентно x ≤ – 2 або x ≥ 2. Позначимо на координатній прямій точці, координати яких задовольняють даній нерівності

Оскільки нерівність несувора, то числа - 2 і 2 входять у безліч цілих чисел, при яких ця нерівність буде правильною. А на координатній прямій ці точки позначаємо як зафарбованої точки.

Відповідь: х = (…–5; –4; –3; –2; 2; 3; 4; 5…)

10. Знайти всі цілі числа, які задовольняють нерівність 1< | x | ≤ 3 и обозначте их на координатной прямой.

Рішення.
Розглянемо спочатку ліву частину нерівності. Вона означає, що відстань від початку відліку до точок менше 1. Розглянемо праву частину нерівності: відстань від початку відліку до цих точок менше або дорівнює 3.
Побудуємо ці точки на координатній прямій:

1 і – 1 не входять до множини цілих чисел, які задовольняють нерівності, тому що нерівність сувора.
3 і – 3 входять до множини цілих чисел, які задовольняють нерівності, тому що нерівність не сувора.

Відповідь:х = (-3; -2; 2; 3)

Інструкція

Якщо модуль представлений як безперервної функції, то значення її аргументу то, можливо як позитивним, і негативним: |х| = х, х ≥ 0; |х| = - х, х

z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Легко помітити, що додавання та віднімання комплексних чисел підпорядковується тому ж правилу, що додавання і .

Добуток двох комплексних чисел дорівнює:

z1*z2 = (x1 + iy1) * (x2 + iy2) = x1 * x2 + i * y1 * x2 + i * x1 * y2 + (i ^ 2) * y1 * y2.

Оскільки i^2 = -1, то кінцевий результат дорівнює:

(x1 * x2 - y1 * y2) + i (x1 * y2 + x2 * y1).

Операції зведення у ступінь та вилучення кореня для комплексних чисел визначаються так само, як і для дійсних. Однак у комплексній області будь-якого числа існує рівно n таких чисел b, що b^n = a, тобто n коренів n-ого ступеня.

Зокрема, це означає, що будь-яке рівняння алгебри n-ого ступеня з однією змінною має рівно n комплексних коренів, деякі з яких можуть бути і .

Відео на тему

Джерела:

• Лекція "Комплексні числа" у 2019

Коренем називають значок, що позначає математичну операцію знаходження такого числа, зведення якого в зазначений перед знаком кореня ступінь має дати число, вказане під цим знаком. Часто на вирішення завдань, у яких є коріння, недостатньо лише розрахувати значення. Доводиться здійснювати і додаткові операції, однією з яких є внесення числа, змінної чи виразу під знак кореня.

Інструкція

Визначте показник ступеня кореня. Показником називають ціле число, що вказує ступінь, в який треба звести результат обчислення кореня, щоб отримати підкорене вираз (то число, з якого витягується цей корінь). Показник ступеня кореня як верхнього індексу перед значком кореня. Якщо це не вказано, це квадратний корінь, ступінь якого дорівнює двійці. Наприклад, показник кореня √3 двом, показник ³√3 дорівнює трьом, показник кореня ⁴√3 дорівнює чотирьом і т.д.

Зведіть число, яке потрібно внести під знак кореня, до рівня, що дорівнює показнику цього кореня, визначеного вами на попередньому кроці. Наприклад, якщо потрібно внести число 5 під знак кореня ⁴√3, то показником ступеня кореня є четвірка і вам треба результат зведення 5 четвертий ступінь 5⁴=625. Зробити це можна будь-яким зручним вам способом - в розумі, за допомогою калькулятора або відповідних сервісів, розміщених.

Внесіть отримане на попередньому кроці значення під знак кореня як множник підкореного виразу. Для використаного в попередньому кроці прикладу з внесенням під корінь ⁴√3 5 (5*⁴√3), цю дію можна зробити так: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Спростіть отриманий підкорений вираз, якщо це можливо. Наприклад з попередніх кроків це , що треба просто перемножити числа, що стоять під знаком кореня: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. На цьому операцію внесення числа під корінь буде завершено.

Якщо в задачі присутні невідомі змінні, описані вище кроки можна зробити в загальному вигляді. Наприклад, якщо потрібно внести під корінь четвертого ступеня невідому змінну x, а підкорене вираз дорівнює 5/x³, то вся послідовність дій може бути записана так: x*⁴√(5/x³)=⁴√(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).

Джерела:

• як називається знак кореня

Дійсних чисел недостатньо для того, щоб вирішити будь-яке квадратне рівняння. Найпростіше з квадратних рівнянь, що не мають коріння серед дійсних чисел, - це x^2+1=0. При його вирішенні виходить, що x=±sqrt(-1), а згідно із законами елементарної алгебри, витягти корінь парного ступеня з негативного числане можна.

Модуль числа вводиться нове поняття математики. Докладно розберемо, що таке модуль числа і як з ним працювати?

Розглянемо приклад:

Ми вийшли з дому до магазину. Пройшли 300 м, математично цей вираз можна записати як +300, значення числа 300 від знака “+” не зміниться. Відстань чи модуль числа в математиці це і теж можна записати так: |300|=300. Знак модуля числа позначається двома вертикальними лініями.

А потім у зворотному напрямку пройшли 200м. Математично шлях назад ми можемо записати як -200. Але ми не говоримо так "ми пройшли мінус двісті метрів", хоча ми повернулися, тому що відстань як величина залишається позитивною. Для цього в математиці запровадили поняття модуля. Записати відстань чи модуль числа -200 можна так: |-200|=200.

Властивості модуля.

Визначення:
Модуль числа чи абсолютна величина числа- це відстань від відправної точки до точки призначення.

Модуль цілого числа не дорівнює нулю, завжди позитивне.

Записується модуль так:

1. Модуль позитивного числа дорівнює самому числу.
| a|=a

2. Модуль від'ємного числа дорівнює протилежному числу.
|- a|=a

3. Модуль нуля, що дорівнює нулю.
|0|=0

4. Модулі протилежних чисел рівні.
| a|=|-a|=a

Питання на тему:
Що таке модуль числа?
Відповідь: модуль — це відстань від точки відправлення до точки призначення.

Якщо перед цілим числом поставити знак "+", що станеться?
Відповідь: число не змінить свого сенсу, наприклад, 4=+4.

Якщо перед цілим числом встановити знак “-” , що станеться?
Відповідь: число зміниться на , наприклад, 4 та -4.

У яких чисел однаковий модуль?
Відповідь: у позитивних чисел та нуля модуль буде той самий. Наприклад, 15 = | 15 |.

Які числа модуль – протилежне число?
Відповідь: у негативних чисел, модуль дорівнюватиме протилежному числу. Наприклад, |-6|=6.

Приклад №1:
Знайдіть модуль чисел: а) 0 б) 5 в) -7?

Рішення:
а) |0|=0
б) |5|=5
в) | -7 | = 7

Приклад №2:
Чи існують два різні числа, модулі яких рівні?

Рішення:
|10|=10
|-10|=10

Модулі протилежних чисел рівні.

Приклад №3:
Які два протилежні числа мають модуль 9?

Рішення:
|9|=9
|-9|=9

Відповідь: 9 та -9.

Приклад №4:
Виконайте дії: а) |+5|+|-3| б) |-3|+|-8| в) | +4 | - | +1 |

Рішення:
а) |+5|+|-3|=5+3=8
б) |-3|+|-8|=3+8=11
в)|+4|-|+1|=4-1=3

Приклад №5:
Знайдіть: а) модуль числа 2; б) модуль числа 6; в) модуль числа 8; г) модуль числа 1; д) модуль числа 0.
Рішення:

а) модуль числа 2 позначається як | 2 | або |+2| це одне і теж.
|2|=2

б) модуль числа 6 позначається як | 6 | або |+6| це одне і теж.
|6|=6

в) модуль числа 8 позначається як | 8 | або |+8| це одне і теж.
|8|=8

г) модуль числа 1 позначається як | 1 | або |+1| це одне і теж.
|1|=1

буд) модуль числа 0 позначається як |0|, |+0| чи |-0| це одне і теж.
|0|=0