Чому дорівнює сума 3 кутів трикутника? Сума кутів трикутника

Ця теорема сформульована й у підручнику Атанасяна Л.С. , та у підручнику Погорєлова А.В. . Докази цієї теореми у цих підручниках суттєво не відрізняються, а тому наведемо її доказ, наприклад, із підручника Погорєлова А.В.

Теорема: Сума кутів трикутника дорівнює 180 °

Доведення. Нехай АВС – цей трикутник. Проведемо через вершину В пряму, паралельну до прямої АС. Відзначимо на ній точку D так, щоб точки А та D лежали по різні боки від прямої ВС (рис.6).

Кути DВС та АСВ рівні як внутрішні навхрест лежачі, утворені січною ВС з паралельними прямими АС та ВD. Тому сума кутів трикутника при вершинах і С дорівнює куту АВD. А сума всіх трьох кутів трикутника дорівнює сумі кутів АВD та ВАС. Так як ці кути внутрішні односторонні для паралельних АС і ВD і січній АВ, їх сума дорівнює 180°. Теорему доведено.

Ідея цього докази полягає у проведення паралельної лінії та позначення рівності необхідних кутів. Реконструюємо ідею такої додаткової побудови, довівши цю теорему з використанням поняття про уявний експеримент. Доказ теореми з використанням уявного експерименту. Отже, предмет думки нашого уявного експерименту – кути трикутника. Помістимо його подумки у такі умови, у яких його сутність може розкритися з особливою определенностью(1этап).

Такими умовами будуть таке розташування кутів трикутника, при якому всі три вершини будуть поєднані в одній точці. Таке поєднання можливе, якщо допустити можливість "переміщення" кутів, за допомогою руху сторін трикутника не змінюючи при цьому кут нахилу (рис.1). Такі переміщення насправді є наступні уявні трансформації (2 етап).

Виробляючи позначення кутів і сторін трикутника (рис.2), кутів одержуваних при «переміщенні», тим самим подумки формуємо те середовище, ту систему зв'язків, у якому поміщаємо наш предмет думки (3 етап).

Лінія АВ «переміщаючись» лінією ВС і змінюючи до неї кута нахилу, переводить кут 1 в кут 5, а «переміщаючись» лінією АС, переводить кут 2 в кут 4. Оскільки за такому «переміщенні» лінія АВ не змінює кута нахилу до ліній АС і ВС, то очевидний висновок: промені а і а1 паралельні АВ і переходять один в одного, а промені в і в1 є продовженням відповідно сторін ВС і АС. Так як кут 3 і кут між променями і в1 - вертикальні, то вони рівні. Сума цих кутів дорівнює розгорнутому куту аа1 - отже 180°.

ВИСНОВОК

У дипломній роботі проведено «сконструйовані» докази деяких шкільних геометричних теорем, з використанням структури уявного експерименту, що було підтвердженням сформульованої гіпотези.

Докази, що викладаються, спиралися на такі наочно-чуттєві ідеалізації: «стиснення», «розтягування», «ковзання», які дозволили особливим чином трансформувати вихідний геометричний об'єкт і виділити його суттєві характеристики, що характерно для уявного експерименту. При цьому уявний експеримент виступає в ролі певного «креативного інструменту», що сприяє появі геометричного знання (наприклад, про середню лінію трапеції або про кути трикутника). Такі ідеалізації дозволяють схопити загалом ідею доказу, ідею проведення «додаткової побудови», що дозволяє говорити про можливість усвідомленішого розуміння школярами процесу формально-дедуктивного доказу геометричних теорем.

Думковий експеримент є одним із базових методів отримання та відкриття геометричних теорем. Необхідно розробити методику передачі методу учневі. Залишається відкритим питання про прийнятний для «прийняття» методу вік учня, про «побічні ефекти» доказів, що викладаються таким чином.

Ці питання потребують додаткового вивчення. Але в будь-якому випадку, безсумнівно, одне: уявний експеримент розвиває у школярів теоретичне мислення, є його базою і, тому, здатності до уявного експериментування треба розвивати.

Попередні відомості

Спочатку розглянемо безпосередньо поняття трикутника.

Визначення 1

Трикутником називатимемо геометричну фігуру, яка складена з трьох точок, з'єднаних між собою відрізками (рис. 1).

Визначення 2

Крапки в рамках визначення 1 називатимемо вершинами трикутника.

Визначення 3

Відрізки у межах визначення 1 називатимемо сторонами трикутника.

Очевидно, що будь-який трикутник матиме 3 вершини, а також три сторони.

Теорема про суму кутів у трикутнику

Введемо та доведемо одну з основних теорем, пов'язану з трикутників, а саме теорему про суму кутів у трикутнику.

Теорема 1

Сума кутів у будь-якому довільному трикутнику дорівнює $180^\circ$.

Доведення.

Розглянемо трикутник $EGF$. Доведемо, що сума кутів у цьому трикутнику дорівнює $180^\circ$. Зробимо додаткову побудову: проведемо пряму $XY||EG$ (рис. 2)

Так як прямі $XY$ і $EG$ паралельні, то $∠E=∠XFE$ як навхрест, що лежать при січній $FE$, а $∠G=∠YFG$ як навхрест, що лежать при січній $FG$

Кут $XFY$ буде розгорнутим, отже, дорівнює $180^\circ$.

$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$

Отже

$∠E+∠F+∠G=180^\circ$

Теорему доведено.

Теорема про зовнішній кут трикутника

Ще однією теоремою про суму кутів для трикутника можна вважати теорему про зовнішній кут. Спочатку введемо це поняття.

Визначення 4

Зовнішнім кутом трикутника називатимемо такий кут, який буде суміжним з будь-яким кутом трикутника (рис. 3).

Розглянемо тепер безпосередньо теорему.

Теорема 2

Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох кутів трикутника, які є суміжним йому.

Доведення.

Розглянемо довільний трикутник $EFG$. Нехай має зовнішній кут трикутника $FGQ$ (рис. 3).

По теоремі 1 матимемо, що $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, отже,

$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$

Оскільки кут $FGQ$ зовнішній, він зміжний з кутом $∠G$, тоді

$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$

Теорему доведено.

Приклад завдань

Приклад 1

Знайти усі кути трикутника, якщо він є рівностороннім.

Так як у рівностороннього трикутника всі сторони рівні, то матимемо, що всі кути в ньому також рівні між собою. Визначимо їх градусні заходи через $α$.

Тоді, за теоремою 1 будемо отримувати

$α+α+α=180^\circ$

Відповідь: всі кути дорівнюють $60^\circ$.

Приклад 2

Знайти всі кути рівнобедреного трикутника, якщо його кут дорівнює $100^\circ$.

Введемо такі позначення кутів у рівнобедреному трикутнику:

Оскільки нам не дано за умови, який саме кут дорівнює $100^\circ$, то можливі два випадки:

Кут, що дорівнює $100^\circ$ - кут при основі трикутника.

По теоремі про кути при основі рівнобедреного трикутника отримаємо

$∠2=∠3=100^\circ$

Але тоді їх сума буде більше, ніж $180^\circ$, що суперечить умові теореми 1. Отже, цей випадок немає місця.

Кут, що дорівнює $100^\circ$ - кут між рівними сторонами, тобто

1) Сума кутів трикутника дорівнює 180 °.

Доведення

Нехай ABC" - довільний трикутник. Проведемо через вершину B пряму, паралельну до прямої AC (така пряма називається прямою Евкліда) . Зазначимо на ній точку D так, щоб точки A і D лежали по різні сторони прямої BC. Кути DBC і ACB рівні як внутрішні навхрест лежачі, утворені січною BC з паралельними прямими AC і BD.Тому сума кутів трикутника при вершинах B і С дорівнює куту ABD.Сума всіх трьох кутів трикутника дорівнює сумі кутів ABD і BAC. січній AB, їх сума дорівнює 180. Теорема доведена.
2) Зовнішнім кутом трикутника при цій вершині називається кут, суміжний з кутом трикутника при цій вершині.

Теорема: Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох кутів трикутника, не суміжних з ним

Доведення. Нехай ABC – це трикутник. За теоремою про суму кутів у трикутнику
∠ ABС + ∠ BCA + ∠ CAB = 180 º.
звідси випливає
∠ ABС + ∠ CAB = 180 º - ∠ BCA = ∠ BCD
Теорему доведено.

З теореми випливає:
Зовнішній кут трикутника більший за будь-який кут трикутника, не суміжного з ним.
3) Сума кутів трикутника = 180 градусів. Якщо один із кутів прямий (90 градусів) на два інших припадає теж 90. значить, кожен з них - менше 90 тобто вони - гострі. якщо один із кутів - тупий, то на два інших припадає менше 90 тобто вони явно гострі.
4) тупокутний – більше 90 градусів
гострокутний - менше 90 градусів
5) а. Трикутник, у якого один із кутів дорівнює 90 градусів.
б. Катети та гіпотенуза
6) 6 °. У кожному трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут і назад: проти більшого кута лежить більша сторона. Будь-який відрізок має одну і лише одну середину.
7) По теоремі Піфагора: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, отже гіпотенуза більша за кожного з катетів
8) --- те саме, що і 7
9) сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів. а якби кожна сторона трикутника була б більшою за суму двох інших сторонон, то сума кутів була б більшою за 180, що неможливо. отже - кожна сторона трикутника менша за суму двох інших сторін.
10) Сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 градусів.
Оскільки цей трикутник прямокутний, то один з кутів у нього прямий, тобто дорівнює 90 градусів.
Отже, сума двох інших гострих кутів дорівнює 180-90 = 90 градусів.
11) 1. Розглянемо прямокутний трикутник ABC у якому кут А - прямий, кут В = 30 градусам а кут С = 60. Прикладемо до трикутника АВС рівний йому трикутник АВD. Отримаємо трикутні BCD у якому кут B = куту D = 60 градусів, отже DC = BC. Але з побудови АС 1/2 ВС, що й потрібно довести.2. Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета дорівнює 30 градусів. Доведемо це. Розглянемо прямокутний трикутник АВС, у якого катет АС дорівнює половині гіпотенузи АС. Прикладемо до трикутника АВС, що дорівнює йому трикутник ABD. Отримає рівносторонній трикутник BCD. Кути рівностороннього трикутника рівні один одному (т.к. проти рівних стронів лежать рівні кути), тому кожен з них = 60 градусів. Але кут DBC = 2 кута ABC, отже кут АВС = 30 градусів, що потрібно було довести.

Навздогін до вчорашнього:

Граємо з мозаїкою під казку з геометрії:

Жили-були трикутники. Такі схожі, що це просто копія один одного.
Стали вони якось поряд на пряму лінію. А оскільки були вони всі одного зросту -
то й верхівки їх були на одному рівні, під лінійку:



Трикутники любили перекидатися і стояти на голові. Вилізли у верхній ряд і стали на куточок, мов акробати.
А ми вже знаємо – коли вони стоять верхівками рівно в лінію,
то й підошви у них теж по лінійці - бо якщо хтось одного зросту, то він і верх ногами одного зросту!



У всьому вони були однакові - і висота однакова, і підошви один в один,
і гірки по сторонах - одна крутіша, інша більш полога - по довжині однакові
і нахил у них однаковий. Ну просто близнюки! (тільки в різних одягах, у кожного свій шматочок пазла).



- Де трикутники мають однакові сторони? А де куточки однакові?

Постояли трикутники на голові, постояли та й вирішили зісковзнути й лягти в нижньому ряду.
Заковзнули і з'їхали як із гірки; а гірки в них однакові!
Ось і помістилися саме між нижніми трикутниками, без зазорів і ніхто нікого не потіснив.



Озирнулися трикутники та помітили цікаву особливість.
Скрізь, де їхні кути разом зійшлися – неодмінно зустрілися всі три кути:
найбільший - "кут-голова", найгостріший кут і третій, середній за величиною кут.
Вони навіть стрічечки кольорові пов'язали, щоб відразу було помітно, де який.

І вийшло, що три кути трикутника, якщо їх поєднати -
складають один великий кут, "кут нарозора" - як обкладинка розкритої книги,

______________________про ____________________

він так і називається: розгорнутий кут.

У будь-якого трикутника - ніби паспорт: три кути разом дорівнюють розгорнутому кутку.
Постукає до вас хтось: - тук-тук, я трикутник, пустіть мене переночувати!
А ви йому - Пред'яви суму кутів у розгорнутому вигляді!
І відразу зрозуміло - чи це справжній трикутник чи самозванець.
Не пройшов перевірку - Розвертайся на сто вісімдесят градусів і йди геть!



Коли кажуть "повернути на 180° - це означає розвернутися задом наперед і
йти у зворотному напрямку.

Те ж саме у більш звичних виразах, без "жили були":



Зробимо паралельне перенесення трикутника АВС вздовж осі ОХ
на вектор АВрівний довжині основи АВ.
Пряма, DF, що проходить через вершини С і С 1 трикутників
паралельна осі ОХ, тому що перпендикулярні осі ОХ
відрізки h та h 1 (висоти рівних трикутників) рівні.
Таким чином основа трикутника А 2 В 2 С 2 паралельно основі АВ
і дорівнює йому по довжині (т.к. вершина 1 зміщена щодо на величину АВ).
Трикутники А 2 В 2 С 2 і АВС дорівнюють по трьох сторонах.
А отже кути ∠А 1 ∠В ∠С 2 , що утворюють розгорнутий кут, дорівнюють кутам трикутника АВС.
=> Сума кутів трикутника дорівнює 180 °

З рухами - "трансляціями" так званими доказ коротший і наочний,
на шматочках мозаїки навіть малюкові може бути зрозумілим.

Зате традиційне шкільне:



що спирається на рівність внутрішніх навхрест-лежачих кутів, що відсікаються на паралельних прямих



цінно тим, що дає уявлення про те - чому це так,
чомусума кутів трикутника дорівнює розгорнутому куту?

Тому що інакше паралельні прямі не мали б звичних нашого світу властивостей.

Теореми працюють в обидві сторони. З аксіоми про паралельні прямі випливають
рівність навхрест лежачих і вертикальних кутів, та якщо з них - сума кутів трикутника.

Але вірно і зворотне: поки кути трикутника становлять 180 ° - існують паралельні прямі
(Такі, що через точку не лежить на прямій можна провести єдину пряму | | даної).
Якщо одного разу у світі з'явиться трикутник, у якого сума кутів не дорівнює розгорнутому куту.
то паралельні перестануть бути паралельними, весь світ скривиться і перекособочується.

Якщо смуги з орнаментом із трикутників розташувати один над одним -
можна покрити все поле візерунком, що повторюється, ніби підлога плиткою:




можна обводити на такій сітці різні фігури - шестикутники, ромби,
зіркові багатокутники і отримувати різні паркети






Замощення площини паркетами - не тільки цікава гра, а й актуальне математичне завдання:



________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

Оскільки кожен чотирикутник - прямокутник, квадрат, ромб та ін.,
може бути складений з двох трикутників,
відповідно сума кутів чотирикутника: 180 ° + 180 ° = 360 °


Однакові рівнобедрені трикутники складаються у квадрати різними способами.
Маленький квадратик із 2-х частин. Середній із 4-х. І найбільший із 8-ми.
Скільки на кресленні фігур, що складаються з 6 трикутників?