Чому дорівнює сума всіх кутів багатокутника? Теорема про суму кутів багатокутника
Нікітін Іван
Дослідницька робота для участі у науково-практичній конференції.
Завантажити:
Попередній перегляд:
Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
Дивовижні властивості води виконав: Нікітін Іван МБОУ Гімназія №4 3«А» клас
Мета роботи Дізнатися, які властивості має вода і як використовує їх людина
План роботи Вивчити інформацію про воду, знайти цікаві факти у книгах, Інтернеті. Провести досліди, щоб вивчити властивості води. З'ясувати, де людина використовує розглянуті властивості води.
Цитати про воду «Вода, ти не маєш ні смаку, ні кольору, ні запаху, тебе неможливо описати, тобою насолоджуються, не знаючи, що ти таке. Ти не просто потрібна для життя, ти і є життя.» Антуан де Сент-Екзюпері «Хоча у світі немає предмета, який був би слабшим і ніжнішим за воду, але вона може зруйнувати найтвердіший предмет.» Лао-Цзи «Вода – краса всієї природи. Вода жива, вона біжить або хвилюється вітром, вона рухається і дає життя і рух всьому навколишньому. С.А. Аксаков
Без води людина може прожити всього шість днів Організм дорослого складається з води на 70%, дитину - на 80 % За своє життя людина випиває приблизно 35 тонн води А 33 літри води можна закип'ятити енергією людського тіла, що виділяється за добу Забруднені підземні води очищаються протягом кількох тисячоліть
Дивно! Найбільша крапля дощу була розміром 9,4 сантиметри! Такі краплі падали США. Найдовший дощ безперервно йшов в Індії майже два роки! Найбільша градина важила один кілограм та два грами! Впала вона на Бангладеш. Товщина хмари в небі може бути більшою за гору Еверест, її товщина може досягати шістнадцять кілометрів! Айсберг може танути цілих десять років.
РОСА ВОДОЄМО Хмари СНІГ ТУМАН ПАР ІНІЙ ЯКОЇ МИ ЗНАЄМО ВОДУ
Властивості води
Для того, щоб дізнатися ще про властивості води, я провів ряд дослідів. Чи втопиться голка? (поверхневий натяг) Зірка із сірників Живі квіти Солона вода замерзає? Вода під час замерзання розширюється
Чи втопиться голка? (поверхневий натяг) На поверхню води поклали шматочок серветки з голкою. За допомогою іншої голки опустили серветку на дно чашки. Поверхневий натяг утримує голку на воді
Зірка зі сірників (капілярне явище) Беремо 5 сірників, ламаємо їх навпіл і згинаємо під кутом Складаємо їх кутами до центру Ось така вийшла фігура Капаємо в центр кілька крапель води Через деякий час сірники розпрямляються, утворюючи зірку. , Що волокна дерева вбирають вологу. Вона повзе все далі капілярами. Дерево набухає, а його вцілілі волокна "товстіють", і вже не можуть сильно згинатися і починають розправлятися.
Живі квіти Вирізаємо з кольорового паперу квіти Скручуємо пелюстки до центру і опускаємо їх у чашу з водою Через деякий час пелюстки почнуть розпрямлятися. Вони нагадують дуже тонкі трубочки. Коли папір намокає, трубочки наповнюються водою, папір розбухає. На згині папір теж набухає і пелюстки розпрямляються. (Капілярне явище)
Солона вода замерзає? Взяли дві однакові склянки з водою У склянку під літерою «Б» поклали велику кількість солі і поставили на ніч у морозилку Простоявши в морозилці всю ніч, солона вода в склянці «Б» так і не замерзла, але в склянці утворилися кристали льоду. Прісна вода у склянці «А» перетворилася на лід.
Вода під час замерзання розширюється У стаканчик налили звичайну водопровідну воду… … і прибрали на ніч у морозильну камеру Наступного дня ми дістали стаканчик із замороженою водою. Видно, що крига піднялася горбком. У воді молекули рухаються хаотично, тому вона набуває форми судини, в яку налита. Лід має чітку кристалічну структуру, при цьому відстані між молекулами льоду більше, ніж між молекулами води, тому лід займає більше місця, ніж вода, тобто розширюється.
Які властивості води використовують у побуті У побуті використовуються всі розглянуті мною властивості води
Які властивості води використовуються в промисловості Капілярність Не має форми Розчинник Випаровується Плинність Без кольору Без запаху Без смаку
Які властивості води використовуються у землеробстві та тваринництві Плинність Випаровування Капілярність Розчинник Поверхневий натяг Без кольору Без смаку Без запаху Не має певної форми Прозора
Які властивості води використовуються в судноплавстві та на електростанціях Плинність Випаровування Поверхневий натяг Без кольору, смаку та запаху
Відпочинок Без кольору, смаку та запаху Плинність Поверхневий натяг
Вода - найбільше багатство людини Земля на 70% вкрита водою і в природі постійно підтримується природний кругообіг води: вона випаровується з поверхні водойм, а потім випадає у вигляді опадів: дощу або снігу. Але все одно деякі райони земної кулі постійно страждають від нестачі прісної води. Саме тому варто пам'ятати, що вода – найбільше багатство, дароване нам природою, і кожна її крапля – дорогоцінна, адже життя людини неможливе без води.
Виконуючи роботу, я багато цікавого дізнався про воду. Але залишилося ще багато запитань: Що таке жива та мертва вода? Яку воду називають твердою, а яку м'якою? Вода може давати життя, може і руйнувати Як лікують водою?
Клас: 9
Мета: Вивести формулу для знаходження суми кутів опуклого багатокутника;
- дослідити питання сумі зовнішніх кутів багатокутника, взятих по одному при кожній вершині;
- формувати позитивну мотивацію до пізнавальної діяльності;
- розвивати логічне мислення;
- розвивати увагу, спостережливість, уміння аналізувати креслення;
- формувати вміння застосовувати отримані знання на вирішення завдань;
- розвивати комунікативну культуру учнів.
Хід уроку
Великий російський вчений, гордість Землі Руської,
Михайло Васильович Ломоносов, сказав: “Неусипна праця перешкоди долає”. Я сподіваюся, що сьогодні на уроці наша з вами праця допоможе нам подолати всі перешкоди.
1. Актуалізація опорних знань. (Фронтальне опитування.)
презентація. (Слайди 2–4)
– Сформулюйте визначення багатокутника, назвіть основні елементи.
– Визначення опуклого багатокутника.
– Наведіть приклади відомих вам чотирикутників, які опуклі багатокутники.
- Чи можна вважати трикутник опуклим багатокутником?
- Що таке зовнішній кут опуклого багатокутника?
2. Постановка проблеми (вихід тему уроку).
Усна фронтальна робота.
Знайдіть суму кутів даних багатокутників (Слайди 5–6)
- Трикутника; прямокутника:
- Трапеції; довільного семикутника.
У разі утруднення вчитель ставить запитання:
– Сформулюйте визначення трапеції.
– Назвіть основи трапеції.
- Що можна сказати про пару кутів А і Д, якою властивістю вони мають?
- Чи можна ще назвати на кресленні пару внутрішніх односторонніх уловів?
- Чи змогли ви знайти суму кутів семикутника? Яке виникає запитання? (Чи існує формула для знаходження суми кутів довільного багатокутника?)
Отже, ясно, що наших знань на сьогодні не достатньо для вирішення цього завдання.
Як можна сформулювати тему нашого уроку? - Сума кутівопуклого багатокутника.
3. Рішення проблеми. Щоб відповісти на поставлене запитання, проведемо невелике дослідження.
Ми вже знаємо теорему про суму кутів трикутника. Чи можемо ми її якимось чином застосувати?
– Що для цього треба зробити? (Розбити багатокутник на трикутники.)
– А як багатокутник можна розбити на трикутники? Подумайте над цим, обговоріть та запропонуйте свої найвдаліші варіанти.
Йде робота у групах, кожна група працює за окремим комп'ютером, де встановлено програма “Geo Gebra”.
Після закінчення роботи вчитель виводить на екран результати роботи груп. (Слайд 7)
– Давайте проаналізуємо запропоновані варіанти та спробуємо обрати найоптимальніший для нашого дослідження.
Визначимося з критеріями відбору: що хочемо отримати в результаті розбиття? (Сума всіх кутів побудованих трикутників повинна дорівнювати сумі кутів багатокутника.)
– Які варіанти можна одразу відкинути? Чому?
(Варіант 1, оскільки сума кутів усіх трикутників не дорівнює сумі кутів багатокутника.)
– Який варіант годиться найбільше? Чому? (Варіант 3.)
Як одержали цей варіант? (Провели діагоналі з однієї вершини багатокутника
| креслення | n – кількість вершин багатокутника | Кількість діагоналей, проведених із однієї вершини | Кількість отриманих трикутників |
 |
4 | ||
 |
5 | ||
 |
6 | ||
 |
7 | ||
| n |
– Спробуємо встановити залежність між кількістю вершин багатокутника, кількістю діагоналей, які можна провести з однієї вершини та кількістю трикутників, які при цьому отримують.
Кожна група отримує таблицю, яку мають заповнити у процесі дослідження.
Після обговорення у групах діти формулюють отримані висновки:
з однієї вершини n-кутника можна провести n – 3 діагоналі, (оскільки діагональ не можна провести до самої обраної вершини і до двох сусідніх). При цьому отримаємо n – 2 трикутники.
Отже, сума кутів опуклого багатокутника дорівнює 1800 (n-2).
– Повернемося до запропонованих варіантів розбиття багатокутника на трикутники.
Чи можна використовувати для доказу цієї теореми варіант, запропонований малюнку 4?
– Скільки трикутників виходить за такого розбиття? ( пштук)
– На скільки відрізняється сума кутів усіх трикутників від суми кутів багатокутника? (на 360 0)
– Як можна порахувати суму кутів багатокутника в цьому випадку?
(180п– 360 = 180п - 180х2 = 180 (п -2)) (Слайд 8)
– Чи задовольняє головну вимогу, яку ми висунули до розбиття, варіант, запропонований на малюнку 2? (Так.)
– Чому не доцільне його використання для знаходження суми кутів багатокутника? (Важче підрахувати кількість одержуваних трикутників.)
Ну а тепер повернемося до завдання, яке ми не змогли вирішити на початку уроку.
(Діти усно вважають суму кутів семикутника і ще дві аналогічні вправи.) (Слайд 9 та 10)
4. Застосування отриманих знань .
Ми вивели формулу знаходження суми внутрішніх кутів опуклого багатокутника. А тепер поговоримо про суму зовнішніх кутів багатокутника, взятих по одній при кожній вершині.
Отже, завдання: що більше: сума зовнішніх кутів, взятих по одному при кожній вершині, у опуклого шестикутника чи трикутника? (Слайд 11)
Діти висловлюють свої припущення. Вчитель пропонує провести дослідження на вирішення цього питання.
Кожна група отримує завдання самостійного рішення.
Група 1.
1) Знайдіть суму зовнішніх кутів, взятих по одному при кожній вершині, у правильного трикутника.
2) – У трикутника, градусні величини кутів якого рівні відповідно 70 0, 80 0 та 30 0 .
Група 2.
1) Знайдіть суму зовнішніх кутів, взятих по одному при кожній вершині, біля прямокутника.
2) – У чотирикутника, внутрішні кути якого рівні відповідно 70 0 , 80 0 та 120 0 та 90 0 .
Група 3.
1) Знайдіть суму зовнішніх кутів, взятих по одному при кожній вершині, у правильного шестикутника.
2) - У шестикутника, внутрішні кути якого рівні відповідно 170 0, 80 0 і 130 0, 100 0, 70 0, 170 0.
Після закінчення роботи діти повідомляють свої результати, вчитель заносить їх до таблиці та демонструє на екрані. (Слайд 12)
Отже, який висновок можна зробити з результатів? (Сума зовнішніх кутів, взятих по одному при кожній вершині, у будь-якого багатокутника дорівнює 360 0.)
А тепер давайте спробуємо довести цей факт для будь-якого н-кутника.
Якщо виникають проблеми, колективно обговорюється план докази:
1. Визначити внутрішні кути багатокутника через α, β, γ тощо.
2. Виразити через введені позначення градусні заходи зовнішніх кутів
3. Скласти вираз для знаходження суми зовнішніх кутів багатокутника
4. Перетворити отриманий вираз, використовувати отриману формулу для суми внутрішніх кутів багатокутника.
Доказ записується на дошці:
(180 – α) + (180 – β) + (180 – γ) + …= 180 п – (α+ β +γ + …) = 180 п – 180(п – 2) = 360
5. Закріплення вивченого матеріалу. Розв'язання задач.
Завдання 1. Чи існує опуклий багатокутник із такими внутрішніми кутами: 45 0 , 68 0 , 73 0 та 56 0 ? Поясніть свою відповідь.
Проведемо доказ протилежного. Якщо у опуклого багатокутника чотири гострі внутрішні кути то серед його зовнішніх кутів чотирьох тупих, звідки випливає, що сума всіх зовнішніх кутів багатокутника більша за 4*90 0 = 360 0 . Маємо протиріччя. Твердження доведене.
У опуклому багатокутнику три кути по 80 градусів, а решта – 150 градусів. Скільки кутів у опуклому багатокутнику?
Так як: для опуклого n-кутника сума кутів дорівнює 180 ° (n - 2) , то 180(n - 2) = 3 * 80 + x * 150, де 3 кута по 80 градусів нам дано за умовою завдання, а кількість інших кутів нам поки невідомо, значить, позначимо їх кількість через x.
Однак із запису в лівій частині ми визначили кількість кутів багатокутника як n, оскільки їх величини трьох кутів ми знаємо за умовою завдання, то очевидно, що x=n-3.
Таким чином, рівняння виглядатиме так: 180(n – 2) = 240 + 150(n – 3)
Вирішуємо отримане рівняння
180n - 360 = 240 + 150n - 450
180n - 150n = 240 + 360 - 450
Відповідь: 5 вершин.
6. Підбиття підсумків уроку.
Отже, давайте підіб'ємо підсумки. Сформулюйте свої питання для хлопців із іншої групи за матеріалами сьогодення.
Яке питання ви вважаєте найвдалішим?
Обговоріть ступінь участі кожного члена групи у колективній роботі, назвіть найактивніших.
Чия робота в групі була найрезультативнішою?
7. Домашнє завдання:
1. Завдання.
У багатокутнику три кути по 113 градусів, а решта рівні між собою та їх градусний захід – ціле число. Знайти кількість вершин багатокутника.
2. п.114 стор.169-171, Погорєлов А.В. "Геометрія 7-9".
