Чому дорівнює можливість випадкової події. Статистичне визначення ймовірності

Щоб кількісно порівнювати між собою події за рівнем їхньої можливості, очевидно, потрібно з кожною подією пов'язати певне число, яке тим більше, чим можливіша подія. Таку кількість ми назвемо ймовірністю події. Таким чином, ймовірність подіїє чисельний захід ступеня об'єктивної можливості цієї події.

Першим за часом визначенням ймовірності слід вважати класичне, що виникло з аналізу азартних ігор і спочатку застосовувалося інтуїтивно.

Класичний спосіб визначення ймовірності заснований на понятті рівноможливих та несумісних подій, які є наслідками даного досвіду і утворюють повну групу несумісних подій.

Найбільш простим прикладом рівноможливих і несумісних подій, що утворюють повну групу, є поява тієї чи іншої кулі з урни, що містить кілька однакових за розміром, вагою та іншим відчутним ознаками куль, що відрізняються лише кольором, ретельно перемішаних перед вилученням.

Тому про випробування, результати якого утворюють повну групу несумісних і рівноможливих подій, говорять, що воно зводиться до схеми урн, або схеми випадків, або укладається в класичну схему.

Рівноможливі та несумісні події, що становлять повну групу, називатимемо просто випадками чи шансами. При цьому в кожному досвіді поряд з випадками можуть відбуватися складніші події.

Приклад : При підкиданні гральної кістки поряд з випадками А i - випадання i-окулярів на верхній грані можна розглядати такі події, як В - випадання парних очок, С - випадання числа очок, кратних трьом …

По відношенню до кожної події, яка може статися при здійсненні експерименту, випадки поділяються на сприятливі, у яких ця подія відбувається, і несприятливі, у яких подія немає. У попередньому прикладі, події В сприяють випадки А2, А4, А6; події С - випадки А3, А6.

Класичною ймовірністюПоява деякої події називається відношення числа випадків, що сприяють появі цієї події, до загального числа випадків рівноможливих, несумісних, що становлять повну групу в даному досвіді:

де Р(А)- ймовірність появи події А; m- Число випадків, що сприяють події А; n- загальна кількість випадків.

Приклади:

1) (дивись приклад вище) Р(В)= , Р(С) =.

2) У урні знаходяться 9 червоних та 6 синіх куль. Знайти ймовірність того, що вийняті навмання одна, дві кулі виявляться червоними.

А- Вийнята навмання куля червона:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- вийняті навмання дві кулі червоні:

З класичного визначення ймовірності випливають такі властивості (показати самостійно):

1) Імовірність неможливої ​​події дорівнює 0;

2) Імовірність достовірної події дорівнює 1;

3) Імовірність будь-якої події укладена між 0 та 1;

4) Імовірність події, протилежної події А,

Класичне визначення ймовірності передбачає, що кількість результатів випробування є звичайною. Насправді ж часто зустрічаються випробування, число можливих випадків яких нескінченно. Крім того, слабка сторона класичного визначення полягає в тому, що дуже часто неможливо уявити результат випробування як сукупність елементарних подій. Ще важче вказати підстави, що дозволяють вважати елементарні наслідки випробування рівноможливими. Зазвичай про рівноможливість елементарних результатів випробування укладають з міркувань симетрії. Проте такі завдання практично зустрічаються дуже рідко. З цих причин поруч із класичним визначенням ймовірності користуються та інші визначення ймовірності.

Статистичною ймовірністюподії А називається відносна частота появи цієї події у проведених випробуваннях:

де – ймовірність появи події А;

Відносна частота появи події А;

Число випробувань, у яких з'явилася подія А;

Загальна кількість випробувань.

На відміну від класичної ймовірності, статистична ймовірність є характеристикою досвідченої, експериментальної.

Приклад : Для контролю якості виробів з партії вибрано 100 виробів, серед яких 3 вироби виявилися бракованими. Визначити можливість шлюбу.

Статистичний спосіб визначення ймовірності застосуємо лише до тих подій, які мають такі властивості:

Події, що розглядаються, повинні бути результатами тільки тих випробувань, які можуть бути відтворені необмежену кількість разів при одному і тому ж комплексі умов.

Події повинні мати статистичну стійкість (або стійкість відносних частот). Це означає, що у різних серіях випробувань відносна частота події змінюється незначно.

Число випробувань, у яких з'являється подія А, має бути досить велике.

Легко перевірити, що властивості ймовірності, які з класичного визначення, зберігаються і за статистичному визначенні ймовірності.

ГлаваI. ВИПАДКОВІ ПОДІЇ. ІМОВІРНІСТЬ

1.1. Закономірність та випадковість, випадкова мінливість у точних науках, у біології та медицині

Теорія ймовірностей – галузь математики, вивчає закономірності у випадкових явищах. Випадкове явище - це явище, яке при неодноразовому відтворенні одного і того ж досвіду може протікати щоразу трохи інакше.

Очевидно, що в природі немає жодного явища, в якому не були б тій чи іншій мірі елементи випадковості, але в різних ситуаціях ми враховуємо їх по-різному. Так, у ряді практичних завдань ними можна знехтувати і розглядати замість реального явища його спрощену схему – «модель», припускаючи, що в умовах досвіду явище протікає цілком певним чином. У цьому виділяються найголовніші, вирішальні чинники, що характеризують явище. Саме така схема вивчення явищ найчастіше застосовується у фізиці, техніці, механіці; саме так виявляється основна закономірність , властива даному явищу і дозволяє передбачити результат досвіду по заданим вихідним умовам. А вплив випадкових, другорядних факторів на результат досвіду враховується тут випадковими помилками вимірювань (методику їх розрахунку розглянемо далі).

Проте описана класична схема про точних наук погано пристосована вирішення багатьох завдань, у яких численні, тісно переплітаються між собою випадкові чинники грають помітну (часто визначальну) роль. Тут першому плані виступає випадкова природа явища, якої не можна знехтувати. Це необхідно вивчати саме з погляду закономірностей, властивих йому як випадковому явищу. У фізиці прикладами таких явищ є броунівський рух, радіоактивний розпад, ряд квантово-механічних процесів та ін.

Предмет вивчення біологів та медиків – живий організм, зародження, розвиток та існування якого визначається дуже багатьма та різноманітними, часто випадковими зовнішніми та внутрішніми факторами. Саме тому явища та події живого світу багато в чому теж випадкові за своєю природою.

Елементи невизначеності, складності, багатопричинності, властиві випадковим явищам, зумовлюють необхідність створення спеціальних математичних методів вивчення цих явищ. Розробка таких методів, встановлення специфічних закономірностей, властивих випадковим явищам, – головні завдання теорії ймовірностей. Характерно, що це закономірності виконуються лише за масовості випадкових явищ. Причому індивідуальні особливості окремих випадків хіба що взаємно погашаються, а усереднений результат маси випадкових явищ виявляється не випадковим, а цілком закономірним . Значною мірою ця обставина стала причиною широкого поширення імовірнісних методів дослідження в біології та медицині.

Розглянемо основні поняття теорії ймовірностей.

1.2. Імовірність випадкової події

Кожна наука, що розвиває загальну теорію якогось кола явищ, базується на ряді основних понять. Наприклад, у геометрії – це поняття точки прямої лінії; у механіці – поняття сили, маси, швидкості тощо. буд. Основні поняття існують і теорії ймовірностей, одне їх – випадкове подія.

Випадкова подія - це будь-яке явище (факт), яке в результаті досвіду (випробування) може статися або не статися.

Випадкові події позначаються буквами А, В, С… і т. д. Наведемо кілька прикладів випадкових подій:

А-Випадання орла (герба) при підкиданні стандартної монети;

У– народження дівчинки у цій сім'ї;

З– народження дитини із заздалегідь заданою масою тіла;

D- Поява епідемічного захворювання в даному регіоні в певний період часу і т. д.

Основною кількісною характеристикою випадкової події є його ймовірність. Нехай А- Якась випадкова подія. Імовірність випадкової події А – це математична величина, що визначає можливість появи.Вона позначається Р(А).

Розглянемо два основні методи визначення цієї величини.

Класичне визначення ймовірності випадкової подіїзазвичай базується на результатах аналізу умоглядних дослідів (випробувань), суть яких визначається умовою поставленого завдання. При цьому ймовірність випадкової події Р(А)дорівнює:

де m– кількість випадків, що сприяють появі події А; n– загальна кількість рівноможливих випадків.

Приклад 1. Лабораторний щур поміщений в лабіринт, в якому лише один із чотирьох можливих шляхів веде до заохочення у вигляді їжі. Визначте можливість вибору щуром такого шляху.

Рішення: за умовою задачі з чотирьох рівноможливих випадків ( n=4) події А(щур знаходить їжу)
сприяє лише одне, тобто. m= 1 Тоді Р(А) = Р(щур знаходить їжу) = = 0,25 = 25%.

Приклад 2. У урні 20 чорних та 80 білих куль. З неї навмання виймається одна куля. Визначте ймовірність того, що ця куля буде чорною.

Рішення: кількість всіх куль в урні - це загальна кількість рівноможливих випадків n, тобто. n = 20 + 80 = 100, з них подія А(витяг чорної кулі) можливе лише 20, тобто. m= 20. Тоді Р(А) = Р(Ч. Ш.) = = 0,2 = 20%.

Перерахуємо властивості ймовірності наступні її класичного визначення – формула (1):

1. Імовірність випадкової події – величина безрозмірна.

2. Імовірність випадкової події завжди позитивна і менше одиниці, тобто 0< P (A) < 1.

3. Імовірність достовірної події, тобто події, яка в результаті досвіду обов'язково відбудеться ( m = n), дорівнює одиниці.

4. Імовірність неможливої ​​події ( m= 0) дорівнює нулю.

5. Імовірність будь-якої події - величина не негативна і не перевищує одиницю:
0 £ P (A) £ 1.

Статистичне визначення ймовірності випадкової подіїзастосовується тоді, коли неможливо використовувати класичне визначення (1). Це часто має місце у біології та медицині. У такому разі ймовірність Р(А) визначають шляхом узагальнення результатів реально проведених серій випробувань (дослідів).

Введемо поняття відносної частоти появи випадкової події. Нехай була проведена серія, що складається з Nдослідів (число Nможе бути обрано заздалегідь); цікава для нас подія Асталося в Мз них ( M < N). Відношення числа дослідів М, у яких сталася ця подія, до загального числа проведених дослідів Nназивають відносною частотою появи випадкової події Ау цій серії дослідів – Р* (А)

Р*(А) = .

Експериментально встановлено, що якщо серії випробувань (досвідів) проводяться в однакових умовах і в кожній їх кількість Nдосить велике, то відносна частота виявляє властивість стійкості : від серії до серії вона змінюється мало , наближаючись зі збільшенням кількості дослідів до деякої постійної величини . Її і вважають за статистичну ймовірність випадкової події А:

Р(а)= lim , при N , (2)

Отже, статистичною ймовірністю Р(А) випадкової події Аназивають межу, до якої прагне відносна частота появи цієї події при необмеженому зростанні числа випробувань (при N → ∞).

Приблизно статистична ймовірність випадкової події дорівнює відносній частоті появи цієї події при великій кількості випробувань:

Р(А)≈ Р*(А)= (за великих N) (3)

Наприклад, у дослідах з кидання монети відносна частота випадання герба за 12000 кидань дорівнювала 0,5016, а за 24000 кидань – 0,5005. Відповідно до формули (1):

P(Герб) = = 0,5 = 50%

приклад . При лікарському обстеженні 500 осіб у 5 із них виявили пухлину в легенях (о. л.). Визначте відносну частоту та ймовірність цього захворювання.

Рішення: за умовою завдання М = 5, N= 500, відносна частота Р* (О. Л.) = М/N= 5/500 = 0,01; оскільки Nдосить велике, можна з хорошою точністю вважати, що ймовірність наявності пухлини в легенях дорівнює відносній частоті цієї події:

Р(О. Л.) = Р* (О. Л.) = 0,01 = 1%.

Перелічені раніше властивості ймовірності випадкової події зберігаються і за статистичного визначення даної величини.

1.3. Види випадкових подій. Основні теореми теорії ймовірностей

Усі випадкові події можна розділити на:

¾ несумісні;

¾ незалежні;

¾ залежні.

До кожного виду подій характерні свої особливості та теореми теорії ймовірностей.

1.3.1. Несумісні випадкові події. Теорема складання ймовірностей

Випадкові події (А, В, С,D…) називаються несумісними , якщо поява одного з них виключає появу інших подій в тому самому випробуванні.

Приклад1 . Підкинуто монету. При її падінні поява «герба» виключає появу «решки» (написи, що визначає ціну монети). Події «випав герб» та «випала решка» несумісні.

Приклад 2 . Отримання студентом на одному іспиті оцінки «2», або «3», або «4», або «5» – події несумісні, оскільки одна з цих оцінок виключає іншу на тому ж іспиті.

Для несумісних випадкових подій виконується теорема складання ймовірностей: ймовірність появи одного, але все одно якого, із кількох несумісних подій А1, А2, А3… Аk дорівнює сумі їх ймовірностей:

Р(А1або А2 … або Аk) = Р(А1) + Р(А2) + …+ Р(Аk). (4)

Приклад 3. У урні знаходиться 50 куль: 20 білих, 20 чорних та 10 червоних. Знайдіть ймовірність появи білого (подія А) або червоної кулі (подія У), коли кулю навмання дістають із урни.

Рішення: Р(А чи В)= Р(А)+ Р(У);

Р(А) = 20/50 = 0,4;

Р(У) = 10/50 = 0,2;

Р(Аабо У)= Р(Б. Ш. або К. Ш.) = 0,4 + 0,2 = 0,6 = 60%.

Приклад 4 . У класі – 40 дітей. З них віком від 7 до 7,5 років 8 хлопчиків ( А) та 10 дівчаток ( У). Знайдіть ймовірність присутності у класі дітей такого віку.

Рішення: Р(А)= 8/40 = 0,2; Р(У) = 10/40 = 0,25.

Р(А або В) = 0,2 + 0,25 = 0,45 = 45%

Наступне важливе поняття – Повна група подій: кілька несумісних подій утворюють повну групу подій, якщо в результаті кожного випробування може з'являтися лише одна з подій цієї групи та жодна інша.

Приклад 5 . Стрілець зробив постріл по мішені. Обов'язково відбудеться одна з наступних подій: попадання в «десятку», в «дев'ятку», у «вісімку», в «одиницю» або промах. Ці 11 несумісних подій утворюють повну групу.

Приклад 6 . На іспиті у ВУЗі студент може отримати одну з наступних чотирьох оцінок: 2, 3, 4 або 5. Ці чотири несумісні події також утворюють повну групу.

Якщо несумісні події А1, А2... Аkутворюють повну групу, то сума ймовірностей цих подій завжди дорівнює одиниці:

Р(А1)+ Р(А2)+ … Р(Аk) = 1, (5)

Це твердження часто використовується під час вирішення багатьох прикладних завдань.

Якщо дві події єдино можливі і несумісні, їх називають протилежними і позначають Аі . Такі події становлять повну групу, тому сума їх ймовірностей завжди дорівнює одиниці:

Р(А)+ Р() = 1. (6)

Приклад 7. Нехай Р(А) - ймовірність летального результату при деякому захворюванні; вона відома і дорівнює 2%. Тоді ймовірність благополучного результату при цьому захворюванні дорівнює 98% ( Р() = 1 – Р(А) = 0,98), оскільки Р(А) + Р() = 1.

1.3.2. Незалежні довільні події. Теорема множення ймовірностей

Випадкові події називаються незалежними, якщо поява одного з них не впливає на ймовірність появи інших подій.

Приклад 1 . Якщо є дві або більше урни з кольоровими кулями, то вилучення будь-якої кулі з однієї урни ніяк не вплине на ймовірність вилучення інших куль з урн, що залишилися.

Для незалежних подій справедлива теорема множення ймовірностей: ймовірність спільного(одночасного)Поява кількох незалежних випадкових подій дорівнює добутку їх ймовірностей:

Р(А1і А2 та А3 … і Аk) = Р(А1) ∙Р(А2) ∙…∙Р(Аk). (7)

Спільна (одночасна) поява подій означає, що відбуваються події та А1,і А2,і А3… і Аk .

Приклад 2 . Є дві скриньки. В одній знаходиться 2 чорних та 8 білих куль, в іншій – 6 чорних та 4 білих. Нехай подія А-Вибір навмання білої кулі з першої урни, У- З другої. Яка ймовірність вибрати навмання одночасно з цих урн по білій кулі, тобто чому дорівнює Р (Аі У)?

Рішення:ймовірність дістати білу кулю з першої урни
Р(А) = = 0,8 з другої – Р(У) = = 0,4. Імовірність одночасно дістати по білій кулі з обох урн –
Р(Аі У) = Р(А)· Р(У) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.

Приклад 3. Раціон зі зниженим вмістом йоду викликає збільшення щитовидної залози у 60% тварин великої популяції. Для експерименту потрібні 4 збільшені залози. Знайдіть ймовірність того, що у 4 випадково вибраних тварин буде збільшена щитовидна залоза.

Рішення: Випадкова подія А- Вибір навмання тварини зі збільшеною щитовидною залозою. За умовою завдання ймовірність цієї події Р(А) = 0,6 = 60%. Тоді ймовірність спільної появи чотирьох незалежних подій – вибір навмання 4 тварин із збільшеною щитовидною залозою – дорівнюватиме:

Р(А 1 і А 2 та А 3 та А 4) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6)4 ≈ 0,13 = 13%.

1.3.3. Залежні події. Теорема множення ймовірностей для залежних подій

Випадкові події А та В називаються залежними, якщо поява одного з них, наприклад, А змінює ймовірність появи іншої події – Ст.Тому для залежних подій використовуються два значення ймовірності: безумовна та умовна ймовірності .

Якщо Аі Узалежні події, то ймовірність настання події Упершим (тобто до події А) називається безумовною ймовірністюцієї події і позначається Р(У). Ймовірність настання події Уза умови, що подія Авже сталося, називається умовною ймовірністюподії Уі позначається Р(У/А) або РА(У).

Аналогічний сенс мають безумовна – Р(А) та умовна – Р(А/В) ймовірності для події А.

Теорема множення ймовірностей для двох залежних подій: ймовірність одночасного наступу двох залежних подій А і В дорівнює добутку безумовної ймовірності першої події на умовну ймовірність другої:

Р(А і В)= Р(А)∙Р(В/А) , (8)

А, або

Р(А і В)= Р(У)∙Р(А/В), (9)

якщо першим настає подія У.

Приклад 1. У урні 3 чорні кулі та 7 білих. Знайдіть ймовірність того, що з цієї урни одна за одною (причому першу кулю не повертають в урну) будуть вийняті 2 білі кулі.

Рішення: ймовірність дістати першу білу кулю (подія А) дорівнює 7/10. Після того, як він вийнятий, в урні залишається 9 куль, з них 6 білих. Тоді ймовірність появи другої білої кулі (подія У) дорівнює Р(У/А) = 6/9, а ймовірність дістати поспіль дві білі кулі дорівнює

Р(Аі У) = Р(А)∙Р(У/А) = = 0,47 = 47%.

Наведена теорема множення ймовірностей для залежних подій допускає узагальнення будь-яку кількість подій. Зокрема, для трьох подій, пов'язаних одна з одною:

Р(Аі Уі З)= Р(А)∙ Р(В/А)∙ Р(С/АВ). (10)

Приклад 2. У двох дитячих садках, кожен із яких відвідує по 100 дітей, стався спалах інфекційного захворювання. Частки хворих складають відповідно 1/5 і 1/4, причому у першому закладі 70 %, тоді як у другому – 60 % хворих – діти молодше 3-х років. Випадковим чином обирають одну дитину. Визначте ймовірність того, що:

1) обрана дитина відноситься до першого дитячого садка (подія А) і хворий (подія У).

2) обрано дитину з другого дитячого садка (подія З), хворий (подія D) та старше 3-х років (подія Е).

Рішення. 1) шукана ймовірність -

Р(Аі У) = Р(А) ∙ Р(У/А) = = 0,1 = 10%.

2) шукана ймовірність:

Р(Зі Dі Е) = Р(З) ∙ Р(D/C) ∙ Р(Е/CD) = = 5%.

1.4. Формула Байєса

Якщо ймовірність спільної появи залежних подій Аі Уне залежить від того, в якому порядку вони відбуваються, то Р(Аі У)= Р(А)∙Р(В/А)= Р(У) × Р(А/В). У цьому випадку умовну ймовірність однієї з подій можна знайти, знаючи ймовірності обох подій та умовну ймовірність другого:

Р(В/А) = (11)

Узагальненням цієї формули у разі багатьох подій є формула Байєса.

Нехай « n» несумісних випадкових подій Н1, Н2, …, Нn, утворюють повну групу подій Імовірності цих подій – Р(Н1), Р(Н2), …, Р(Нn) відомі і оскільки вони утворюють повну групу, то = 1.

Деяка випадкова подія Апов'язано з подіями Н1, Н2, …, Нn, причому відомі умовні ймовірності появи події Аз кожною з подій Нi, тобто відомі Р(А/Н1), Р(А/Н2), …, Р(А/Нn). При цьому сума умовних ймовірностей Р(А/Нi) може бути не дорівнює одиниці тобто. ≠ 1.

Тоді умовна ймовірність появи події Нiпри реалізації події А(тобто за умови, що подія Асталося) визначається формулою Байєса :

Причому для цих умовних ймовірностей .

Формула Байєса знайшла широке застосування у математиці, а й у медицині. Наприклад, вона використовується для обчислення ймовірностей тих чи інших захворювань. Так, якщо Н 1,…, Нn- передбачувані діагнози для даного пацієнта, А- Деяка ознака, що має відношення до них (симптом, певний показник аналізу крові, сечі, деталь рентгенограми і т. д.), а умовні ймовірності Р(А/Нi) прояви цієї ознаки при кожному діагнозі Нi (i = 1,2,3,…n) заздалегідь відомі, то формула Байєса (12) дозволяє обчислити умовні ймовірності захворювань (діагнозів) Р(Нi/А) після того, як встановлено, що характерна ознака Ає у пацієнта.

Приклад1. При первинному огляді хворого передбачаються 3 діагнози. Н 1, Н 2, Н 3. Їх ймовірності, на думку лікаря, розподіляються так: Р(Н 1) = 0,5; Р(Н 2) = 0,17; Р(Н 3) = 0,33. Отже, попередньо найімовірнішим видається перший діагноз. Для його уточнення призначається, наприклад, аналіз крові, в якому очікується збільшення ШОЕ (подія А). Заздалегідь відомо (на підставі результатів досліджень), що ймовірність збільшення ШОЕ при передбачуваних захворюваннях дорівнює:

Р(А/Н 1) = 0,1; Р(А/Н 2) = 0,2; Р(А/Н 3) = 0,9.

В отриманому аналізі зафіксовано збільшення ШОЕ (подія Асталося). Тоді розрахунок за формулою Байєса (12) дає значення ймовірностей передбачуваних захворювань при збільшеному значенні ШОЕ: Р(Н 1/А) = 0,13; Р(Н 2/А) = 0,09;
Р(Н 3/А) = 0,78. Ці цифри показують, що з урахуванням лабораторних даних найреальніший не перший, а третій діагноз, ймовірність якого тепер виявилася досить великою.

Наведений приклад – найпростіша ілюстрація того, як за допомогою формули Байєса можна формалізувати логіку лікаря при постановці діагнозу та завдяки цьому створити методи комп'ютерної діагностики.

Приклад 2. Визначте ймовірність, що оцінює ступінь ризику перинатальної смертності дитини у жінок з анатомічно вузьким тазом.

Рішення: нехай подія Н 1 – благополучні пологи. За даними клінічних звітів, Р(Н 1) = 0,975 = 97,5%, тоді, якщо Н2- факт перинатальної смертності, то Р(Н 2) = 1 – 0,975 = 0,025 = 2,5 %.

Позначимо А- факт наявності вузького тазу у породіллі. З проведених досліджень відомі: а) Р(А/Н 1) - ймовірність вузького тазу при сприятливих пологах, Р(А/Н 1) = 0,029; б) Р(А/Н 2) - ймовірність вузького тазу при перинатальної смертності,
Р(А/Н 2) = 0,051. Тоді ймовірність перинатальної смертності при вузькому тазі у породіллі розраховується за формулою Байса (12) і дорівнює:

Таким чином, ризик перинатальної смертності при анатомічно вузькому тазі значно вищий (майже вдвічі) середнього ризику (4,4% проти 2,5%).

Подібні розрахунки, які зазвичай виконуються за допомогою комп'ютера, лежать в основі методів формування груп пацієнтів підвищеного ризику, пов'язаного з наявністю того чи іншого обтяжуючого фактора.

Формула Байєса дуже корисна для оцінки багатьох інших медико-біологічних ситуацій, що стане очевидним при вирішенні наведених у посібнику завдань.

1.5. Про випадкові події з ймовірностями близькими до 0 або 1

При вирішенні багатьох практичних завдань доводиться мати справу з подіями, ймовірність яких дуже мала, тобто близька до нуля. На підставі досвіду щодо таких подій прийнято наступний принцип. Якщо випадкова подія має дуже малу ймовірність, то практично можна вважати, що в одиничному випробуванні вона не настане, інакше кажучи, можливість її появи можна знехтувати. Відповідь питанням, наскільки малою має бути ця ймовірність, визначається істотою розв'язуваних завдань, тим, наскільки важливий нам результат прогнозування. Наприклад, якщо ймовірність того, що парашут при стрибку не розкриється дорівнює 0,01, застосування таких парашутів неприпустимо. Однак рівна тій же 0,01 ймовірність того, що поїзд далекого прямування прибуде із запізненням, робить нас практично впевненими, що він прибуде вчасно.

Досить малу ймовірність, за якої (у даному конкретному завданні) подію можна вважати практично неможливою, називають рівнем значимості.Насправді рівень значимості зазвичай приймають рівним 0,01 (одновідсотковий рівень значимості) чи 0,05 (п'ятивідсотковий рівень значимості), набагато рідше він береться рівним 0,001.

Введення рівня значущості дозволяє стверджувати, що якщо певна подія Апрактично неможливо, то протилежна подія - практично достовірно, тобто для нього Р() » 1.

ГлаваII. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

2.1. Випадкові величини, їх види

У математиці величина - це загальна назва різних кількісних характеристик предметів та явищ. Довжина, площа, температура, тиск тощо – приклади різних величин.

Величина, яка приймає різні числові значення під впливом випадкових обставин, називається випадковою величиною. Приклади випадкових величин: кількість хворих на прийом у лікаря; точні розміри внутрішніх органів людей і т.д.

Розрізняють дискретні та безперервні випадкові величини .

Випадкова величина називається дискретною, якщо вона приймає лише певні відокремлені один від одного значення, які можна встановити та перерахувати.

Прикладами дискретної випадкової величини є:

- Число студентів в аудиторії - може бути тільки цілим позитивним числом: 0,1,2,3,4 ..... 20 .....;

– цифра, яка з'являється на верхній грані при киданні гральної кістки – може набувати лише цілі значення від 1 до 6;

– відносна частота влучення в ціль при 10 пострілах – її значення: 0; 0,1; 0,2; 0,3 …1

- Число подій, що відбуваються за однакові проміжки часу: частота пульсу, кількість викликів швидкої допомоги за годину, кількість операцій на місяць з летальним кінцем і т. д.

Випадкова величина називається безперервною, якщо вона може набувати будь-яких значень у межах певного інтервалу, який іноді має різко виражені межі, а іноді – ні*. До безперервних випадкових величин відносяться, наприклад, маса тіла та зростання дорослих людей, маса тіла та об'єм мозку, кількісний вміст ферментів у здорових людей, розміри формених елементів крові, рН крові тощо.

Поняття випадкової величини грає визначальну роль сучасної теорії ймовірностей, що розробила спеціальні прийоми переходу від випадкових подій до випадкових величин.

Якщо випадкова величина залежить від часу, можна говорити про випадковому процесі.

2.2. Закон розподілу дискретної випадкової величини

Щоб дати повну характеристику дискретної випадкової величини, необхідно вказати всі її можливі значення та їх ймовірності.

Відповідність між можливими значеннями дискретної випадкової величини та його ймовірностями називається законом розподілу цієї величини.

Позначимо можливі значення випадкової величини Хчерез хi, а відповідні їм ймовірності – через рi *. Тоді закон розподілу дискретної випадкової величини можна задати трьома способами: як таблиці, графіка чи формулы.

У таблиці, яка називається рядом розподілу,перераховуються всі можливі значення дискретної випадкової величини Хі відповідні цим значенням імовірності Р(Х):

Х

…..

…..

P(X)

…..

…..

При цьому сума всіх ймовірностей рiповинна дорівнювати одиниці (умова нормування):

рi = p1 + p2 + ... + pn = 1. (13)

ГрафічноЗакон є ламаною лінією, яку прийнято називати багатокутником розподілу (рис.1). Тут по горизонтальній осі відкладають усі можливі значення випадкової величини хi, , а по вертикальній осі - відповідні їм ймовірності рi

АналітичноЗакон виражається формулою. Наприклад, якщо ймовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює р,то ймовірність ураження мети 1 раз при nпострілах дається формулою Р(n) = n qn-1 × p, де q= 1 - р- Імовірність промаху при одному пострілі.

2.3. Закон розподілу безперервної випадкової величини. Щільність розподілу ймовірності

Для безперервних випадкових величин неможливо застосувати закон розподілу у формах, наведених вище, оскільки така величина має незліченну («незліченну») безліч можливих значень, що заповнюють певний інтервал. Тому скласти таблицю, у якій перелічено всі її можливі значення, чи побудувати багатокутник розподілу не можна. Крім того, ймовірність якогось конкретного значення дуже мала (близька до 0)*. Разом про те різні області (інтервали) можливих значень безперервної випадкової величини не равновероятны. Отже, й у разі діє певний закон розподілу, хоча й у колишньому значенні.

Розглянемо безперервну випадкову величину Х, можливі значення якої повністю заповнюють певний інтервал (а, b)**. Закон розподілу ймовірностей такої величини повинен дозволити знайти ймовірність влучення її значення в будь-який заданий інтервал ( х1, х2), що лежить усередині ( а,b), рис.2.

Цю можливість позначають Р(х1< Х < х2 ), або
Р(х1£ Х£ х2).

Розглянемо спочатку дуже малий інтервал значень Х– від хдо ( х +Dх); див. рис.2. Мала ймовірність dРтого, що випадкова величина Хприйме якесь значення з інтервалу ( х, х +Dх), буде пропорційна величині даного інтервалу Dх:dР~ Dх, або, ввівши коефіцієнт пропорційності f, який сам може залежати від х, Отримаємо:

dР =f(х) × D х =f(x) × dx (14)

Введена тут функція f(х) називається щільністю розподілу ймовірностейвипадкової величини Х,або, коротше, щільністю ймовірності, щільністю розподілу. Рівняння (13) - диференціальне рівняння, рішення якого дає ймовірність влучення величини Хв інтервал ( х1,х2):

Р(х1<Х<х2) = f(х) dх. (15)

Графічно ймовірність Р(х1<Х<х2) дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженою віссю абсцис, кривою f(х) та прямими Х = х1 та Х = х2(Рис.3). Це випливає із геометричного сенсу певного інтегралу (15) Крива f(х) при цьому називається кривою розподілу.

З (15) випливає, що якщо відома функція f(х), то, змінюючи межі інтегрування, можна знайти ймовірність для будь-яких цікавих для нас інтервалів. Тому саме завдання функції f(х) повністю визначає закон розподілу для безперервних випадкових величин.

Для щільності ймовірності f(х) має виконуватися умова нормування у вигляді:

f(х) dх = 1, (16)

якщо відомо, що всі значення Хлежать в інтервалі ( а,b), або у вигляді:

f(х) dх = 1, (17)

якщо межі інтервалу для значень Хточно невизначені. Умови нормування густини ймовірності (16) або (17) є наслідком того, що значення випадкової величини Хдостовірно лежать у межах ( а,b) або (-¥, +¥). З (16) і (17) випливає, що площа фігури, обмеженої кривою розподілу та віссю абсцис, завжди дорівнює 1 .

2.4. Основні числові характеристики випадкових величин

Результати, викладені у параграфах 2.2 та 2.3, показують, що повну характеристику дискретної та безперервної випадкових величин можна отримати, знаючи закони їх розподілу. Однак у багатьох практично значущих ситуаціях користуються про числовими характеристиками випадкових величин, головне призначення цих характеристик – висловити у стиснутій формі найбільш суттєві особливості розподілу випадкових величин. Важливо, що дані параметри є конкретними (постійними) значеннями, які можна оцінювати за допомогою отриманих у дослідах даних. Цими оцінками займається «Описова статистика».

Теоретично ймовірностей та математичної статистики використовується досить багато різних характеристик, але ми розглянемо лише найбільш уживані. Причому лише частини з них наведемо формули, якими розраховуються їх значення, у випадках обчислення залишимо комп'ютеру.

Розглянемо Показники становища –математичне очікування, моду, медіану.

Вони характеризують положення випадкової величини на числовій осі , т. е. вказують деяке орієнтовне значення, біля якого групуються всі можливі значення випадкової величини. Серед них найважливішу роль відіграє математичне очікування М(Х).

Імовірність показує можливість тієї чи іншої події за певної кількості повторень. Це число можливих результатів з одним або кількома наслідками, поділене на загальну кількість можливих подій. Імовірність кількох подій обчислюється шляхом поділу завдання окремі ймовірності з наступним перемноженням цих ймовірностей.

Кроки

Імовірність одиничної випадкової події

1. Виберіть подію із взаємовиключними результатами.Імовірність можна розрахувати лише в тому випадку, якщо подія, що розглядається, або відбувається, або не відбувається. Не можна одночасно отримати якусь подію та протилежний йому результат. Прикладом таких подій є випадання 5 на ігровому кубику або перемога певного коня на стрибках. П'ять або випаде, або ні; певний кінь або прийде першим, або ні.

   • Наприклад, неможливо обчислити ймовірність такої події: при одному кидку кубика випадуть 5 та 6 одночасно.

2. Визначте всі можливі події та результати, які можуть статися.Припустимо, необхідно визначити ймовірність того, що при кидку ігрового кубика з 6 цифр випаде трійка. "Випадання трійки" є подією, і оскільки ми знаємо, що може випасти будь-яка з 6 цифр, кількість можливих результатів дорівнює шести. Таким чином, ми знаємо, що в даному випадку є 6 можливих результатів та одна подія, ймовірність якої ми хочемо визначити. Нижче наведено ще два приклади.

   • Приклад 1. В даному випадку подією є «вибір дня, який припадає на вихідні», а кількість можливих наслідків дорівнює кількості днів тижня, тобто семи.
   • Приклад 2. Подією є «вийняти червону кулю», а число можливих наслідків дорівнює загальній кількості куль, тобто двадцяти.

3. Поділіть кількість подій на кількість можливих результатів.Таким чином, ви визначите ймовірність одиночної події. Якщо ми розглядаємо випадок випадання 3 при киданні кубика, число подій дорівнює 1 (трійка знаходиться лише на одній грані кубика), а загальна кількість результатів дорівнює 6. У результаті отримуємо співвідношення 1/6, 0,166, або 16,6%. Імовірність події для двох наведених вище прикладів перебуває так:

   • Приклад 1. Яка ймовірність того, що ви випадково оберете день, що випадає на вихідні?Число подій дорівнює 2, тому що в одному тижні два вихідні дні, а загальна кількість результатів становить 7. Таким чином, ймовірність дорівнює 2/7. Отриманий результат можна записати також як 0285 або 285%.
   • Приклад 2. У коробці знаходяться 4 синіх, 5 червоних та 11 білих куль. Якщо дістати з коробки випадкову кулю, яка ймовірність того, що вона виявиться червоною?Число подій дорівнює 5, оскільки в коробці 5 червоних куль, а загальна кількість наслідків становить 20. Знаходимо ймовірність: 5/20 = 1/4. Отриманий результат можна записати також як 0,25 або 25%.

4. Складіть ймовірності всіх можливих подій та перевірте, чи вийде у сумі 1.Сумарна ймовірність усіх можливих подій має становити 1, або 100%. Якщо у вас не вийде 100%, швидше за все, ви припустилися помилки і пропустили одну або кілька можливих подій. Перевірте свої обчислення та переконайтеся, що ви врахували всі можливі результати.

   • Наприклад, можливість випадання 3 при киданні ігрового кубика становить 1/6. При цьому ймовірність випадання будь-якої іншої цифри з п'яти, що залишилися, також дорівнює 1/6. В результаті одержуємо 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, тобто 100%.
   • Якщо ви, наприклад, забудете про цифру 4 на кубику, додавання ймовірностей дасть вам лише 5/6, або 83 %, що не дорівнює одиниці і вказує на помилку.

5. Уявіть ймовірність неможливого результату як 0.Це означає, що ця подія не може статися, і її ймовірність дорівнює 0. Таким чином, ви зможете врахувати неможливі події.

   • Наприклад, якби ви обчислювали ймовірність того, що у 2020 році Пасха припаде на понеділок, то отримали б 0, оскільки Пасха завжди святкується у неділю.

   Імовірність кількох випадкових подій

   1. Під час розгляду незалежних подій обчислюйте кожну можливість окремо.Після того, як ви визначите, які ймовірності подій, їх можна буде розрахувати окремо. Припустимо, необхідно дізнатися ймовірність того, що при киданні кубика двічі поспіль випаде 5. Ми знаємо, що ймовірність випадання однієї п'ятірки становить 1/6 і ймовірність випадання другої п'ятірки також дорівнює 1/6. Перший результат не пов'язані з другим.

      • Декілька випадень п'ятірок називаються незалежними подіямиоскільки те, що випаде вперше, не впливає на другу подію.

   2. Враховуйте вплив попередніх результатів при розрахунку ймовірності залежних подій.Якщо перша подія впливає на ймовірність другого результату, говорять про розрахунок ймовірності залежних подій. Наприклад, якщо ви вибираєте дві карти з колоди, що складається з 52 карт, після взяття першої карти склад колоди змінюється, що впливає вибір другої карти. Щоб розрахувати ймовірність другої з двох залежних подій, необхідно відняти 1 з кількості можливих результатів при розрахунку ймовірності другої події.

      • Приклад 1. Розглянемо таку подію: З колоди випадково одну за одною витягують дві карти. Яка ймовірність того, що обидві картки матимуть трефову масть?Імовірність того, що перша карта матиме трефову масть, становить 13/52, або 1/4, оскільки всього в колоді 13 карт однієї масті.
        • Після цього ймовірність того, що друга карта виявиться трефової масті, становить 12/51, оскільки однієї трефової карти вже немає. Це тим, що перша подія впливає друге. Якщо ви витягли трійку треф і не поклали її назад, у колоді буде на одну карту менше (51 замість 52).
      • Приклад 2. У коробці 4 синіх, 5 червоних та 11 білих куль. Якщо навмання вийняти три кулі, яка ймовірність того, що перша виявиться червоною, другою синьою, а третя білою?
        • Імовірність того, що перша куля виявиться червоною, становить 5/20, або 1/4. Імовірність того, що друга куля буде синьою, дорівнює 4/19, оскільки в коробці залишилося на одну кулю менше, але 4 синіхкулі. Нарешті, ймовірність того, що третя куля виявиться білою, становить 11/18, оскільки ми вже вийняли дві кулі.

   3. Помножте ймовірності кожної окремої події.Незалежно від того, чи маєте ви справу з незалежними або залежними подіями, а також кількості наслідків (їх може бути 2, 3 і навіть 10), можна розрахувати загальну ймовірність, помноживши ймовірності всіх подій, що розглядаються один на одного. В результаті ви отримаєте ймовірність кількох подій, одне за одним. Наприклад, стоїть завдання Знайти ймовірність того, що при киданні кубика двічі поспіль випаде 5. Це дві незалежні події, ймовірність кожного з яких дорівнює 1/6. Отже, ймовірність обох подій становить 1/6 x 1/6 = 1/36, тобто 0,027, чи 2,7 %.

      • Приклад 1. З колоди навмання одну за одною витягують дві карти. Яка ймовірність того, що обидві картки матимуть трефову масть?Імовірність першої події становить 13/52. Імовірність другої події дорівнює 12/51. Знаходимо загальну можливість: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, тобто 0,058, чи 5,8 %.
      • Приклад 2. У коробці знаходяться 4 синіх, 5 червоних та 11 білих куль. Якщо навмання витягнути з коробки три кулі одна за одною, яка ймовірність того, що перша виявиться червоною, другою синьою, а третя білою?Імовірність першої події становить 5/20. Імовірність другої події дорівнює 4/19. Імовірність третьої події становить 11/18. Таким чином, загальна ймовірність дорівнює 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0,032, або 3,2%.

Різні визначення ймовірності випадкової події

Теорія імовірності- Математична наука, яка за ймовірностями одних подій дозволяє оцінювати ймовірності інших подій, пов'язаних з першими.

Підтвердженням те, що поняття «імовірність події» немає визначення, є те що, що у теорії ймовірностей існує кілька підходів до пояснення цього поняття:

Класичне визначення ймовірності випадкової події .

Імовірність події дорівнює відношенню числа сприятливих події наслідків досвіду до загального числа наслідків досвіду.

Де

Число сприятливих результатів досвіду;

Загальна кількістьвиходів досвіду.

Результат досвіду називається сприятливимдля події, якщо при цьому результат досвіду з'явилася подія. Наприклад, якщо подія - поява карти червоної масті, то поява туза бубей - результат, сприятливий для події.

приклади.

1) Імовірність випадання 5 очок на межі кубика дорівнює , оскільки кубик може впасти будь-який з 6 граней догори, а 5 очок знаходяться лише на одній грані.

2) Імовірність випадання герба при одноразовому киданні монети - , оскільки монета може впасти гербом або решкою ​​- два результати досвіду, а герб зображений лише з одного боку монети.

3) Якщо в урні 12 куль, з яких 5 - чорні, то ймовірність вийняти чорну кулю -, оскільки всього результатів опеньки - 12, а сприятливих з них - 5

Зауваження. Класичне визначення ймовірності застосовується за двох умов:

1) всі результати досвіду мають бути рівноймовірними;

2) досвід повинен мати кінцеве число результатів.

На практиці буває складно довести, що події рівноймовірні: наприклад, при дослідженні з підкиданням монети на результат досвіду можуть впливати такі фактори як несиметричність монети, вплив її форми на аеродинамічні характеристики польоту, атмосферні умови тощо, крім того, існують досліди з нескінченним числом результатів.

приклад . Дитина кидає м'яч і максимальна відстань, на яку вона може закинути м'яч – 15 метрів. Знайти ймовірність того, що м'яч відлетить за позначку 3 м.

Рішення.Шукану можливість пропонується вважати, як відношення довжини відрізка, що знаходиться за відміткою 3 м (сприятлива область) до довжини всього відрізка (різні результати):

приклад. Точку випадково кидають у коло радіусу 1. Яка ймовірність того, що точка потрапить у вписаний у коло квадрат?

Рішення.Під ймовірністю того, що крапка потрапить у квадрат, розуміють у цьому випадку відношення площі квадрата (сприятливої ​​площі) до площі кола (загальна площа фігури, куди кидають крапку):

Діагональ квадрата дорівнює 2 і виражається через його бік за теоремою Піфагора:

Аналогічні міркування проводять і в просторі: якщо в тілі об'єму випадково вибирається точка, то ймовірність того, що точка опиниться в частині тіла об'єму, обчислюється як відношення об'єму сприятливої ​​частини до загального об'єму тіла:

Поєднуючи всі випадки, можна сформулювати правило обчислення геометричної ймовірності:

Якщо в деякій області випадково вибирається точка, то ймовірність того, що точка опиниться в частині цієї області дорівнює:

, де

Позначає міру області: у разі відрізка – це довжина, у разі плоскої області – це площа, у разі просторового тіла – це об'єм, на поверхні – площа поверхні, на кривій – довжина кривої.

Цікавим додатком поняття геометричної ймовірності є завдання зустрічі.

Завдання. (Про зустріч)

Два студенти домовилися про зустріч, наприклад, о 10 годині ранку на наступних умовах: кожен приходить у будь-який час протягом години з 10 до 11 і чекає 10 хвилин, після чого йде. Яка ймовірність зустрічі?

Рішення.Проілюструємо умови завдання наступним чином: на осі відкладемо час, що йде для першого з тих, хто зустрічається, а на осі - час, що йде для другого. Оскільки експеримент триває одну годину, то по обох осях відкладемо відрізки довжини 1. Моменти часу, коли зустрічаються одночасно, інтерпретується діагоналлю квадрата.

Нехай перший прийшов у певний момент часу. Студенти зустрінуться, якщо час прибуття другого на місце зустрічі полягає у проміжку

Розмірковуючи так для будь-якого моменту часу, отримаємо, що область часу, що інтерпретує можливість зустрічі («перетин часу» знаходження на потрібному місці першого та другого студентів) знаходиться між двома прямими: і . Імовірність зустрічі визначається за формулою геометричної ймовірності:

У 1933 р. Колмогоров А.М. (1903 - 1987) запропонував аксіоматичний підхід до побудови та викладу теорії ймовірності, який став загальноприйнятим в даний час. При побудові теорії ймовірності як формальної аксіоматичної теорії потрібно як ввести базове поняття – ймовірність випадкового події, а й описати його властивості з допомогою аксіом (затверджень інтуїтивно вірних, прийнятих без докази).

Такими твердженнями є твердження, аналогічні до властивостей відносної частоти появи події.

Відносною частотою появи випадкової події називається відношення числа появи події у випробуваннях до загального числа проведених випробувань:

Очевидно, для достовірної події, для неможливої ​​події, для несумісних подій і вірно наступне:

приклад. Проілюструємо останнє твердження. Нехай із колоди у 36 карт виймають карти. Нехай подія означає появу бубей, подія означає поява черв'яків, а подія - поява карти червоної масті. Очевидно, події й несумісні. При появі червоної масті ставимо мітку біля події, при появі бубів – біля події, а при появі черв'яків – біля події. Очевидно, що мітка біля події буде поставлена ​​тоді і тільки тоді, коли буде поставлена ​​мітка біля події або події, тобто. .

Назвемо ймовірністю випадкової події число, зіставлене події за таким правилом:

Для несумісних подій та

Отже,

Наведені на даний момент у відкритому банку завдань ЄДІ з математики (mathege.ru), вирішення яких засноване на одній лише формулі, що є класичним визначенням ймовірності.

Зрозуміти формулу найпростіше на прикладах.
приклад 1.У кошику 9 червоних кульок та 3 синіх. Кулі відрізняються лише кольором. Навмання (не дивлячись) дістаємо один із них. Яка ймовірність того, що обрана таким чином куля виявиться синього кольору?

Коментар.У завданнях з теорії ймовірності відбувається щось (у разі наша дія з витягування кулі), що може мати різний результат - результат. Потрібно помітити, що результат можна дивитися по-різному. "Ми витягли якусь кулю" - теж результат. "Ми витягли синю кулю" - результат. "Ми витягли саме ось цю кулю з усіх можливих куль" - такий найменш узагальнений погляд на результат називається елементарним результатом. Саме елементарні результати маються на увазі у формулі для обчислення ймовірності.

Рішення.Тепер обчислимо можливість вибору синьої кулі.
Подія А: "вибрана куля виявилася синього кольору"
Загальна кількість всіх можливих результатів: 9+3=12 (кількість всіх куль, які ми могли б витягнути)
Число сприятливих для події А результатів: 3 (кількість таких результатів, при яких подія А сталася, тобто кількість синіх куль)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Відповідь: 0,25

Порахуємо для тієї ж задачі можливість вибору червоної кулі.
Загальна кількість можливих наслідків залишиться тим же, 12. Число сприятливих наслідків: 9. Шукана ймовірність: 9/12=3/4=0,75

Імовірність будь-якої події завжди лежить у межах від 0 до 1.
Іноді у повсякденному мовленні (але не теоретично ймовірності!) ймовірність подій оцінюють у відсотках. Перехід між математичною та розмовною оцінкою здійснюється шляхом множення (або поділу) на 100%.
Отже,
При цьому ймовірність дорівнює нулю у подій, які не можуть статися – неймовірні. Наприклад, у нашому прикладі це була б можливість витягнути з кошика зелену кулю. (Кількість сприятливих результатів дорівнює 0, Р(А)=0/12=0, якщо вважати за формулою)
Імовірність 1 мають події, які абсолютно точно відбудуться без варіантів. Наприклад, ймовірність того, що «обрана куля виявиться або червоною або синьою» - для нашого завдання. (Кількість сприятливих результатів: 12, Р(А)=12/12=1)

Ми розглянули класичний приклад, що ілюструє визначення ймовірності. Усі подібні завдання ЄДІ з теорії ймовірності вирішуються застосуванням цієї формули.
На місці червоних та синіх куль можуть бути яблука та груші, хлопчики та дівчатка, вивчені та невивчені квитки, квитки, що містять та не містять питання з якоїсь теми (прототипи , ), браковані та якісні сумки або садові насоси (прототипи , ) – принцип залишається тим самим.

Дещо відрізняються формулюванням завдання теорії ймовірності ЄДІ, де потрібно обчислити ймовірність випадання якоїсь події на певний день. ( , ) Як і попередніх завданнях потрібно визначити, що є елементарним результатом, після чого застосувати ту ж формулу.

приклад 2.Конференція триває три дні. Першого і другого дня виступають по 15 доповідачів, третього дня – 20. Яка ймовірність того, що доповідь професора М. випаде на третій день, якщо порядок доповідей визначається жеребкуванням?

Що є елементарним результатом? – Присвоєння доповіді професора одного з усіх можливих порядкових номерів для виступу. У жеребкуванні бере участь 15+15+20=50 осіб. Таким чином, доповідь професора М. може отримати один із 50 номерів. Значить, і елементарних результатів лише 50.
А які результати сприятливі? – Ті, за яких виявиться, що професор виступатиме третього дня. Тобто останні 20 номерів.
За формулою ймовірність P(A)=20/50=2/5=4/10=0,4
Відповідь: 0,4

Жеребкування тут є встановленням випадкової відповідності між людьми і впорядкованими місцями. У прикладі 2 встановлення відповідності розглядалося з погляду того, яке з місць могла б зайняти конкретна людина. Можна до тієї ж ситуації підходити з іншого боку: хто з людей з якою ймовірністю міг би потрапити на конкретне місце (прототипи , , , ):

приклад 3.У жеребкуванні беруть участь 5 німців, 8 французів та 3 естонці. Яка ймовірність того, що першим (/другим/сьомим/останнім – не важливо) виступатиме француз.

Кількість елементарних результатів - кількість всіх можливих людей, які могли б по жеребкуванню потрапити на дане місце. 5+8+3=16 осіб.
Сприятливі наслідки – французи. 8 людей.
Шукана ймовірність: 8/16=1/2=0,5
Відповідь: 0,5

Трохи відрізняється прототип. Залишилися завдання про монети () та гральні кістки (), дещо творчіші. Вирішення цих завдань можна переглянути на сторінках прототипів.

Наведемо кілька прикладів на кидання монети чи кубика.

приклад 4.Коли підкидаємо монету, якою є ймовірність випадання решки?
Виходів 2 – орел чи решка. (Вважається, що монета ніколи не падає на ребро) Сприятливий результат - решка, 1.
Можливість 1/2=0,5
Відповідь: 0,5.

Приклад 5.А якщо підкидаємо монету двічі? Яка ймовірність того, що обидва рази випаде орел?
Головне визначити, які елементарні результати розглядатимемо під час підкидання двох монет. Після підкидання двох монет може вийти один із наступних результатів:
1) PP – обидва рази випала решка
2) PO – перший раз решка, вдруге орел
3) OP – вперше орел, вдруге решка
4) OO – обидва рази випав орел
Інших варіантів немає. Отже, елементарних результатів 4. Сприятливий їх лише перший, 1.
Імовірність: 1/4 = 0,25
Відповідь: 0,25

Яка ймовірність того, що із двох підкидань монети один раз випаде решка?
Кількість елементарних результатів те саме, 4. Сприятливі результати – другий і третій, 2.
Можливість випадання однієї решки: 2/4=0,5

У таких завданнях може стати в нагоді ще одна формула.
Якщо при одному киданні монети можливих варіантів результату у нас 2, то для двох кидання результатів буде 2 · 2 = 2 2 = 4 (як у прикладі 5), для трьох кидання 2 · 2 · 2 = 2 3 = 8, для чотирьох: 2·2·2·2=2 4 =16, … для N кидання можливих результатів буде 2·2·...·2=2 N .

Так, можна знайти можливість випадання 5 решок з 5 кидань монети.
Загальна кількість елементарних результатів: 25 =32.
Сприятливі результати: 1. (РРРРР – всі 5 разів решка)
Імовірність: 1/32 = 0,03125

Те ж саме і для гральної кістки. При одному киданні можливих результатів тут 6. Значить, для двох кидань: 6 · 6 = 36, для трьох 6 · 6 · 6 = 216, і т. д.

Приклад 6.Кидаємо гральну кістку. Якою є ймовірність, що випаде парне число?

Усього результатів: 6, за кількістю граней.
Сприятливих: 3 результати. (2, 4, 6)
Імовірність: 3/6 = 0,5

Приклад 7.Кидаємо дві гральні кістки. Яка ймовірність, що у сумі випаде 10? (округлити до сотих)

Для одного кубика 6 можливих наслідків. Значить, для двох, за вищезгаданим правилом, 6 · 6 = 36.
Які результати будуть сприятливими у тому, щоб у сумі випало 10?
10 треба розкласти у сумі двох чисел від 1 до 6. Це можна зробити двома способами: 10=6+4 і 10=5+5. Отже, для кубиків можливі варіанти:
(6 на першому та 4 на другому)
(4 на першому та 6 на другому)
(5 на першому та 5 на другому)
Разом, 3 варіанти. Шукана ймовірність: 3/36=1/12=0,08
Відповідь: 0,08

Інші типи завдань B6 будуть розглянуті в одній із таких статей «Як вирішувати».