Число Грема та інші числа. Великі числа: за межею розуму - Перезавантаження

Найбільших чисел, які ніби можна записати у десятковій нотації. Так, нам знадобиться наноолівець і весь Всесвіт, проте теоретично хоча б можна уявити, як би ми його записували. Але на цьому рахунок не закінчується, і за гуголплексами, гугоплексами в мірі гуголплекс і факторіалами всього цього добра живуть такі чудовиська, які неможливо ні уявити, ні зрозуміти. При цьому ці чудовиська є рішеннями цілком собі певних завдань і мають практичний зміст.

Вступна
На певному етапі ми закінчимо можливості для запису чисел. Спочатку ми будемо використовувати десяткову нотацію, потім додавання та мультиплікацію, потім записувати числа у вигляді ступенів, потім у вигляді статечних веж. Але для чисел, про які піде мова далі, нам уже не вистачить Всесвіту (і мультивсесвіту теж), щоб записати статечну вежу так, якби розмір кожної цифри був планківським!

Отже, друзі мої, почнемо:
Ось додавання: a + b = a + 1 + 1 + ..., і так b разів;
Ось множення: a × b = a + a + a + ... і так b разів;
Ось ступінь: a b = a x a x a x ..., і так b разів;

Функція поки що приростає досить мляво, а далі ми можемо використовувати тільки статечні вежі: b a = a a a a ... , а після цього засоби запису чисел, про які має уявлення більшість, закінчуються. Тому для запису істинно неймовірних чисел використовується інша нотація – стрілочна, за авторством Дональда Кнута.

Стрілка нотація Кнута
a b = a b = a x a x a x ..., і так b разів - це зрозуміло;

A b = a (a b), тобто a (a (... b разів... a)), - це статечна вежа. Поки що все добре, але потрібен приклад для того, щоб розуміти порядки:
3 2 = 3 3 = 27;
3 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987;
3 4 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 (стандартний калькулятор вже видає помилку);
3 5 = 3 3 3 3 3 = 3 3 7 625 597 484 987

Дивіться, функція зростає дуже швидко, при зміні одного з аргументів «лише на одиницю», ми вже вийшли за гуголплекс, але це лише початок.

a b = a (a (... b разів... a)), тобто,
3 3 = 3 (3 3) = 3 7 625 597 484 987 = 3 3 ...7 625 597 484 987 разів... 3 . Для розуміння масштабу трагедії: ця статечна вежа з трійок заввишки до Марса. Наголошую червоним: не число довжиною до Марса, а висота вежі ступенів до Марса. Зрозуміти і уявити, скільки це в штуках неможливо. Можна лише розслабитись і отримувати задоволення, але я з часткою садизму нагадаю, що 3 5 приділяє гуголплекс, а 3 9 взагалі не може бути розраховано, на сукупній потужності всіх земних комп'ютерів.

Висота статечної вежі 3 3

3 4 - ця хрень відноситься вже до зухвалих знущань над здоровим глуздом. Якщо раніше можна було ще хоч якось намагатися уявити, як виглядала б статечна вежа з трійок до Марса і вдати, що таке число можна усвідомити, то тут - все. Кілька Всесвітів вже буде недостатньо, щоб організувати вежу висотою з 7625597484987 веж до Марса. Але, все-таки, поки що ми оперуємо хоч якимись категоріями. Далі вони закінчуються, бо...

Від g 1 до числа Грема
a b. або a (a (... b разів... a)). Усвідомлювати, представляти та описувати якесь 3 3 (а це і є число g1) немає сенсу. Порівняти це просто нема з чим. Аналогії стають недоречними, і можна лише винаходити епітети.

А далі, як нескладно здогадатися буде a b або a 5 b і таке інше. При цьому важливо пам'ятати, що кожна нова стрілочка додасть вибухове зростання не самого числа, а опису висоти статечної вежі, яка використовується для запису цього числа. Тому відкинемося на спинку крісла і продовжимо.

Отже, число g1 - це 33. А g2 - це ні хрону не 33, а 3g13. Бабах! Тобто вся ця ось дичина потрібна була лише для того, щоб показати кількість стрілок в числі g 2 . Але далі буде g 3 = 3 g 2 3 і щоб трохи відпочити від цих монстрів, потрібно б зробити невеликий відступ і розповісти, навіщо всі ці «же» потрібні. Потрібно б, але, так званої проблеми Грема, я не розумію: вірніше, я не розумію, на біса це могло знадобитися, але спробую описати.

Є куб, всі вершини якого з'єднані відрізками червоного чи синього кольору. Кольори відрізків потрібно підібрати так, щоб не вийшло,що 4 вершини, що лежать в одній площині, з'єднані відрізками одного кольору (див. картинку нижче, нижня фігура - це те, чого в результаті комбінування кольорів відрізків вийде не повинно).

Куб, що ілюструє «проблему Грема»

Для звичайного 3-мірного куба завдання вирішується, якщо і не в умі, то на папері геометричною побудовою. Для 4-мірного куба потрібно застосувати комбінаторику. Для 5-мірного та 6-мірного теж. І так далі до 13-мірного куба: це нижня межа вимірювань куба для якої доведено, що подібну комбінацію кольорів відрізків, що з'єднують вершини, підібрати можна, хоча сам Грем запоровся вже на 7-мірному. А як бути із верхнім кордоном? Грем у своє довів, що завдання можна розв'язати між 6 і якимось великим числом. Тобто в цьому діапазоні вимірів куба обов'язково знайдеться такий, де пофарбувати відрізки так, щоб умова завдання виконалася, буде неможливо. Те саме «велике число» і було названо числом Грема. І значення його G = g64 = 3g633.

Детальний запис числа Грема

Завісу! Хоча, а раптом якомога більше? Ні, не в сенсі, G + 1 або G G G, а так щоб число можна було б реально для чогось застосувати? І такі цифри є. Причому, вони приділяють G так само, як свого часу якесь сонне g 1 приділило гуголплекс на самому початку обчислень.

Число Райо
Взагалі, відразу варто відзначити, що навіть число Грема - це хрень, висмоктаний з двадцять першого пальця. Кому й навіщо це здоровий глузд може знадобитися я, чесно кажучи, не дуже уявляю. І навіть не уявляю, чи можливо теоретично, щоб колись і комусь це могло знадобитися в здоровому глузді. Але все ж таки, воно знакове. Це перше найбільше число, що з'явилося при доказі чогось, а далі просто пішла математична гонка, хто напише функцію, що найбільш швидко росте. Ти мені G!, а я тобі G G. А ще хтось народить якийсь G 1 = G G G і вже далі оперуватиме ним. Грубо, звичайно, але щось подібне мало місце, і якщо початкове число Грема мало якийсь практичний зміст, то вся наступна байда стала саме гонкою зростання функцій, що нівелювала велич числа, яку навіть на початку обчислень вже неможливо уявити чи зрозуміти.

Власне, вся проблема залишилася лише у способах запису. Від статечних веж був перехід до нотації Батіга, яка дозволила хоча б описати число Грема. Потім трапилися ланцюжки Конвея, масивні і матричні нотації і ось це все, що дозволяє описати скільки завгодно велике число, коли для попереднього способу запису вставала проблема кількості умовних стрілочок. Не буду їх тут описувати, принаймні зараз. Все-таки, нагадую, що серія статей про великі числа носить інформаційно-розважальний характер, і не хочеться перетворювати її на всяке.

Якась багатовимірно-матрична бляха

У результаті вся ця дичина дійшла до числа Райо. Це вже чиста філософія, отримана на якомусь математичному конкурсі на запис найбільшого числа на обмеженому просторі дошки, без використання нескінченності та будь-яких фокусів типу «найбільше плюс один». У результаті, вийшло, що число Райо - це найменше число, більше ніж будь-яке кінцеве число, визначене мовою теорії множин, з використанням гугол символів або менше. Якщо ви зрозуміли хоч щось про порядок цього числа, вірніше, нижньої межі чисел Райо, то ви або професійний математик, і не дуже зрозуміло, навіщо ви дочитали до цього місця, або, як і я, брешете про те, що хоч що зрозуміли.

А ось тепер тримайтеся, гарного вам настрою та всього доброго. У наступній серії ми вийдемо за межі нескінченності, а там буде все ще добрішим і веселішим, хоч і дещо простіше для розуміння, ніж те ж число Райо. Чи ні.

Якщо дуже довго вдивлятися у прірву,

можна непогано провести час.
Інженер Механічних Душ

Як тільки дитина (а це відбувається десь року в три-чотири) розуміє, що всі числа діляться на три великі групи "один, два і багато", він відразу намагається з'ясувати, наскільки багато буває багаточим багатовідрізняється від дуже багато, і чи може виявитися так багато, що більше не буває. Напевно, ви грали з батьками в цікаву (для того віку) гру, хто назве найбільше число, і якщо предок був не дурніший за п'ятикласника, то він завжди вигравав, на кожен "мільйон" відповідаючи "два мільйони", а на "мільярд" - "два мільярди" або "мільярд плюс один".

Вже до першого класу школи кожен знає — чисел безліч, вони ніколи не закінчуються і найбільшого числа не буває. До будь-якого мільйону трильйонів мільярдівзавжди можна сказати "плюс один" і залишитися у виграші. А трохи пізніше приходить (має прийти!) розуміння, що довгі рядки з цифр власними силами нічого не означають. Всі ці трильйони мільярдівтільки тоді мають сенс, коли служать уявленням якоїсь кількості предметів або ж описують певне явище. Вигадати довжелезне число, яке нічого не представляє, крім набору довгозвучних цифр, немає ніякої праці, їх отже нескінченнекількість. Наука, якоюсь образною мірою, займається тим, що витягує з цієї неосяжної прірви абсолютно конкретні комбінації цифр, додаючи до якогось фізичного явища, наприклад швидкості світла, Авогадро або постійної Планка.

І відразу ж виникає питання, а яке на світі найбільше число, яке щось означає? У цій статті я спробую розповісти про цифрового монстра число Грема, хоча строго кажучи, науці відомі числа і більше. Число Грема найрозпіарене, можна сказати "на слуху" у широкої публіки, тому що воно досить просто в поясненні і все ж таки досить велике, щоб запаморочити голову. Взагалі тут необхідно оголосити невеликий disclaimer ( русявий.застереження). Нехай прозвучить як жарт, але я ніфігу не жартую. Кажу цілком серйозно — прискіпливе колупання в подібних математичних глибинах у сукупності з нестримним розширенням меж сприйняття може надати (і вплине) серйозний вплив на світовідчуття, на позиціонування особистості в суспільстві та космосі, і, зрештою, на загальний психологічний станколупає, або, називатимемо речі своїми іменами — відкриває дорогу до шизи. Не варто занадто уважно вчитуватися в наступний текст, не варто занадто яскраво і жваво представляти описувані в ньому речі. І не говоріть потім, що вас не попереджали!

Перш ніж переходити до чисел-монстрів, потренуємося для початку на кішках. Нагадаю, що для опису великих чисел (не монстрів, а просто великих чисел) зручно користуватися науковим чи т.зв. експоненційнимспособом запису.

Коли кажуть, скажімо, про кількість зірок у Всесвіті (у Оглядовому Всесвіті), ніякий ідіот не лізе рахувати скільки їх там у буквальному значенні з точністю до останньої зірки. Вважається, що приблизно 10-21 штук. І це оцінка знизу. Отже, загальна кількість зірок можна виразити числом, у якого після одиниці коштує 21 нуль, тобто. "1 000 000 000 000 000 000 000".

Так виглядає невелика частина (близько 100 000) у кульовому скупченні Омега Центавра.

Природно, коли йдеться про подібні масштаби, дійсні цифри в числі великого значення не мають, адже все дуже умовно і приблизно. Може бути насправдічисло зірок у Всесвіті "1564861615140168357973", а може "9384684643798468483745". А то і "3 333 333 333 333 333 333 333" чому немає, хоча малоймовірно, звичайно. У космології, науці про властивості Всесвіту загалом такими дрібницями не морочаться. Головне уявляти, що приблизноце число складається з 22 цифр, від чого зручніше вважати його одиницею з 21 нулем і записувати як 10 21 . Правило загальне та дуже просте. Яка цифра або число стоять на місці ступеня (надруковані дрібним шрифтом зверху над числом 10 ось тут), стільки нулів після одиниці буде в тому числі, якщо розписати його по-простецьки, знаками поспіль, а не по-науковому. У деяких чисел існують "людські назви", наприклад 103 ми називаємо "тисяча", 106 - "мільйон", а 109 - "мільярд", а в деяких немає. Скажімо, у 10 59 немає загальноприйнятої назви. А у 10 21 , до речі, є – це "секстильйон".

Все, що йде до мільйона, практично будь-якій людині зрозуміло інтуїтивно, адже хто не хоче стати мільйонером? Далі у деяких починаються проблеми. Хоча мільярд (109) теж знають майже всі. До мільярда навіть можна дорахувати. Якщо тільки народившись, буквально в той же момент, коли вибрався з... ну... звідки там люди вибираються... почати рахувати раз на секунду "один, два, три, чотири..." і не спати, не пити , не є, а тільки рахувати-рахувати-рахувати невтомно вдень і вночі, то коли стукне 32 роки можна дорахувати до мільярда, тому що мільярд секунд приблизно становлять 32 обороти Землі навколо Сонця.

7 мільярдів - кількість людей планети. Виходячи з вищевикладеного, порахувати їх усіх по порядку протягом людського життя абсолютно неможливо, доведеться прожити більше двохсот років.

100 мільярдів (10 11) — стільки чи близько того людей мешкало на планеті за всю її історію. 100 мільярдів гамбургерів продала компанія Макдональдс до 1998 року за 50 років свого існування. 100 мільярдів зірок (ну, трохи більше) знаходиться в нашій галактиці Чумацький Шлях, і Сонце одна з них. Така ж кількість галактик міститься в найближчому Всесвіті. 100 мільярдів нейтронів знаходиться у головному мозку людини. І стільки ж анаеробних бактерій проживають у кожного, хто читає ці рядки в сліпій кишці.

Трильйон (1012) — число, яким рідко користуються. До трильйона дорахувати неможливо, на це піде 32 тисячі років. Трильйон секунд тому люди жили в печерах і полювали зі списами на мамонтів. Так, трильйон секунд тому на Землі жили мамонти. У всіх океанах планети приблизно трильйон риб. У сусідній з нами галактиці Андромеди близько трильйона зірок. Людина складається з 10 трлн клітин. ВВП Росії у 2013 році склав 66 трильйонів рублів (у рублях 2013 року). Від Землі до Сатурна 100 трильйонів сантиметрів і стільки ж букв загалом було надруковано в будь-коли опублікованих книгах людства.

Квадрильйон (10 15 мільйон мільярдів) — стільки всього мурах на планеті. Це слово нормальні люди вголос не вимовляють, ну, зізнайтеся, коли ви останній раз у розмові чули "квадрільйон чогось"?

Квінтильйон (10 18 мільярд мільярдів) - стільки існує можливих конфігурацій при складанні кубика Рубіка 3х3х3. Також кількість кубометрів води у світовому океані.

Секстильйон (10 21) це число нам вже зустрічалося. Кількість зірок у Оглядовому Всесвіті. Кількість піщин всіх пустель планети. Кількість транзисторів у всіх існуючих електронних пристроях людства, якщо Intel нам не брехав.

10 секстильйонів (10 22) - кількість молекул у грамі води.

10 24 - маса Землі в кілограмах.

10 26 — діаметр Оглядового Всесвіту в метрах, але в метрах вважати не дуже зручно, загальноприйняті межі Оглядового Всесвіту 93 мільярди світлових років.

Розмірами, більшими за Оглядовий Всесвіт наука не оперує. Ми знаємо напевно, що Оглядовий Всесвіт це не весь-вся-вся Всесвіт. Це та частина, що ми, хоч би теоретично, можемо бачити і спостерігати. Або могли бачити у минулому. Або зможемо побачити колись у віддаленому майбутньому, залишаючись у рамках сучасної науки. Від інших частин Всесвіту навіть зі швидкістю світла сигнали не зможуть до нас дістатися, від чого цих місць на наш погляд як би не існує. Наскільки великий той великий Всесвіт насправдініхто не знає. Може бути в мільйон разів більше, ніж Огляд. А може, в мільярд. А може, і взагалі нескінченна. Кажу ж, це вже не наука, а ворожіння на кавовій гущі. У вчених є деякі здогади, але це більше фантазії, ніж реальність.

Однак навіть у Оглядовий Всесвіт можна напхати набагато більше чогось іншого, ніж метри.

10 51 атомів становлять планету Земля.

10 80 зразкова кількість елементарних частинок в Оглядом Всесвіті.

10 90 приблизну кількість фотонів у Оглядовому Всесвіті. Їх майже в 10 мільярдів разів більше, ніж елементарних частинок, електронів та протонів.

10100 - гугол. Це число нічого фізично не означає просто кругле і красиве. Компанія, яка поставила собі за мету індексувати гугол посилань (жарт, звичайно, це ж більше, ніж число елементарних частинок у Всесвіті!) в 1998 році взяла собі назву Google.

10 122 протонів знадобиться, щоб набити Оглядовий Всесвіт під зав'язку, щільно так, протончик до протончика, впритул.

10 185 планківських обсягів займає Оглядовий Всесвіт. Менших величин, ніж планківський обсяг (кубик розмірів планківської довжини 10-35 метрів), наша наука не знає. Напевно, як і з Всесвіту, там є щось ще дрібніше, але осудних формул для подібних дрібниць вчені ще не придумали, одні суцільні спекуляції.

Виходить, що 10 185 або близько того — найбільше, яке в принципі може щось означати в сучасній науці. У науці, яка може помацати та виміряти. Це те, що існує чи могло б існувати, якщо так сталося, що ми дізналися про Всесвіт все, що можна було дізнатися. Число складається з 186 цифр, ось воно:

100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Наука тут, звичайно ж, не закінчується, але далі вже йдуть вільні теорії, здогади, а то й просто навчений чес і гон. Наприклад, ви напевно чули про інфляційну теорію, згідно з якою, можливо, наш Всесвіт лише частина більш загального Мультивселена, в якому цих всесвітів як бульбашок в океані шампанського.

Або чули про теорію струн, згідно з якою може існувати близько 10 500 конфігурацій коливань струн, а отже така ж кількість потенційних всесвітів, кожна зі своїми законами.

Чим далі в ліс, тим менше теоретичної фізики і взагалі науки залишається в числах, що набирають об'єм, і за колонками нулів починає проглядати дедалі чистіша, нічим не замутнена цариця наук. Математика це ж не фізика, тут обмежень немає і соромитися нічого, гуляй душа, пиши нули у формулах хоч до упаду.

Згадаю лише відомий широкому загалу гуголплекс. Число у якого гугол цифр, десять у степені гугол (10 гугол), або десять у степені десять у ступені сто (10 10 100).

10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Не записуватиму його цифрами. Гуголплекс не означає абсолютно нічого. Людина не може уявити собі гуголплекс будь-чого, це фізично неможливо. Щоб записати таке число знадобиться весь Огляд Всесвіт, якщо писати "нано-ручкою" прямо по вакууму фактично в планківські осередки космосу. Перекладемо всю матерію на чорнило і заповнимо Всесвіт одними суцільними цифрами, тоді отримаємо гуголплекс. Але математики (страшні люди!) гуголпрекс тільки розминаються, це найнижча планка, з якої для них стартують справжні нічияки. І якщо ви думаєте, що гуголплекс у ступеня гуголплекс це те, про що піде мова, ви навіть не уявляєте, наскільки помиляєтеся.

За гуголплексом йдуть багато цікавих чисел, що мають ту чи іншу роль у математичних доказах, чи довго коротко, перейдемо відразу до Грема, названому так на честь (ну, природно) математика Рональда Грема. Спочатку розповім, що це таке і для чого потрібно, потім образно на пальцях™(Та-дам!) Опишу, яке воно за величиною, а потім вже напишу саме число. Точніше спробую пояснити, що я написав.

Число Грема з'явилося в роботі, присвяченій вирішенню одного з завдань в теорії Рамсея, причому "рамсея" тут не дієприслівник недосконалого вигляду, а прізвище іншого математика, Франка Рамсея. Завдання звичайно ж досить надумане з обивательської точки зору, хоч і не сильно заморочена, але трішки порозкинути мізками все ж таки доведеться.

Уявіть куб, всі вершини якого з'єднані лініями-відрізками двох кольорів, червоного або синього. З'єднані та розфарбовані у випадковому порядку. Дехто вже здогадався, що йтиметься про розділ математики під назвою комбінаторика.

Чи зможемо ми схитруватися і так підібрати конфігурацію кольорів (а їх всього два — червоний і синій), щоб при розмальовці цих відрізків у нас не вийшло, що всі відрізки одного кольору, що з'єднують чотири точки, лежать в одній площині? В даному випадку, НЕ являють собою таку фігуру:

Можете самі подумати, покрутити куб в уяві перед очима, зробити подібне не так вже й складно. Кольори два, вершин (кутів) у куба 8, значить відрізків їх з'єднують - 28. Можна так підібрати конфігурацію забарвлення, що ми ніде не отримаємо вищевказаної фігури, у всіх можливих площинах будуть різнокольорові лінії.

А що якщо у нас більше вимірів? Що, якщо ми візьмемо куб, а чотиривимірний куб, тобто. тесеракт? Чи зможемо ми провернути той самий фокус, що і з тривимірним?

Навіть не поясню, що таке чотиривимірний куб, сподіваюся всі знають? У чотиривимірного куба 16 вершин. І не потрібно пижити мозок і намагатися уявити чотиривимірний куб. Це чиста математика. Подивився на кількість вимірів, підставив у формулу, отримав кількість вершин, ребер, граней тощо. Ну, чи у Вікіпедії піддивився, якщо формули не пам'ятаєш. Отже у чотиривимірного куба 16 вершин і 120 відрізків, що їх з'єднують. Кількість комбінацій забарвлення у чотиривимірному випадку набагато більше, ніж у тривимірному, але й тут не дуже складно порахувати, розділити, скоротити і так далі. Коротше з'ясувати, що в чотиривимірному просторі можна так зхитритися з розфарбуванням відрізків у гіперкуба, що всі лінії одного кольору, що з'єднують чотири точки, не лежатимуть в одній площині.

У п'ятивимірному? І в п'ятивимірному, де куб називається пентерактом або пентакубом, теж можна.
І в шестивимірному.

А далі вже складнощі. Грем не зміг математично довести, що у семимірного гіперкуба вдасться провернути таку операцію. І у восьмивимірного і так далі. Але це "і так далі", виявилося, не йде в нескінченність, а закінчується якимось дуже великим числом, яке і назвали "числом Грема".

Тобто існує якась мінімальна розмірністьгіперкуба, за якого умова порушується, і вже неможливо уникнути комбінації забарвлення відрізків, що чотири точки одного кольору лежатимуть в одній площині. І ця мінімальна розмірність точно більше шести і точно менше числа Грема, в цьому і полягає математичний доказ Рональда Грема.

А тепер визначення того, що я розписав на кілька абзаців, сухим і нудним (зате ємним) мовою математики. Розуміти не треба, але не навести його я не можу.

Розглянемо n-мірний гіперкуб і з'єднаємо всі пари вершин для отримання повного графа з 2 n вершинами. Розфарбуємо кожне ребро цього графа або в червоний або синій колір. При якому найменшому значенні n кожне таке забарвлення обов'язково містить розфарбований в один колір повний підграф із чотирма вершинами, всі з яких лежать в одній площині?

У 1971 році Грем довів, що зазначена проблема має рішення, і що це рішення (кількість розмірності) лежить між числом 6 і якимось великим числом, яке пізніше (не самим автором) було названо на його честь. У 2008 році доказ покращили, нижній кордон підняли, тепер кількість розмірностей, що шукається, лежить вже між числом 13 і числом Грема. Математики не сплять, робота йде, приціл звужується.

З 70-х років минуло чимало років, були знайдені математичні завдання в яких проявляються числа і більше гремова, але це перше число-монстр так вразило сучасників, які розуміють про які масштаби йдеться, що в 1980-му році його включили в книгу рекордів Гіннеса, як "саме" велике число, що коли-небудь брали участь у строгому математичному доказі "на той момент.

Спробуймо розібратися, наскільки воно велике. Пам'ятайте, що найбільше число, що може мати фізичний зміст 10 185 , а якщо весь Оглядовий Всесвіт заповнити нескінченним набором мізерних циферок, що здається, отримаємо щось порівнянне з гуголплексом.

Уявляєте цю громаду? Вперед, назад, вгору, вниз, наскільки вистачає око і наскільки вистачає телескопа Хаббл, і навіть наскільки не вистачає, до найдальших галактик і заглядаючи за них — цифри, цифри, цифри розміром набагато менші за протон. Існувати такий Всесвіт не зможе, тут же в чорну дірку зникне. Пригадуєте, скільки інформації можна теоретично помістити у Всесвіт? Адже я розповідав.

Число справді величезне, рве мозок. Воно не зовсім рівне гуголпрексу, називатиму його " дохуліонТааак, розмовники тут, рахівник! Щойно придумав, чому б і ні. Кількість планківських осередків у Оглядовому Всесвіті, і в кожному осередку записана цифра. Число містить 10 185 цифр, його можна зобразити як 10 10 185 .

дохуліон = 10 10 185

Продовжуємо набирати висоту. Пам'ятаєте інфляційну теорію? Що наш Всесвіт лише одна з багатьох бульбашок Мультивсесвіту. А якщо уявити дохуліонтаких бульбашок? Візьмемо число, довжиною з усе, що існує, і уявимо собі Мультивселенну з подібною кількістю всесвітів, кожна з яких під зав'язку списана цифрами — отримаємо дохуліон дохуліонів. Уявляєте таке? Як пливеш у небутті скалярного поля, а навколо всесвіти-всесвіт і в них цифри-цифри-цифри... Сподіваюся, подібний кошмар (хоча, чому кошмар?) не мучитиме (і чому мучити?) надміру вразливого читача ночами.

Для зручності назвемо таку операцію фліпТаке несерйозне слово-міждоміття, як-ніби взяли Всесвіт і вивернули навиворіт, то він був усередині в цифрах, а тепер навпаки у нас зовні стільки всесвітів, скільки було цифр, і кожна повна-повна коробочка, сама вся в цифрах. ніби гранат чистиш, скоринку так відгинаєш, усередині зернятка, а в зернятках гранати, чому б і ні. дохуліономадже прокотило.

Навіщо я хилю? А чи варто зупинятися? Хопа, і ще один фліп! І ось у нас стільки всесвітів, скільки було цифр у всесвітах, кількість яких дорівнювала дохуліону цифр, що заповнювали наш Всесвіт. І ще раз фліп. І четвертий, і п'ятий. Встигаєте за думкою, все ще уявляєте собі картину?

Не будемо дріб'язуватись, розганяємось по повній і фліпаємо фліп фліпів. Стільки разів вивертаємо кожну всесвіт навиворіт, скільки дохуліонів всесвітів було в попередньому фліпі, який фліпав з позаминулого, який... еее... ну, ви стежите? Десь так. Нехай тепер число стане, припустимо, " дохуліард".

дохуліард = фліп фліпів

Не зупиняємось і продовжуємо фліпати дохуліони дохуліардів доти, доки є сили. Поки в очах не темніє, доки не захочеться кричати. Тут кожен сам собі відважний Буратіно, стоп-слово буде "бринза".

Так ось. Всі ці дохуліони фліпів та дохуліарди всесвітів повних цифр не йдуть у жодне порівняння з числом Грема. Навіть не шкребуть по поверхні. Якщо число Грема уявити у вигляді палиці, розтягнутої за традицією на весь неосяжний Всесвіт, то, що ми тут з вами нафліпаливиявиться засічкою товщини... ну... як би це так, м'якше висловити... негідної згадки. Ось, пом'якшав, як міг.

Тепер давайте трохи відвернемося, перепочинемо. Ми читали, ми рахували, наші очко втомилися. Забудемо про число Грема, до нього ще повзти і повзти, розфокусуємо погляд, розслабимося, помедитуємо на набагато менше, прямо-таки мініатюрне число, яке назвемо g 1 і запишемо всього шістьма знаками:

Число g 1 дорівнює "три, чотири стрілочки, три". Це що таке, що це означає? Так виглядає спосіб запису, званий стрілочна нотація Кнута.

Одна стрілочка означає звичайне зведення на ступінь.

22 = 2 2 = 4
33 = 3 3 = 27
44 = 4 4 = 256
1010 = 10 10 = 10 000 000 000

Дві стрілочки означають, що зрозуміло, зведення в ступінь ступеня, але неочевидні хитрощі чекають на нас тут.

22 = 222 = 2 2 2 = 2 4 = 16

33 = 333 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987 (більше 7 трильйонів)

34 = 3333 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 = число, в якому близько 7 трильйонів цифр

35 = 33333 = 3 3 3 3 3 = 3 3 7 625 597 484 987 = 3 у ступеню числа, в якому 7 трильйонів цифр - гуголплекс смокче

Коротше кажучи, "число стрілочка стрілочка інше число" показує, яка висота ступенів (математики говорять вежа) вишиковується з першого числа. 59 означає вежу з дев'яти п'ятірок і настільки велике, що не може бути розраховано на жодному сучасному комп'ютері, навіть на всіх комп'ютерах планети одночасно.

Переходимо до трьох стрілочок. Якщо подвійна стрілочка показувала висоту вежі ступенів, то потрійна, здавалося б, вкаже "висота вежі висоти вежі"? Який там! Так буде тільки якщо стрілочки закінчуються на 2, скажімо 32. Якщо вони закінчуються на 3, ми маємо висоту башти висоти башти висоти башти (у математиці такого поняття немає, я вирішив назвати його " безвежею"). Якось так:

Тобто 33 утворює безбашню з трійок, заввишки 7 трильйонів штук. Що таке 7 трильйонів трійок, поставлені один на одного, іменовані мною "безбашнею"? Якщо ви уважно читали цей текст і не заснули на самому початку, мабуть, пам'ятайте, що від Землі до Сатурна 100 трильйонів сантиметрів. Трійка, показана на екрані дванадцятим шрифтом, ось ця – 3 – заввишки міліметрів п'ять. Значить безбашня з трійок простягнеться від вашого екрану... ну, не до Сатурна, звісно. Навіть до Сонця не дотягнеться всього чверть астрономічної одиниці, приблизно як від Землі до Марса в хорошу погоду. Звертаю увагу (не спати!), що безбашня не число довжиною від Землі до Марса, це вежа ступенів такої висоти. І ми пам'ятаємо, що перші п'ять трійок у цій вежі покривають число гуголплексів, обчислення першого дециметра спалює всі запобіжники комп'ютерів планети, а решта мільйонів кілометрів трійок вже просто відкрито насміхаються з читача.

Тепер зрозуміло, що 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3безбашня, (не 3 у ступені безбашні, а "три стрілочка стрілочка безбашня"(!)), вона ж безбашня безбашніне влізе ні по довжині ні по висоті до Оглядового Всесвіту, і навіть до передбачуваного Мультивсесвіту.

На 35 = 33333 закінчуються слова, а на 36 закінчуються вигуки, але можете потренуватися, якщо є інтерес.

Переходимо до чотирьох стрілочок. Як ви вже здогадалися, тут безбашня на безвежі сидить, безбашнею поганяє, і хоч із баштою, що без башти — все одно. Просто мовчки наведу картинку, що розкриває схему обчислення чотирьох стрілочок, коли кожне число вежі ступенів визначає висоту вежі ступенів, визначальну висоту вежі ступенів, визначальну висоту вежі ступенів... і так до самозабуття.

Розраховувати його марно, та й не вдасться. Кількість ступенів тут не піддається осмисленому обліку.

Де кількість трійок у кожній вежі вказується попередньою вежею.

Ось що таке число g 1 , що таке 33.

Перепочили? Тепер з g 1 з новими силами повертаємося до штурму числа Грема. g 1 чотири стрілки між трійками. І ми вже знаємо, що може ховатися за цією навмисною невинністю. А уявляєте п'ять стрілок? Шість? Сім? Мільйон? Якщо уявляєте, дозвольте запропонувати до вашої уваги число g 2 , в якому кількість цих стрілок виявляється дорівнює g 1 . Пам'ятаєте, що таке g 1 так?

Все, що було написано до цих пір, всі ці розрахунки, ступеня і вежі, що не поміщаються в мультивсесвіт, потрібні були тільки для одного. Щоб вказати КІЛЬКІСТЬ СТРІЛОК у числі g 2 . Тут уже не потрібно нічого рахувати, можна просто розсміятися і махнути рукою.

Не приховуватиму, є ще g 3 , в якому g 2 стрілок. До речі, все ще зрозуміло, що g 3 це не g 2 "у ступені" g 2 а кількість безбашень, що визначають висоту безбашень, що визначають висоту ... і так по всьому ланцюжку вниз до теплової смерті Всесвіту. Тут можна починати плакати.

Адже абсолютно правильно. Є число g 4 в якому міститься g 3 стрілочок між трійками. Є ще g5, є g6, g7, g17, g43.

Коротше їх 64 штуки цих g. Останнє g 64 і є число Грема, з якого все так цнотливо починалося. Це число розмірностей гіперкуба, якого точно буде достатньо, щоб правильно розфарбувати відрізки червоним та синім кольорами. Може, й менше, це, так би мовити, верхня межа. Його записують так:

А розписують так:

Все, тепер можна розслабитися по-чесному. Немає більше необхідності нічого уявляти та розраховувати. Якщо ви дочитали до цього місця, вже ніби все має стати на свої місця. Або не встати. Або не на свої.

Так, досвідчений читач з прокачаними запобіжниками, не потрібно докорів, ви маєте рацію. Число Грема - надумана і висмоктана з пальця фігня. Всі ці безрозмірні гіперкуби і абстрактні поверхні, він їх роздер, кому вони потрібні? Де кілограми, де електрони, де те, що можна виміряти? Що за порожні балачки ні про що? Погоджуся. Можна сказати, що сьогоднішній пост на пальцях™максимально, наскільки це було можливо, далекий від реальної науки, майже весь ширяє в якихось хитромудрих математичних фантазіях, у той час як ученим не вистачає грошей на прилади, не вирішена світова енергетична проблема, а у когось все ще туалет у дворі. А в когось і в полі.

Але знаєте, є така теорія, теж дуже ефемерна і філософська, може чули — все, що людина могла собі уявити або уявити обов'язково колись втілиться.

Ніхто не знає, що чекає на нас у майбутньому. У людської цивілізації є тисячі способів закінчитися: ядерні війни, екологічні катастрофи, смертоносні пандемії, астероїд якої може прилетіти, динозаври не дадуть збрехати. Розвиток людства може зупинитись само собою, раптом є такий закон, що по досягненню певного рівня розвиток просто припиняється і все. Або прилетять представники міжгалактичного союзу та зупинять цей розвиток силою.

Але є все-таки, і не маленький, шанс, що розвиток людства продовжиться без зупинки. Нехай навіть не такий запаморочливо швидкий, як останні 100 років, головне, що рух уперед, головне, що поступальний.

200 років тому килим-літак (звичайний літак), чарівне дзеркало (скайп-відео) або тридев'яте царство (поверхня планети Марс) здавалися нездійсненною казкою, 2000 років тому було потрібно тільки богам, 20 000 років такого взагалі уявити не могли, здібностей уяви вистачало. Ви можете собі уявити, що буде доступне людині через 200 років? Через 2000, через 20 000 років? У природи є один закон, відомий нам із найдавнішої давнини. Як би не було, що б не сталося, але час нікуди не подінеться, він пройде. Хочемо ми цього чи не хочемо — пройдуть тисяча й 10 тисяч років.

Чи виживе людство, чи це буде взагалі людство з приставкою "чоло-", а може на той час і етап Штучного Інтелекту закінчиться, породжуючи якісь ефірні енергетичні сутності особливої ​​категорії усвідомленості.

А якщо мине мільйон років? Адже він пройде, куди подінеться. Вважаю, що число Грема, і взагалі все, про що людина тільки здатна замислитися, уявити, витягнути з небуття і зробити нехай не відчутною, але яка має якийсь сенс річчю — обов'язково колись втілиться. Просто тому, що сьогодні у нас вистачило сил розвинутись до спроможності усвідомлення подібного.

Сьогодні, завтра, коли буде можливість - закиньте голову в нічне небо. Пам'ятаєте цей момент відчуття власної нікчемності? Відчуваєте, яка людина крихітна, порошинка, атом у порівнянні з безмежним Всесвітом, який зірок сповнений, яким числа немає, ну, і безодня, відповідно, теж не маленька.

Наступного разу спробуйте відчути, який Всесвіт піщинка в порівнянні з тим, що відбувається в голові. Яка безодня відкривається, які незмірні концепції народжуються, як Всесвіт фліпається навиворіт одним тільки рухом думки, як і наскільки жива, розумна матерія відрізняється від мертвої та нерозумної.

Я вірю, що через якийсь час людина дотягнеться до числа Грема, доторкнеться до нього рукою, або що в нього на той час буде замість руки. Це не обґрунтована, науково доведена думка, це дійсно лише надія, те, що мене надихає. Чи не Віра з великої літери, не релігійний екстаз, не вчення і не духовна практика. Це те, чого я чекаю від людства і чого сам прагну, в міру сил допомогти. Хоч і продовжую з обережності зараховувати себе до агностиків.

Є числа, які так неймовірно, неймовірно великі, що навіть для того, щоб записати їх, знадобиться весь всесвіт цілком. Але ось що справді зводить з розуму ... деякі з цих незбагненно великих чисел вкрай важливі для розуміння світу.

Коли я говорю “найбільше у Всесвіті”, насправді я маю на увазі найбільше значущечисло, максимально можливе число, яке певною мірою корисне. Є багато претендентів на цей титул, але я відразу ж попереджаю вас: дійсно існує ризик того, що спроба зрозуміти все це підірве ваш мозок. І, крім того, з надлишком математики, ви отримаєте мало задоволення.

Гугол та гуголплекс

Едвард Каснер

Ми могли б почати з двох, ймовірно, найбільших чисел, про які ви коли-небудь чули, і це дійсно два найбільші числа, які мають загальноприйняті визначення в англійській мові. (Є досить точна номенклатура, що використовується для позначення чисел настільки великих, як вам хотілося б, але ці два числа в даний час ви не знайдете в словниках.) Гугол, відколи він став всесвітньо відомим (хоча і з помилками, прямуючи. це googol) у вигляді Google, народився в 1920 році як спосіб зацікавити дітей великими числами.

З цією метою Едвард Каснер (на фото), взяв двох своїх племінників, Мільтона та Едвіна Сіротт, на прогулянку Нью-Джерсі Palisades. Він запропонував їм висувати будь-які ідеї, і тоді дев'ятирічний Мільтон запропонував “гугол”. Звідки він узяв це слово, невідомо, але Каснер вирішив, що або число, в якому за одиницею стоять сто нулів відтепер називатиметься гугол.

Але молодий Мільтон на цьому не зупинився, він запропонував ще більше, гуголплекс. Це число, на думку Мільтона, в якому на першому місці стоїть 1, а потім стільки нулів, скільки ви могли б написати до того, як втомитесь. Хоча ця ідея чарівна, Каснер вирішив, що необхідне формальне визначення. Як він пояснив у своїй книзі 1940 року видання “Математика і уява”, визначення Мільтона залишає відкритою ризиковану можливість того, що випадковий блазень може стати математиком, який перевершує Альберта Ейнштейна просто тому, що він має більшу витривалість.

Таким чином, Каснер вирішив, що гуголплекс дорівнюватиме , або 1, а потім гугол нулів. Інакше, і в позначеннях, аналогічних тим, з якими ми матимемо справу для інших чисел, говоритимемо, що гуголплекс — це . Щоб показати, наскільки це заворожує, Карл Саган якось зауважив, що фізично неможливо записати всі нулі гуголплексу, бо просто не вистачить місця у Всесвіті. Якщо заповнити весь обсяг спостерігається Всесвіту дрібними частинками пилу розміром приблизно 1,5 мікрона, то кількість різних способів розташування цих частинок буде приблизно дорівнює одному гуголплексу.

Лінгвістично кажучи, гугол і гуголплекс, ймовірно, два найбільших значущих числа (принаймні в англійській мові), але, як ми зараз встановимо, способів визначення “значущості” нескінченно багато.

Реальний світ

Якщо ми говоритимемо про найбільшу значну кількість, існує розумний аргумент, що це дійсно означає, що потрібно знайти найбільше число з реально існуючим у світі значенням. Ми можемо почати з поточної людської популяції, яка зараз становить близько 6920 мільйонів. Світовий ВВП у 2010 році, за оцінками, становив близько 61960 мільярдів доларів, але обидва ці числа незначні порівняно з приблизно 100 трильйонами клітин, що становлять організм людини. Звичайно, жодне з цих чисел не може зрівнятися з повним числом частинок у Всесвіті, яке, як правило, вважається рівним приблизно і це число настільки велике, що наша мова не має відповідного йому слова.

Ми можемо пограти трохи з системами заходів, роблячи числа більше та більше. Так, маса Сонця в тоннах буде меншою, ніж у фунтах. Прекрасний спосіб зробити це полягає у використанні системи одиниць Планка, які є найменшими можливими заходами, для яких залишаються чинними закони фізики. Наприклад, вік Всесвіту в часі Планка становить близько . Якщо ми повернемося в першу одиницю часу Планка після Великого Вибуху, то побачимо, що щільність Всесвіту була . Ми отримуємо все більше, але ми ще не досягли навіть гугола.

Найбільше з будь-яким реальним додатком світі — чи, у разі реальним застосуванням у світах — мабуть, , — одне з останніх оцінок числа всесвітів у мультивсеселенной. Це число настільки велике, що людський мозок буде буквально не в змозі сприйняти всі ці різні всесвіти, оскільки мозок здатний лише приблизно на конфігурації. Насправді це число, ймовірно, найбільше число з будь-яким практичним змістом, якщо ви не берете до уваги ідею мультивсесвіту в цілому. Однак є ще набагато більші числа, які там ховаються. Але для того, щоб знайти їх, ми повинні вирушити в область чистої математики, і немає кращого початку, ніж прості числа.

Прості числа Мерсенна

Частина труднощів полягає в тому, щоб придумати хороше визначення того, що таке “значне” число. Один із способів полягає в тому, щоб міркувати у термінах простих та складових чисел. Просте число, як ви, напевно, пам'ятаєте зі шкільної математики, - це будь-яке натуральне число (прим. не рівне одиниці), яке ділиться тільки на себе. Отже, і прості числа, а і складові числа. Це означає, що будь-яке складове число може зрештою бути представлене своїми простими дільниками. У певному сенсі число є більш важливим, ніж, скажімо, тому, що немає ніякого способу висловити його через добуток менших чисел.

Очевидно, ми можемо піти трохи далі. Наприклад, насправді просто , що означає, що в гіпотетичному світі, де наші знання чисел обмежені числом , математик ще може висловити число . Але вже наступне число просте, і це означає, що єдиним способом його висловити безпосередньо знати про його існування. Це означає, що найбільші відомі прості числа відіграють важливу роль, а, скажімо, гугол – який, зрештою, просто набір з чисел і перемножених між собою взагалі-то й немає. І оскільки прості числа переважно випадкові, невідомо ніяких способів передбачити, що неймовірно велике число насправді буде простим. Досі відкриття нових простих чисел — це важка справа.

Математики Давньої Греції мали поняття про прості числа, принаймні, вже в 500 році до нашої ери, а через 2000 років люди все ще знали, які числа прості лише приблизно до 750. Мислителі часів Евкліда побачили можливість спрощення, але аж до епохи Відродження математики не могли дійсно використати це на практиці. Ці числа відомі як числа Мерсенна, вони названі на честь французького вченого XVII століття Марина Мерсенна. Ідея досить проста: число Мерсенна - це будь-яке число виду. Так, наприклад, , і це число просте, те саме вірно і для .

Набагато швидше і легше визначити прості числа Мерсенна, ніж будь-який інший вид простих чисел, і комп'ютери напружено працюють у пошуках протягом останніх шести десятиліть. До 1952 найбільшим відомим простим числом було число - число з цифрами. У тому ж році на комп'ютері вирахували, що число просте, і це число складається з цифр, що робить його вже набагато більше, ніж гугол.

Комп'ютери з тих пір були на полюванні, і в даний час число Мерсенна є найбільшим простим числом, відомим людству. Виявлене у 2008 році, воно становить число з майже мільйонами цифр. Це найбільша відома кількість, яка не може бути виражена через будь-які менші числа, і якщо ви хочете допомогти знайти ще більше Мерсенна, ви (і ваш комп'ютер) завжди можете приєднатися до пошуку на сайті http://www.mersenne. org/.

Число Скьюза

Стенлі Скьюз

Знову звернемося до простих чисел. Як я вже казав, вони поводяться докорінно неправильно, це означає, що немає ніякого способу передбачити, яким буде таке просте число. Математики були змушені звернутися до деяких досить фантастичних вимірів, щоб придумати якийсь спосіб передбачити майбутні прості числа навіть у якийсь туманний спосіб. Найбільш успішною з цих спроб, ймовірно, є функція, що вважає прості числа, яку вигадав наприкінці XVIII століття легендарний математик Карл Фрідріх Гаус.

Я позбавлю вас складнішої математики — так чи інакше, у нас багато ще попереду — але суть функції полягає в наступному: для будь-якого цілого можна оцінити, скільки існує простих чисел, менших. Наприклад, якщо , функція передбачає, що має бути простих чисел, якщо простих числа, менших , і якщо , то існує менших чисел, які є простими.

Розташування простих чисел справді має нерегулярний характер, і це лише наближення фактичного числа простих чисел. Насправді ми знаємо, що простих чисел, менших , простих чисел менших , і простих чисел менших . Це відмінна оцінка, що й казати, але це завжди лише оцінка… і, конкретніше, оцінка зверху.

У всіх відомих випадках до , функція, яка знаходить кількість простих чисел, трохи перебільшує фактичну кількість простих чисел менших . Математики колись думали, що так буде завжди, до нескінченності, що це, безумовно, відноситься і до деяких неймовірно величезних чисел, але в 1914 Джон Ідензор Літтлвуд довів, що для якогось невідомого, неймовірно величезного числа ця функція почне видавати менше простих чисел, а потім вона буде перемикатися між оцінкою зверху та оцінкою знизу нескінченне число разів.

Полювання було на точку початку стрибків, і тут з'явився Стенлі Скьюз (див. фото). В 1933 він довів, що верхня межа, коли функція, що наближає кількість простих чисел вперше дає менше значення - це число . Важко по-справжньому зрозуміти навіть у найбільш абстрактному сенсі, що насправді це число, і з цієї точки зору це було найбільше число, коли-небудь використане в серйозному математичному доказі. З того часу математики змогли зменшити верхню межу до відносно невеликого числа, але вихідне число залишилося відоме як число Скьюза.

Отже, наскільки велике число, яке робить карликом навіть могутній гуголплекс? У словнику The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers Девід Уеллс розповідає один спосіб, з допомогою якого математику Харді вдалося осмислити розмір числа Скьюза:

"Харді думав, що це "найбільше число, що коли-небудь служило будь-якої певної мети в математиці'', і припустив, що якщо грати в шахи з усіма частинками Всесвіту як фігурами, один хід полягав у перестановці місцями двох частинок, і гра припинялася б, коли одна й та сама позиція повторювалася б втретє, то число всіх можливих партій дорівнювало б приблизно числу Скьюза''.

І останнє перед тим, як рухатися далі: ми говорили про менше з двох чисел Ск'юза. Існує інше число Скьюза, який математик знайшов у 1955 році. Перше число отримано на тій підставі, що так звана гіпотеза Рімана істинна - це особливо складна гіпотеза математики, яка залишається недоведеною, дуже корисна, коли йдеться про прості числа. Тим не менш, якщо гіпотеза Рімана є хибною, Ск'юз виявив, що точка початку стрибків збільшується до .

Проблема величини

Перш ніж ми перейдемо до числа, поряд з яким навіть число Скьюза виглядає крихітним, нам потрібно трохи поговорити про масштаб, тому що інакше ми не маємо можливості оцінити, куди ми збираємося йти. Спочатку давайте візьмемо число - це крихітне число, настільки мале, що люди можуть справді мати інтуїтивне розуміння того, що воно означає. Є дуже мало чисел, які відповідають цьому опису, тому що числа більше шести перестають бути окремими числами і стають “декілька”, “багато” тощо.

Тепер давайте візьмемо, тобто. . Хоча ми насправді не можемо інтуїтивно, як це було для числа, зрозуміти, що таке, уявити те, чим є дуже легко. Поки що все йде добре. Але що станеться, якщо ми перейдемо до ? Це одно, або. Ми дуже далекі від здатності уявити собі цю величину, як і будь-яку іншу, дуже велику — ми втрачаємо здатність осягати окремі частини близько мільйона. (Щоправда, дуже багато часу зайняло б, щоб дійсно дорахувати до мільйона чого б там не було, але справа в тому, що ми все ще здатні сприймати це число.)

Тим не менш, хоча ми не можемо уявити, ми принаймні спроможні зрозуміти загалом, що таке 7600 млрд, можливо, порівнюючи його з чимось таким, як ВВП США. Ми перейшли від інтуїції до уявлення і до простого розуміння, але принаймні ми ще маємо певну прогалину в розумінні того, що таке число. Це ось-ось зміниться, у міру нашого просування на ще один щабель вгору сходами.

Для цього нам потрібно перейти до позначення, введеного Дональдом Кнутом, відомого як стрілочна нотація. У цих позначеннях можна записати як . Коли ми потім перейдемо до , число, яке ми отримаємо, буде рівним . Це де в цілому трійок. Ми тепер значно і по-справжньому перевершили всі інші числа, про які ми вже говорили. Зрештою, навіть у найбільших з них було лише три чи чотири члени у ряді показників. Наприклад, навіть супер-число Скьюза — це “тільки” навіть з поправкою на те, що і основа, і показники набагато більші, ніж воно, як і раніше, абсолютно ніщо в порівнянні з величиною числової вежі з млрд членів.

Очевидно, що немає ніякого способу для розуміння настільки величезних чисел… проте процес, за допомогою якого вони створені, ще можна зрозуміти. Ми не могли б зрозуміти реальну кількість, яка задається вежею ступенів, в якій мільярд трійок, але ми можемо в основному уявити таку вежу з багатьма членами, і справді пристойний суперкомп'ютер зможе зберігати в пам'яті такі вежі, навіть якщо він не зможе обчислити їх дійсні значення .

Це стає все абстрактнішим, але далі буде тільки гірше. Ви можете подумати, що вежа ступенів довжина показника якої дорівнює (більше того, в попередній версії цього посту я зробив саме цю помилку), але це просто. Іншими словами, уявіть, що у вас є можливість обчислити точне значення статечної вежі з трійок, яка складається з елементів, а потім ви взяли це значення і створили нову вежу з такою кількістю в ньому, що дає .

Повторіть цей процес з кожним наступним числом ( прямуючи.починаючи праворуч), поки ви не зробите цього разу, і тоді нарешті ви отримаєте . Це число, яке просто неймовірно велике, але принаймні кроки його отримання начебто зрозумілі, якщо робити дуже повільно. Ми більше не можемо зрозуміти числа або уявити процедуру, завдяки якій воно виходить, але, принаймні, ми можемо зрозуміти основний алгоритм лише у досить великий термін.

Тепер підготуємо розум до того, щоб його справді підірвати.

Число Грема (Грехема)

Рональд Грем

Ось як ви отримаєте число Грема, яке займає місце в Книзі рекордів Гіннеса як найбільше число, яке коли-небудь використовували в математичному доказі. Цілком неможливо уявити, наскільки воно велике, і так само важко точно пояснити, що це таке. У принципі число Грема з'являється, коли мають справу з гіперкубами, які є теоретичними геометричними формами з більш ніж трьома вимірами. Математик Рональд Грем (див. фото) хотів з'ясувати, за якого найменшого числа вимірювань певні властивості гіперкуба залишатимуться стійкими. (Вибачте за таке розпливчасте пояснення, але я впевнений, що нам усім потрібно отримати принаймні два вчені ступені з математики, щоб зробити його більш точним.)

У будь-якому випадку число Ґрема є оцінкою зверху цього мінімального числа вимірювань. Отже, наскільки великий цей верхній кордон? Давайте повернемося до такого великого, що алгоритм його отримання ми можемо зрозуміти досить неясно. Тепер, замість того, щоб просто стрибати вгору ще на один рівень до , ми будемо рахувати число , в якому є стрілки між першою та останньою трійками. Тепер ми далеко за межами навіть найменшого розуміння того, що таке це число або навіть від того, що потрібно робити, щоб його обчислити.

Тепер повторимо цей процес рази ( прямуючи.на кожному наступному кроці ми пишемо число стрілок, що дорівнює числу, отриманому на попередньому кроці).

Це, пані та панове, число Грема, яке приблизно на порядку стоїть вище за точку людського розуміння. Це число, яке настільки більше, ніж будь-яке число, яке можна собі уявити - це набагато більше, ніж будь-яка нескінченність, яку ви могли б коли-небудь сподіватися собі уявити - воно просто не піддається навіть абстрактним описом.

Але дивна річ. Оскільки число Грема переважно — це просто трійки, перемножені між собою, ми знаємо деякі його властивості без фактичного його обчислення. Ми не можемо уявити число Грема за допомогою будь-яких знайомих нам позначень, навіть якби ми використали весь Всесвіт, щоб записати його, але я можу назвати вам прямо зараз останні дванадцять цифр числа Грема: . І це ще не все: ми знаємо принаймні останні цифри Грема.

Звичайно, варто пам'ятати, що це число лише верхня межа у вихідному завданні Грема. Цілком можливо, що фактичне число вимірювань, необхідних для виконання потрібної властивості набагато менше. Насправді ще з 1980-х років вважалося, на думку більшості фахівців у цій галузі, що фактично кількість вимірів лише шість — число настільки мале, що ми можемо зрозуміти його на інтуїтивному рівні. З того часу нижня межа була збільшена до , але є ще дуже великий шанс, що розв'язання задачі Грема не лежить поряд з числом настільки ж великим, як число Грема.

До нескінченності

То чи є числа більше, ніж число Грема? Є, звичайно, для початку є число Грема. Що стосується значного числа… добре, є деякі диявольськи складні галузі математики (зокрема, області, відомої як комбінаторика) та інформатики, в яких зустрічаються числа навіть більші, ніж число Грема. Але ми майже досягли межі того, що, як я можу сподіватися, будь-коли зможуть розумно пояснити. Для тих, хто досить нерозважливий достатньо, щоб піти ще далі, пропонується література для додаткового читання на свій страх та ризик.

Ну а зараз дивовижна цитата, яка приписується Дугласу Рею ( прямуючи.Чесно кажучи, звучить досить смішно):

“Я бачу скупчення невиразних чисел, які ховаються там, у темряві, за невеликою плямою світла, що дає свічка розуму. Вони шепочуться один з одним; змовляючись хто знає про що. Можливо, вони нас не дуже люблять за захоплення їхніх менших братиків нашими умами. Або, можливо, вони просто ведуть однозначний числовий спосіб життя, там, за межами нашого розуміння”.

Яке на світі найбільше число, яке щось означає? У цій статті я спробую розповісти про цифрового монстра, що називається число Грема,

Пише sly2m.livejournal.com

Джерело:

Якщо довго вдивлятися у прірву, можна непогано провести час.
Інженер Механічних Душ

Число Грема на пальцях™

Як тільки дитина (а це відбувається десь року в три-чотири) розуміє, що всі числа діляться на три групи «один, два і багато», він відразу намагається з'ясувати: наскільки багато буває багато, чим багато відрізняється від дуже багато, і чи може бути так багато, що більше не буває. Напевно ви грали з батьками в цікаву (для того віку) гру, хто назве найбільше число, і якщо предок був не дурнішим за п'ятикласника, то він завжди вигравав, на кожен «мільйон» відповідаючи «два мільйони», а на «мільярд» - "два мільярди" або "мільярд плюс один".

Вже до першого класу школи кожен знає - чисел безліч, вони ніколи не закінчуються і найбільшого числа не буває. До будь-якого мільйона трильйонів мільярдів завжди можна сказати «плюс один» і залишитись у виграші. А трішки пізніше приходить (має прийти!) розуміння, що довгі рядки цифр самі собою нічого не означають. Всі ці трильйони мільярдів тільки тоді мають сенс, коли служать уявленням якоїсь кількості предметів або ж описують якесь явище. Вигадати довжелезне число, яке нічого з себе не представляє, крім набору цифр, що довго звучать, немає ніякої праці, їх отже нескінченна кількість. Наука, якоюсь образною мірою, займається тим, що вишукує в цій неосяжній безодні абсолютно конкретні комбінації цифр, долучаючи до якогось фізичного явища, наприклад швидкості світла, Авогадро чи постійної Планка.

І відразу ж виникає питання, а яке на світі найбільше число, яке щось означає? У цій статті я спробую розповісти про цифровий монстр, званий число Грема, хоча строго кажучи, науці відомі числа і більше. Число Грема найрозпіарене, можна сказати «на слуху» у широкої публіки, тому що воно досить просто в поясненні і все ж таки досить велике, щоб запаморочити голову. Взагалі, тут потрібно оголосити маленький disclaimer (рус. застереження). Нехай прозвучить як жарт, але я ніфігу не жартую. Кажу цілком серйозно - прискіпливе колупання в подібних математичних глибинах у сукупності з нестримним розширенням меж сприйняття може надати (і вплине) серйозний вплив на світовідчуття, на позиціонування особистості в суспільстві, і, зрештою, на загальний психологічний стан копирсаючого, або, будемо називати речі своїми іменами – відкриває дорогу до шизи. Не потрібно надто уважно вчитуватися в наступний текст, не варто занадто яскраво і жваво представляти описувані в ньому речі. І не говоріть потім, що вас не попереджали!

Перш ніж переходити до чисел-монстрів, потренуємося для початку на кішках. Нагадаю, що для опису великих чисел (не монстрів, а просто великих чисел) зручно користуватися науковим чи т.зв. експонентним способом запису.

Коли кажуть, скажімо, про кількість зірок у Всесвіті (у Оглядовому Всесвіті), ніякий ідіот не лізе обчислювати скільки їх там у буквальному значенні з точністю до останньої зірки. Вважається, що приблизно 10? штук. І це оцінка знизу. Отже, загальна кількість зірок можна виразити числом, у якого після одиниці коштує 21 нуль, тобто. "1 000 000 000 000 000 000 000".

Так виглядає невелика частина (близько 100 000) у кульовому скупченні Омега Центавра.

Природно, коли йдеться про подібні масштаби, дійсні цифри в числі суттєвого значення не відіграють, адже все дуже умовно і приблизно. Може бути насправді число зірок у Всесвіті «1564861615140168357973», а може «9384684643798468483745». А то й «3 333 333 333 333 333 333 333» чому немає, хоча малоймовірно, звичайно. У космології, науці про властивості Всесвіту загалом такими дрібницями не морочаться. Головне уявляти, що приблизно це число складається з 22 цифр, від чого зручніше вважати його одиницею з 21 нулем, і записувати як 10? Правило загальне та дуже просте. Яка цифра чи число стоять на місці ступеня (надруковані дрібним шрифтом зверху над 10), стільки нулів після одиниці буде в тому числі, якщо розписати його по-простецьки, знаками поспіль, а не по-науковому. У деяких чисел існують «людські назви», наприклад 10? ми називаємо «тисяча», 10⁶ – «мільйон», а 10⁹ – «мільярд», а в деяких ні. Скажімо, у 10⁵⁹ немає загальноприйнятої назви. А у 10?, до речі, є - це «секстильйон».

Все, що йде до мільйона, практично будь-якій людині зрозуміло інтуїтивно, адже хто не хоче стати мільйонером? Далі у деяких починаються проблеми. Хоча мільярд (10⁹) теж знають майже всі. До мільярда навіть можна дорахувати. Якщо тільки народившись, буквально в момент появи на світ почати рахувати раз на секунду «один, два, три, чотири...» і не спати, не пити, не їсти, а тільки рахувати-рахувати-рахувати без втоми вдень і вночі, то коли стукне 32 роки можна дорахувати до мільярда, тому що 32 обороти Землі навколо Сонця займають приблизно мільярд секунд.

7 мільярдів – кількість людей на планеті. Виходячи з вищевикладеного, порахувати їх усіх по порядку протягом людського життя абсолютно неможливо, доведеться прожити понад двісті років.

100 мільярдів (101¹) - стільки чи близько того людей жило на планеті за всю її історію. 100 мільярдів гамбургерів продав Макдональдс до 1998 за 50 років свого існування. 100 мільярдів зірок (ну, трохи більше) знаходиться в нашій галактиці Чумацький Шлях, і Сонце одна з них. Така ж кількість галактик міститься в найближчому Всесвіті. 100 мільярдів нейронів перебуває у головному мозку людини. І стільки ж анаеробних бактерій проживають у кожного, хто читає ці рядки в сліпій кишці.

Трильйон (10??) - Число, яким рідко користуються. До трильйона дорахувати неможливо, на це піде 32 тисячі років. Трильйон секунд тому люди жили в печерах і полювали зі списами на мамонтів. Так, трильйон секунд тому на Землі жили мамонти. В океанах планети приблизно трильйон риб. У сусідній з нами галактиці Андромеди близько трильйона зірок. Людина складається з 10 трлн клітин. ВВП Росії у 2013 році склав 66 трильйонів рублів (у рублях 2013 року). Від Землі до Сатурна 100 трильйонів сантиметрів і стільки ж літер загалом було надруковано у всіх будь-коли опублікованих книгах.

Квадрильйон (101⁵, мільйон мільярдів) - стільки всього мурах на планеті. Це слово нормальні люди вголос не вимовляють, ну, зізнайтеся, коли ви останній раз у розмові чули «квадрільйон чогось»?

Квінтильйон (101⁸, мільярд мільярдів) – стільки існує можливих конфігурацій при складанні кубика Рубіка 3х3х3. Також кількість кубометрів води у світовому океані.

Секстильйон (10²¹) – це число нам уже зустрічалося. Кількість зірок у Оглядовому Всесвіті. Кількість піщин всіх пустель Землі. Кількість транзисторів у всіх існуючих електронних пристроях людства, якщо Intel нам не брехав.

10 секстильйонів (10²²) – кількість молекул у грамі води.

10²⁴ – маса Землі в кілограмах.

10²⁶ - діаметр Оглядового Всесвіту в метрах, але в метрах вважати не дуже зручно, загальноприйняті межі Оглядового Всесвіту 93 мільярди світлових років.

Розмірами, більшими за Оглядовий Всесвіт, наука не оперує. Ми знаємо напевно, що Оглядовий Всесвіт це не весь-вся-вся Всесвіт. Це та частина, що ми, хоч би теоретично, можемо бачити і спостерігати. Або могли бачити у минулому. Або зможемо побачити колись у віддаленому майбутньому, залишаючись у рамках сучасної науки. Від інших частин Всесвіту навіть зі швидкістю світла сигнали не зможуть до нас дістатися, від чого цих місць на наш погляд як би не існує. Наскільки великий той великий Всесвіт насправді ніхто не знає. Може бути в мільйон разів більше, ніж Огляд. А може, в мільярд. А може, і взагалі нескінченна. Кажу ж, це вже не наука, а ворожіння на кавовій гущі. У вчених є деякі здогади, але це більше фантазії, ніж реальність.

Для візуалізації космічних масштабів корисно вивчити цю картинку, розкривши її на весь екран.

Однак навіть у Оглядовий Всесвіт можна напхати набагато більше чогось іншого, ніж метри.

10⁵¹ атомів становлять планету Земля.

10⁸⁰ приблизну кількість елементарних частинок у Оглядовому Всесвіті.

10⁹⁰ приблизну кількість фотонів у Оглядовому Всесвіті. Їх майже в 10 мільярдів разів більше, ніж елементарних частинок, електронів та протонів.

10¹⁰⁰ - гугол. Це число нічого фізично не означає просто кругле і красиве. Компанія, яка поставила собі за мету індексувати гугол посилань (жарт, звичайно, це ж більше, ніж число елементарних частинок у Всесвіті!) у 1998 році взяла собі назву Google.

10¹²² протонів знадобиться, щоб набити Оглядовий Всесвіт під зав'язку, щільно так, протончик до протончика, впритул.

10¹⁸⁵ планківських обсягів займає Оглядовий Всесвіт. Менших величин, ніж планківський обсяг (кубик розмірів планківської довжини 10⁻³⁵ метра), наша наука не знає. Напевно, як і з Всесвіту, там є щось ще дрібніше, але осудних формул для подібних дрібниць вчені ще не придумали, одні суцільні спекуляції.

Виходить, що 101⁸⁵ або близько того - найбільше число, яке в принципі може щось означати в сучасній науці. У науці, яка може помацати та виміряти. Це те, що існує чи могло б існувати, якщо так сталося, що ми дізналися про Всесвіт все, що можна було дізнатися. Число складається з 186 цифр, ось воно:

100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Наука тут, звичайно ж, не закінчується, але далі вже йдуть вільні теорії, здогади, а то й просто навчений чес і гон. Наприклад, ви напевно чули про інфляційну теорію, згідно з якою, можливо, наш Всесвіт лише частина більш загального Мультивселена, в якому цих всесвітів як бульбашок в океані шампанського.

Або чули про теорію струн, згідно з якою може існувати близько 10⁵⁰⁰ конфігурацій коливань струн, а отже така ж кількість потенційних всесвітів, кожна зі своїми законами.

Чим далі в ліс, тим менше теоретичної фізики і взагалі науки залишається в числах, що набирають обсяги, і за колонками нулів починає проглядати дедалі чистіша, нічим не замутнена цариця наук. Математика це ж не фізика, тут обмежень немає і соромитися нічого, гуляй душа, пиши нули у формулах хоч до упаду.

Згадаю лише відомий багатьом гуголплекс. Число у якого гугол цифр, десять у ступені гугол або десять у ступені десять у ступені сто

Не записуватиму його цифрами. Гуголплекс не означає абсолютно нічого. Людина не може уявити собі гуголплекс будь-чого, це фізично неможливо. Щоб записати таке число знадобиться весь Огляд Всесвіт, якщо писати «нано-ручкою» прямо по вакууму фактично в планківські осередки космосу. Перекладемо всю матерію на чорнило і заповнимо Всесвіт одними суцільними цифрами, тоді отримаємо гуголплекс. Але математики (страшні люди!) гуголпрекс тільки розминаються, це найнижча планка, з якої для них стартують справжні ніштяки. І якщо ви думаєте, що гуголплекс у ступеня гуголплекс це те, про що піде мова, ви навіть не уявляєте, наскільки помиляєтеся.

За гуголплексом йдуть багато цікавих чисел, що мають ту чи іншу роль у математичних доказах, чи довго коротко, перейдемо відразу до Грема, названому так на честь (ну, природно) математика Рональда Грема. Спочатку розповім, що це таке і для чого потрібно, після чого образно і на пальцях опишу, яке воно за величиною, а потім вже напишу саме число. Точніше спробую пояснити, що я написав.

Число Грема з'явилося в роботі, присвяченій вирішенню одного із завдань в теорії Рамсея, причому «рамсея» тут не дієприслівник недосконалого виду, а прізвище іншого математика, Франка Рамсея. Завдання, звичайно ж, досить надумане з обивательської точки зору, хоч і не сильно заморочене, навіть легко зрозуміле.

Уявіть куб, всі вершини якого з'єднані лініями-відрізками двох кольорів, червоного або синього. З'єднані та розфарбовані у випадковому порядку. Дехто вже здогадався, що йтиметься про розділ математики під назвою комбінаторика.

Чи зможемо ми вимудрити і так підібрати конфігурацію кольорів (а їх всього два - червоний і синій), щоб при розмальовці цих відрізків у нас не вийшло, що всі відрізки одного кольору, що з'єднують чотири вершини, лежать в одній площині? В даному випадку, НЕ являють собою таку фігуру:

Можете самі подумати, покрутити куб в уяві перед очима, зробити подібне не так вже й складно. Кольори два, вершин (кутів) у куба 8, значить відрізків їх сполучних - 28. Можна так підібрати конфігурацію забарвлення, що ми ніде не отримаємо вищезгаданої фігури, у всіх можливих площинах будуть різнокольорові лінії.

А що якщо у нас більше вимірів? Що, якщо ми візьмемо куб, а чотиривимірний куб, тобто. тесеракт? Чи зможемо ми провернути той самий фокус, що і з тривимірним?

Навіть не поясню, що таке чотиривимірний куб, всі знають? У чотиривимірного куба 16 вершин. І не потрібно пижити мозок і намагатися уявити чотиривимірний куб. Це чиста математика. Подивився на кількість вимірів, підставив у формулу, отримав кількість вершин, ребер, граней тощо. Ну, чи у Вікіпедії піддивився, якщо формули не пам'ятаєш. Отже у чотиривимірного куба 16 вершин і 120 відрізків, що їх з'єднують. Кількість комбінацій розмальовки у чотиривимірному випадку набагато більша, ніж у тривимірному, але й тут не дуже складно порахувати, розділити, скоротити тощо. Коротше з'ясувати, що в чотиривимірному просторі теж можна так зхитритися з розфарбуванням відрізків у гіперкуба, що всі лінії одного кольору, що з'єднують чотири вершини, не лежатимуть в одній площині.

У п'ятивимірному? І в п'ятивимірному, де куб називається пентерактом або пентакубом, теж можна.
І в шестивимірному.

А далі вже складнощі. Грем не зміг математично довести, що у семимірного гіперкуба вдасться провернути таку операцію. І у восьмивимірного та у дев'ятивимірного і так далі. Але це «і так далі», виявилося, не йде в нескінченність, а закінчується якимось дуже великим числом, яке і назвали «числом Грема».

Тобто існує якась мінімальна розмірність гіперкуба, за якого умова порушується, і вже неможливо уникнути комбінації забарвлення відрізків, що чотири точки одного кольору лежатимуть в одній площині. І ця мінімальна розмірність точно більша за шість і точно менша від числа Грема, в цьому і полягає математичний доказ вченого.

А тепер визначення того, що я вище розписав на кілька абзаців, сухим та нудним (зате ємним) мовою математики. Розуміти не треба, але не навести його я не можу.

Розглянемо n-мірний гіперкуб і з'єднаємо всі пари вершин для отримання повного графа з 2n вершинами. Розфарбуємо кожне ребро цього графа або в червоний або синій колір. При якому найменшому значенні n кожне таке забарвлення обов'язково містить розфарбований в один колір повний підграф із чотирма вершинами, всі з яких лежать в одній площині?

У 1971 році Грем довів, що зазначена проблема має рішення, і що це рішення (кількість розмірності) лежить між числом 6 і якимось великим числом, яке пізніше (не самим автором) було названо на його честь. У 2008 році доказ покращили, нижній кордон підняли, тепер кількість розмірностей, що шукається, лежить вже між числом 13 і числом Грема. Математики не сплять, робота йде, приціл звужується.

З 70-х років минуло чимало років, були знайдені математичні завдання в яких виявляються числа і більше гремова, але це перше число-монстр так вразило сучасників, які розуміли про які масштаби йдеться, що в 1980-му році його включили в книгу рекордів Гіннесса, як «саме велике число, що коли-небудь брали участь у строгому математичному доказі» на той момент.

Спробуймо розібратися, наскільки воно велике. Найбільше число, що може мати якийсь фізичний сенс 10¹⁸⁵, а якщо весь Оглядовий Всесвіт заповнити нескінченним набором мізерних циферок, що здається, отримаємо щось порівнянне з гуголплексом.

Уявляєте цю громаду? Вперед, назад, вгору, вниз, наскільки вистачає око і наскільки вистачає телескопа Хаббл, і навіть наскільки не вистачає, до найдальших галактик і заглядаючи за них - цифри, цифри, цифри розміром набагато менше протона. Існувати такий Всесвіт, звичайно, довго не зможе, тут же в чорну дірку зникне. Пригадуєте, скільки інформації можна теоретично помістити у Всесвіт?

Число справді величезне, рве мозок. Воно не зовсім точно дорівнює гуголплексу, і в нього немає назви, тому називатиму його «дохуліон». Щойно придумав, чому б і ні. Кількість планківських осередків у Оглядовому Всесвіті, і в кожному осередку записана цифра. Число містить 10¹⁸⁵ цифр, його можна зобразити як

Розкриємо двері сприйняття трохи ширше. Пам'ятаєте інфляційну теорію? Що наш Всесвіт лише одна з багатьох бульбашок Мультивсесвіту. А якщо уявити дохуліон таких бульбашок? Візьмемо число, довжиною з усе суще й уявимо собі Мультивселенну з такою кількістю всесвітів, кожна з яких під зав'язку списана цифрами - отримаємо дохуліон. Уявляєте таке? Як пливеш у небутті скалярного поля, а навколо всесвіти-всесвіт і в них цифри-цифри-цифри... Сподіваюся, подібний кошмар (хоча, чому кошмар?) не мучитиме (і чому мучити?) надміру вразливого читача ночами.

Для зручності назвемо подібну операцію фліп. Таке несерйозне вигук, ніби взяли Всесвіт і вивернули навиворіт, то він був усередині в цифрах, а тепер навпаки у нас зовні стільки всесвітів, скільки було цифр, і кожна повна-повна коробочка, сама вся в цифрах. Як гранат чистиш, скоринку так відгинаєш, зсередини вивертаються зернятка, а в зернятках знову гранати. Теж на ходу придумалося, чому б і ні, адже з дохуліоном прокотило.

Навіщо я хилю? Чи варто гальмувати? Давайте, хоба, та ще один фліп! І ось у нас стільки всесвітів, скільки було цифр у всесвітах, кількість яких дорівнювала дохуліону цифр, що заповнювали наш Всесвіт. І одразу, не зупиняючись, ще раз фліп. І четвертий, і п'ятий. Десятий, тисячний. Встигаєте за думкою, все ще уявляєте собі картину?

Не будемо дріб'язуватися, розпускаємо крила уяви, розганяємося на повну і фліпаємо фліп фліпів. Стільки разів вивертаємо кожну всесвіт навиворіт, скільки дохуліонів всесвітів було в попередньому фліпі, який фліпав з позаминулого, який... еее... ну, ви стежите? Десь так. Нехай тепер наше число стане, припустимо, «дохуліярд».

Дохуліард = фліп фліпів

Не зупиняємось і продовжуємо фліпати дохуліони дохуліардів доти, доки є сили. Поки в очах не темніє, доки не захочеться кричати. Тут кожен сам собі відважний Буратіно, стоп-слово буде «бринза».

Так ось. Це все про що? Величезні та нескінченні дохуліони фліпів та дохуліарди всесвітів повних цифр не йдуть у жодне порівняння з числом Грема. Навіть не шкребуть по поверхні. Якщо число Грема уявити у вигляді палиці, розтягнутої за традицією на весь Оглядовий Всесвіт, то, що ми тут з вами нафліпали виявиться засічкою товщини... ну... як би це так, пом'якше висловити... негідної згадки. Ось, пом'якшав, як міг.

Тепер давайте трохи відвернемося, перепочинемо. Ми читали, ми рахували, наші очко втомилися. Забудемо про число Грема, до нього ще повзти і повзти, розфокусуємо погляд, розслабимося, помедитуємо на набагато менше, прямо-таки мініатюрне число, яке назвемо g₁, і запишемо всього шістьма знаками:
g₁ = 33

Число g₁ дорівнює «три, чотири стрілочки, три». Що це означає? Такий спосіб запису, званий стрілочна нотація Кнута.

Одна стрілочка означає звичайне зведення на ступінь.

44 = 4⁴ = 256

1010 = 101⁰ = 10 000 000 000

Дві стрілочки означають, що зрозуміло, зведення в міру ступеня.

Коротше кажучи, число стрілочка стрілочка інше число показує, яка висота ступенів (математики кажуть вежа) вибудовується з першого числа. Наприклад 58 означає вежу з восьми п'ятірок і настільки велике, що не може бути розраховано на жодному суперкомп'ютері, навіть на всіх комп'ютерах планети одночасно.

Переходимо до трьох стрілочок. Якщо подвійна стрілочка показувала висоту башти ступенів, то потрійна, здавалося б, вкаже висоту башти висоти башти? Який там! У разі трійки ми маємо висоту вежі висоти вежі висоти вежі (у математиці такого поняття немає, я вирішив назвати його «безбашнею»). Якось так:

Тобто 33 утворює безбашню з трійок, заввишки 7 трильйонів штук. Що таке 7 трильйонів трійок, поставлені один на одного і звані «безбашнею»? Якщо ви уважно читали цей текст і не заснули на самому початку, мабуть, пам'ятайте, що від Землі до Сатурна 100 трильйонів сантиметрів. Трійка, показана на екрані дванадцятим шрифтом, ось ця – 3 – заввишки міліметрів п'ять. Значить безбашня з трійок простягнеться від вашого екрану... ну, не до Сатурна, звісно. Навіть до Сонця не дотягнеться всього чверть астрономічної одиниці, приблизно як від Землі до Марса в хорошу погоду. Звертаю увагу (не спати!), що безвежа це число довжиною від Землі до Марса, це башта ступенів такої висоти. Ми пам'ятаємо, що п'ять трійок у цій вежі покривають гуголплекс, обчислення першого дециметра трійок спалює всі запобіжники комп'ютерів планети, а решта мільйонів кілометрів ступенів вже ніби й до чого, вони просто відкрито глузують з читача, вважати їх марно.

Тепер зрозуміло, що 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3безбашня, (не 3 у ступені безбашні, а «три стрілочка стрілочка безбашня»(!)), вона ж безбашня безбашні не влізе ні по довжині ні по висоті в Обозрим , і навіть не поміститься в передбачувану мультиселенну.

На 35 = 33333 закінчуються слова, а на 36 = 333333 закінчуються вигуки, але можете потренуватися, якщо є інтерес.

Переходимо до чотирьох стрілочок. Як ви вже здогадалися, тут безбашня на безвежі сидить, безбашнею поганяє, і хоч із баштою, що без башти – все одно. Просто мовчки наведу картинку, що розкриває схему обчислення чотирьох стрілочок, коли кожне наступне число вежі ступенів визначає висоту вежі ступенів, визначальну висоту вежі ступенів, визначальну висоту вежі ступенів... і так до самозабуття.

Розраховувати його марно, та й не вдасться. Кількість ступенів тут не піддається осмисленому обліку. Це число неможливо уявити, його неможливо описати. Ніякі аналогії на пальцях™ не застосовні, число просто нема з чим порівнювати. Можна говорити, що воно величезне, що грандіозне, що монументальне і заглядає за обрій подій. Тобто надати йому якісь словесні епітети. Але візуалізація, навіть вільна та образна – неможлива. Якщо з трьома стрілочками ще хоч щось удавалося сказати, намалювати безбашню від Землі до Марса, якось із чимось зіставити, то тут аналогій бути просто не може. Спробуйте уявити собі тонку вежу з трійок від Землі до Марса, поряд ще одну майже таку ж і ще одну, і ще... Безкрайнє поле веж йде в далечінь, у нескінченність, вежі всюди, вежі скрізь. І, що найприкріше, ці вежі навіть відношення до числа не мають, вони лише визначають висоту інших веж, які потрібно побудувати, щоб отримати висоту веж, щоб отримати висоту веж... щоб через неймовірну кількість часу та ітерацій отримати саме число.

Ось, що таке g₁, що таке 33.

Перепочили? Тепер з g₁ з новими силами повертаємося до штурму числа Грема. Помітили, як наростає ескалація від стрілочки до стрілочки?

33 = 7 625 597 484 987

33 = вежа, заввишки від Землі до Марса.

33 = число, яке неможливо уявити ні описати.

А уявіть який цифровий кошмар твориться, коли стрілок виявиться п'ять? Коли їх шість? Чи можете уявити число, коли стрілок буде сто? Якщо можете, дозвольте запропонувати вашій увазі число g₂, в якому кількість цих стрілок дорівнює g₁. Пам'ятаєте, що таке g₁, так?

Все, що було написано до цих пір, всі ці розрахунки, ступеня і вежі, що не поміщаються в мультивсесвіт, потрібні були тільки для одного. Щоб показати КІЛЬКІСТЬ СТРІЛОК у числі g₂. Тут уже не потрібно нічого рахувати, можна просто розсміятися і махнути рукою.

Не приховуватиму, є ще g₃, в якому міститься g₂ стрілок. До речі, все ще зрозуміло, що g₃, це не g₂ «у мірі» g₂, а кількість безбашень, що визначають висоту безбашень, що визначають висоту... і так по всьому ланцюжку вниз до теплової смерті Всесвіту? Тут можна починати плакати.

Чому плакати? Тому що абсолютно правильно. Є ще число g₄, де міститься g₃ стрілочок між трійками. Є також g₅, є g₆ і g₇ і g₁₇ і g₄₃...

Коротше їх 64 штуки цих g. Кожне попереднє чисельно дорівнює кількості стрілок наступного. Останнє g₆₄ і є число Грема, з якого все так начебто безневинно починалося. Це число розмірностей гіперкуба, якого точно буде достатньо, щоб правильно розфарбувати відрізки червоним та синім кольорами. Може, й менше, це, так би мовити, верхня межа. Його записують так:

а розписують так.

Щоб хоч якось уявити масштаб числа, розберемо його запис детальніше. Тут потрібна якась преамбула, але загалом нічого занадто складного не буде, постараємося розписати все якомога зрозуміліше.

1 . Отже, в математиці існує поняття «гіпероператор» визначення рівня арифметичних дій. Так, додавання - це гіпероператор першого рівня. Гіпероператор другого рівня – множення. Множення є додавання, що повторюється. Тобто множник - це число, яке говорить нам, скільки разів треба скласти множину. Наприклад: 3 · 3 = 3 + 3 + 3 = 9. Наступний гіпероператор - зведення у ступінь, x n = х^n, Що по суті є множенням, що повторюється. Приклад: 3 3 = 3 · 3 · 3 = 27. Запис 3 3 в нотації Батіга виглядатиме як 33. Тут для ясності слід сказати, що перша цифра у виразі 33 - це значення, з яким ми і чинимо дію, кількість стрілочок між цифрами - це арифметичну дію, у разі одна стрілочка означає зведення ступінь. Друга цифра означає те, в яку міру треба звести першу цифру (кілька разів перемножити на себе).Відповідно, якби вираз був 74, то це означає сім у четвертому ступені. Інакше кажучи, 7 треба помножити на 7 чотири рази.

2 . Гіпероператор четвертого рівня – тетрація. Тетрація - це зведення, що повторюється, в ступінь. У запису Кнута – дві стрілки між цифрами. Приклад: 33 = 3 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7625 597 484 987. Тобто, друга цифра за наявності двох стрілок означає, що стільки разів потрібно звести в ступінь самого себе перше число . Іншими словами, показує нам висоту статечної вежі з першої цифри. Наприклад, запис 58 означає вежу з восьми п'ятірок, нагромаджених один на одного як кубики.

Тим, чий мозок зовсім заплив жиром або зайнятий лише думками про те, як знайти тян, вкачати свого ельфа або позбутися прищів, слід запам'ятати, що в тетрації вирази вираховуються зверху внизабо справа наліво. Простіше кажучи, 3 3 3 дорівнює ніхуя не 27 3 , а якраз 3 27 . Тепер ти бачиш, мій маленький дурний друг, що тетрація - вже досить потужний спосіб запису, що дозволяє коротеньким виразом записувати числа в 100 500 разів більші, ніж саме 100 500. Але це ще не все, бо вона є недостатньо потужним гіпероператором для обчислення числа Грема.

3 . Йдемо далі: гіпероператор п'ятого рівня – пентація (повторювана тетрація). Три стрілочки між цифрами. Ось тут і починається пиздець, від якого люди, які не є професійними математиками, плюють на всю цю лабуду і більше не намагаються її зрозуміти. Але ж ти не такий, як вони? Якщо ти подумав, що пентація числа 3 розкладається на 3 у ступені 7625597484987, то ти помиляєшся. Ти навіть не уявляєш, наскільки помиляєшся. Бо 3 в ступені 7625597484987 - це всього лише 34. А пентація це 33 = 3 (33) = 3 (7 625 597 484 987) = 33 ... ( кількість зведень у ступінь – 7 625 597 484 987 разів) ... 3. Тобто статечна вежа з трійок виходить заввишки більш ніж сім з половиною трильйонів поверхів! Інакше кажучи, друга цифра за наявності трьох стрілочок означає, якою висоти буде вежа тетрацій першої цифри. Для більшої наочності: 34 можна записати як 3 3 3 3 або 3 (3 (3 3)). І тут головне - зрозуміти, що ця вежа з тетрацій не є вежа зі ступенів, тут ескалація набагато стрімкіша. 34 = 3 3 3 3 = 7 625 597 484 987 3 3. Зрозумів, нарешті? 34 дорівнює 3 в тетрації числа, яке виходить в результаті обчислення статечної вежі з цифри 3 заввишки 7625597484987 поверхів. Відповідно, якщо 34 записати як статечну вежу з трійок, то кількість поверхів у цій вежі дорівнюватиме числу, яке вийде при обчисленні статечної вежі заввишки 7625597484987 поверхів. Уявив? Не уявив, звичайно, такі величини з наскоку не осмислити.

Якщо ти таки почав потихеньку не розуміти, що за херня тут відбувається, то заново перечитай пункт 2.

4 . І останній потрібний нам гіпероператор – гексація. Як ви вже здогадалися, чотири стрілочки між трійками. Це, відповідно, повторювана пентація. Друга цифра за наявності чотирьох стрілочок означає, якою висоти буде вже «пентаційна» вежа. 33 = 3 (33) = 333 ... 33, де кількість тетрацій - результат обчислення пентації 33. Якщо знову нічого не зрозумів, то заново прочитай пункт 3 і 2. Якщо ми перемістимося в кінець цього немислимого ланцюжка тетрацій і почнемо її обчислювати, то вже друга з кінця трійка буде в тетрації дорівнює 7625597484987. А результатом тетрації третьої трійки з кінця буде число, отримане пентацією трійки в попередньому пункті. А перед нами - ще гуголплекси і гуголплекси повторюваних тетрацій цифри 3. Тут уже марно щось намагатися осмислити, якось охопити результат... І тут ви, можливо, запитаєте: «Невже це число Грема? Потрібно ж, наскільки величезне!» Але ні, це не число Грема. Це була лише математична приказка, і вона мізерно, незмірно мала порівняно з числом Грема.

Значить, гексація. Це лише додавання однієї стрілочки до пентації, але результат виявляється в неймовірну кількість порядків більший. А тепер, власне, обчислення числа Грема. Цифра три в прикладах була використана не просто так, бо число Грема насправді і є перемножені трійки. Отже, назвемо результат нашої гексації (33) G1. Це буде перший крок обчислень. Лише перший. А наступний крок прискорює прогресію так, що додавання однієї, десяти, мільйонів стрілок між цифрами - топтання на місці. Крок другий, обчислення G2. Тепер ми беремо результат нашої гексації трійки, і пишемо вираз, де число стрілочок надступеня буде дорівнює цьому результату. G2 = 3…(кількість стрілочок надступеня - G1)…3. Цікаво, як називається гіпероператор ТАКОГО рівня?.. Запис не те що результату, але навіть цього гіпероператора вже неможливий без скорочення. А число, яке вийшло при його обчисленні (якщо, звичайно, його можна було б обчислити), заповнило б своїми цифрами і Всесвіт, і паралельні світи, і підпростір, і всякий інший астрал. І не забуваємо, що в G1 кількість стрілочок дорівнювала 4-м! І це вже число, недоступне для обчислення та запису звичайним способом! А в G2 це число – лише кількість надступенів. Ось так то. Прогресія неймовірно стрімка. І це тільки початок. Наступним кроком йде обчислення числа G3, де кількість стрілочок надступеня буде дорівнює G2! І, подібним чином, після цього слідує ще 62 кроки обчислень, де результат кожного кроку буде лише кількістю стрілок надступеня наступного кроку, і число Грема є G64!

Воістену, матан іноді штирить гірше за будь-які наркотики.