Числові характеристики безперервних випадкових величин. Нехай безперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу f(x)

Дисперсіябезперервної випадкової величини X, можливі значення якої належать всій осі Ох, визначається рівністю:

Призначення сервісу. Онлайн калькулятор призначений для вирішення завдань, у яких задані або щільність розподілу f(x) або функція розподілу F(x) (див. приклад). Зазвичай у таких завданнях потрібно знайти математичне очікування, середнє квадратичне відхилення, побудувати графіки функцій f(x) та F(x).

Інструкція. Виберіть тип вихідних даних: щільність розподілу f(x) або функцію розподілу F(x) .

Задано щільність розподілу f(x):

Задано функцію розподілу F(x):

Безперервна випадкова величина задана щільністю ймовірностей
(Закон розподілу Релея – застосовується у радіотехніці). Знайти M(x), D(x).

Випадкову величину X називають безперервний якщо її функція розподілу F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Функція розподілу безперервної випадкової величини застосовується для обчислення ймовірностей попадання випадкової величини заданий проміжок:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
причому для безперервної випадкової величини не має значення, включаються до цього проміжку його межі чи ні:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Щільністю розподілу безперервної випадкової величини називається функція
f(x)=F'(x) , похідна від функції розподілу.

Властивості щільності розподілу

Рис. 4.

; ; .

приклад 1.27.Автобус деякого маршруту рухається поступово з інтервалом 5 хвилин. Знайти ймовірність того, що рівномірно розподілена випадкова величина Х- Час очікування автобуса складе менше 3 хвилин.

Рішення:Випадкова величина Х- Поступово розподілена на інтервалі.

Щільність ймовірності: .

Щоб час очікування не перевищив 3 хвилин, пасажир повинен з'явитися на зупинці в інтервалі від 2 до 5 хвилин після відходу попереднього автобуса, тобто. випадкова величина Хповинна потрапити до інтервалу (2;5). Т.о. ймовірність:

Завдання для самостійної роботи:

1. а) знайти математичне очікування випадкової величини Хрозподіленої рівномірно в інтервалі (2; 8);

б) знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х,розподіленої рівномірно в інтервалі (2; 8).

2. Хвилинна стрілка електричного годинника переміщається стрибком наприкінці кожної хвилини. Знайти ймовірність того, що в цю мить годинник покаже час, який відрізняється від істинного не більше ніж на 20 секунд.

1.4.2. Показовий (експоненційний) розподіл

Безперервна випадкова величина Хрозподілена за показовим законом, якщо її щільність ймовірності має вигляд:

де - Параметр показового розподілу.

Таким чином

Рис. 5.

Числові характеристики:

приклад 1.28.Випадкова величина Х- Час роботи електролампочки - має показовий розподіл. Визначити ймовірність того, що час роботи лампочки буде не менше 600 годин, якщо середній час роботи – 400 годин.

Рішення:За умовою завдання математичне очікування випадкової величини Хдорівнює 400 годин, отже:

;

Шукана ймовірність, де

Остаточно:

Завдання для самостійної роботи:

1. Написати щільність та функцію розподілу показового закону, якщо параметр .

2. Випадкова величина Х

Знайти математичне очікування та дисперсію величини Х.

3. Випадкова величина Хзадана функцією розподілу ймовірностей:

Знайти математичне очікування та середнє квадратичне відхилення випадкової величини.

1.4.3. Нормальний розподіл

Нормальнимназивають розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини Х, щільність якого має вигляд:

де а– математичне очікування, – середнє квадратичне відхилення Х.

Імовірність того, що Хприйме значення, що належить інтервалу:

, де

- Функція Лапласа.

Розподіл, у якого; , тобто. із щільністю ймовірності називається стандартним.

Рис. 6.

Імовірність того, що абсолютна величина відхилена менше позитивного числа:

.

Зокрема, при а= 0 справедлива рівність:

приклад 1.29.Випадкова величина Хрозподілено нормально. Середнє квадратичне відхилення. Знайти ймовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного очікування абсолютної величини буде менше 0,3.

Рішення: .

Завдання для самостійної роботи:

1. Написати щільність ймовірності нормального розподілу випадкової величини Хзнаючи, що M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Математичне очікування та середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини Хвідповідно дорівнюють 20 і 5. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Хнабуде значення, укладене в інтервалі (15; 20).

3. Випадкові помилки вимірювання підпорядковані нормальному закону із середнім квадратичним відхиленням мм та математичним очікуванням а= 0. Знайти ймовірність того, що з 3 незалежних вимірів помилка хоча б одного не перевершить по абсолютній величині 4 мм.

4. Зважується деяка речовина без систематичних помилок. Випадкові помилки зважування підпорядковані нормальному закону із середнім квадратичним відхиленням р. Знайти ймовірність того, що зважування буде зроблено з помилкою, яка не перевищує за абсолютною величиною 10 г.

Розділ 6. Безперервні випадкові величини.

§ 1. Щільність та функція розподілу безперервної випадкової величини.

Безліч значень безперервної випадкової величини незліченна і зазвичай є деяким проміжком кінцевий або нескінченний.

Випадкова величина x(w), задана в імовірнісному просторі (W, S, P), називається безперервний(абсолютно безперервний) W, якщо існує невід'ємна функція така, що за будь-яких х функцію розподілу Fx(x) можна подати у вигляді інтегралу

Функція називається функцією густини розподілу ймовірностей.

З визначення випливають властивості функції щільності розподілу:

1..gif" width="97" height="51">

3. У точках безперервності щільність розподілу дорівнює похідній функції розподілу: .

4. Щільність розподілу визначає закон розподілу випадкової величини, тому що визначає ймовірність попадання випадкової величини на інтервал:

5.Вероятность те, що безперервна випадкова величина прийме конкретне значення дорівнює нулю: . Тому справедливі такі рівності:

Графік функції густини розподілу називається кривою розподілу, і площа, обмежена кривою розподілу та віссю абсцис, дорівнює одиниці. Тоді геометрично значення функції розподілу Fx(x) у точці х0 є площа, обмежена кривою розподілу і віссю абсцис і ліворуч, що лежить точки х0.

Завдання 1.Функція щільності безперервної випадкової величини має вигляд:

Визначити константу C, побудувати функцію розподілу Fx(x) і визначити ймовірність .

Рішення.Константа C знаходиться з умови Маємо:

звідки C=3/8.

Щоб побудувати функцію розподілу Fx(x), зазначимо, що інтервал ділить область значень аргументу x (числову вісь) на три частини: width="264" " height="49">

оскільки густина x на півосі дорівнює нулю. У другому випадку

Нарешті, у разі, коли x>2,

Так як щільність звертається в нуль на півосі. Отже, отримано функцію розподілу

Ймовірність обчислимо за формулою. Таким чином,

§ 2. Числові характеристики безперервної випадкової величини

Математичне очікуваннядля безперервно розподілених випадкових величин визначається за формулою width="205" height="56 src=">,

якщо інтеграл, що стоїть праворуч, абсолютно сходиться.

Дисперсія x може бути обчислена за формулою , а також, як і в дискретному випадку, за формулою.

Усі властивості математичного очікування і дисперсії, наведені у розділі 5 для дискретних випадкових величин, справедливі й у безперервних випадкових величин.

Завдання 2. Для випадкової величини x із завдання 1 обчислити математичне очікування та дисперсію .

Рішення.

Отже,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Графік густини рівномірного розподілу див. на рис. .

Рис.6.2. Функція розподілу та щільність розподілу. рівномірного закону

Функція розподілу Fx(x) рівномірно розподіленої випадкової величини дорівнює

Fx(x)=

Математичне очікування та дисперсія; .

Показовий (експоненеціальний) розподіл.Безперервна випадкова величина x, що набуває невід'ємних значень, має показовий розподіл з параметром l>0, якщо щільність розподілу ймовірностей випадкової величини дорівнює

рx(x)=

Рис. 6.3. Функція розподілу та щільність розподілу показового закону.

Функція розподілу показового розподілу має вигляд

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> і якщо її щільність розподілу дорівнює

.

Через позначається безліч всіх випадкових величин, розподілених за нормальним законом із параметрами параметрами і .

Функція розподілу нормально розподіленої випадкової величини дорівнює

.

Рис. 6.4. Функція розподілу та щільність розподілу нормального закону

Параметри нормального розподілу суть математичне очікування width="64 height=24"

В окремому випадку, коли https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> нормальний розподіл називається стандартним, і клас таких розподілів позначається width="119" height="49">,

а функція розподілу

Такий інтеграл не обчислимо аналітично (не береться в «квадратурах»), і тому функції складені таблиці. Функція пов'язана із введеною в розділі 4 функцією Лапласа

,

наступним співвідношенням . У разі довільних значень параметрів https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" функція розподілу випадкової величини пов'язана з функцією Лапласа за допомогою співвідношення:

.

Тому можливість попадання нормально розподіленої випадкової величини на інтервал можна обчислювати за формулою

.

Невід'ємна випадкова величина x називається логарифмічно нормально розподіленою, якщо її логарифм h = lnx підпорядкований нормальному закону. Математичне очікування та дисперсія логарифмічно нормально розподіленої випадкової величини дорівнюють Мx= та Dx=.

Завдання 3.Нехай задана випадкова величина width="81".

Рішення.Тут і https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif"

Розподіл Лапласузадається функцією і ексцес дорівнює gx = 3.

Рис.6.5. Функція густини розподілу Лапласа.

Випадкова величина x розподілена по закону Вейбулла, якщо вона має функцію щільності розподілу, що дорівнює https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Розподіл Вейбулла підпорядковуються часи безвідмовної роботи багатьох технічних пристроїв. У задачах цього профілю важливою характеристикою є інтенсивність відмови (коефіцієнт смертності) l(t) досліджуваних елементів віку t, що визначається співвідношенням l(t)=. Якщо a=1, то розподіл Вейбулла перетворюється на експоненційний розподіл, а якщо a=2 - на так званий розподіл Релея.

Математичне очікування розподілу Вейбулла: де Г(а) - функція Ейлера.

У різних завданнях прикладної статистики часто зустрічаються звані «усічені» розподіли. Наприклад, податкові органи цікавляться розподілом доходів тих осіб, річний дохід яких перевищує певний поріг С0, встановлений законами про оподаткування. Ці розподіли виявляються приблизно збігаються з розподілом Парето. Розподіл Паретозадається функціями

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> випадкової величини x і монотонна функція, що диференціюється ..gif" width="200" height="51">

Тут https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Завдання 4.Випадкова величина рівномірно розподілена на відрізку. Знайти щільність випадкової величини.

Рішення.З умови завдання випливає, що

Далі, функція є монотонною та диференційованою функцією на відрізку та має зворотну функцію , похідна якої дорівнює Отже,

§ 5. Пара безперервних випадкових величин

Нехай задані дві безперервні випадкові величини x та h. Тоді пара (x, h) визначає "випадкову" точку на площині. Пару (x, h) називають випадковим векторомабо двовимірною випадковою величиною.

Спільною функцією розподілувипадкових величин x і h і називається функція F(x, y) = . Спільною щільністюрозподілу ймовірностей випадкових величин x і h називається функція така, що .

Сенс такого визначення спільної густини розподілу полягає в наступному. Імовірність того, що "випадкова точка" (x, h) потрапить в область на площині, обчислюється як об'єм тривимірної фігури - "криволинійного" циліндра, обмеженого поверхнею https://pandia.ru/text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

Найпростішим прикладом спільного розподілу двох випадкових величин є двовимірне рівномірний розподіл на множиніA. Нехай задано обмежену множину М з площею Воно визначається як розподіл пари (x, h), що задається за допомогою наступної спільної густини:

Завдання 5.Нехай випадковий двовимірний вектор (x, h) рівномірно розподілений всередині трикутника . Обчислити ймовірність нерівності x>h.

Рішення.Площа вказаного трикутника дорівнює (див. рис. №?). З огляду на визначення двомірного рівномірного розподілу спільна щільність випадкових величин x, h дорівнює

Подія відповідає безлічі на площині, тобто напівплощини. Тоді ймовірність

На півплощині B спільна щільність дорівнює нулю поза множиною. Таким чином, напівплощина B розбивається на дві множини. і , причому другий інтеграл дорівнює нулю, так як там спільна щільність дорівнює нулю. Тому

Якщо задана спільна густина розподілу для пари (x, h), то густини та складових x і h називаються приватними щільностямита обчислюються за формулами:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Для безперервно розподілених випадкових величин із щільностями рx(х), рh(у) незалежність означає, що

Завдання 6.В умовах попереднього завдання визначити, чи незалежні складові випадкового вектора x та h?

Рішення. Обчислимо приватні щільності та . Маємо:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Очевидно, що в нашому випадку - спільна щільність величин x і h, а j(х, у) - функція двох аргументів, тоді

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Завдання 7.У разі попередньої завдання обчислити .

Рішення.Відповідно до зазначеної вище формули маємо:

.

Представивши трикутник у вигляді

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Щільність суми двох безперервних випадкових величин

Нехай x і h - незалежні випадкові величини з щільностями. Щільність випадкової величини x + h обчислюється по формулі згортки

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Обчислити щільність суми.

Рішення.Оскільки x і h розподілені за показовим законом із параметром , їх щільності рівні

Отже,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Якщо x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">негативний, і тому . Тому, якщо ж я можу сказати, що це таке.

Таким чином, ми отримали відповідь:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> нормально розподілена з параметрами 0 і 1. Випадкові величини x1 і x2 незалежні і мають нормальні розподіли з параметрами а1, і а2, відповідно Довести, що x1 + x2 має нормальний розподіл Випадкові величини x1, x2, ... xn розподілені і незалежні і мають однакову функцію щільності розподілу

.

Знайти функцію розподілу та щільність розподілу величин:

а) h1 = min (x1, x2, ... xn); б) h(2) = max (x1, x2, ... xn)

Випадкові величини x1, x2, ... xn незалежні та рівномірно розподілені на відрізку [а, b]. Знайти функції розподілу та функції густини розподілу величин

x(1) = min (x1, x2, ... xn) і x (2) = max (x1, x2, ... xn).

Довести, що Мhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176".

Випадкова величина розподілена за законом Коші Знайти: а) коефіцієнт а; б) функцію розподілу; в) можливість потрапляння на інтервал (-1, 1). Показати, що математичне очікування x немає. Випадкова величина підпорядкована закону Лапласа з параметром l (l>0): Знайти коефіцієнт а; побудувати графіки щільності розподілу та функції розподілу; знайти Mx та Dx; знайти ймовірність подій (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Написати формулу для щільності розподілу, знайти Мx та Dx.

Обчислювальні завдання.

Випадкова точка А має у колі радіуса R рівномірний розподіл. Знайти математичне очікування та дисперсію відстані r точки до центру кола. Показати, що величина r2 рівномірно розподілена на відрізку .

Щільність розподілу випадкової величини має вигляд:

Обчислити константу C, функцію розподілу F(x), та ймовірність Щільність розподілу випадкової величини має вигляд:

Обчислити константу C, функцію розподілу F(x), та ймовірність Щільність розподілу випадкової величини має вигляд:
Обчислити константу C, функцію розподілу F(x), дисперсію та ймовірність Випадкова величина має функцію розподілу

Обчислити щільність випадкової величини, математичне очікування, дисперсію та ймовірність Перевірити, що функція =
може бути функцією розподілу випадкової величини. Знайти числові характеристики цієї величини: Mx та Dx. Випадкова величина рівномірно розподілена не відрізку. Виписати густину розподілу. Знайти функцію розподілу. Знайти ймовірність попадання випадкової величини на відрізок та на відрізок. Щільність розподілу x дорівнює

.

Знайти постійну с, щільність розподілу h = та ймовірність

Р (0,25

Час безвідмовної роботи ЕОМ розподілено за показовим законом із параметром l = 0,05 (відмови на годину), тобто має функцію щільності

р(х) = .

Вирішення певної задачі вимагає безвідмовної роботи машини протягом 15 хвилин. Якщо за час розв'язання завдання стався збій, то помилка виявляється лише після закінчення розв'язання, і завдання вирішується заново. Знайти: а) ймовірність того, що за час розв'язання задачі не станеться жодного збою; б) середній час, за який буде вирішено завдання.

Стрижень довжини 24 см ламають дві частини; будемо вважати, що точка зламу розподілена рівномірно по всій довжині стрижня. Чому дорівнює середня довжина більшої частини стрижня? Відрізок довжини 12 см випадково розрізається на дві частини. Крапка розрізу рівномірно розподілена по всій довжині відрізка. Чому дорівнює середня довжина малої частини відрізка? Випадкова величина рівномірно розподілена на відрізку. Знайти густину розподілу випадкової величини а) h1 = 2x + 1; б) h2 =-ln(1-x); в) h3 = .

Показати, що якщо x має безперервну функцію розподілу

F(x) = P(x

Знайти функцію щільності та функцію розподілу суми двох незалежних величин x та h c рівномірними законами розподілу на відрізках та відповідно. Випадкові величини x і h незалежні та рівномірно розподілені на відрізках та відповідно. Обчислити густину суми x+h. Випадкові величини x і h незалежні та рівномірно розподілені на відрізках та відповідно. Обчислити густину суми x+h. Випадкові величини x і h незалежні та рівномірно розподілені на відрізках та відповідно. Обчислити густину суми x+h. Випадкові величини незалежні і мають показовий розподіл із щільністю . Знайти густину розподілу їх суми. Знайти розподіл суми незалежних випадкових величин x і h де x має рівномірний на відрізку розподіл, а h має показовий розподіл з параметром l. Знайти Р якщо x має: а) нормальний розподіл з параметрами а і s2; б) показовий розподіл із параметром l; в) рівномірний розподіл на відрізку [-1; 1]. Спільний розподіл x, h є рівномірним у квадраті
К = (х, у): | х | +|у|£ 2). Знайти ймовірність . Чи є x та h незалежними? Пара випадкових величин x та h рівномірно розподілена всередині трикутника K=. Обчислити густину x і h. Чи ці випадкові величини є незалежними? Знайти ймовірність. Випадкові величини x і h незалежні та рівномірно розподілені на відрізках та [-1,1]. Знайти ймовірність. Двовимірна випадкова величина (x, h) рівномірно розподілена у квадраті з вершинами (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Знайти значення спільної функції розподілу у точці (1, -1). Випадковий вектор (x, h) рівномірно розподілено всередині кола радіусу 3 з центром на початку координат. Написати вираз для спільної густини розподілу. Визначити, чи залежать ці випадкові величини. Обчислити ймовірність. Пара випадкових величин x і h рівномірно розподілена всередині трапеції з вершинами у точках (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Знайти спільну щільність розподілу цієї пари випадкових величин і щільності складових. Чи залежать x і h? Випадкова пара (x, h) рівномірно розподілена всередині півкола. Знайти густини x і h, дослідити питання їх залежності. Спільна густина двох випадкових величин x і h дорівнює .
Знайти густину x, h. Дослідити питання залежності x і h. Випадкова пара (x, h) рівномірно розподілена на множині . Знайти густини x і h, дослідити питання їх залежності. Знайти М(xh). Випадкові величини x і h незалежні та розподілені за показовим законом із параметром Знайти

Приклади розв'язання задач на тему «Випадкові величини».

Завдання 1 . У лотереї випущено 100 квитків. Розігрувався один виграш у 50 у.о. та десять виграшів по 10 у.о. Знайти закон розподілу величини X – вартості можливого виграшу.

Рішення. Можливі значення величини X: x 1 = 0; x 2 = 10 та x 3 = 50. Так як "порожніх" квитків - 89, то p 1 = 0,89, ймовірність виграшу 10 у. (10 квитків) – p 2 = 0,10 та для виграшу 50 у.о. - p 3 = 0,01. Таким чином:

Легко проконтролювати: .

Завдання 2. Імовірність те, що покупець ознайомився заздалегідь з рекламою товару дорівнює 0,6 (р=0,6 ). Здійснюється вибірковий контроль якості реклами шляхом опитування покупців до першого, який вивчив рекламу заздалегідь. Скласти низку розподілу кількості опитаних покупців.

Рішення. Відповідно до умови задачі р = 0,6. Звідки: q=1 -p = 0,4. Підставивши дані значення, отримаємо:і побудуємо низку розподілу:

Завдання 3. Комп'ютер складається із трьох незалежно працюючих елементів: системного блоку, монітора та клавіатури. При одноразовому різкому підвищенні напруги можливість відмови кожного елемента дорівнює 0,1. Виходячи з розподілу Бернуллі скласти закон розподілу числа елементів, що відмовили при стрибку напруги в мережі.

Рішення. Розглянемо розподіл Бернуллі(або біномне): ймовірність того, що в n випробуваннях подія А з'явиться рівно k разів: , або:

У ернемося до завдання.

Можливі значення величини X (кількість відмов):

x 0 =0 – жоден із елементів не відмовив;

x 1 =1 - відмова одного елемента;

x 2 =2 - відмова двох елементів;

x 3 =3 - відмова всіх елементів.

Оскільки, за умовою, p = 0,1, то q = 1 – p = 0,9. Використовуючи формулу Бернуллі, отримаємо

, ,

, .

Контроль: .

Отже, шуканий закон розподілу:

Завдання 4. Виготовлено 5000 набоїв. Імовірність того, що один патрон бракований . Яка ймовірність того, що у всій партії буде рівно 3 браковані патрони?

Рішення. Застосуємо розподіл Пуассона: цей розподіл використовується для визначення ймовірності того, що за дуже великого

кількості випробувань (масові випробування), у кожному з яких ймовірність події A дуже мала, подія A настане раз: де .

Тут n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Знаходимо, тоді шукана ймовірність: .

Завдання 5. При стрільбі до першого влучення з ймовірністю влучення p = 0,6 під час пострілу треба знайти ймовірність того, що попадання відбудеться при третьому пострілі.

Рішення. Застосуємо геометричний розподіл: нехай виробляються незалежні випробування, у кожному з яких подія A має ймовірність появи p (і не появи q = 1 – p). Випробування закінчуються, щойно станеться подія A.

За таких умов ймовірність того, що подія A відбудеться на k-му випробуванні, визначається за такою формулою: . Тут p = 0,6; q = 1 - 0,6 = 0,4; k = 3. Отже, .

Завдання 6. Нехай заданий закон розподілу випадкової величини X:

Знайти математичне очікування.

Рішення. .

Зауважимо, що імовірнісний зміст математичного очікування – це середнє значення випадкової величини.

Завдання 7. Знайти дисперсію випадкової величини X з наступним законом розподілу:

Рішення. Тут .

Закон розподілу квадрата величини X 2 :

Шукана дисперсія: .

Дисперсія характеризує міру відхилення (розсіяння) випадкової величини від її математичного очікування.

Завдання 8. Нехай випадкова величина задається розподілом:

Визначити її числові показники.

Рішення: м, м 2 ,

М 2 , М.

Про випадкову величину X можна сказати або її математичне очікування 6,4 м з дисперсією 13,04 м 2 , або – її математичне очікування 6,4 м з відхиленням м. Друге формулювання, зрозуміло, наочніше.

Завдання 9. Випадкова величина X задана функцією розподілу:
.

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування величина X набуде значення, укладеного в інтервалі .

Рішення. Ймовірність те, що X прийме значення із заданого інтервалу, дорівнює збільшенню інтегральної функції цьому інтервалі, тобто. . У нашому випадку і тому

.

Завдання 10. Дискретна випадкова величина X задана законом розподілу:

Знайти функцію розподілу F (x ) та побудувати її графік.

Рішення. Оскільки функція розподілу,

для , то

при;

при;

при;

при;

Відповідний графік:

Завдання 11.Безперервна випадкова величина X задана диференціальною функцією розподілу: .

Знайти ймовірність влучення X в інтервал

Рішення. Зауважимо, що це окремий випадок показового закону розподілу.

Скористаємося формулою: .

Завдання 12. Знайти числові характеристики дискретної випадкової величини X, заданої законом розподілу: