Що називається основою конуса. Урок «Прямий круговий конус, його елементи

Отримане об'єднання всіх променів, що виходять з однієї точки ( вершиниконуса) та проходять через плоску поверхню. Іноді конусом називають частину такого тіла, отриману об'єднанням усіх відрізків, що з'єднують вершину та точки плоскої поверхні (останню в такому випадку називають основоюконуса, а конус називають що спираєтьсяна цю підставу). Далі розглядатиметься саме цей випадок, якщо не обговорено протилежне. Якщо основа конуса є багатокутником, конус стає пірамідою.

"== Пов'язані визначення ==

Відрізок, що з'єднує вершину та межу основи, називається утворює конуса.
Об'єднання утворюють конуса називається утворює(або бічний) поверхнею конуса. Утворююча поверхня конуса є конічною поверхнею.
Відрізок, опущений перпендикулярно з вершини на площину основи (а також довжина такого відрізка), називається висотою конуса.
Якщо основа конуса має центр симетрії (наприклад, є колом або еліпсом) та ортогональна проекція вершини конуса на площину основи збігається з цим центром, то конус називається прямим. При цьому пряма, що з'єднує вершину та центр основи, називається віссю конуса.
Косий (похилий) конус - конус, у якого ортогональна проекція вершини на основу не збігається з його центром симетрії.
Круговий конус- Конус, основа якого є колом.
Прямий круговий конус(часто його називають просто конусом) можна отримати обертанням прямокутного трикутника навколо прямої, що містить катет (ця пряма є вісь конуса).
Конус, що спирається на еліпс, параболу або гіперболу, називають відповідно еліптичним, параболічнимі гіперболічним конусом(Останні два мають нескінченний обсяг).
Частина конуса, що лежить між основою і площиною, паралельною основі і між вершиною і основою, називається усіченим конусом.

Властивості

Якщо площа основи кінцева, то об'єм конуса також кінцевий і дорівнює третині висоти на площу основи. Таким чином, всі конуси, що спираються на дану основу і мають вершину, що знаходиться на даній площині, паралельній основі, мають рівний обсяг, оскільки їх висоти дорівнюють.
Центр тяжкості будь-якого конуса з кінцевим об'ємом лежить на чверті висоти від основи.
Тілесний кут при вершині прямого кругового конуса дорівнює

де - кут розчинуконуса (тобто подвоєний кут між віссю конуса та будь-який прямий на його бічній поверхні).

Площа бічної поверхні такого конуса дорівнює

де - Радіус основи, - Довжина утворює.

Об'єм кругового конуса дорівнює

Перетин площини з прямим круговим конусом є одним із конічних перерізів (у невироджених випадках – еліпсом, параболою або гіперболою, залежно від положення сіючої площини).

Узагальнення

В геометрії алгебри конус- це довільне підмножина векторного простору над полем, для якого для будь-якого

Див. також

Конус (топологія)

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Конус (геометрична фігура)" в інших словниках:

Конус: У математиці Конус геометрична фігура. Конус над топологічним простором. Конус (Теорія категорій). У техніці Конус інструментальний метод сполучення інструменту та шпинделя у верстатах. Конусний пристрій вузол… … Вікіпедія

Геометрія розділу математики, тісно пов'язаний з поняттям простору; Залежно від форм опису цього поняття з'являються різні види геометрії. Передбачається, що читач, приступаючи до читання цієї статті, має деякі… Енциклопедія Кольєра

Візуалізація зображення на екрані дисплея (монітора). На відміну від відтворення зображення на папері або іншому носії, зображення, створене на екрані, можна майже негайно стерти або підправити, стиснути або розтягнути, … Енциклопедичний словник

Історія науки … Вікіпедія

Історія науки За тематикою Математика Природничі науки … Вікіпедія

- (грец. geodaisia, від ge Земля і daio ділю, поділяю), наука про визначення положення об'єктів на земній поверхні, про розміри, форму та гравітаційне поле Землі та інших планет. Це галузь прикладної математики, тісно пов'язана з геометрією, … Енциклопедія Кольєра

Олена Голубєва

Презентація вивчення теми " Тіла обертання " .

Конус - Це тіло, яке складається з кола. Коло є основою конуса .

Вершиною конуса – є точки, що не лежать у площині цього кола та всіх відрізків, що з'єднують вершину конуса з точками основи.

Відрізки, що з'єднують вершину конуса з точками кола основи, називаються утворюючими конуса .

Прямий конус - якщо пряма, що з'єднує вершину конуса з центром основи, перпендикулярна площині основи.

Висота конуса – перпендикуляр, опущений із його вершини на площину основи. У прямого конуса основа висоти збігається з центром основи.

Вісь прямого кругового конуса - Це пряма, що містить його висоту.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Конус

Наочно прямий круговий конус можна уявити як тіло, отримане при обертанні прямокутного трикутника навколо його катета як осі.

Конус – це тіло, що складається із кола. Коло є основою конуса. Вершиною конуса є точки не лежать у площині цього кола і всіх відрізків, що з'єднують вершину конуса з точками основи. Відрізки, що з'єднують вершину конуса з точками кола основи, називають утворюючими конуса. Прямий конус – якщо пряма, що з'єднує вершину конуса з центром основи, перпендикулярна площині основи. Висота конуса – перпендикуляр, опущений із його вершини на площину основи. У прямого конуса основа висоти збігається з центром основи. Вісь прямого кругового конуса - це пряма, що містить його висоту.

Кінці відрізка АВ лежать на околицях основ циліндра. Радіус циліндра дорівнює r, його висота - h, а відстань між прямою АВ і віссю циліндра дорівнює d. Знайдіть h, якщо r = 10 дм, d = 8 дм, АВ = 13 дм. ЗАВДАННЯ Дано: Циліндр, r = 10 дм – радіус основи, d = 8 дм – відстань від ОО1 до АВ, АВ = 13 дм, h – висота. Знайти: h. А 1 О О 1 В 1 K Рішення: Побудуємо січну площину ВВ 1 АА 1 паралельну осі циліндра, в якій лежить пряма АВ. Отримали прямокутник із діагоналлю АВ. ВВ 1 АА 1 ∑ОО 1 . ВР 1 = АА 1 = h. ВАВ 1 – прямокутний. За теоремою Піфагора: ВВ 1 = √ АВ ² - АВ 1 ² Знайдемо АВ 1: ∆ОАВ1 – рівнобедрений (ОА = ОВ1 = r). ОК = d, оскільки ОК ┴ АВ1 (висота ∆ ОАВ1), то ОК – медіана (К – середина відрізка АВ1). ∆АОК – прямокутний, за теоремою Піфагора: КА = √ ОА ² - ОК ² , КА = √ 10 ² - 8 ² = 6 дм АВ1 = 2 · КА = 6 · 2 = 12 дм ВВ1 = √ 13 ² - 12 ² √ (13 - 12)(13 + 12) = 5 дм, h = ВВ1 = 5 дм.

Дано: циліндр ABCD - перетин, квадрат дуга AD - 90 ° R = 4 см Знайти: S ABCD Рішення: S ABCD = AB · BC = BC 2 т.к. ABCD – квадрат ВОС – прямокутний, т.к. дуга AD – 90° ВОС = 90° ОС = ОВ = 4 (см), т.к. ОС та ОВ – радіуси основи ВС = ОВ 2 + ОС 2 = 4 2 + 4 2 = 32 = 4 2 (см) S ABCD = (4 2) 2 = 32 (см 2) Відповідь: 32 см 2

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі уроку:

Освітня: запровадити поняття конуса, його елементів; розглянути побудову прямого конуса; розглянути знаходження повної поверхні конуса; формувати вміння розв'язувати задачі знаходження елементів конуса.
Розвиваюча: розвивати грамотну математичну мову, логічне мислення
Виховна: виховувати пізнавальну активність, культуру спілкування, культуру діалогу.

Форма уроку:урок формування нових знань та умінь.

Форма навчальної діяльності:колективна форма роботи.

Методи, що використовуються на уроці:пояснювально-ілюстративний, продуктивний.

Дидактичний матеріал:зошит, підручник, ручка, олівець, лінійка, дошка, крейда та кольорові крейди, проектор та презентація «Конус. Основні поняття. Площа поверхні конуса».

План уроку:

Організаційний момент (1 хв).
Підготовчий етап (мотивація) (5 хв).
Вивчення нового матеріалу (15 хв).
Розв'язання задач на знаходження елементів конуса (15 хв).
Підбиття підсумків уроку (2 хв).
Завдання додому (2 хв).

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент

Ціль: підготувати до засвоєння нового матеріалу.

2. Підготовчий етап

Форма: усна робота.

Ціль: знайомство з новим тілом обертання.

Конус у перекладі з грецької “konos” означає “соснова шишка”.

Трапляються тіла у формі конуса. Їх можна розглянути в різних предметах, починаючи зі звичайного морозива і закінчуючи технікою, так само в дитячих іграшках (пірамідка, хлопавка та ін), в природі (ялина, гори, вулкани, смерчі).

(Використовуються Слайди 1-7)

Діяльність вчителя	Діяльність учня
3. Пояснення нового матеріалу Мета: запровадити нові поняття та властивості конуса.
1. Конус може бути отриманий обертанням прямокутного трикутника навколо одного з його катетів. (Слайд 8) Тепер розглянемо, як будується конус. Спочатку зображаємо коло з центром O та пряму OP, перпендикулярну до площини цього кола. Кожну точку кола з'єднаємо відрізком із точкою P (вчитель поетапно будує конус). Поверхня, утворена цими відрізками, називається конічною поверхнею, А самі відрізки - утворюючими конічної поверхні.	У зошитах будують конус.
(диктує визначення) (Слайд 9) Тіло, обмеженою конічною поверхнею та навколо з кордоном L, називається конусом.	Записують визначення.
Конічна поверхня називається бічною поверхнею конуса, а коло – основою конуса. Пряма OP, що проходить через центр основи та вершину, називається віссю конуса. Вісь конуса перпендикулярна площині основи. Відрізок OP називається висотою конуса. Точка P називається вершиною конуса, а що утворюють конічної поверхні – утворюючими конуса.	На кресленні підписують елементи конуса.
Назвіть два утворюючі конуси і порівняйте їх?	PA та PB, вони рівні.
Чому ті, що утворюють рівні?	Проекції похилих рівні як радіуси кола, отже, і самі утворюють рівні.
Запишіть у зошиті: властивості конуса:	(Слайд 10)
1. Усі утворюють конуса рівні. Назвіть кути нахилу, що утворюють до основи? Порівняйте їх. Чому доведіть це?	Кути: PСО, PDO. Вони рівні. Оскільки трикутник PAB – рівнобедрений.
2. Кути нахилу утворюють до основи рівні. Назвіть кути між віссю та утворюючими? Що можна сказати про ці кути?	СРО та DPO Вони рівні.
3. Кути між віссю та утворюючими рівні. Назвіть кути між віссю та основою? Чому рівні ці кути?	POC та POD. 90 про
4. Кути між віссю та основою прямі. Ми розглядатимемо лише прямий конус.
2. Розглянемо перетин конуса різними площинами. Що є січна площина, що проходить через вісь конуса?	Трикутник.
Який це трикутник?	Він рівнобедрений.
Чому?	Дві його сторони утворюють, а вони рівні.
Що є основою даного трикутника?	Діаметр основи конуса.
Такий переріз називається осьовим. (Слайд 11) Накресліть у зошитах і підпишіть цей переріз. Що є січна площина, перпендикулярна осі OP конуса?	Коло.
Де знаходиться центр цього кола?	На осі конуса.
Цей переріз називається круговим перерізом. (Сдайл 12) Накресліть у зошитах і підпишіть цей перетин. Існують і інші види перерізів конуса, які не є осьовими та не паралельні основі конуса. Розглянемо їх у прикладах. (Слайд 13)	Чортять у зошитах.
3. Тепер виведемо формулу повної поверхні конуса. (Слайд 14) Для цього бічну поверхню конуса, як і бічну поверхню циліндра, можна розгорнути на площину, розрізавши її однією з утворюючих.
Що є розгорткою бічної поверхні конуса? (чортить на дошці)	Круговий сектор.
Що є радіусом цього сектора?	Утворюючи конуса.
А чи довжина дуги сектора?	Довжина кола.
За площу бічної поверхні конуса приймається площа її розгортки. (Слайд 15)	, де - градусний захід дуги.
Чому дорівнює площа кругового сектора?
Отже, чому дорівнює площа бічної поверхні конуса? Виразимо через і. (Слайд 16) Чому дорівнює довжина дуги?
З іншого боку ця ж дуга є довжиною кола основи конуса. Чому вона дорівнює?
Підставляючи формулу бічної поверхні конуса отримаємо, . Площею повної поверхні конуса називається сума площ бічної поверхні та основи. . Запишіть ці формули.	Записують: , .

Конус (з грецької "konos")- Соснова шишка. Конус знайомий людям з давнину. У 1906 році була виявлена книга «Про метод», написана Архімедом (287-212 рр. до н. е..), в цій книзі дається розв'язання задачі про обсяг загальної частини циліндрів, що перетинаються. Архімед каже, що це відкриття належить давньогрецькому філософу Демокріту (470-380 рр. до н.е.), який за допомогою цього принципу отримав формули для обчислення обсягу піраміди та конуса.

Конус (круговий конус) – тіло, що складається з кола – основа конуса, точки, що не належить площині цього кола, – вершини конуса та всіх відрізків, що з'єднують вершину конуса та точки кола основи. Відрізки, які з'єднують вершину конуса з точками кола основи, називають утворюючими конуса. Поверхня конуса складається з основи та бічної поверхні.

Конус називається прямим, якщо пряма, яка з'єднує вершину конуса з центром основи, перпендикулярна площині основи. Прямий круговий конус можна як тіло, отримане при обертанні прямокутного трикутника навколо його катета як осі.

Висотою конуса називається перпендикуляр, опущений із його вершини на площину основи. У прямого конуса основа висоти збігається з центром основи. Осі прямого конуса називається пряма, що містить його висоту.

Перетин конуса площиною, що проходить через утворює конуса і перпендикулярна до осьового перерізу, проведеного через цю утворювальну, називається дотичною площиною конуса.

Площина, перпендикулярна до осі конуса, перетинає конус по колу, а бічну поверхню – по колу з центром на осі конуса.

Площина перпендикулярна осі конуса відсікає від нього менший конус. Частина, що залишилася, називається усіченим конусом.

Обсяг конуса дорівнює третині твору висоти на площу основи. Таким чином, всі конуси, що спираються на дану основу і мають вершину, що знаходиться на даній площині, паралельній основі, мають рівний обсяг, оскільки їх висоти дорівнюють.

Площу бічної поверхні конуса можна знайти за формулою:

S бік = πRl,

Площа повної поверхні конуса знаходиться за формулою:

S кон = πRl + πR 2 ,

де R - радіус основи, l - Довжина утворює.

Об'єм кругового конуса дорівнює

V = 1/3 πR 2 H,

де R – радіус основи, Н – висота конуса

Площа бічної поверхні зрізаного конуса можна знайти за формулою: