Що називається прямою та зворотною пропорцією. Пряма та зворотна пропорційності

Виконав: Чепкасів Родіон

учень 6 «Б» класу

МБОУ «ЗОШ № 53»

м. Барнаул

Керівник: Буликіна О.Г.

учитель математики

МБОУ «ЗОШ № 53»

м. Барнаул

Вступ. 1

Відносини та пропорції. 3

Пряма та зворотна пропорційні залежності. 4

Застосування прямої та зворотної пропорційної 6

залежності під час вирішення різних завдань.

Висновок. 11

Література 12

Вступ .

Слово пропорція походить від латинського слова proportion, що означає взагалі пропорційність, вирівняність частин (певне співвідношення частин між собою). У давнину вчення про пропорції було у великій пошані у піфагорійців. З пропорціями вони пов'язували думки про порядок і красу в природі, про співзвучні акорди в музиці та гармонію у всесвіті. Деякі види пропорцій вони називали музичними чи гармонійними.

Ще в давнину людиною було виявлено, що всі явища в природі пов'язані один з одним, що все перебуває в безперервному русі, зміні, і, будучи вираженим числом, виявляє дивовижні закономірності.

Піфагорійці та його послідовники всьому сущому у світі шукали числове вираз. Ними було виявлено; що математичні пропорції лежать основу музики (ставлення довжини струни до висоті тону, відносини між інтервалами, співвідношення звуків в акордах, дають гармонійне звучання). Піфагорійці намагалися математично обґрунтувати ідею єдності світу, стверджували, що в основі світобудови лежать симетричні геометричні форми. Піфагорійці шукали математичне обґрунтування краси.

Слідом за піфагорійцями середньовічний вчений Августин назвав красу "числовою рівністю". Філософ-схоласт Бонавентура писав: "Краси і насолоди немає без пропорційності, пропорційність ж перш за все існує в числах. Необхідно, щоб все піддавалося числення". Про використання пропорції в мистецтві Леонардо да Вінчі писав у своєму трактаті про живопис: "Живописець втілює у формі пропорції ті самі закономірності, що таяться в природі, які у формі числового закону за вченим".

Пропорціями користувалися при вирішенні різних завдань і в давнину та в середні віки. Певні типи завдань тепер легко і швидко вирішуються з допомогою пропорцій. Пропорції і пропорційність застосовувалися і застосовуються у математиці, а й у архітектурі, мистецтві. Пропорційність в архітектурі та мистецтві означає дотримання певних співвідношень між розмірами різних частин будівлі, фігури, скульптури чи іншого витвору мистецтв. Пропорційність у таких випадках є умовою правильної та красивої побудови та зображення

У своїй роботі я намагався розглянути застосування прямої та зворотної пропорційної залежностей у різних галузях навколишнього життя, простежити зв'язок із навчальними предметами через завдання.

Відносини та пропорції.

Частка двох чисел називається ставленнямцих чисел.

Ставлення показує, у скільки разів перше число більше за друге або яку частину перше число становить від другого.

Завдання.

До магазину привезли 2,4 т груш та 3,6 т яблук. Яку частину фруктів складають груші?

Рішення . Знайдемо, скільки всього привезли фруктів: 2,4+3,6=6(т). Щоб знайти якусь частину привезених фруктів складають груші, складемо відношення 2,4:6 =. Відповідь також можна записати у вигляді десяткового дробу або у відсотках: = 0,4 = 40 %.

Взаємно зворотніназивають числа, твори яких одно 1. Тому відносини називають зворотним відношенню.

Розглянемо два рівні відносини: 4,5:3 і 6:4. Поставимо між ними знак рівності та отримаємо пропорцію: 4,5:3=6:4.

Пропорція- Це рівність двох відносин: a: b = c: d або = , де a і d – крайні члени пропорції, c та b – середні члени(Усі члени пропорції відмінні від нуля).

Основна властивість пропорції:

у правильній пропорції добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів.

Застосувавши переміщувальну властивість множення, отримаємо, що у правильній пропорції можна міняти місцями крайні члени чи середні члени. Пропорції також будуть вірними.

Використовуючи основну властивість пропорції, можна шукати її невідомий член, якщо інші члени відомі.

Щоб знайти невідомий крайній член пропорції, треба перемножити середні члени і поділити відомий крайній член. x : b = c : d , x =

Щоб знайти невідомий середній член пропорції, треба перемножити крайні члени і поділити відомий середній член. a : b = x : d , x = .

Пряма та зворотні пропорційні залежності.

Значення двох різних величин можуть взаємно залежати друг від друга. Так, площа квадрата залежить від довжини його сторони, і назад - довжина сторони квадрата залежить від його площі.

Дві величини називають пропорційними, якщо зі збільшенням

(зменшення) однієї з них у кілька разів, інша збільшується (зменшується) у стільки ж разів.

Якщо дві величини прямо пропорційні, відносини відповідних значень цих величин рівні.

приклад прямої пропорційної залежності .

На заправній станції 2 л бензину важать 1,6 кг. Скільки будуть важити 5 л бензину?

Рішення:

Вага гасу пропорційна його обсягу.

2л - 1,6 кг

5л - х кг

2: 5 = 1,6: х,

х = 5 * 1,6 х = 4

Відповідь: 4 кг.

Тут ставлення ваги обсягу залишається незмінним.

Дві величини називаються обернено пропорційними, якщо при збільшенні (зменшенні) однієї з них у кілька разів, інша зменшується (збільшується) у стільки ж разів.

Якщо величини обернено пропорційні, то відношення значень однієї величини дорівнює зворотному відношенню відповідних значень іншої величини.

П рімерзворотної пропорційної залежності.

Два прямокутники мають однакову площу. Довжина першого прямокутника 3,6 м, а ширина 2,4 м. Довжина другого прямокутника 4,8 м. Знайдемо ширину другого прямокутника.

Рішення:

1 прямокутник 3,6 м 2,4 м

2 прямокутник 4,8 м х м

3,6 м х м

4,8 м 2,4 м

х = 3,6 * 2,4 = 1,8 м

Відповідь: 1,8 м.

Як бачимо, завдання на пропорційні величини можна розв'язувати за допомогою пропорцій.

Не всякі дві величини є прямо пропорційними або обернено пропорційними. Наприклад, зростання дитини збільшується зі збільшенням її віку, але ці величини є пропорційними, оскільки за подвоєння віку зростання дитини не подвоюється.

Практичне застосування прямої та зворотної пропорційної залежності.

Завдання №1

У шкільній бібліотеці 210 підручників з математики, що становить 15% всього бібліотечного фонду. Скільки всього книг у бібліотечному фонді?

Рішення:

Усього підручників - ? - 100%

Математики – 210 -15%

15% 210 уч.

Х = 100 * 210 = 1400 підручників

100% х уч. 15

Відповідь: 1400 підручників.

Завдання № 2

Велосипедист за 3 години проїжджає 75 км. За який час велосипедист проїде 125 км із тією самою швидкістю?

Рішення:

3 год – 75 км

Ч – 125 км

Час та відстань є прямо пропорційними величинами, тому

3: х = 75: 125,

х=
,

х = 5.

Відповідь: за 5 год.

Завдання №3

8 однакових труб заповнюють басейн за 25 хвилин. За скільки хвилин заповнять басейн 10 труб?

Рішення:

8 труб – 25 хвилин

10 труб -? хвилин

Кількість труб обернено пропорційно часу, тому

8: 10 = х: 25,

х =

х = 20

Відповідь: за 20 хвилин.

Завдання № 4

Бригада із 8 робочих виконує завдання за 15 днів. Скільки робітників зможе виконати завдання за 10 днів, працюючи з тією самою продуктивністю?

Рішення:

8 робітників – 15 днів

Робітників - 10 днів

Кількість робочих назад пропорційна кількості днів, тому

х: 8 = 15: 10,

х=
,

х = 12.

Відповідь: 12 робітників.

Завдання № 5

З 5,6 кг помідорів одержують 2 л соусу. Скільки літрів соусу можна отримати із 54 кг помідорів?

Рішення:

5,6 кг – 2 л

54 кг -? л

Кількість кілограмів помідорів прямо пропорційна кількості соусу, що отримується, тому

5,6: 54 = 2: х,

х =
,

х = 19.

Відповідь: 19 л.

Завдання №6

Для опалення будівлі школи заготовлено вугілля на 180 днів за норми витрати

0,6 т вугілля щодня. На скільки днів вистачить цього запасу, якщо його витрачати щодня по 0,5 т?

Рішення:

Кількість днів

Норма витрат

Кількість днів тому пропорційна нормі витрати вугілля, тому

180: х = 0,5: 0,6,

х = 180 * 0,6: 0,5,

х = 216.

Відповідь: на 216 днів.

Завдання № 7

У залізняку на 7 частин заліза припадає 3 частини домішок. Скільки тонн домішок у руді, що містить 73,5 т заліза?

Рішення:

Кількість частин

Маса

Залізо

73,5

Домішки

Кількість частин прямо пропорційно масі, тому

7: 73,5 = 3: x.

х = 73,5 * 3: 7,

х = 31,5.

Відповідь: 31,5 т

Завдання № 8

Автомобіль проїхав 500 км, витративши 35 л бензину. Скільки літрів бензину потрібно проїхати 420 км?

Рішення:

Відстань, км

Бензин, л

Відстань прямо пропорційна витрачанню бензину, тому

500: 35 = 420: х,

х = 35 * 420: 500,

х = 29,4.

Відповідь: 29,4 л

Завдання № 9

За 2 години зловили 12 карасів. Скільки карасів зловлять за 3:00?

Рішення:

Кількість карасів залежить від часу. Ці величини не є ні прямо пропорційними, ні обернено пропорційними.

Відповідь: відповіді немає.

Завдання №10

Гірничорудному підприємству потрібно закупити на певну суму грошей 5 нових машин за ціною 12 тис. рублів за одну. Скільки таких машин зможе купити підприємство, якщо ціна за одну машину стане 15 тис. рублів?

Рішення:

Кількість машин, шт.

Ціна, тис. руб.

Кількість машин назад пропорційна вартості, тому

5: х = 15: 12,

х = 5 * 12:15,

х = 4.

Відповідь: 4 машини.

Завдання № 11

В місті N на площі P знаходиться магазин, господар якого настільки суворий, що за запізнення віднімає із заробітної плати 70 рублів за 1 запізнення на день. В одному відділі працюють дві дівчини Юля та Наташа. Їхня заробітна плата залежить від кількості робочих днів. Юля за 20 днів отримала 4100 рублів, а Наташа за 21 день отримати мала б більше, але вона запізнювалася 3 дні поспіль. Скільки карбованців отримає Наталя?

Рішення:

Робочі дні

Зарплата, руб.

Юля

4100

Наталка

Зарплата прямо пропорційна кількості робочих днів, тому

20: 21 = 4100: х,

х = 4305.

4305 руб. мала отримати Наташа.

4305 - 3 * 70 = 4095 (руб.)

Відповідь: Наталя отримає 4095 руб.

Завдання № 12

Відстань між двома містами на карті дорівнює 6 см. Знайдіть відстань між цими містами на місцевості, якщо масштаб карти 1:250000.

Рішення:

Позначимо відстань між містами на місцевості через х (у сантиметрах) і знайдемо відношення довжини відрізка на карті до відстані на місцевості, яка дорівнює масштабу карти: 6: х = 1: 250000,

х = 6 * 250000,

х = 1500000.

1500000 см = 15 км

Відповідь: 15 км.

Завдання № 13

4000 г розчину міститься 80 г солі. Яка концентрація солі у даному розчині?

Рішення:

Маса, г

Концентрація, %

Розчин

4000

Сіль

4000: 80 = 100: х,

х =
,

х = 2.

Відповідь: концентрація солі становить 2%.

Завдання № 14

Банк надає кредит під 10% річних. Ви отримали кредит 50 000 рублів. Яку суму Ви маєте повернути банку за рік?

Рішення:

50 000 руб.

100%

х руб.

50000: х = 100: 10,

х = 50000 * 10:100,

х = 5000.

5000 руб. складає 10%.

50000 + 5000 = 55000 (руб.)

Відповідь: за рік банку повернуть 55 000 руб.

Висновок.

Як бачимо з наведених прикладів, пряма та зворотна пропорційні залежності застосовні в різних сферах життя:

економіці,

Торгівля,

На виробництві та промисловості,

Шкільного життя,

Кулінарії,

Будівництво та архітектура.

Спорт,

Тваринництво,

Топографії,

Фізики,

Хімії та ін.

У російській мові також зустрічаються прислів'я та приказки, що встановлюють пряму та зворотну залежності:

Як гукнеться, так і відгукнеться.

Чим вищий пень, тим вища тінь.

Що більше народу, то менше кисню.

І готово, та безглуздо.

Математика – одна з найдавніших наук, виникла вона на основі потреб та потреб людства. Пройшовши історію становлення ще з Давньої Греції, вона досі залишається актуальною та необхідною у повсякденному житті будь-якої людини. Поняття про пряму і зворотну пропорційну залежність відомі ще з давніх часів, оскільки саме закони пропорції рухали архітекторами при будь-якій споруді або створенні будь-якої скульптури.

Знання про пропорції широко використовуються у всіх сферах життя і діяльності людини – без них не обійтися при написанні картин (пейзажів, натюрмортів, портретів та інше), також мають широке поширення серед архітекторів та інженерів, – загалом важко собі уявити створення хоч чого -небудь без використання знань про пропорції та їх співвідношення.

Література

Математика-6, Н.Я. Віленкін та ін.

Алгебра-7, Г.В. Дорофєєв та ін.

Математика-9, ДІА-9, за редакцією Ф.Ф. Лисенка, С.Ю. Кулабухова

Математика-6, дидактичні матеріали, П.В. Чулков, А.Б. Уединов

Завдання з математики для 4-5 класів, І.В.Баранова та ін, М. «Освіта»1988

Збірник завдань та прикладів з математики 5-6 клас, Н.А. Терешин,

Т.М. Терешіна, М. «Акваріум» 1997

Дві величини називаються прямо пропорційнимиякщо при збільшенні однієї з них у кілька разів інша збільшується в стільки ж разів. Відповідно, при зменшенні однієї з них у кілька разів, інша зменшується у стільки ж разів.

Залежність між такими величинами – пряма пропорційна залежність. Приклади прямої пропорційної залежності:

1) при постійній швидкості пройдений шлях прямо пропорційно залежить від часу;

2) периметр квадрата та його сторона - прямо пропорційні величини;

3) вартість товару, купленого за однією ціною, прямо пропорційно залежить від кількості.

Щоб відрізнити пряму пропорційну залежність від зворотної можна використовувати прислів'я: «Що далі лісом, то більше дров».

Завдання прямо пропорційні величини зручно вирішувати за допомогою пропорції.

1) Для виготовлення 10 деталей потрібно 3,5 кг металу. Скільки металу піде на виготовлення 12 таких деталей?

(Розмірковуємо так:

1. У заповненому стовпці стрілку ставимо у напрямку від більшого числа до меншого.

2. Чим більше деталей, тим більше металу потрібно їх виготовлення. Отже, це прямо пропорційна залежність.

Нехай х кг металу потрібно виготовлення 12 деталей. Складаємо пропорцію (в напрямку від початку стрілки до її кінця):

12:10 = х: 3,5

Щоб знайти , треба твір крайніх членів розділити на відомий середній член:

Отже, знадобиться 4,2 кг металу.

Відповідь: 4,2 кг.

2) За 15 метрів тканини заплатили 1680 рублів. Скільки коштує 12 метрів такої тканини?

(1. У заповненому стовпці стрілку ставимо у напрямі від більшого числа до меншого.

2. Що менше тканини купують, то менше за неї треба заплатити. Отже, це прямо пропорційна залежність.

3. Тому друга стрілка однаково спрямована першою).

Нехай х рублів коштують 12 метрів тканини. Складаємо пропорцію (від початку стрілки до її кінця):

15:12 = 1680:х

Щоб знайти невідомий крайній член пропорції, добуток середніх членів ділимо на відомий крайній член пропорції:

Значить, 12 метрів коштують 1344 рублі.

Відповідь: 1344 рублі.

Сьогодні ми розглянемо, які величини називаються обернено пропорційними, як виглядає графік зворотної пропорційності і як усе це може вам знадобитися не тільки на уроках математики, але й поза шкільними стінами.

Такі різні пропорційності

Пропорційністюназивають дві величини, які взаємно залежні одна від одної.

Залежність може бути прямою та зворотною. Отже, відносини між величинами описують пряма та зворотна пропорційність.

Пряма пропорційність– це залежність двох величин, коли він збільшення чи зменшення однієї з них веде до збільшення чи зменшення інший. Тобто. їхнє відношення не змінюється.

Наприклад, чим більше зусиль ви докладаєте для підготовки до іспитів, тим вищі ваші оцінки. Або чим більше речей ви берете із собою у похід, тим важче нести ваш рюкзак. Тобто. кількість витрачених на підготовку до іспитів зусиль прямо пропорційно до отриманих оцінок. І кількість запакованих у рюкзак речей прямо пропорційно до його ваги.

Зворотня пропорційність– це функціональна залежність, коли він зменшення чи збільшення у кілька разів незалежної величини (її називають аргументом) викликає пропорційне (тобто. в стільки ж раз) збільшення чи зменшення залежної величини (її називають функцією).

Проілюструємо простим прикладом. Ви хочете купити на ринку яблук. Яблука на прилавку та кількість грошей у вашому гаманці знаходяться у зворотній пропорційності. Тобто. що більше ви купите яблук, то менше грошей у вас залишиться.

Функція та її графік

Функцію зворотної пропорційності можна описати як y = k/x. В якому x≠ 0 та k≠ 0.

Ця функція має такі властивості:

1. Областью її визначення є безліч усіх дійсних чисел, крім x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Областью значень є всі дійсні числа, крім y= 0. Е:: (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Не має найбільших та найменших значень.
4. Є непарною та її графік симетричний щодо початку координат.
5. Неперіодична.
6. Її графік не перетинає осі координат.
7. Не має нулів.
8. Якщо k> 0 (тобто аргумент зростає), функція пропорційно зменшується кожному зі своїх проміжків. Якщо k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. При зростанні аргументу ( k> 0) негативні значення функції перебувають у проміжку (-∞; 0), а позитивні – (0; +∞). При зменшенні аргументу ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Графік функції зворотної пропорційності називається гіперболою. Зображується так:

Завдання на зворотну пропорційність

Щоб стало зрозуміліше, розберемо кілька завдань. Вони не надто складні, а їхнє рішення допоможе вам наочно уявити, що таке зворотна пропорційність і як ці знання можуть стати у нагоді у вашому звичайному житті.

Завдання №1. Автомобіль рухається зі швидкістю 60 км/год. Щоб дістатися місця призначення, йому знадобилося 6 годин. Скільки часу йому знадобиться, щоб подолати таку ж відстань, якщо він рухатиметься зі швидкістю в 2 рази вищою?

Можемо почати з того, що запишемо формулу, яка описує відносини часу, відстані та швидкості: t = S/V. Погодьтеся, вона дуже нагадує нам функцію зворотної пропорційності. І свідчить про те, що час, який автомобіль проводить у дорозі, та швидкість, з якою він рухається, перебувають у зворотній пропорційності.

Щоб переконатися в цьому, знайдемо V 2 , яка за умовою вище в 2 рази: V 2 = 60 * 2 = 120 км/год. Потім розрахуємо відстань за формулою S = V * t = 60 * 6 = 360 км. Тепер зовсім нескладно дізнатися час t 2 , який вимагається за умовою задачі: t 2 = 360/120 = 3 год.

Як бачите час у дорозі і швидкість руху дійсно обернено пропорційні: зі швидкістю в 2 рази вище початкової автомобіль витратить у 2 рази менше часу на дорогу.

Вирішення цього завдання можна записати і у вигляді пропорції. Для чого спочатку складемо таку схему:

↓ 60 км/год – 6 год

↓120 км/год – х год

Стрілки позначають обернено пропорційну залежність. А також нагадують, що при складанні пропорції праву частину запису треба перевернути: 60/120 = х/6. Звідки одержуємо х = 60 * 6/120 = 3 год.

Завдання №2. У майстерні працюють 6 робітників, які із заданим обсягом роботи справляються за 4 години. Якщо кількість робітників скоротити в 2 рази, скільки часу потрібно залишитися, щоб виконати той самий обсяг роботи?

Запишемо умови завдання у вигляді наочної схеми:

↓ 6 робітників – 4 год

↓ 3 робітників – х год

Запишемо це як пропорції: 6/3 = х/4. І отримаємо х = 6 * 4/3 = 8 год. Якщо робітників стане в 2 рази менше, решта витратить на виконання всієї роботи в 2 рази більше часу.

Завдання №3. У басейн ведуть дві труби. Через одну трубу вода надходить зі швидкістю 2 л/с та наповнює басейн за 45 хвилин. Через іншу трубу басейн наповниться за 75 хвилин. З якою швидкістю вода надходить у басейн через цю трубу?

Для початку наведемо всі дані нам за умовою задачі величини до однакових одиниць виміру. Для цього виразимо швидкість заповнення басейну в літрах за хвилину: 2 л/с = 2 * 60 = 120 л/хв.

Оскільки з умови випливає, що через другу трубу басейн заповнюється повільніше, значить і швидкість надходження води нижча. В наявності зворотна пропорційність. Невідому нам швидкість висловимо через х і складемо таку схему:

↓ 120 л/хв – 45 хв

↓ х л/хв – 75 хв

А потім складемо пропорцію: 120/х = 75/45, звідки х = 120*45/75 = 72 л/хв.

У задачі швидкість наповнення басейну виражена в літрах за секунду, наведемо отриману нами відповідь до такого ж виду: 72/60 = 1,2 л/с.

Завдання №4. У невеликій приватній друкарні друкують візитки. Співробітник друкарні працює зі швидкістю 42 візитки на годину та працює повний робочий день – 8 годин. Якби він працював швидше і друкував 48 візиток за годину, наскільки раніше він міг би піти додому?

Йдемо перевіреним шляхом і складаємо за умовою завдання схему, позначивши потрібну величину як х:

↓ 42 візитки/год – 8 год

↓ 48 візитки/год – х год

Перед нами обернено пропорційна залежність: у скільки разів більше візиток на годину надрукує співробітник друкарні, у стільки ж разів менше часу знадобиться на виконання тієї самої роботи. Знаючи це, складемо пропорцію:

42/48 = х/8, х = 42 * 8/48 = 7ч.

Таким чином, впоравшись із роботою за 7 годин, співробітник друкарні зможу піти додому на годину раніше.

Висновок

Нам здається, що ці завдання на зворотну пропорційність справді нескладні. Сподіваємося, що тепер ви також вважаєте їх такими. А головне, що знання про зворотно пропорційну залежність величин дійсно може виявитися для вас корисним ще не раз.

Не тільки на уроках математики та іспитах. Але й тоді, коли ви зберетеся вирушити у подорож, підете за покупками, вирішите трохи підробити у канікули тощо.

Розкажіть нам у коментарях, які приклади зворотної та прямої пропорційної залежності ви помічаєте навколо себе. Нехай це буде така гра. Ось побачите, як це цікаво. Не забудьте «розшарити» цю статтю у соціальних мережах, щоб ваші друзі та однокласники теж змогли пограти.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Сьогодні ми розглянемо, які величини називаються обернено пропорційними, як виглядає графік зворотної пропорційності і як усе це може вам знадобитися не тільки на уроках математики, але й поза шкільними стінами.

Такі різні пропорційності

Пропорційністюназивають дві величини, які взаємно залежні одна від одної.

Залежність може бути прямою та зворотною. Отже, відносини між величинами описують пряма та зворотна пропорційність.

Пряма пропорційність– це залежність двох величин, коли він збільшення чи зменшення однієї з них веде до збільшення чи зменшення інший. Тобто. їхнє відношення не змінюється.

Наприклад, чим більше зусиль ви докладаєте для підготовки до іспитів, тим вищі ваші оцінки. Або чим більше речей ви берете із собою у похід, тим важче нести ваш рюкзак. Тобто. кількість витрачених на підготовку до іспитів зусиль прямо пропорційно до отриманих оцінок. І кількість запакованих у рюкзак речей прямо пропорційно до його ваги.

Зворотня пропорційність– це функціональна залежність, коли він зменшення чи збільшення у кілька разів незалежної величини (її називають аргументом) викликає пропорційне (тобто. в стільки ж раз) збільшення чи зменшення залежної величини (її називають функцією).

Проілюструємо простим прикладом. Ви хочете купити на ринку яблук. Яблука на прилавку та кількість грошей у вашому гаманці знаходяться у зворотній пропорційності. Тобто. що більше ви купите яблук, то менше грошей у вас залишиться.

Функція та її графік

Функцію зворотної пропорційності можна описати як y = k/x. В якому x≠ 0 та k≠ 0.

Ця функція має такі властивості:

1. Областью її визначення є безліч усіх дійсних чисел, крім x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Областью значень є всі дійсні числа, крім y= 0. Е:: (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Не має найбільших та найменших значень.
4. Є непарною та її графік симетричний щодо початку координат.
5. Неперіодична.
6. Її графік не перетинає осі координат.
7. Не має нулів.
8. Якщо k> 0 (тобто аргумент зростає), функція пропорційно зменшується кожному зі своїх проміжків. Якщо k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. При зростанні аргументу ( k> 0) негативні значення функції перебувають у проміжку (-∞; 0), а позитивні – (0; +∞). При зменшенні аргументу ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Графік функції зворотної пропорційності називається гіперболою. Зображується так:

Завдання на зворотну пропорційність

Щоб стало зрозуміліше, розберемо кілька завдань. Вони не надто складні, а їхнє рішення допоможе вам наочно уявити, що таке зворотна пропорційність і як ці знання можуть стати у нагоді у вашому звичайному житті.

Завдання №1. Автомобіль рухається зі швидкістю 60 км/год. Щоб дістатися місця призначення, йому знадобилося 6 годин. Скільки часу йому знадобиться, щоб подолати таку ж відстань, якщо він рухатиметься зі швидкістю в 2 рази вищою?

Можемо почати з того, що запишемо формулу, яка описує відносини часу, відстані та швидкості: t = S/V. Погодьтеся, вона дуже нагадує нам функцію зворотної пропорційності. І свідчить про те, що час, який автомобіль проводить у дорозі, та швидкість, з якою він рухається, перебувають у зворотній пропорційності.

Щоб переконатися в цьому, знайдемо V 2 , яка за умовою вище в 2 рази: V 2 = 60 * 2 = 120 км/год. Потім розрахуємо відстань за формулою S = V * t = 60 * 6 = 360 км. Тепер зовсім нескладно дізнатися час t 2 , який вимагається за умовою задачі: t 2 = 360/120 = 3 год.

Як бачите час у дорозі і швидкість руху дійсно обернено пропорційні: зі швидкістю в 2 рази вище початкової автомобіль витратить у 2 рази менше часу на дорогу.

Вирішення цього завдання можна записати і у вигляді пропорції. Для чого спочатку складемо таку схему:

↓ 60 км/год – 6 год

↓120 км/год – х год

Стрілки позначають обернено пропорційну залежність. А також нагадують, що при складанні пропорції праву частину запису треба перевернути: 60/120 = х/6. Звідки одержуємо х = 60 * 6/120 = 3 год.

Завдання №2. У майстерні працюють 6 робітників, які із заданим обсягом роботи справляються за 4 години. Якщо кількість робітників скоротити в 2 рази, скільки часу потрібно залишитися, щоб виконати той самий обсяг роботи?

Запишемо умови завдання у вигляді наочної схеми:

↓ 6 робітників – 4 год

↓ 3 робітників – х год

Запишемо це як пропорції: 6/3 = х/4. І отримаємо х = 6 * 4/3 = 8 год. Якщо робітників стане в 2 рази менше, решта витратить на виконання всієї роботи в 2 рази більше часу.

Завдання №3. У басейн ведуть дві труби. Через одну трубу вода надходить зі швидкістю 2 л/с та наповнює басейн за 45 хвилин. Через іншу трубу басейн наповниться за 75 хвилин. З якою швидкістю вода надходить у басейн через цю трубу?

Для початку наведемо всі дані нам за умовою задачі величини до однакових одиниць виміру. Для цього виразимо швидкість заповнення басейну в літрах за хвилину: 2 л/с = 2 * 60 = 120 л/хв.

Оскільки з умови випливає, що через другу трубу басейн заповнюється повільніше, значить і швидкість надходження води нижча. В наявності зворотна пропорційність. Невідому нам швидкість висловимо через х і складемо таку схему:

↓ 120 л/хв – 45 хв

↓ х л/хв – 75 хв

А потім складемо пропорцію: 120/х = 75/45, звідки х = 120*45/75 = 72 л/хв.

У задачі швидкість наповнення басейну виражена в літрах за секунду, наведемо отриману нами відповідь до такого ж виду: 72/60 = 1,2 л/с.

Завдання №4. У невеликій приватній друкарні друкують візитки. Співробітник друкарні працює зі швидкістю 42 візитки на годину та працює повний робочий день – 8 годин. Якби він працював швидше і друкував 48 візиток за годину, наскільки раніше він міг би піти додому?

Йдемо перевіреним шляхом і складаємо за умовою завдання схему, позначивши потрібну величину як х:

↓ 42 візитки/год – 8 год

↓ 48 візитки/год – х год

Перед нами обернено пропорційна залежність: у скільки разів більше візиток на годину надрукує співробітник друкарні, у стільки ж разів менше часу знадобиться на виконання тієї самої роботи. Знаючи це, складемо пропорцію:

42/48 = х/8, х = 42 * 8/48 = 7ч.

Таким чином, впоравшись із роботою за 7 годин, співробітник друкарні зможу піти додому на годину раніше.

Висновок

Нам здається, що ці завдання на зворотну пропорційність справді нескладні. Сподіваємося, що тепер ви також вважаєте їх такими. А головне, що знання про зворотно пропорційну залежність величин дійсно може виявитися для вас корисним ще не раз.

Не тільки на уроках математики та іспитах. Але й тоді, коли ви зберетеся вирушити у подорож, підете за покупками, вирішите трохи підробити у канікули тощо.

Розкажіть нам у коментарях, які приклади зворотної та прямої пропорційної залежності ви помічаєте навколо себе. Нехай це буде така гра. Ось побачите, як це цікаво. Не забудьте «розшарити» цю статтю у соціальних мережах, щоб ваші друзі та однокласники теж змогли пограти.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

приклад

Коефіцієнт пропорційності

Постійне відношення пропорційних величин називається коефіцієнтом пропорційності. Коефіцієнт пропорційності показує, скільки одиниць однієї величини посідає одиницю інший .

Пряма пропорційність

Пряма пропорційність- функціональна залежність , коли він певна величина залежить від іншої величини в такий спосіб, що й ставлення залишається постійним. Інакше кажучи, ці змінні змінюються пропорційно, у рівних частках, тобто, якщо аргумент змінився вдвічі у якомусь напрямі, те й функція змінюється також удвічі у тому напрямі.

Математично пряма пропорційність записується у вигляді формули:

f(x) = ax,a = const

Зворотня пропорційність

Зворотня пропорційність- це функціональна залежність, при якій збільшення незалежної величини (аргументу) викликає пропорційне зменшення залежної величини (функції).

Математично зворотна пропорційність записується у вигляді формули:

Властивості функції:

Джерела

Wikimedia Foundation. 2010 .