Що називають координатами на площині | Координатна площина: що це таке? Як відзначати крапки та будувати фігури на координатній площині

Що таке координатна площина?

Термін «координати» у перекладі з латинської означає слово «упорядкований».

Допустимо, нам потрібно позначити положення точки на площині. Для цього ми беремо 2 перпендикулярні прямі, які називаються осями координат, де Х буде віссю абсцис, У- віссю ординат, а початком координат буде точка О. Утворені за допомогою осей координат прямі кути будуть називатися координатними кутами.

Так ми підійшли до визначення і тепер знаємо, що координатною площиною є площина із заданою системою координат.

А тепер давайте подивимося, нумерацію координатних кутів:

Тепер з вами відобразимо прямокутну систему координат і відзначимо в ній точку M.

Далі нам потрібно прокреслити через точку М пряму, яка буде паралельна осі У. Тепер дивимося, що в нас вийшло. Як бачимо, що пряма перетинає вісь Х у тій точці, в якій координата дорівнюватиме −2. Ця координата є абсцисою точки M.

Тепер нам потрібно прокреслити через точку М пряму, яка буде паралельна осі Х.

Ми з вами бачимо, що ця пряма перетинає вісь Х у тій точці, координата якої дорівнює трьом. Ось ця координата буде ординатою точки М.

Запис координат струму М виглядатиме так:

У такому записі завжди на перше місце ставлять абсцису, а на друге – ординату. Якщо розглянути з прикладу координат точки М(-2;3), то -2 виступає ролі абсциси точки М, а ординатою цієї точки буде число 3.

З цього випливає, що на координатній площині кожної точки М відповідає така пара чисел, як її абсцису та ординату. Вірним буде і твердження навпаки, тобто кожній такій парі чисел відповідає одна точка площини, для якої ці числа є координатами.

Завдання:

Координатна площина у житті

Як на вашу думку, чи знадобиться в повсякденному житті знання про координатну площину? І чи доводилося вам чути таку фразу, як «залишіть свої координати» чи «за якими координатами вас можна знайти»? І чи замислювалися ви з того, що може означати ці висловлювання?

Виявляється все дуже просто і банально і це означає місцезнаходження того чи іншого об'єкта, яким легко знайти людину або якесь певне місце. Можна впевнено стверджувати, що системи координат необхідні практичного життя людини повсюдно.

Такою системою координат може бути домашня адреса, так і номер телефону, місце роботи і т.д.

Адже навіть при покупці квитків на поїзд, ви знаєте не тільки його номер та місце призначення, а й обов'язково має бути зазначений номер вагона та місця.

Щоб піти в гості до однокласника, недостатньо знати лише будинок, де він живе, а потрібно ще й знати номер квартири.

Завдання

1. Якими відомостями ви повинні мати, щоб зайняти місце в театрі?
2. Які дані необхідно мати, щоб визначити точки на земній поверхні?
3. За якими координатами можна визначити місце у кінотеатрі?
4. Що потрібно знати, щоб визначити положення фігури на шахівниці?
5. Якими координатами ви користуєтесь при грі у морський бій?

Історична довідка

Ідея використання координат з'явилася ще в давнину. Спочатку їх застосовувати почали астрономи, визначення небесних світил і географи – визначення місцезнаходження і об'єктів лежить на поверхні Землі.

Завдяки працям давньогрецького астронома Клавдія Плотомея вже у другому столітті вчені навчилися визначати довготу та широту.

А чи вам відомо, чому в математиці існує таке поняття, як «Декартова система координат»? Виявляється метод координат, який має загальноматематичне значення, був відкритий французькими математиками П'єром Ферма та Рене Декартом у XVII ст., а у 1637 році Рене Декарт вперше описав його у книзі з геометрії.

А ось терміни «абсцису», «ордината» та «координати» були вперше запроваджені Вільгельмом Лейбніцем у сімнадцятому столітті.

Домашнє завдання:

Якщо побудувати на площині дві взаємно перпендикулярні числові осі: OXі OY, то вони будуть називатися осями координат. Горизонтальна вісь OXназивається віссю абсцис(віссю x), вертикальна вісь OY - віссю ординат(віссю y).

Крапка O, що стоїть на перетині осей, називається початком координат. Вона є нульовою точкою для обох осей. Позитивні числа зображуються на осі абсцис точками вправо, але в осі ординат - точками вгору від нульової точки. Негативні числа зображуються точками вліво та вниз від початку координат (точки O). Площина, на якій лежать осі координат, називається координатною площиною.

Осі координат ділять площину на чотири частини, які називають чвертямиабо квадрантами. Ці чверті прийнято нумерувати римськими цифрами в тому порядку, в якому вони пронумеровані на кресленні.

Координати точки на площині

Якщо взяти на координатній площині довільну точку Aі провести від неї перпендикуляри до осей координат, то підстави перпендикулярів ляжуть на два числа. Число, на яке вказує вертикальний перпендикуляр, називається абсцисою точки A. Число, на яке вказує горизонтальний перпендикуляр, - ординатою точки A.

На кресленні абсцису крапки Aдорівнює 3, а ордината 5.

Абсцисса та ордината називаються координатами даної точки на площині.

Координати точки записуються в дужках праворуч від позначення точки. Першою записується абсциса, а за нею ордината. Так запис A(3; 5) позначає, що абсцис точки Aдорівнює трьом, а ордината – п'яти.

Координати точки - це числа, що визначають її положення на площині.

Якщо точка лежить на осі абсцис, її ордината дорівнює нулю (наприклад, точка Bз координатами -2 та 0). Якщо точка лежить на осі ординат, її абсцис дорівнює нулю (наприклад, точка Cз координатами 0 та -4).

Початок координат - точка O- має і абсцису та ординату рівні нулю: O (0; 0).

Ця система координат називається прямокутноїабо декартовий.

Математика – наука досить складна. Вивчаючи її, доводиться як вирішувати приклади і завдання, а й працювати з різними фігурами, і навіть площинами. Однією з найбільш використовуваних у математиці є система координат на площині. Правильній роботі з нею дітей навчають не один рік. Тому важливо знати, що це таке та як правильно з нею працювати.

Давайте ж розберемося, що є дана система, які дії можна виконувати з її допомогою, а також дізнаємося про її основні характеристики та особливості.

Визначення поняття

Координатна площина - це площина, де задана певна система координат. Така площина задається двома прямими, що перетинаються під прямим кутом. У точці перетину цих прямих знаходиться початок координат. Кожна точка на координатній площині визначається парою чисел, які називають координатами.

У шкільному курсі математики школярам доводиться досить тісно працювати з системою координат - будувати на ній фігури та точки, визначати, якій площині належить та чи інша координата, а також визначати координати точки та записувати чи називати їх. Тому поговоримо докладніше про всі особливості координат. Але перш зачепимо історію створення, а потім уже поговоримо про те, як працювати на координатній площині.

Історична довідка

Ідеї ​​створення системи координат були ще за часів Птоломея. Вже тоді астрономи та математики думали про те, як навчитися задавати положення точки на площині. На жаль, тоді ще не було відомої нам системи координат, і вченим доводилося користуватися іншими системами.

Спочатку вони задавали точки за допомогою вказівки широти та довготи. Довгий час це був один із найбільш використовуваних способів нанесення на карту тієї чи іншої інформації. Але в 1637 Рене Декарт створив власну систему координат, названу згодом на честь "декартової".

Вже наприкінці XVII ст. поняття «координатна площина» почало широко використовуватися у світі математики. Незважаючи на те, що з моменту створення цієї системи пройшло вже кілька століть, вона досі широко використовується в математиці і навіть у житті.

Приклади координатної площини

Перш ніж говорити про теорію, наведемо кілька наочних прикладів координатної площини, щоб ви змогли уявити її собі. Насамперед координатна система використовується в шахах. На дошці кожен квадрат має свої координати – одну координату літерну, другу – цифрову. З її допомогою можна визначити положення тієї чи іншої фігури на дошці.

Другим найяскравішим прикладом може бути улюблена багатьма гра «Морський бій». Згадайте, як, граючи, ви називаєте координату, наприклад, В3, вказуючи, куди саме цілитеся. При цьому, розставляючи кораблі, ви задаєте крапки на координатній площині.

Ця система координат широко застосовується у математиці, логічних іграх, а й у військовій справі, астрономії, фізиці та багатьох інших науках.

Осі координат

Як мовилося раніше, у системі координат виділяють дві осі. Поговоримо трохи про них, оскільки вони мають велике значення.

Перша вісь – абсцис – горизонтальна. Вона позначається як ( Ox). Друга вісь - ординат, яка проходить вертикально через точку відліку і позначається як ( Ой). Саме ці дві осі утворюють систему координат, розбиваючи площину чотири чверті. Початок відліку знаходиться в точці перетину цих двох осей і набуває значення 0 . Тільки якщо площина утворена двома осями, що перетинаються перпендикулярно, що мають точку відліку, це координатна площина.

Також зазначимо, що кожна з осей має свій напрямок. Зазвичай при побудові системи координат прийнято вказувати напрямок осі у вигляді стрілочки. Крім того, при побудові координатної площини кожна осі підписується.

Чверть

Тепер скажемо пару слів про таке поняття, як чверть координатної площини. Площина розбивається двома осями чотири чверті. Кожна має свій номер, при цьому нумерація площин ведеться проти годинникової стрілки.

Кожна із чвертей має свої особливості. Так, у першій чверті абсцису та ординату позитивна, у другій чверті абсцису негативна, ордината – позитивна, у третій і абсциса, і ордината негативні, у четвертій же позитивною є абсциса, а негативною – ордината.

Запам'ятавши ці особливості, можна легко визначити, до якої чверті належить та чи інша точка. Крім того, ця інформація може стати в нагоді вам і в тому випадку, якщо доведеться робити обчислення, використовуючи декартову систему.

Робота з координатною площиною

Коли ми розібралися з поняттям площини та поговорили про її чверті, можна перейти до такої проблеми, як робота з цією системою, а також поговорити про те, як наносити на неї точки, координати фігур. На координатній площині зробити це не так важко, як здається на перший погляд.

Насамперед будується сама система, на неї наносяться всі важливі позначення. Потім уже йде робота безпосередньо з точками чи фігурами. При цьому навіть при побудові фігур спочатку на площину наносять крапки, а потім уже промальовуються фігури.

Правила побудови площини

Якщо ви вирішили почати позначати на папері фігури та крапки, вам знадобиться координатна площина. Координати точок наносяться саме на неї. Для того, щоб побудувати координатну площину, знадобиться тільки лінійка та ручка або олівець. Спочатку малюється горизонтальна вісь абсцис, потім вертикальна – ординат. У цьому важливо пам'ятати, що осі перетинаються під прямим кутом.

Наступним обов'язковим пунктом є нанесення розмітки. На кожній осі в обох напрямках відзначаються і підписуються одиниці-відрізки. Це робиться для того, щоб потім можна було працювати з площиною з максимальною зручністю.

Відзначаємо точку

Тепер поговоримо про те, як завдати координати точок на координатній площині. Це основа, яку слід знати, щоб успішно розміщувати на площині різноманітні фігури і навіть відзначати рівняння.

При побудові точок слід пам'ятати, як правильно записуються їх координати. Так, зазвичай задаючи крапку, у дужках пишуть дві цифри. Перша цифра означає координату точки по осі абсцис, друга - по осі ординат.

Будувати крапку слід у такий спосіб. Спочатку відзначити на осі Oxзадану точку, потім відзначити точку на осі Ой. Далі провести уявні лінії від даних позначень і знайти місце їх перетину - це буде задана точка.

Вам залишиться лише відзначити її та підписати. Як бачите, все досить просто і не потребує особливих навичок.

Розміщуємо фігуру

Тепер перейдемо до такого питання, як побудова фігур на координатній площині. Для того, щоб побудувати на координатній площині будь-яку фігуру, слід знати, як розміщувати на ній точки. Якщо ви вмієте це робити, то розмістити фігуру на площині не так вже й складно.

Насамперед вам знадобляться координати точок фігури. Саме за ними ми і будемо наносити на нашу систему координат обрані вами Розглянемо нанесення прямокутника, трикутника та кола.

Почнемо із прямокутника. Наносити його досить легко. Спочатку на площину наносяться чотири точки, що позначають кути прямокутника. Потім усі точки послідовно з'єднуються між собою.

Нанесення трикутника нічим не відрізняється. Єдине – кутів у нього три, а значить, на площину наносяться три точки, що позначають його вершини.

Щодо кола тут слід знати координати двох точок. Перша точка - центр кола, друга - точка, що позначає її радіус. Ці дві точки наносяться на площину. Потім береться циркуль, вимірюється відстань між двома точками. Вістря циркуля ставиться в точку, що позначає центр, і описується коло.

Як бачите, тут також немає нічого складного, головне, щоб під рукою завжди були лінійка та циркуль.

Тепер ви знаєте, як наносити координати фігур. На координатній площині це робити не так і складно, як може здатися на перший погляд.

Висновки

Отже, ми розглянули з вами одне з найцікавіших і найбагатших для математики понять, з яким доводиться стикатися кожному школяру.

Ми з вами з'ясували, що координатна площина – це площина, утворена перетином двох осей. З її допомогою можна задавати координати точок, наносити на неї фігури. Площина розділена на чверті, кожна з яких має особливості.

Основна навичка, яку слід виробити під час роботи з координатною площиною, - вміння правильно наносити на неї задані точки. І тому слід знати правильне розташування осей, особливості чвертей, і навіть правила, якими задаються координати точок.

Сподіваємося, що викладена нами інформація була доступна та зрозуміла, а також була корисною для вас і допомогла краще розібратися в цій темі.

На площині. Нехай одна буде x, інша – y. І нехай ці прямі будуть взаємно перпендикулярні (тобто перетинаються під прямим кутом). Причому точка їхнього перетину буде початком координат для обох прямих, а одиничний відрізок однаковий (рис. 1).

Таким чином, ми отримали прямокутну систему координат, А наша площина стала координатною. Прямі x та y називають осями координат. Причому вісь x – віссю абсцис, а вісь y – віссю ординат. Позначається подібна площина зазвичай за назвою осей та точкою відліку – xOy. Прямокутну систему координат також називають декартовою системою координат, оскільки вперше її почав активно використовувати французький математик та філософ - Рене Декарт.

Прямокутні кути, утворені прямими x та y, називають координатними кутами. Кожен кут має свій номер, як показано на рис. 2.

Отже, коли ми говорили про координатну пряму, у будь-якої точки цієї прямої була одна координата. Тепер, коли йдеться про координатну площину, то у кожної точки цієї площини вже будуть дві координати. Одна відповідає прямий x (цю координату називають абсцисою), інша відповідає прямий y (цю координату називають ординатою). Записується це в такий спосіб: M(x;y), де x – абсцис, а y – ордината. Читається як: "Точка M з координатами x, y".

Як визначити координати точки на площині?
Тепер ми знаємо, що кожна крапка на площині має дві координати. Для того, щоб дізнатися її координати, нам достатньо через цю точку провести дві прямі, перпендикулярні осям координат. Точки перетину цих прямих з координатними осями та будуть шуканими координатами. Приміром, на рис. 3 ми визначили, що координатами точки M є 5 та 3.

Як побудувати крапку на площині за її координатами?
Буває й так, що ми знаємо координати точки на площині. І нам потрібно знайти її розташування. Допустимо у нас координати точки (-2; 5). Тобто абциса дорівнює -2, а ордината дорівнює 5. Візьмемо на прямий x (осі абсцис) точку з координатою -2 і проведемо через неї пряму a, паралельну осі y. Зауважимо, що будь-яка точка на цій прямій матиме абсцису рівну -2. Тепер знайдемо на прямий y (осі ординат) точку з координатою 5 і проведемо через неї пряму b, паралельну до осі x. Зауважимо, що будь-яка точка на цій прямій матиме ординату рівну 5. На перетині прямих a і b якраз і буде точка з координатами (-2; 5). Позначимо її літерою P (рис. 4).

Додамо також, що пряма a, всі точки якої мають абсцис -2, задається рівнянням
x = -2 або що x = -2 – рівняння прямої a. Можна для зручності говорити не "пряма, яка задається рівнянням x = -2", а просто "пряма x = -2". Дійсно, для будь-якої точки прямої a справедлива рівність x = -2. А пряма b, всі точки якої мають ординату 5, своєю чергою задається рівнянням y = 5 або що y = 5 – рівняння прямої b.

Прямокутна система координат на площині

Прямокутна система координат на площині утворюється двома взаємно перпендикулярними осями координат X'X та Y'Y. Осі координат перетинаються в точці O, яка називається початком координат , на кожній осі вибрано позитивний напрямок. напрямом осі Y'Y. Чотири кути (I, II, III, IV), утворені осями координат X'X та Y'Y, називаються координатними кутами (див. рис. 1).

Положення точки A на площині визначається двома координатами x та y. Координата x дорівнює довжині відрізка OB, координата y - довжині відрізка OC у вибраних одиницях виміру. Відрізки OB і OC визначаються лініями, проведеними з точки A паралельно до осей Y'Y і X'X відповідно. Координата x називається абсцисою точки A, координата y – ординатою точки A. Записують так: A(x, y).

Якщо точка A лежить у координатному куті I, то точка A має позитивні абсцису та ординату. Якщо точка A лежить у координатному вугіллі II, то точка A має негативну абсцису та позитивну ординату. Якщо точка A лежить у координатному куті III, то точка A має негативні абсцису та ординату. Якщо точка A лежить у координатному куті IV, то точка A має позитивну абсцису та негативну ординату.

Прямокутна система координат у просторіутворюється трьома взаємно перпендикулярними осями координат OX, OY та OZ. Осі координат перетинаються в точці O, яка називається початком координат, на кожній осі вибрано позитивний напрямок, вказаний стрілками, і одиниця виміру відрізків на осях. Одиниці виміру однакові всім осей. OX – вісь абсцис, OY – вісь ординат, OZ – вісь аплікат. Позитивний напрямок осей вибирають так, щоб при повороті осі OX проти годинникової стрілки на 90° її позитивний напрямок збіглося з позитивним напрямом осі OY, якщо цей поворот спостерігати з боку позитивного напрямку осі OZ. Така система координат називається правою. Якщо великий палець правої руки прийняти напрям X, вказівний напрям Y, а середній напрям Z, то утворюється права система координат. Аналогічними пальцями лівої руки утворюється ліва система координат. Праву та ліву системи координат неможливо поєднати так, щоб збіглися відповідні осі (див. мал. 2).

Положення точки A у просторі визначається трьома координатами x, y та z. Координата x дорівнює довжині відрізка OB, координата y – довжині відрізка OC, координата z – довжині відрізка OD у вибраних одиницях вимірювання. Відрізки OB, OC і OD визначаються площинами, проведеними з точки A паралельно площин YOZ, XOZ і XOY відповідно. Координата x називається абсцисою точки A, координата y - ординатою точки A, координата z - аплікати точки A. Записують так: A(a, b, c).

Орти

Прямокутна система координат (будь-який розмірності) також описується набором ортів, сонаправленных з осями координат. Кількість ортів дорівнює розмірності системи координат і вони перпендикулярні одне одному.

У тривимірному випадку такі орти зазвичай позначаються i j kабо e x e y e z. При цьому у разі правої системи координат дійсні такі формули з векторним добутком векторів:

• [i j]=k ;
• [j k]=i ;
• [k i]=j .

Історія

Вперше прямокутну систему координат ввів Рене Декарт у своїй роботі «Міркування про метод» у 1637 році. Тому прямокутну систему координат називають також - Декартова система координат. Координатний метод опису геометричних об'єктів започаткував аналітичну геометрію. Внесок у розвиток координатного методу вніс також П'єр Ферма, проте його роботи вперше було опубліковано вже після його смерті. Декарт та Ферма застосовували координатний метод лише на площині.

Координатний метод для тривимірного простору вперше застосував Леонард Ейлер уже у XVIII столітті.

Див. також

Посилання

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Координатна площина" в інших словниках:

площину різання- (Pn) Координатна площина, що стосується ріжучої кромки в точці, що розглядається, і перпендикулярна основній площині. […

У топографії мережа уявних ліній, що оперізують земну кулю в широтному та меридіональному напрямках, за допомогою якої можна точно визначити положення будь-якої точки на земній поверхні. Відлік широт ведеться від екватора - великого кола, ... Географічна енциклопедія

У топографії мережа уявних ліній, що оперізують земну кулю в широтному та меридіональному напрямках, за допомогою якої можна точно визначити положення будь-якої точки на земній поверхні. Відлік широт ведеться від екватора великого кола, ... Енциклопедія Кольєра

Цей термін має й інші значення, див. Фазова діаграма. Фазова площина координатна площина, в якій по осях координат відкладаються якісь дві змінні (фазові координати), що однозначно визначають стан системи… … Вікіпедія

головна січна площина- (Pτ) Координатна площина, перпендикулярна лінії перетину основної площини та площини різання. [ГОСТ 25762 83] Тематики оброблення різанням Узагальнюючі терміни системи координатних площин та координатні площини … Довідник технічного перекладача

інструментальна головна січна площина- (Pτі) Координатна площина, перпендикулярна до лінії перетину інструментальних основної площини та площини різання. [ГОСТ 25762 83] Тематики оброблення різанням Узагальнюючі терміни системи координатних площин та координатні площини … Довідник технічного перекладача

інструментальна площина різання- (Pnі) Координатна площина, що стосується ріжучої кромки в точці, що розглядається, і перпендикулярна інструментальній основній площині. [ГОСТ 25762 83] Тематики оброблення різанням Узагальнюючі терміни системи координатних площин та… Довідник технічного перекладача