Що вийде, якщо розділити на 0. Чому не можна ділити на нуль? Чи можна ділити нуль на число? Поділ на нуль у вищій математиці

Нуль сам собою цифра дуже цікава. Сам собою означає порожнечу, відсутність значення, а поруч із іншою цифрою збільшує її значимість удесятеро. Будь-які числа в нульовій мірі завжди дають 1. Цей знак використовували ще в цивілізації майя, причому він у них позначав поняття «початок, причина». Навіть календар починався з нульового дня. А ще ця цифра пов'язана із суворою забороною.

Ще з початкових шкільних років ми чітко засвоїли правило «на нуль ділити не можна». Але якщо в дитинстві багато сприймаєш на віру і слова дорослого рідко викликають сумніви, то згодом іноді хочеться все-таки розібратися в причинах, зрозуміти чому були встановлені ті чи інші правила.

Чому не можна ділити на нуль? На це питання хочеться отримати зрозуміле логічне пояснення. У першому класі вчителя це зробити було неможливо, оскільки у математиці правила пояснюються з допомогою рівнянь, а тому віці ми й уявлення не мали у тому, що таке. А тепер настав час розібратися і отримати зрозуміле логічне пояснення того, чому не можна ділити на нуль.

Справа в тому, що в математиці лише дві з чотирьох основних операцій (+, -, х, /) з числами визнаються незалежними: множення та додавання. Інші операції прийнято вважати похідними. Розглянемо простенький приклад.

Ось скажіть, скільки вийде, якщо від 20 відібрати 18? Звичайно, в нашій голові миттєво виникає відповідь: це буде 2. А як ми дійшли такого результату? Комусь це питання здасться дивним - адже й так все ясно, що вийде 2, хтось пояснить, що від 20 копійок забрав 18 і у нього вийшло дві копійки. Логічно всі ці відповіді не викликають сумнівів, проте з погляду математики вирішувати це завдання слід інакше. Ще раз нагадаємо, що головними операціями в математиці є множення і додавання і тому в нашому випадку відповідь у вирішенні наступного рівняння: х + 18 = 20. З якого і випливає, що х = 20 - 18, х = 2. Здавалося б, навіщо так детально все розписувати? Адже і так все просто. Однак без цього важко пояснити, чому не можна ділити на нуль.

А тепер подивимося що вийде, якщо ми побажаємо 18 розділити на нуль. Знову складемо рівняння: 18: 0 = х. Оскільки операція поділу є похідною від процедури множення, то перетворивши наше рівняння отримаємо х * 0 = 18. Ось тут якраз і починається глухий кут. Будь-яке число на місці ікса при множенні на нуль дасть 0 і отримати 18 нам не вдасться. Тепер стає цілком ясно чому не можна ділити на нуль. Сам нуль можна ділити на будь-яке число, а от навпаки - на жаль, ніяк не можна.

А що вийде, якщо нуль розділити на себе? Це можна записати в такому вигляді: 0: 0 = х, або х * 0 = 0. Це рівняння має безліч рішень. Тому в результаті виходить нескінченність. Тому операція й у разі теж немає сенсу.

Поділ на 0 лежить докорінно багатьох уявних математичних жартів, якими за бажання можна спантеличити будь-яку необізнану людину. Наприклад, розглянемо рівняння: 4*х - 20 = 7*х - 35. Винесемо за дужки у лівій частині 4, а правої 7. Отримаємо: 4*(х - 5) = 7*(х - 5). Тепер помножимо ліву та праву частину рівняння на дріб 1/(х – 5). Рівняння набуде такого вигляду: 4*(х - 5)/(х - 5) = 7*(х - 5)/(х - 5). Скоротимо дроби на (х - 5) і ми вийде, що 4 = 7. З цього можна дійти невтішного висновку, що 2*2 = 7! Звичайно, підступ тут у тому, що дорівнює 5 і скорочувати дроби було не можна, оскільки це призводило до поділу на нуль. Тому при скороченні дробів потрібно завжди перевіряти, щоб нуль випадково не опинився в знаменнику, інакше результат вийде зовсім непередбачуваним.

Кажуть, можна поділити на нуль, якщо визначити результат поділу на нуль. Просто потрібно розширити алгебру. За дивним збігом обставин знайти хоч якийсь, а краще зрозумілий і простий приклад такого розширення не вдається. Щоб виправити інтернет потрібна або демонстрація одного зі способів такого розширення, або чому це неможливо.

Стаття написана протягом тренду:

Disclaimer

Розуміння принципів арифметики, елементарної, загальної та лінійної алгебри, математичного та нестандартного аналізу, теорії множин, загальної топології, проективної та афінної геометрії – бажано, але не обов'язково.

У ході експериментів жодна нескінченність не постраждала.

Пролог

1. Взагалі вже всі поділили до нас!

1.1 Афінне розширення числової прямої

Замість того, щоб кидатися в «вир» з головою, подивимося, що туди втікає і що звідти витікає. Для цього скористаємося межею - основним інструментом математичного аналізу. Основна "фішка" в тому, що межа дозволяє йти до заданої точки так близько, як це можливо, але не "наступити на неї". Така собі "огорожка" перед "вирою".

Оригінал

Добре, «огорожу» поставили. Вже не таке страшно. У нас є два шляхи до «виру». Зайдемо ліворуч – крутий спуск, праворуч – крутий підйом. Скільки до "огорожі" не йди, ближче вона не стає. Перетнути нижнє і верхнє «небуття» ніяк не виходить. Виникають підозри, може, ми йдемо по колу? Хоча ні, числа змінюються, значить не по колу. Піраємося в скриньці з інструментами математичного аналізу ще. Крім меж з «огорожею» в комплекті йде позитивна і негативна нескінченність. Величини абсолютно абстрактні (не є числами), добре формалізовані та готові до вживання! Це нам личить. Доповнимо наше «буття» (безліч речових чисел) двома нескінченностями зі знаком.

Саме це розширення дозволяє брати межу при аргументі, що прагне до нескінченності і отримати нескінченність як результат взяття межі.

Є два розділи математики, які описують одне і теж використовуючи різну термінологію.

Підсумуємо:

У сухому залишку. Старі підходи перестали працювати. Складність системи, як купи “якщо”, “для всіх, крім” тощо, зросла. У нас було лише дві невизначеності 1/0 та 0/0 (ми не розглядали статечні операції), стало п'ять. Розкриття однієї невизначеності породило ще більше невизначеностей.

1.2 Колесо

На запровадженні беззнакової нескінченності все не зупинилося. Щоб вибратися з невизначеностей потрібно друге дихання.

Отже, у нас є безліч дійсних чисел та дві невизначеності 1/0 та 0/0. Для усунення першої ми виконали проективне розширення числової прямої (тобто запровадили беззнакову нескінченність). Спробуємо розібратися із другою невизначеністю виду 0/0. Зробимо аналогічно. Доповнимо безліч чисел новим елементом, що представляє другу невизначеність.

Визначення операції розподілу ґрунтується на множенні. Це нам не підходить. Відв'яжемо операції один від одного, але збережемо звичну поведінку для дійсних чисел. Визначимо унарну операцію поділу, що позначається знаком "/".

Довизначимо операції.

Ця структура називається "Колесом" (Wheel). Термін був узятий через схожість з топологічною картинкою проективного розширення числової прямої та точки 0/0.

Начебто все непогано виглядає, але диявол криється в деталях:

Щоб устаканити всі особливості, додатково до розширення безлічі елементів додається бонус у вигляді не одного, а двох тотожностей, що описують дистрибутивний закон.

Математичним мовою:

З погляду загальної алгебри ми оперували полем. А в полі, як відомо, визначено лише дві операції (складання та множення). Поняття розподілу виводиться через зворотні, і якщо ще глибше, то поодинокі елементи. Внесені зміни перетворюють нашу алгебраїчну систему в моноід як по операції додавання (з нулем як нейтральний елемент), так і по операції множення (з одиницею як нейтральний елемент).

У працях першовідкривачів не завжди використовуються символи ∞ та ⊥. Натомість можна зустріти запис у вигляді /0 і 0/0.

Світ уже не такий прекрасний, чи не так? Все ж таки не варто поспішати. Перевіримо, чи впораються нові тотожності дистрибутивного закону з нашим розширеним безліччю .

Цього разу результат набагато кращий.

Підсумуємо:

У сухому залишку. Алгебра працює чудово. Однак за основу було взято поняття «не визначене», яке стали вважати чимось існуючим та оперувати ним. Одного разу хто-небудь скаже, що все погано і потрібно розбити це «не визначено» ще на кілька "не визначено", але дрібніше. Загальна алгебра скаже: "Без проблем, Бро!"
Приблизно так постульовані додаткові (j і k) уявні одиниці в кватерніонах. Додати мітки

Ділення на нульв математиці - розподіл, у якому дільник дорівнює нулю. Такий поділ може бути формально записаний ⁄ 0 де - це ділене.

У звичайній арифметиці (з речовими числами) цей вираз не має сенсу, оскільки:

• при ≠ 0 немає числа, яке при множенні на 0 дає, тому жодне число не може бути прийнято за приватне ⁄ 0 ;
• при = 0 розподіл на нуль також не визначено, оскільки будь-яке число при множенні на 0 дає 0 і може бути прийняте за 0 ⁄ 0 .

Історично одне з перших посилань на математичну неможливість присвоєння значення ⁄ 0 міститься в критиці Джорджа Берклі числення нескінченно малих.

Логічні помилки

Оскільки при множенні будь-якого числа на нуль в результаті ми завжди отримуємо нуль, при розподілі обох частин виразу × 0 = × 0, вірного незалежно від значення і, на 0 отримуємо неправильне у разі довільно заданих змінних вираз = . Оскільки нуль може бути заданий не явно, але у вигляді досить складного математичного виразу, наприклад у формі різниці двох значень, що зводяться один до одного шляхом алгебраїчних перетворень, такий поділ може бути неочевидною помилкою. Непомітне внесення такого поділу в процес доказу з метою показати ідентичність свідомо різних величин, тим самим доводячи будь-яке абсурдне твердження, є одним із різновидів математичного софізму.

В інформатиці

У програмуванні, залежно від мови програмування, типу даних і значення поділеного, спроба поділу на нуль може призводити до різних наслідків. Принципово різні наслідки поділу на нуль у цілій та речовій арифметиці:

• Спроба цілісногоподілу на нуль завжди є критичною помилкою, що унеможливлює подальше виконання програми. Вона призводить або до генерації виключення (яке програма може обробити сама, уникнувши тим самим аварійної зупинки), або до негайної зупинки програми з видачею повідомлення про помилку і, можливо, вмісту стека викликів. У деяких мовах програмування, наприклад, Go, цілісний поділ на нульову константу вважається синтаксичною помилкою і призводить до аварійного припинення компіляції програми.
• У речовоїарифметиці наслідки можуть бути різними в різних мовах:

• генерація виключення або зупинка програми, як і при цілісному поділі;
• одержання в результаті операції спеціального нечислового значення. Обчислення у своїй не перериваються, які результат згодом може бути інтерпретований самої програмою чи користувачем як осмислене значення чи свідчення некоректності обчислень. Широко використовується принцип, згідно з яким при розподілі виду ⁄ 0 , де ≠ 0 - число з плаваючою комою, результат виявляється дорівнює позитивній або негативній (залежно від знака ділимого) нескінченності - або, а при = 0 в результаті виходить спеціальне значення NaN (скор. від англ.not a number - «не число»). Такий підхід прийнято у стандарті IEEE 754, який підтримується багатьма сучасними мовами програмування.

Випадковий поділ на нуль у комп'ютерній програмі часом стає причиною дорогих чи небезпечних збоїв у роботі керованого програмою устаткування. Наприклад, 21 вересня 1997 року в результаті поділу на нуль в комп'ютеризованій керуючій системі крейсера USS Yorktown (CG-48) Військово-морського флоту США відбулося відключення всього електронного обладнання в системі, внаслідок чого силова установка корабля припинила свою роботу.

Див. також

Примітки

Функція = 1⁄. Коли прагне нуля праворуч, прагне нескінченності; коли прагне нуля зліва, прагне мінус нескінченності

Якщо на звичайному калькуляторі поділити якесь число на нуль, він вам видасть букву Е або слово Error, тобто «помилка».

Калькулятор комп'ютера в аналогічному випадку пише (у Windows XP): "Поділ на нуль заборонено".

Все узгоджується з відомим зі школи правилом, що на нуль не можна ділити.

Розберемося чому.

Поділ - це математична операція, обернена до множення. Розподіл визначається через множення.

Поділити число a(поділене, наприклад 8) на число b(Дільник, наприклад число 2) - значить знайти таке число x(приватне), при множенні якого на дільник bвиходить ділене a(4 · 2 = 8), тобто aподілити на bзначить розв'язати рівняння x · b = a.

Рівняння a: b = x рівносильне рівнянню x · b = a.

Ми замінюємо розподіл множенням: замість 8: 2 = х пишемо х · 2 = 8.

8: 2 = 4 рівносильно 4 · 2 = 8

18: 3 = 6 рівносильно 6 · 3 = 18

20: 2 = 10 рівносильно 10 · 2 = 20

Результат поділу можна перевірити множенням. Результатом множення дільника на приватне має бути поділене.

Аналогічно спробуємо поділити на нуль.

Наприклад, 6: 0 = … Потрібно знайти таке число, яке при множенні на 0 дасть 6. Але ми знаємо, що при множенні на нуль завжди виходить нуль. Немає числа, яке при множенні на нуль дало б щось інше крім нуля.

Коли кажуть, що на нуль ділити не можна чи заборонено, то мають на увазі, що не існує числа, що відповідає результату такого поділу (ділити на нуль можна, розділити — не можна:)).

Навіщо у школі кажуть, що на нуль ділити не можна?

Тому в визначенніоперації розподілу a на b відразу підкреслюється, що b ≠ 0.

Якщо все вище написане вам здалося надто складним, то зовсім на пальцях: Розділити 8 на 2 означає дізнатися скільки потрібно взяти двійок, щоб вийшло 8 (відповідь: 4). Поділити 18 на 3 означає дізнатися скільки потрібно взяти трійок, щоб отримати 18 (відповідь: 6).

Поділити 6 на нуль означає дізнатися, скільки потрібно взяти нулів, щоб отримати 6. Скільки не бери нулів, все одно вийде нуль, але ніколи не вийде 6, тобто розподіл на нуль не визначено.

Цікавий результат виходить, якщо спробувати поділити на нуль число на калькуляторі андроїда. На екрані з'явиться ∞ (нескінченність) (або ∞, якщо діліть від'ємне число). Даний результат є невірним, тому що немає числа ∞. Очевидно, програмісти сплутали зовсім різні операції - розподіл чисел і знаходження межі числової послідовності n/x, де x → 0. При розподілі ж нуля на нуль буде написано NaN (Not a Number - Не число).

«Ділити на нуль не можна!» — більшість школярів заучує це правило напам'ять, не питаючи. Всі діти знають, що таке "не можна" і що буде, якщо у відповідь на нього запитати: "Чому?" А насправді ж дуже цікаво і важливо знати, чому ж не можна.

Вся річ у тому, що чотири дії арифметики — додавання, віднімання, множення та розподіл — насправді нерівноправні. Математики визнають повноцінними лише два з них — додавання та множення. Ці операції та його властивості входять у саме визначення поняття числа. Всі інші дії будуються тим чи іншим чином із цих двох.

Розглянемо, наприклад, віднімання. Що значить 5 - 3 ? Школяр відповість на це просто: треба взяти п'ять предметів, відібрати (прибрати) три з них і подивитися, скільки залишиться. Але математики дивляться на це завдання зовсім по-іншому. Немає жодного віднімання, є тільки додавання. Тому запис 5 - 3 означає таке число, яке при складанні з числом 3 дасть число 5 . Тобто 5 - 3 - Це просто скорочений запис рівняння: x + 3 = 5. У цьому рівнянні немає жодного віднімання.

Ділення на нуль

Є лише завдання — знайти потрібне число.

Так само справа з множенням і поділом. Запис 8: 4 можна розуміти як результат поділу восьми предметів за чотирма рівними купками. Але насправді це просто скорочена форма запису рівняння 4 · x = 8.

Ось тут і стає ясно, чому не можна (а точніше неможливо) ділити на нуль. Запис 5: 0 - Це скорочення від 0 · x = 5. Тобто це завдання знайти таке число, яке при множенні на 0 дасть 5 . Але ми знаємо, що при множенні на 0 завжди виходить 0 . Це невід'ємна властивість нуля, строго кажучи, частина його визначення.

Такого числа, яке при множенні на 0 дасть щось, крім нуля, просто не існує. Тобто, наше завдання не має рішення. (Так, таке буває, не у всякого завдання є рішення.) А отже, записи 5: 0 не відповідає жодного конкретного числа, і вона просто нічого не означає і тому не має сенсу. Безглуздість цього запису коротко висловлюють, говорячи, що на нуль ділити не можна.

Найуважніші читачі тут неодмінно запитають: а чи можна нуль ділити на нуль?

Справді, адже рівняння 0 · x = 0благополучно вирішується. Наприклад, можна взяти x = 0, і тоді отримуємо 0 · 0 = 0. Виходить, 0: 0=0 ? Але не поспішатимемо. Спробуємо взяти x = 1. Отримаємо 0 · 1 = 0. Правильно? Значить, 0: 0 = 1 ? Але так можна взяти будь-яке число і отримати 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 і т.д.

Але якщо підходить будь-яке число, то у нас немає жодних підстав зупинити свій вибір на якомусь одному з них. Тобто ми не можемо сказати, якій кількості відповідає запис 0: 0 . А якщо так, то ми змушені визнати, що цей запис теж не має сенсу. Виходить, що на нуль не можна ділити навіть нуль. (У математичному аналізі бувають випадки, коли завдяки додатковим умовам завдання можна віддати перевагу одному з можливих варіантів розв'язування рівняння 0 · x = 0; у таких випадках математики говорять про «розкриття невизначеності», але в арифметиці таких випадків не зустрічається.)

Ось така особливість має операція поділу. А точніше — операція множення і пов'язаного з нею числа нуль.

Ну, а найприскіпливіші, дочитавши до цього місця, можуть запитати: чому так виходить, що ділити на нуль не можна, а вичитати нуль можна? У певному сенсі саме з цього питання і починається справжня математика. Відповісти на нього можна лише познайомившись із формальними математичними визначеннями числових множин та операцій над ними. Це не так уже й складно, але чомусь не вивчається в школі. Натомість на лекціях з математики в університеті вас насамперед навчатимуть саме цьому.

Функція «поділ» не визначена області значень, у якій дільник дорівнює нулю. Ділити можна, але результат не визначений

Ділити на нуль не можна. Математика 2 класу середньої школи.

Якщо мені не змінює пам'ять, то нуль можна уявити як нескінченно малу величину, тож нескінченність буде. А шкільне «нуль - нічого» - це просто спрощення, їх таких у шкільній математиці (ууууууу скільки). Але без них ніяк, все свого часу.

Увійдіть, щоб написати відповідь

Ділення на нуль

Приватне від поділу на нульбудь-якого числа, відмінного від нуля, немає.

Міркування тут такі: оскільки в цьому випадку жодна кількість не може задовольнити визначення приватного.

Напишемо, наприклад,

хоч би яке число взяти на пробу (скажімо, 2, 3, 7), воно не годиться тому що:

\[2 · 0 = 0 \]

\[3 · 0 = 0 \]

\[7 · 0 = 0 \]

Що буде, якщо поділити на 0?

д., а потрібно отримати у творі 2,3,7.

Можна сміливо сказати, що завдання розподілі на нуль числа, відмінного від нуля, немає решения. Однак число, відмінне від нуля, можна розділити на число, як завгодно близьке до нуля, і чим ближче дільник до нуля, тим більше буде приватне. Так, якщо ділитимемо 7 на

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

то отримаємо приватні 70, 700, 7000, 70 000 і т. д., які необмежено зростають.

Тому часто кажуть, що приватне від поділу 7 на 0 «нескінченно велике», або «рівно нескінченності», і пишуть

\[ 7: 0 = \infin \]

Сенс цього висловлювання у тому, що й дільник наближається до нуля, а ділене залишається рівним 7 (чи наближається до 7), то приватне необмежено збільшується.

У основі уроку лежали самостійні дії учнів кожному етапі, повне занурення у навчальну завдання. Цьому сприяли такі прийоми, як робота у групах, само- та взаємоперевірка, створення ситуації успіху, диференційовані завдання, саморефлексія.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Підручник: "Математика" 3 клас М.І. Моро

Цілі уроку:

Завдання уроку:

Для досягнення мети урок було розроблено з урахуваннямдіяльнісного підходу.

Структура уроку включала:

1. Орг. момент , метою якого було позитивно налаштувати дітей на навчальну діяльність
2. Мотивація дозволила актуалізувати знання, сформувати цілі та завдання уроку. Для цього було запропоновано завдання назнаходження зайвого числа, класифікацію прикладів на групи, додавання відсутніх чисел. У ході вирішення цих завдань діти зіткнулися зпроблемою : знайшовся приклад, для вирішення якого не вистачає наявних знань У зв'язку з цим дітисамостійно сформулювали метуі поставили собі навчальні завдання уроку.
3. Пошук та відкриття нового знаннядав можливість дітямзапропонувати різні варіантирішення завдання.Грунтуючись на раніше вивчений матеріал,вони змогли знайти правильне рішення і прийти довисновку , у якому сформулювали нове правило
4. Під час первинного закріпленняучні коментували свої дії, працюючи за правилом, додатково були підібранісвої приклади цього правила.
5. Для автоматизації дійі вміння користуватися правилами у нестандартнихЗавданнями діти вирішували рівняння, висловлювання на кілька дій.
6. Самостійна роботата проведена взаємоперевірка показали, більшість дітей тему засвоїли.
7. Під час рефлексії діти зробили висновок, що мета уроку досягнуто і оцінили себе з допомогою карток.

У основі уроку лежали самостійні дії учнів кожному етапі, повне занурення у навчальну завдання. Цьому сприяли такі прийоми, як робота у групах, само- та взаємоперевірка, створення ситуації успіху, диференційовані завдання, саморефлексія.

Урок математики у 3 класі.

Тема уроку: «Ділення 0 на число. Неможливість поділу на 0»

Цілі уроку: створити умови на формування вміння ділити 0 на число.

Завдання уроку:

• розкрити зміст поділу 0 на число через зв'язок множення та поділу;
• розвивати самостійність, увагу, мислення;
• формувати навички розв'язання прикладів на табличне множення та поділ.

Хід уроку.

1. Організаційний етап.

Перевірте готовність до уроку, сядьте прямо.
Потріть свої вушка, щоб кров активніше надходила в мозок. Сьогодні у вас буде багато цікавої роботи, з якою, я впевнена, ви впораєтеся на відмінно.

1. (слайд 1; 2; 3)

Веселий продзвенів дзвінок,

Ми розпочинаємо наш урок.

Чи всі правильно сидять,

Усі уважно дивляться?

Кожен хоче отримувати

Тільки оцінку п'ять!

Відкрийте свої зошити, запишіть сьогоднішнє число.(слайд 4) Що ви можете сказати про число 20? (Воно двозначне; воно парне; складається з розряду десятків та розряду одиниць).

Скільки десятків і скільки одиниць у ньому? (2 десятки та 0 одиниць.).

1. Усний рахунок.

1. Гра «Знайди зайву кількість»(слайд 5)

З кожного стовпчика виберіть «зайве число»

2. Знайдіть площі фігур:(слайд 6)

3. Арифметичний диктант:

1. Яке число треба помножити на 7, щоб одержати 42?
2. Назвіть число, яке менше 24 на 6?
3. З якого числа треба відняти 18, щоб одержати 3?
4. У скільки разів 4 десятки більше за 5?
5. Знайдіть добуток 9 та 3.
6. Ділиме 36, приватне 6. Чому дорівнює дільник?
7. Збільшіть 8 у 6 разів.
8. На яке число треба поділити 28, щоб одержати 7?

Запишіть лише відповіді.

(Взаємоперевірка: 6, 18, 21, 8, 27, 6, 48, 4.) – (Слайд 7)

4. Індивідуальна робота(Робота за картками, див. додатки)

5. Створення проблемної ситуації
Завдання у парах:
- Розставте приклади в 2 групи:

Чому так розподілили?(з відповіддю 4 та 5)

Розв'яжіть приклади:
8·7-6+30:6=
28: (16:4) · 6 =
30-(20-10:2):5=
30-(20-10 · 2): 5 =

Що ви помітили? Чи є тут зайві приклади?
- Чи всі приклади ви змогли вирішити?
- У кого виникли труднощі?
- Чим цей приклад відрізняється від решти?
– Якщо хтось вирішив, то молодець. Але чому не всі змогли впоратися із цим прикладом?

6. Постановка навчальної задачі.
Тут є приклад з 0. А від 0 очікуються різні фокуси. Це незвичне число.
Згадайте, що ви знаєте про 0?(а·0=0, 0·а=0, 0+а=а)·
Наведіть приклади.
Подивіться, який він підступний: коли його додають, він не змінює число, а коли множать, перетворюють його на 0.
Чи підходять ці правила до нашого прикладу?
Як же він поведеться при розподілі?

1. Повідомлення теми та цілей уроку (слайд 8)

- Отже, якою є наша мета? Вирішити цей приклад правильно.

мета

Таблиця на дошці.

Що для цього потрібно? Дізнатися правило поділу 0 на число.

завдання

Тема нашого уроку: «Поділ нуля на число, неможливість поділу на нуль».

Ми розглянемо прийоми розподілу нуля на число, закріпимо знання таблиці множення, уміння розв'язувати складові завдання.

1. Засвоєння нових знань та способів дій.

Як знайти правильне рішення?
З якою дією пов'язане множення?(З поділом)
Наведіть приклад
2 · 3 = 6
6: 2 = 3

Чи можемо ми тепер 0:5?
Це означає, що треба знайти число, при множенні якого на 5 вийде 0.
х · 5 = 0
Це число 0. Отже, 0:5 = 0.

Наведіть приклади.

1. На екрані: 0:6 (слайд 9)

Підберіть таке число, при множенні якого на 6 вийшов би 0? (Це 0).

Отже, 0:6 = 0

Аналогічно розглядається випадок поділу 0:9.

Висновок: При розподілі нуля на будь-яке інше число виходить нуль.

ПАМ'ЯТАЙ, ділити на нуль не можна!

Чому не можна ділити на нуль? Обґрунтуйте свою відповідь.

(При розподілі на 0, наприклад, числа 6 або іншого числа, крім нуля не можна знайти таке число, помноживши яке на нуль, вийшло б 6 або інше число).

2.Послухайте казку про нуль. (слайди 10-16)

Далеко-далеко, за морями та горами, була країна Цифрія. Жили у ній дуже чесні числа. Тільки Нуль вирізнявся лінню та нечесністю.

Одного разу всі дізналися, що далеко за пустелею з'явилася королева Арифметика, яка кличе до себе на службу мешканців Цифрії. Служити королеві схотіли всі. Між Цифрією та королівством Арифметики пролягла пустеля, яку перетнули чотири річки: Додавання, Віднімання, Множення та Поділ. Як дістатися до Арифметики? Числа вирішили об'єднатися (адже з товаришами легше долати труднощі) та спробувати перейти пустелю.

Рано-вранці, як сонце торкнулося землі своїми променями, рушили числа в дорогу. Довго йшли вони під палючим сонцем і, нарешті, дісталися річки Додавання. Числа кинулися до річки, щоб напитися, але річка сказала: "Станьте по парах і складеться, тоді дам вам напитися". Всі виконали наказ річки, виконав бажання і ледар Нуль. Але число, з яким він склався, залишилося незадоволеним: адже води річка давала стільки, скільки одиниць було в сумі, а сума не відрізнялася від числа.

Сонце ще більше пече. Дійшли до річки Віднімання. Вона також зажадала за воду плату: стати парами і відняти менше від більшого, у кого відповідь вийде менше, той отримає більше води. І знову число. Що стоїть у парі з Нулем опинилося у програші і було засмучене.

А біля річки Ділення ніхто з чисел не захотів ставати в пару з Нулем. З того часу жодна кількість не ділиться на нуль.

Щоправда, королева Арифметика примирила всі числа з цим ледарем: вона почала просто приписувати нуль поруч із числом, яке від цього збільшувалося вдесятеро. І стали числа жити-живати, та добра наживати.

Сьогодні ми з вами відкрили ще один фокус нуля. Що це за фокус? Про нього треба пам'ятати, щоб не допускати помилок у обчисленнях.

1. Первинна перевірка розуміння вивченого. Робота з підручника.

1. Прочитайте правило у підручнику та порівняйте з вашим.

А давайте спробуємо будь-яке число поділити на 0.
Наприклад, 5:0. Скільки вийде?
Не можна підібрати таке число, при множенні якого 0 вийде 5.
Висновок: НА 0 ДІЛИТИ НЕ МОЖНА.

У яких завданнях може знадобитися знання цього правила?(У рішенні прикладів, рівнянь)

1. Виконання №1 стор. 75 з коментуванням «ланцюжком».

Фізкультхвилинка та зарядка для очей (слайд 17-18)

Вранці бабка прокинулася,

Потяглася, посміхнулася.

Раз - росою вона вмилася,

Два - витончено покружляла

Три - нахилилася і присіла,

На чотири полетіла.

Біля річки зупинилася,

Над водою закружляла.

1. Робота над пройденим матеріалом.

1)Виконання №2 (усно)

2) Знаходження значень виразів№6 (1) стор. 85

3) Розв'язання задачі№5 стор.85 (слайд 19)

Як ви вважаєте, чи часто в задачах використовується число 0?
(Ні, не часто, тому що 0 – це нічого, а в завданнях має якась кількість чогось.)
Тоді вирішуватимемо завдання, де є інші числа.
Складання таблиці на інтерактивній дошці.

Прочитайте умову завдання та подумайте, як зручніше виконати короткий запис. (В таблиці).

Які графи мають бути у таблиці?

Що таке 8кг? (Маса 1 ящика зі сливами)

Що ще відомо у задачі? (Маса 1 ящика з грушами. Маса всіх ящиків зі сливами.)

Що сказано про кількість ящиків із грушами? (їх стільки ж). Або кількість однакова.

Складіть програму рішення та запишіть рішення самостійно.

б) Перевірка рішення.

1) 48: 8 = 6 (ящ.)

2) 9∙6=54(кг)

Відповідь: 54 кг груш привезли на ринок.

4)Рішення рівнянь з усним поясненням.

№8 стор. 85

5)Знайди закономірність (завдання на слайді)(слайд 20)

6 )Самостійна робота. (слайд 21)

(Перевірна робота.с.42,43.)

1. Підсумок уроку

• Що нового ми дізналися на уроці?
• Що вийде при розподілі нуля на будь-яке число?
• Яке важливе правило маємо запам'ятати?

1. Інформація про домашнє завдання (слайд 22)

№4, №6(2) стор. 85.

Рефлексія (див. додаток; слайди 23-24)

Над якою темою сьогодні працювали? Про що ви не знали на початку уроку?
-Яку мету ставили перед собою?
-Досягли ви її? З яким правилом познайомились?
- Хлопці! Вам сподобався урок?

Подивіться на "пушистиків". Вони мають різні настрої. Розфарбуйте "пушистика", у якого такий самий настрій, як у вас. Покажіть своїх «пушистиків». (я задоволений собою, у мене все вийшло; все добре, але я міг працювати краще; урок звичайний, нічого цікавого; нічого не вийшло) Молодці! Дякую за урок! До нових зустрічей!

Кажуть, можна поділити на нуль, якщо визначити результат поділу на нуль. Просто потрібно розширити алгебру. За дивним збігом обставин знайти хоч якийсь, а краще зрозумілий і простий приклад такого розширення не вдається. Щоб виправити інтернет потрібна або демонстрація одного зі способів такого розширення, або чому це неможливо.

Стаття написана протягом тренду:

Disclaimer

Розуміння принципів арифметики, елементарної, загальної та лінійної алгебри, математичного та нестандартного аналізу, теорії множин, загальної топології, проективної та афінної геометрії – бажано, але не обов'язково.

У ході експериментів жодна нескінченність не постраждала.

Пролог

1. Взагалі вже всі поділили до нас!

1.1 Афінне розширення числової прямої

Замість того, щоб кидатися в «вир» з головою, подивимося, що туди втікає і що звідти витікає. Для цього скористаємося межею - основним інструментом математичного аналізу. Основна "фішка" в тому, що межа дозволяє йти до заданої точки так близько, як це можливо, але не "наступити на неї". Така собі "огорожка" перед "вирою".

Оригінал

Добре, «огорожу» поставили. Вже не таке страшно. У нас є два шляхи до «виру». Зайдемо ліворуч – крутий спуск, праворуч – крутий підйом. Скільки до "огорожі" не йди, ближче вона не стає. Перетнути нижнє і верхнє «небуття» ніяк не виходить. Виникають підозри, може, ми йдемо по колу? Хоча ні, числа змінюються, значить не по колу. Піраємося в скриньці з інструментами математичного аналізу ще. Крім меж з «огорожею» в комплекті йде позитивна і негативна нескінченність. Величини абсолютно абстрактні (не є числами), добре формалізовані та готові до вживання! Це нам личить. Доповнимо наше «буття» (безліч речових чисел) двома нескінченностями зі знаком.

Саме це розширення дозволяє брати межу при аргументі, що прагне до нескінченності і отримати нескінченність як результат взяття межі.

Є два розділи математики, які описують одне і теж використовуючи різну термінологію.

Підсумуємо:

У сухому залишку. Старі підходи перестали працювати. Складність системи, як купи “якщо”, “для всіх, крім” тощо, зросла. У нас було лише дві невизначеності 1/0 та 0/0 (ми не розглядали статечні операції), стало п'ять. Розкриття однієї невизначеності породило ще більше невизначеностей.

1.2 Колесо

На запровадженні беззнакової нескінченності все не зупинилося. Щоб вибратися з невизначеностей потрібно друге дихання.

Отже, у нас є безліч дійсних чисел та дві невизначеності 1/0 та 0/0. Для усунення першої ми виконали проективне розширення числової прямої (тобто запровадили беззнакову нескінченність). Спробуємо розібратися із другою невизначеністю виду 0/0. Зробимо аналогічно. Доповнимо безліч чисел новим елементом, що представляє другу невизначеність.

Визначення операції розподілу ґрунтується на множенні. Це нам не підходить. Відв'яжемо операції один від одного, але збережемо звичну поведінку для дійсних чисел. Визначимо унарну операцію поділу, що позначається знаком "/".

Довизначимо операції.

Ця структура називається "Колесом" (Wheel). Термін був узятий через схожість з топологічною картинкою проективного розширення числової прямої та точки 0/0.

Начебто все непогано виглядає, але диявол криється в деталях:

Щоб устаканити всі особливості, додатково до розширення безлічі елементів додається бонус у вигляді не одного, а двох тотожностей, що описують дистрибутивний закон.

Математичним мовою:

З погляду загальної алгебри ми оперували полем. А в полі, як відомо, визначено лише дві операції (складання та множення). Поняття розподілу виводиться через зворотні, і якщо ще глибше, то поодинокі елементи. Внесені зміни перетворюють нашу алгебраїчну систему в моноід як по операції додавання (з нулем як нейтральний елемент), так і по операції множення (з одиницею як нейтральний елемент).

У працях першовідкривачів не завжди використовуються символи ∞ та ⊥. Натомість можна зустріти запис у вигляді /0 і 0/0.

Світ уже не такий прекрасний, чи не так? Все ж таки не варто поспішати. Перевіримо, чи впораються нові тотожності дистрибутивного закону з нашим розширеним безліччю .

Цього разу результат набагато кращий.

Підсумуємо:

У сухому залишку. Алгебра працює чудово. Однак за основу було взято поняття «не визначене», яке стали вважати чимось існуючим та оперувати ним. Одного разу хто-небудь скаже, що все погано і потрібно розбити це «не визначено» ще на кілька "не визначено", але дрібніше. Загальна алгебра скаже: "Без проблем, Бро!"
Приблизно так постульовані додаткові (j і k) уявні одиниці в кватерніонах. Додати мітки