Що приріст аргументу. Open Library - відкрита бібліотека навчальної інформації

Нехай х- Аргумент (незалежна змінна); y=y(x)- Функція.

Візьмемо фіксоване значення аргументу х = х 0 та обчислимо значення функції y 0 = y (x 0 ) . Тепер довільним чином поставимо приріст (зміна) аргументу та позначимо його  х ( хможе бути будь-якого знака).

Аргумент із збільшенням – це точка х 0 +  х. Допустимо, в ній також існує значення функції y=y(x 0 +  х)(Див. малюнок).

Таким чином, при довільній зміні значення аргументу отримано зміну функції, яка називається збільшенням значення функції:

і не є довільним, а залежить від виду функції та величини
.

Прирощення аргументу та функції можуть бути кінцевими, тобто. висловлюватися постійними числами, у разі їх іноді називають кінцевими різницями.

В економіці кінцеві прирости розглядаються дуже часто. Наприклад, у таблиці наведено дані про довжину залізничної мережі деякої держави. Очевидно, збільшення довжини мережі обчислюється шляхом віднімання попереднього значення з наступного.

Розглянемо довжину залізничної мережі як функцію, аргументом якої буде час (роки).

Саме собою збільшення функції (у разі довжини ж/д) мережі) погано характеризує зміна функції. У нашому прикладі з того, що 2,5>0,9 не можна зробити висновок, що мережа зростала швидше в 2000-2003 роках, ніж у 2004 р., тому що приріст 2,5 відноситься до трирічного періоду, а 0,9 - Лише до одного року. Тому цілком природно, що збільшення функції призводять до одиниці зміни аргументу. Приріст аргументу тут – періоди: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Отримаємо те, що в економічній літературі називають середньорічним приростом.

Можна уникнути операції приведення збільшення до одиниці зміни аргументу, якщо взяти значення функції для значень аргументу, що відрізняються на одиницю, що не завжди можливо.

У математичному аналізі, зокрема, у диференціальному обчисленні, розглядають нескінченно малі (БМ) збільшення аргументу та функції.

Диференціювання функції однієї змінної (похідна та диференціал) Похідна функції

Збільшення аргументу та функції у точці х 0 можна як порівняні нескінченно малі величини (див. тему 4, порівняння БМ), тобто. БМ одного порядку.

Тоді їх відношення буде мати кінцеву межу, яка визначається як похідна функції в т х 0 .

Межа відношення збільшення функції до БМ збільшення аргументу в точці х = х 0 називається похідний функції у цій точці.

Символічне позначення похідної штрихом (а, вірніше, римської цифрою I) запроваджено Ньютоном. Можна використовувати ще нижній індекс, який показує, якою змінною обчислюється похідна, наприклад, . Широко використовується також інше позначення, запропоноване основоположником обчислення похідних, німецьким математиком Лейбніцем:
. З походженням цього позначення ви докладніше познайомитеся у розділі Диференціал функції та диференціал аргументу.

Це число оцінює швидкістьзміни функції, що проходить через точку
.

Встановимо геометричний змістпохідної функції у точці. З цією метою збудуємо графік функції y=y(x)і відзначимо на ньому точки, що визначають зміну y(x)у проміжку

Стосовно графіка функції в точці М 0
будемо вважати граничне становище сіючої М 0 Мза умови
(крапка Мковзає за графіком функції до точки М 0 ).

Розглянемо
. Очевидно,
.

Якщо точку Мспрямувати вздовж графіка функції у напрямку до точки М 0 , то значення
буде прагнути до певної межі, яку позначимо
. При цьому.

Граничний кут  збігається з кутом нахилу дотичної, проведеної до графіка функції т.ч. М 0 тому похідна
чисельно дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної у вказаній точці.

-

геометричний зміст похідної функції у точці.

Таким чином, можна записати рівняння дотичної та нормалі ( нормаль – це пряма, перпендикулярна дотичній) до графіка функції в деякій точці х 0 :

Стосовна - .

Нормаль -
.

Цікаві випадки, коли ці прямі розташовані горизонтально або вертикально (див. тему 3, окремі випадки положення прямої на площині). Тоді,

якщо
;

якщо
.

Визначення похідної називається диференціюванням функції.

 Якщо функція в точці х 0 має кінцеву похідну, то вона називається диференційованоїу цій точці. Функція, що диференціюється у всіх точках деякого інтервалу, називається диференційованою на цьому інтервалі.

 Теорема . Якщо функція y=y(x)диференційована в т.ч. х 0 , то вона у цій точці безперервна.

Таким чином, безперервність- Необхідна (але не достатня) умова диференційності функції.

Визначення 1

Якщо кожної пари $(x,y)$ значень двох незалежних змінних з певної області ставиться у відповідність певне значення $z$, то кажуть, що $z$ є функцією двох змінних $(x,y)$. Позначення: $ z = f (x, y) $.

Відносно функції $ z = f (x, y) $ розглянемо поняття загального (повного) та приватного збільшення функції.

Нехай дана функція $z=f(x,y)$двох незалежних змінних $(x,y)$.

Зауваження 1

Оскільки змінні $(x,y)$ є незалежними, одна з них може змінюватися, а інша при цьому зберігати постійне значення.

Дамо змінній $x$ збільшення $\Delta x$, при цьому збережемо значення змінної $y$ незмінним.

Тоді функція $z=f(x,y)$ отримає збільшення, яке буде називатися приватним збільшенням функції $z=f(x,y)$ за змінною $x$. Позначення:

Аналогічно дамо змінної $ y $ збільшення $ \ Delta y $, при цьому збережемо значення змінної $ x $ незмінним.

Тоді функція $z=f(x,y)$ отримає збільшення, яке буде називатися приватним збільшенням функції $z=f(x,y)$ за змінною $y$. Позначення:

Якщо ж аргументу $x$ дати збільшення $\Delta x$, а аргументу $y$ - збільшення $\Delta y$, то виходить повне збільшення заданої функції $z=f(x,y)$. Позначення:

Таким чином, маємо:

$ \ Delta _ (x) z = f (x + \ Delta x, y) - f (x, y) $ - приватне збільшення функції $ z = f (x, y) $ по $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = f (x, y + \ Delta y) - f (x, y) $ - приватне збільшення функції $ z = f (x, y) $ по $ y $;

$ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) - f (x, y) $ - повне збільшення функції $ z = f (x, y) $.

Приклад 1

Рішення:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $ - приватне збільшення функції $ z = f (x, y) $ по $ x $;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - приватне збільшення функції $z=f(x,y)$ $y$.

$ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ - повне збільшення функції $ z = f (x, y) $.

Приклад 2

Обчислити приватні та повне збільшення функції $z = xy $ у точці $ (1; 2) $ при $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1 $.

Рішення:

За визначенням приватного збільшення знайдемо:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - приватне збільшення функції $z=f(x,y)$ по $x$

$ \ Delta _ (y) z = x \ cdot (y + \ Delta y) $ - приватне збільшення функції $ z = f (x, y) $ по $ y $;

За визначенням повного збільшення знайдемо:

$\Delta z = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) $ - повне збільшення функції $ z = f (x, y) $.

Отже,

\[\Delta _(x) z=(1+0,1)\cdot 2=2,2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0,1)=2,1 \] \[\Delta z = (1 +0,1) \ cdot (2 +0,1) = 1,1 \ cdot 2,1 = 2,31.

Зауваження 2

Повне збільшення заданої функції $ z = f (x, y) $ не дорівнює сумі її приватних приростів $ \ Delta _ (x) z $ і $ \ Delta _ (y) z $. Математичний запис: $ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

Приклад 3

Перевірити затвердження зауваження для функції

Рішення:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $; $ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (отримані в прикладі 1)

Знайдемо суму приватних збільшень заданої функції $ z = f (x, y) $

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]

Визначення 2

Якщо для кожної трійки $(x,y,z)$ значень трьох незалежних змінних з певної області ставиться у відповідність певне значення $w$, то кажуть, що $w$ є функцією трьох змінних $(x,y,z)$ цій галузі.

Позначення: $ w = f (x, y, z) $.

Визначення 3

Якщо кожної сукупності $(x,y,z,...,t)$ значень незалежних змінних з певної області ставиться у відповідність певне значення $w$, то кажуть, що $w$ є функцією змінних $(x,y, z,...,t)$ у цій галузі.

Позначення: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

Для функції від трьох і більше змінних, аналогічно як функції двох змінних визначаються приватні приросту за кожною зі змінних:

$ \ Delta _ (z) w = f (x, y, z + \ Delta z) - f (x, y, z) $ - приватне збільшення функції $ w = f (x, y, z, ..., t ) $ по $ z $;

$ \ Delta _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Delta t) - f (x, y, z, ..., t) $ - приватне збільшення функції $ w = f (x, y, z, ..., t) $ по $ t $.

Приклад 4

Записати приватні та повне збільшення функції

Рішення:

За визначенням приватного збільшення знайдемо:

$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - приватне збільшення функції $w=f(x,y,z)$ $x$

$ \ Delta _ (y) w = (x + (y + \ Delta y)) \ cdot z $ - приватне збільшення функції $ w = f (x, y, z) $ по $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - приватне збільшення функції $ w = f (x, y, z) $ по $ z $;

За визначенням повного збільшення знайдемо:

$\Delta w = ((x + \ Delta x) + (y + \ Delta y)) \ cdot (z + \ Delta z) $ - повне збільшення функції $ w = f (x, y, z) $.

Приклад 5

Обчислити приватні та повне збільшення функції $w=xyz$ у точці $(1;2;1)$ при $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Delta z = 0,1 $.

Рішення:

За визначенням приватного збільшення знайдемо:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - приватне збільшення функції $w=f(x,y,z)$ $x$

$ \ Delta _ (y) w = x \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot z $ - приватне збільшення функції $ w = f (x, y, z) $ по $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Delta z) $ - приватне збільшення функції $ w = f (x, y, z) $ по $ z $;

За визначенням повного збільшення знайдемо:

$ \ Delta w = (x + Delta x) cdot (y + Delta y) cdot (z + Delta z) $ - повне збільшення функції $ w = f (x, y, z) $.

Отже,

\[\Delta _(x) w=(1+0,1)\cdot 2\cdot 1=2,2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0,1)\ cdot 1=2,1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0,1)=2,2\] \[\Delta z=(1+0,1) \ cdot (2 +0,1) \ cdot (1 +0,1) = 1,1 \ cdot 2,1 \ cdot 1,1 = 2,541.

З геометричної точки зору повне збільшення функції $ z = f (x, y) $ (за визначенням $ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) - f (x, y) $) дорівнює приросту аплікати графіка функції $z=f(x,y)$ при переході від точки $M(x,y)$ до точки $M_(1) (x+\Delta x,y+\Delta y)$ (рис. 1).

Малюнок 1.

Запам'ятати дуже просто.

Ну і не будемо далеко ходити, одразу ж розглянемо зворотну функцію. Яка функція є зворотною для показової функції? Логарифм:

У нашому випадку основою є число:

Такий логарифм (тобто логарифм із основою) називається «натуральним», і для нього використовуємо особливе позначення: замість пишемо.

Чому дорівнює? Звичайно ж, .

Похідна від натурального логарифму теж дуже проста:

Приклади:

1. Знайди похідну функцію.
2. Чому дорівнює похідна функції?

Відповіді: Експонента та натуральний логарифм – функції унікально прості з погляду похідної. Показові та логарифмічні функції з будь-якою іншою основою будуть мати іншу похідну, яку ми з тобою розберемо пізніше, після того, як ми пройдемо правила диференціювання.

Правила диференціювання

Правила чого? Знову новий термін, знову?!

Диференціювання- Це процес знаходження похідної.

Тільки і всього. А як ще назвати цей процес одним словом? Не производнование ж... Диференціалом математики називають те саме збільшення функції при. Походить цей термін від латинського differentia - різниця. Ось.

При виведенні всіх цих правил використовуватимемо дві функції, наприклад, в. Нам знадобляться також формули їх прирощень:

Усього є 5 правил.

Константа виноситься за знак похідної.

Якщо – якесь постійне число (константа), тоді.

Очевидно, це правило працює і для різниці: .

Доведемо. Нехай, чи простіше.

приклади.

Знайдіть похідні функції:

1. у точці;
2. у точці;
3. у точці;
4. у точці.

Рішення:

1. (похідна однакова у всіх точках, оскільки це лінійна функція, пам'ятаєш?);

Похідна робота

Тут все аналогічно: введемо нову функцію і знайдемо її збільшення:

Похідна:

Приклади:

1. Знайдіть похідні функцій та;
2. Знайдіть похідну функцію в точці.

Рішення:

Похідна показової функції

Тепер твоїх знань достатньо, щоб навчитися знаходити похідну будь-якої показової функції, а не лише експоненти (не забув ще, що це таке?).

Отже, де – це якесь число.

Ми вже знаємо похідну функцію, тому давай спробуємо привести нашу функцію до нової основи:

І тому скористаємося простим правилом: . Тоді:

Ну ось, вийшло. Тепер спробуй знайти похідну, і не забудь, що ця функція – складна.

Вийшло?

Ось, перевір себе:

Формула вийшла дуже схожа на похідну експоненти: як було, так і залишилося, з'явився лише множник, який є просто числом, але не змінною.

Приклади:
Знайди похідні функції:

Відповіді:

Це просто число, яке неможливо порахувати без калькулятора, тобто не записати в більш простому вигляді. Тому у відповіді його у такому вигляді і залишаємо.

Зауважимо, що тут приватне двох функцій, тому застосуємо відповідне правило диференціювання:

У цьому прикладі добуток двох функцій:

Похідна логарифмічна функція

Тут аналогічно: ти вже знаєш похідну від натурального логарифму:

Тому, щоб знайти довільну від логарифму з іншою основою, наприклад:

Потрібно привести цей логарифм до основи. А як змінити основу логарифму? Сподіваюся, ти пам'ятаєш цю формулу:

Тільки тепер замість писатимемо:

У знаменнику вийшла просто константа (постійне число без змінної). Похідна виходить дуже просто:

Похідні показової та логарифмічної функцій майже не зустрічаються в ЄДІ, але не буде зайвим знати їх.

Похідна складна функція.

Що таке "складна функція"? Ні, це не логарифм і не арктангенс. Дані функції може бути складними для розуміння (хоча, якщо логарифм тобі здається складним, прочитай тему «Логарифми» і все пройде), але з точки зору математики слово «складна» не означає «важка».

Уяви собі маленький конвеєр: сидять дві людини і роблять якісь дії з якимись предметами. Наприклад, перший загортає шоколадку в обгортку, а другий обв'язує її стрічкою. Виходить такий складовий об'єкт: шоколадка, обгорнена та обв'язана стрічкою. Щоб з'їсти шоколадку, тобі потрібно зробити зворотні дії у зворотному порядку.

Давай створимо подібний математичний конвеєр: спочатку знаходитимемо косинус числа, а потім отримане число зводитимемо в квадрат. Отже, нам дають число (шоколадка), я знаходжу його косинус (обгортка), а ти потім зводиш те, що в мене вийшло, у квадрат (обв'язуєш стрічкою). Що вийшло? функція. Це і є приклад складної функції: коли для знаходження її значення ми робимо першу дію безпосередньо зі змінною, а потім ще другу дію з тим, що вийшло в результаті першого.

Іншими словами, складна функція – це функція, аргументом якої є інша функція: .

Для прикладу, .

Ми цілком можемо робити ті ж дії і в зворотному порядку: спочатку ти зводиш у квадрат, а потім шукаю косинус отриманого числа: . Нескладно здогадатися, що результат майже завжди буде різним. Важлива особливість складних функцій: зміна порядку дій функція змінюється.

Другий приклад: (те саме). .

Дію, яку робимо останнім, називатимемо "зовнішньої" функцією, а дія, що чиниться першим - відповідно «внутрішньою» функцією(це неформальні назви, я їх вживаю лише для того, щоб пояснити матеріал простою мовою).

Спробуй визначити сам, яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньою:

Відповіді:Поділ внутрішньої та зовнішньої функцій дуже схожий заміну змінних: наприклад, у функції

1. Першим виконуватимемо яку дію? Спершу порахуємо синус, а потім зведемо в куб. Отже, внутрішня функція, а зовнішня.
   А вихідна функція є їх композицією: .
2. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
3. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
4. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
5. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .

виконуємо заміну змінних та отримуємо функцію.

Ну що ж, тепер витягуватимемо нашу шоколадку - шукати похідну. Порядок дій завжди зворотний: спочатку шукаємо похідну зовнішньої функції, потім множимо результат на похідну внутрішньої функції. Стосовно вихідного прикладу це так:

Інший приклад:

Отже, сформулюємо, нарешті, офіційне правило:

Алгоритм знаходження похідної складної функції:

Начебто все просто, так?

Перевіримо на прикладах:

Рішення:

1) Внутрішня: ;

Зовнішня: ;

2) Внутрішня: ;

(Тільки не здумай тепер скоротити на! З-під косинуса нічого не виноситься, пам'ятаєш?)

3) Внутрішня: ;

Зовнішня: ;

Відразу видно, що тут трирівнева складна функція: адже - це вже сама по собі складна функція, а з неї витягуємо корінь, тобто виконуємо третю дію (шоколадку в обгортці і з стрічкою кладемо в портфель). Але лякатися немає причин: все одно «розпаковувати» цю функцію будемо в тому ж порядку, що і зазвичай: з кінця.

Тобто спершу продиференціюємо корінь, потім косинус, і лише потім вираз у дужках. А потім все це перемножимо.

У разі зручно пронумерувати дії. Тобто уявімо, що нам відомий. У якому порядку робитимемо дії, щоб обчислити значення цього виразу? Розберемо з прикладу:

Чим пізніше відбувається дія, тим більше «зовнішньої» буде відповідна функція. Послідовність дій - як і раніше:

Тут вкладеність взагалі 4-рівнева. Давайте визначимо порядок дій.

1. Підкорене вираз. .

2. Корінь. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Збираємо все до купи:

ВИРОБНИЧА. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Похідна функції- Відношення збільшення функції до збільшення аргументу при нескінченно малому збільшення аргументу:

Базові похідні:

Правила диференціювання:

Константа виноситься за знак похідної:

Похідна сума:

Похідна робота:

Похідна приватна:

Похідна складної функції:

Алгоритм знаходження похідної від складної функції:

1. Визначаємо "внутрішню" функцію, знаходимо її похідну.
2. Визначаємо "зовнішню" функцію, знаходимо її похідну.
3. Помножуємо результати першого та другого пунктів.

з медичної та біологічної фізики

лекція №1

ВИРОБНИЧА І ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ.

ПРИВАТНІ ВИРОБНИЧІ.

1. Поняття похідної, її механічний та геометричний зміст.

а ) Збільшення аргументу та функції.

Нехай дана функція y = f (х), де х - значення аргументу з області визначення функції. Якщо вибрати два значення аргументу х о і х із певного інтервалу області визначення функції, то різницю між двома значеннями аргументу називається збільшенням аргументу: х - х о =∆х.

Значення аргументу x можна визначити через x 0 та його збільшення: х = х про + ∆х.

Різниця між двома значеннями функції називається збільшенням функції: ∆y = ∆f = f(х о +∆х) – f(х о).

Збільшення аргументу та функції можна представити графічно (рис.1). Приріст аргументу та збільшення функції може бути як позитивним, так і негативним. Як випливає з рис.1 геометрично збільшення аргументу ∆х зображується збільшенням абсциси, а збільшення функції ∆у - збільшенням ординати. Обчислення збільшення функції слід проводити в наступному порядку:

даємо аргументу збільшення ∆х і одержуємо значення – x+Δx;

2) знаходимо значення функції значення аргументу (х+∆х) – f(х+∆х);

3) знаходимо збільшення функції ∆f=f(х + ∆х) - f(х).

Приклад:Визначити збільшення функції y=х 2 якщо аргумент змінився від х про =1 до х=3. Для точки х про значення функції f(х о) = х²; для точки (х о +∆х) значення функції f(х о +∆х) = (х о +∆х) 2 = х² о +2х о ∆х+∆х 2 , звідки ∆f = f(х о + ∆х)–f(х о) = (х о +∆х) 2 –х² о = х² о +2х о ∆х+∆х 2 –х² о = 2х о ∆х+∆х 2 ; ∆f = 2х про ∆х+∆х 2; ∆х = 3-1 = 2; ∆f =2·1·2+4 = 8.

б)Завдання, що призводять до поняття похідної. Визначення похідної, її фізичне значення.

Поняття збільшення аргументу та функції необхідні для введення поняття похідної, яке історично виникло виходячи з необхідності визначення швидкості тих чи інших процесів.

Розглянемо, як можна визначити швидкість прямолінійного руху. Нехай тіло рухається прямолінійно згідно із законом: ∆Ѕ= ·∆t. Для рівномірного руху:= ∆Ѕ/∆t.

Для змінного руху значення ∆Ѕ/∆t визначає значення  порівн. , тобто  порівн. =∆Ѕ/∆t. Але середня швидкість не дає можливості відобразити особливості руху тіла та дати уявлення про істинну швидкість у момент часу t. При зменшенні проміжку часу, тобто. при ∆t→0 середня швидкість прагне до своєї межі – миттєвої швидкості:

 мгн. =
 порівн. =
∆Ѕ/∆t.

Так само визначається і миттєва швидкість хімічної реакції:

 мгн. =
 порівн. =
∆х/∆t,

де х - кількість речовини, що утворилася при хімічній реакції за час t. Подібні завдання визначення швидкості різних процесів призвели до введення в математиці поняття похідної функції.

Нехай дана безперервна функція f(х), визначена на інтервалі ]а, в [іє приріст ∆f=f(х+∆х)–f(х).
є функцією ∆х та виражає середню швидкість зміни функції.

Межа відносин , коли ∆х→0,за умови, що ця межа існує, називається похідною функції :

y" x =

.

Похідна позначається:
- (Ігрек штрих по ікс); " (х) - (еф штрих по ікс) ; y" – (гравець штрих); dy/dх – (Де ігрек по де ікс); - (Ігрек з точкою).

Виходячи з визначення похідної, можна сказати, що миттєва швидкість прямолінійного руху є похідною від шляху за часом:

 мгн. = S" t = f " (t).

Таким чином, можна дійти невтішного висновку, що похідна функції за аргументом х є миттєва швидкість зміни функції f(х):

у" x = f " (х) =  мгн.

У цьому полягає фізичний сенс похідної. Процес знаходження похідної називається диференціюванням, тому вираз «продиференціювати функцію» рівносильно виразу «знайти похідну функції».

в)Геометричний зміст похідної.

П
роизводная функції у = f(х) має простий геометричний зміст, пов'язаний з поняттям дотичної до кривої лінії в деякій точці M. У цьому, дотичну, тобто. пряму лінію аналітично виражають у вигляді у = кх = tg х, де  – кут нахилу дотичної (прямий) до осі Х. Представимо безперервну криву як функцію у = f (х), візьмемо на кривій точку Мі близьку до неї точку М 1 і наведемо через них січну. Її кутовий коефіцієнт до с = tg β = .Якщо наближати точку М 1 до M, то збільшення аргументу ∆х буде прагнути до нуля, а січе при β=α займе положення дотичної. З рис.2 випливає: tgα =
tgβ =
=у" x . Але tgα дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції:

до = tgα =
=у" x = f " (х). Отже, кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у цій точці дорівнює значенню її похідної у точці дотику. У цьому полягає геометричний сенс похідної.

г)Загальне правило знаходження похідної.

З визначення похідної, процес диференціювання функції можна наступним чином:

f(х+∆х) = f(х)+∆f;

знаходять збільшення функції: ∆f= f(х + ∆х) - f(х);

становлять відношення збільшення функції до збільшення аргументу:

;

Приклад: f(х)=х 2; f " (х) =?.

Однак, як видно з цього простого прикладу, застосування зазначеної послідовності при взятті похідних – процес трудомісткий і складний. Тому для різних функцій вводяться загальні формули диференціювання, які представлені у вигляді таблиці Основних формул диференціювання функцій.