Що таке абсолютні та відносні похибки. Відносна похибка наближеного числа

Жоден вимір не вільний від похибок, чи, точніше, ймовірність виміру без похибок наближається до нуля. Рід і причини похибок дуже різноманітні і впливають багато чинники (рис.1.2).

Загальна характеристика факторів, що впливають, може бути систематизована з різних точок зору, наприклад, за впливом перелічених факторів (рис.1.2).

За результатами вимірювання похибки можна поділити на три види: систематичні, випадкові та промахи.

Систематичні похибки, у свою чергу, ділять на групи через їх виникнення та характер прояву. Вони можуть бути усунені у різний спосіб, наприклад, введенням поправок.

Рис. 1.2

Випадкові похибки викликаються складною сукупністю факторів, що змінюються, зазвичай невідомих і важко піддаються аналізу. Їх вплив на результат виміру можна зменшити, наприклад, шляхом багаторазових вимірів з подальшою статистичною обробкою одержаних результатів методом теорії ймовірностей.

До промах відносяться грубі похибки, що виникають при раптових змінах умов експерименту. Ці похибки за своєю природою теж випадкові, і після виявлення мають бути виключені.

Точність вимірювань оцінюється похибками вимірювань, які поділяються за природою виникнення на інструментальну та методичну та за методом обчислень на абсолютну, відносну та наведену.

Інструментальна похибка характеризується класом точності вимірювального приладу, який наведений у його паспорті у вигляді основних і додаткових похибок, що нормуються.

Методична похибка обумовлена ​​недосконалістю методів та засобів вимірювань.

Абсолютна похибка є різницю між виміряним G u і істинним значеннями величини G, що визначається за формулою:

Δ=ΔG=G u -G

Зауважимо, що величина має розмірність вимірюваної величини.

Відносну похибка знаходять із рівності

δ=±ΔG/G u ·100%

Наведену похибку розраховують за формулою (клас точності вимірювального приладу)

δ=±ΔG/G норм ·100%

де G норм - нормує значення вимірюваної величини. Її приймають рівною:

а) кінцевого значення шкали приладу, якщо нульова позначка знаходиться на краю або поза шкалою;

б) сумі кінцевих значень шкали без урахування знаків, якщо нульова позначка розташована всередині шкали;

в) довжина шкали, якщо шкала нерівномірна.

Клас точності приладу встановлюється при його перевірці та є нормованою похибкою, що обчислюється за формулами

γ=±ΔG/G норм ·100%, якщоΔG m =const

де ΔG m - Найбільша можлива абсолютна похибка приладу;

G k - Кінцеве значення межі вимірювання приладу; з і d – коефіцієнти, що враховують конструктивні параметри та властивості вимірювального механізму приладу.

Наприклад, для вольтметра з постійною відносною похибкою має місце рівність

δ m =±c

Відносна та наведена похибки пов'язані наступними залежностями:

а) для будь-якого значення наведеної похибки

δ=±γ·G норм /G u

б) для найбільшої наведеної похибки

δ=±γ m ·G норм /G u

З цих співвідношень випливає, що при вимірюваннях, наприклад вольтметром, в ланцюзі при тому самому значенні напруги відносна похибка тим більше, чим менше напруга, що вимірювається. І якщо цей вольтметр обрано неправильно, то відносна похибка може бути порівнянна зі значенням G н що є неприпустимим. Зауважимо, що відповідно до термінології вирішуваних завдань, наприклад, при вимірюванні напруги G = U , при вимірюванні струму C = I , літерні позначення у формулах для обчислення похибок необхідно замінювати на відповідні символи.

приклад 1.1.Вольтметром, що має значення m = 1,0 % , U н = G норм, G k = 450 В, Вимірюють напругу U u , що дорівнює 10 В. Оцінимо похибки вимірювань.

Рішення.

Відповідь.Похибка вимірів становить 45%. За такої похибки виміряна напруга не можна вважати достовірною.

При обмежених можливостях вибору приладу (вольтметра) методична похибка може бути врахована поправкою, обчисленою за формулою

приклад 1.2. Обчислити абсолютну похибку вольтметра В7-26 при вимірах напруги ланцюга постійного струму. Клас точності вольтметра заданий максимально наведеною похибкою γ m =±2,5%. Використовується у роботі межа шкали вольтметра U норм =30 У.

Рішення.Абсолютна похибка обчислюється за відомими формулами:

(оскільки наведена похибка, за визначенням, виражається формулою , то звідси можна знайти й абсолютну похибку:

Відповідь.ΔU = ±0,75 В.

Важливими етапами у процесі вимірювань є обробка результатів та правила округлення. Теорія наближених обчислень дозволяє, знаючи ступінь точності даних, оцінити ступінь точності результатів ще до виконання дій: відібрати дані з належним ступенем точності, достатньою для забезпечення необхідної точності результату, але не надто велику, щоб позбавити обчислювача марних розрахунків; раціоналізувати сам процес обчислення, звільнивши його від тих викладок, які не вплинуть на точні цифри результати.

Під час обробки результатів застосовують правила округлення.

• Правило 1. Якщо перша з цифр, що відкидаються, більше п'яти, то остання з цифр, що зберігаються, збільшується на одиницю.

• Правило 2 Якщо перша з цифр, що відкидаються, менше п'яти, то збільшення не робиться.

• Правило 3 Якщо цифра, що відкидається, дорівнює п'яти, а за нею немає значущих цифр, то округлення проводиться на найближче парне число, тобто. остання цифра залишається незмінною, якщо вона парна, і збільшується, якщо вона не парна.

Якщо за цифрою п'ять є цифри, то округлення проводиться за правилом 2.

Застосовуючи правило 3 округлення одного числа, ми не збільшуємо точність округлення. Але при численних округленнях надлишкові числа будуть зустрічатися приблизно так само часто, як недостатньо. Взаємна компенсація похибки забезпечить найбільшу точність результату.

Число, що явно перевищує абсолютну похибку (або в гіршому випадку дорівнює їй), називається граничною абсолютною похибкою.

Величина граничної похибки перестав бути цілком певної. Для кожного наближеного числа має бути відома його гранична похибка (абсолютна чи відносна).

Коли вона прямо не вказана, мається на увазі, що гранична абсолютна похибка становить половину одиниці останнього виписаного розряду. Так, якщо наведено наближене число 4,78 без вказівки граничної похибки, мається на увазі, що гранична абсолютна похибка становить 0,005. Внаслідок цієї угоди завжди можна обійтися без вказівки граничної похибки числа, округленого за правилами 1-3, тобто якщо наближене число позначити буквою α , то

Де Δn – гранична абсолютна похибка; а δ n - гранична відносна похибка.

Крім того, при обробці результатів використовуються правила знаходження похибки суми, різниці, твори та частки.

• Правило 1. Гранична абсолютна похибка суми дорівнює сумі граничних абсолютних похибок окремих доданків, але при значній кількості похибок доданків зазвичай відбувається взаємна компенсація похибок, тому справжня похибка суми лише у виняткових випадках збігається з граничною похибкою або близька до неї.

• Правило 2 Гранична абсолютна похибка різниці дорівнює сумі граничних абсолютних похибок зменшуваного або віднімається.

Граничну відносну похибку легко виявити, обчисливши граничну абсолютну похибку.

• Правило 3 Гранична відносна похибка суми (але не різниці) лежить між найменшою та найбільшою з відносних похибок доданків.

Якщо всі доданки мають одну й ту саму граничну відносну похибку, то сума має ту саму граничну відносну похибку. Інакше кажучи, у разі точність суми (у відсотковому вираженні) не поступається точності доданків.

На противагу сумі різниця наближених чисел може бути менш точною, ніж зменшуване і віднімається. Втрата точності особливо велика в тому випадку, коли зменшується і віднімається мало відрізняються один від одного.

• Правило 4 Гранична відносна похибка твору приблизно дорівнює сумі граничних відносних похибок співмножників: δ=δ 1 +δ 2 , або, точніше, δ=δ 1 +δ 2 +δ 1 δ 2 де δ – відносна похибка твору, δ 1 δ 2 співмножників.

Примітки:

1. Якщо перемножуються наближені числа з тим самим кількістю значущих цифр, то творі слід зберегти стільки ж значущих цифр. Остання зі збережених цифр буде не цілком надійна.

2. Якщо деякі співмножники мають більше значущих цифр, ніж інші, то до множення слід перші округлити, зберігши в них стільки цифр, скільки має найменш точний співмножник або ще одну (як запасну), подальші цифри зберігати марно.

3. Якщо потрібно, щоб добуток двох чисел мало заздалегідь дане число цілком надійне, то в кожному з співмножників число точних цифр (отримане виміром або обчисленням) має бути на одиницю більше. Якщо кількість співмножників більше двох і менше десяти, то в кожному з співмножників число точних цифр для повної гарантії має бути на дві одиниці більше, ніж потрібне число точних цифр. Практично цілком достатньо взяти лише одну зайву цифру.

• Правило 5 Гранична відносна похибка приватного приблизно дорівнює сумі граничних відносних похибок ділимого та дільника. Точна величина граничної відносної похибки завжди перевищує наближену. Відсоток перевищення приблизно дорівнює гранично відносної похибки дільника.

приклад 1.3. Знайти граничну абсолютну похибку частки 2,81: 0,571.

Рішення.Гранична відносна похибка поділеного є 0,005:2,81 = 0,2%; дільника - 0,005: 0,571 = 0,1%; приватного - 0,2% + 0,1% = 0,3%. Гранична абсолютна похибка приватного приблизно становитиме 2,81:0,571·0,0030=0,015

Отже, у приватному 2,81:0,571=4,92 вже третя цифра не надійна.

Відповідь. 0,015.

приклад 1.4. Обчислити відносну похибку показань вольтметра, включеного за схемою (рис. 1.3), яка виходить, якщо припустити, що вольтметр має нескінченно великий опір і не вносить спотворень у ланцюг, що вимірюється. Класифікувати похибку виміру для цього завдання.

Рис. 1.3

Рішення.Позначимо показання реального вольтметра через І, а вольтметра з нескінченно великим опором через І ∞. Відносна похибка, що шукається

Зауважимо, що

тоді отримаємо

Так як R І >> R і R > r, то дріб у знаменнику останньої рівності набагато менше одиниці. Тому можна скористатися наближеною формулою , Справедливою при λ≤1 для будь-якого α . Припустивши, що у цій формулі α = -1 і λ= rR (r+R) -1 R І -1 , отримаємо δ rR/(r+R) R І .

Чим більший опір вольтметра порівняно із зовнішнім опором ланцюга, тим менша похибка. Але умова R<

Відповідь.Похибка систематична методична.

приклад 1.5. У ланцюг постійного струму (рис.1.4) включені прилади: А – амперметр типу М 330 класу точності К А = 1,5 з межею виміру I k = 20 А; А 1 – амперметр типу М 366 класу точності К А1 = 1,0 з межею вимірювання I к1 = 7,5 А. Знайти найбільшу можливу відносну похибку вимірювання струму I 2 та можливі межі його дійсного значення, якщо прилади показали, що I=8 ,0А. та I 1 = 6,0А. Класифікувати вимір.

Рис. 1.4

Рішення.Визначаємо струм I 2 за показаннями приладу (не враховуючи їх похибок): I 2 =I-I 1 =8,0-6,0=2,0 А.

Знайдемо модулі абсолютних похибок амперметрів А та А 1

Для А маємо рівність для амперметра

Знайдемо суму модулів абсолютних похибок:

Отже, найбільша можлива й тієї величини, виражена у частках цієї величини, дорівнює 1 . 10 3 – для одного приладу; 2·10 3 – для іншого приладу. Який із цих приладів буде найточнішим?

Рішення.Точність приладу характеризується значенням, зворотним похибки (що точніше прилад, то менше похибка), тобто. для першого приладу це становитиме 1/(1 . 10 3) = 1000, для другого – 1/(2 . 10 3) = 500. Зауважимо, що 1000 > 500. Отже, перший прилад точніший за другий у два рази.

Такого висновку можна дійти, перевіривши відповідність похибок: 2 . 10 3/1 . 103 = 2.

Відповідь.Перший прилад вдвічі точніший за другий.

приклад 1.6. Знайти суму наближених вимірювань приладу. Знайти кількість вірних знаків: 0,0909+0,0833+0,0769+0.0714+0,0667+0.0625+0,0588+0,0556+0,0526.

Рішення.Склавши всі результати вимірів, отримаємо 0,6187. Гранична максимальна похибка суми 0,00005 · 9 = 0,00045. Отже, в останньому четвертому знаку суми можлива помилка до 5 одиниць. Тому округляємо суму третього знака, тобто. тисячних, отримуємо 0,619 - результат, у якому всі знаки вірні.

Відповідь. 0,619. Кількість вірних знаків – три знаки після коми.

Похибки вимірів фізичних величин

1.Введення (вимірювання та похибки вимірювань)

2.Випадкові та систематичні похибки

3.Абсолютні та відносні похибки

4.Похибки засобів вимірювань

5.Клас точності електровимірювальних приладів

6.Похибка відліку

7.Повна абсолютна похибка прямих вимірів

8. Запис остаточного результату прямого виміру

9. Похибки непрямих вимірів

10.Приклад

1. Введення (вимірювання та похибки вимірювань)

Фізика як наука народилася понад 300 років тому, коли Галілей по суті створив наукове вивчення фізичних явищ: фізичні закони встановлюються та перевіряються експериментально шляхом накопичення та зіставлення досвідчених даних, що надаються набором чисел, формулюються закони мовою математики, тобто. за допомогою формул, що пов'язують функціональною залежністю, числові значення фізичних величин. Тому фізика-наука експериментальна, фізика-наука кількісна.

Познайомимося з деякими характерними рисами будь-яких вимірів.

Вимір - це знаходження числового значення фізичної величини досвідченим шляхом за допомогою засобів вимірювань (лінійки, вольтметра, годинник і т.д.).

Вимірювання можуть бути прямими та непрямими.

Прямий вимір - це знаходження числового значення фізичної величини безпосередньо засобами вимірів. Наприклад, довжину - лінійкою, атмосферний тиск-барометром.

Непряме вимір - це знаходження числового значення фізичної величини за формулою, що пов'язує шукану величину з іншими величинами, що визначаються прямими вимірами. Наприклад опір провідника визначають за формулою R=U/I, де U та I вимірюються електровимірювальними приладами.

Розглянемо приклад виміру.

Виміряємо довжину бруска лінійкою (ціна розподілу 1 мм). Можна стверджувати, що довжина бруска становить величину між 22 і 23 мм. Ширина інтервалу “невідомості становить 1мм, тобто дорівнює ціні поділу. Заміна лінійки більш чутливим приладом, наприклад штангенциркулем, знизить цей інтервал, що призведе до підвищення точності вимірювання. У прикладі точність виміру вбирається у 1мм.

Тому виміри ніколи не можуть бути виконані абсолютно точно. Результат будь-якого виміру наближений. Невизначеність у вимірі характеризується похибкою – відхиленням виміряного значення фізичної величини від її справжнього значення.

Перелічимо деякі з причин, що призводять до появи похибок.

1. Обмежена точність виготовлення засобів виміру.

2. Вплив на вимірювання зовнішніх умов (зміна температури, коливання напруги...).

3. Дії експериментатора (запізнення із включенням секундоміра, різне положення ока...).

4. Наближений характер законів, які використовуються знаходження вимірюваних величин.

Перелічені причини появи похибок непереборні, хоч і можуть бути зведені до мінімуму. p align="justify"> Для встановлення достовірності висновків, отриманих в результаті наукових досліджень існують методи оцінки даних похибок.

2. Випадкові та систематичні похибки

Похибки, що виникають при вимірах, поділяються на систематичні та випадкові.

Систематичні похибки- це похибки, відповідні відхилення виміряного значення від справжнього значення фізичної величини завжди у бік (підвищення чи заниження). При повторних вимірах похибка залишається незмінною.

Причини виникнення систематичних похибок:

1) невідповідність засобів вимірювання стандарту;

2) неправильне встановлення вимірювальних приладів (нахил, неврівноваженість);

3) розбіжність початкових показників приладів з нулем та ігнорування поправок, що у зв'язку з цим виникають;

4) невідповідність вимірюваного об'єкта з припущенням про його властивості (наявність пустот тощо).

Випадкові похибки- це похибки, які непередбачуваним чином змінюють своє чисельне значення. Такі похибки викликаються великою кількістю неконтрольованих причин, що впливають на процес вимірювання (нерівності на поверхні об'єкта, подих вітру, стрибки напруги тощо). Вплив випадкових похибок може бути зменшено за багаторазового повторення досвіду.

3. Абсолютні та відносні похибки

Для кількісної оцінки якості вимірювань запроваджують поняття абсолютної та відносної похибок вимірювань.

Як мовилося раніше, будь-який вимір дає лише наближене значення фізичної величини, проте можна зазначити інтервал, який містить її справжнє значення:

А пр - D А< А ист < А пр + D А

Величина D А називається абсолютною похибкою виміру величини А. Абсолютна похибка виявляється у одиницях вимірюваної величини. Абсолютна похибка дорівнює модулю максимально можливого відхилення значення фізичної величини виміряного значення. А пр - значення фізичної величини, отримане експериментально, якщо вимірювання проводилося багаторазово, то середнє арифметичне цих вимірювань.

Але для оцінки якості вимірювання необхідно визначити відносну похибку e. e = D А / А пр або e = (D А / А пр) * 100%.

Якщо при вимірі отримана відносна похибка більше 10%, то кажуть, що зроблено лише оцінку вимірюваної величини. У лабораторіях фізичного практикуму рекомендується проводити вимірювання із відносною похибкою до 10%. У наукових лабораторіях деякі точні виміри (наприклад визначення довжини світлової хвилі) виконуються з точністю мільйонних часток відсотка.

4. Похибки засобів вимірів

Ці похибки називають ще інструментальними чи приладовими. Вони обумовлені конструкцією вимірювального приладу, точністю його виготовлення та градуювання. Зазвичай задовольняються допустимими інструментальними похибками, що повідомляються заводом виробником у паспорті до даного приладу. Ці припустимі похибки регламентуються ГОСТами. Це стосується і зразків. Зазвичай абсолютну інструментальну похибку позначають D таА.

Якщо відомостей про допустиму похибку немає (наприклад у лінійки), то як цю похибку можна прийняти половину ціни поділу.

При зважуванні абсолютна інструментальна похибка складається з інструментальних похибок ваг та гир. У таблиці наведено допустимі похибки найчастіше

зустрічаються у шкільному експерименті засобів виміру.

5. Клас точності електровимірювальних приладів

Стрілецькі електровимірювальні прилади за допустимими значеннями похибок діляться на класи точності, які позначені на шкалах приладів числами 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.0. Клас точності g пр приладу показує, скільки відсотків становить абсолютну похибку від усієї шкали приладу.

g пр = (D і А/А макс) * 100%.

Наприклад, абсолютна інструментальна похибка приладу класу 2,5 становить 2,5% від його шкали.

Якщо відомий клас точності приладу та його шкала, то можна визначити абсолютну інструментальну похибку вимірювання

D і А = (g пр * А макс) / 100.

Для підвищення точності вимірювання стрілочним електровимірювальним приладом треба вибирати прилад з такою шкалою, щоб у процесі вимірювання розташовувалися у другій половині шкали приладу.

6. Похибка відліку

Похибка відліку виходить від недостатньо точного відрахування показань засобів вимірів.

Найчастіше абсолютну похибку відліку приймають рівної половині ціни поділу. Винятки становлять вимірювання стрілочним годинником (стрілки пересуваються ривками).

Абсолютну похибку відліку прийнято позначати D оА

7. Повна абсолютна похибка прямих вимірів

За виконання прямих вимірів фізичної величини А слід оцінювати такі похибки: D іА, D оА та D сА (випадкову). Звичайно, інші джерела помилок, пов'язані з неправильною установкою приладів, несумісність початкового положення стрілки приладу з 0 та ін повинні бути виключені.

Повна абсолютна похибка прямого вимірювання повинна включати всі три види похибок.

Якщо випадкова похибка мала у порівнянні з найменшим значенням, яке може бути виміряне цим засобом виміру (у порівнянні з ціною розподілу), то її можна знехтувати і тоді для визначення значення фізичної величини достатньо одного виміру. Інакше теорія ймовірностей рекомендує знаходити результат виміру як середнє арифметичне значення результатів всієї серії багаторазових вимірів, похибка результату обчислювати методом математичної статистики. Знання цих методів виходить межі шкільної програми.

8. Запис остаточного результату прямого виміру

Остаточний результат вимірювання фізичної величини слід записувати в такій формі;

А = А пр + D А, e = (D А / А ін) * 100%.

А пр - значення фізичної величини, отримане експериментально, якщо вимірювання проводилося багаторазово, то середнє арифметичне цих вимірювань. D А-повна абсолютна похибка прямого виміру.

Абсолютну похибку зазвичай виражають однією значущою цифрою.

Приклад: L = (7,9 + 0,1) мм, e = 13%.

9. Похибки непрямих вимірів

При обробці результатів непрямих вимірів фізичної величини, пов'язаної функціонально з фізичними величинами А, В і С, які вимірюються прямим способом, спочатку визначають відносну похибку непрямого виміру e=D Х/Х ін, користуючись формулами, наведеними в таблиці (без доказів).

Абсолютну похибку визначається за формулою D Х = Х пр * e,

де e виражається десятковим дробом, а чи не у відсотках.

Остаточний результат записується так само, як і у разі прямих вимірів.

Приклад: Обчислимо похибку вимірювання коефіцієнта тертя з допомогою динамометра. Досвід полягає в тому, що брусок рівномірно тягнуть по горизонтальній поверхні і вимірюють силу, що прикладається: вона дорівнює силі тертя ковзання.

За допомогою динамометра зважимо брусок із вантажами: 1,8 Н. F тр =0,6 Н

μ=0,33. Інструментальна похибка динамометра (знаходимо по таблиці) становить Δ і =0,05Н, Похибка відліку (половина ціни поділу)

Δ про =0,05Н. Абсолютна похибка вимірювання ваги та сили тертя 0,1 Н.

Відносна похибка виміру (у таблиці 5-й рядок)

, отже абсолютна похибка непрямого виміру складає 0,22 * 0,33 = 0,074

Фізичні величини характеризуються поняттям "точність похибки". Є висловлювання, що шляхом проведення вимірів можна дійти пізнання. Так вдасться дізнатися, якою є висота будинку чи довжина вулиці, як і багато інших.

Вступ

Розберемося у значенні поняття «виміряти величину». Процес виміру полягає в тому, щоб порівняти її з однорідними величинами, які приймають як одиницю.

Для визначення обсягу використовують літри, для обчислення маси застосовуються грами. Щоб було зручніше робити розрахунки, запровадили систему СІ міжнародної класифікації одиниць.

За вимірювання довжини грузли метри, маси – кілограми, об'єму – кубічні літри, часу – секунди, швидкості – метри за секунду.

При обчисленні фізичних величин який завжди потрібно користуватися традиційним способом, досить застосувати обчислення з допомогою формули. Наприклад, для обчислення таких показників, як середня швидкість, необхідно поділити пройдену відстань на час, проведений у дорозі. Так виробляються обчислення середньої швидкості.

Застосовуючи одиниці виміру, які у десять, сто, тисячу разів перевищують показники прийнятих вимірювальних одиниць, їх називають кратними.

Найменування кожної приставки відповідає своєму числу множника:

1. Дека.
2. Гекто.
3. Кіло.
4. Мега.
5. Гіга.
6. Тера.

У фізичній науці для запису таких множників використовується рівень числа 10. Наприклад, мільйон позначається як 10 6 .

У простій лінійці довжина має одиницю виміру – сантиметр. Вона у 100 разів менша за метр. 15-сантиметрова лінійка має довжину 0,15 м-коду.

Лінійка є найпростішим видом вимірювальних приладів для вимірювання показників довжини. Більш складні прилади представлені термометром – щоб гігрометром – щоб визначати вологість, амперметром – заміряти рівень сили, з якою поширюється електричний струм.

Наскільки точними будуть показники проведених вимірів?

Візьмемо лінійку та простий олівець. Наше завдання полягає у вимірі довжини цієї канцелярської приналежності.

Спочатку потрібно визначити, яка ціна поділу, вказана на шкалі вимірювального приладу. На двох поділках, які є найближчими штрихами шкали, написано цифри, наприклад, «1» та «2».

Необхідно підрахувати, скільки поділів укладено у проміжку цих цифр. За правильного підрахунку вийде «10». Віднімемо від числа, яке є більшим, число, яке буде меншим, і поділимо на число, яке становлять поділки між цифрами:

(2-1)/10 = 0,1 (см)

Так визначаємо, що ціною, що визначає розподіл канцелярської власності, є число 0,1 см або 1 мм. Наочно показано, як визначається показник ціни для поділу із застосуванням будь-якого вимірювального приладу.

Вимірюючи олівець із довжиною, яка трохи менше, ніж 10 см, скористаємося отриманими знаннями. За відсутності на лінійці дрібного поділу слід було б висновок, що предмет має довжину 10 см. Це приблизне значення названо вимірювальною похибкою. Вона свідчить про той рівень неточності, що може допускатися під час проведення вимірів.

Визначаючи параметри довжини олівця з вищим рівнем точності, більшою ціною розподілу досягається більша вимірювальна точність, що забезпечує меншу похибку.

У цьому абсолютно точного виконання вимірів може бути. А показники не повинні перевищувати розмірів ціни поділу.

Встановлено, що розміри вимірювальної похибки становлять ½ ціни, яка вказана на поділах приладу, що застосовується для визначення розмірів.

Після виконання вимірів олівця 9,7 см визначимо показники його похибки. Це проміжок 9,65 – 9,85 см.

Формулою, що вимірює таку похибку, є обчислення:

А = а ± D (а)

А - як величини для вимірювальних процесів;

а – значення результату вимірів;

D – позначення абсолютної похибки.

При відніманні чи складання величин з похибкою результат дорівнюватиме сумі показників похибки, що становить кожна окрема величина.

Знайомство з поняттям

Якщо розглядати в залежності від способу її вираження, можна виділити такі різновиди:

• Абсолютну.
• Відносну.
• Наведену.

Абсолютна похибка вимірювань позначається буквою «Дельта» великою. Це поняття визначається у вигляді різниці між виміряними та дійсними значеннями тієї фізичної величини, яка вимірюється.

Виразом абсолютної похибки вимірів є одиниці тієї величини, яку необхідно виміряти.

При вимірі маси вона виражатиметься, наприклад, у кілограмах. Це не зразок точності вимірювань.

Як розрахувати похибку прямих вимірів?

Існують способи зображення похибки вимірювання та їх обчислення. Для цього важливо вміти визначати фізичну величину з необхідною точністю, знати, що таке абсолютна похибка вимірів, що її ніхто не зможе знайти. Можна обчислити лише її граничне значення.

Навіть якщо умовно вживається цей термін, він вказує на граничні дані. Абсолютна та відносна похибка вимірів позначаються однаковими літерами, різниця в їх написанні.

При вимірі довжини абсолютна похибка вимірюватиметься у тих одиницях, у яких обчислюватиметься довжина. А відносна похибка обчислюється без розмірів, оскільки є відношенням абсолютної похибки до результату виміру. Таку величину часто виражають у відсотках чи частках.

Абсолютна та відносна похибка вимірювань мають кілька різних способів обчислення залежно від того, якою є фізична величина.

Поняття прямого виміру

Абсолютна та відносна похибка прямих вимірювань залежить від класу точності приладу та вміння визначати похибку зважування.

Перш ніж говорити, як обчислюється похибка, необхідно уточнити визначення. Прямим називається вимір, у якому відбувається безпосереднє зчитування результату з приладової шкали.

Коли ми користуємося термометром, лінійкою, вольтметром або амперметром, то завжди проводимо саме прямі виміри, оскільки застосовуємо прилад безпосередньо зі шкалою.

Є два фактори, які впливають на результативність показань:

• Похибка приладів.
• Похибка системи відліку.

Кордон абсолютної похибки при прямих вимірах дорівнюватиме сумі похибки, яку показує прилад, і похибки, що відбувається в процесі відліку.

D = D (пр.) + D (відс.)

Приклад із медичним термометром

Показники похибки вказані на приладі. На медичному термометрі прописано похибку 0,1 градусів за Цельсієм. Похибка відліку становить половину ціни поділу.

D відс. = С/2

Якщо ціна розподілу 0,1 градуса, то для медичного термометра можна зробити обчислення:

D = 0,1 o З + 0,1 o З / 2 = 0,15 o З

На тильній стороні шкали іншого термометра є ТУ і зазначено, що для правильності вимірювань необхідно занурювати термометр тильною частиною. не вказана. Залишається лише похибка відліку.

Якщо ціна поділу шкали цього термометра дорівнює 2 o С, то можна вимірювати температуру з точністю до 1 o С. Такі межі абсолютної похибки вимірювань, що допускається, і обчислення абсолютної похибки вимірювань.

Особливу систему обчислення точності використовують у електровимірювальних приладах.

Точність електровимірювальних приладів

Щоб задати точність таких пристроїв, використовується величина, яка називається класом точності. Для її позначення застосовують букву Гамма. Щоб точно визначити визначення абсолютної та відносної похибки вимірювань, потрібно знати клас точності приладу, який вказаний на шкалі.

Візьмемо, наприклад, амперметр. На його шкалі вказано клас точності, що вказує число 0,5. Він придатний для вимірювань на постійному та змінному струмі, відноситься до пристроїв електромагнітної системи.

Це досить точний прилад. Якщо порівняти його зі шкільним вольтметром, видно, що він має клас точності - 4. Цю величину обов'язково знати для подальших обчислень.

Застосування знань

Таким чином, D c = c (max) Х γ /100

Цією формулою і користуватимемося для конкретних прикладів. Скористаємося вольтметром та знайдемо похибку вимірювання напруги, яку дає батарейка.

Підключимо батарейку безпосередньо до вольтметра, попередньо перевіривши, чи стрілка стоїть на нулі. При підключенні приладу стрілка відхилилася на 4,2 розподілу. Цей стан можна охарактеризувати так:

1. Видно, що максимальне значення U даного предмета дорівнює 6.
2. Клас точності -(?) = 4.
3. U(о) = 4,2 Ст.
4. С=0,2

Користуючись цими даними формули, абсолютна та відносна похибка вимірювань обчислюється так:

DU = DU (пр.) + С/2

D U (пр.) = U (max) Х γ /100

D U (пр.) = 6 В Х 4/100 = 0, 24 В

Це похибка приладу.

Розрахунок абсолютної похибки вимірювань у разі буде виконано так:

D U = 0,24 + 0,1 В = 0,34 В

За розглянутою формулою легко можна дізнатися, як розрахувати абсолютну похибку вимірювань.

Існує правило округлення похибок. Воно дозволяє знайти середній показник між межею абсолютної похибки та відносною.

Вчимося визначати похибку зважування

Це один із прикладів прямих вимірів. На особливому місці стоїть зважування. Адже важельні ваги не мають шкали. Навчимося визначати похибку такого процесу. На точність вимірювання маси впливає точність гир та досконалість самих ваг.

Ми користуємося важелями з набором гирь, які необхідно класти саме на праву чашу терезів. Для зважування візьмемо лінійку.

Перед початком досвіду потрібно врівноважити ваги. Лінійку кладемо на ліву чашу.

Маса дорівнюватиме сумі встановлених гир. Визначимо похибку виміру цієї величини.

D m = D m (ваг) + D m (гір)

Похибка вимірювання маси складається з двох доданків, пов'язаних з вагами та гирями. Щоб дізнатися кожну з цих величин, на заводах з випуску ваг та гирь продукція забезпечується спеціальними документами, які дозволяють обчислити точність.

Застосування таблиць

Скористайтеся стандартною таблицею. Похибка терезів залежить від того, яку масу поклали на ваги. Чим вона більша, тим, відповідно, більша і похибка.

Навіть якщо покласти дуже легке тіло, буде похибка. Цей пов'язаний із процесом тертя, що відбувається в осях.

Друга таблиця відноситься до набору гирь. На ній зазначено, кожна з них має свою похибку маси. 10-грамова має похибку 1 мг, як і 20-грамова. Прорахуємо суму похибок кожної з цих гирек, взятої з таблиці.

Зручно писати масу та похибку маси у двох рядках, які розташовані одна під одною. Чим менше гирі, тим точніше вимір.

Підсумки

У результаті розглянутого матеріалу встановлено, що визначити абсолютну похибку неможливо. Можна лише встановити її граничні показники. Для цього використовуються формули, описані вище у обчисленнях. Даний матеріал запропонований для вивчення у школі для учнів 8-9 класів. На основі отриманих знань можна вирішувати задачі на визначення абсолютної та відносної похибки.

Результат вимірів фізичної величини завжди відрізняється від справжнього значення на деяку величину, яка називається похибкою

КЛАСИФІКАЦІЯ:

1. За способом висловлювання: абсолютні, наведені та відносні

2. За джерелом виникнення: методичні та інструментальні.

3. За умовами та причинами виникнення: основні та додаткові

4. За характером зміни: систематичні та випадкові.

5. Залежно від вхідної вимірюваної величини: адитивні та мультиплікативні

6. Залежно від інерційності: статичні та динамічні.

13. Абсолютна, відносна та наведена похибки.

Абсолютна похибка- це різниця між виміряним та дійсним значеннями вимірюваної величини:

де А ізм, А - вимірюване і дійсне значення; ΔА – абсолютна похибка.

Абсолютну похибку виражають в одиницях вимірюваної величини. Абсолютну похибку, взяту із зворотним знаком, називають поправкою.

Відноснапохибкар дорівнює відношенню абсолютної похибки ΔА до дійсного значення вимірюваної величини і виражається у відсотках:

Наведенапохибкавимірювального приладу – це відношення абсолютної похибки до номінального значення. Номінальне значення для приладу з односторонньою шкалою дорівнює верхній межі виміру, для приладу з двосторонньою шкалою (з нулем посередині) - арифметичній сумі верхніх меж виміру:

пр. ном.

14. Методична, інструментальна, систематична та випадкова похибки.

Похибка методуобумовлена ​​недосконалістю застосовуваного методу виміру, неточністю формул і математичних залежностей, що описує даний метод виміру, і навіть впливом кошти виміру на об'єкт якості якого змінюються.

Інструментальна похибка(похибка інструменту) обумовлена ​​особливістю конструкції вимірювального пристрою, неточністю градуювання, шкали, а також неправильністю установки вимірювального пристрою.

Інструментальна похибка, як правило, вказується в паспорті на засіб вимірювання та може бути оцінена у числовому виразі.

Систематична похибка- постійна або закономірно змінюється похибка при повторних вимірах однієї й тієї величини в однакових умовах виміру. Наприклад, похибка, що виникає при вимірі опору ампервольтметром, обумовлена ​​розрядом батареї живлення.

Випадкова похибка- похибка вимірювання, характер зміни якої при повторних вимірах однієї й тієї величини в однакових умовах випадковий. Наприклад, похибка відліку при кількох повторних вимірах.

Причиною випадкової похибки є одночасної дії багатьох випадкових чинників, кожен із яких окремо мало впливає.

Випадкова похибка може бути оцінена та частково знижена шляхом правильної обробки методами математичної статистики, а також методами ймовірності.

15. Основна та додаткова, статична та динамічна похибки.

Основна похибка- похибка, що виникає в нормальних умовах застосування засобу вимірювання (температура, вологість, напруга живлення та ін), які нормуються та вказуються у стандартах чи технічних умовах.

Додаткова похибкаобумовлюється відхиленням однієї або декількох величин, що впливають від нормального значення. Наприклад, зміна температури навколишнього середовища, зміна вологості, коливання напруги мережі живлення. Значення додаткової похибки нормується і вказується у технічній документації коштом виміру.

Статична похибка- похибка при вимірі постійної за часом величини. Наприклад, похибка вимірювання постійного за час вимірювання напруги постійного струму.

Динамічна похибка- похибка виміру величини, що змінюється в часі. Наприклад, похибка вимірювання напруги, що комутується постійного струму, обумовлена ​​перехідними процесами при комутації, а також обмеженою швидкодією вимірювального приладу.

Внаслідок похибок, властивих засобу вимірювань, обраного методу та методики вимірювань, відхилення зовнішніх умов, у яких виконується вимір, від встановлених, та інших причин результат практично кожного виміру обтяжений похибкою. Ця похибка обчислюється або оцінюється та приписується отриманому результату.

Похибка результату вимірів(коротко - похибка вимірів) - відхилення результату виміру від справжнього значення вимірюваної величини.

Справжнє значення величини внаслідок похибок залишається невідомим. Його застосовують під час вирішення теоретичних завдань метрології. Насправді користуються дійсним значенням величини, яке замінює справжнє значення.

Похибка виміру (Δх) знаходять за формулою:

x = x змін. - x дійств. (1.3)

де х змін. - Значення величини, отримане на підставі вимірювань; х дійств. - Значення величини, прийняте за дійсне.

За дійсне значення при одноразових вимірах нерідко приймають значення, отримане за допомогою зразкового засобу вимірів, при багаторазових вимірах - середнє арифметичне із значень окремих вимірів, що входять до цього ряду.

Похибки вимірювання можуть бути класифіковані за такими ознаками:

За характером прояви - систематичні та випадкові;

За способом висловлювання - абсолютні та відносні;

За умовами зміни вимірюваної величини - статичні та динамічні;

За способом обробки ряду вимірів - середні арифметичні та середні квадратичні;

За повнотою охоплення вимірювальної задачі - приватні та повні;

По відношенню до одиниці фізичної величини - похибки відтворення одиниці, зберігання одиниці та передачі розміру одиниці.

Систематична похибка виміру(коротко - систематична похибка) - складова похибки результату вимірювання, що залишається постійною для даного ряду вимірювань або закономірно змінюється при повторних вимірах однієї і тієї ж фізичної величини.

За характером прояву систематичні похибки поділяються на постійні, прогресивні та періодичні. Постійні систематичні похибки(коротко - постійні похибки) - похибки, які тривалий час зберігають своє значення (наприклад, протягом усієї серії вимірювань). Це найпоширеніший вид похибки.

Прогресивні систематичні похибки(коротко - прогресивні похибки) - безперервно зростаючі або спадні похибки (наприклад, похибки від зносу вимірювальних наконечників, що контактують у процесі шліфування з деталлю при контролі її приладом активного контролю).

Періодична систематична похибка(коротко - періодична похибка) - похибка, значення якої є функцією часу або функцією переміщення покажчика вимірювального приладу (наприклад, наявність ексцентриситету в кутомірних приладах із круговою шкалою викликає систематичну похибку, що змінюється за періодичним законом).

Виходячи з причин появи систематичних похибок, розрізняють інструментальні похибки, похибки методу, суб'єктивні похибки та похибки внаслідок відхилення зовнішніх умов виміру від встановлених методик.

Інструментальна похибка виміру(коротко - інструментальна похибка) є наслідком ряду причин: зношування деталей приладу, зайве тертя в механізмі приладу, неточне нанесення штрихів на шкалу, невідповідність дійсного та номінального значень міри та ін.

Похибка методу вимірів(коротко - похибка методу) може виникнути через недосконалість методу вимірювань або допущених спрощень, встановлених методикою вимірювань. Наприклад, така похибка може бути обумовлена ​​недостатньою швидкодією застосовуваних засобів вимірювань при вимірюванні параметрів швидкопротікаючих процесів або неврахованими домішками щодо щільності речовини за результатами вимірювання його маси і обсягу.

Суб'єктивна похибка виміру(коротко - суб'єктивна похибка) обумовлена ​​індивідуальними похибками оператора. Іноді цю похибку називають особистою різницею. Вона викликається, наприклад, запізненням або випередженням прийняття оператором сигналу.

Похибка внаслідок відхилення(в один бік) зовнішніх умов виміру від встановлених методикою виміру призводить до виникнення систематичної складової похибки виміру.

p align="justify"> Систематичні похибки спотворюють результат вимірювання, тому вони підлягають виключенню, наскільки це можливо, шляхом введення поправок або юстуванням приладу з доведенням систематичних похибок до допустимого мінімуму.

Невиключена систематична похибка(коротко - невиключена похибка) - це похибка результату вимірювань, обумовлена ​​похибкою обчислення та введення поправки на дію систематичної похибки, або невеликою систематичною похибкою, поправка на дію якої не введена внаслідок дрібниці.

Іноді цей вид похибки називають невиключеними залишками систематичної похибки(коротко – невиключені залишки). Наприклад, при вимірі довжини штрихового метра в довжинах хвиль еталонного випромінювання виявлено кілька невиключених систематичних похибок (i): через неточний вимір температури - 1; через неточне визначення показника заломлення повітря - 2, через неточне значення довжини хвилі - 3 .

Зазвичай враховують суму невиключених систематичних похибок (встановлюють їх межі). При числі доданків N ≤ 3 межі невиключених систематичних похибок обчислюють за формулою

При числі доданків N ≥ 4 для обчислень використовують формулу

(1.5)

де k - Коефіцієнт залежності невиключених систематичних похибок від обраної довірчої ймовірності Р при їх рівномірному розподілі. За Р = 0,99, k = 1,4, за Р = 0,95, k = 1,1.

Випадкова похибка виміру(коротко - випадкова похибка) - складова похибки результату вимірювання, що змінюється випадковим чином (за знаком і значенням) у серії вимірювань одного й того самого розміру фізичної величини. Причини випадкових похибок: похибки округлення під час відліку показань, варіація показань, зміна умов вимірів випадкового характеру та інших.

Випадкові похибки викликають розсіювання результатів вимірів у серії.

В основі теорії похибок лежать два положення, що підтверджуються практикою:

1. При велику кількість вимірів випадкові похибки однакового числового значення, але різного знака, зустрічаються однаково часто;

2. Великі (за абсолютним значенням) похибки зустрічаються рідше, ніж малі.

З першого положення випливає важливий для практики висновок: зі збільшенням числа вимірів випадкова похибка результату, отриманого із серії вимірів, зменшується, оскільки сума похибок окремих вимірів цієї серії прагне нулю, тобто.

(1.6)

Наприклад, в результаті вимірювань отримано ряд значень електричного опору (в які введені поправки на дії систематичних похибок): R 1 = 15,5 Ом, R 2 = 15,6 Ом, R 3 = 15,4 Ом, R 4 = 15, 6 Ом та R 5 = 15,4 Ом. Звідси R = 15,5 Ом. Відхилення від R (R 1 = 0,0; R 2 = +0,1 Ом, R 3 = -0,1 Ом, R 4 = +0,1 Ом і R 5 = -0,1 Ом) є випадковими похибки окремих вимірів у цій серії. Неважко переконатися, що сума R i = 0,0. Це свідчить про те, що похибки окремих вимірів цього ряду обчислені правильно.

Незважаючи на те, що зі збільшенням числа вимірювань сума випадкових похибок прагне нуля (у даному прикладі вона випадково вийшла рівною нулю), обов'язково проводиться оцінка випадкової похибки результату вимірювань. Теоретично випадкових величин характеристикою розсіювання значень випадкової величини служить дисперсія о2. "|/о2 = а називають середнім квадратичним відхиленням генеральної сукупності або стандартним відхиленням.

Воно зручніше, ніж дисперсія, оскільки його розмірність збігається з розмірністю вимірюваної величини (наприклад, значення величини отримано вольтах, середнє квадратичне відхилення теж буде у вольтах). Так як у практиці вимірювань мають справу з терміном "похибка", для характеристики ряду вимірювань слід застосовувати похідний від нього термін "середня квадратична похибка". Характеристикою низки вимірів може бути середня арифметична похибка чи розмах результатів вимірів.

Розмах результатів вимірювань (коротко - розмах) - алгебраїчна різниця найбільшого та найменшого результатів окремих вимірювань, що утворюють ряд (або вибірку) з n вимірювань:

R n = X max – Х min (1.7)

де R n - Розмах; X max та Х min — найбільше та найменше значення величини в даному ряду вимірів.

Наприклад, з п'яти вимірювань діаметра d отвори значення R 5 = 25,56 мм і R 1 = 25,51 мм виявились максимальним та мінімальним його значенням. У цьому випадку R n = d 5 – d 1 = 25,56 мм – 25,51 мм = 0,05 мм. Це означає, що решта похибок даного ряду менше 0,05 мм.

Середня арифметична похибка окремого виміру в серії(коротко - середня арифметична похибка) - узагальнена характеристика розсіювання (внаслідок випадкових причин) окремих результатів вимірювань (однієї і тієї ж величини), що входять до серії з n рівноточних незалежних вимірювань, обчислюється за формулою

(1.8)

де Х і - результат і-го виміру, що входить у серію; х - середнє арифметичне з n значень величини: | Х і - X | - Абсолютне значення похибки i-го виміру; r – середня арифметична похибка.

Справжнє значення середньої арифметичної похибки р визначається із співвідношення

р = lim r, (1.9)

При числі вимірювань n > 30 між середньою арифметичною (r) та середньою квадратичною (s)похибками існують співвідношення

s = 1,25 r; r = 0,80 s. (1.10)

Перевага середньої арифметичної похибки – простота її обчислення. Але все ж таки частіше визначають середню квадратичну похибку.

Середня квадратична похибкаокремого виміру в серії (коротко - середня квадратична похибка) - узагальнена характеристика розсіювання (внаслідок випадкових причин) окремих результатів вимірів (одної і тієї ж величини), що входять до серії прівноточних незалежних вимірів, що обчислюється за формулою

(1.11)

Середня квадратична похибка для генеральної вибірки, що є статистичною межею S, може бути обчислена при /і-мх > за формулою:

Σ = lim S (1.12)

Насправді кількість вимірювань завжди обмежена, тому обчислюється не σ , а її наближене значення (або оцінка), яким є s. Чим більше п,тим s ближче до своєї межі σ .

За нормального закону розподілу ймовірність того, що похибка окремого виміру в серії не перевищить обчислену середню квадратичну похибку, невелика: 0,68. Отже, у 32 випадках зі 100 або 3 випадках з 10 дійсна похибка може бути більшою за обчислену.

Малюнок 1.2 Зменшення значення випадкової похибки результату багаторазового виміру зі збільшенням числа вимірів у серії

У серії вимірювань існує залежність між середньою квадратичною похибкою окремого виміру s і середньою квадратичною похибкою середнього арифметичного S x:

яку нерідко називають "правилом У n". З цього правила випливає, що похибка вимірювань внаслідок дії випадкових причин може бути зменшена в n разів, якщо виконувати n вимірювань одного розміру будь-якої величини, а за остаточний результат набувати середнього арифметичного значення (рис. 1.2).

Виконання не менше 5 вимірів у серії дає змогу зменшити вплив випадкових похибок більш ніж у 2 рази. При 10 вимірах вплив випадкової похибки зменшується втричі. Подальше збільшення кількості вимірів який завжди економічно доцільно і, зазвичай, здійснюється лише за відповідальних вимірах, потребують високої точності.

Середня квадратична похибка окремого виміру з ряду подвійних однорідних вимірів S α обчислюється за формулою

(1.14)

де x "i і х"" i - і-і результати вимірювань одного розміру величини при прямому та зворотному напрямках одним засобом вимірювань.

При нерівноточних вимірах середню квадратичну похибку середнього арифметичного в серії визначають за формулою

(1.15)

де p i - Вага і-го вимірювання в серії нерівноточних вимірювань.

Середню квадратичну похибку результату непрямих вимірів величини Y, що є функцією Y = F (X 1 , X 2 , X n), обчислюють за формулою

(1.16)

де S 1 , S 2 , S n - Середні квадратичні похибки результатів вимірювань величин X 1 , X 2 , X n .

Якщо для більшої надійності отримання задовільного результату проводять кілька серій вимірів, середню квадратичну похибку окремого виміру з m серій (S m) знаходять за формулою

(1.17)

Де n – число вимірів у серії; N - загальна кількість вимірювань у всіх серіях; m – число серій.

При обмеженій кількості вимірювань часто необхідно знати похибку середньої квадратичної похибки. Для визначення похибки S, що обчислюється за формулою (2.7), і похибки S m , що обчислюється за формулою (2.12), можна скористатися такими виразами

(1.18)

(1.19)

де S і S m - Середні квадратичні похибки відповідно S і S m .

Наприклад, при обробці результатів низки вимірювань довжини х отримані

= 86 мм 2 при n = 10

= 3,1 мм

= 0,7 мм або S = ±0,7 мм

Значення S = ±0,7 мм означає, що через похибку обчислення s знаходиться в межах від 2,4 до 3,8 мм, отже, десяті частки міліметра тут ненадійні. У розглянутому випадку слід записати: S = ±3 мм.

Щоб мати велику впевненість щодо оцінки похибки результату вимірювань, обчислюють довірчу похибку чи довірчі межі похибки. При нормальному законі розподілу довірчі межі похибки обчислюють як ±t-s або ±t-s x , де s та s x — середні квадратичні похибки відповідно до окремого виміру в серії та середнього арифметичного; t - число, що залежить від довірчої ймовірності Р та числа вимірювань n.

Важливим поняттям є надійність результатів вимірів (α), тобто. ймовірність того, що значення вимірюваної величини потрапить в даний довірчий інтервал.

Наприклад, під час обробки деталей на верстатах у стійкому технологічному режимі розподіл похибок підпорядковується нормальному закону. Припустимо, що встановлено допуск на довжину деталі, що дорівнює 2а. У цьому випадку довірчим інтервалом, в якому знаходиться значення довжини деталі а, що шукається, буде (а - а, а + а).

Якщо 2a = ±3s, то надійність результату a = 0,68, тобто у 32 випадках зі 100 слід очікувати виходу розміру деталі за допуск 2а. При оцінюванні якості деталі з допуску 2a = ±3s надійність результату становитиме 0,997. У цьому випадку очікується виходу за встановлений допуск лише трьох деталей з 1000. Однак збільшення надійності можливе лише при зменшенні похибки довжини деталі. Так, підвищення надійності з a = 0,68 до a = 0,997 похибка довжини деталі необхідно зменшити втричі.

Останнім часом набув широкого поширення термін «достовірність вимірів». У деяких випадках він необґрунтовано застосовується замість терміна «точність вимірів». Наприклад, у деяких джерелах можна зустріти вираз «встановлення єдності та достовірності вимірів у країні». Тоді як правильніше сказати «встановлення єдності та необхідної точності вимірів». Достовірність нами сприймається як якісна характеристика, що відбиває близькість до нулю випадкових похибок. Кількісно вона може бути визначена через недостовірність вимірів.

Недостовірність вимірів(коротко - недостовірність) - оцінка розбіжності результатів у серії вимірювань внаслідок впливу сумарного впливу випадкових похибок (визначуваних статистичними та нестатистичними методами), що характеризується областю значень, в якій знаходиться справжнє значення вимірюваної величини.

Відповідно до рекомендацій Міжнародного бюро заходів та ваг недостовірність виражається у вигляді сумарної середньої квадратичної похибки вимірювань - Su включає середню квадратичну похибку S (визначувану статистичними методами) і середню квадратичну похибку u (визначається нестатистичними методами), тобто.

(1.20)

Гранична похибка виміру(коротко – гранична похибка) – максимальна похибка виміру (плюс, мінус), ймовірність якої не перевищує значення Р, при цьому різниця 1 – Р незначна.

Наприклад, за нормального закону розподілу ймовірність появи випадкової похибки, що дорівнює ±3s, становить 0,997, а різниця 1-Р = 0,003 незначна. Тож у багатьох випадках довірчу похибку ±3s, приймають за граничну, тобто. пр = ±3s. У разі потреби пр може мати й інші співвідношення з s при досить великому Р (2s, 2,5s, 4s і т.д.).

У зв'язку з тим, у стандартах ДСМ замість терміна «середня квадратична похибка» застосовано термін «середнє квадратичне відхилення», у подальших міркуваннях ми дотримуватимемося саме цього терміна.

Абсолютна похибка виміру(коротко - абсолютна похибка) - похибка виміру, виражена в одиницях вимірюваної величини. Так, похибка Х вимірювання довжини деталі Х, виражена в мікрометрах, є абсолютною похибкою.

Не слід плутати терміни "абсолютна похибка" і "абсолютне значення похибки", під яким розуміють значення похибки без урахування знака. Тож якщо абсолютна похибка виміру дорівнює ±2мкВ, то абсолютне значення похибки буде 0,2 мкВ.

Відносна похибка виміру(коротко - відносна похибка) - похибка виміру, виражена в частках значення вимірюваної величини або у відсотках. Відносну похибку δ знаходять із відносин:

(1.21)

Наприклад, є дійсне значення довжини деталі x = 10,00 мм і абсолютне значення похибки x = 0,01 мм. Відносна похибка становитиме

Статична похибка- Похибка результату вимірювання, обумовлена ​​умовами статичного вимірювання.

Динамічна похибка- Похибка результату вимірювання, обумовлена ​​умовами динамічного вимірювання.

Похибка відтворення одиниці- Похибка результату вимірювань, що виконуються при відтворенні одиниці фізичної величини. Так, похибка відтворення одиниці з допомогою національного зразка вказують як її складових: невиключеної систематичної похибки, характеризується її кордоном; випадковою похибкою, що характеризується середнім квадратичним відхиленням s та нестабільністю за рік ν.

Похибка передачі розміру одиниці- Похибка результату вимірювань, що виконуються при передачі розміру одиниці. У похибку передачі розміру одиниці входять невиключені систематичні похибки та випадкові похибки методу та засобів передачі розміру одиниці (наприклад, компаратора).