Що таке графік лінійного рівняння. Графік лінійного рівняння із двома змінними

Визначення: ax + by + c = 0, де a, b і c – числа (також їх називають коефіцієнти), причому a та b не дорівнюють нулю, x та y – змінні, називають лінійним рівнянням із рівняння вигляду двома змінними. Приклад 1: 5 x – 2 y + 10 = 0 – лінійне рівняння із двома змінними: a = 5, b = -2, c = 10, x та y – змінні. Приклад 2: – 4 x = 6 y – 14 – також є лінійним рівнянням із двома змінними. Якщо перенести всі члени рівняння в ліву частину, то отримаємо це ж рівняння, записане в загальному вигляді: – 4 x – 6 y + 14 = 0, де а = – 4, b = – 6, c = 14, x та y – змінні. Загальним видом лінійного рівняння із двома змінними називають запис: ax + by + c = 0, коли всі члени рівняння записані у лівій частині від знака = , а правій частині записаний нуль. Приклад 3: 3 z – 5 w + 15 = 0 – також є лінійним рівнянням із двома змінними. У разі змінними є z і w. Як змінні замість x і y можуть бути будь-які літери латинського алфавіту.

Таким чином, лінійним рівнянням з двома змінними можна назвати будь-яке рівняння, що містить дві змінні, за винятком двох випадків: 1. Коли змінні в рівнянні зведені в ступінь, відмінний від першої! Приклад 1: -5 x 2 + 3 y + 9 = 0 не є лінійним рівнянням, оскільки змінна x у другому ступені. Приклад 2: 6 x – y 5 + 12 = 0 – перестав бути лінійним рівнянням, оскільки змінна у п'ятої степени. 2. Коли рівняння містить змінну у знаменнику! Приклад 3: 2 x + 3/y + 18 = 0 – не є лінійним рівнянням, оскільки змінна у міститься у знаменнику. Приклад 4: 1/x – 2/y + 3 = 0 – не є лінійним рівнянням, оскільки змінні х і у містяться у знаменнику.

Визначення: Рішенням лінійного рівняння з двома змінними ax + by + c = 0 називається будь-яка пара чисел (х; у), яка, при підстановці на дане рівняння, перетворює його на правильну рівність. Приклад 1: Для лінійного рівняння 5 x – 2 y + 10 = 0 розв'язком є ​​пара чисел (-4; -5). У цьому легко переконатися, якщо підставити в рівняння х = -4 і у = -5: 5 · (-4) - 2 · (-5) + 10 = 0 -20 + 20 = 0 - правильна рівність. Приклад 2: Для того ж рівняння 5 x – 2 y + 10 = 0 пара чисел (1; 4) не є розв'язком: 5·1 – 2·4 + 10 = 0 5 – 8 + 10 = 0 7 = 0 – не правильне рівність.

Для будь-якого лінійного рівняння з двома змінними можна підібрати нескінченну кількість пар чисел (х; у), які будуть його рішеннями. Справді, для лінійного рівняння з попереднього прикладу 5 x – 2 y + 10 = 0, окрім пари чисел (-4; -5), рішеннями будуть пари чисел: (0; 5), (-2; 0), (2 10), (-3; -2, 5), (-1; 2, 5) і т. д. Такі пари чисел можна підбирати нескінченно. Примітка: Вирішення лінійного рівняння з двома змінними записується в круглих дужках, причому на першому місці завжди записується значення змінної х, а на другому місці завжди записується значення змінної у!

Графіком лінійного рівняння із двома змінними ax + by + c = 0 є пряма лінія. Наприклад: графік рівняння 2 х + у – 2 = 0 виглядає, як показано на малюнку. Всі точки прямої лінії на графіку є рішеннями для даного лінійного рівняння. Графік лінійного рівняння з двома змінними є геометричною моделлю цього рівняння: таким чином, за допомогою графіка, можна зобразити безліч рішень лінійного рівняння з двома змінними.

Як побудувати графік лінійного рівняння ax + by + c = 0? Запишемо план дій: 1. Задати прямокутну систему координат для того, щоб зобразити всі рішення лінійного рівняння (х; у), ми скористаємося прямокутною системою координат, де по осі Ох ми відкладатимемо значення змінної х, а по осі Оу – значення змінної у . 2. Підібрати дві пари чисел: (х1; у1) і (х2; у2), які є рішеннями для даного лінійного рівняння Насправді ми можемо підбирати скільки завгодно рішень (х; у), всі вони будуть лежати на одній прямій. Але для того, щоб провести пряму – графік лінійного рівняння, нам достатньо двох таких рішень, адже ми знаємо, що через дві точки можна провести тільки одну пряму. Підібрані рішення прийнято записувати у вигляді таблиці: х х1 х2 у у1 у2 3. Зобразити точки (х1; у1) та (х2; у2) у прямокутній системі координат. Провести через ці дві точки пряму лінію – вона буде графіком рівняння ax + by + c = 0.

Приклад: збудуємо графік лінійного рівняння 5 x – 2 y + 10 = 0: 1. Задамо прямокутну систему координат х. Оу: 2. Підберемо два рішення для нашого рівняння та запишемо їх -4 -2 х до таблиці: у -5 0 Для рівняння 5 x – 2 y + 10 = 0 рішеннями є, наприклад, пари чисел: (-4; - 5) та (-2; 0) (див. слайд 5). Запишемо їх у таблицю. Примітка: пара чисел (2; 10) також є рішенням для нашого рівняння (див. слайд 5), але координату у = 10 в нашій системі координат будувати незручно, так як у нас по осі угору відкладено всього 7 клітинок, а продовжити вісь місця немає. Тому: щоб побудувати графік лінійного рівняння, з усієї нескінченної множини рішень, ми підбираємо такі пари чисел (х; у), які зручніше побудувати в прямокутній системі координат!

Приклад: побудуємо графік лінійного рівняння 5 x – 2 y + 10 = 0: х -4 -2 у -5 0 3. Будуємо графік: Побудуємо в системі координат точку (-4; -5): По осі х відкладаємо координату -4 По осі відкладаємо координату -5 На перетині координат отримуємо першу точку. Аналогічно будуємо точку з координатами (-2; 0): По осі х відкладаємо координату -2 По осі у відкладаємо координату 0 На перетині координат отримуємо другу точку. -4 -2 0 -5 Через дві точки проводимо пряму – графік лінійного рівняння 5 x – 2 y + 10 = 0

Лінійна функція. Якщо з лінійного рівняння ax + by + c = 0 виразити змінну у, тобто переписати рівняння у вигляді, де у лівій частині рівняння, а все інше в правій: ax + by + c = 0 – перенесемо ax і c у праву частину by = – ax – с – виразимо у у = (– ax – с) : b, де b ≠ 0 у = – a/b · х – с/b, позначимо – a/b = k та – с/b = m y = kx + m – отримали простіший запис лінійного рівняння з двома змінними. Таким чином, лінійне рівняння із двома змінними, записане у вигляді: y = kx + m, де змінні, k та m – коефіцієнти, називається лінійною функцією. хіу-Змінна х - називається незалежною змінною або аргументом. Змінна у називається залежною змінною або значенням функції.

Графік лінійної функції. Оскільки лінійна функція - це окремий вид лінійного рівняння з двома змінними, а графіком лінійного рівняння є пряма лінія, можна зробити такий висновок: графіком лінійної функції y = kx + m є пряма лінія. Як побудувати графік лінійної функції? Задаємо прямокутну систему координат. Знаходимо пари чисел: (х1; у1) і (х2; у2), х х1 х2 є рішеннями для лінійної у у1 у2 функції і записуємо в таблицю. Для того, щоб знайти рішення лінійної функції, не обов'язково підбирати їх в умі, як ми це робили для лінійного рівняння. Потрібно надати змінній х конкретні значення х1 і х2, і, підставивши їх по черзі до функції, порахувати значення у1 = kx 1 + m і у2 = kx 2 + m. Примітка: змінній х можна надавати абсолютно будь-які значення, але доцільно брати такі числа, які нам зручно буде будувати у прямокутній системі координат, наприклад, числа 0, 1, -1. 3. Будуємо точки (х1; у1) та (х2; у2), і проводимо через них пряму лінію – це і буде графік лінійної функції.

Приклад 1: побудуємо графік лінійної функції у = 0, 5 х + 4: 1. Задамо прямокутну систему координат. 2. Заповнимо табличку: х 0 -2 у 4 3 Надамо змінній х конкретні значення х1 і х2: зручніше взяти х1 = 0, так як з нулем легше вважати, отримуємо: у1 = 0, 5 · 0 + 4 = 4 х2 можна взяти рівним 1, але тоді у2 отримаємо дрібне число: 0, 5 · 1 + 4 = 4, 5 - його незручно будувати на координатній площині, зручніше взяти х2 рівним 2 або -2. Нехай х2 = -2 отримуємо: у2 = 0, 5 · (-2) + 4 = -1 + 4 = 3 4 3 -2 0 3. Побудуємо на координатній площині точки (0; 4) і (-2; 3) ) проведемо через ці точки пряму лінію – отримаємо графік лінійної функції у = 0, 5 х + 4

Приклад 2: побудуємо графік лінійної функції у = -2 х + 1: 1. Задамо прямокутну систему координат. 2. Заповнимо табличку: х 0 1 у 1 -1 Надамо змінній х конкретні значення х1 і х2: наприклад х1 = 0, отримуємо: у1 = -2 · 0 + 1 = 1 1 1 -1 0 нехай х2 = 1, отримуємо: у2 = -2 · 1 + 1 = -2 + 1 = -1 3. Побудуємо на координатній площині точки (0; 1) і (1; -1) проведемо через ці точки пряму лінію – отримаємо графік лінійної функції у = -2 х + 1

Приклад 3: побудуйте графік лінійної функції у = -2 х + 1 і знайдіть найбільше і найменше значення функції на відрізку [-2; 3] 1. Побудуємо графік функції (див. попередній слайд). Значення функції – це значення змінної у. Таким чином, потрібно знайти у найбільше і найменше, якщо змінна х найменше може приймати значення тільки з проміжку [-2; 3]. 2. Зазначимо на осі Ох відрізок [-2; 3] 3. Через кінці відрізка проводимо прямі, паралельні осі Оу, Оу відзначаємо точки перетину цих прямих із графіком. Так як за умовою у нас дано відрізок, то крапки малюємо зафарбовані! 5 - найбільше 1 1 -2 0 3 найменше - -5 4. Знаходимо ординати одержаних точок: у = 5 і у = -5. -5 Очевидно, що найбільшим значенням у проміжку [-5; 5] є у = 5, а 5 найменшим - у = -5. -5

Варіант 3. Завдання № 1: побудуйте графік лінійної функції у = 1/2 х – 2. 1. Задамо прямокутну систему координат. 2. Заповнимо табличку: х 0 2 у -2 -1 Надамо змінній х конкретні значення х1 і х2: наприклад х1 = 0, отримуємо: у1 = 1/2 · 0 - 2 = -2 нехай х2 = 2, отримуємо: у2 = 1/2 · 2 – 2 = 1 – 2 = -1 0 2 -1 -2 3. Побудуємо на координатній площині точки (0; -2) та (2; -1) проведемо через ці точки пряму лінію – отримаємо графік лінійної функції у = 1/2 х – 2

Завдання № 1: За допомогою графіка знайдіть: а) найменше та найбільше значення функції на відрізку [-2; 4] Значення функції – це змінної у. Таким чином, потрібно знайти у найбільше і найменше, якщо змінна х найменше може приймати значення тільки з проміжку [-2; 4]. 1. Зазначимо на осі Ох відрізок [-2; 4] 2. Через кінці відрізка до перетину з графіком проводимо прямі, паралельні осі Оу. Оу Відзначаємо точки перетину цих прямих із графіком. Так як за умовою у нас дано відрізок, то крапки малюємо зафарбовані! найбільше - 0 -2 -1 -2 2 4 -3 - найменше 3. Знаходимо ординати одержаних точок: у = 0 і у = -3. -3 Очевидно, що найбільшим значенням у з проміжку [-3; 0] є у = 0, а найменшим - у = -3. -3

Завдання № 1: За допомогою графіка знайдіть: а) найменше та найбільше значення функції на відрізку [-2; 4] Примітка: за графіком не завжди можна точно визначити координати тієї чи іншої точки, це пов'язано з тим, що розміри клітинок у зошиті можуть бути не ідеально рівними, або ми можемо трохи криво провести пряму через дві точки. А результатом такої похибки можуть бути неправильно знайдені найбільше та найменше значення функції. Тому: якщо ми знаходимо координати тих чи інших точок за графіком, обов'язково після робимо перевірку, підставивши знайдені координати рівняння функції! Перевірка: підставимо координати хнаїм. = -2 і унаїм. = -3 на функцію у = 1/2 х – 2: -3 = 1/2 · (-2) – 2 -3 = -1 – 2 -3 = -3 – правильно. Підставимо координати хнаїб. = 4 і унаїб. = 0 на функцію у = 1/2 х – 2: 0 = 1/2 · 4 – 2 0=2– 2 0 = 0 – правильно. Відповідь: унаїб = 0, унаїм = -3

Завдання № 1: За допомогою графіка знайдіть: б) значення змінної х, при яких у ≤ 0. На координатній площині всі значення змінної у - менші за нуль, розташовані нижче осі Ох. Таким чином, для того, щоб вирішити нерівність у ≤ 0, потрібно 0 розглянути частину графіка, 2 розташовану нижче осі Ох і з 4 -∞ 0 допомогою проміжку записати які при цьому значення набуває -1 змінна х. -2 1. Відзначимо частину графіка, розташовану нижче осі Ох 2. Зазначимо точку перетину графіка з віссю Ох, Ох це точка з координатою х = 4. Так як ми маємо не сувору нерівність «≤», то точка має бути зафарбована! 3. Зазначаємо частину осі Ох, що відповідає виділеній частині графіка, це і Ох буде шукана область. Записуємо відповідь: х належить проміжку (-∞; 4] – дужка квадратна, тому що за умови нерівність не строга «≤» !

Завдання № 2: Знайдіть координати точки перетину прямих у = 3 х і у = -2 х - 5 Це завдання можна вирішити двома способами. 1 спосіб - графічний: Побудуємо графіки даних лінійних функцій в одній координатній площині: 1. Задамо прямокутну систему координат. 2. Заповнимо 0 х табличку для 0 у функції у = 3 х візьмемо х1 = 0, отримуємо: у1 = 3 · 0 = 0 3 1 3 візьмемо х2 = 1, отримуємо: у2 = 3 · 1 = 3 3. Побудуємо на координатній площині точки (0; 0) та (1; 3) проведемо через ці точки графік – пряму лінію. 0 1

Завдання № 2: Знайдіть координати точки перетину прямих у = 3 х і у = -2 х - 5 4. Заповнимо 0 -1 х табличку для -5 -3 функції у = -2 х - 5 у візьмемо х1 = 0, отримуємо: у1 = -2 · 0 - 5 = -5 візьмемо х2 = -1, отримуємо: у2 = -2 · (-1) - 5 = 2 - 5 = -3 5. Побудуємо на координатній площині точки (0; -5) і (-1; -3) 3 -1 0 1 -3 проведемо через ці точки графік -5 6. Знаходимо абсцису та ординату точки перетину отриманих графіків: х = -1 та у = -3. -3 Зауваження: якщо ми вирішуємо графічним способом, то, як тільки ми зауваження знайшли абсцису та ординату точки перетину графіків, обов'язково потрібно зробити перевірку, підставивши знайдені координати в обидва рівняння! Перевірка: для у = 3 х: -3 = 3 · (-1) для у = -2 х - 5: -3 = -2 · (-1) - 5 -3 = -3 - вірно Відповідь: (-1 ;-3)

Завдання № 2: Знайдіть координати точки перетину прямих у = 3 х і у = -2 х - 5 2 спосіб - аналітичний: Нехай дані прямі перетинаються в точці А (х; у), координати х і у якої ми повинні знайти. Розглянемо функції у = 3 х і у = -2 х – 5 – як лінійні рівняння із двома змінними. Так як обидві прямі проходять через точку А, то координати цієї точки: пара чисел (х; у) - є рішенням для обох рівнянь, тобто нам потрібно підібрати таку пару чисел (х; у), щоб при підстановці і перше, і у друге рівняння, вийшла вірна рівність. А знайдемо ми цю пару чисел так: оскільки ліві частини рівнянь рівні у = у, то, відповідно, ми можемо прирівняти праві частини цих рівнянь: 3 х = -2 х – 5. Запис 3 х = -2 х – 5 – це лінійне рівняння з однією змінною, розв'яжемо його і знайдемо змінну х: Рішення: 3 х = -2 х - 5 3 х + 2 х = -5 5 х = -5: 5 х = -1 Отримали х = -1. Тепер залишилося тільки підставити х = -1 у будь-яке рівняння і знайти змінну у. Зручніше підставити перше рівняння у = 3 х, отримуємо: у = 3 · (-1) = -3 Отримали точку А з координатами (-1; -3). Відповідь: (-1; -3)

Завдання № 3: а) Знайдіть координати точок перетину графіка лінійного рівняння 3 х + 5 у + 15 = 0 з осями координат Графіком лінійного рівняння, як ви вже знаєте, є пряма лінія, і вона може перетинати координатні осі Ох та Оу в одній точці якщо проходить через початок координат, і ця точка (0; 0); або двох точках: 1. (х; 0) – точка перетину графіка з віссю Ох 2. (0; у) – точка перетину графіка з віссю Оу. Знайдемо ці точки: 1. Підставимо в рівняння значення у = 0, отримаємо: 3 х + 5 · 0 + 15 = 0 - Розв'яжемо це рівняння і знайдемо х. 3 х + 15 = 0 3 х = -15 Отримали точку з координатами: (-5; 0) – це точка перетину х = -15: 3 графіки з віссю Ох х = -5 2. Підставимо в рівняння значення х = 0, отримаємо: 3 · 0 + 5 у + 15 = 0 - Розв'яжемо це рівняння і знайдемо у. 5 у + 15 = 0 5 у = -15 Отримали точку з координатами: (0; -3) – це точка перетину у = -15: 5 графіка з віссю Оу у = -3 Відповідь: (-5; 0) та ( 0;-3)

Завдання № 3: б) Визначте, чи належить графіку рівняння 3 х + 5 у + 15 = 0 точка С(1/3; -3, 2) Якщо точка С(1/3; -3, 2) належить графіку даного рівняння , то вона є для цього рівняння рішенням, тобто при підстановці рівняння значень х = 1/3 і у = -3, 2 має вийти правильну рівність! В іншому випадку, якщо правильної рівності не виходить, ця точка не належить до графіка даного рівняння. Підставимо в рівняння х = 1/3 та у = -3, 2 і перевіримо: 3 · 1/3 + 5 · (-3, 2) + 15 = 0 1 - 16 + 15 = 0 - 15 + 15 = 0 0 = 0 - правильна рівність. Отже, точка З належить графіку рівняння 3 х + 5 у + 15 = 0 Відповідь: точка С(1/3; -3, 2) належить графіку рівняння 3 х + 5 у + 15 = 0

Завдання № 4: а) Задайте лінійну функцію у = kx формулою, якщо відомо, що її графік паралельний прямий 6 х – у – 5 = 0. б) Визначте, зростає чи зменшується задана вами лінійна функція. Теорема про взаємне розташування графіків лінійних функцій: Дано дві лінійні функції у = k 1 x + m 1 і y = k 2 x + m 2: Якщо k 1 = k 2 , при цьому m 1 ≠ m 2 , то графіки цих функцій – паралельні. Якщо k 1 ≠ k 2 і m 1 ≠ m 2 то графіки цих функцій – перетинаються. Якщо k 1 = k 2 і m 1 = m 2 то графіки цих функцій - збігаються. а) По теоремі про взаємне розташування графіків лінійних функцій: якщо прямі у = kx і 6 х – у – 5 = 0 – паралельні, то коефіцієнт k функції у = kx, kx дорівнює коефіцієнту k функції 6 х – у – 5 = 0. 0 Наведемо рівняння 6 х – у – 5 = 0 до виду лінійної функції та випишемо його коефіцієнти: 6 х – у – 5 = 0 – перенесемо -у вправо, отримаємо: 6 х – 5 = у або у = 6 х – 5 , k = 6, m = - 5. 6 5 Отже, функція у = kx має вигляд: у = 6 х. 6 х б) Функція зростає якщо k > 0 і зменшується, якщо k 0! 0 Відповідь: y = 6 x, функція зростає. 6 x

Завдання № 5: При якому значенні p розв'язком рівняння 2 px + 3 y + 5 p = 0 є пара чисел (1, 5; -4)? Так як пара чисел (1, 5; -4) є рішенням для даного рівняння, то підставимо в рівняння 2 px + 3 y + 5 p = 0 значення х = 1, 5 і у = -4 отримаємо: 2 p · 1 , 5 + 3 · (-4) + 5 p = 0 – виконаємо множення 3 p – 12 + 5 p = 0 – розв'яжемо дане рівняння і знайдемо p 3 p + 5 p = 12 8 p = 12: 8 p = 1, 5 Отже, при p = 1, 5 розв'язуванням рівняння 2 px + 3 y + 5 p = 0 є пара чисел (1, 5; -4) Перевірка: при p = 1, 5 отримуємо рівняння: 2·1, 5 х + 3 у + 5 · 1, 5 = 0 3 х + 3 у + 7, 5 = 0 - підставимо в дане рівняння х = 1, 5 і у = -4, отримаємо: 3 · 1, 5 + 3 · (-4 ) + 7, 5 = 0 4, 5 - 12 + 7, 5 = 0 0 = 0 - правильно. Відповідь: p = 1, 5

МЕТА:1) Познайомити учнів із поняттям «рівняння із двома змінними»;

2) Навчити визначати ступінь рівняння із двома змінними;

3) Навчити визначати за заданою функцією, яка фігура є графіком

даного рівняння;

4) Розглянути перетворення графіків із двома змінними;

заданому рівнянню з двома змінними, використовуючи програму Agrapher;

6) Розвивати логічне мислення учнів.

I.Новий матеріал – пояснювальна лекція з елементами бесіди.

(лекція проводиться з використанням авторських слайдів; побудова графіків виконано у програмі Agrapher)

У: Під час вивчення ліній виникають дві задачи:

По геометричним властивостям цієї лінії визначити її рівняння;

Зворотне завдання: за заданим рівнянням лінії дослідити її геометричні властивості.

Перше завдання ми розглядали в курсі геометрії стосовно кола та прямої.

Сьогодні ми розглядатимемо зворотне завдання.

Розглянемо рівняння виду:

а) х(х-у) = 4;б) 2у-х 2 =-2 ; в) х(х+у 2 ) = х +1.

– це приклади рівнянь із двома змінними.

Рівняння з двома змінними хі у має вигляд f(x,y)=(x,y), де fі - Вирази зі змінними хі у.

Якщо у рівнянні х(х-у) = 4підставити замість змінної хїї значення -1, а замість у- Значення 3, то вийде правильна рівність: 1 * (-1-3) = 4,

Пара (-1; 3) значень змінних хі ує рішенням рівняння х(х-у) = 4.

Тобто рішенням рівняння з двома змінними називають безліч упорядкованих пар значень змінних, що утворюють це рівняння у правильну рівність.

Рівняння з двома змінними має, як правило, безліч рішень. Виняткистановлять, наприклад, такі рівняння, як х 2 +(у 2 - 4) 2 = 0 або

2х 2 + у 2 = 0 .

Перше має два рішення (0; -2) і (0; 2), друге – одне рішення (0;0).

Рівняння х 4 + у 4 +3 = 0 взагалі немає рішень. Цікавим є, коли значеннями змінних у рівнянні служать цілі числа. Вирішуючи такі рівняння із двома змінними, знаходять пари цілих чисел. У таких випадках говорять, що рівняння вирішено цілими числами.

Два рівняння, що мають одне й теж безліч рішень, називають рівносильними рівняннями. Наприклад, рівняння х(х + у 2) = х + 1 є рівняння третього ступеня, оскільки його можна перетворити на рівняння ху 2 + х 2 - х-1 = 0, права частина якого - багаточлен стандартного виду третього ступеня.

Ступенем рівняння з двома змінними, представленого у вигляді F(х, у) = 0, де F(х,у)-багаточлен стандартного виду називають ступінь багаточлена F(х, у).

Якщо всі рішення рівняння з двома змінними зобразити точками координатної площині, то вийде графік рівняння з двома змінними.

Графікомрівняння з двома змінними називається безліч точок, координати яких є рішеннями цього рівняння.

Так, графік рівняння ax + by + c = 0є прямою, якщо хоча б один з коефіцієнтів aабо b не дорівнює нулю (рис.1). Якщо a = b = c = 0, то графіком цього рівняння є координатна площина (рис.2), якщо ж a = b = 0, а c0, то графіком є порожня множина (рис.3).

Графік рівняння y = a х 2 + by + cє параболою (рис.4), графік рівняння xy = k (k0) – гіперболу (рис.5). Графіком рівняння х 2 + у 2 = r, де x та y – змінні, r – позитивне число, є колоз центром на початку координат і радіусом рівним r(Рис.6). Графіком рівняння є еліпс, де aі b- Велика і мала півосі еліпса (рис.7).

Побудова графіків деяких рівнянь полегшується використанням їх перетворень. Розглянемо перетворення графіків рівнянь із двома зміннимита сформулюємо правила, за якими виконуються найпростіші перетворення графіків рівнянь

1) Графік рівняння F(-x, y) = 0 виходить із графіка рівняння F(x, y) = 0 за допомогою симетрії щодо осі у.

2) Графік рівняння F(x, -y) = 0 виходить із графіка рівняння F(x, y) = 0 за допомогою симетрії щодо осі х.

3) Графік рівняння F(-x, -y) = 0 виходить із графіка рівняння F(x, y) = 0 за допомогою центральної симетрії щодо початку координат.

4) Графік рівняння F(x-а, y) = 0 виходить із графіка рівняння F(x, y) = 0 за допомогою переміщення паралельно осі х на |a| одиниць (вправо, якщо a> 0, і вліво, якщо а < 0).

5) Графік рівняння F (x, y-b) = 0 виходить із графіка рівняння F (x, y) = 0 за допомогою переміщення на | b | одиниць паралельно осі у(вгору, якщо b> 0 і вниз, якщо b < 0).

6) Графік рівняння F(аx, y) = 0 виходить із графіка рівняння F(x, y) = 0 за допомогою стиснення до осі у і а раз, якщо а> 1, і за допомогою розтягування від осі у раз, якщо 0< а < 1.

7) Графік рівняння F(x, by) = 0 виходить із графіка рівняння F(x, y) = 0 за допомогою за допомогою стиснення до осі х в bраз, якщо b> 1 і за допомогою розтягування від осі x в раз, якщо 0 < b < 1.

Якщо графік деякого рівняння повернути деякий кут біля початку координат, то новий графік буде графіком іншого рівняння. Важливими є окремі випадки повороту на кути 90 0 і 45 0 .

8) Графік рівняння F (x, y) = 0 в результаті повороту біля початку координат на кут 90 0 за годинниковою стрілкою переходить до графіка рівняння F (-y, x) = 0, а проти годинникової стрілки – до графіка рівняння F (y , -x) = 0.

9) Графік рівняння F (x, y) = 0 в результаті повороту біля початку координат на кут 45 0 за годинниковою стрілкою переходить до графіка рівняння F = 0, а проти годинникової стрілки – до графіка рівняння F = 0.

З розглянутих нами правил перетворення графіків рівнянь із двома змінними легко виходять правила перетворення графіків функцій.

Приклад 1. Покажемо, що графік рівняння х 2 + у 2 + 2х - 8у + 8 = 0є коло (рис.17).

Перетворимо рівняння так:

1) згрупуємо доданки, що містять змінну хі містять змінну у, і представимо кожну групу доданків у вигляді повного квадрата тричлена: (х 2 + 2х + 1) + (у 2 -2 * 4 * у + 16) + 8 - 1 - 16 = 0;

2) запишемо у вигляді квадрата суми (різниці) двох виразів отримані тричлени: (х + 1) 2 + (у - 4) 2 - 9 = 0;

3) проаналізуємо, згідно з правилами перетворення графіків рівнянь з двома змінними, рівняння (х + 1) 2 + (у – 4) 2 = 3 2: графіком даного рівняння є коло з центром у точці (-1; 4) та радіусом 3 одиниці .

Приклад 2. Побудуємо графік рівняння х 2 + 4у 2 = 9 .

Представимо 4у 2 у вигляді (2у) 2 отримаємо рівняння х 2 + (2у) 2 = 9, графік якого можна отримати з кола х 2 + у 2 = 9 стисненням до осі х в 2 рази.

Накреслимо коло з центром на початку координат та радіусом 3 одиниці.

Зменшимо у 2 рази відстань кожної її точки від осі Х, отримаємо графік рівняння

х 2 + (2у) 2 = 9.

Ми отримали фігуру за допомогою стиснення кола до одного з її діаметрів (до діаметра, що лежить на осі Х). Таку фігуру називають еліпсом (рис.18).

Приклад 3. З'ясуємо, що є графік рівняння х 2 - у 2 = 8.

Скористаємося формулою F=0.

Підставимо на дане рівняння замість Х і замість У, отримаємо:

У: Що таке графік рівняння у = ?

Д: Графік рівняння у = є гіпербола.

У: Ми перетворили рівняння виду х 2 - у 2 = 8 на рівняння у = .

Яка лінія буде графіком цього рівняння?

Д: Значить, і графік рівняння х 2 - у 2 = 8 є гіпербола.

Які прямі є асимптотами гіперболи у = .

Д: Асимптотами гіпербол у = є прямі у = 0 і х = 0.

У: При виконаному повороті ці прямі перейдуть у прямі = 0 = 0, тобто в прямі у = х і у = - х. (Рис.19).

Приклад 4: З'ясуємо, який вид набуде рівняння у = х 2 параболи при повороті біля початку координат на кут 900 за годинниковою стрілкою.

Використовуючи формулу F (-у; х) = 0, замінимо в рівнянні у = х 2 змінну х на - у, а змінну у на х. Отримаємо рівняння х = (-у) 2, тобто х = у 2 (рис.20).

Ми розглянули приклади графіків рівнянь другого ступеня з двома змінними та з'ясували, що графіками таких рівнянь можуть бути парабола, гіпербола, еліпс (зокрема коло). Крім того, графіком рівняння другого ступеня може бути пара прямих (пересічних або паралельних). Це так званий вироджений випадок. Так графіком рівняння х 2 - у 2 = 0 є пара прямих, що перетинаються (рис.21а), а графіком рівняння х 2 - 5х + 6 + 0у = 0- паралельних прямих.

II Закріплення.

(учням видаються «Картки-інструкції» щодо виконання побудов графіків рівнянь із двома змінними у програмі Agrapher (Додаток 2) та картки «Практичне завдання» (Додаток 3) із формулюванням завдань 1-8 Графіки рівнянь до завдань 4-5 вчитель демонструє на слайдах ).

Завдання 1. Які з пар (5; 4), (1; 0), (-5; -4) і (-1; -) є рішеннями рівняння:

а) х 2 - у 2 = 0, б) х 3 - 1 = х 2 у + 6у?

Рішення:

Підставивши в задане рівняння, по черзі координати даних точок переконуємося, що жодна дана пара не є рішенням рівняння х 2 - у 2 = 0, а рішеннями рівняння х 3 - 1 = х 2 у + 6у є пари (5; 4), ( 1; 0) та (-1; -).

125 - 1 = 100 + 24 (І)

1 - 1 = 0 + 0 (І)

125 - 1 = -100 - 24 (Л)

1 - 1 = - - (І)

Відповідь:а); б) (5; 4), (1; 0), (-1; -).

Завдання 2. Знайдіть такі рішення рівняння ху 2 - х 2 у = 12, у яких значення ходно 3.

Рішення: 1) Підставимо замість Х у задане рівняння значення 3.

2) Отримаємо квадратне рівняння щодо змінної У, що має вигляд:

3у 2 – 9у = 12.

4) Вирішимо це рівняння:

3у 2 - 9у - 12 = 0

Д = 81 + 144 = 225

Відповідь: пари (3; 4) і (3; -1) є рішеннями рівняння ху 2 - х 2 у = 12

Завдання3. Визначте ступінь рівняння:

а) 2у 2 - 3х3 + 4х = 2; в) (3 х 2 + х) (4х - у 2) = х;

б) 5у 2 - 3у 2 х 2 + 2х 3 = 0; г) (2у - х 2) 2 = х (х 2 + 4ху + 1).

Відповідь: а) 3; б) 5; в 4; г) 4.

Завдання4. Яка фігура є графіком рівняння:

а) 2х = 5 + 3у; б) 6 х 2 - 5х = у - 1; в) 2(х + 1) = х 2 - у;

г) (х - 1,5) (х - 4) = 0; д) ху – 1,2 = 0; е) х 2 + у 2 = 9.

Завдання5. Напишіть рівняння, графік якого симетричний графіку рівняння х 2 - ху + 3 = 0 (рис.24) щодо: а) осі х; б) осі у; в)прямий у = х; г) прямий у = -х.

Завдання6. Складіть рівняння, графік якого виходить розтягуванням графіка рівняння у = х 2 -3 (рис.25):

а) від осі х у 2 рази; б) від осі у 3 рази.

Перевірте правильність виконання завдання за допомогою програми Agrapher.

Відповідь: а) у - х 2 + 3 = 0 (рис.25а); б) у (x) 2 + 3 = 0 (рис.25б).

б) прямі паралельні, переміщення паралельно осі х на 1 одиницю вправо і паралельно осі у на 3 одиниці вниз (рис.26б);

в) прямі перетинаються, симетричне відображення щодо осі х (рис.26в);

г) прямі перетинаються, симетричне відображення щодо осі (рис.26г);

д) прямі паралельні, симетричне відображення щодо початку координат (рис.26д);

е) прямі перетинаються, поворот біля початку координат на 90 за годинниковою стрілкою та симетричне відображення щодо осі х (рис.26е).

ІІІ. Самостійна робота навчального характеру.

(Учням видаються картки «Самостійна робота» та «Звітна таблиця результатів самостійної роботи», в яку учні записують свої відповіді та після самоперевірки, за запропонованою схемою оцінюють роботу) Додаток 4 .

I. варіант.

а) 5х3-3х2 у 2 + 8 = 0; б) (х + у + 1) 2 - (х-у) 2 = 2 (х + у).

а) х 3 + у 3 -5 х 2 = 0; б) х 4 +4х 3 у +6х 2 у 2 + 4ху 3 + у 4 = 1.

х 4 + у 4 -8 х 2 + 16 = 0.

а) (х + 1) 2 + (у-1) 2 = 4;

б) х 2 -у 2 = 1;

в) х – у 2 = 9.

х 2 – 2х + у 2 – 4у = 20.

Вкажіть координати центру кола та його радіус.

6. Як слід на координатній площині перемістити гіперболу у =, щоб її рівняння набуло вигляду х 2 - у 2 = 16?

Перевірте свою відповідь, виконавши графічну побудову за допомогою програми Agrapher.

7.Як слід на координатній площині перемістити параболу у = х 2, щоб її рівняння набуло вигляду х = у 2 - 1

ІІ варіант.

1.Визначте ступінь рівняння:

а) 3ху = (у-х 3) (х 2 + у); б) 2у 3+5х2 у 2 – 7 = 0.

2. Чи є пара чисел (-2;3) рішенням рівняння:

а) х 2 -у 2 -3х = 1; б) 8х 3 + 12х 2 у + 6ху 2 + у 3 = -1.

3. Знайдіть безліч розв'язків рівняння:

х 2 + у 2 -2х - 8у + 17 = 0.

4. Якою кривою (гіперболою, колом, параболою) є безліч точок, якщо рівняння цієї кривої має вигляд:

а) (х-2) 2 + (у + 2) 2 = 9

б) у 2 - х 2 = 1

в) х = у 2 – 1.

(перевірте за допомогою програми Agrapher правильність виконання завдання)

5. Побудуйте, використовуючи програму Agrapher, графік рівняння:

х 2 + у 2 – 6х + 10у = 2.

6.Як слід на координатній площині перемістити гіперболу у =, щоб її рівняння набуло вигляду х 2 - у 2 = 28?

7. Як слід на координатній площині перемістити параболу у = х 2 щоб її рівняння набуло вигляду х = у 2 + 9.

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Лінійна функція 7 клас алгебра Урок №6-7. Координатна площина. Лінійне рівняння з двома змінними та його графік 06.07.2012 1 www.konspekturoka.ru

Цілі: 06.07.2012 Нагадати поняття координатної площини. Розглянути зображення точки на координатній площині. Дати поняття про рівняння з двома змінними, їх розв'язання та графік рівняння. Навчити будувати графік лінійного рівняння із двома змінними. Вивчити алгоритм побудови графіка лінійного рівняння із двома змінними. 2 www.konspekturoka.ru

O x y 1 Дві взаємно перпендикулярні числові осі утворюють прямокутну систему координат 1 - 1 - 1 I II III I V Координатні кути Ординат (вісь оу) Абсцис (вісь ох) Згадаймо! 06.07.2012 3 www.konspekturoka.ru

O x y 1 х = -3 У = 3 х = -5 у = -2 Х = 4 у = -5 х = 2 У = 5 06.07.2012 www.konspekturoka.ru 4 Згадаймо! Алгоритм відшукання координат точки М (a ; b) Провести через точку пряму, паралельну осі у, і знайти координату точки перетину цієї прямої з віссю х - це і буде абсцис точки. 2. Провести через точку пряму, паралельну осі х, і знайти координату точки перетину цієї прямої з віссю у - це буде ордината точки. А В 5 2 З 4 -5 М -2 -5 3 -3 (2; 5); З(4;-5); М(-5;-2); А(-3;3)

A (-4; 6) B (5; -3) C (2; 0) D (0; -5) Згадаймо! Алгоритм побудови точки М(a; b) Побудувати пряму х = а. Побудувати пряму у = b. Знайти точку перетину побудованих прямих – це і буде точка М(а; b) 6 -4 5 -3 -5 2 06.07.2012 5 www.konspekturoka.ru

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 6 Рівняння виду: a х + b = 0 називається лінійним рівнянням з однією змінною (де х – змінна, а та b деякі числа). Увага! х – змінна входить у рівняння обов'язково у першому ступені. (45 - у) + 18 = 58 лінійне рівняння з однією змінною 3х² + 6х + 7 = 0 не лінійне рівняння з однією змінною Згадаймо!

ах + by + c = 0 Лінійне рівняння з двома змінними 06.07.2012 7 www.konspekturoka.ru Рішенням рівняння з двома невідомими називається пара змінних, при підстановці яких рівняння стає правильною числовою рівністю. Рівняння виду: називається лінійним рівнянням із двома змінними (де х, у - змінні, а, b і с - деякі числа). (х; y)

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 8 Вирішити лінійне рівняння з однією змінною – це означає знайти ті значення змінної, при кожному з яких рівняння звертається у правильну числову рівність. (х; y) -? Таких рішень дуже багато.

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 9 Лінійне рівняння з двома змінними мають властивості, як рівняння з однією змінною Якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини до іншої, змінивши його знак, то вийде рівносильне рівняння. 2. Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на число (не рівне нулю), то вийде рівносильне рівняння.

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 10 Рівносильні рівняння Так як член 4у³ перенесений з лівої частини в праву Рівняння з двома змінними, що мають одне і те ж коріння, називають рівносильним.

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 11 O x y 1 Приклад 1 Зобразити рішення лінійного рівняння з двома змінними х + у – 3 = 0 точками в координатній площині. 1. Підберемо кілька пар чисел, які задовольняють рівняння: (3; 0), (2; 1), (1; 2), (0; 3), (-2; 5). 2. Побудуємо в хОу точки: А (3; 0), В (2; 1), С (1; 2), Е (0; 3), М (-2; 5). 3 Е(0; 3) 1 2 С(1; 2) 1 2 В(2; 1) 3 А(3; 0) -2 5 М(-2; 5) 3. З'єднаємо всі точки. Увага! Усі точки лежать на одній прямій. Надалі: для побудови прямої достатньо 2 точки m m - графік рівняння х + у - 3 = 0 Говорять: т – геометрична модель рівняння х + у – 3 = 0 -4 7 Р(-4; 7) Р(-4; 7) ) – пара, яка належить прямою і є рішенням рівняння

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 12 Висновок: Якщо (-4; 7) – пара чисел, що задовольняє рівняння, то точка Р(-4; 7) належить прямій т. Якщо точка Р(-4; 7) належить прямій т пара (-4;7) - є рішенням рівняння. Навпаки:

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 13 Теорема: Графіком будь-якого лінійного рівняння ах + by + c = 0 є пряма. Для побудови графіка достатньо знайти координати двох точок. Реальна ситуація (словесна модель) Алгебраїчна модель Геометрична модель Сума двох чисел дорівнює 3. х + у = 3 (лінійне рівняння з двома змінними) пряма т (графік лінійного рівняння з двома змінними) х + у – 3 = 0

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 14 x y 1 Приклад 2 Побудувати графік рівняння 3 х - 2у + 6 = 0 1. Нехай х = 0, підставимо в рівняння 3 · 0 - 2у + 6 = 0 - 2у + 6 = 0 - 2у = - 6 у = - 6: (-2) у = 3 (0; 3) - пара чисел, є рішенням 2. Нехай у = 0, підставимо в рівняння 3 · х - 2 · 0 + 6 = 0 3х + 6 = 0 3х = - 6 х = - 6: 3 х = - 2 (-2; 0) - пара чисел, є рішенням 3. Побудуємо точки і з'єднаємо прямий 0 3 -2 3 х - 2у + 6 = 0

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 15 Алгоритм побудови графіка рівняння ах + b у + c = 0 Надати змінній х конкретне значення х ₁; знайти із рівняння ах + b у + c = 0 відповідне значення у ₁. Отримаємо (х₁;у₁). 2. Надати змінній х конкретне значення х ₂; знайти із рівняння ах + b у + c = 0 відповідне значення у ₂. Отримаємо (х ₂ ;у ₂). 3. Побудуємо на координатній площині точки (х₁; у₁), (х ₂ ; у₂) і з'єднаємо пряму. 4. Пряма – є графік рівняння.

06.07.2012 16 www.konspekturoka.ru Відповісти на питання: Що називається координатною площиною? Який алгоритм знаходження координат точки на координатній площині? Який алгоритм побудови точки на координатній площині? Сформулюйте основні властивості рівнянь. Які рівняння називаються рівносильними? Що є рішенням лінійного рівняння із двома змінними? 7. Який алгоритм побудови графіка лінійного рівняння із двома змінними?

Лінійне рівняння з двома змінними - будь-яке рівняння, яке має такий вигляд: a * x + b * y = с. Тут x і y є дві змінні, a, b, c – деякі числа.

Рішенням лінійного рівняння a*x + b*y = с називається будь-яка пара чисел (x,y) яка задовольняє цьому рівнянню, тобто звертає рівняння зі змінними x і y у правильну числову рівність. Лінійне рівняння має безліч рішень.

Якщо кожну пару чисел, які є рішенням лінійного рівняння з двома змінними, зобразити на координатній площині у вигляді точок, всі ці точки утворюють графік лінійного рівняння з двома змінними. Координатами точками будуть наші значення x і у. При цьому значення х буде абсцисою, а значення у - ординатою.

Графік лінійного рівняння із двома змінними

Графіком лінійного рівняння з двома змінними називається безліч усіляких точок координатної площини, координати яких будуть рішеннями цього лінійного рівняння. Нескладно здогадатися, що графік буде прямою лінією. Тому такі рівняння називаються лінійними.

Алгоритм побудови

Алгоритм побудови графіка лінійного рівняння із двома змінним.

1. Накреслити координатні осі, підписати їх і відзначити одиничний масштаб.

2. У лінійному рівнянні покласти х = 0 і вирішити отримане рівняння щодо у. Відзначити отриману точку на графіку.

3. У лінійному рівнянні взяти число 0, і вирішити отримане рівняння щодо х. Відзначити отриману точку на графіку

4. При необхідності взяти довільне значення х і вирішити отримане рівняння щодо у. Відзначити отриману точку на графіку.

5. Поєднати отримані точки, продовжити графік за них. Підписати пряму.

Приклад:Побудувати графік рівняння 3 * x - 2 * y = 6;

Покладемо х = 0, тоді - 2 * y = 6; y=-3;

Покладемо y = 0, тоді 3 * x = 6; x=2;

Зазначаємо отримані точки на графіку, проводимо через них пряму та підписуємо її. Подивіться на малюнок нижче, графік має вийти саме таким.

Тема:Лінійна функція

Урок:Лінійне рівняння з двома змінними та його графік

Ми познайомилися з поняттями координатної осі та координатної площини. Ми знаємо, що кожна точка площини однозначно задає пару чисел (х; у), причому перше число є абсцисом точки, а друге - ордината.

Ми дуже часто зустрічатимемося з лінійним рівнянням з двома змінними, рішенням якого і є пара чисел, яку можна уявити на координатній площині.

Рівняння виду:

Де a, b, з - числа, причому

Називається лінійним рівнянням з двома змінними х та у. Рішенням такого рівняння буде будь-яка така пара чисел х і у, підставивши яку в рівняння ми отримаємо правильну числову рівність.

Пара чисел зображуватиметься на координатній площині у вигляді точки.

У таких рівнянь ми побачимо багато рішень, тобто багато пар чисел і всі відповідні точки лежатимуть на одній прямій.

Розглянемо приклад:

Щоб знайти рішення даного рівняння, потрібно підібрати відповідні пари чисел х і у:

Нехай тоді вихідне рівняння перетворюється на рівняння з однією невідомою:

,

Тобто перша пара чисел, що є рішенням заданого рівняння (0; 3). Отримали точку А(0; 3)

Нехай. Отримаємо вихідне рівняння з однією змінною: , звідси отримали точку В(3; 0)

Занесемо пари чисел до таблиці:

Побудуємо на графіку точки та проведемо пряму:

Зазначимо, що будь-яка точка на даній прямій буде вирішенням заданого рівняння. Перевіримо – візьмемо точку з координатою та за графіком знайдемо її другу координату. Очевидно, що в цій точці . Підставимо цю пару чисел до рівняння. Отримаємо 0=0 - правильна числова рівність, отже точка, що лежить на прямій, є рішенням.

Поки довести, що будь-яка точка, що лежить на побудованій прямій, є рішенням рівняння, ми не можемо, тому приймаємо це за правду і доведемо пізніше.

Приклад 2 - побудувати графік рівняння:

Складемо таблицю, нам достатньо для побудови прямої двох точок, але візьмемо третю для контролю:

У першій колонці ми взяли зручний, знайдемо у:

, ,

У другому стовпчику ми взяли зручний, знайдемо х:

, , ,

Візьмемо для перевірки та знайдемо у:

, ,

Побудуємо графік:

Помножимо задане рівняння на два:

Від такого перетворення безліч рішень не зміниться і графік залишиться таким самим.

Висновок: ми навчилися вирішувати рівняння з двома змінними та будувати їх графіки, дізналися, що графіком подібного рівняння є пряма і будь-яка точка цієї прямої є рішенням рівняння

1. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 7. 6 видання. М: Просвітництво. 2010 р.

2. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 7. М: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягін Ю.М., Ткачова М.В., Федорова Н.Є. та ін Алгебра 7. М.: Просвітництво. 2006 р.

2. Портал для перегляду ().

Завдання 1: Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 7 № 960, ст.210;

Завдання 2: Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 7 № 961, ст.210;

Завдання 3: Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 7 № 962, ст.210;