Що таке медіана ряду чисел та приклад. Статистичні характеристики Середнє арифметичне ряду Розмах ряду Мода ряду Медіана ряду

Початковий рівень

Статистика. Основні поняття та визначення (2019)

Людмила Прокопівна Калугіна (або просто “Мимра”) у чудовому фільмі «Службовий роман» повчала Новосельцева: «Статистика – це наука, вона не терпить приблизності». Щоб не потрапити під гарячу руку суворій начальниці Калугіної (а заразом і запросто вирішувати завдання з ЄДІ та ДІА з елементами статистики), постараємося розібратися з деякими поняттями статистики, які можуть стати в нагоді не тільки в тернистому шляху підкорення іспиту з ЄДІ, але й просто повсякденно. життя.

То що таке Статистика і навіщо вона потрібна? Слово «статистика» походить від латинського слова «status» (статус), що означає «стан і стан справ/речей». Статистика займається вивченням кількісної боку масових суспільних явищ та процесів у числовій формі, виявляючи особливі закономірності. На сьогоднішній день статистика застосовується практично у всіх сферах суспільного життя, починаючи від моди, кулінарії, садівництва та закінчуючи астрономією, економікою, медициною.

Насамперед, при знайомстві зі статистикою необхідно вивчити основні статистичні характеристики, що застосовуються для аналізу даних. Ну ось, із цього й почнемо!

Статистичні характеристики

До основних статистичних характеристик вибірки даних (яка ще така «вибірка»!? Не лякайся, все під контролем, це незрозуміле слово лише для залякування, насправді, під словом «вибірка» мається на увазі просто дані, які ти збираєшся дослідити) відносяться:

1. обсяг вибірки,
2. розмах вибірки,
3. середнє арифметичне,
4. мода,
5. медіана,
6. частота,
7. відносна частота.

Стоп-стоп-стоп! Скільки нових слів! Давай про все по порядку.

Обсяг та Розмах

Наприклад, у таблиці нижче наведено зростання гравців збірної з футболу:

Ця вибірка представлена ​​елементами. Таким чином, обсяг вибірки дорівнює.

Розмах представленої вибірки становить див.

Середнє арифметичне

Не дуже зрозуміло? Давай дивитися на наш приклад.

Визначте середнє зростання гравців.

Ну що, почнемо? Ми вже розбиралися, що; .

Можемо відразу сміливо все підставляти до нашої формули:

Таким чином, середнє зростання гравця збірної становить див.

Ну чи ось такий приклад:

Учням 9 класу на тиждень було задано вирішити якнайбільше прикладів із задачника. Кількість прикладів, вирішених учнями за тиждень, наведено нижче:

Знайдіть середню кількість розв'язаних задач.

Отже, у таблиці представлені дані про учнів. Таким чином, . Ну що ж, знайдемо для початку суму (загальну кількість) всіх розв'язаних задач двадцятьма учнями:

Тепер можемо сміливо приступати до розрахунку середнього арифметичного вирішених завдань, знаючи, що:

Таким чином, у середньому учні 9 класу вирішили за завданнями.

Ось ще один приклад для закріплення.

приклад.

На ринку помідори реалізуються продавцями, причому ціни на кг розподілені так (в руб.): . Яка середня ціна на кілограм помідорів на ринку?

Рішення.

Отже, чому в цьому прикладі одно? Все вірно: сім продавців пропонують сім цін, значить! . Ну ось, з усіма складовими розібралися, тепер можемо розпочати розрахунок середньої ціни:

Ну що, розібрався? Тоді порахуй самостійно середнє арифметичнеу наступних вибірках:

Відповіді: .

Мода та медіана

Звернемося знову до нашого прикладу зі збірною з футболу:

Чому в цьому прикладі дорівнює мода? Яке число найчастіше зустрічається у цій вибірці? Все вірно, це число, тому що два гравці мають зростання см; зростання інших гравців не повторюється. Тут все має бути зрозумілим і зрозумілим, та й слово знайоме, правда?

Перейдемо до медіани, ти її маєш знати з курсу геометрії. Але мені не складно нагадати, що у геометрії медіана(У перекладі з латинського-«середня») - відрізок усередині трикутника, що з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони. Ключове слово СЕРЕДИНА. Якщо ти знав це визначення, то тобі легко запам'ятати, що таке медіана у статистиці.

Ну що, повернемось до нашої вибірки футболістів?

Ти помітив у визначенні медіани важливий момент, який нам тут ще не зустрічався? Звісно, ​​«якщо цей ряд упорядкувати»! Наведемо лад у ряду? Для того, щоб у ряді чисел був порядок, можна розташувати значення зростання футболістів як у порядку зменшення, так і в порядку зростання. Мені зручніше вибудувати цей ряд у порядку зростання (від найменшого до найбільшого). Ось що в мене вийшло:

Так, низка впорядкувала, який ще є важливий момент у визначенні медіани? Правильно, парна та непарна кількість членів у вибірці. Помітив, що для парної та непарної кількості навіть визначення відрізняються? Так, ти маєш рацію, не помітити - складно. А якщо так, то нам треба визначитися, парна у нас кількість гравців у нашій вибірці чи непарна? Все вірно – гравців, значить, кількість непарна! Тепер можемо застосовувати до нашої вибірки менш хитромудре визначення медіани для непарної кількості членів у вибірці. Шукаємо число, яке виявилося посередині у нашому впорядкованому ряду:

Ну от, чисел у нас, отже, по краях залишається по п'ять чисел, а зріст см буде медіаною у нашій вибірці. Не так уже й складно, правда?

А тепер розберемо приклад із нашими відчайдушними хлопцями із 9 класу, які вирішували приклади протягом тижня:

Готовий шукати в цьому ряду моду та медіану?

Для початку, упорядкуємо цей ряд чисел (розташуємо від найменшого числа до найбільшого). Вийшов ось такий ряд:

Тепер можна сміливо визначити моду у цій вибірці. Яке число зустрічається найчастіше? Все вірно, ! Таким чином, модау цій вибірці дорівнює.

Моду знайшли, тепер можемо приступати до знаходження медіани. Але перш, дай відповідь мені: який обсяг аналізованої вибірки? Порахував? Все вірно, обсяг вибірки дорівнює. А – це парне число. Таким чином, застосовуємо визначення медіани для ряду чисел із парною кількістю елементів. Тобто нам треба у нашому впорядкованому ряді знайти середнє арифметичнедвох чисел, записаних посередині. Які два числа розташовуються посередині? Все правильно, і!

Таким чином, медіаною цього ряду буде середнє арифметичнечисел та:

- медіанааналізованої вибірки.

Частота та відносна частота

Тобто частотавизначає те, як часто повторюється та чи інша величина вибірки.

Розберемося на нашому прикладі із футболістами. Перед нами ось такий упорядкований ряд:

Частота- Це число повторень будь-якої величини параметра. У нашому випадку це можна вважати ось так. Скільки гравців має зростання? Все вірно, один гравець. Таким чином, частота зустрічі гравця зі зростанням у нашій вибірці дорівнює. Скільки гравців має зростання? Так, знову ж таки один гравець. Частота зустрічі гравця зі зростанням у нашій вибірці дорівнює. Задаючи такі питання і відповідаючи на них, можна скласти таку табличку:

Ну от усе досить просто. Пам'ятай, що сума частот повинна дорівнювати кількості елементів у вибірці (обсязі вибірки). Тобто у нашому прикладі:

Перейдемо до наступної характеристики - відносна частота.

Звернемося знову до нашого прикладу з футболістами. Частоти для кожного значення ми розрахували, загальну кількість даних у ряді ми також знаємо. Розраховуємо відносну частоту для кожного значення росту і отримуємо таку табличку:

А тепер сам склади таблиці частот та відносних частот для прикладу з 9-класниками, які вирішують завдання.

Графічне зображення даних

Найчастіше для наочності дані подаються як діаграм/графіків. Зупинимося на розгляді основних із них:

1. стовпчаста діаграма,
2. кругова діаграма,
3. гістограма,
4. полігон

Стовпчаста діаграма

Стовпчасті діаграми використовують тоді, коли хочуть продемонструвати динаміку зміни даних у часі чи розподілу даних, одержаних у результаті статистичного дослідження.

Наприклад, у нас є такі дані про оцінки написаної контрольної роботи в одному класі:

Кількість тих, хто отримав таку оцінку - це у нас і є частота. Знаючи це, ми можемо скласти таку ось табличку:

Тепер ми можемо побудувати наочні стовпчасті графіки на основі такого показника, як частота(На горизонтальній осі відображені оцінки на вертикальній осі відкладаємо кількість учнів, які отримали відповідні оцінки):

Або можемо побудувати відповідний стовпчастий графік на основі відносної частоти:

Розглянемо приклад на кшталт завдання В3 з ЄДІ.

приклад.

На діаграмі показано розподіл видобутку нафти у країнах світу (у тоннах) за 2011 рік. Серед країн перше місце з видобутку нафти посідала Саудівська Аравія, сьоме місце – Об'єднані Арабські Емірати. Яке місце посідали США?

Відповідь:третє.

Кругова діаграма

Для наочного зображення співвідношення між частинами досліджуваної вибірки зручно використовувати кругові діаграми.

За нашою табличкою з відносними частотами розподілу оцінок у класі ми можемо побудувати кругову діаграму, розбивши коло на сектори, пропорційні відносним частотам.

Кругова діаграма зберігає свою наочність і виразність лише за невеликій кількості частин сукупності. У нашому випадку, таких частин чотири (відповідно до можливих оцінок), тому застосування такого типу діаграми досить ефективно.

Розглянемо приклад за типом завдання 18 з ДІА.

приклад.

На діаграмі показано розподіл витрат сім'ї під час відпочинку на морі. Визначте, на що сім'я витратила найбільше?

Відповідь:проживання.

Полігон

Динаміку зміни статистичних даних у часі часто зображують за допомогою полігону. Для побудови полігону відзначають у координатній площині точки, абсцисами яких є моменти часу, а ординатами - відповідні їм статистичні дані. З'єднавши послідовно ці точки відрізками, одержують ламану, яку називають полігоном.

Ось, наприклад, нам дано середньомісячні температури повітря в Москві.

Зробимо наведені дані наочнішими - побудуємо полігон.

На горизонтальній осі відбито місяці, на вертикальній - температура. Будуємо відповідні точки та з'єднуємо їх. Ось що вийшло:

Погодься, одразу стало наочніше!

Полігон використовують також для наочного зображення розподілу даних, отриманих в результаті статистичного дослідження.

Ось побудований полігон на основі нашого прикладу з розподілом оцінок:

Розглянемо типове завдання В3 із ЄДІ.

приклад.

На малюнку жирними точками показана ціна алюмінію на момент закриття біржових торгів у всі робочі дні з серпня року. По горизонталі вказуються числа місяця, вертикалі — ціна тонни алюмінію в доларах США. Для наочності жирні крапки малюнку з'єднані лінією. Визначте на малюнку, якого числа ціна алюмінію на момент закриття торгів була найменшою за цей період.

Відповідь: .

Гістограма

Інтервальні ряди даних зображують за допомогою гістограми. Гістограма є ступінчастою фігурою, складеною із зімкнутих прямокутників. Основа кожного прямокутника дорівнює довжині інтервалу, а висота - частоті чи відносній частоті. Таким чином, у гістограмі, на відміну від звичайної стовпчастої діаграми, основи прямокутника вибираються не довільно, а суворо визначені довжиною інтервалу.

Ось, наприклад, ми маємо такі дані про зростання гравців, викликаних до збірної:

Отже, нам дано частота(Кількість гравців з відповідним зростанням). Ми можемо доповнити табличку, розрахувавши відносну частоту:

Ну от тепер можемо будувати гістограми. Спочатку збудуємо на підставі частоти. Ось що вийшло:

А тепер на підставі даних щодо відносної частоти:

приклад.

На виставку за інноваційними технологіями приїхали представники компаній. На діаграмі показано розподіл цих компаній за кількістю персоналу. По горизонталі представлено кількість співробітників у компанії, по вертикалі - кількість компаній, що мають цю кількість співробітників.

Який відсоток становлять компанії із загальною кількістю співробітників більше за людей?

Відповідь: .

Короткі підсумки

Обсяг вибірки- Кількість елементів у вибірці.

Розмах вибірки- Різниця між максимальним та мінімальним значеннями елементів вибірки.

Середнє арифметичне ряду чисел- це окреме від розподілу суми цих чисел з їхньої кількість (обсяг вибірки).

Мода ряду чисел- Число, що найчастіше зустрічається в даному ряду.

Медіанавпорядкованого ряду чисел з непарною кількістю членів- Число, яке виявиться посередині.

Медіана впорядкованого ряду чисел із парною кількістю членів- Середнє арифметичне двох чисел, записаних посередині.

Частота- Число повторень певного значення параметра у вибірці.

Відносна частота

Для наочності зручно представляти дані у вигляді відповідних діаграм/графіків

• ЕЛЕМЕНТИ СТАТИСТИКИ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ.

Статистична вибірка- Вибране з усього числа об'єктів конкретну кількість об'єктів для дослідження.

Об'ємом вибірки - кількість елементів, що потрапили у вибірку.

Розмах вибірки - різниця між максимальним та мінімальним значеннями елементів вибірки.

Або, розмах вибірки

Середнє арифметичнеряду чисел - це частка від поділу суми цих чисел на їх кількість

Модою ряду чисел називається число, що найчастіше зустрічається в цьому ряду.

Медіаною ряду чисел з парним числом членів називається середнє арифметичне двох чисел, записаних посередині, якщо цей ряд упорядкувати.

Частота є число повторень, скільки разів за якийсь період відбувалося деяке подія, виявлялося певне якість об'єкта чи спостережуваний параметр досягав цієї величини.

Відносна частота- це відношення частоти до загального числа даних у ряду.

Середнє арифметичне, розмах та мода, медіана.

Провівши облік деталей, виготовлених за зміну робітниками однієї бригади, отримали такий ряд даних:

23; 20; 25; 20; 23; 25; 35; 37; 34; 23; 30; 29

Завдання для самостійного вирішення

Записано зростання (у сантиметрах) п'яти учнів: 158, 166, 134, 130, 132. На скільки відрізняється середнє арифметичне цього набору чисел від його медіани?

Протягом чверті Іра отримала такі позначки з математики: три «двійки», дві «трійки», десять «четвірок» та п'ять «п'ятірок». Знайдіть суму середнього арифметичного та медіани її оцінок.

Записано зростання (у сантиметрах) п'яти учнів: 149, 136, 163, 152, 145. Знайдіть різницю середнього арифметичного цього набору чисел та його медіани?

Записано вік (у роках) семи співробітників: 25, 37, 42, 24, 33, 50, 27. На скільки

відрізняється середнє арифметичне цього набору чисел від його медіани?

Курс долара протягом тижня: 30,48; 30,33; 30,45; 30,28; 30,37; 30,29; 30,34. Знайдіть медіану цього ряду.

Кожні півгодини гідролог заміряє температуру води у водоймі та отримує

наступний ряд значень: 12,8; 13,1; 12,7; 13,2; 12,7; 13,3; 12,6; 12,9; 12,7; 13; 12,7. Знайдіть медіану цього ряду.

Вартість м'ясних страв у кафе становить ряд: 198; 214; 222; 224; 229; 173; 189. Знайдіть різницю між середнім арифметичним та медіаною цього ряду.

Учнями класу за контрольну роботу з алгебри було отримано оцінки:

3; 4; 4; 4; 2; 5; 5; 5; 3; 3; 4; 3; 3; 5; 4. Знайдіть різницю між середнім арифметичним та медіаною цього ряду.

Температура повітря в Москві протягом тижня становила ряд 23, 25, 27, 24, 21, 28, 27 градусів нижче за нуль. Знайдіть суму медіани та розмаху цього ряду чисел.

На змаганнях зі стрільби учнями 9 класу були показані результати,

що представляють ряд 82, 49, 61, 77, 58, 42 очок. Знайдіть середнє арифметичне цього ряду чисел.

Продаж фруктів у магазині за тиждень становить ряд 345, 229, 456, 358, 538, 649, 708 кг на день. Знайдіть різницю між медіаною та середнім арифметичним цього ряду чисел.

Підвищення ціни деякі продукти є ряд 3,4; 6,5; 2,8; 3,7; 5,1; 4,1; 5,9 відсотка. Знайдіть різницю між медіаною та розмахом цього ряду чисел.

У транспортній агенції протягом 6 днів фіксувалася кількість замовлень на доставку вантажу. Набули наступного ряду даних: 40, 41, 39, 36, 41, 31. На скільки відрізняється мода цього набору чисел від його середнього арифметичного?

Гравець у боулінг зробив 5 кидків та вибив 8, 9, 7, 10, 6 кеглів. Знайдіть середнє

арифметичне цього ряду чисел.

Середня температура у січні –18 градусів, у лютому –15 градусів, у березні –7 градусів, у квітні +12 градусів. Знайдіть середнє арифметичне цього ряду чисел.

Відповіді

7,85

30,34

12,8

0,2

61,5

0,4

Розв'язання задач на тему: «Статистичні характеристики. Середнє арифметичне, розмах, мода та медіана

Алгебра-

7 клас

Історичні відомості

• Середнє арифметичне, розмах та модазнаходять застосування у статистиці – науці, яка займається отриманням, обробкою та аналізом кількісних даних про різноманітні масові явища, що відбуваються в природі та суспільстві.
• Слово «статистика» походить від латинського слова status, яке означає «стан, стан речей». Статистика вивчає чисельність окремих груп населення країни та її регіонів, виробництво та споживання
• різноманітних видів продукції, перевезення вантажів та пасажирів різними видами транспорту, природні ресурси тощо.
• Результати статистичних досліджень широко використовуються для практичних та наукових висновків.

Середнє арифметичне– приватна від поділу суми всіх чисел на кількість доданків

• Розмах- Різниця між найбільшим і найменшим числом цього ряду
• Мода– це число, яке зустрічається у наборі чисел найчастіше
• Медіана– упорядкованого ряду чисел з непарним числом членів називається число, записане посередині, а медіаною впорядкованого ряду чисел із парним числом членів називається середнє арифметичне двох чисел, записаних посередині. Медіаною довільного ряду чисел називається медіана відповідного впорядкованого ряду.

• Середнє арифметичне ,

• розмах та мода
• знаходять застосування у статистиці – науці,
• яка займається отриманням,

обробкою та аналізом

кількісних даних про різноманітні

• масових явищах, що відбуваються

у природі та

• суспільстві.

Завдання №1

• Ряд чисел:
• 18 ; 13; 20; 40; 35.
• Знайдіть середньо арифметичне цього ряду:

• Рішення:
• (18+13+20+40+35):5=25,5
• Відповідь: 25,5 –середнє арифметичне

Завдання № 2

• Ряд чисел:
• 35;16;28;5;79;54.

• Знайдіть розмах ряду:

• Рішення:

• Найбільше 79,
• Найменше число 5.
• Розмах низки: 79 – 5 = 74.
• Відповідь: 74

Завдання №3

• Ряд чисел:
• 23; 18; 25; 20; 25; 25; 32; 37; 34; 26; 34; 2535;16;28;5;79;54.

• Знайдіть розмах ряду:

• Рішення:
• Найбільша витрата часу – 37 хв,
• а найменший – 18 хв.
• Знайдемо розмах ряду:
• 37 - 18 = 19 (хв)

Завдання № 4

• Ряд чисел:
• 65; 12; 48; 36; 7; 12
• Знайдіть моду ряду:

• Рішення:

• Мода цього ряду: 12.
• Відповідь: 12

Завдання № 5

• Ряд чисел може мати більше однієї моди,
• а може не мати.

• У ряду: 47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43, 53, 47, 52
• дві моди - 47 та 52.

• У ряду: 69, 68, 66, 70, 67, 71, 74, 63, 73, 72 - моди немає.

Завдання № 5

• Ряд чисел:
• 28; 17; 51; 13; 39
• Знайдіть медіану цього ряду:

• Рішення:

• Спочатку поставити числа у порядку зростання:
• 13; 17; 28; 39; 51.
• Медіана – 28.
• Відповідь: 28

Завдання №6

В організації вели щоденний облік листів, що надійшли протягом місяця.

В результаті отримали таку низку даних:

39, 42, 40, 0, 56, 36, 24, 21, 35, 0, 58, 31, 49, 38, 24, 35, 0, 52, 40, 42, 40,

39, 54, 0, 64, 44, 50, 37, 32, 38.

Для отриманого ряду даних знайдіть середнє арифметичне,

Який практичний зміст цих свідчень?

Завдання № 7

Записано вартість (у рублях) пачки вершкового масла «Неженка» у магазинах мікрорайону: 26, 32, 31, 33, 24, 27, 37.

На скільки відрізняється середнє арифметичне цього набору чисел від його медіани?

Рішення.

Упорядкуємо цей набір чисел за зростанням:

24, 26, 27, 31, 32, 33, 37.

Оскільки число елементів ряду непарне, то медіана – це

значення, що займає середину числового ряду, тобто, M = 31.

Обчислимо середнє арифметичне цього набору чисел - m.

m= 24+ 26+ 27+ 31+ 32+ 33+ 37 = 210 ═ 30

М - m = 31 - 30 = 1

Творчих

Цілі: дати поняття, алгоритми знаходження середнього арифметичного та медіани, розмаху та моди ряду чисел, показати значущість цієї теми у практичній діяльності людини; набуття практичних навичок виконання цих завдань; підвищення рівня математичної підготовки, що висувається новими стандартами.

• озброїти учнів системою знань на тему "Визначення ймовірності подій, середнього арифметичного та медіани набору чисел";
• сформувати навички застосування даних знань під час вирішення різноманітних завдань різної складності;
• підготувати учнів до здачі ДПА;
• сформувати навички самостійної роботи.

Хід уроку

1. Теоретична частина.

1). Знаходження ймовірності подій.

У повсякденному житті, у практичній та науковій діяльності часто спостерігають ті чи інші явища, проводять певні експерименти.

У процесі спостереження чи експерименту доводиться зустрічатися з деякими випадковими подіями, тобто такими подіями, які можуть статися чи не відбутися. Наприклад, випадання орла чи решки при підкиданні монети, поразка мішені чи промах під час пострілу, виграш спортивної команди у зустрічі з суперником, програш чи нічийний результат – це випадкові події.

Закономірності випадкових подій вивчає спеціальний розділ математики, який називається теорією ймовірностей. Методи теорії ймовірностей застосовують у багатьох галузях знань.

Зародження теорії ймовірностей відбулося у пошуках відповіді питання: як часто настає те, чи інше подія у великій серії випробувань, що відбуваються в однакових умовах, з випадковими наслідками.

Для того щоб оцінити ймовірність події, що цікавить нас, необхідно провести велику кількість досвідів або спостережень, і тільки після цього можна визначити ймовірність цієї події.

Наприклад, кидання грального кубика. При киданні кубика шанси випадання його верхньої грані кожного числа очок від 1 до 6 однакові. Кажуть, що існує 6 рівноможливих результатівдосвіду з киданням кубика: випадання 1,2,3,4,5, та 6 очок.

Виходи у цьому досвіді вважають рівноможливими, якщо шанси цих результатів однакові.

Результати, у яких відбувається деяка подія, називаються сприятливими наслідками цієї події.

Визначення: відношення числа сприятливих результатів N (A) події A до всіх рівноможливих результатів N цієї події називається ймовірністю події A.

Схема знаходження ймовірності події.

Для знаходження ймовірності випадкової події A під час проведення деякого випробування слід:

• визначити число N всіх рівноможливих результатів цього випробування;
• визначити кількість N(A) тих сприятливих результатів випробування, у яких настає подія А;
• знайти відношення N(A)/N; це і є ймовірність події A

Наприклад: 1 . У коробці лежать 10 червоних, 7 жовтих та 3 сині кулі. Яка ймовірність, що взята навмання куля виявиться жовтою?

Рішення. Рівноможливі результати-(10+7+3)=20

Сприятливі результати-7

2. У коробці лежить 5 чорних кульок. Яке найменше число білих куль потрібно покласти в цю коробку, щоб після цього ймовірність навмання дістати з коробки чорну кулю була не більше 0,15?

Рішення: Нехай x-білі кулі.

2) Визначення та знаходження середнього арифметичного та медіани ряду чисел.

Визначення: середнім арифметичним кількох чисел називається число, що дорівнює відношенню суми цих чисел до їх кількості.

Середнє арифметичне набору чисел x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 прийнято позначати x.

Наприклад, середнє арифметичне п'яти чисел запишеться так:

X = (x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5)/5

Приклад: визначити середню оцінку учня з математики, якщо за минулий період він отримав: 3,4,4,5,3,2,4,3.

Рішення: (3+4+4+5+3+2+4+3)/8=3,5

Визначення: медіаною називається число, що розділяє набір чисел на дві частини, рівні за чисельністю, так що з одного боку від цього числа все значення більше медіани, а з іншого менше. Замість медіана можна було б сказати середина.

Схема знаходження медіани набору чисел:

Для знаходження медіани набору чисел слідує:

• упорядкувати числовий набір (записати в порядку зростання);
• одночасно закреслюємо "найбільше" і "найменше" числа даного набору чисел до тих пір, поки не залишиться одне число або два числа;
• якщо залишиться одне число, воно і є медіана (для непарного набору чисел);
• якщо залишиться два числа, то медіаною буде середнє арифметичне двох чисел, що залишилися (для парного набору чисел).

Медіану прийнято позначати літерою М.

Наприклад: знайти медіану набору чисел: 9,3,1,5,7.

Рішення: запишемо числа у порядку зростання: 1,3,5,7,9.

Викреслимо 1 і 9, 3 і 7. Число 5, що залишилося, і є медіана. М = 5

Наприклад: знайти медіану набору чисел 2,3,3,5,7,10.

Рішення: викреслимо 2 та 10, 3 та 7. Для знаходження М потрібно: (3+5)/2= 4. М=4

Визначення та знаходження розмаху та моди.

Визначення: розмахом ряду чисел називається різниця між найбільшим та найменшим із цих чисел.

Розмах ряду знаходять, коли хочуть визначити, наскільки великий розкид даних у ряду.

Визначення: модою ряду чисел називається число, яке зустрічається в цьому ряду найчастіше.

Ряд чисел може мати більше однієї моди, а може не мати моди зовсім.

Приклад: На уроці фізкультури 14 школярів стрибали заввишки, а вчитель записував їх результати. Вийшов такий ряд даних (см):

125, 110, 130, 125, 120, 130, 140, 125, 110, 130, 120, 125, 120, 125.

Знайти медіану, розмах та моду вимірювання.

Рішення: випишемо всі варіанти виміру в порядку зростання, розділяючи пробілами групи однакових результатів:

110, 110, 120, 120, 120, 125, 125, 125, 125, 125, 130, 130, 130, 140.

Розмах виміру дорівнює 140-110 = 30.

125-зустрілося найбільше число разів, тобто 5 разів; це мода виміру.

2. Практична частина.

1). Завдання для самостійного вирішення теорії ймовірностей.

1. На 100 електричних лампочок у середньому припадає 4 браковані. Яка ймовірність, що взята навмання лампочка виявиться справною? Відповідь: 0,96.

2. На 400 компакт-дисків у середньому припадає 8 бракованих. Яка ймовірність, що взятий навмання компакт-диск виявиться справним? Відповідь: 0,98.

3. 17 точок із 50 пофарбовані в синій колір, а 13 точок із решти пофарбовані в помаранчевий колір. Яка ймовірність того, що випадково обрана точка виявиться забарвленою? Відповідь: 0,6.

4. Зі слова "математика" випадковим чином вибирається одна літера. Якою є ймовірність, що обрана літера зустрічається в цьому слові лише 1 раз? Відповідь: 0,3.

5. Зі слова "атестація" випадковим чином вибирається одна літера. Яка ймовірність, що вибрана літера виявиться літерою "а"? Відповідь: 0,2

6. З 30 дев'ятикласників 4 обрали іспит з фізики, 12 - з суспільствознавства, 8 - з іноземної мови, а решта з літератури. Яка ймовірність, що обраний учень складатиме іспит з літератури. Відповідь: 0,2.

7. Контрольна робота з математики складається з 15 завдань: 4 завдання з геометрії, 2 завдання з теорії ймовірностей, решта з алгебри. Учень помилився в одному завданні. Яка ймовірність, що учень помилився в алгебри? Відповідь: 0,6.

8. На 1000 автомобілів, випущених у 2007-2009 рр., 150 мають дефект гальмівної системи. Яка можливість купити несправну машину? Відповідь: 0,15.

9. У змаганнях з художньої гімнастики беруть участь: 3 гімнастки з Росії, 3 гімнастки з України та 4 гімнастки з Білорусії. Порядок виступу визначиться жеребкуванням. Знайдіть ймовірність того, що першою виступатиме гімнастка із Росії. Відповідь 0,3

10. На чемпіонаті з художньої гімнастики виступає 18 гімнасток, серед них 3 гімнастки з Росії, 2 гімнастки з Китаю. Порядок виступу визначається жеребкуванням. Знайдіть ймовірність того, що останньою виступатиме гімнастка чи з Росії, чи з Китаю? Відповідь: 5/18.

11. З класу, в якому навчаються 12 хлопчиків та 8 дівчаток, обирають за жеребом 1 чергового. Якою є ймовірність того, що це буде хлопчик? Відповідь: 0,6.

12. Одночасно кидають 2 монети. З якою ймовірністю на них випадуть дві рішки? Відповідь 0,25.

2)Завдання на знаходження середнього арифметичного та медіани, розмаху та моди набору чисел.

Фрезерувальники бригади витратили на обробку однієї деталі різний час (у хв.), подане у вигляді ряду даних: 40; 37; 35; 36; 32; 42; 32; 38; 32. На скільки медіана цього набору відрізняється від середнього арифметичного? Відповідь: 0.

У саду посадили 5 саджанців яблуні, висота яких у сантиметрах наступна: 168, 13, 156, 165, 144. На скільки відрізняється середнє арифметичне цього набору чисел від його медіани? Відповідь: 3, 8

6 дерев груші, що ростуть у саду, дали врожай, маса якого (в кг) для кожного з дерев наступна: 29, 35, 26, 28, 32, 36. На скільки відрізняється середнє арифметичне цього набору чисел від його медіани? Відповідь: 0,5

Час обслуговування касиром кожного з кількох покупців магазину утворив наступний ряд даних: 2 хв. 42 сек., 3хв. 2 сек., 3 імн. 7сек., 2 хв. 54 сек., 2 хв. 48 сек. Знайдіть середнє значення та медіану цього ряду даних. Відповідь: 2 хв. 55 сек., 2 хв. 54 сек.

Час між сімома дзвінками, що надійшли в службу таксі, утворив наступний ряд даних: 34 сек., 45 сек., 1 хв. 16 сек., 38 сек., 43 сек., 52 сек. Знайдіть середнє значення та медіану цього ряду даних. Відповідь: 48 сек., 44 сек.

Література : Мордкович, А. Г. ,І. М. Смирнової. Підручник для загальноосвітніх установ (базовий рівень) – М.: Мнемозіна, 2009. – 164 с.

Слєпньов Павло

У курсі алгебри 7 класу у підручнику за редакцією Теляковського пропонується матеріал зі статистики "Середнє арифметичне, розмах та мода". Учень у своїй роботі пропонує приклади до розгляду цієї теми, які запропонували його однокласники.

Завантажити:

Попередній перегляд:

МУ Відділ освіти МО «Тарбагатайський район»

МБОУ «Заводська ЗОШ»

«Середнє арифметичне, розмах та мода»

Виконав: Слєпнєв Павло, учень 7 класу

Науковий керівник:

Улаханова Марина Родіонівна,

вчитель математики

2012 рік

Введення Стор. 3

Основна частина Стр.4-9

Теорія питання Стр.4-6

Міні-проекти Стр.7-9

Висновок Стор.9

Список литературы Стр.10

Вступ

Актуальність

Цього навчального року ми почали вивчати два предмети: алгебру та геометрію. При вивченні алгебри щось мені знайоме з курсу 5,6 класів, щось ми вивчаємо більш ґрунтовно та поглиблено, багато чого дізнаємося про новий. Ось нове для мене щодо алгебри – це знайомство з деякими статистичними характеристиками: розмах і мода. Із середнім арифметичним ми зустрічалися вже раніше. Ще цікавим виявилося, що ці характеристики застосовуються не тільки на уроках математики, а й у житті, на практиці (у виробництві, сільському господарстві, спорті тощо).

Постановка проблеми

Коли ми в класі на уроці вирішували завдання до цього пункту, то виникла ідея скласти самим завдання та підготувати до них презентації, тобто хіба що почати створювати свій задачник. Кожен вигадує завдання, робить до неї презентацію, ніби кожен працює над своїм міні-проектом, а на уроці все разом вирішуємо, обговорюємо. Якщо допущені помилки, їх виправляємо. А насамкінець провести публічний захист цих міні-проектів.

Ціль моєї роботи: вивчення статистики.

Завдання: розпочати розробку задачника зі статистики як комп'ютерних презентацій.

Предмет дослідження: статистика.

Об'єкт дослідження: статистичні характеристики (середнє арифметичне, розмах, мода).

Методи дослідження:

1. Вивчення літератури на цю тему.
2. Аналіз даних.
3. Використання Інтернет-ресурсів.
4. Використання програми Power Point.
5. Узагальнення зібраних матеріалів на цю тему.

Основна частина.

Теорія питання

Під час вивчення розділу «Статистичні характеристики» ми познайомилися з такими поняттями: середнє арифметичне, розмах, мода. Ці показники знаходять застосування у статистиці. Ця наука вивчає чисельність окремих груп населення країни та її регіонів, виробництво та споживання різноманітних видів продукції, перевезення вантажів та пасажирів різними видами транспорту, природні ресурси тощо.

"Статистика знає все", - стверджували Ільф і Петров у своєму знаменитому романі "Дванадцять стільців" і продовжували: "Відомо, скільки якої їжі з'їдає в рік середній громадянин республіки ... Відомо, скільки в країні мисливців, балерин, верстатів, велосипедів, пам'ятників, маяків і швейних машинок… Як багато життя, сповненого запалу, пристрастей і думки, дивиться на нас зі статистичних таблиць!..” Цей іронічний опис дає досить точне уявлення про статистику (від лат. status – стан) – науці, що вивчає, обробляє і що аналізує кількісні дані про найрізноманітніші масові явища в житті.

Економічна статистика вивчає зміну цін, попиту та пропозиції на товари, прогнозує зростання та падіння виробництва та споживання.

Медична статистика вивчає ефективність різних ліків та методів лікування, ймовірність виникнення деякого захворювання залежно від віку, статі, спадковості, умов життя, шкідливих звичок, прогнозує поширення епідемій.

Демографічна статистика вивчає народжуваність, чисельність населення, його склад (віковий, національний, професійний).

А ще є фінансова, податкова, біологічна, метеорологічна статистика.

У шкільному курсі алгебри ми розглядаємо поняття та методи описової статистики, яка займається первинною обробкою інформації та обчисленням найбільш показових числових характеристик. За словами англійського статистика Р. Фішера: "Статистика може бути охарактеризована як наука про скорочення та аналіз матеріалу, отриманого в спостереженнях". Усю сукупність числових даних, отриманих у вибірці, можна (умовно) замінити декількома числовими параметрами, деякі з них ми вже розглядали на уроках – це середнє арифметичне, розмах, мода. Результати статистичних досліджень широко використовуються для практичних та наукових висновків, тому важливо вміти визначати ці статистичні характеристики.

Статистичні характеристики нашого часу зустрічаються скрізь. Наприклад, перепис населення. Завдяки цьому перепису держава дізнається скільки потрібно грошей на будівництво житла, шкіл, лікарень, скільки людей потребують житла, скільки дітей у сім'ї, кількість безробітних, рівень зарплати тощо. Результати цього перепису зрівняють з минулим, чи подивляться піднялася країна за цей час чи становище стало гіршим, можна буде порівняти дані з результатами в інших країнах. У промисловості велике значення має мода. Наприклад, товар, який має великий попит - завжди продаватимуть, а фабрики матимуть великі гроші. І таких прикладів безліч.

Результати статистичних досліджень широко використовуються для практичних та наукових висновків.

Визначення 1. Середнім арифметичним ряду чисел називається частка від поділу суми цих чисел на число доданків.

Приклад: Під час вивчення навчального навантаження виділили групу з 12 учнів 7 класу. Просили відзначити у певний день час (у хвилинах), витрачений на виконання домашнього завдання з алгебри. Отримали такі дані:

23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25. Маючи цей ряд даних, можна визначити, скільки хвилин у середньому витратили учні на виконання домашнього завдання з алгебри. Для цього треба скласти вказані 12 чисел та отриману суму розділити

на 12: ==27.

Число 27, отримане в результаті, називають середнім арифметичним ряду чисел, що розглядається.

Середнє арифметичне є важливою характеристикою ряду чисел, але іноді корисно розглядати й інші.середні.

Визначення 2. Модою ряду чисел називається число, яке зустрічається в цьому ряду найчастіше.

Приклад: При аналізі відомостей про час, витрачений учнями виконання домашнього завдання з алгебри, нас можуть зацікавити як середнє арифметичне і розмах отриманого низки даних, а й інші показники. Наприклад, цікаво знати, який час є типовим виділеної групи учнів, тобто. яке число зустрічається у ряді даних найчастіше. Неважко помітити, що в нашому прикладі це число 25. кажуть, що число 25 - мода ряду, що розглядається.

Ряд чисел може мати більше однієї моди, а може не мати моди зовсім. Наприклад, у ряді чисел 47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43, 54, 52, 47, 52 дві моди - це числа 47 і 52, так як кожне з них зустрічається в ряді по три рази, а решта числа – менше трьох разів.

У ряді чисел 69, 68, 66, 70, 67, 62, 71, 74, 63, 73, 72 моди немає.

Моду низки даних зазвичай знаходять, коли хочуть виявити певний типовий показник. Мода-показник, який широко використовується у статистиці. Одним із найчастіших використань моди є вивчення попиту. Наприклад, при вирішенні питань, в пачки якої ваги фасувати масло, які відкривати авіарейси і т. п., попередньо вивчається попит і виявляється мода - замовлення, що найчастіше зустрічається.

Проте перебування середнього арифметичного чи моди які завжди дозволяє робити надійні висновки з урахуванням статистичних даних. якщо ми маємо ряд даних, то для обґрунтованих висновків і надійних прогнозів на їх основі, крім середніх значень, треба ще вказати, наскільки дані розрізняються між собою. Одним із статистичних показників відмінності або розкиду даних є розмах.

Визначення 3. Розмахом ряду чисел називається різниця між найбільшим та найменшим із цих чисел.

Приклад: У розглянутому вище прикладі ми виявили, що у середньому учні витратили виконання домашнього завдання з алгебри по 27 хвилин. Проте аналіз проведеного низки даних показує, що час, витрачений деякими учнями, значно відрізняється від 27 хвилин, тобто. від середньої арифметичної. Найбільша витрата дорівнює 37 хвилин, а найменша – 18 хвилин. Різниця між найбільшою та найменшою витратою часу становить 19 хвилин. Ось у цьому випадку розглядається ще одна статистична характеристика – розмах. Розмах ряду знаходять, коли хочуть визначити, наскільки великий розкид даних у ряду.

Міні-проекти

А тепер хочу подати результати нашої роботи: міні-проекти для створення задачника зі статистики.

Я працюю в салоні-магазині Супер-авто головним менеджером відділу продажів. Наш салон надавав автомобілі для участі у грі «повний привід». Минулого року на виставці-продажі наші машини мали успіх! Результати продажів такі:

Відділу продажів необхідно підбити підсумки виставки:

1. Скільки в середньому продавалося машин на день?
2. Яким є розкид кількості машин за період виставки-продажу?
3. Скільки найчастіше продавалося машин на день?

Відповідь: у середньому було продано по 150 машин на день, розкид кількості проданих машин становив – 150, на день найчастіше продавалося 100 машин.

Я, Анастасія Волочкова, була запрошена до журі на фінал конкурсу «Льод та полум'я». Конкурс проходив у місті Санкт-Петербурзі. У фінал вийшли три пари найсильніших фігуристів: 1 пара. Батуєва Аліна та Хлібодарів Кирило, 2 пари. Селянська Юлія та Кушнарьов Павло, 3пара. Заграєва Анастасія та Афанасьєв Дмитро. Журі: Анастасія Волочкова, Олена Малишева, Олексій Далматов. Журі виставили такі оцінки:

Знайдіть середнє арифметичне, розмах моду в рядах оцінок кожної пари.

Відповідь:

Цього року я побувала у м. Санкт-Петербург на змаганнях з бальних танців. У конкурсі брали участь три гарні пари: Сушенцова Олена та Хлібодаров Кирило, Батуєва Аліна та Слєпньов Павло, Джаніашвілі Вікторія та Ткачов Валерій.

За виступи пари отримали такі оцінки:

Знайти середню оцінку, розмах та моду.

Відповідь:

Я директор магазину модного одягу та аксесуарів «Fashion». Магазин приносить гарний прибуток. Показники продажів за минулий рік:

Перші 2-3 місяці прибуток доходив до 2 мільйонів на місяць. Вже після прибутку зростала до 4 мільйонів. Найвдалішими місяцями були: грудень та травень. У травні переважно купували сукні для випускних балів, а у грудні для новорічної урочистості.

Питання мого головного бухгалтера: які результати нашої роботи за рік?

Відповідь:

Ми організували тюнінг-майстерню Turbo. За перший тиждень нашої роботи ми заробили: першого дня – 120 000 $, другого дня – 350 000 $, третього дня – 99 000 $, четвертого дня – 120 00 $. Підрахуйте який наш середній дохід у день, який розрив між найбільшим і найменшим заробітком і яка сума частіше повторюється?

Відповідь: середня арифметична - 172 250 $, розмах - 251 000 $, мода - 120 000 $.

Висновок

На закінчення я хочу сказати, що мені подобається ця тема. Статистичні характеристики дуже зручні, їх можна використовувати скрізь. Загалом, вони порівнюють, прагнуть прогресу і допомагають дізнатися думку народу. У ході роботи над цією темою я познайомився з наукою статистикою, дізнався про деякі поняття (середнє арифметичне, розмах і мода), де ця наука може бути застосовна, розширив свої знання і в інформатиці. Я, думаю, що наші завдання як приклади для освоєння цих понять стануть у нагоді й іншим! Продовжуватимемо знайомство в цій наукою і створювати свої завдання!

Ось і закінчилася моя подорож у світ математики, інформатики та статистики. Але я думаю, що не останнє. Я ще багато хочу пізнати! Як сказав Галілео Галілей: "Природа формулює свої закони мовою математики". І я хочу опанувати цю мову!

Список літератури

1. Бунимович Є.А., Буличов В.А. « Імовірність та статистика в курсі математики загальноосвітньої школи», М.: Педагогічний університет "Перше вересня", 2005
2. Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. "Алгебра, 7 клас", М: "Освіта", 2009
3. Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г. « Алгебра. Елементи статистики та теорії ймовірностей», 7 – 9 класи. - М.: Просвітництво, 2005.

Рецензія

Предметом дослідження учня є статистика.

Об'єктом дослідження – статистичні характеристики (середнє арифметичне, розмах, мода).

Учень для ознайомлення із теорією питання вивчив наукові джерела, Інтернет-ресурси.

Вибрана тема актуальна для учня, який виявляє інтерес до математики, інформатики, статистики. Для його віку проаналізовано достатній матеріал, проведено відбір даних, узагальнено. Учень достатньо володіє ІКТ.

Робота оформлена відповідно до вимог.

Наприкінці дослідження зроблено висновок, представлений практичний продукт: презентації завдань зі статистики. Тішить, що людина так захоплена математикою.

Науковий керівник: Улаханова МР,

вчитель математики