Що таке система моделювання? Основи моделювання систем

Моделювання процесів та систем

МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ І СИСТЕМ

У підручнику розглядаються основи моделювання процесів та систем. Викладаються принципи математичного та комп'ютерного моделювання систем. Розглядаються основні теоретичні відомості про генерування випадкових послідовностей, критеріїв перевірки випадковості спостережень. Викладаються основні аспекти статистичного моделювання, моделювання марківських випадкових процесів, ідентифікації об'єктів, вирішення задач детермінованого лінійного оптимального управління, принципи побудови алгоритмів, що моделюють, на прикладах систем масового обслуговування. Наводяться основні положення імітації випадкових процесів, обробки результатів моделювання та багато іншого.

1. Основи моделювання систем.

1.1. Моделі та моделювання. 4

1.2. Прикладні аспекти моделювання. 14

1.3. Основні властивості моделі та моделювання. 16

2. Математичне та комп'ютерне моделювання. 19

2.1. Класифікація видів моделювання. 19

2.2. Математичне моделювання складних систем.

2.3. Імітація випадкових величин та процесів. 25

2.4. Основи математичного моделювання. 27

2.5. Комп'ютерне моделювання. 32

3. Еволюційне моделювання та генетичні алгоритми.

3.1. Основні атрибути еволюційного моделювання. 39

3.3. Генетичні алгоритми.. 45

4. Генерування випадкових послідовностей. 48

4.1. Генерування рівномірно розподілених випадкових чисел. 48

4.2. Основні критерії перевірки випадкових спостережень. 56

4.3. Емпіричні критерії. 60

4.4. Чисельні розподіли. 63

4.5. Ознаки довільної послідовності. 67

5. Статистичне моделювання. 69

5.1. Вступ. 69

5.2. Нормальний розподіл. 70

5.3. Оцінка максимальної правдоподібності. 73

5.4. Метод найменших квадратів. 74

6. Ланцюги Маркова. 77

6.1. Марківський процес з дискретним часом. 78

6.2. Марківські випадкові процеси з безперервним часом.

6.3. Математичний апарат теорії ланцюгів Маркова. 91

6.4. Типові завдання застосування ланцюгів Маркова. 93

6.5. Визначення матриці середнього часу переходу. 97

7. Канонічне розкладання випадкового процесу. 104

7.1. Теоретичні відомості. 104

7.2. Канонічне розкладання випадкового процесу у завданнях. 105

8. Ідентифікація динамічних об'єктів. 108

8.1. Загальні засади ідентифікації математичних моделей. 108

8.2. Узагальнена процедура ідентифікації. 109

9. Завдання детермінованого лінійного оптимального керування. 120

9.1. Теоретичні відомості. 120

9.2. Розв'язання задач управління із застосуванням рівняння Ріккаті. 121

10. Загальні принципи побудови алгоритмів, що моделюють. 134

10.1. Принцип Δt. 135

10.2. Принцип спеціальних станів. 140

10.3. Принцип послідовного проведення заявок. 142

10.5. Об'єктний принцип моделювання. 147

11. Імітація випадкових процесів. 149

11.1. Імітація нестаціонарних випадкових процесів. 149

11.2. Імітація стаціонарних СП.. 150

11.3. Імітація стаціонарних нормальних СП.. 151

12. Обробка результатів моделювання. 153

12.1. Оцінка імовірності. 153

12.2. Оцінка математичного очікування та дисперсії. 154

12.3. Оцінка показників випадкового процесу. 154

12.4. Кількість реалізацій, які забезпечують задану точність. 155

13. Стохастичне лінійне оптимальне регулювання. 157

13.1. Теоретичні засади стохастичного регулювання. 157

13.2. Вирішення задач стохастичного лінійного оптимального регулювання. 159

Література 166

1. Основи моделювання систем

1.1. Моделі та моделювання

Модельі моделювання- Універсальні поняття, атрибути одного з найбільш потужних методів пізнання в будь-якій професійній галузі, пізнання системи, процесу, явища.

Вид моделіта методи її дослідження більше залежать від інформаційно-логічних зв'язків елементів та підсистем моделюваної системи, ресурсів, зв'язків із оточенням, а не від конкретного наповнення системи.

Модельний стиль мислення дозволяє вникати в структуру і внутрішню логіку системи, що моделюється.

Побудова моделі- системне завдання, що вимагає аналізу та синтезу вихідних даних, гіпотез, теорій, знань спеціалістів. Системний підхід дозволяє не лише побудувати Модельреальної системи, але й використовувати цю Модельдля оцінки (наприклад, ефективності управління чи функціонування) системи.

Модель - це об'єкт або опис об'єкта, системи для заміщення однієї системи (оригіналу) іншою системою для кращого вивчення оригіналу або відтворення будь-яких його властивостей.

Наприклад, відображаючи фізичну систему на математичну систему, отримаємо математичну Модельфізичної системи Будь-яка Модельбудується та досліджується при певних припущеннях, гіпотезах.

приклад. Розглянемо фізичну систему: тіло масою m скочується по похилій площині з прискоренням a , на яке впливає сила F .

Досліджуючи такі системи, Ньютон отримав математичне співвідношення: F = m*a. Це фізико-математична Модельсистеми або математична Модельфізичної системи скочується тіла.

При описі цієї системи прийнято такі гіпотези:

· Поверхня ідеальна (коефіцієнт тертя дорівнює нулю);

Класифікацію моделейпроводять за різними критеріями.

Модельназивається статичної якщо серед параметрів, що беруть участь у її описі, немає тимчасового параметра. Статична модельу кожний момент часу дає лише "фотографію" системи, її зріз.

приклад. Закон Ньютона F = a * m - це статична модельщо рухається з прискоренням aматеріальної точки масою m. Ця Модельне враховує зміну прискорення від однієї точки до іншої.

Модель динамічна якщо серед її параметрів є часовий параметр, тобто вона відображає систему (процеси в системі) у часі.

приклад. Динамічна модельзакону Ньютона матиме вигляд:

Модель дискретна якщо вона описує поведінку системи тільки в дискретні моменти часу.

приклад. Якщо розглядати лише t=0, 1, 2, …, 10 (сек), то Модель

або числова послідовність: S0=0, S1=g/2, S2=2g, S3=9g/2, :, S10=50g може служити дискретною моделлюруху вільно падаючого тіла.

Модель безперервна якщо вона описує поведінку системи для всіх моментів часу деякого проміжку часу.

приклад. Модель S=gt2/2,0< t < 100 непрерывна на промежутке времени (0;100).

Модельімітаційна, якщо вона призначена для випробування або вивчення можливих шляхів розвитку та поведінки об'єкта шляхом варіювання деяких або всіх параметрів моделі.

приклад. Нехай Модельекономічної системи виробництва товарів двох видів 1 та 2, у кількості x1і x2одиниць та вартістю кожної одиниці товару a1і a2для підприємства описана як співвідношення:

a1x1 + a2x2 = S,

де S - загальна вартість виробленої підприємством усієї продукції (види 1 та 2). Можна її використовувати як імітаційної моделі, За якою можна визначати (варіювати) загальну вартість S в залежності від тих чи інших значень обсягів та вартості вироблених товарів.

Модельдетермінована, якщо кожному вхідному набору параметрів відповідає певний і однозначно визначається набір вихідних параметрів; інакше - модель недетермінована, стохастична (імовірнісна).

приклад. Наведені вище фізичні моделі- Детерміновані. Якщо в моделі S = gt2/2, 0< t < 100 мы учли бы случайный параметр - порыв ветра с силой pпри падінні тіла:

S(p) = g(p) t2 / 2, 0< t < 100,

то ми отримали б стохастичну модель(Вже не вільного) падіння.

Модель функціональна , якщо вона у вигляді системи будь-яких функціональних співвідношень.

Модель теоретико-множинна , якщо вона представима за допомогою деяких множин і відносин належності їм та між ними.

приклад . Нехай задано безліч

X = (Микола, Петро, Миколаїв, Петров, Олена, Катерина, Михайло, Тетяна) та відносини:

· Микола - чоловік Олени,

· Катерина - дружина Петра,

· Тетяна - дочка Миколи та Олени,

· Михайло - син Петра та Катерини,

· Сім'ї Михайла і Петра дружать один з одним.

Тоді безліч X та безліч перерахованих відносин Y можуть служити теоретико-множинною моделлюдвох дружніх сімей.

Модельназивається логічною, якщо вона є предикатами, логічними функціями.

Наприклад, сукупність логічних функцій виду:

z = x https://pandia.ru/text/78/388/images/image004_10.png" alt="(!LANG:http://*****/img/symbols/or.gif" width="9 height=12" height="12"> x, p = x y!}

є математична логічна модель роботи дискретного устрою.

Модельігрова, якщо вона описує, реалізує певну ігрову ситуацію між учасниками гри.

приклад. Нехай гравець 1 - сумліннийподатковий інспектор, а гравець 2 - несумліннийплатник податків. Йде процес (гра) щодо ухилення від податків (з одного боку) та виявлення приховування сплати податків (з іншого боку). Гравці вибирають натуральні числа i та j(i, j n), які можна ототожнити, відповідно, зі штрафом гравця 2 за несплату податків при виявленні гравцем 1 факту несплати та з тимчасовою вигодою гравця 2 від приховування податків. Якщо як модель взяти матричну гру з матрицею виграшів порядку n, то в ній кожен елемент визначається за правилом aij = | i - j |. Модельгри описується цією матрицею та стратегією ухилення та упіймання. Ця гра - антагоністична.

Модельалгоритмічна, якщо вона описана деяким алгоритмом чи комплексом алгоритмів, що визначає функціонування, розвиток системи.

Варто пам'ятати, що не всі моделіможуть бути досліджені чи реалізовані алгоритмічно.

приклад. Моделью обчислення суми нескінченного спадного ряду чисел може бути алгоритм обчислення кінцевої суми ряду до певної заданої міри точності. Алгоритмічною моделлюкореня квадратного з числа xможе бути алгоритм обчислення його наближеного значення за відомою рекурентною формулою.

Модель називаєтьсяструктурної, якщо вона уявна структурою даних чи структурами даних, і відносинами з-поміж них.

Модельназивається графовою, якщо вона представлена графом або графами та відносинами між ними.

Модельназивається ієрархічною (деревоподібною), якщо представна деякою ієрархічною структурою (деревом).

приклад. Для вирішення задачі знаходження маршруту в дереві пошуку можна побудувати, наприклад, деревоподібну Модель(рис. 1.2):

MsoNormalTable">

Таблиця робіт під час будівництва будинку

Операція

Час виконання (дні)

Попередні операції

Дуги графа

Розчищення ділянки

Закладка фундаменту

Розчищення ділянки (1)

Зведення стін

Закладка фундаменту (2)

Зведення стін (3)

Штукатурні роботи

Монтаж електропроводки (4)

Благоустрій території

Зведення стін (3)

Оздоблювальні роботи

Штукатурні роботи (5)

Настил даху

Зведення стін (3)

Мережева модель(Мережевий графік) будівництва будинку дана на рис. 1.3.

Синтаксис"синтаксичними .

Наприклад, правила дорожнього руху - мовна, структурна модельруху транспорту та пішоходів на дорогах.

Нехай B - множина виробляючих основ іменників, C - множина суфіксів, P - прикметників, bi - корінь слова; "+" - операція конкатенації слів, ":=" - операція присвоювання, "=>" - операція виведення (виведення нових слів), Z - безліч значень (смислових) прикметників.

Мовна Модель M словотвір може бути представлена:

= + <сi>.

При bi - "риб(а)", сi - "н(ий)", отримуємо за цією моделі pi - "рибний", zi - "приготовлений із риби".

Модельвізуальна, якщо вона дозволяє візуалізувати відносини та зв'язки системи, що моделюється, особливо в динаміці.

Наприклад, на екрані комп'ютера часто користуються візуальною. моделлютого чи іншого об'єкта.

Модельнатурна, якщо є матеріальна копія об'єкта моделювання.

Наприклад, глобус – натурна географічна Модельземної кулі.

Модельгеометрична, графічна, якщо вона уявна геометричними образами та об'єктами.

Наприклад, макет будинку є натурною геометричною моделлюбудинку, що будується. Вписаний у коло багатокутник дає Моделькола. Саме вона використовується при зображенні кола на екрані комп'ютера. Пряма лінія є моделлючислової осі, а площина часто зображується як паралелограм.

Модельклітинно-автоматна, якщо вона представима клітинним автоматом або системою клітинних автоматів.

Клітинний автомат – дискретна динамічна система, аналог фізичного (безперервного) поля. Клітинно-автоматна геометрія – аналог евклідової геометрії. Неподільний елемент евклідової геометрії - точка, на основі її будуються відрізки, прямі, площини і т.д.

Неподільний елемент клітинно-автоматного поля - клітина, основі її будуються кластери клітин та різні зміни клітинних структур. Здається клітинний автомат рівномірною мережею клітин ( " осередків " ) цього поля. Еволюція клітинного автомата розгортається у дискретному просторі - клітинному полі.

Зміна станів у клітинно-автоматному полі відбувається одночасно і паралельно, а час іде дискретно. Незважаючи на простоту їх побудови, клітинні автомати можуть демонструвати різноманітну і складну поведінку об'єктів, систем.

Останнім часом вони широко використовуються при моделюванніяк фізичних, а й соціально-економічних процесів.

1.2. Прикладні аспекти моделювання

Модельназивається фрактальної, якщо вона описує еволюцію моделюваної системи еволюцією фрактальних об'єктів.

Якщо фізичний об'єкт однорідний (суцільний), т. е. у ньому немає порожнин, можна вважати, що його щільність залежить від розміру. Наприклад, при збільшенні параметра об'єкта Rдо 2Rмаса об'єкта збільшиться в R2раз, якщо об'єкт - коло та в R3раз, якщо об'єкт - куля, тобто існує зв'язок маси та довжини. Нехай n- Розмірність простору. Об'єкт, у якого маса та розмір пов'язані називається "компактним". Його щільність можна розрахувати за такою формулою:

Якщо об'єкт (система) задовольняє співвідношенняM(R) ~ Rf(n), деf(n)< n , то такий об'єкт називається фрактальним.

Його щільність не буде однаковою для всіх значень R, вона масштабується згідно з формулою:

Оскільки f(n) - n< 0 по определению, то плотность фрактального объекта уменьшается с увеличением размера R, а ρ(R) является количественной мерой разряженности объекта.

приклад фрактальної моделі- безліч Кантора. Розглянемо відрізок. Розділимо його на 3 частини та викинемо середній відрізок. 2 Проміжки, що залишилися, знову розділимо на три частини і викинемо середні проміжки і т. д. Отримаємо безліч, зване безліччю Кантора. У межі одержуємо безліч ізольованих точок ( Мал. 1.4)

DIV_ADBLOCK135">

Модель можна уявити формально у вигляді: М =< O, А, Z, B, C > .

Основні властивостібудь-який моделі:

цілеспрямованість - модель завжди відображає деяку систему, тобто має на меті такого відображення; кінцівка - модель відображає оригінал лише з кінцевому числі його відносин і ресурси моделювання кінцеві; спрощеність - модель відображає лише суттєві сторони об'єкта і вона має бути простою для дослідження чи відтворення; наочність, доступність її основних властивостей і відносин; доступність та технологічність для дослідження або відтворення; інформативність - модель повинна містити достатню інформацію про систему (у рамках гіпотез, прийнятих при побудові моделі) та повинна давати можливість отримувати нову інформацію; повнота - у моделі мають бути враховані всі основні зв'язки та відносини, необхідні для забезпечення мети моделювання; керованість - модель повинна мати хоча б один параметр, змінами якого можна імітувати поведінку моделюється в різних умовах.

Життєвий цикл моделі, що моделюється:

збирання інформації про об'єкт, висування гіпотез, попередній модельний аналіз; проектування структури та складу моделей (підмоделей); побудова специфікацій моделі, розробка та налагодження окремих підмоделей, складання моделі загалом, ідентифікація (якщо це потрібно) параметрів моделей; дослідження моделі - вибір методу дослідження та розробка алгоритму (програми) моделювання; дослідження адекватності, стійкості, чутливості моделі; оцінка засобів моделювання (витрачених ресурсів); інтерпретація, аналіз результатів моделювання та встановлення деяких причинно-наслідкових зв'язків у досліджуваній системі; генерація звітів та проектних (народно-господарських) рішень; уточнення, модифікація моделі, якщо це необхідно, та повернення до досліджуваної системи з новими знаннями, отриманими за допомогою моделі та моделювання.

Моделювання є метод системного аналізу.

Часто в системному аналізі при модельному підході дослідження може відбуватися одна методична помилка, а саме - побудова коректних і адекватних моделей (підмоделей) підсистем системи та їх логічно коректна ув'язка не дає гарантій коректності побудованої в такий спосібмоделі всієї системи.

Модель, побудована без урахування зв'язків системи з середовищем, може бути підтвердженням теореми Геделя, а точніше, її наслідки, який стверджує, що в складній ізольованій системі можуть існувати істини та висновки, коректні в цій системі та некоректні поза нею.

Наука моделювання полягає у поділі процесу моделювання (системи, моделі) на етапи (підсистеми, підмоделі), детальному вивченні кожного етапу, взаємовідносин, зв'язків, відносин між ними і потім ефективного опису їх з максимально можливим ступенем формалізації та адекватності.

У разі порушення цих правил отримуємо не модель системи, а модель "власних та неповних знань".

Моделювання розглядається як особлива форма експерименту, експерименту не над самим оригіналом, тобто простим або звичайним експериментом, а над копією оригіналу.Тут важливий ізоморфізм систем оригінальної та модельної.

Ізоморфізм – рівність, однаковість, подоба.

Моделіі моделюваннязастосовуються за основними напрямками:

у навчанні, у пізнанні та розробці теорії досліджуваних систем; у прогнозуванні (вихідних даних, ситуацій, станів системи); в управлінні (системою загалом, окремими її підсистемами); в автоматизації (системи чи її окремих підсистем).

2. Математичне та комп'ютерне моделювання

2.1. Класифікація видів моделювання

Мал. 2.1. Класифікація видів моделювання

При фізичне моделювання використовується сама система, або подібна до неї у вигляді макета, наприклад, літальний апарат в аеродинамічній трубі.

Математичне моделювання є процес встановлення відповідності реальної системі Sматематичної моделі M та дослідження цієї моделі, що дозволяє отримати характеристики реальної системи.

При аналітичному моделюванні процеси функціонування елементів записуються як математичних співвідношень (алгебраїчних, інтегральних, диференціальних , логічних та інших.).

Аналітична модель може бути досліджена методами:

· аналітичними(Встановлюються явні залежності, виходять, в основному, аналітичні рішення);

· чисельними(виходять наближені рішення);

Комп'ютерне математичне моделюванняформулюється як алгоритму (програми для ЕОМ), що дозволяє проводити над моделлю обчислювальні експерименти.

Чисельне моделювання використовує методи обчислювальної математики.

Статистичне моделюваннявикористовує обробку даних про систему для одержання статистичних характеристик системи.

Імітаційне моделюваннявідтворює на ЕОМ (імітує) процес функціонування досліджуваної системи, дотримуючись логічну та тимчасову послідовність протікання процесів, що дозволяє дізнатися дані про стан системи або окремих її елементів у певні моменти часу.

Застосування математичного моделювання дозволяє досліджувати об'єкти, реальні експерименти з яких утруднені чи неможливі.

Економічний ефект при математичному моделюванні полягає в тому, що витрати на проектування систем у середньому скорочуються у 50 разів.

2.2. Математичне моделювання складних систем

Будеморахувати, що елемент s є певний об'єкт, що має певні властивості, внутрішня будова якого для цілей дослідження не відіграє ролі, наприклад, літак для моделювання польоту – не елемент, а для моделювання роботи аеропорту – елемент.

Зв'язок l між елементами є процес їхньої взаємодії, важливий для цілей дослідження.

Система S – сукупність елементів зі зв'язками та метою функціонування F.

Складна система - Це система, що складається з різнотипних елементів з різнотипними зв'язками.

Велика система - Це система, що складається з великої кількості однотипних елементів з однотипними зв'язками.

У загальному вигляді систему математично можна представити у вигляді:

Автоматизована система S A є складна система з визначальною роллю елементів двох типів: технічних засобів Sтта дій людини SH:

Тут s0 – інші елементи системи.

Декомпозиція системи є розбиття системи на елементи чи групи елементів із зазначенням зв'язків з-поміж них, незмінними під час функціонування системи.

Майже всі системи розглядаються функціонуючими у часі, тому визначимо їх динамічні показники.

Стан – це безліч характеристик елементів системи, що змінюються у часі та важливих для цілей її функціонування.

Процес (динаміка) – це безліч значень станів системи, що змінюються у часі.

Ціль функціонування є завдання одержання бажаного стану системи. Досягнення мети зазвичай тягне за собою цілеспрямоване втручання в процес функціонування системи, яке називається управлінням.

1 - Загальні поняття. Визначення.
Визначення
Об'єкт- все те, на що спрямована людська діяльність.

Гіпотеза- пророцтво про властивості об'єкта засноване на неповних даних.

Аналогія- судження про якусь приватну подібність об'єктів. Аналогія пов'язує гіпотезу з експериментом.

Модель- Об'єкт-заступник об'єкта, що забезпечує вивчення деяких властивостей оригіналу. Модель забезпечує наочність дослідження об'єкта-оригіналу.

Модель- логічна схема, що спрощує міркування та логічні побудови, що дозволяють проводити експерименти, та уточнює природу явищ.

Моделювання- Заміщення одного об'єкта іншим з метою отримання інформації про найважливіші властивості об'єкта - оригіналу за допомогою об'єкта-моделі (далі по тексту для спрощення замінюємо об'єкт-оригінал на об'єкт, об'єкт-модель на модель).

Адекватність моделі об'єкту- збіг результатів моделювання та результатів експериментів з об'єктом.
Загальні поняття
Модель- об'єкт чи опис об'єкта, системи заміщення (за певних умов пропозиціях, гіпотезах) однієї системи (тобто. оригіналу) інший системи вивчення оригіналу чи відтворення його будь-яких властивостей. Модель – результат відображення однієї структури на іншу. Відображаючи фізичну систему (об'єкт) на математичну систему (наприклад, математичний апарат рівнянь) отримаємо фізико - математичну модель системи або математичну модель фізичної системи. Зокрема, фізіологічна система - система кровообігу людини, підпорядковується деяким законам термодинаміки та описав цю систему фізичною (термодинамічною) мовою отримаємо фізичну, термодинамічну модель фізіологічної системи. Якщо записати ці закони математичною мовою, наприклад, виписати відповідні термодинамічні рівняння, то отримаємо математичну модель системи кровообігу.

Моделі, якщо відволіктися від областей, сфер їх застосування, бувають трьох типів: пізнавальні, прагматичні та інструментальні.

Пізнавальна модель- форма організації та подання знань, засіб поєднання нових та старих знань. Пізнавальна модель, як правило, підганяється під реальність і є теоретичною моделлю.

Прагматична модель- Засіб організації практичних дій, робочого подання цілей системи для її управління. Реальність у них підганяється під деяку прагматичну модель. Це зазвичай прикладні моделі.

Інструментальна модель- є засобом побудови, дослідження та/або використання прагматичних та/або пізнавальних моделей.

Пізнавальні відображають існуючі, а прагматичні – хоч і не існуючі, але бажані і, можливо, здійсненні відносини та зв'язки.

За рівнем, "глибині" моделювання моделі бувають емпіричні- на основі емпіричних фактів, залежностей, теоретичні- на основі математичних описів та змішані, напівемпіричні- що використовують емпіричні залежності та математичні описи.

Основні вимогидо моделі: наочність побудови; оглядовість основних його властивостей та відносин; доступність її для дослідження чи відтворення; простота дослідження, відтворення; збереження інформації, що містилися в оригіналі (з точністю розглянутих при побудові моделі гіпотез) та отримання нової інформації.

Проблема моделювання складається з трьох завдань:

побудова моделі(це завдання менш формалізується і конструктивна, у тому сенсі, що немає алгоритму для побудови моделей);
дослідження моделі(Це завдання більш формалізується, є методи дослідження різних класів моделей);
використання моделі(Конструктивна і конкретизована задача).

Модель Мназивається статичною, якщо серед x iнемає тимчасового параметра t. Статична модель у кожний момент часу дає лише "фотографію" системи, її зріз.

Модель - динамічна, якщо серед x iє часовий параметр, тобто. вона відображає систему (процеси у системі) у часі.

Модель - дискретнаякщо вона описує поведінку системи тільки в дискретні моменти часу.

Модель - безперервнаякщо вона описує поведінку системи для всіх моментів часу з деякого проміжку часу.

Модель - імітаційна, якщо вона призначена для випробування або вивчення, програвання можливих шляхів розвитку та поведінки об'єкта шляхом варіювання деяких або всіх параметрів x iмоделі М.

Модель - детермінованаякщо кожному вхідному набору параметрів відповідає цілком визначений і однозначно визначається набір вихідних параметрів; в іншому випадку - модель недетермінована, стохастична (імовірнісна).

Можна говорити про різні режими використання моделей - про імітаційний режим, про стохастичне режим і т.д.

Модель включає: об'єкт Про, суб'єкт (не обов'язковий) А, завдання Z, ресурси B, середу моделювання З: М.

Властивості будь-якої моделі такі:

кінцівка: Модель відображає оригінал лише в кінцевому числі його відносин і, крім того, ресурси моделювання кінцеві;
спрощеність: модель відображає лише суттєві сторони об'єкта;
приблизність: дійсність відображається моделлю грубо або приблизно;
адекватність: модель успішно описує модельовану систему;
інформативність: модель повинна містити достатню інформацію про систему - у рамках гіпотез, прийнятих під час побудови моделі.

Життєвий циклмодельованої системи:

Збір інформації про об'єкт, висунення гіпотез, передмодельний аналіз;
Проектування структури та складу моделей (підмоделей);
Побудова специфікацій моделі, розробка та налагодження окремих підмоделей, складання моделі загалом, ідентифікація (якщо це потрібно) параметрів моделей;
Дослідження моделі - вибір методу дослідження та розробка алгоритму (програми) моделювання;
Дослідження адекватності, стійкості, чутливості моделі;
Оцінка засобів моделювання (витрачених ресурсів);
Інтерпретація, аналіз результатів моделювання та встановлення деяких причинно-наслідкових зв'язків у досліджуваній системі;
Генерація звітів та проектних (народно - господарських) рішень;
Уточнення, модифікація моделі, якщо це необхідно, та повернення до досліджуваної системи з новими знаннями, отриманими за допомогою моделювання.

Основними операціями, що використовуються над моделями є:

Лінеарізація. Нехай М = М (X, Y, A), де X- безліч входів, Y- виходів, А- Стан системи. Схематично можна це зобразити:

X -> A -> Y

Якщо X, Y, A- лінійні простори (множини), а - лінійні оператори, то система (модель) називається лінійної. Інші системи (моделі) - нелінійні. Нелінійні системи важко піддаються дослідженню, тому часто лінеаризують - зводять до лінійним якимось чином.

Ідентифікація. Нехай М = М (X, Y, A), A = (a i ), a i =(a i1 ,a i2 ,...,a ik ) - Вектор стану об'єкта (системи). Якщо вектор a iзалежить від деяких невідомих параметрів, то завдання ідентифікації (моделі, параметрів моделі) полягає у визначенні деяких додаткових умов, наприклад, експериментальних даних, що характеризує стан системи в деяких випадках. Ідентифікація - вирішення завдання побудови за результатами спостережень математичних моделей, що описують адекватно поведінку реальної системи.
Агрегування. Операція полягає у перетворенні (зведенні) моделі до моделі (моделям) меншої розмірності (X, Y, A).
Декомпозиція. Операція полягає у поділі системи (моделі) на підсистеми (підмоделі) із збереженням структур та належності одних елементів та підсистем іншим.
Складання. Операція полягає у перетворенні системи, моделі, що реалізує поставлену мету із заданих або визначених підмоделей (структурно пов'язаних та стійких).
Макетування. Ця операція полягає в апробації, дослідженні структурної зв'язності, складності, стійкості за допомогою макетів або підмоделей спрощеного виду, у яких функціональна частина спрощена (хоча вхід та вихід підмоделей збережено).
Експертиза, експертне оцінювання. Операція або процедура використання досвіду, знань, інтуїції, інтелекту експертів для дослідження або моделювання підсистем досліджуваної системи, що погано структуруються, погано формалізуються.
Обчислювальний експеримент. Це експеримент, здійснюваний з допомогою моделі на ЕОМ з розподілу, прогнозу тих чи інших станів системи, реакцію ті чи інші вхідні сигнали. Приладом експерименту є комп'ютер (і модель!).

Моделі та моделювання застосовуються за такими основними та важливими напрямками.

Навчання(як моделям, моделювання, і самих моделей).
Пізнання та розробка теорії досліджуваних систем- за допомогою якихось моделей, моделювання, результатів моделювання.
Прогнозування(Вихідних даних, ситуацій, станів системи).
Управління(системою в цілому, окремими підсистемами системи, вироблення управлінських рішень та стратегій).
Автоматизація(системи чи окремих підсистем системи).

У базовій четвірці інформатики: "модель - алгоритм - комп'ютер - технологія" при комп'ютерному моделюванні головну роль відіграють алгоритм (програма), комп'ютер і технологія (точніше, інструментальні системи для комп'ютера, комп'ютерні технології).

Наприклад, при імітаційному моделюванні (за відсутності строгого та формально записаного алгоритму) головну роль відіграють технологія та засоби моделювання; аналогічно й у когнітивній графіці.

Основні функції комп'ютера при моделюванні систем:

виконувати роль допоміжного засобу на вирішення завдань, розв'язуваних звичайними обчислювальними засобами, алгоритмами, технологіями;
виконувати роль засобу постановки та вирішення нових завдань, які не розв'язуються традиційними засобами, алгоритмами, технологіями;
виконувати роль засобу конструювання комп'ютерних навчально-моделюючих середовищ;
виконувати роль засобу моделювання для здобуття нових знань;
виконувати роль "навчання" нових моделей (моделі, що самонавчаються).

Комп'ютерне моделювання - основа уявлення знань у ЕОМ (побудови різних баз знань). Комп'ютерне моделювання народження нової інформації використовує будь-яку інформацію, яку можна актуалізувати з допомогою ЕОМ.

Різновидом комп'ютерного моделювання є обчислювальний експеримент.

Комп'ютерне моделювання, обчислювальний експеримент стає новим інструментом, методом наукового пізнання, новою технологією також через необхідність переходу від дослідження лінійних математичних моделей систем.

2 – Класифікація системта моделей. Модель типу «чорна скринька».

Класифікація моделей

Моделі можуть бути відносно повними та неповними. Теорія подібності стверджує, що абсолютна подоба може мати місце лише при заміні об'єкта таким самим. Але тоді втрачається сенс моделювання.

Повна модельхарактеризує всі основні властивості об'єкта у часі та у просторі.

Неповна модельхарактеризує обмежену частину властивостей об'єкта.

Систематизація моделей наведена у наступній таблиці.

Класифікація систем
Класифікацію систем можна здійснити за різними критеріями. Її часто жорстко неможливо проводити і вона залежить від мети та ресурсів. Наведемо основні способи класифікації (можливі інші критерії класифікації систем).

Стосовно системи до навколишнього середовища:
- відкриті(є обмін із довкіллям ресурсами);
- закриті(Немає обміну ресурсами з навколишнім середовищем).
За походженням системи (елементів, зв'язків, підсистем):
- штучні(Зброї, механізми, машини, автомати, роботи і т.д.);
- природні(живі, неживі, екологічні, соціальні тощо);
- віртуальні(уявні і, хоч вони насправді реально не існують, але що функціонують так само, як і у разі, якби вони реально існували);
- змішані(Економічні, біотехнічні, організаційні і т.д.).
За описом змінних системи:
- з якісними змінними(мають лише змістовний опис);
- з кількісними змінними(мають дискретно або безперервно описувані кількісним чином змінні);
- змішаного(Кількісно - якісне) описи.
За типом опису закону (законів) функціонування системи:
- типу "Чорний ящик"(невідомий повністю закон функціонування системи; відомі лише вхідні та вихідні повідомлення системи);
- не параметризовані(закон не описаний, описуємо за допомогою хоча б невідомих параметрів, відомі лише деякі апріорні властивості закону);
- параметризовані(закон відомий з точністю до властивостей і його можна віднести до деякого класу залежностей);
- типу "Білий (прозорий) ящик"(Цілком відомий закон).
За способом керування системою (у системі):
- керовані ззовні системи(без зворотного зв'язку, регульовані, керовані структурно, інформаційно чи функціонально);
- керовані зсередини(самоврядні або саморегульовані - програмно керовані, регульовані автоматично, що адаптуються - пристосовуються за допомогою керованих змін станів і самоорганізуються - що змінюють у часі та в просторі свою структуру найбільш оптимально, що впорядковують свою структуру під впливом внутрішніх та зовнішніх факторів);
- з комбінованим керуванням(Автоматичні, напівавтоматичні, автоматизовані, організаційні).

Під регулюваннямрозуміється корекція керуючих параметрів за спостереженнями за траєкторією поведінки системи - з метою повернення системи в потрібний стан (на потрібну траєкторію поведінки системи; при цьому під траєкторією системи розуміється послідовність станів системи, що приймаються при функціонуванні системи, які розглядаються як деякі точки в безлічі станів системи).

приклад.Розглянемо екологічну систему Озеро. Це відкрита, природного походження система, змінні якої можна описувати змішаним чином (кількісно та якісно, зокрема, температура водоймища - кількісно описувана характеристика), структуру мешканців озера можна описати і якісно, і кількісно, а красу озера можна описати якісно. За типом опису закону функціонування системи, цю систему можна віднести до не параметризованих в цілому, хоча можливе виділення підсистем різного типу, зокрема, різного опису підсистеми “Ворості”, “Риби”, “Впливаючий струмок”, ”Випливаючий струмок”, “Дно ”, “Берег” та ін. Система “Комп'ютер” – відкрита, штучного походження, змішаного опису, параметризована, керована ззовні (програмно). Система "Логічний диск" - відкрита, віртуальна, кількісного опису, типу "Білий ящик" (при цьому вміст диска ми в цю систему не включаємо!) змішаного управління. Систем “Фірма” – відкрита, змішаного походження (організаційна) та описи, керована зсередини (адаптована, зокрема, система).

Система називається великий, якщо її дослідження чи моделювання утруднено через великий розмірності, тобто. множина станів системи S має велику розмірність. Яку ж розмірність слід вважати великою? Про це ми можемо судити лише для конкретної проблеми (системи), конкретної мети досліджуваної проблеми та конкретних ресурсів.

p align="justify"> Велика система зводиться до системи меншої розмірності використанням більш потужних обчислювальних засобів (або ресурсів) або розбиттям завдання на ряд завдань меншої розмірності (якщо це можливо).

приклад.Це особливо актуально при розробці великих обчислювальних систем, наприклад, при розробці комп'ютерів із паралельною архітектурою або алгоритмів із паралельною структурою даних та з їхньою паралельною обробкою.

Система називається складною, якщо в ній не вистачає ресурсів (головним чином, - інформаційних) для ефективного опису (станів, законів функціонування) та управління системою - визначення , опису керуючих параметрів або для прийняття рішень у таких системах (у таких системах завжди має бути підсистема прийняття рішення) .

приклад.Складними системами є, наприклад, хімічні реакції, якщо їх на молекулярному рівні; клітина біологічної освіти, що розглядається на метаболічному рівні; мозок людини, якщо його розглядати з точки зору інтелектуальних дій, що виконуються людиною; економіка, що розглядається на макрорівні (тобто макроекономіка); людське суспільство – на політико-релігійно-культурному рівні; ЕОМ (особливо, - п'ятого покоління), якщо її розглядати як отримання знань; мова, - у багатьох аспектах.

Складність цих систем обумовлена їхньою складною поведінкою. Складність системи залежить від прийнятого рівня опису або вивчення системи-макроскопічного або мікроскопічного.

Складність системи може бути зовнішньою та внутрішньою.

Внутрішня складністьвизначається складністю безлічі внутрішніх станів, що потенційно оцінюються за проявами системи, складністю управління в системі.

Зовнішня складністьвизначається складністю взаємовідносин із навколишнім середовищем, складністю управління системою потенційно оцінюваних по зворотним зв'язкам системи та середовища.

Складні системи бувають:

складності структурної чи статичної(бракує ресурсів для побудови, опису, управління структурою);
динамічної чи тимчасової(бракує ресурсів для опису динаміки поведінки системи та управління її траєкторією);
інформаційної чи інформаційно - логічної, інфологічної(бракує ресурсів для інформаційного, інформаційно-логічного опису системи);
обчислювальної або реалізації, дослідження(бракує ресурсів для ефективного прогнозу, розрахунків параметрів системи або їх проведення утруднено браком ресурсів);
алгоритмічної чи конструктивної(бракує ресурсів для опису алгоритму функціонування або управління системою, для функціонального опису системи);
розвитку чи еволюції, самоорганізації(Не вистачає ресурсів для сталого розвитку, самоорганізації).

Система називається стійкою, якщо вона зберігає тенденцію прагнення до того стану, яка найбільше відповідає цілям системи, цілям збереження якості без зміни структури або не призводять до сильних змін структури системи на певному заданому множині ресурсів (наприклад, на часовому інтервалі). Поняття “сильна зміна” щоразу має бути конкретизоване, детерміноване.

Система називається зв'язковий, якщо будь-які дві підсистеми обмінюються ресурсом, тобто. між ними є деякі ресурсоорієнтовані відносини, зв'язки.

Основним методом вивчення складних систем та процесів, що лежить в основі системного аналізу, є метод моделювання. Сутність методу полягає в тому, що створюється модель
досліджуваної системи, з допомогою якої вивчається процес функціонування реальної системи. Зауважимо, що термін “модель” нині широко використовують як у науковій мові, і у життєвої практиці, причому у різних ситуаціях у нього вкладається різний зміст.

Неоднозначне трактування має поняття моделі й у науковій практиці, унаслідок чого загальне визначення цього поняття знов-таки (як і разі визначення терміна “система”) дати, по суті, неможливо. У разі моделювання цікавить нас лише як метод наукового пізнання, а модель відповідно - як наукове пізнання. У зв'язку з цим зробимо такі зауваження.

У процесі пізнавальної діяльності людини поступово виробляється система уявлень про ті чи інші властивості досліджуваного об'єкта та їх взаємозв'язки. Ця система уявлень закріплюється, фіксується як описи об'єкта звичайною мовою, як малюнка, схеми, графіка, формули, як макетів, механізмів, технічних устройств. Усе це узагальнюється у єдиному понятті “модель”, а вивчення об'єктів пізнання з їхньої моделях називають моделированием.

Отже, модель - це спеціально створюваний об'єкт, у якому відтворюються цілком певні характеристики реального досліджуваного об'єкта з його вивчення. Моделювання є важливим інструментом наукової абстракції, що дозволяє виділити, обґрунтувати та аналізувати суттєві для даного дослідження характеристики об'єкта: властивості, взаємозв'язки, структурні та функціональні параметри.

Метод моделювання як метод наукового пізнання має історію, яка обчислюється тисячоліттями. Академік Н.М. Мойсеєв у зв'язку з цим зауважує: “Є одна обставина, яка лежить в основі будь-якого процесу пізнання: ми можемо оперувати тільки з моделями, вивчати лише моделі, незалежно від того, яку мову ми використовуємо – російську, французьку чи мову математики.

Наші знання завжди відносні, завжди є відображенням тих чи інших рис реальної дійсності, завжди є її моделлю” (Моїсеєв Н.М. Математика ставить експеримент. – М.: Наука, 1979. – С.33.).

Таким чином, моделювання не можна вважати нещодавно відкритим методом наукового дослідження, проте лише у середині ХХ ст. воно стало предметом як філософських, і спеціальних досліджень. Пояснюється це, зокрема, тим, що метод моделювання зараз переживає справжню революцію, пов'язану з розвитком кібернетики та електронної обчислювальної техніки.

В даний час існує велика наукова література, в якій докладно розглядаються поняття моделі, класифікація моделей за тими чи іншими ознаками, сутність моделювання як методу наукового пізнання, застосування цього в конкретних дослідженнях (економічних, соціальних, технічних та ін.).

Мета та обсяг даного підручника не дозволяють нам докладно розглянути ці питання і змушують дуже коротко зупинитися тільки на тих, які знадобляться в подальшому викладі. Насамперед додамо корисне уточнення поняття “модель”, яке дозволяє визначити модель як об'єкт будь-якої природи, здатний заміщати досліджуваний об'єкт так, що його вивчення дає нову інформацію про цей об'єкт. Очевидно, моделі вибираються таким чином, щоб вони були значно простіше і зручніше для дослідження, ніж об'єкти, що цікавлять нас (тим більше, що існують і такі об'єкти, які взагалі не можна активно досліджувати, наприклад різні космічні об'єкти).

Не заглиблюючись у докладну класифікацію всіх можливих типів моделей, наголосимо, що залежно від засобів, за допомогою яких реалізовані моделі, розрізняють насамперед матеріальне (предметне) та ідеальне (абстрактне) моделювання (рис. 1.1).

Матеріальним називається моделювання, в якому дослідження ведеться на основі моделі, що відтворює основні геометричні, фізичні, динамічні та функціональні характеристики об'єкта, що вивчається. Приватним випадком матеріального моделювання є фізичне моделювання, при якому об'єкт, що моделюється, і модель мають одну і ту ж фізичну природу.

Мал. 1.1. Класифікація моделей

Ідеальні моделі пов'язані з використанням будь-яких символічних схем (графічних, логічних, математичних та ін.). Для нас найважливіші математичні моделі,
що відображають досліджувані об'єкти за допомогою логіко-математичних символів і співвідношень. Існують визначення математичних моделей, які використовують поняття ізоморфізму та гомоморфізму. Ми їх тут наводити не будемо.

Математичні моделі мають власну класифікацію.

По-перше, математичні моделі зазвичай поділяються на аналітичні та імітаційні. У разі аналітичних моделей систему (об'єкт), що вивчається, і її властивості вдається описати відносинами-функціями в явній або неявній формі (диференціальними або інтегральними рівняннями, операторами) таким чином, що стає можливим безпосередньо за допомогою відповідного математичного апарату зробити необхідні висновки про саму систему та її властивості (а при синтезі ці властивості у якомусь сенсі оптимізувати). Імітаційні моделі є сукупність програм для ЕОМ, з допомогою яких відтворюються алгоритми та процедури, що описують процес функціонування досліджуваної системи. І тут діяльність системи з властивими їй особливостями імітується на ЕОМ. Багаторазові машинні експерименти, результати яких обробляються за допомогою методів математичної статистики, дозволяють вивчити та проаналізувати властивості даної системи. Імітаційні моделі зазвичай використовують у тих випадках, коли не вдається побудувати для системи, що вивчається, досить прості і зручні для роботи аналітичні моделі (нерідко використовується поєднання простих аналітичних і більш складних імітаційних моделей).

Імітаційне моделювання, починаючи з 60-х рр., широко застосовується у наукових дослідженнях як нашій країні, і там (у нашій країні такі дослідження вперше почали проводити у Обчислювальному центрі Російської Академії наук). У 1972 р. академіком Н.М. Мойсеєвим та її співробітниками було запроваджено поняття імітаційної системи, під якою розуміється сукупність системи моделей (основний і допоміжних), банку даних (загального джерела інформації) та засобів проведення імітаційних експериментів, які включають до складу відповідне математичне забезпечення всього процесу імітаційного експериментування.

По-друге, розрізняють моделі детерміновані та стохастичні (імовірнісні). Перші з них описують однозначно певні процеси, протягом яких можна повністю передбачити, знаючи початкові умови та закономірності перебігу цих процесів; другі використовують для опису випадкових процесів, протягом яких описується законами розподілу ймовірностей відповідних випадкових величин і однозначно передбачено не може.

Нарешті, аналізуючи шляхи виникнення математичних моделей, академік М.М. Мойсеєв ввів поняття феноменологічних та асимптотичних моделей, а також моделей ансамблів. Моделі, отримані внаслідок прямого спостереження явища чи процесу, його безпосереднього вивчення та осмислення, називаються феноменологічними.

Моделі, отримані як окремий випадок з деякої більш загальної моделі (в результаті дедуктивного процесу), називаються асимптотичними. Моделі, які у процесі узагальнення “елементарних” моделей (як наслідок процесу індукції), називаються моделями ансамблів.

Всі вищезгадані види математичних моделей можуть бути використані при вирішенні проблем забезпечення пожежної безпеки міст, населених пунктів та об'єктів народного господарства.

Зрозуміло, результати математичного моделювання мають практичний сенс лише тому випадку, якщо модель адекватна реальному процесу, т. е. досить добре відображає реальність. Питання перевірки адекватності моделей будуть надалі розглянуті окремо.

Як відомо, щоб побудувати математичну модель процесу функціонування будь-якої системи, треба спочатку дати змістовний опис цього процесу, потім формалізувати всі поняття та відносини, пов'язані з системою, параметри, що характеризують досліджуваний процес, і після цього знайти його математичний опис. Схема побудови математичних моделей представлена на рис. 1.2.

Насамкінець розглянемо деякі питання, пов'язані з моделюванням складних процесів. Існує ще одне визначення цього поняття: складним процесом вважають процес, модельний опис якого недоступний технології математичного моделювання (аналітичного) за сучасного її розвитку. Тут єдиним можливим методом вивчення таких процесів є імітаційне моделювання.

Мал. 1.2. Схема побудови математичних моделей

При цьому досить часто зустрічається така ситуація, коли в складному процесі, що вивчається, серед взаємодіючих процесів можна виділити невелику кількість «головних», характеристики яких нас цікавлять, і саме заради прогнозу цих характеристик розробляється модель. Характерний часовий масштаб інших процесів значно менше, які характеристики нас цікавлять остільки, оскільки вони впливають характеристики основних процесів.

Таким чином, процеси, що вивчаються, діляться на «повільні», прогноз розвитку яких нас цікавить, і «швидкі», характеристики яких нас цікавлять істотно менше, проте їх вплив на повільні процеси потрібно вміти враховувати.

Розподіл взаємодіючих процесів, що вивчаються, на швидкі і повільні при створенні їх математичної моделі – типовий приклад ситуації, коли в моделі з'являються випадкові фактори. І тут цікаві для нас параметри повільних процесів розглядаються як випадкові величини, а обчислення їх числових характеристик необхідно виконувати імітацію тому, у якому цей термін розуміється теоретично ймовірностей і математичної статистики, тобто. здійснюючи серію імітаційних експериментів, отримувати реалізації цікавих для нас випадкових величин і потім обробляти результати методами математичної статистики.

Все сказане ми будемо використовувати щодо процесів функціонування ДПС і РСЧС.

Лекція 9: Класифікація видів моделювання систем

Класифікація видів моделювання може бути проведена з різних підстав. Один із варіантів класифікації наведено на малюнку.

Мал. - Приклад класифікації видів моделювання

Відповідно до класифікаційної ознаки повноти, моделювання ділиться на: повне, неповне, наближене.

При повномумоделювання моделі ідентичні об'єкту в часі та просторі.

Для неповногомоделювання ця ідентичність не зберігається.

В основі наближеногомоделювання лежить подібність, у якому деякі сторони реального об'єкта не моделюються зовсім. Теорія подібності стверджує, що абсолютна подоба можлива лише при заміні одного об'єкта іншим таким самим. Тому при моделюванні абсолютна схожість не має місця. Дослідники прагнуть того, щоб модель добре відображала лише досліджуваний аспект системи. Наприклад, з метою оцінки завадостійкості дискретних каналів передачі функціональна і інформаційна моделі системи можуть розроблятися. Для досягнення мети моделювання цілком достатня подієва модель, що описується матрицею умовних ймовірностей переходів i символу алфавіту в j-й.

Залежно від типу носія та сигнатури моделі розрізняються такі види моделювання: детерміноване та стохастичне, статичне та динамічне, дискретне, безперервне та дискретно-безперервне.

Детермінованемоделювання відображає процеси, у яких передбачається відсутність випадкових впливів.

Стохастичнемоделювання враховує імовірнісні процеси та події.

Статичне моделюванняслужить для опису стану об'єкта у фіксований час, а динамічний — на дослідження об'єкта у часі. При цьому оперують аналоговими (безперервними), дискретними та змішаними моделями.

Залежно від форми реалізації носія та сигнатури моделювання класифікується на уявне та реальне.

Подумкимоделювання застосовується тоді, коли моделі не реалізовані в заданому інтервалі часу або відсутні умови їхнього фізичного створення (наприклад, ситуація мікросвіту). Уявне моделювання реальних систем реалізується у вигляді наочного, символічного та математичного. Для представлення функціональних, інформаційних та подійних моделей цього виду моделювання розроблено значну кількість засобів та методів.

При наочномумоделюванні з урахуванням уявлень про реальні об'єкти створюються наочні моделі, що відображають явища і процеси, які у об'єкті. Приклад таких моделей є навчальні плакати, малюнки, схеми, діаграми.

В основу гіпотетичногомоделювання закладається гіпотеза про закономірності перебігу процесу в реальному об'єкті, яка відображає рівень знань дослідника про об'єкт і базується на причинно-наслідкових зв'язках між входом та виходом об'єкта, що вивчається. Цей вид моделювання використовується, коли знань про об'єкт недостатньо для побудови формальних моделей. Аналогове моделювання ґрунтується на застосуванні аналогій різних рівнів. Для простих об'єктів найвищим рівнем є повна аналогія. З ускладненням системи використовуються аналогії наступних рівнів, коли аналогова модель відображає кілька (або лише одну) сторін функціонування об'єкта.

Макетуваннязастосовується, коли процеси, що протікають в реальному об'єкті, не піддаються фізичному моделюванню або можуть передувати проведенню інших видів моделювання. В основі побудови уявних макетів також лежать аналогії, що зазвичай базуються на причинно-наслідкових зв'язках між явищами та процесами в об'єкті.

Символічнемоделювання є штучним процесом створення логічного об'єкта, який замінює реальний і виражає його основні властивості за допомогою певної системи знаків і символів.

В основі мовногомоделювання лежить деякий тезаурус, який утворюється з набору понять досліджуваної предметної області, причому цей набір має бути фіксованим. Під тезаурусом розуміється словник, що відображає зв'язки між словами або іншими елементами даної мови, призначений для пошуку слів за їхнім змістом.

Традиційний тезаурус складається з двох частин: списку слів та стійких словосполучень, згрупованих за смисловими (тематичними) рубриками; алфавітного словника ключових слів, що задають класи умовної еквівалентності, вказівника відносин між ключовими словами, де для кожного слова вказані рубрики. Така побудова дозволяє визначити семантичні (смислові) відносини ієрархічного (рід/вид) та неієрархічного (синонімія, антонімія, асоціації) типу.

Між тезаурусом і традиційним словником є важливі відмінності. Тезаурус - словник, очищений від неоднозначності, тобто. у ньому кожному слову може відповідати лише поняття, хоча у звичайному словнику одному слову може відповідати кілька понять.

Якщо запровадити умовне позначення окремих понять, тобто. знаки, а також певні операції між цими знаками можна реалізувати знаковемоделювання та за допомогою знаків відображати набір понять – складати окремі ланцюжки зі слів та речень. Використовуючи операції об'єднання, перетину та доповнення теорії множин, можна в окремих символах дати опис якогось реального об'єкта.

Математичнемоделювання - це процес встановлення відповідності даному реальному об'єкту деякого математичного об'єкта, званого математичною моделлю. У принципі, для дослідження характеристик будь-якої системи математичними методами, включаючи машинні, повинна бути обов'язково проведена формалізація цього процесу, тобто. побудовано математичну модель. Вид математичної моделі залежить як від природи реального об'єкта, і від завдань дослідження об'єкта, від необхідної достовірності та точності розв'язання задачі. Будь-яка математична модель, як і будь-яка інша, визначає реальний об'єкт з деяким ступенем наближення.

Для представлення математичних моделей можна використовувати різні форми записи. Основними є інваріантна, аналітична, алгоритмічна та схемна (графічна).

Інваріантна форма - запис співвідношень моделі за допомогою традиційної математичної мови безвідносно до методу розв'язання рівнянь моделі. У цьому випадку модель може бути представлена як сукупність входів, виходів, змінних станів та глобальних рівнянь системи. Аналітична форма - запис моделі у вигляді результату вирішення вихідних рівнянь моделі. Зазвичай моделі в аналітичній формі є явними виразами вихідних параметрів як функцій входів і змінних стану.

Для аналітичногомоделювання характерно те, що в основному моделюється лише функціональний аспект системи. При цьому глобальні рівняння системи, що описують закон (алгоритм) її функціонування, записуються у вигляді деяких аналітичних співвідношень (алгебраїчних, інтегродиференціальних, звичайно різницевих тощо) або логічних умов. Аналітична модель досліджується кількома методами:

аналітичним, коли прагнуть отримати у загальному вигляді явні залежності, що пов'язують шукані характеристики з початковими умовами, параметрами та змінними станами системи;
чисельним, коли, не вміючи вирішувати рівняння у загальному вигляді, прагнуть отримати числові результати за конкретних початкових даних (нагадаємо, такі моделі називаються цифровими);
якісним, коли, не маючи рішення у явному вигляді, можна знайти деякі властивості рішення (наприклад, оцінити стійкість рішення).

Нині поширені комп'ютерні методи дослідження показників процесу функціонування складних систем. Для реалізації математичної моделі на ЕОМ необхідно побудувати відповідний моделюючий алгоритм.

Алгоритмічна форма - запис співвідношень моделі та обраного чисельного методу розв'язання у формі алгоритму. Серед алгоритмічних моделей важливий клас становлять імітаційні моделі, призначені для імітації фізичних чи інформаційних процесів за різних зовнішніх впливів. Власне імітацію названих процесів називають імітаційним моделюванням.

При імітаційномумоделюванні відтворюється алгоритм функціонування системи у часі — поведінка системи, причому імітуються елементарні явища, що становлять процес, зі збереженням їхньої логічної структури та послідовності перебігу, що дозволяє за вихідними даними отримати відомості про стани процесу у певні моменти часу, що дають можливість оцінити характеристики системи. Основною перевагою імітаційного моделювання порівняно з аналітичною є можливість вирішення складніших завдань. Імітаційні моделі дозволяють досить просто враховувати такі фактори, як наявність дискретних та безперервних елементів, нелінійні характеристики елементів системи, численні випадкові впливи та інші, які часто створюють труднощі під час аналітичних досліджень. В даний час імітаційне моделювання - найефективніший метод дослідження систем, а часто і єдиний практично доступний метод отримання інформації про поведінку системи, особливо на етапі її проектування.

В імітаційному моделюванні розрізняють метод статистичних випробувань (Монте-Карло) та метод статистичного моделювання.

Метод Монте-Карло — чисельний метод, який застосовується для моделювання випадкових величин і функцій, ймовірнісні характеристики яких збігаються з рішеннями аналітичних завдань. Складається у багаторазовому відтворенні процесів, що є реалізаціями випадкових величин і функцій, з подальшим обробленням інформації методами математичної статистики.

Якщо цей прийом застосовується для машинної імітації з метою дослідження характеристик процесів функціонування систем, схильних до випадкових впливів, то такий метод називається методом статистичного моделювання.

Метод імітаційного моделювання застосовується з метою оцінки варіантів структури системи, ефективності різних алгоритмів управління системою, впливу зміни різних параметрів системи. Імітаційне моделювання може бути покладено в основу структурного, алгоритмічного та параметричного синтезу систем, коли потрібно створити систему із заданими характеристиками за певних обмежень.

Комбіноване (аналітико-імітаційне) моделювання дозволяє об'єднати переваги аналітичного та імітаційного моделювання. При побудові комбінованих моделей проводиться попередня декомпозиція процесу Функціонування об'єкта на складові підпроцеси, і тих, де це можливо, використовуються аналітичні моделі, а інших підпроцесів будуються імітаційні моделі. Такий підхід дає можливість охопити якісно нові класи систем, які можуть бути досліджені з допомогою аналітичного чи імітаційного моделювання окремо.

Інформаційне (кібернетичне) моделювання пов'язане з дослідженням моделей, у яких відсутня безпосередня подоба фізичних процесів, що відбуваються в моделях, реальних процесів. В цьому випадку прагнуть відобразити лише деяку функцію, розглядають реальний об'єкт як «чорну скриньку», що має ряд входів та виходів, і моделюють деякі зв'язки між виходами та входами. Отже, основу інформаційних (кібернетичних) моделей лежить відбиток деяких інформаційних процесів управління, що дозволяє оцінити поведінка реального об'єкта. Для побудови моделі в цьому випадку необхідно виділити досліджувану функцію реального об'єкта, спробувати формалізувати цю функцію у вигляді деяких операторів зв'язку між входом і виходом і відтворити дану функцію на імітаційній моделі, причому зовсім іншою математичною мовою і, природно, інший фізичної реалізації процесу. Приміром, експертні системи є моделями ЛПР.

Структурнемоделювання системного аналізу базується на деяких специфічних особливостях структур певного виду, які використовуються як засіб дослідження систем або служать для розробки на їх основі специфічних підходів до моделювання із застосуванням інших методів формалізованого представлення систем (теоретико-множинних, лінгвістичних, кібернетичних і т.п.) . Розвитком структурного моделювання є об'єктно-орієнтованемоделювання.

Структурне моделювання системного аналізу включає:

методи мережевого моделювання;
поєднання методів структуризації з лінгвістичними;
структурний підхід у напрямі формалізації побудови та дослідження структур різного типу (ієрархічних, матричних, довільних графів) на основі теоретико-множинних уявлень та поняття номінальної шкали теорії вимірювань.

При цьому термін «структура моделі» може застосовуватися як до функцій, так і до елементів системи. Відповідні структури називаються функціональними та морфологічними. Об'єктно-орієнтоване моделювання поєднує структури обох типів в ієрархію класів, які включають як елементи, і функції.

У структурному моделюванні протягом останнього десятиліття сформувалася нова технологія CASE. Абревіатура CASE має двояке тлумачення, що відповідає двом напрямкам використання CASE-систем. Перше з них – Computer-Aided Software Engineering – перекладається як автоматизоване проектування програмного забезпечення. Відповідні CASE-системи часто називають інструментальним середовищем швидкої розробки програмного забезпечення (RAD - Rapid Application Development). Друге — Computer-Aided System Engineering — наголошує на спрямованості на підтримку концептуального моделювання складних систем, переважно слабоструктурованих. Такі CASE-системи часто називають системами BPR (Business Process Reengineering). В цілому CASE-технологія є сукупністю методологій аналізу, проектування, розробки та супроводу складних автоматизованих систем, що підтримується комплексом взаємопов'язаних засобів автоматизації. CASE – це інструментарій для системних аналітиків, розробників та програмістів, що дозволяє автоматизувати процес проектування та розробки складних систем, у тому числі програмного забезпечення.

Ситуаційнемоделювання спирається на модельну теорію мислення, у межах якої можна описати основні механізми регулювання процесів прийняття рішень. У центрі модельної теорії мислення лежить уявлення про формування у структурах мозку інформаційної моделі об'єкта та зовнішнього світу. Ця інформація сприймається людиною на основі вже наявних у неї знань та досвіду. Доцільна поведінка людини будується шляхом формування цільової ситуації та уявного перетворення вихідної ситуації на цільову. Основою побудови моделі є опис об'єкта як сукупності елементів, пов'язаних між собою певними відносинами, що відображають семантику предметної області. Модель об'єкта має багаторівневу структуру і є той інформаційний контекст, і натомість якого протікають процеси управління. Чим багатша інформаційна модель об'єкта і вище можливості маніпулювання нею, тим краща і різноманітніша якість прийнятих рішень при управлінні.

При реальномумоделюванні використовується можливість дослідження показників або реальному об'єкті цілком, або його частини. Такі дослідження проводяться як на об'єктах, що працюють у нормальних режимах, так і при організації спеціальних режимів для оцінки дослідника, що цікавлять характеристик (при інших значеннях змінних і параметрів, в іншому масштабі часу і т.д.). Реальне моделювання є найбільш адекватним, та його можливості обмежені.

Натурниммоделювання називають проведення дослідження на реальному об'єкті з подальшою обробкою результатів експерименту на основі теорії подоби. Натурне моделювання поділяється на науковий експеримент, комплексні випробування та виробничий експеримент. Науковий експериментхарактеризується широким використанням засобів автоматизації, застосуванням різноманітних засобів обробки інформації, можливістю втручання людини в процес проведення експерименту. Один з різновидів експерименту комплексні випробування, у яких внаслідок повторення випробувань об'єктів загалом (чи великих частин системи) виявляються загальні закономірності про характеристики якості, надійності цих об'єктів. У цьому випадку моделювання здійснюється шляхом обробки та узагальнення відомостей про групу однорідних явищ. Поруч із спеціально організованими випробуваннями можлива реалізація натурного моделювання шляхом узагальнення досвіду, накопиченого під час виробничого процесу, тобто. можна говорити про виробничому експерименті. Тут з урахуванням теорії подоби обробляють статистичний матеріал з виробничому процесу отримують його узагальнені показники. Необхідно пам'ятати про відмінність експерименту від реального перебігу процесу. Воно полягає в тому, що в експерименті можуть з'явитися окремі критичні ситуації та визначити межі стійкості процесу. У ході експерименту вводяться нові фактори, що обурюють вплив у процес функціонування об'єкта.

Іншим видом реального моделювання є фізичне, що відрізняється від натурного тим, що дослідження проводиться в установках, які зберігають природу явищ і мають фізичну подобу. У процесі фізичного моделювання задаються деякі характеристики довкілля і досліджується поведінка або реального об'єкта, або його моделі при заданих чи створюваних штучно впливах довкілля. Фізичне моделювання може протікати в реальному та модельному (псевдореальному) масштабах часу або розглядатися без урахування часу. В останньому випадку вивченню підлягають так звані «заморожені» процеси, які фіксуються в певний момент часу.

Принципи та підходи до побудови математичних моделей

Математичне моделювання багато хто вважає швидше мистецтвом, ніж стрункою і закінченою теорією. Тут дуже велика роль досвіду, інтуїції та інших інтелектуальних якостей людини. Тому неможливо написати досить формалізовану інструкцію, що визначає, як має будуватися модель тієї чи іншої системи. Тим не менш, відсутність точних правил не заважає досвідченим фахівцям будувати вдалі моделі. До теперішнього часу вже накопичено значний досвід, що дає підставу сформулювати деякі принципи та підходи до побудови моделей. При розгляді нарізно кожен з них може здатися досить очевидним. Але сукупність узятих разом принципів та підходів далеко не тривіальна. Багато помилок та невдачі в практиці моделювання є прямим наслідком порушення цієї методології.

Принципи визначають загальні вимоги, яким має задовольняти правильно побудована модель. Розглянемо ці принципи.

Адекватність. Цей принцип передбачає відповідність моделі цілям дослідження за рівнем складності та організації, а також відповідність реальній системі щодо обраної множини властивостей. До тих пір, поки не вирішено питання, чи правильно відображає модель досліджувану систему, цінність моделі незначна.

Відповідність моделі розв'язуваної задачі. Модель має будуватися на вирішення певного класу завдань чи конкретної завдання дослідження системи. Спроби створення універсальної моделі, націленої рішення великої кількості різноманітних завдань, призводять до такого ускладнення, що вона виявляється практично непридатною. Досвід показує, що при розв'язанні кожної конкретної задачі потрібно мати свою модель, що відображає ті аспекти системи, які є найбільш важливими у цьому завданні. Цей принцип пов'язаний із принципом адекватності.

Спрощення за збереження істотних властивостей системи. Модель має бути в деяких відносинах простішою за прототип — у цьому сенс моделювання. Чим складніша система, тим по можливості більш спрощеним має бути її опис, навмисне утрирующее типові і ігнорує менш істотні властивості. Цей принцип можна назвати принципом абстрагування від другорядних деталей.

Відповідність між необхідною точністю результатів моделювання та складністю моделі. Моделі за своєю природою завжди мають наближений характер. Виникає питання, яким має бути це наближення. З одного боку, щоб відобразити всі суттєві властивості, модель необхідно деталізувати. З іншого боку, будувати модель, що наближається складно до реальної системи, очевидно, не має сенсу. Вона не повинна бути настільки складною, щоб знаходження рішення виявилося надто скрутним. Компроміс між цими двома вимогами досягається нерідко шляхом спроб і помилок. Практичними рекомендаціями щодо зменшення складності моделей є:

зміна числа змінних, що досягається або винятком несуттєвих змінних, або об'єднанням. Процес перетворення моделі на модель з меншим числом змінних і обмежень називають агрегуванням. Наприклад, всі типи ЕОМ у моделі гетерогенних мереж можна об'єднати у чотири типи – ПЕОМ, робочі станції, великі ЕОМ (мейнфрейми), кластерні ЕОМ;
зміна природи змінних властивостей. Змінні параметри розглядаються як постійні, дискретні - як безперервні і т.д. Так, умови поширення радіохвиль моделі радіоканалу для простоти можна прийняти постійними;
зміна функціональної залежності між змінними. Нелінійна залежність зазвичай замінюється лінійною, дискретна функція розподілу ймовірностей — безперервною;
зміна обмежень (додавання, виняток чи модифікація). При знятті обмежень виходить оптимістичний розв'язок, при введенні — песимістичний. Варіюючи обмеженнями можна знайти можливі граничні значення ефективності. Такий прийом часто використовується знаходження попередніх оцінок ефективності рішень на етапі постановки завдань;
обмеження точності моделі. Точність результатів моделі не може бути вищою за точність вихідних даних.

Баланс похибок різних видів. Відповідно до принципу балансу необхідно добиватися, наприклад, балансу систематичної похибки моделювання за рахунок відхилення моделі від оригіналу та похибки вихідних даних, точності окремих елементів моделі, систематичної похибки моделювання та випадкової похибки при інтерпретації та середовищі результатів.

Багатоваріантність реалізації елементів моделі. Різноманітність реалізацій одного і того ж елемента, що відрізняються за точністю (а отже, і за складністю), забезпечує регулювання співвідношення «точність/складність».

Блокова будова. При дотриманні принципу блокової будови полегшується розробка складних моделей та з'являється можливість використання накопиченого досвіду та готових блоків із мінімальними зв'язками між ними. Виділення блоків проводиться з урахуванням поділу моделі за етапами та режимами функціонування системи. Наприклад, при побудові моделі Для системи радіорозвідки можна назвати модель роботи випромінювачів, модель виявлення випромінювачів, модель пеленгування тощо.

Залежно від конкретної ситуації можливі такі підходи щодо побудови моделей:

безпосередній аналіз функціонування системи;
проведення обмеженого експерименту на системі;
використання аналога;
аналіз вихідних даних

Є ціла низка систем, які допускають проведення безпосередніх досліджень щодо виявлення істотних параметрів та відносин між ними. Потім або застосовуються відомі математичні моделі, або модифікуються або пропонується нова модель. Таким чином, наприклад, можна вести розробку моделі для спрямування зв'язку в умовах мирного часу.

Під час проведення експерименту виявляється значної частини істотних параметрів та його впливом геть ефективність системи. Таку мету переслідують, наприклад, усі командно-штабні ігри та більшість навчань.

Якщо спосіб побудови моделі системи не зрозумілий, та її структура очевидна, можна скористатися схожістю з простішою системою, модель котрій існує.

Побудову моделі можна приступити на основі аналізу вихідних даних, які вже відомі або можуть бути отримані. Аналіз дозволяє сформулювати гіпотезу про структуру системи, яка потім апробується. Так з'являються перші моделі нового зразка іноземної техніки за наявності попередніх даних про їх технічні параметри.

Розробники моделей перебувають під впливом двох взаємно суперечливих тенденцій: прагнення повноті описи і прагнення отримання необхідних результатів можливо простішими засобами. Досягнення компромісу ведеться зазвичай шляхом побудови серії моделей, що починаються з гранично простих і висхідних до високої складності (існує відоме правило: починай з простих моделей, а далі ускладнюй). Прості моделі допомагають глибше зрозуміти досліджувану проблему. Ускладнені моделі застосовуються для аналізу впливу різних чинників на результати моделювання. Такий аналіз дозволяє виключати деякі чинники із розгляду.

Складні системи вимагають розробки цілої ієрархії моделей, що відрізняються рівнем операцій, що відображаються. Вирізняють такі рівні, як вся система, підсистеми, керуючі об'єкти та ін.

Розглянемо один конкретний приклад – модель розвитку (модель Харрода). Цю спрощену модель розвитку економіки країни запропоновано англійським економістом Р. Харродом. У моделі враховується один фактор, що визначається, — капітальні вкладення, а стан економіки оцінюється через розмір національного доходу.

Для математичної постановки задачі введемо такі позначення:

Y t - національний дохід на рік t;
K t - Виробничі фонди на рік t;
K t - Обсяг споживання на рік t;
K t - Обсяг накопичення на рік t;
K t - капітальні вкладення на рік t.

Припускатимемо, що функціонування економіки відбувається при виконанні наступних умов:

умова балансу доходів та витрат за кожен рік

умова виключення пролежування капіталу

умова пропорційного поділу національного річного доходу

Дві умови приймаються для характеристики внутрішніх економічних процесів. Перша умова характеризує зв'язок капітальних вкладень та загальної суми виробничих фондів, друга – зв'язок національного річного доходу та виробничих фондів.

Капітальні вкладення на рік t можуть розглядатися як приріст виробничих фондів або похідна від функції виробничі фонди приймається як капітальні річні вкладення:

Національний дохід щороку приймається як віддача виробничих фондів з відповідним нормативним коефіцієнтом фондовіддачі:

Поєднуючи умови завдання, можна отримати таке співвідношення:

Y t = V t /a = dK/(a⋅dt) = b/a⋅dY/dt

Звідси випливає підсумкове рівняння Харрода:

Y t = b⋅dY/dt = a⋅Y

Його рішенням є експоненційна зміна національного доходу за річними інтервалами:

Y t = Y 0 ⋅e a⋅t/b

Незважаючи на спрощений вид математичної моделі, її результат можна використовувати для укрупненого аналізу національної економіки. Параметри а і b можуть стати параметрами управління при виборі планової стратегії розвитку з метою максимального наближення до кращої траєкторії зміни національного доходу або вибору мінімального інтервалу часу досягнення заданого рівня національного доходу.

Етапи побудови математичної моделі

Сутність побудови математичної моделі полягає в тому, що реальна система спрощується, схематизується та описується за допомогою того чи іншого математичного апарату. Можна виділити такі основні етапи побудови моделей.

Змістовний опис об'єкта, що моделюється.Об'єкти моделювання описуються з позиції системного підходу. Виходячи з мети дослідження встановлюються сукупність елементів, взаємозв'язки між елементами, можливі стани кожного елемента, суттєві характеристики станів та відносини між ними. Наприклад, фіксується, що й значення одного параметра зростає, то значення іншого — зменшується тощо. Питання, пов'язані з повнотою та єдиністю вибору показників, не розглядаються. Звісно, у такому словесному описі можливі логічні протиріччя, невизначеності. Це вихідна природничо-наукова концепція досліджуваного об'єкта. Таке попереднє, наближене уявлення системи називають концептуальною моделлю. Для того щоб змістовний опис служило гарною основою для подальшої формалізації, потрібно докладно вивчити об'єкт, що моделюється. Нерідко природне прагнення прискорити розробку моделі відводить дослідника від цього етапу безпосередньо до вирішення формальних питань. В результаті побудована без достатнього змістовного базису модель виявляється непридатною для використання. На цьому етапі моделювання широко застосовуються якісні методи опису систем, знакові та мовні моделі.

Формалізація операцій.Формалізація зводиться загалом до наступного. На основі змістовного опису визначається вихідна множина характеристик системи. Для виділення суттєвих характеристик необхідний хоча б наближений аналіз кожної їх. Під час проведення аналізу спираються на постановку завдання та розуміння природи досліджуваної системи. Після виключення несуттєвих характеристик виділяють керовані та некеровані параметри та виробляють символізацію. Потім визначається система обмежень значення керованих параметрів. Якщо обмеження не мають принципового характеру, то ними нехтують.

Подальші дії пов'язані з формуванням цільової функції моделі. Відповідно до відомих положень вибираються показники результату операції та визначається приблизний вид функції корисності на результатах. Якщо функція корисності близька до граничної (або монотонної), то оцінка ефективності рішень можлива безпосередньо за показниками результату операції. У цьому випадку необхідно вибрати спосіб згортки показників (спосіб переходу від безлічі показників до одного узагальненого показника) і зробити саму згортку. По пакунку показників формуються критерій ефективності та цільова функція.

Якщо при якісному аналізі виду функції корисності виявиться, що її не можна вважати граничною (монотонною), пряма оцінка ефективності рішень через показники результату операції неправомірна. Необхідно визначати функцію корисності і вже на її основі вести формування критерію ефективності та цільової функції.

Загалом заміна змістовного опису формальним – це ітеративний процес.

Перевірка адекватності моделі.Вимога адекватності перебуває у протиріччі з вимогою простоти, і це треба враховувати під час перевірки моделі адекватність. Вихідний варіант моделі попередньо перевіряється за такими основними аспектами:

Чи всі суттєві параметри включені до моделі?
Чи немає у моделі несуттєвих параметрів?
Чи правильно відображено функціональні зв'язки між параметрами?
Чи правильно визначено обмеження на значення параметрів?

Для перевірки рекомендується залучати спеціалістів, які не брали участі у розробці моделі. Вони можуть об'єктивніше розглянути модель і помітити її слабкі сторони, ніж її розробники. Така попередня перевірка моделі дає змогу виявити грубі помилки. Після цього приступають до реалізації моделі та проведення досліджень. Отримані результати моделювання піддаються аналізу відповідність відомим властивостям досліджуваного об'єкта. Для встановлення відповідності створюваної моделі оригіналу використовуються такі шляхи:

порівняння результатів моделювання з окремими експериментальними результатами, отриманими за однакових умов;
використання інших близьких моделей;
зіставлення структури та функціонування моделі з прототипом.

Головним шляхом перевірки адекватності моделі об'єкту, що досліджується, виступає практика. Однак вона вимагає накопичення статистики, яка далеко не завжди буває достатньою для отримання надійних даних. Для багатьох моделей перші два прийнятні меншою мірою. У цьому випадку залишається один шлях: висновок про подібність моделі та прототипу робити на основі зіставлення їх структур та функцій, що реалізуються. Такі висновки не мають формального характеру, оскільки ґрунтуються на досвіді та інтуїції дослідника.

За результатами перевірки моделі на адекватність приймається рішення про можливість її практичного використання або проведення коригування.

Коригування моделі.При коригуванні моделі можуть уточнюватися суттєві параметри, обмеження значення керованих параметрів, показники результату операції, зв'язку показників результату операції з суттєвими параметрами, критерій ефективності. Після внесення змін до моделі знову виконується оцінка адекватності.

Оптимізація моделі.Сутність оптимізації моделей полягає у їх спрощенні при заданому рівні адекватності. Основними показниками, за якими можлива оптимізація моделі, є час та витрати коштів для проведення досліджень на ній. В основі оптимізації лежить можливість перетворення моделей з однієї форми на іншу. Перетворення може виконуватися з використанням математичних методів, або евристичним шляхом.

1.2.Прикладні аспекти моделювання 13

1.3.Основні властивості моделі та моделювання 18

2. Математичне та комп'ютерне моделювання 22

2.1. Класифікація видів моделювання 22

2.2. Математичне моделювання складних систем 24

2.3. Імітація випадкових величин та процесів 27

2.4.Основи математичного моделювання 28

2.5.Комп'ютерне моделювання 34

3.Еволюційне моделювання та генетичні алгоритми 41

3.1.Основні атрибути еволюційного моделювання 41

3.2.Основні дослідження еволюції систем 42

3.3. Генетичні алгоритми 50

4.Основи прийняття рішень та ситуаційного моделювання 53

4.1. Основи прийняття рішень 53

4.2. Формалізовані рішення 56

Література 63

Основи моделювання систем
1. Моделі та моделювання

У моделей, особливо математичних, є особливість - розвиток модельного стилю мислення, що дозволяє вникати в структуру і внутрішню логіку системи, що моделюється.

Побудова моделі- системне завдання, що вимагає аналізу та синтезу вихідних даних, гіпотез, теорій, знань спеціалістів. Системний підхід дозволяє не лише побудувати Модельреальної системи, але й використовувати цю Модельз метою оцінки (наприклад, ефективності управління, функціонування) системи.

Модель - це об'єкт або опис об'єкта, системи для заміщення однієї системи (оригіналу) іншою системою для кращого вивчення оригіналу або відтворення будь-яких його властивостей.

Досліджуючи такі системи, Ньютон отримав математичне співвідношення: F = m * a.Це фізико-математична Модельсистеми або математична Модельфізичної системи

При описі цієї системи прийнято такі гіпотези:

поверхня ідеальна (тобто коефіцієнт тертя дорівнює нулю);
тіло знаходиться у вакуумі (тобто опір повітря дорівнює нулю);
маса тіла незмінна;
тіло рухається з однаковим постійним прискоренням у будь-якій точці.

приклад. Фізіологічна система (система кровообігу людини) – підпорядковується деяким законам термодинаміки. Описуючи цю систему фізичною (термодинамічною) мовою балансових законів, отримаємо фізичну, термодинамічну Модельфізіологічної системи Якщо записати ці закони математичною мовою, тобто. відповідні термодинамічні рівняння, то вже отримуємо математичну Модельсистеми кровообігу.

приклад . Сукупність підприємств функціонує над ринком, обмінюючись товарами, сировиною, послугами, інформацією. Якщо описати економічні закони, правила їх взаємодії на ринку за допомогою математичних співвідношень, наприклад, системи рівнянь алгебри, де невідомими будуть величини прибутку, що одержуються від взаємодії підприємств, а коефіцієнтами рівняння будуть значення інтенсивностей таких взаємодій, то отримаємо економіко-математичну. Модельсистеми підприємств над ринком.

Якщо банк виробив стратегію кредитування, зміг описати її за допомогою економіко-математичних моделейі прогнозує свою тактику кредитування, він має велику стійкість і життєздатність.

Слово " Модель(лат. modelium) означає "захід", "спосіб", "схожість з якоюсь річчю".

Моделювання базується на математичній теорії подібності, згідно з якою абсолютна подоба може мати місце лише при заміні одного об'єкта іншим точно таким же.

При моделюваннібільшості систем абсолютна подоба неможлива, і основна мета моделювання - Модельдосить добре має відображати функціонування моделі, що моделюється.

За рівнем, "глибині" моделювання моделі бувають:

емпіричні – на основі емпіричних фактів, залежностей;
теоретичні – на основі математичних описів;
змішані, напівемпіричні – на основі емпіричних залежностей та математичних описів.

Проблема моделювання складається з трьох завдань:

побудова моделі(Це завдання менш формалізується і конструктивне, в тому сенсі, що немає алгоритму для побудови моделей);
дослідження моделі(Це завдання більш формалізується, є методи дослідження різних класів моделей);
використання моделі(Конструктивна і конкретизована задача).

МодельМ, що описує систему S(x 1 , x 2 , ..., x n ; R), має вигляд: М = (z 1 , z 2 , ..., z m ; Q), де z i Z, i = 1, 2, ..., n, Q, R - множини відносин над X - безліччю вхідних, вихідних сигналів і станів системи, Z - безліч описів, уявлень елементів та підмножин X.

Схема побудови моделі Мсистеми Sіз вхідними сигналами Xта вихідними сигналами Yзображено на рис. 1.1.

Мал. 1.1.Схема побудови моделі

Якщо на вхід М надходять сигнали з X і на вході з'являються сигнали Y, то встановлено закон (правило fфункціонування моделі) системи.

Моделювання - це універсальний метод отримання опису функціонування об'єкта та використання знань про нього. Моделювання використовується у будь-якій професійній діяльності

Класифікацію моделейпроводять за різними критеріями.

Модельназивається статичної якщо серед параметрів, що беруть участь у її описі, немає тимчасового параметра. ^ Статична модель у кожний момент часу дає лише "фотографію" системи, її зріз.

приклад. Закон Ньютона F = a * m - це статична модельщо рухається з прискоренням aматеріальної точки масою m. Ця Модельне враховує зміну прискорення від однієї точки до іншої.

^ Модель динамічна якщо серед її параметрів є часовий параметр, тобто. вона відображає систему (процеси у системі) у часі.

приклад. Динамічна модельзакону Ньютона матиме вигляд:

F(t)=a(t)*m(t).

Модель дискретна якщо вона описує поведінку системи тільки в дискретні моменти часу.

приклад. Якщо розглядати лише t=0, 1, 2, …, 10 (сек), то Модель S t =gt 2 /2 або числова послідовність S 0 =0, S 1 =g/2, S 2 =2g, S 3 =9g/2, :, S 10 =50g може служити дискретною моделлюруху вільно падаючого тіла.

^ Модель безперервна якщо вона описує поведінку системи для всіх моментів часу деякого проміжку часу.

приклад. Модель S = gt 2/2, 0< t < 100 непрерывна на промежутке времени (0;100).

Модель імітаційнаякщо вона призначена для випробування або вивчення можливих шляхів розвитку та поведінки об'єкта шляхом варіювання деяких або всіх параметрів моделі.

приклад. Нехай Модельекономічної системи виробництва товарів двох видів 1 та 2, у кількості x 1 та x 2 одиниць та вартістю кожної одиниці товару a 1 та a 2 на підприємстві описана у вигляді співвідношення:

A 1 x 1 + a 2 x 2 = S,

Де S - загальна вартість виробленої підприємством усієї продукції (види 1 та 2). Можна її використовувати як імітаційної моделі, За якою можна визначати (варіювати) загальну вартість S в залежності від тих чи інших значень обсягів вироблених товарів.

Модель детермінованаякщо кожному вхідному набору параметрів відповідає цілком визначений і однозначно визначається набір вихідних параметрів; в іншому випадку - Модельнедетермінована, стохастична(імовірнісний).

приклад. Наведені вище фізичні моделі- Детерміновані. Якщо в моделі S = gt 2/2, 0< t < 100 мы учли бы случайный параметр - порыв ветра с силой pпри падінні тіла:

S(p) = g(p) t 2/2, 0< t < 100,

То ми б отримали стохастичну модель(Вже не вільного!) Падіння.

Модель функціональна , Якщо вона у вигляді системи будь-яких функціональних співвідношень.

^ Модель теоретико-множинна , якщо вона представима за допомогою деяких множин і відносин належності їм та між ними.

приклад . Нехай задано безліч X = (Микола, Петро, Миколаїв, Петров, Олена, Катерина, Михайло, Тетяна) та відносини: Микола - чоловік Олени, Катерина - дружина Петра, Тетяна - дочка Миколи та Олени, Михайло - син Петра та Катерини, сім'ї Михайла та Петра товаришують один з одним. Тоді безліч X та безліч перерахованих відносин Y можуть служити теоретико-множинною моделлюдвох дружніх сімей.

Модель логічна, якщо вона уявна предикатами, логічними функціями.

Наприклад, сукупність двох логічних функцій виду:

Z = x y x y, p = x y

Може бути математичною моделлю однорозрядного суматора.

Модель ігроваякщо вона описує, реалізує деяку ігрову ситуацію між учасниками гри (особами, коаліціями).

приклад. Нехай гравець 1 – сумлінний податковий інспектор, а гравець 2 – недобросовісний платник податків. Йде процес (гра) щодо ухилення від податків (з одного боку) та виявлення приховування сплати податків (з іншого боку). Гравці обирають натуральні числа i та j (i, j n), які можна ототожнити, відповідно, зі штрафом гравця 2 за несплату податків при виявленні факту несплати гравцем 1 та з тимчасовою вигодою гравця 2 від приховування податків. Розглянемо матричну гру із матрицею виграшів порядку n. Кожен елемент цієї матриці A визначається за правилом a ij = | i - j |. Модельгри описується цією матрицею та стратегією ухилення та упіймання. Ця гра – антагоністична.

Модель алгоритмічнаякщо вона описана деяким алгоритмом або комплексом алгоритмів, що визначає її функціонування, розвиток.

Потрібно пам'ятати, що не всі моделіможуть бути досліджені чи реалізовані алгоритмічно.

приклад. Моделью обчислення суми нескінченного спадного ряду чисел може бути алгоритм обчислення кінцевої суми ряду до певної заданої міри точності. Алгоритмічною моделлюкореня квадратного з числа x може служити алгоритм обчислення його наближеного скільки завгодно точного значення за відомою рекурентною формулою.

^ Модель структурна, якщо вона уявна структурою даних або структурами даних та відносинами між ними.

Наприклад, з труктурною моделлюможе бути опис (табличний, графічний, функціональний чи інше) структури екосистеми.

^ Модель графова, якщо вона представна графом або графами та відносинами між ними.

Модель ієрархічна(Древоподібна), якщо уявна деякою ієрархічною структурою (деревом).

приклад. Для вирішення задачі знаходження маршруту в дереві пошуку можна побудувати, наприклад, деревоподібну Модель (Мал. 1.2):

Мал. 1.2.Модель ієрархічної структури

Модель мережева, якщо вона уявна деякою мережевою структурою.

приклад. Будівництво нового будинку включає операції, наведені в таблиці нижче.

^ Таблиця робіт під час будівництва будинку
№	Операція	Час виконання (дні)	^ Попередні операції	Дуги графа
1	Розчищення ділянки	1	ні	-
2	Закладка фундаменту	4	Розчищення ділянки (1)	1-2
3	Зведення стін	4	Закладка фундаменту (2)	2-3
4	Монтаж електропроводки	3	Зведення стін (3)	3-4
5	Штукатурні роботи	4	Монтаж електропроводки (4)	4-5
6	Благоустрій території	6	Зведення стін (3)	3-6
7	Оздоблювальні роботи	4	Штукатурні роботи (5)	5-7
8	Настил даху	5	Зведення стін (3)	3-8

Мережева модель(Мережевий графік) будівництва будинку дана на рис. 1.3.

Мал. 1.3.Мережевий графік будівництва робіт

Дві роботи, відповідні дузі 4-5, паралельні, їх можна або замінити на одну, що представляє спільну операцію (монтаж електропроводки і настил даху) з новою операцією тривалістю 3+5=8, або ввести на одній дузі фіктивну подію.

^ Модельмовна, лінгвістичнаякщо вона представлена деяким лінгвістичним об'єктом, формалізованою мовною системою або структурою.

Іноді такі моделіназивають вербальними, синтаксичними.

Наприклад, правила дорожнього руху - мовна, структурна модельруху транспорту та пішоходів на дорогах.

Нехай B - безліч виробляючих основ іменників, C - безліч суфіксів, P - прикметників, "+" - операція конкатенації слів, ":=" - операція присвоювання, "=>" - операція виведення (виведення нових слів), Z - безліч значень (смислових) прикметників. Мовна Модель M словотвори:

= + <с i >. При b i - "риб(а)", з i - "н(ий)", отримуємо за цією моделі p i - "рибний", z i - "приготовлений із риби".

^ Модель візуальна, якщо вона дозволяє візуалізувати відносини та зв'язки моделюється системи, особливо в динаміці.

Наприклад, на екрані комп'ютера часто користуються візуальною. моделлютого чи іншого об'єкта, наприклад, клавіатури у програмі – тренажері з навчання роботі на клавіатурі.

^ Модель натурна, якщо вона є матеріальною копією об'єкта моделювання.

Наприклад, глобус – натурна географічна Модельземної кулі.

^ Модель геометрична, графічна, якщо вона уявна геометричними образами та об'єктами.

^ Модель клітинно-автоматнаякщо вона представляє систему за допомогою клітинного автомата або системи клітинних автоматів.

Клітинний автомат – дискретна динамічна система, аналог фізичного (безперервного) поля. Клітинно-автоматна геометрія – аналог евклідової геометрії. Неподільний елемент евклідової геометрії – точка, на основі її будуються відрізки, прямі, площини тощо.