Що таке складання швидкостей у фізиці визначення. Правило складання швидкостей

Давайте у кількох статтях розглянемо докладно та уважно закон складання швидкостейта вирішення завдань, з використанням цього закону.

Для початку, згадаємо, що часто ми спостерігаємо досить складні типи руху, коли тіло рухається щодо системи відліку, яка водночас рухається щодо Землі. І перша складність тут полягає у виборі рухомої та нерухомої систем відліку. Сьогодні ми це й розберемо. Якщо брати за нерухому систему відліку дерево,зростає на Землі(а найчастіше саме землю беруть за нерухому систему відліку), то досить легко запровадити інші системи відліку.

Спробуємо це зробити на таких прикладах:

1. Пасажир рухається в автобусі, що рухається (або по ескалатору, що рухається).

Тут нерухомасистема відліку - Дерево, а рухливасистема відліку - автобус (ескалатор).І тоді

• швидкість пасажира щодо автобуса (ескалатора)- Швидкість пасажира ( Тїла) Прощодо Пзсувної системи відліку (автобуса; ескалатора) ( ϑ ТоП),
• швидкість пасажира щодо Землі (дерева)- Швидкість пасажира ( Тїла) ПроЗемлі) ( ϑ ТоЗ),
• швидкість автобуса (ескалатора)- Швидкість Пзсувної системи відліку (автобуса; ескалатора) Прощодо нерухомої ( Землі) ( ϑ Поз).

2. Легкова машина та вантажівка рухаються шосе (навіть не важливо, в якому напрямку).

В якості нерухомий системи відліку залишаємо дерево,зростає на Землі,за рухливусистему відліку візьмемо вантажна машина.Тоді,

• швидкість легкової машини щодо вантажної - Швидкість легкової машини ( Тїла) Прощодо Пзсувної системи відліку (вантажної машини) ( ϑ ТоП),
• швидкість легкової машини щодо Землі (Дерева) – швидкість легкової машини ( Т їла) Про щодо нерухомої системи відліку ( З емлі) ( ϑ ТоЗ). Цю швидкість показує спідометр – прилад для вимірювання швидкості, який є в кожній машині.
• зшвидкість вантажної машини – швидкість Пзсувної системи відліку (вантажної машини) Прощодо нерухомої ( Землі) ( ϑ Поз). Цю швидкість показує спідометр вантажного автомобіля.

3. Човен рухається річкою.

Знову, як нерухомий системи відліку дерево, що росте на землі. За нерухомусистему відліку візьмемо течія річки(щоб цей перебіг візуалізувати, уявіть опалий лист на поверхні води). Тоді,

• швидкість човна щодо листка – швидкість човна ( Тїла) Прощодо Прухомої системи відліку (течі річки) ( ϑ ТоП), тобто швидкість човнав стоячій воді,
• швидкість човна щодо Землі (дерева) – швидкість човна ( Тїла) Прощодо нерухомої системи відліку ( Землі) ( ϑ ТоЗ),
• швидкість течії (листка) – швидкість Прухомої системи відліку (течі річки) Прощодо нерухомої ( Землі) ( ϑ Поз).

4. Падає крапля дощу.

Знову, як нерухомий системи відліку дерево, зростає на Землі,рухливийсистеми відліку – вітер(Щоб це візуалізувати, уявіть листок, що відірвався, що летів). Тоді,

• швидкість краплі щодо вітру – швидкість краплі ( Тїла) Прощодо Пзсувної системи відліку (вітру) ( ϑ ТоП),
• швидкість краплі щодо Землі (дерева) – швидкість краплі ( Тїла) Прощодо нерухомої системи відліку ( Землі) ( ϑ ТоЗ),
• швидкість вітру – швидкість Пзсувної системи відліку (вітру) Прощодо нерухомої ( Землі) ( ϑ Поз).

Розібравшись, з вибором систем відліку, введемо та вивчимо закон складання швидкостей:

Швидкість тіла щодо нерухомої системи відліку (ϑТоЗ ) дорівнює векторній сумі швидкості тіла щодо рухомої системи відліку (ϑТоп ) та швидкості рухомої системи відліку щодо нерухомої (ϑПоз ).

При вирішенні завдань вихідний вираз завждибуде в такому векторномувигляді. А ось як вирішувати наведені вище завдання, це ми обговоримо в наступних статтях.

Залишились питання? Не знаєте, як вирішувати завдання на складання швидкостей?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

А ця система відліку у свою чергу рухається щодо іншої системи) виникає питання про зв'язок швидкостей у двох системах відліку.

Енциклопедичний YouTube

1 / 3

Складання швидкостей (кінематика) ➽ Фізика 10 клас ➽ Відеоурок

Урок 19. Відносність руху. Формула складання швидкостей.

фізика. Урок №1. Кінематика. Закон складання швидкостей

Субтитри

Класична механіка

V → a = v → r + v → e. (\displaystyle (\vec (v))_(a)=(\vec (v))_(r)+(\vec (v))_(e).)

Дана рівність є змістом затвердження теореми, про складання швидкостей.

Простою мовою: Швидкість руху тіла щодо нерухомої системи відліку дорівнює векторній сумі швидкості цього тіла щодо рухомої системи відліку та швидкості (щодо нерухомої системи) тієї точки рухомої системи відліку, в якій в даний момент часу знаходиться тіло.

Приклади

1. Абсолютна швидкість мухи, що повзуть по радіусу обертової грамофонної платівки, дорівнює сумі швидкості її руху щодо платівки і тієї швидкості, яку має точка платівки під мухою щодо землі (тобто з якої її переносить платівка за рахунок свого обертання).
2. Якщо людина йде коридором вагона зі швидкістю 5 кілометрів на годину щодо вагона, а вагон рухається зі швидкістю 50 кілометрів на годину щодо Землі, то людина рухається щодо Землі зі швидкістю 50 + 5 = 55 кілометрів на годину, коли йде за напрямом руху поїзда, та зі швидкістю 50 - 5 = 45 кілометрів на годину, коли він йде у зворотному напрямку. Якщо людина у коридорі вагона рухається щодо Землі зі швидкістю 55 кілометрів на годину, а поїзд із швидкістю 50 кілометрів на годину, то швидкість людини щодо поїзда 55 - 50 = 5 кілометрів на годину.
3. Якщо хвилі рухаються щодо берега зі швидкістю 30 кілометрів на годину, і корабель також зі швидкістю 30 кілометрів на годину, хвилі рухаються щодо корабля зі швидкістю 30 - 30 = 0 кілометрів на годину, тобто щодо корабля вони стають нерухомими.

Релятивістська механіка

У ХІХ столітті класична механіка зіткнулася з проблемою поширення цього правила складання швидкостей на оптичні (електромагнітні) процеси. Фактично стався конфлікт між двома ідеями класичної механіки, перенесеними на нову область електромагнітних процесів.

Наприклад, якщо розглянути приклад із хвилями на поверхні води з попереднього розділу і спробувати узагальнити на електромагнітні хвилі, то вийде суперечність із спостереженнями (див., наприклад, досвід Майкельсона).

Класичне правило складання швидкостей відповідає перетворенню координат від однієї системи осей до іншої системи, що рухаються щодо першої без прискорення. Якщо при такому перетворенні ми зберігаємо поняття одночасності, тобто зможемо вважати одночасними дві події не тільки при їх реєстрації в одній системі координат, а й у будь-якій іншій інерційній системі, то перетворення називаються галілеєвими. Крім того, при галілеєвих перетвореннях просторова відстань між двома точками - різниця між їх координатами в одній інерційній системі відліку - завжди дорівнює їх відстані в іншій інерційній системі.

Друга ідея - принцип  відносності. Перебуваючи на кораблі, що рухається рівномірно та прямолінійно, не можна виявити його рух якимись внутрішніми механічними ефектами. Чи цей принцип поширюється на оптичні ефекти? Чи не можна виявити абсолютний рух системи за викликаним цим рухом оптичним або, що те саме електродинамічними ефектами? Інтуїція (досить явно пов'язана з класичним принципом відносності) говорить, що абсолютний рух не можна виявити будь-якими спостереженнями. Але якщо світло поширюється з певною швидкістю щодо кожної з інерційних систем, що рухаються, то ця швидкість зміниться при переході від однієї системи до іншої. Це випливає із класичного правила складання швидкостей. Говорячи математичною мовою, величина швидкості світла нічого очікувати інваріантна щодо галлилеевых перетворенням. Це порушує принцип відносності, вірніше не дозволяє поширити принцип відносності на оптичні процеси. Таким чином електродинаміка зруйнувала зв'язок двох, здавалося б, очевидних положень класичної фізики – правила складання швидкостей та принципу відносності. Більше того, ці два положення стосовно електродинаміки виявилися несумісними.

Теорія-відносності дає відповідь на це питання. Вона розширює поняття принципу відносності, поширюючи його і оптичні процеси. Правило складання швидкостей у своїй не скасовується зовсім, лише уточнюється для високих швидкостей з допомогою перетворення Лоренца:

Можна помітити, що у випадку, коли v / c → 0 (\displaystyle v/c\rightarrow 0), Перетворення Лоренця переходять в перетворення Галілея . Це говорить про те, що спеціальна теорія відносності зводиться до механіки Ньютона при швидкостях, малих у порівнянні зі швидкістю світла. Це пояснює, як співвідносяться ці дві теорії - перша є узагальненням другий.

Простою мовою: Швидкість руху тіла щодо нерухомої системи відліку дорівнює векторній сумі швидкості цього тіла щодо рухомої системи відліку та швидкості самої рухомої системи відліку щодо нерухомої системи.

Приклади

1. Абсолютна швидкість мухи, що повзуть по радіусу обертової грамофонної платівки, дорівнює сумі швидкості її руху щодо платівки і тієї швидкості, з якою її переносить платівка за рахунок свого обертання.
2. Якщо людина йде коридором вагона зі швидкістю 5 кілометрів на годину щодо вагона, а вагон рухається зі швидкістю 50 кілометрів на годину щодо Землі, то людина рухається щодо Землі зі швидкістю 50 + 5 = 55 кілометрів на годину, коли йде за напрямом руху поїзда, та зі швидкістю 50 - 5 = 45 кілометрів на годину, коли він йде у зворотному напрямку. Якщо людина у коридорі вагона рухається щодо Землі зі швидкістю 55 кілометрів на годину, а поїзд із швидкістю 50 кілометрів на годину, то швидкість людини щодо поїзда 55 - 50 = 5 кілометрів на годину.
3. Якщо хвилі рухаються щодо берега зі швидкістю 30 кілометрів на годину, а корабель також зі швидкістю 30 кілометрів на годину, хвилі рухаються щодо корабля зі швидкістю 30 - 30 = 0 кілометрів на годину, тобто вони стають нерухомими.

Релятивістська механіка

У ХІХ столітті класична механіка зіткнулася з проблемою поширення цього правила складання швидкостей на оптичні (електромагнітні) процеси. Фактично стався конфлікт між двома ідеями класичної механіки, перенесеними на нову область електромагнітних процесів.

Наприклад, якщо розглянути приклад з хвилями на поверхні води з попереднього розділу і спробувати узагальнити електромагнітні хвилі, то вийде протиріччя зі спостереженнями (див., наприклад, досвід Майкельсона).

Класичне правило складання швидкостей відповідає перетворенню координат від однієї системи осей до іншої системи, що рухаються щодо першої без прискорення. Якщо при такому перетворенні ми зберігаємо поняття одночасності, тобто зможемо вважати одночасними дві події не тільки при їх реєстрації в одній системі координат, але й у будь-якій іншій інерційній системі, то перетворення називаються галілеєвими. Крім того, при галілеєвих перетвореннях просторова відстань між двома точками - різниця між їх координатами в одній інерційній системі розрахунку - завжди дорівнює їх відстані в іншій інерційній системі.

Друга ідея - принцип відносності. Перебуваючи на кораблі, що рухається рівномірно та прямолінійно, не можна виявити його рух якимись внутрішніми механічними ефектами. Чи цей принцип поширюється на оптичні ефекти? Чи не можна виявити абсолютний рух системи за викликаним цим рухом оптичним або, що те саме електродинамічними ефектами? Інтуїція (досить явно пов'язана з класичним принципом відносності) говорить, що абсолютний рух не можна виявити будь-якими спостереженнями. Але якщо світло поширюється з певною швидкістю щодо кожної з інерційних систем, що рухаються, то ця швидкість зміниться при переході від однієї системи до іншої. Це випливає із класичного правила складання швидкостей. Говорячи математичною мовою, величина швидкості світла нічого очікувати інваріантна щодо галлилеевых перетворенням. Це порушує принцип відносності, вірніше не дозволяє поширити принцип відносності на оптичні процеси. Таким чином електродинаміка зруйнувала зв'язок двох, здавалося б, очевидних положень класичної фізики – правила складання швидкостей та принципу відносності. Більше того, ці два положення стосовно електродинаміки виявилися несумісними.

Теорія відносності дає відповідь це питання. Вона розширює поняття принципу відносності, поширюючи його і оптичні процеси. Правило складання швидкостей у своїй не скасовується зовсім, лише уточнюється для високих швидкостей з допомогою перетворення Лоренца:

Можна помітити, що у випадку, коли , перетворення Лоренца перетворюються на перетворення Галілея . Те саме відбувається у випадку, коли . Це говорить про те, що спеціальна теорія відносності збігається з механікою Ньютона або у світі з нескінченною швидкістю світла, або за швидкостей, малих у порівнянні зі швидкістю світла. Останнє пояснює, як поєднуються ці дві теорії - перша є уточненням другий.

Див. також

Література

• Б. Г. КузнєцовЕйнштейн. Життя, смерть, безсмертя. - М.: Наука, 1972.
• Четаєв Н. Г. Теоретична механіка. – М.: Наука, 1987.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Правило складання швидкостей" в інших словниках:

При розгляді складного руху (тобто коли точка або тіло рухається в одній системі відліку, а вона рухається щодо іншої) виникає питання зв'язку швидкостей у 2 системах відліку. 1 Класична механіка 1.1 Приклади … Вікіпедія

Геометрична побудова, що виражає закон складання швидкостей. Правило П. с. полягає в тому, що при складному русі (див. Відносний рух) абсолютна швидкість точки представляється як діагональ паралелограма, побудованого на…

Поштова марка з формулою E = mc2, присвячена Альберту Ейнштейну, одному із творців СТО. Спеціальна теорія … Вікіпедія

Фізична теорія, що розглядає просторово часові закономірності, справедливі для будь-яких фіз. процесів. Універсальність просторово тимчасових св у, що розглядаються О. т., дозволяє говорити про них просто як про.св вах простору ... Фізична енциклопедія

- [Від грец. mechanike (téchne) наука про машини, мистецтво побудови машин], наука про механічний рух матеріальних тіл і при цьому взаємодії між тілами. Під механічним рухом розуміють зміну з плином. Велика Радянська ЕнциклопедіяМатематична енциклопедія

А; м. 1. Нормативний акт, постанова найвищого органу державної влади, прийнятий у встановленому порядку та має юридичну силу. Кодекс законів про працю. З. про соціальне забезпечення. З. про військовий обов'язок. З. про ринок цінних паперів. Енциклопедичний словник

Класична механіка використовує поняття абсолютної швидкості точки. Вона визначається як сума векторів відносної та переносної швидкостей цієї точки. Така рівність містить твердження теореми про складання швидкостей. Прийнято уявляти, що швидкість руху певного тіла в нерухомій системі відліку дорівнює векторній сумі швидкості такого ж фізичного тіла відносно рухомій системі відліку. У цих координатах є безпосередньо тіло.

Рисунок 1. Класичний закон складання швидкостей. Автор24 - інтернет-біржа студентських робіт

Приклади закону складання швидкостей у класичній механіці

Рисунок 2. Приклад складання швидкостей. Автор24 - інтернет-біржа студентських робіт

Існує кілька основних прикладів складання швидкостей, згідно з встановленими правилами, взятими за основу в механічній фізиці. В якості найпростіших об'єктів при розгляді фізичних законів може бути взята людина і будь-яке тіло, що рухається в просторі, з яким відбувається пряма або опосередкована взаємодія.

Приклад 1

Наприклад, людина, яка рухається коридором пасажирського поїзда зі швидкістю п'ять кілометрів на годину, при цьому поїзд рухається зі швидкістю 100 кілометрів на годину, то він щодо навколишнього простору рухається зі швидкістю 105 кілометрів на годину. При цьому напрямок руху людини та транспортного засобу мають збігатися. Такий самий принцип діє і при русі у зворотному напрямку. У цьому випадку людина переміщатиметься щодо земної поверхні зі швидкістю 95 кілометрів на годину.

Якщо значення швидкості двох об'єктів щодо один одного збігатимуться, то вони стануть нерухомими з точки зору об'єктів, що рухаються. При обертанні швидкість досліджуваного об'єкта дорівнює сумі швидкостей руху об'єкта щодо поверхні іншого об'єкта, що рухається.

Принцип відносності Галілея

Вчені змогли сформулювати основні формули для прискорення об'єктів. З неї випливає, що система відліку, що рухається, видаляється відносно іншої без видимого прискорення. Це закономірно у випадках, коли прискорення тіл відбувається однаково у різних системах відліку.

Такі міркування беруть початок ще за часів Галілея, коли сформувався принцип відносності. Відомо, що у другому закону Ньютона прискорення тіл має важливе значення. Від цього процесу залежить відносне положення двох тіл у просторі, швидкість фізичних тіл. Тоді всі рівняння можна записати однаково в будь-якій інерційній системі відліку. Це свідчить, що класичні закони механіки нічого очікувати мати залежність від становища в інерційної системі відліку, як прийнято діяти під час здійснення дослідження.

Спостережуване явище також має залежність від конкретного вибору системи відліку. Подібні рамки нині розглядаються як принцип відносності Галілея. Він входить у деякі протиріччя з іншими догмами фізиків-теоретиків. Зокрема теорія відносності Альберта Ейнштейна передбачає інші умови дії.

Принцип відносності Галілея базується на кількох основних поняттях:

• у двох замкнутих просторах, які рухаються прямолінійно та рівномірно щодо один одного, результат зовнішнього впливу завжди матиме однакове значення;
• подібний результат буде дійсним лише для будь-якої механічної дії.

В історичному контексті вивчення основ класичної механіки, подібне трактування фізичних явищ сформувалося багато в чому, як результат інтуїтивного мислення Галілея, що підтвердилося в наукових працях Ньютона, коли той представив свою концепцію класичної механіки. Однак подібні вимоги щодо Галілея можуть накладати на структуру механіки деякі обмеження. Це впливає на її можливі формулювання, оформлення та розвиток.

Закон руху центру мас та закон збереження імпульсу

3. Закон збереження імпульсу. Автор24 - інтернет-біржа студентських робіт

Однією із загальних теорем у динаміці стала теорема центру інерції. Її також називають теоремою руху центру мас системи. Подібний закон можна вивести із загальних законів Ньютона. Згідно з ним, прискорення центру мас у динамічній системі не є прямим наслідком внутрішніх сил, які діють на тіла всієї системи. Воно здатне пов'язати процес прискорення із зовнішніми силами, які діють таку систему.

Малюнок 4. Закон руху центру мас. Автор24 - інтернет-біржа студентських робіт

Як об'єкти, про які йдеться в теоремі, виступають:

• імпульс матеріальної точки;
• система тел.

Ці об'єкти можна описати як векторну фізичну величину. Вона є необхідною мірою впливу сили, причому повністю залежить від часу дії сили.

Під час розгляду закону збереження кількості руху стверджується, що векторна сума імпульсів всіх тіл система повністю представляється як стала величина. При цьому векторна сума зовнішніх сил, які діють на всю систему, повинна дорівнювати нулю.

При визначенні швидкості в класичній механіці також використовують динаміку обертального руху твердого тіла та момент імпульсу. Момент імпульсу має характерні ознаки кількості обертального руху. Дослідники використовують це поняття як величину, яка залежить від кількості маси, що обертається, а також як вона розподілена по поверхні щодо осі обертання. У цьому має значення швидкості обертання.

Обертання також можна розуміти не тільки з точки зору класичного уявлення обертання тіла навколо осі. При прямолінійному русі тіла повз якусь невідому уявну точку, яка не лежить на лінії руху, тіло також може мати момент імпульсу. При описі обертального руху моменту імпульсу грає найважливішу роль. Це дуже важливо при постановці та вирішенні різноманітних завдань, пов'язаних з механікою у класичному розумінні.

У класичній механіці закон збереження імпульсу є наслідком ньютонівської механіки. Він наочно показує, що з русі в порожньому просторі імпульс зберігається у часі. Якщо існує взаємодія, швидкість його зміни визначається сумою докладених сил.

1.4. Відносність руху

1.4.1. Закон складання переміщень та закон складання швидкостей

Механічне рух одного й того тіла виглядає по-різному для різних систем відліку.

Для визначення будемо використовувати дві системи відліку (рис. 1.33):

• K – нерухому систему відліку;
• K′ – рухому систему відліку.

Мал. 1.33

Система K ′ рухається щодо системи відліку K у позитивному напрямку осі Ox зі швидкістю u → .

Нехай у системі відліку K матеріальна точка (тіло) рухається зі швидкістю v → та за інтервал часу ∆t здійснює переміщення Δ r → . Щодо системи відліку K ′ ця матеріальна точка має швидкість v → ′ і за вказаний інтервал часу ∆t здійснює переміщення Δ r ′ → .

Закон складання переміщень

Переміщення матеріальної точки в нерухомій (K ) і системах відліку (Δ r → і Δ r ' → відповідно, що рухається (K ')) різняться між собою і пов'язані законом складання переміщень:

Δ r → = Δ r ' → + u → Δ t ,

де r → - переміщення матеріальної точки (тіла) за інтервал часу ∆t в нерухомій системі відліку K ; Δ r ' → - переміщення матеріальної точки (тіла) за інтервал часу ∆t у системі відліку K ', що рухається; u → - швидкість системи відліку K ′, що рухається щодо системи відліку K .

Закону складання переміщень відповідає трикутник переміщень»(рис. 1.34).

Закон складання переміщень під час вирішення завдань іноді доцільно записувати в координатної форми:

Δ x = Δ x ′ + u x Δ t , Δ y = Δ y ′ + u y Δ t , )

де ∆x та ∆y - зміна координат x та y матеріальної точки (тіла) за інтервал часу ∆t у системі відліку K ; ∆x′ і ∆y′ - зміна відповідних координат матеріальної точки (тіла) за інтервал часу ∆t у системі відліку K′; u x і u y - проекції швидкості u → системи відліку K ′, що рухається щодо системи відліку K на координатні осі.

Закон складання швидкостей

Швидкості матеріальної точки в нерухомій (K ) і системах відліку (v → і v → ' відповідно, що рухається (K ')) також різняться між собою і пов'язані законом складання швидкостей:

v → = v → ′ + u → ,

де u → - швидкість системи відліку K ′, що рухається щодо системи відліку K .

Закону складання швидкостей відповідає трикутник швидкостей(рис. 1.35).

Мал. 1.35

Закон складання швидкостей під час вирішення завдань іноді доцільно записувати в проекціях на координатні осі:

v x = v ' x + u x , v y = v ' y + u y , )

Відносна швидкість руху двох тіл

Для визначення відносної швидкостірухи двох тіл зручно користуватися наступним алгоритмом:

4) вектори v → , v → ′ і u → зобразити у системі координат xOy;

5) записати закон складання швидкостей у вигляді

v → = v → ' + u → або v x = v ' x + u x , v y = v ' y + u y ; )

6) висловити v → ′:

v → ′ = v → − u →

v ′ x = v x − u x , v ′ y = v y − u y; )

7) знайти модуль вектора відносної швидкості v → ′ за формулою

v ' = v ' x 2 + v ' y 2 ,

де v x та v y - проекції вектора швидкості v → матеріальної точки (тіла) у системі відліку K на координатні осі; v ′ x та v ′ y - проекції вектора швидкості v → ′ матеріальної точки (тіла) у системі відліку K ′ на координатні осі; u x і u y - проекції швидкості u → системи відліку K ′, що рухається щодо системи відліку K на координатні осі.

Для визначення відносної швидкості руху двох тіл, що рухаються вздовж однієї координатної осі, зручно користуватися наступним алгоритмом:

1) з'ясувати, яке з тіл вважається системою відліку; швидкість цього тіла позначити як u → ;

2) швидкість другого тіла позначити як v →;

3) відносну швидкість тіл позначити як v → ′;

4) вектори v → , v → ′ і u → зобразити на координатній осі Ox;

5) записати закон складання швидкостей у вигляді:

v x = v ' x + u x;

6) виразити v′x:

v ′ x = v x − u x;

7) знайти модуль вектора відносної швидкості v ′ → за формулою

v′ = | v′x | ,

де v x та v y - проекції вектора швидкості v → матеріальної точки (тіла) у системі відліку K на координатні осі; v ′ x та v ′ y - проекції вектора швидкості v → ′ матеріальної точки (тіла) у системі відліку K ′ на координатні осі; u x і u y - проекції швидкості u → системи відліку K ′, що рухається щодо системи відліку K на координатні осі.

Приклад 26. Перше тіло рухається зі швидкістю 6,0 м/с у позитивному напрямку осі Ox , а друге - зі швидкістю 8,0 м/с її негативному напрямку. Визначити модуль швидкості першого тіла у системі відліку, пов'язаної з другим тілом.

Рішення. Рухливою системою відліку є друге тіло; проекція швидкості u → рухомої системи відліку на вісь Ox дорівнює:

u x = −8,0 м/с,

Перше тіло щодо нерухомої системи відліку має швидкість v →; її проекція на вісь Ox дорівнює:

v x = 6,0 м/с,

Закон складання швидкостей на вирішення цього завдання доцільно записати у проекції на координатну вісь, тобто. у наступному вигляді:

v x = v ' x + u x ,

де v x - проекція швидкості першого тіла щодо рухомої системи відліку (другого тіла).

Розмір v ′ x є шуканою; її значення визначається формулою

v x = v x − u x .

Проведемо обчислення:

v ′ x = 6,0 − (− 8,0) = 14 м/с.

Приклад 29. Спортсмени біжать один за одним ланцюжком завдовжки 46 м з однаковою швидкістю. Назустріч їм біжить тренер зі швидкістю, втричі меншою від швидкості спортсменів. Кожен спортсмен, зрівнявшись з тренером, повертає і біжить назад із колишньою швидкістю. Якою буде довжина ланцюжка, коли всі спортсмени бігтимуть у зворотному напрямку?

Рішення. Нехай рух спортсменів та тренера відбувається вздовж осі Ox, початок якої збігається зі становищем останнього спортсмена. Тоді рівняння руху щодо Землі мають такий вигляд:

• останнього спортсмена -

  x 1 (t) = vt;

• тренера -

  x 2 (t) = L − 1 3 v t;

• першого спортсмена -

  x 3 (t) = L − vt ,

  де v – модуль швидкості кожного спортсмена; 1 3 v - модуль швидкості тренера; L - первісна довжина ланцюжка; t – час.

Зв'яжемо рухливу систему відліку з тренером.

Рівняння руху останнього спортсмена щодо рухомої системи відліку (тренера) позначимо x ′(t ) та знайдемо із закону складання переміщень, записаного в координатній формі:

x (t) = x '(t) + X (t), тобто. x '(t) = x (t) - X (t),

X (t) = x 2 (t) = L − 1 3 v t -

рівняння руху тренера (рухомої системи відліку) щодо Землі;

x (t) = x 1 (t) = vt;

Підстановка виразів x(t), X(t) у записане рівняння дає:

x ′ (t) = x 1 (t) − x 2 (t) = v t − (L − 1 3 v t) = 4 3 v t − L .

Дане рівняння є рівнянням руху останнього спортсмена щодо тренера. У момент зустрічі останнього спортсмена та тренера (t = t 0) їх відносна координата x ′(t 0) звертається до нуля:

4 3 v t 0 − L = 0 .

Рівняння дозволяє знайти вказаний момент часу:

У цей час всі спортсмени починають бігти в протилежному напрямку. Довжина ланцюжка спортсменів визначається різницею координат першого x 3 (t 0) та останнього x 1 (t 0) спортсмена у вказаний момент часу:

l = | x 3 (t 0) – x 1 (t 0) | ,

l = | (L − v t 0) − v t 0 | = | L − 2 v t 0 | = | L − 2 v 3 L 4 v | = 0,5 L = 0,5 ⋅ 46 = 23 м.