Що таке сума коренів рівняння. Записи з міткою "сума та добуток коріння повного квадратного рівняння"

I. Теорема Вієтадля наведеного квадратного рівняння.

Сума коренів наведеного квадратного рівняння x 2 +px+q=0дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену:

x1+x2=-p; x 1 x 2 =q.

Знайти коріння наведеного квадратного рівняння за допомогою теореми Вієта.

Приклад 1) x 2 -x-30 = 0.Це наведене квадратне рівняння ( x 2 +px+q=0), другий коефіцієнт p=-1, а вільний член q=-30.Спочатку переконаємося, що дане рівняння має коріння, і що коріння (якщо воно є) виражатиметься цілими числами. Для цього достатньо щоб дискримінант був повним квадратом цілого числа.

Знаходимо дискримінант D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Тепер по теоремі Вієта сума коренів має дорівнювати другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, тобто. ( -p), а твір дорівнює вільному члену, тобто. ( q). Тоді:

x 1 + x 2 = 1; x 1 x 2 =-30.Нам треба підібрати такі два числа, щоб їхній твір був рівний -30 , а сума - одиниці. Це числа -5 і 6 . Відповідь: -5; 6.

Приклад 2) x2+6x+8=0.Маємо наведене квадратне рівняння з другим коефіцієнтом р = 6та вільним членом q=8. Переконаємося, що є цілісне коріння. Знайдемо дискримінант D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискримінант D1 є повним квадратом числа 1 Отже, коріння даного рівняння є цілими числами. Підберемо коріння за теоремою Вієта: сума коренів дорівнює -Р = -6, а добуток коріння дорівнює q=8. Це числа -4 і -2 .

Насправді: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Відповідь: -4; -2.

Приклад 3) x 2 +2x-4 = 0. У цьому наведеному квадратному рівнянні другий коефіцієнт р=2, а вільний член q=-4. Знайдемо дискримінант D 1, Оскільки другий коефіцієнт – парне число. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискримінант не є повним квадратом числа, тому, робимо висновок: коріння цього рівняння не є цілими числами і знайти їх за теоремою Вієта не можна.Отже, розв'яжемо дане рівняння, як завжди, за формулами (в даному випадку за формулами). Отримуємо:

приклад 4).Складіть квадратне рівняння за його корінням, якщо x1=-7, x2=4.

Рішення.Шукане рівняння запишеться у вигляді: x 2 +px+q=0, причому, на підставі теореми Вієта -p = x 1 + x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Тоді рівняння набуде вигляду: x 2 +3x-28 = 0.

приклад 5).Складіть квадратне рівняння за його корінням, якщо:

ІІ. Теорема Вієтадля повного квадратного рівняння ax 2 +bx+c=0.

Сума коренів дорівнює мінус b, поділеному на а, добуток коріння дорівнює з, поділеному на а:

x 1 +x 2 =-b/a; x 1 x 2 = c/a.

Приклад 6).Знайти суму коренів квадратного рівняння 2x 2 -7x-11 = 0.

Рішення.

Переконуємося, що це рівняння матиме коріння. Для цього достатньо скласти вираз для дискримінанта, і, не обчислюючи його, просто переконатися, що дискримінант більший за нуль. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . А тепер скористаємося теорема Вієтадля повних квадратних рівнянь.

x 1 +x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Приклад 7). Знайдіть добуток коренів квадратного рівняння 3x2+8x-21=0.

Рішення.

Знайдемо дискримінант D 1, оскільки другий коефіцієнт ( 8 ) є парним числом. D 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Квадратне рівняння має 2 кореня, за теоремою Вієта твір коренів x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.

Сторінка 1 з 1 1

Урок 41. Властивість квадратного коріння.

Скласти таблицю, де зібрані властивості та приклади на кожну властивість у процесі пояснення.

Цілі уроку:

* Освітні:

o вивчити основні властивості квадратного коріння,

o сформувати вміння застосовувати їх для перетворення виразів, що містять квадратне коріння,

o навчити обчислювати значення квадратного коріння.

* Виховна:

o виховувати уважність, акуратність, наполегливість.

* Розвиваючі:

o розвиток пам'яті,

o розвиток умінь долати труднощі,

o розвиток навичок роботи з підручником, довідковими матеріалами.

Тип уроку: комбінований.

Форми та методи роботи:

* фронтальний (усний рахунок),

* індивідуальна робота з диференціацією (картки, дидактичний матеріал),

* евристичний.

Обладнання уроку:

* таблиця,

* картки (4 варіанти),

* дидактичний матеріал,

* Підручник (довідковий матеріал на форзаці підручника).

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент

Повідомлення мети уроку та плану уроку. (Вивчити дві властивості арифметичного квадратного кореня та навчитися застосовувати їх для перетворення виразів, що містять квадратний корінь.)

На останніх уроках Ви вивчили нове поняття квадратного кореня. У зв'язку з цим настала потреба вивчити властивості нового поняття. І так, метою нашого уроку є вивчення властивостей квадратного кореня, а також навчитися застосовувати ці властивості при обчисленнях.

ІІ. Усний рахунок

ІІІ. Повторення

– Що називається арифметичним квадратним коренем із числа а? ( Невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а.)

– Якою властивістю арифметичного квадратного кореня ви користувалися?

- Обчисліть, застосувавши властивості ступенів: width="376" height="240">

Навідні питання:

– Знайдіть значення виразів лев. та прав. частини рівностей.

– Порівняйте відповіді. Які висновки ви можете зробити?

Відповіді: 1.Квадратний Корінь із суми чисел не дорівнюєсумі коріння з цих

2.Корінь з різниці чисел не дорівнюєрізниці коренів з цих чисел

3.Корінь з твору дорівнюєдобутку коріння з цих чисел.

4.Корінь із дробу дорівнюєкореня з чисельника, поділеного на корінь з

знаменника (або корінь із частки дорівнює приватному від коріння).

– Подумайте, як можна записати вірні рівності у буквеному вигляді.

(1). і 2).)

– Якщо рівністі ці записати в літерному вигляді, то які обмеження накладаються на числа. gif width="76" слайд 3

- Отже, ми розглянули з Вами дві властивості кв. кореня, їх ще коротко називають « корінь із твору та корінь із дробу »

-У підручнику ці властивості записані у вигляді теорем. Відкрийте, будь ласка, підручник на сторінці 66,67 прочитайте ці дві теореми.

– Застосуйте ці властивості під час обчислень:

V. Закріплення.

Закріплення нового матеріалу.

1. Вирішити завдання з підручника № 14.3(а, б), 14.5(а, б), 14.11(а, б), 14.20(а, б), 14.23(а, б) з використанням властивостей квадратного коріння.

2. Використовуючи визначення квадратного кореня, розв'яжіть рівняння:

VI. Самостійна робота навчального характеру

Підбиття підсумків.

– Які властивості ми сьогодні з вами вивчили?

(учні формулюють властивості)

– Як знайти корінь із твору? (Корінь з твору дорівнює добутку коріння.)

– Як знайти корінь із дробу? (Корінь із чисел розділити на корінь із знаменника.)

- Чи може у знаменнику бути нуль? (Ні, на нуль ділити не можна.)

– Як знайти корінь із змішаного дробу? (Перекласти в неправильний дріб і застосувати властивість арифметичного квадратного кореня.)

Виставлення оцінок у щоденники.

- Урок завершено. Дякую. До побачення.

VII.Домашнє завдання: № 14,2, 14.6, в, г), 14.23 (а, б) теорія на стор.66-69.

Визначення суми коренів рівняння - один із необхідних кроків при розв'язанні квадратних рівнянь (рівнянь виду ax²- + bx + c = 0, де коефіцієнти a, b та c - довільні числа, причому a 0) за допомогою теореми Вієта.

Інструкція

Запишіть квадратне рівняння у вигляді ax²- + bx + c = 0

Приклад:
Вихідне рівняння: 12 + x²-= 8x
Правильно записане рівняння: x²- - 8x + 12 = 0

Застосуйте теорему Вієта, згідно з якою сума коренів рівняння дорівнюватиме числу "b", взятому зі зворотним знаком, а їх твір - числу "c".

Приклад:
У аналізованому рівнянні b=-8, c=12, відповідно:
x1+x2=8
x1&lowast-x2=12

Дізнайтеся, позитивними чи негативними числами є коріння рівнянь. Якщо добуток і сума коренів - позитивні числа, кожен із коренів - позитивне число. Якщо добуток коренів - позитивний, а сума коренів - негативне число, то обидва - негативні. Якщо добуток коренів – негативний, то коріння один корінь має знак "+", а інший знак "-". негативне число - більший за модулем корінь - негативний.

Приклад:
У аналізованому рівнянні і сума, і твір - позитивні числа: 8 і 12, отже, обидва корені - позитивні числа.

Розв'яжіть отриману систему рівнянь шляхом підбору коренів. Зручніше почати підбір з множників, а потім, для перевірки, підставити кожну пару множників у друге рівняння і перевірити, чи сума даних коренів відповідає рішенню.

Приклад:
x1&lowast-x2=12
Відповідними парами коренів будуть відповідно: 12 та 1, 6 та 2, 4 та 3

Перевірте отримані пари за допомогою рівняння x1+x2=8. Пари
12 + 1 &ne- 8
6 + 2 = 8
4 + 3 &ne- 8

Відповідно корінням рівняння є числа 6 та 8.

Зверніть увагу

У цьому прикладі було розглянуто варіант квадратного рівняння, в якому a=1. Для того щоб тим самим способом вирішити повне квадратне рівняння, де a&ne 1, необхідно скласти допоміжне рівняння, привівши "a" до одиниці.

Корисна порада

Використовуйте цей спосіб розв'язання рівнянь для того, щоб швидко знайти коріння. Також він допоможе у випадку, якщо вам необхідно вирішити рівняння в умі, не вдаючись до записів.

Все цікаве

Квадратне рівняння має вигляд ax2 + bx + c = 0, де a, b і с – коефіцієнти. Суть такого рівняння полягає у пошуку всіх можливих рішень, тобто. знаходження значень невизначеного числа x. У результаті може вийти одна або дві відповіді. Інструкція…

Освоївши методи знаходження рішення у разі роботи з квадратними рівняннями, школярі стикаються з необхідністю піднятися на вищий ступінь. Однак цей перехід не завжди здається легким, і вимога знайти коріння у рівнянні четвертої.

Якщо при підстановці числа рівняння виходить правильна рівність, таке число називають коренем. Коріння може бути позитивним, негативним і нульовим. Серед усієї безлічі коренів рівняння виділяють максимальні та мінімальні. Інструкція …

З курсу шкільної математики багато хто пам'ятає, що корінь – це рішення рівняння, тобто значення Х, у яких досягається рівність його елементів. Як правило, задача знаходження модуля різниці коренів ставиться щодо квадратних рівнянь, що регулюються.

Обчислення дискримінанта – найпоширеніший спосіб, застосовуваний у математиці на вирішення квадратного рівняння. Формула розрахунку є наслідком методу виділення повного квадрата і дозволяє швидко визначити коріння рівняння. …

При вирішенні завдань із параметрами головне – зрозуміти умову. Вирішити рівняння з параметром означає записати відповідь для будь-якого з можливих значень параметра. Відповідь повинна відображати перебір всієї числової прямої. Інструкція 1Найпростіший тип завдань з…

Рішення більшості рівнянь вищих ступенів немає чіткої формули, як знаходження коренів квадратного рівняння. Однак існує кілька способів приведення, які дозволяють перетворити рівняння вищого ступеня до наочного вигляду. …

Для вирішення квадратного рівняння та знаходження його найменшого кореня обчислюється дискримінант. Дискримінант дорівнюватиме нулю лише в тому випадку, якщо багаточлен має кратне коріння. - математичний довідник;

Теорема Вієта встановлює прямий взаємозв'язок між корінням (х1 та х2) та коефіцієнтами (b та c, d) рівняння типу bx2+cx+d=0. За допомогою цієї теореми можна, не визначаючи значення коренів, порахувати їхню суму, грубо кажучи, в умі. У цьому немає нічого.

Квадратним рівнянням називають рівняння виду A · x + B · x + C. Таке рівняння може мати два корені, один корінь, або не мати коріння зовсім. Щоб розкласти квадратне рівняння на множники, використовують наслідок теореми Безу або просто…

Квадратне рівняння – це рівняння виду ax^2+bx+c=0 (знак «^» позначає зведення у ступінь, тобто даному випадку на другий). Різновидів рівняння досить багато, тому кожному потрібно своє рішення. Інструкція 1Нехай ...

Щоб дати визначення кореня рівняння, необхідно розібратися з поняттям рівняння як такого. Інтуїтивно нескладно здогадатися, що рівняння – це рівність двох величин. Під коренем рівняння розуміють значення невідомої складової. Щоб…

За допомогою цієї математичної програми ви можете розв'язати квадратне рівняння.

Програма не тільки дає відповідь задачі, а й відображає процес розв'язання двома способами:
- за допомогою дискримінанта
- за допомогою теореми Вієта (якщо можливо).

Причому відповідь виводиться точна, а не наближена.
Наприклад, для рівняння \(81x^2-16x-1=0\) відповідь виводиться у такій формі:

Дана програма може бути корисною учням старших класів загальноосвітніх шкіл при підготовці до контрольних робіт та іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завдання з математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання та/або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.

Якщо ви не знайомі з правилами введення квадратного багаточлена, рекомендуємо ознайомитися з ними.

Правила введення квадратного багаточлена

Як змінна може виступати будь-яка латинська буква.
Наприклад: (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) і т.д.

Числа можна вводити цілі або дрібні.
Причому, дробові числа можна вводити у вигляді десяткового, а й у вигляді звичайного дробу.

Правила введення десяткових дробів.
У десяткових дробах частина від цілої може відокремлюватися як точкою так і комою.
Наприклад, можна вводити десяткові дроби так: 2.5x - 3,5x^2

Правила введення звичайних дробів.
Як чисельник, знаменник і цілої частини дробу може виступати тільки ціле число.

Знаменник може бути негативним.

При введенні числового дробу чисельник відокремлюється від знаменника знаком розподілу: /
Ціла частина відокремлюється від дробу знаком амперсанд: &
Введення: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Результат: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

При введенні виразу можна використовувати дужки. У цьому випадку при розв'язанні квадратного рівняння введений вираз спочатку спрощується.
Наприклад: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Квадратне рівняння та його коріння. Неповні квадратні рівняння

Кожне із рівнянь
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
має вигляд
\(ax^2+bx+c=0, \)
де x – змінна, a, b та c – числа.
У першому рівнянні a = -1, b = 6 та c = 1,4, у другому a = 8, b = -7 та c = 0, у третьому a = 1, b = 0 та c = 4/9. Такі рівняння називають квадратними рівняннями.

Визначення.
Квадратним рівняннямназивається рівняння виду ax 2 +bx+c=0, де x - змінна, a, b і c - деякі числа, причому (a \neq 0 \).

Числа a, b та c - коефіцієнти квадратного рівняння. Число a називають першим коефіцієнтом, число b – другим коефіцієнтом та число c – вільним членом.

У кожному із рівнянь виду ax 2 +bx+c=0, де (a \neq 0 \), найбільша ступінь змінної x - квадрат. Звідси й назва квадратне рівняння.

Зауважимо, що квадратне рівняння називають ще рівнянням другого ступеня, оскільки його ліва частина є багаточленом другого ступеня.

Квадратне рівняння, у якому коефіцієнт при x 2 дорівнює 1, називають наведеним квадратним рівнянням. Наприклад, наведеними квадратними рівняннями є рівняння
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Якщо у квадратному рівнянні ax 2 +bx+c=0 хоча б один із коефіцієнтів b або c дорівнює нулю, то таке рівняння називають неповним квадратним рівнянням. Так, рівняння -2x2+7=0, 3x2-10x=0, -4x2=0 - неповні квадратні рівняння. У першому їх b=0, у другому c=0, у третьому b=0 і c=0.

Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:
1) ax 2 +c=0, де (c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, де (b \neq 0 \);
3) ax 2 = 0.

Розглянемо рішення рівнянь кожного із цих видів.

Для вирішення неповного квадратного рівняння виду ax 2 +c=0 при (c \neq 0 \) переносять його вільний член у праву частину і ділять обидві частини рівняння на a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Оскільки \(c \neq 0 \), то \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Якщо \(-\frac(c)(a)>0 \), то рівняння має два корені.

Якщо \(-\frac(c)(a) Для розв'язання неповного квадратного рівняння виду ax 2 +bx=0 при \(b \neq 0 \) розкладають його ліву частину на множники і одержують рівняння
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Отже, неповне квадратне рівняння виду ax 2 +bx=0 при (b \neq 0 \) завжди має два корені.

Неповне квадратне рівняння виду ax 2 = 0 рівносильне рівнянню x 2 = 0 і тому має єдиний корінь 0.

Формула коренів квадратного рівняння

Розглянемо тепер, як вирішують квадратні рівняння, в яких обидва коефіцієнти за невідомих і вільний член відмінні від нуля.

Вирішимо квадратне рівняння в загальному вигляді і в результаті отримаємо формулу коренів. Потім цю формулу можна буде застосовувати під час вирішення будь-якого квадратного рівняння.

Розв'яжемо квадратне рівняння ax 2 +bx+c=0

Розділивши обидві його частини на a, отримаємо рівносильне йому наведене квадратне рівняння
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Перетворимо це рівняння, виділивши квадрат двочлена:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

Підкорене вираз називають дискримінантом квадратного рівняння ax 2 +bx+c=0 («дискримінант» латиною - розрізняльник). Його позначають буквою D, тобто.
\(D = b^2-4ac \)

Тепер, використовуючи позначення дискримінанта, перепишемо формулу для коріння квадратного рівняння:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), де \(D= b^2-4ac \)

Очевидно, що:
1) Якщо D>0, то квадратне рівняння має два корені.
2) Якщо D=0, то квадратне рівняння має один корінь \(x=-\frac(b)(2a) \).
3) Якщо D Таким чином, залежно від значення дискримінанта квадратне рівняння може мати два корені (при D > 0), один корінь (при D = 0) або не мати коріння (при D При вирішенні квадратного рівняння за даною формулою доцільно чинити наступним чином:
1) обчислити дискримінант та порівняти його з нулем;
2) якщо дискримінант позитивний або дорівнює нулю, то скористатися формулою коренів, якщо дискримінант негативний, то записати, що коріння немає.

Теорема Вієта

Наведене квадратне рівняння ax 2 -7x+10=0 має коріння 2 і 5. Сума коренів дорівнює 7, а добуток дорівнює 10. Ми бачимо, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену. Такою властивістю має будь-яке наведене квадратне рівняння, що має коріння.

Сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.

Тобто. теорема Вієта стверджує, що коріння x 1 і x 2 наведеного квадратного рівняння x 2 +px+q=0 мають властивість:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Визначення суми коренів рівняння – одне із необхідних кроків у вирішенні квадратних рівнянь (рівнянь виду ax² + bx + c = 0, де показники a, b і c - довільні числа, причому a ? 0) з допомогою теореми Виета.

Інструкція

1. Запишіть квадратне рівняння у вигляді ax² + bx + c = 0Приклад: Початкове рівняння: 12 + x²= 8x Правильно записане рівняння: x² – 8x + 12 = 0

2. Застосуйте теорему Вієта, згідно з якою, сума коренів рівняння дорівнюватиме числу “b”, взятому зі зворотним знаком, а їх твір – числу “c”. =8×1∗x2=12

3. Дізнайтеся, правильними чи негативними числами є коріння рівнянь. Якщо і добуток і сума коренів – позитивні числа, весь корінь – правильне число. Якщо добуток коренів – правильний, а сума коренів – негативне число, то обидва корені – негативні. Якщо добуток коренів – негативний, то коріння має один корінь має знак “+”, а інший знак “-”. негативне число – більший за модулем корінь – негативний”. Приклад: У аналізованому рівнянні і сума, і твір – правильні числа: 8 і 12, отже обидва корені – позитивні числа.

4. Розв'яжіть отриману систему рівнянь шляхом підбору коренів. Комфортніше буде почати підбір з множників, а після цього, для перевірки, підставити будь-яку пару множників у друге рівняння і перевірити, чи відповідає сума даних коренів рішенню. 2, 4 та 3Перевірте отримані пари з підтримкою рівняння x1+x2=8. Пари 12 + 1 ≠ 86 + 2 = 84 + 3 ≠ 8 Відповідно корінням рівняння є числа 6 та 8.

Рівнянням називають рівність виду f(x,y,…)=g(x,y,..), де f і g функції однієї чи кількох змінних. Виявити корінь рівняння – значить виявити такий комплект доводів, у якому ця рівність виконується.

Вам знадобиться

• Знання з математичного огляду.

Інструкція

1. Можливо, ви маєте рівняння виду: x+2=x/5. Для початку перенесемо всі компоненти цієї рівності з правої частини в ліву, змінивши при цьому знак компонента на протилежний. У правій частині цього рівняння залишиться нуль, тобто отримаємо наступне: x+2-x/5 = 0.

2. Наведемо подібні доданки. Отримаємо таке: 4х/5+2=0.

3. Далі з отриманого наведеного рівняння знайдемо невідомий доданок, у разі це х. Отримане значення невідомої змінної буде рішенням початкового рівняння. У разі отримаємо таке: x = -2,5.

Відео на тему

Зверніть увагу!
У результаті рішення можу виникати зайве коріння. Вони не будуть рішенням початкового рівняння, навіть якщо ви все позитивно вирішили. Обов'язково перевіряйте всі отримані рішення.

Корисна порада
Отримані значення незнайомої постійно перевіряйте. Це можна примітивно зробити, підставивши отримане значення початкове рівняння. Якщо рівність правильна, то рішення правильне.

Теорема Вієта встановлює прямий зв'язок між корінням (х1 та х2) та показниками (b та c, d) рівняння типу bx2+cx+d=0. З допомогою цієї теореми можна, не визначаючи значення коренів, порахувати їх суму, зухвало кажучи, в умі. У цьому немає нічого складного, головне знати деякі правила.

Вам знадобиться

• - Калькулятор;
• - Папір для записів.

Інструкція

1. Приведіть до стандартного виду досліджуване квадратне рівняння, щоб усі показники ступеня йшли по порядку спадання, тобто спочатку найвищий ступінь – х2, а наприкінці нульовий ступінь – х0. Рівняння набуде вигляду: b * x2 + c * x1 + d * х0 = b * x2 + c * x + d = 0.

2. Перевірте невід'ємність дискримінанта. Ця перевірка потрібна для того, щоб переконатися, що коріння рівняння має. D (дискримінант) набуває вигляду: D = c2 – 4*b*d. Тут є кілька варіантів. D – дискримінант – правильний, що означає, що у рівняння є два корені. D - дорівнює нулю, з цього випливає, що корінь є, але він двоїстий, тобто х1 = х2. D – негативний, для курсу шкільної алгебри ця умова означає, що коріння немає, для вищої математики – коріння є, але вони комплексні.

3. Визначте суму коренів рівняння. За допомогою теореми Вієта це легко: b*x2+c*x+d = 0. Сума коренів рівняння прямо пропорційна «–c» і обернено пропорційна показнику «b». Зокрема, x1+x2 = -c/b. Визначте добуток коренів за формулюванням – добуток коренів рівняння прямо пропорційно «d» і обернено пропорційно показнику «b»: х1*х2 = d/b.

Зверніть увагу!
Якщо ви отримали негативний дискримінант, це не означає, що немає коріння. Це означає, що корінням рівняння є так звані комплексні корені. Теорема Вієта застосовна і в цьому випадку, але її вид буде трохи змінений: [-c+(-i)*(-c2 + 4*b*d)0.5]/ = x1,2

Корисна порада
Якщо ви зіткнулися не з квадратним рівнянням, а з кубічним або рівнянням ступеня n: b0*xn + b1*xn-1 +…..+ bn = 0, то для обчислення суми або добутку коренів рівняння ви так само можете скористатися теоремою Вієта :1. -b1/b0 = x1 + x2 + x3 + ... + xn,2. b2/b0 = x1 * x2 + .... + xn-1 * xn,3. (-1)n * (bn/b0) = x1 * x2 * x3 * .... * xn.

Якщо при підстановці числа рівняння виходить правильна рівність, таке число називають коренем. Коріння може бути правильним, негативним і нульовим. Серед кожної множини коренів рівняння виділяють максимальні та мінімальні.

Інструкція

1. Виявіть усі корені рівняння, серед них виберіть негативний, якщо такий є. Нехай, скажімо, дано квадратне рівняння 2x-3x+1=0. Застосуйте формулу пошуку коренів квадратного рівняння: x(1,2)=/2=/2=/2, тоді x1=2, x2=1. Неважко зауважити, що негативних у тому числі немає.

2. Виявити коріння квадратного рівняння можна також з допомогою теореми Виета. Відповідно до цієї теореми x1+x1=-b, x1?x2=c, де b і c – відповідно показники рівняння x?+bx+c=0. Застосовуючи цю теорему, можна не обчислювати дискримінант b?-4ac, що у деяких випадках може значно спростити завдання.

3. Якщо квадратному рівнянні показник при x парний, можна використовувати не основну, а скорочену формулу для пошуку коренів. Якщо основна формула виглядає як x(1,2)=[-b±?(b?-4ac)]/2a, то у скороченому вигляді вона записується так: x(1,2)=[-b/2±?( b?/4-ac)]/a. Якщо квадратному рівнянні немає вільного члена, досить легко перенести x за дужки. А зрідка ліва частина складається у повний квадрат: x?+2x+1=(x+1)?.

4. Існують види рівнянь, які дають не одне число, а ціле безліч рішень. Скажімо, тригонометричні рівняння. Так, результатом рівняння 2sin?(2x)+5sin(2x)-3=0 буде x=?/4+?k, де k – ціле число. Тобто при підстановці будь-якого цілого значення параметра k довід x задовольнятиме заданому рівнянню.

5. У тригонометричних завданнях може знадобитися виявити все негативне коріння або найвищий з негативних. У вирішенні таких завдань застосовуються логічні міркування чи метод математичної індукції. Підставте кілька цілих значень для k у вираз x=?/4+?k і поспостерігайте, як поводиться доказ. До речі, найбільшим негативним коренем попереднього рівняння буде x=-3?/4 при k=1.

Відео на тему

Зверніть увагу!
У цьому прикладі було розглянуто варіант квадратного рівняння, в якому a=1. Для того щоб тим самим способом вирішити повне квадратне рівняння, де a&ne 1, необхідно скласти допоміжне рівняння, привівши "a" до одиниці.

Корисна порада
Використовуйте цей спосіб розв'язання рівнянь для того, щоб швидко виявити коріння. Також він допоможе у випадку, якщо вам потрібно вирішити рівняння в умі, не вдаючись до записів.