Що таке вершина призми? Правильна чотирикутна призма

Багатогранники

Основним об'єктом вивчення стереометрії є просторові тіла. Тілоє частиною простору, обмежену деякою поверхнею.

Багатогранникомназивається тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа плоских багатокутників. Багатогранник називається опуклим, якщо він розташований з одного боку площини кожного плоского багатокутника з його поверхні. Загальна частина такої площини та поверхні багатогранника називається гранню. Грані опуклого багатогранника є плоскими опуклими багатокутниками. Сторони граней називається ребрами багатогранника, а вершини – вершинами багатогранника.

Наприклад, куб складається із шести квадратів, які є його гранями. Він містить 12 ребер (сторони квадратів) та 8 вершин (вершини квадратів).

Найпростішими багатогранниками є призми та піраміди, вивченням яких і займемося далі.

Призма

Визначення та властивості призми

Призмоюназивається багатогранник, що складається з двох плоских багатокутників, що лежать у паралельних площинах, що поєднуються паралельним переносом, і всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки цих багатокутників. Багатокутники називаються підставами призмиа відрізки, що з'єднують відповідні вершини багатокутників, – бічними ребрами призми.

Висотою призминазивається відстань між площинами її основ (). Відрізок, що з'єднує дві вершини призми, що не належать до однієї грані, називається діагоналлю призми(). Призма називається n-вугільнийякщо в її основі лежить n-кутник.

Будь-яка призма має такі властивості, що випливають з того факту, що підстави призми поєднуються паралельним переносом:

1. Підстави призми рівні.

2. Бічні ребра призми паралельні та рівні.

Поверхня призми складається з підстав та бічної поверхні. Бічна поверхня призми складається з паралелограмів (це випливає із властивостей призми). Площею бічної поверхні призми називається сума площ бічних граней.

Пряма призма

Призма називається прямий, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основ. В іншому випадку призма називається похилій.

Гранями прямої призми є прямокутники. Висота прямої призми дорівнює її бічним граням.

Повною поверхнею призминазивається сума площі бічної поверхні та площ основ.

Правильною призмоюназивається пряма призма з правильним багатокутником у підставі.

Теорема 13.1. Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра на висоту призми (або, що те саме, на бічне ребро).

Доведення. Бічні грані прямої призми є прямокутниками, основи яких є сторонами багатокутників у підставах призми, а висоти є бічними ребрами призми. Тоді за визначенням площа бічної поверхні:

,

де – периметр основи прямої призми.

Паралелепіпед

Якщо у підставах призми лежать паралелограми, вона називається паралелепіпедом. У паралелепіпеда всі грані – паралелограми. При цьому протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні.

Теорема 13.2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться навпіл.

Доведення. Розглянемо дві довільні діагоналі, наприклад, і . Т.к. гранями паралелепіпеда є паралелограми, то і , а значить по Т про дві прямі паралельні третій . Крім того, це означає, що прямі і лежать в одній площині (площині). Ця площина перетинає паралельні площини і паралельним прямим і . Таким чином, чотирикутник - паралелограм, а за властивістю паралелограма його діагоналі і перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, що потрібно було довести.

Прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник, називається прямокутним паралелепіпедом. У прямокутного паралелепіпеда всі грані – прямокутники. Довжини непаралельних ребер прямокутного паралелепіпеда називаються його лінійними розмірами (вимірюваннями). Таких розмірів три (ширина, висота, довжина).

Теорема 13.3. У прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-якої діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів (Доказується за допомогою дворазового застосування Т Піфагора).

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.

Завдання

13.1 Скільки діагоналей має n-вугільна призма

13.2У похилій трикутній призмі відстані між бічними ребрами дорівнюють 37, 13 і 40. Знайти відстань між більшою бічною гранню і протилежним бічним ребром.

13.3Через бік нижньої основи правильної трикутної призми проведена площина, що перетинає бічні грані по відрізках, кут між якими . Знайти кут нахилу цієї площини до основи призми.

Площа бічній поверхні призми. Вітаю! У цій публікації ми з вами розберемо групу завдань із стереометрії. Розглянемо комбінацію тіл – призми та циліндра. На даний момент ця стаття завершує всю серію статей, пов'язаних з розглядом типів завдань зі стереометрії.

Якщо в банку завдань з'являтимуться нові, то, звичайно, будуть і доповнення на блозі в майбутньому. Але й того, що вже є цілком достатньо, щоб ви могли навчитися вирішувати всі завдання з короткою відповіддю у складі іспиту. Матеріалу вистачить на роки вперед (програма математики статична).

Подані завдання пов'язані з обчисленням площі призми. Відзначу, що нижче розглядається пряма призма (і відповідно прямий циліндр).

Без знання будь-яких формул, ми розуміємо, що бічна поверхня призми це її бічні грані. У прямій призми бічні грані це прямокутники.

Площа бічної поверхні такої призми дорівнює сумі площ усіх її бічних граней (тобто прямокутників). Якщо йдеться про правильну призму, в яку вписаний циліндр, то зрозуміло, що всі грані цієї призми є рівними прямокутниками.

Формально площу бічної поверхні правильної призми можна відобразити так:

27064. Правильна чотирикутна призма описана біля циліндра, радіус основи та висота якого дорівнюють 1. Знайдіть площу бічної поверхні призми.

Бічна поверхня цієї призми складається з чотирьох рівних площею прямокутників. Висота грані дорівнює 1, ребро основи призми дорівнює 2 (це два радіуси циліндра), отже площа бічної грані дорівнює:

Площа бічної поверхні:

73023. Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної призми, описаної біля циліндра, радіус основи якого дорівнює √0,12, а висота дорівнює 3.

Площа бічної поверхні цієї призми дорівнює сумі площ трьох бічних граней (прямокутників). Для знаходження площі бічної грані необхідно знати її висоту та довжину ребра основи. Висота дорівнює трьом. Знайдемо довжину ребра основи. Розглянемо проекцію (вид зверху):

Маємо правильний трикутник, в який вписано коло з радіусом √0,12. З прямокутного трикутника АОС можна знайти АС. А потім і AD (AD=2АС). За визначенням тангенсу:

Отже AD = 2АС = 1,2. Таким чином, площа бічної поверхні дорівнює:

27066. Знайдіть площу бічної поверхні правильної шестикутної призми, описаної біля циліндра, радіус основи якого дорівнює √75, а висота дорівнює 1.

Шукана площа дорівнює сумі площ усіх бічних граней. У правильної шестикутної призми бічні грані – це рівні прямокутники.

Для знаходження площі грані необхідно знати її висоту та довжину ребра основи. Висота відома, вона дорівнює 1.

Знайдемо довжину ребра основи. Розглянемо проекцію (вид зверху):

Маємо правильний шестикутник, в який вписано коло радіусу √75.

Розглянемо прямокутний трикутник АВО. Нам відомий катет ВВ (це радіус циліндра). ще можемо визначити кут АОВ, він дорівнює 300 (трикутник АОС рівносторонній, ОВ-бісектриса).

Скористаємося визначенням тангенсу у прямокутному трикутнику:

АС=2АВ, оскільки ОВ є медіаною, тобто ділить АС навпіл, отже АС=10.

Таким чином, площа бічної грані дорівнює 1∙10=10 та площа бічної поверхні:

76485. Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної призми, вписаної в циліндр, радіус основи якого дорівнює 8√3, а висота дорівнює 6.

Площа бічної поверхні зазначеної призми із трьох рівних за площею граней (прямокутників). Щоб знайти площу потрібно знати довжину ребра основи призми (висота нам відома). Якщо розглядати проекцію (вид зверху), маємо правильний трикутник вписаний в окружність. Сторона цього трикутника виражається через радіус як:

Подробиці цього взаємозв'язку. Значить вона дорівнюватиме

Тоді площа бічної грані дорівнює: 24 6 = 144. А потрібна площа:

245354. Правильна чотирикутна призма описана біля циліндра, радіус основи якого дорівнює 2. Площа бічної поверхні призми дорівнює 48. Знайдіть висоту циліндра.

Все просто. Маємо чотири рівні за площею бічні грані, отже площа однієї грані дорівнює 48:4=12. Так як радіус основи циліндра дорівнює 2, то ребро основи призми буде рано 4 - воно дорівнює діаметру циліндра (це два радіуси). Нам відома площа грані та одне ребро, друге, що є висотою, дорівнюватиме 12:4=3.

27065. Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної призми, описаної біля циліндра, радіус основи якого дорівнює √3, а висота дорівнює 2.

З повагою, Олександр.

Різні призми не схожі один на одного. У той же час вони мають багато спільного. Щоб знайти площу підстави призми, потрібно розібратися в тому, який вигляд має.

Загальна теорія

Призмою є будь-який багатогранник, бічні сторони якого мають вигляд паралелограма. При цьому в її підставі може бути будь-який багатогранник - від трикутника до n-кутника. Причому підстави призми завжди дорівнюють один одному. Що не стосується бічних граней - вони можуть істотно відрізнятися за розмірами.

При вирішенні завдань зустрічається не тільки площа підстави призми. Може знадобитися знання бічної поверхні, тобто всіх граней, які не є підставами. Повною поверхнею вже буде поєднання всіх граней, які становлять призму.

Іноді у завданнях фігурує висота. Вона є перпендикуляром до основ. Діагоналлю багатогранника є відрізок, який попарно з'єднує дві будь-які вершини, що не належать одній грані.

Слід зазначити, що площа основи прямої призми або похилої не залежить від кута між ними та бічними гранями. Якщо вони однакові фігури у верхній і нижній гранях, їх площі будуть рівними.

Трикутна призма

Вона має в основі фігуру, що має три вершини, тобто трикутник. Він, як відомо, буває різним. Якщо досить згадати, що його площа визначається половиною твору катетів.

Математичний запис виглядає так: S = ½ ав.

Щоб дізнатися площу основи у загальному вигляді, стануть у нагоді формули: Герона і та, в якій береться половина сторони на висоту, проведену до неї.

Перша формула має бути записана так: S = √(р(р-а)(р-в)(р-с)). У цьому записі є напівпериметр (р), тобто сума трьох сторін, розділена на дві.

Друга: S = ½ н а * а.

Якщо потрібно дізнатися площу основи трикутної призми, яка є правильною, то трикутник виявляється рівностороннім. Для нього існує своя формула: S = ¼ а 2 * √3.

Чотирикутна призма

Її основою є будь-який із відомих чотирикутників. Це може бути прямокутник або квадрат, паралелепіпед або ромб. У кожному разі для того, щоб обчислити площу підстави призми, буде потрібна своя формула.

Якщо основа — прямокутник, його площа визначається так: S = ав, де а, в — сторони прямокутника.

Коли йдеться про чотирикутну призму, то площа основи правильної призми обчислюється за формулою для квадрата. Тому що саме він виявляється лежачим у основі. S = а2.

У разі коли основа — це паралелепіпед, знадобиться така рівність: S = а * н а. Буває таке, що дано сторону паралелепіпеда та один із кутів. Тоді для обчислення висоти потрібно скористатися додатковою формулою: н а = в * sin А. Причому кут А прилягає до сторони "в", а висота н а протилежна до цього куту.

Якщо підставі призми лежить ромб, то визначення його площі буде необхідна та сама формула, що у паралелограма (оскільки є його окремим випадком). Але можна скористатися і такою: S = ½ d 1 d 2 . Тут d 1 і d 2 – дві діагоналі ромба.

Правильна п'ятикутна призма

Цей випадок передбачає розбиття багатокутника на трикутники, площі яких простіше дізнатися. Хоча буває, що фігури можуть бути з іншою кількістю вершин.

Оскільки основа призми — правильний п'ятикутник, він може бути розділений п'ять рівносторонніх трикутників. Тоді площа підстави призми дорівнює площі одного такого трикутника (формулу можна переглянути вище), помноженою на п'ять.

Правильна шестикутна призма

За принципом, описаним для п'ятикутної призми, вдається розбити шестикутник основи на 6 рівносторонніх трикутників. Формула площі підстави такої призми подібна до попередньої. Тільки у ній слід множити на шість.

Виглядатиме формула таким чином: S = 3/2 а 2 * √3.

Завдання

№ 1. Дана правильна пряма Її діагональ дорівнює 22 см, висота багатогранника - 14 см. Обчислити площу основи призми та всієї поверхні.

Рішення.Підставою призми є квадрат, але його сторона не відома. Знайти її значення можна з діагоналі квадрата (х), яка пов'язана з діагоналлю призми (d) та її висотою (н). х 2 = d 2 - н 2. З іншого боку, цей відрізок «х» є гіпотенузою в трикутнику, катети якого дорівнюють стороні квадрата. Тобто х2 = а2+а2. Отже виходить, що а 2 = (d 2 - н 2)/2.

Підставити замість d число 22, а "н" замінити його значенням - 14, то виходить, що сторона квадрата дорівнює 12 см. Тепер просто дізнатися площу основи: 12 * 12 = 144 см 2 .

Щоб дізнатися площу всієї поверхні, потрібно скласти подвоєне значення площі основи та чотиристоронню бічну. Останню легко знайти за формулою для прямокутника: перемножити висоту багатогранника та бік основи. Тобто 14 і 12, це число дорівнюватиме 168 см 2 . Загальна площа поверхні призми виявляється 960 см2.

Відповідь.Площа основи призми дорівнює 144 см 2 . Всієї поверхні - 960 см 2 .

№ 2. Дана В основі лежить трикутник зі стороною 6 см. При цьому діагональ бічної грані становить 10 см. Обчислити площі: основи та бічній поверхні.

Рішення.Оскільки призма правильна, її основою є рівносторонній трикутник. Тому його площа виявляється дорівнює 6 квадраті, помноженому на ¼ і на корінь квадратний з 3. Просте обчислення призводить до результату: 9√3 см 2 . Це площа однієї підстави призми.

Усі бічні грані однакові і є прямокутниками зі сторонами 6 і 10 см. Щоб обчислити їх площі, достатньо перемножити ці числа. Потім помножити їх на три, бо бічних граней призми саме стільки. Тоді площа бічної поверхні виявляється раною 180 см 2 .

Відповідь.Площа: підстави - 9√3 см 2 , бічної поверхні призми - 180 см 2 .

У шкільній програмі з курсу стереометрії вивчення об'ємних фігур зазвичай починається із простого геометричного тіла - багатогранника призми. Роль її основ виконують 2 рівні багатокутники, що лежать у паралельних площинах. Окремим випадком є ​​правильна чотирикутна призма. Її основами є 2 однакові правильні чотирикутники, до яких перпендикулярні бічні сторони, що мають форму паралелограмів (або прямокутників, якщо призма не похила).

Як виглядає призма

Правильною чотирикутною призмою називається шестигранник, в основах якого знаходяться 2 квадрати, а бічні грані представлені прямокутниками. Інша назва для цієї геометричної фігури – прямий паралелепіпед.

Малюнок, на якому зображено чотирикутну призму, показано нижче.

На зображенні також можна побачити найважливіші елементи, у тому числі складається геометричне тіло. До них прийнято відносити:

Іноді у завданнях з геометрії можна зустріти поняття перерізу. Визначення звучатиме так: перетин - це всі точки об'ємного тіла, що належать площині, що сить. Перетин буває перпендикулярним (перетинає ребра фігури під кутом 90 градусів). Для прямокутної призми також розглядається діагональний переріз (максимальна кількість перерізів, яких можна побудувати - 2), що проходить через 2 ребра та діагоналі основи.

Якщо перетин намальовано так, що січна площина не паралельна ні основам, ні бічним граням, в результаті виходить зрізана призма.

Для знаходження наведених призматичних елементів використовуються різні відносини та формули. Частина їх відома з курсу планіметрії (наприклад, знаходження площі підстави призми досить згадати формулу площі квадрата).

Площа поверхні та обсяг

Щоб визначити обсяг призми за формулою, необхідно знати площу її основи та висоту:

V = Sосн · h

Оскільки основою правильної чотиригранної призми є квадрат зі стороною a,можна записати формулу у більш докладному вигляді:

V = a²·h

Якщо йдеться про куб - правильну призму з рівною довжиною, шириною і висотою, об'єм обчислюється так:

Щоб зрозуміти, як знайти площу бічної поверхні призми, необхідно уявити її розгортку.

З креслення видно, що бічна поверхня складена із 4 рівних прямокутників. Її площа обчислюється як добуток периметра основи на висоту фігури:

Sбік = Pосн · h

З урахуванням того, що периметр квадрата дорівнює P = 4a,формула набуває вигляду:

Sбік = 4a·h

Для куба:

Sбік = 4a²

Для обчислення площі повної поверхні призми потрібно до бічної площі додати 2 площі підстав:

Sповн = Sбік + 2Sосн

Стосовно чотирикутної правильної призми формула має вигляд:

Sповн = 4a·h + 2a²

Для площі поверхні куба:

Sповн = 6a²

Знаючи обсяг чи площу поверхні, можна обчислити окремі елементи геометричного тіла.

Знаходження елементів призми

Часто зустрічаються завдання, в яких дано обсяг або відома величина бічної площі поверхні, де необхідно визначити довжину сторони основи або висоту. У таких випадках формули можна вивести:

• довжина сторони основи: a = Sбік / 4h = √(V / h);
• довжина висоти або бічного ребра: h = Sбік / 4a = V / a²;
• площа основи: Sосн = V/h;
• площа бічної грані: Sбік. гр = Sбік / 4.

Щоб визначити, яку площу має діагональний переріз, необхідно знати довжину діагоналі та висоту фігури. Для квадрата d = a√2.З цього випливає:

Sдіаг = ah√2

Для обчислення діагоналі призми використовується формула:

dприз = √(2a² + h²)

Щоб зрозуміти, як застосовувати наведені співвідношення, можна попрактикуватися і вирішити кілька нескладних завдань.

Приклади завдань із рішеннями

Ось кілька завдань, що зустрічаються у державних підсумкових іспитах з математики.

Завдання 1.

У коробку, що має форму правильної чотирикутної призми, насипаний пісок. Висота його рівня становить 10 см. Яким стане рівень піску, якщо перемістити його в ємність такої ж форми, але з довжиною основи вдвічі більше?

Слід міркувати так. Кількість піску в першій та другій ємності не змінювалося, тобто його обсяг у них збігається. Можна позначити довжину основи за a. У такому разі для першої коробки обсяг речовини становитиме:

V₁ = ha² = 10a²

Для другої коробки довжина основи становить 2a, але невідома висота рівня піску:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Оскільки V₁ = V₂, Можна прирівняти вирази:

10a² = 4ha²

Після скорочення обох частин рівняння на a² виходить:

В результаті новий рівень піску становитиме h = 10/4 = 2,5див.

Завдання 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильна призма. Відомо, що BD = AB₁ = 6√2. Знайти площу повної поверхні тіла.

Щоб було простіше зрозуміти, які елементи відомі, можна зобразити фігуру.

Оскільки йдеться про правильну призму, можна дійти невтішного висновку, що у підставі знаходиться квадрат із діагоналлю 6√2. Діагональ бічної грані має таку ж величину, отже, бічна грань теж має форму квадрата, що дорівнює підставі. Виходить, що всі три виміри – довжина, ширина та висота – рівні. Можна зробити висновок, що ABCDA₁B₁C₁D₁ є кубом.

Довжина будь-якого ребра визначається через відому діагональ:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Площа повної поверхні знаходиться за формулою для куба:

Sповн = 6a² = 6 · 6² = 216

Завдання 3.

У кімнаті виконується ремонт. Відомо, що її підлога має форму квадрата із площею 9 м². Висота приміщення становить 2,5 м. Яка найменша вартість обклеювання кімнати шпалерами, якщо 1 м² коштує 50 рублів?

Оскільки підлога і стеля є квадратами, тобто правильними чотирикутниками, і стіни її перпендикулярні до горизонтальних поверхонь, можна зробити висновок, що вона є правильною призмою. Необхідно визначити площу її бічної поверхні.

Довжина кімнати складає a = √9 = 3м.

Шпалери буде обклеєна площа Sбок = 4 · 3 · 2,5 = 30 м ².

Найнижча вартість шпалер для цієї кімнати складе 50 · 30 = 1500карбованців.

Таким чином, для вирішення задач на прямокутну призму достатньо вміти обчислювати площу та периметр квадрата та прямокутника, а також володіти формулами для знаходження об'єму та площі поверхні.

Як знайти площу куба

Призма. Паралелепіпед

Призмоюназивається багатогранник, дві грані якого – рівні n-кутники (основи) , що у паралельних площинах, інші n граней – паралелограммы (Бічні грані) . Боковим ребром призми називається сторона бічної грані, яка не належить підставі.

Призма, бічні ребра якої перпендикулярні до площин основ, називається прямий призмою (рис. 1). Якщо бічні ребра не перпендикулярні до площин основ, то призма називається похилій . Правильною призмою називається пряма призма, основи якої – правильні багатокутники.

Висотоюпризми називається відстань між площинами основ. Діагоналлю призми називається відрізок, що з'єднує дві вершини, що не належать до однієї грані. Діагональним перетином називається переріз призми площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать до однієї грані. Перпендикулярним перетином називається переріз призми площиною, перпендикулярною до бокового ребра призми.

Площею бічної поверхні призми називається сума площ усіх бічних граней. Площею повної поверхні називається сума площ усіх граней призми (тобто. сума площ бічних граней та площ основ).

Для довільної призми вірні формули:

де l- Довжина бічного ребра;

H- Висота;

P

Q

S бік

S повний

S осн– площа основ;

V- Обсяг призми.

Для прямої призми вірні формули:

де p– периметр основи;

l- Довжина бічного ребра;

H- Висота.

Паралелепіпедомназивається призма, основою якої є паралелограм. Паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні до основ, називається прямим (Рис. 2). Якщо бічні ребра не перпендикулярні основам, то паралелепіпед називається похилим . Прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник, називається прямокутним. Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.

Грані паралелепіпеда, що не мають спільних вершин, називаються протилежними . Довжини ребер, що виходять з однієї вершини, називаються вимірами паралелепіпеда. Оскільки паралелепіпед – це призма, основні його елементи визначаються аналогічно тому, як вони визначені для призм.

Теореми.

1. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл.

2. У прямокутному паралелепіпеді квадрат довжини діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів:

3. Усі чотири діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні між собою.

Для довільного паралелепіпеда вірні формули:

де l- Довжина бічного ребра;

H- Висота;

P- Періметр перпендикулярного перерізу;

Q- Площа перпендикулярного перерізу;

S бік- Площа бічної поверхні;

S повний- Площа повної поверхні;

S осн– площа основ;

V- Обсяг призми.

Для прямого паралелепіпеда вірні формули:

де p– периметр основи;

l- Довжина бічного ребра;

H- Висота прямого паралелепіпеда.

Для прямокутного паралелепіпеда вірні формули:

(3)

де p– периметр основи;

H- Висота;

d– діагональ;

a, b, c- Виміри паралелепіпеда.

Для куба вірні формули:

де a- Довжина ребра;

d- Діагональ куба.

приклад 1.Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює 33 дм, а його виміри відносяться, як 2: 6: 9. Знайти виміри паралелепіпеда.

Рішення.Для знаходження вимірів паралелепіпеда скористаємося формулою (3), тобто. тим фактом, що квадрат гіпотенузи прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його вимірів. Позначимо через kкоефіцієнт пропорційності. Тоді виміри паралелепіпеда дорівнюватимуть 2 k, 6kта 9 k. Запишемо формулу (3) для даних завдання:

Вирішуючи це рівняння щодо k, Отримаємо:

Отже, вимірювання паралелепіпеда дорівнюють 6 дм, 18 дм і 27 дм.

Відповідь: 6 дм, 18 дм, 27 дм.

приклад 2.Знайти об'єм похилої трикутної призми, основою якої служить рівносторонній трикутник зі стороною 8 см, якщо бічне ребро дорівнює стороні основи і нахилено під кутом 60º до основи.

Рішення . Зробимо рисунок (рис. 3).

Для того, щоб знайти обсяг похилої призми необхідно знати площу її основи та висоту. Площа підстави цієї призми – це площа рівностороннього трикутника зі стороною 8 см. Обчислимо її:

Висотою призми є відстань між її основами. З вершини А 1 верхньої основи опустимо перпендикуляр на площину нижньої основи А 1 D. Його довжина і буде заввишки призми. Розглянемо D А 1 АD: так як це кут нахилу бокового ребра А 1 Адо площини основи, А 1 А= 8 см. З цього трикутника знаходимо А 1 D:

Тепер обчислюємо обсяг за формулою (1):

Відповідь: 192 см 3 .

приклад 3.Бокове ребро правильної шестикутної призми дорівнює 14 см. Площа найбільшого діагонального перерізу дорівнює 168 см 2 . Знайти площу повної поверхні призми.

Рішення.Зробимо малюнок (рис. 4)

Найбільший діагональний переріз – прямокутник AA 1 DD 1 , оскільки діагональ ADправильного шестикутника ABCDEFє найбільшою. Для того, щоб обчислити площу бічної поверхні призми, необхідно знати бік основи та довжину бічного ребра.

Знаючи площу діагонального перерізу (прямокутника), знайдемо діагональ основи.

Оскільки , то

Бо те АВ= 6 див.

Тоді периметр основи дорівнює:

Знайдемо площу бічної поверхні призми:

Площа правильного шестикутника зі стороною 6 см дорівнює:

Знаходимо площу повної поверхні призми:

Відповідь:

приклад 4.Підставою прямого паралелепіпеда служить ромб. Площі діагональних перерізів 300 см 2 та 875 см 2 . Знайти площу бічної поверхні паралелепіпеда.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 5).

Позначимо бік ромба через а, діагоналі ромба d 1 та d 2 , висоту паралелепіпеда h. Щоб знайти площу бічної поверхні прямого паралелепіпеда необхідно периметр основи помножити на висоту: (формула (2)). Периметр основи р = АВ + НД + CD + DA = 4AB = 4a, так як ABCD- Ромб. Н = АА 1 = h. Т.о. Необхідно знайти аі h.

Розглянемо діагональні перерізи. АА 1 СС 1 – прямокутник, одна сторона якого діагональ ромба АС = d 1 , друга – бічне ребро АА 1 = hтоді

Аналогічно для перерізу ВВ 1 DD 1 отримаємо:

Використовуючи властивість паралелограма така, що сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх його сторін, отримаємо рівність. Отримаємо таке.