Що таке взаємне розташування прямої та кола. Навчальний лист з геометрії "Взаємне розташування прямої та кола

Нагадаємо важливе визначення - визначення кола]

Визначення:

Окружністю з центром у точці Про радіусом R називають безліч всіх точок площини, віддалених від точки Про відстань R.

Звернімо увагу на те, що колом називають саме безліч всіхточок, що задовольняють описану умову. Розглянемо приклад:

Точки A, B, C, D квадрата рівновіддалені від точки Е, але вони не є колом (рис. 1).

Мал. 1. Ілюстрація наприклад

В даному випадку фігура є коло, так як це все безліч точок, рівновіддалених від центру.

Якщо з'єднати будь-які дві точки кола – отримуємо хорду. Хорда, що проходить через центр, називається діаметром.

MB – хорда; АВ – діаметр; MnB – дуга, вона стягується хордою МВ;

Кут називається центральним.

Точка О - центр кола.

Мал. 2. Ілюстрація наприклад

Таким чином, ми згадали, що таке коло та основні його елементи. Тепер перейдемо до розгляду взаємного розташування кола та прямої.

Задано коло з центром Про і радіусом r. Пряма Р, відстань від центру до прямої, тобто перпендикуляр ЗМ, дорівнює d.

Вважаємо, що точка не лежить на прямий Р.

По заданим колу та прямий нам необхідно знайти число спільних точок.

Випадок 1 - відстань від центру кола до прямої менше радіусу кола:

У першому випадку, коли відстань d менша за радіус кола r, точка М лежить усередині кола. Від цієї точки ми відкладемо два відрізки - МА та МВ, довжина яких буде . Значення r та d нам відомі, d менше r, отже, вираз існує і точки А та В існують. Ці дві точки лежать на прямій за побудовою. Перевіримо, чи вони лежать на колі. Обчислимо за теоремою Піфагора відстань ОА та ВВ:

Мал. 3. Ілюстрація до випадку 1

Відстань від центру до двох точок дорівнює радіусу кола, таким чином, ми довели, що точки А і В належать кола.

Отже, точки А і В належать прямий за побудовою, належать кола за доведеним - коло та пряма мають дві спільні точки. Доведемо, що інших точок немає (рис. 4).

Мал. 4. Ілюстрація до доказу

Для цього візьмемо на пряму довільну точку С і припустимо, що вона лежить на колі – відстань ОС = r. У такому разі трикутник рівнобедрений та його медіана ON, яка не збігається з відрізком ОМ, є висотою. Ми отримали протиріччя: з точки О опущено два перпендикуляри на пряму.

Таким чином, на прямій Р немає інших спільних точок із колом. Ми довели, що у випадку, коли відстань d менша за радіус кола r, пряма і коло мають тільки дві загальні точки.

Випадок другий - відстань від центру кола до прямої дорівнює радіусу кола (рис. 5):

Мал. 5. Ілюстрація до випадку 2

Нагадаємо, що відстань від точки до прямої – це довжина перпендикуляра, в даному випадку ВІН – перпендикуляр. Так як, за умовою, довжина ВІН дорівнює радіусу кола, то точка Н належить колу, таким чином, точка Н загальна для прямої та кола.

Доведемо, що інших спільних точок немає. Від неприємного: припустимо, що точка С на прямій належить колу. У такому разі відстань ОС дорівнює r, і тоді ОС дорівнює ВІН. Але в прямокутному трикутнику гіпотенуза ОС більша за катет ВІН. Набули протиріччя. Таким чином, припущення невірно і немає жодної точки крім Н, загальної для прямої та кола. Ми довели, що у цьому випадку загальна точка єдина.

Випадок 3 - відстань від центру кола до прямої більше радіусу кола:

Відстань від точки до прямої – довжина перпендикуляра. Проводимо з точки Про перпендикуляр до прямої Р, отримуємо точку Н, яка не лежить на колі, тому що ВІН за умовою більшою за радіус окружності. Доведемо, що будь-яка інша точка прямої не лежить на колі. Це добре видно з прямокутного трикутника, гіпотенуза ОМ якого більше катета ВІН, а значить, більше радіуса кола, таким чином, точка М не належить кола, як і будь-яка інша точка на прямій. Ми довели, що в даному випадку коло і пряме не мають спільних точок (рис. 6).

Мал. 6. Ілюстрація до випадку 3

Розглянемо теорему . Припустимо, що пряма АВ має дві спільні точки з колом (рис. 7).

Мал. 7. Ілюстрація до теореми

Маємо хорду АВ. Точка Н, за умовою, - середина хорди АВ лежить на діаметрі СD.

Потрібно довести, що в такому разі діаметр перпендикулярний хорді.

Доведення:

Розглянемо рівнобедрений трикутник ОАВ, він рівнобедрений, оскільки .

Точка Н, за умовою, – середина хорди, отже середина медіани АВ рівнобедреного трикутника. Ми знаємо, що медіана рівнобедреного трикутника перпендикулярна його основі, отже, є висотою: , звідси, таким чином, доведено, що діаметр, що проходить через середину хорди, перпендикулярний їй.

Справедлива та зворотна теорема : якщо діаметр перпендикулярний хорді, то він проходить через її середину

Задано коло з центром О, її діаметр СD та хорда АВ. Відомо, що діаметр перпендикулярний хорді, потрібно довести, що він проходить через її середину (рис. 8).

Мал. 8. Ілюстрація до теореми

Доведення:

Розглянемо рівнобедрений трикутник ОАВ, він рівнобедрений, оскільки . ВІН, за умовою, - висота трикутника, оскільки діаметр перпендикулярний хорді. Висота в рівнобедреному трикутнику одночасно є медіаною, таким чином, АН=НВ, отже, точка Н є серединою хорди АВ, отже, доведено, що діаметр перпендикулярний хорді проходить через її середину.

Пряму і зворотну теорему можна узагальнити в такий спосіб.

Теорема:

Діаметр перпендикулярний хорді тоді і лише тоді, коли він проходить через її середину.

Отже, ми розглянули всі випадки взаємного розташування прямого та кола. На наступному уроці ми розглянемо дотичну до кола.

Список літератури

1. Александров А.Д. та ін. Геометрія 8 клас. - М: Просвітництво, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрія 8. – К.: Просвітництво, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір С.М. Геометрія 8 клас. – К.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

1. Edu.glavsprav.ru ().
2. Webmath.exponenta.ru().
3. Fmclass.ru ().

Домашнє завдання

Завдання 1. Знайти довжини двох відрізків хорди, на які поділяє її діаметр кола, якщо довжина хорди - 16 см, а діаметр їй перпендикулярний.

Завдання 2. Вказати кількість загальних точок прямої та кола, якщо:

а) відстань від прямої до центру кола - 6 см, а радіус кола - 6,05 см;

б) відстань від прямої до центру кола - 6,05 см, а радіус кола - 6 см;

в) відстань від прямої до центру кола - 8 см, а радіус кола - 16 см.

Завдання 3. Знайти довжину хорди, якщо діаметр їй перпендикулярний, а один із відрізків, що відсікаються діаметром від неї, дорівнює 2 см.

Нехай на площині дано коло та деяке пряме. Опустимо на цю пряму перпендикуляр із центру кола С; позначимо через основу цього перпендикуляра. Крапка може займати щодо кола три можливі положення: а) лежати поза колом, б) на колі, в) всередині кола. Залежно від цього і пряма займатиме щодо кола одне з трьох можливих різних положень, що описуються нижче.

а) Нехай основа перпендикуляра опущеного з центру С кола на пряму а лежить поза коло (рис. 197). Тоді пряма не перетинає кола, всі її точки лежать у зовнішній області. Дійсно, у зазначеному випадку за умовою віддалена від центру на відстань, більша за радіус). Тим паче для будь-якої точки М прямої маємо т. е. кожна точка даної прямої лежить поза кола.

б) Нехай основа перпендикуляра потрапить на коло (рис. 198). Тоді пряма а має з колом рівно одну загальну точку. Справді, якщо М - будь-яка інша точка прямої, то (похилі довші за перпендикуляр) і точка М лежить у зовнішній ділянці. Така пряма, що має з колом єдину загальну точку, називається дотичною до кола в цій точці. Покажемо, що й назад, якщо пряма має з колом єдину загальну точку, то радіус, проведений у цю точку, перпендикулярний до цієї прямої. Справді, опустимо з центру перпендикуляр на цю пряму. Якби його основа лежала всередині кола, то пряма мала б з нею, як показано в), дві загальні точки. Якби воно лежало поза колом, то через а) пряма не мала б з колом загальних точок.

Тому залишається припустити, що перпендикуляр потрапляє в загальну точку прямої та кола - в точку їх торкання. Доведено важливу

Теорема. Пряма, що проходить через точку кола, тоді і тільки тоді стосується кола, коли вона перпендикулярна до радіуса, проведеного в цю точку.

Зауважимо, що визначення дотичної до кола, дане тут, не переноситься інші криві. Більше загальне визначення дотичної прямий до кривої лінії пов'язані з поняттями теорії меж і докладно у курсі вищої математики. Тут ми дамо про нього лише загальне поняття. Нехай дано коло і у ньому точка А (рис. 199).

Візьмемо ще точку А на колі та з'єднаємо обидві точки прямої АА. Нехай точка А рухаючись по колу, займає послідовно ряд нових положень наближаючись все більше до точки А. Пряма АА, обертаючись навколо А, приймає ряд положень: при цьому в міру зближення точки, що рухається, з точкою А пряма прагне збігу з дотичною АТ. Тому можна говорити про дотичну як про граничне становище сіючої, що проходить через дану точку і точку кривої, що необмежено з нею зближується. У такій формі визначення щодо застосовне до кривих вельми загального виду (рис. 200).

в) Нехай, нарешті, точка лежить усередині кола (рис. 201). Тоді. Будемо розглядати похилі, проведені до прямої а з центру С кола, з підставами, що віддаляються від точки в будь-якому з двох можливих напрямків. Довжина похилої буде монотонно зростати в міру видалення її основи від точки це зростання довжини похилої відбувається поступово («безперервно») від значень, близьких до до значень, скільки завгодно великих, тому здається ясним, що при деякому положенні основ похилих довжина їх буде точно дорівнює відповідні точки К і L прямої лежатимуть на колі.

Склала вчитель математики

МБОУ ЗОШ №18 м. Красноярськ

Андрєєва Інга Вікторівна

Взаємне розташування прямої та кола

Про R – радіус

З D – діаметр

AB - хорда

• Коло з центром у точці Прорадіусу r
• Пряма, яка не проходить через центр Про
• Відстань від центру кола до прямої позначимо буквою s

Можливі три випадки:

• 1) s

• менше радіуса кола, то пряма і коло мають дві спільні точки .

Пряма АВ називається січучої по відношенню до кола.

Можливі три випадки:

• 2 ) s = r

• Якщо відстань від центру кола до прямої одно радіусу кола, то пряма і коло мають тільки одну загальну точку .

s = r

Можливі три випадки:

• 3 ) sr

• Якщо відстань від центру кола до прямої більше радіуса кола, то пряма і коло не мають спільних точок .

Стосовно кола

Визначення: П рямая, що має з колом лише одну загальну точку, називається дотичною до кола, які загальна точка називається точкою дотику прямий і окружности.

s = r

• пряма – січна
• пряма – січна
• загальних точок немає
• пряма – січна
• пряма - дотична

• r = 15 см, s = 11 см
• r = 6 см, s = 5,2 см
• r = 3,2 м, s = 4,7 м
• r = 7 см, s = 0,5 дм
• r = 4 см, s = 40 мм

Вирішіть №633.

• OABC-квадрат
• AB = 6 см
• Окружність із центром O радіуса 5 см

січені з прямих OA, AB, BC, АС

Властивість щодо: Дотична до кола перпендикулярна до радіусу, проведеного в точку торкання.

m- дотична до кола з центром Про

М– точка торкання

OM- радіус

Ознака дотичної:Якщо пряма проходить через кінець радіуса, що лежить на колі, і перпендикулярна до радіуса, то вона є до астальної.

коло з центром Про

радіусу OM

m- Пряма, яка проходить через точку М

m - Дотична

Властивість дотичних, що проходять через одну точку:

Відрізки дотичних до

кола, проведені

з однієї точки, рівні та

складають рівні кути

з прямою, що проходить через

цю точку та центр кола.

▼ За якістю дотичної

∆ АВО, ∆ АСО–прямокутні

∆ АВО= ∆ АСО–з гіпотенузи та катету:

ОА – загальна,

Навчальний лист

на тему «Взаємне розташування прямої та кола. Взаємне розташування двох кіл»

(3:00)

В результаті вивчення теми потрібно:

Література:

2. Геометрія. 7 клас. , . Алмати «Атамрі». 2012

3. Геометрія. 7 клас. Методичний посібник. . Алмати «Атамрі». 2012

4. Геометрія. 7 клас. Дидактичний матеріал. . Алмати «Атамрі». 2012

5. Геометрія. 7 клас. Збірник завдань та вправ. , . Алмати «Атамрі». 2012

Здобувати знання - хоробрість,

Примножувати їх – мудрість,

А вміло застосовувати їх – велике мистецтво.

Пам'ятай, що працювати потрібно за алгоритмом.

Не забувай проходити перевірку, робити позначки на полях, заповнювати рейтинговий лист теми.

Будь ласка, не залишай без відповіді, що виникли у тебе питання.

Будь об'єктивним під час взаємоперевірки, це допоможе і тобі, і тому, кого ти перевіряєш.

Бажаю успіху!

ЗАВДАННЯ 1

1) Розглянь узапозичене розташування прямої та кола та заповни таблицю (3б):

Випадок 1: Пряма не має з колом жодної спільної точки (не перетинаються)

a https://pandia.ru/text/80/248/images/image002_86.gif" width="41" height="20">

Випадок 2 : Пряма і коло мають лише одну загальну точку (стосуються)

https://pandia.ru/text/80/248/images/image002_86.gif" width="41" height="20">

Випадок 3: Пряма має з колом дві загальні точки (перетинаються)

https://pandia.ru/text/80/248/images/image005_61.gif" width="45" height="17">

2) Прочитай визначення, теореми, наслідки та вивчи їх (5б):

Визначення: Пряма, що має з колом дві спільні точки, називається січній.

Визначення : Пряма, що має з колом тільки одну загальну точку і перпендикулярна до радіусу, називається дотичної до кола.

https://pandia.ru/text/80/248/images/image007_19.jpg" align="left" width="127" height="114 src="> Слідство 4: Якщо відстань від центру кола до прямої більша за радіус кола, то пряма не перетинається з колом.

Теорема 4:

Відрізки дотичних до кола, проведені з однієї точки, рівні і становлять рівні кути з прямої, що проходить через цю точку та центр кола.

3) Відповідай на запитання (3б):

1) Як можуть розташовуватися пряма та коло на площині?

2) Чи може пряма мати з колом три спільні точки?

3) Як потрібно провести дотичну до кола через точку, що лежить на колі?

4) Скільки дотичних можна провести до кола через точку:

а) що лежить на колі;

б) що лежить усередині кола;

в) що лежить поза колом?

5) Дано коло ω (O; r) і точка А, що лежить усередині кола. Скільки точок перетину матиме: а) пряма ОА; б) промінь ОА; в) відрізок ОА?

6) Як розділити хорду кола навпіл?

ПРОЙДИ ПЕРЕВІРКУ № 1

ЗАВДАННЯ 2

1) Прочитай текст та розглянь малюнки. Зроби малюнки в зошиті, запиши висновки та вивчи їх (3б):

Розглянемо можливі випадки взаємного розташування двох кіл. Взаємне розташування двох кіл пов'язане з відстанню між їх центрами.

Кола, що перетинаються: два кола перетинаються,якщо вони мають дві загальні точки.Нехай R1 і R2 – радіуси кіл ω 1 і ω 2 , d Кола ω1 і ω2 перетинаються тоді і лише тоді, коли числа R1, R 2, d є довжинами сторін деякого трикутника, тобто задовольняють всі нерівності трикутника:

R1 + R2> d, R1+ d> R2, R 2 + d> R1.

Висновок:Якщо R1 + R2> d або|R1−R2| < d, тоді кола перетинаються у двох точках.

Що стосуються кола: два кола стосуються,якщо вони мають одну загальну точку.Мають загальну дотичну а. Нехай R1 і R2 – радіуси кіл ω 1 і ω 2 , d - Відстань між їх центрами.

Висновок:Якщо R1 + R2 = d або|R1−R2|=d , Тоді кола стосуються в одній спільній точці, що лежить на прямій, що проходить через центри кіл.

Непересічні кола:два кола не перетинаються, якщо вони не мають спільних точок. У цьому випадку одна з них лежить усередині іншої, або вони лежать один за одним.

Нехай R1 і R2 – радіуси кіл ω 1 і ω 2 , d - Відстань між їх центрами.

Окружність ω 1 і ω2 розташовані поза один одним тоді і тільки тоді, коли R1 + R2 < d . Окружність ω1лежить усередині ω2тоді і лише тоді, коли |R1−R2| > d .

Висновок:Якщо R1 + R2< d або|R1−R2| > d, тоді кола не перетинаються.

Перевірочні роботи "перевірочної роботи №1."

ЗАВДАННЯ 4

1) Розв'яжи на вибір парні або непарні завдання (2б.):

1. Вказати кількість загальних точок прямої та кола, якщо:

а) відстань від прямої до центру кола – 6 см, а радіус кола – 7 см;

б) відстань від прямої до центру кола – 7 см, а радіус кола – 6 см;

в) відстань від прямої до центру кола – 8 см, а радіус кола – 8 см.

2. Визначити взаємне розташування прямої та кола, якщо:

1. R=16см, d=12см; 2. R = 8 см, d = 1,2 дм; 3. R=5 см, d=50 мм

3. Яке взаємне розташування кіл якщо:

d = 1дм, R1 = 0,8дм, R2 = 0,2дм

d = 40см, R1 = 110см, R2 = 70см

d = 12см, R1 = 5см, R2 = 3см

d = 15дм, R1 = 10дм, R2 = 22см

4. Вкажіть кількість точок взаємодії двох кіл по радіусах і по відстані між центрами:

а) R = 4 см, r = 3 см, ОО1 = 9 см; б) R = 10 см, r = 5 см, ОО1 = 4 см

в) R = 4 см, r = 3 см, ОО1 = 6 см; г) R = 9 см, r = 7 см, ОО1 = 4 см.

1. Знайти довжини двох відрізків хорди, на які поділяє її діаметр кола, якщо довжина хорди – 16 см, а діаметр їй перпендикулярний.

2. Знайти довжину хорди, якщо діаметр їй перпендикулярний, а один із відрізків, що відсікаються діаметром від неї, дорівнює 2 см.

3) Виконай на вибір парні або непарні завдання на побудову (2б):

1. Побудуйте два кола радіусами 2 см і 4 см, відстань між центрами яких дорівнює нулю.

2. Накресліть два кола різних радіусів (3 см і 2 см), щоб вони торкалися. Позначте відрізком відстань між їхніми центрами. Розгляньте можливі варіанти.

3. Побудуйте коло з радіусом 3 см і пряме розташоване на відстані 4 см від центру кола.

4. Побудуйте коло з радіусом рівним 4 см і пряме розташоване на відстані 2 см від центру кола.

ПРОЙДИ ПЕРЕВІРКУ № 4

ЗАВДАННЯ 5

Молодець! Можна приступити до перевірочної роботи №2.

ЗАВДАННЯ 6

1) Знайди помилку у затвердженні та виправи її, обґрунтувавши свою думку. Вибери будь-які два твердження (4б.): А) Два кола стосуються зовнішнім чином. Радіуси їх дорівнюють R = 8 см та r = 2 см, відстань між центрами d = 6.
Б) Два кола мають принаймні три спільні точки.
В) R = 4, r = 3, d = 5. Кола не мають спільних точок.
Г) R = 8, r = 6, d = 4. Менша окружність розташована всередині більшої.
Д) Два кола що неспроможні розташовуватися отже одна перебуває усередині інший.

2) Розв'яжи на вибір парні або непарні завдання (66.):

1. Два кола стосуються один одного. Радіус більшого кола дорівнює 19 см, а радіус малого кола менший на 4 см. Знайдіть відстань між центрами кіл.

2. Два кола стосуються один одного. Радіус більшого кола дорівнює 26 см, а радіус малого кола в 2 рази менше. Знайдіть відстань між центрами кіл.

3. Візьміть дві точки Dі Fтак щоб DF = 6 см. Накресліть два кола (D, 2см)і (F, 3 см).Як розташовані між собою ці два кола? Зробіть висновок.

4. Відстань між точками Аі Уодно 7 див.Накресліть кола з центрами в точках Аі У, радіусами, рівними 3 смі 4 см. Як розташовані кола? Зробіть висновок.

5. Між двома концентричними колами з радіусами 4 см і 8 см розташоване третє коло так, що воно стосується перших двох кіл. Чому дорівнює радіус цього кола?

6. Кола, радіуси яких дорівнюють 6 см і 2 см, перетинаються. Причому велике коло проходить через центр меншого кола. Знайдіть відстань між центрами кіл.

ПРОЙДИ ПЕРЕВІРКУ №6

Перевірна робота № 1

Вибери один із варіантів тесту та виріши (10 питань, по 1 балу за кожне):

Оцінка: 10 б. - "5", 9 - 8 б. - "4", 7 - 6 б. - "3", 5 б. і нижче – «2»

Перевірна робота № 2

1) Заповни таблицю. Вибери один із варіантів (6б):

а) взаємне розташування двох кіл:

б) взаємне розташування прямої та кола:

2) Розв'яжи одну задачу на вибір (2б.):

1. Знайти довжини двох відрізків хорди, на які поділяє її діаметр кола, якщо довжина хорди – 0,8 дм, а діаметр їй перпендикулярний.

2. Знайти довжину хорди, якщо діаметр їй перпендикулярний, а один із відрізків, що відсікаються діаметром від неї, дорівнює 0,4 дм.

3) Розв'яжи одну задачу на вибір (2б):

1. Побудуйте кола, відстань між центрами яких менша від різниці їх радіусів. Відзнач відстань між центрами кола. Зробіть висновок.

2. Побудуйте кола, відстань між центрами яких дорівнює різниці радіусів цих кіл. Відзнач відстань між центрами кола. Зробіть висновок.

Оцінка: 10 – 9 б. - "5", 8 - 7 б. - "4", 6 - 5 б. - "3", 4 б. і нижче – «2»