Що опуклий багатокутник. Випуклі багатокутники

На цьому уроці ми приступимо до нової теми і введемо нове для нас поняття «багатокутник». Ми розглянемо основні поняття, пов'язані з багатокутниками: сторони, вершини кути, опуклість та невипуклість. Потім доведемо найважливіші факти, такі як теорема про суму внутрішніх кутів багатокутника, теорема про суму зовнішніх кутів багатокутника. У підсумку ми підійдемо до вивчення окремих випадків багатокутників, які будуть розглядатися на подальших уроках.

Тема: Чотирикутники

Урок: Багатокутники

В курсі геометрії ми вивчаємо властивості геометричних фігур і вже розглянули найпростіші з них: трикутники та кола. При цьому ми обговорювали і конкретні окремі випадки цих фігур, такі як прямокутні, рівнобедрені та правильні трикутники. Тепер настав час поговорити про більш загальні та складні фігури - багатокутниках.

З окремим випадком багатокутниківми вже знайомі – це трикутник (див. рис. 1).

Рис. 1. Трикутник

У самій назві вже підкреслюється, що це постать, яка має три кути. Отже, в багатокутникуїх то, можливо багато, тобто. більше, ніж три. Наприклад, зобразимо п'ятикутник (див. мал. 2), тобто. фігури з п'ятьма кутами.

Рис. 2. П'ятикутник. Випуклий багатокутник

Визначення.Багатокутник- фігура, що складається з декількох точок (більше двох) та відповідної кількості відрізків, які їх послідовно з'єднують. Ці точки називаються вершинамибагатокутника, а відрізки - сторонами. При цьому жодні дві суміжні сторони не лежать на одній прямій і жодні дві несуміжні сторони не перетинаються.

Визначення.Правильний багатокутник- це опуклий багатокутник, у якого всі боки та кути рівні.

Будь-який багатокутникподіляє площину на дві області: внутрішню та зовнішню. Внутрішню область також відносять до багатокутнику.

Іншими словами, наприклад, коли говорять про п'ятикутник, мають на увазі і всю його внутрішню область, і кордон. До внутрішньої області ставляться і всі точки, що лежать усередині багатокутника, тобто. точка теж відноситься до п'ятикутника (див. мал. 2).

Багатокутники ще іноді називають n-кутниками, щоб наголосити, що розглядається загальний випадок наявності якоїсь невідомої кількості кутів (n штук).

Визначення. Периметр багатокутника- Сума довжин сторін багатокутника.

Тепер треба познайомитись із видами багатокутників. Вони поділяються на опукліі невипуклі. Наприклад, багатокутник, зображений на рис. 2 є опуклим, а на Рис. 3 неопуклим.

Рис. 3. Неопуклий багатокутник

Визначення 1. Багатокутникназивається опуклим, якщо при проведенні прямої через будь-яку з його сторін багатокутниклежить лише з одного боку від цієї прямої. Невипуклимиє всі інші багатокутники.

Легко уявити, що з продовження будь-якої сторони п'ятикутника на Рис. 2 він виявиться по одну сторону від цієї прямої, тобто. він опуклий. А ось при проведенні прямої через чотирикутник на Рис. 3 ми вже бачимо, що вона поділяє на дві частини, тобто. він невипуклий.

Але є й інше визначення опуклості багатокутника.

Визначення 2. Багатокутникназивається опуклим, якщо при виборі будь-яких двох внутрішніх точок і при з'єднанні їх відрізком всі точки відрізка є також внутрішніми точками багатокутника.

Демонстрацію використання цього визначення можна побачити з прикладу побудови відрізків на Рис. 2 та 3.

Визначення. Діагоналлюбагатокутника називається будь-який відрізок, що з'єднує дві не сусідні його вершини.

Для опису властивостей багатокутників існують дві найважливіші теореми про їх кутах: теорема про суму внутрішніх кутів опуклого багатокутникаі теорема про суму зовнішніх кутів опуклого багатокутника. Розглянемо їх.

Теорема. Про суму внутрішніх кутів опуклого багатокутника (n-кутника).

Де – кількість його кутів (сторон).

Доказ 1. Зобразимо на рис. 4 опуклий n-кутник.

Рис. 4. Випуклий n-кутник

З вершини проведемо усі можливі діагоналі. Вони ділять n-кутник на трикутник, т.к. кожна зі сторін багатокутника утворює трикутник, крім сторін, що належать до вершини . Легко бачити на малюнку, що сума кутів всіх цих трикутників якраз дорівнюватиме сумі внутрішніх кутів n-кутника. Оскільки сума кутів будь-якого трикутника - то сума внутрішніх кутів n-кутника:

Що і потрібно було довести.

Доказ 2. Можливий і інший доказ цієї теореми. Зобразимо аналогічний n-кутник Рис. 5 і з'єднаємо будь-яку його внутрішню точку з усіма вершинами.

Рис. 5.

Ми отримали розбиття n-кутника на n трикутників (скільки сторін, стільки та трикутників). Сума всіх їх кутів дорівнює сумі внутрішніх кутів багатокутника та сумі кутів при внутрішній точці, а це кут . Маємо:

Що і потрібно було довести.

Доведено.

По доведеній теоремі видно, що сума кутів n-кутника залежить кількості його сторін (від n). Наприклад, у трикутнику , а сума кутів . У чотирикутнику, а сума кутів - і т.д.

Теорема. Про суму зовнішніх кутів опуклого багатокутника (n-кутника).

Де - кількість його кутів (сторон), а , ..., - Зовнішні кути.

Доведення. Зобразимо опуклий n-кутник на Мал. 6 і позначимо його внутрішні та зовнішні кути.

Рис. 6. Випуклий n-кутник із позначеними зовнішніми кутами

Т.к. зовнішній кут пов'язаний з внутрішнім як суміжні, то і аналогічно інших зовнішніх кутів. Тоді:

У ході перетворень ми скористалися вже доведеною теоремою сумі внутрішніх кутів n-кутника .

Доведено.

З доведеної теореми випливає цікавий факт, що сума зовнішніх кутів опуклого n-кутника дорівнює від кількості його кутів (сторон). До речі, на відміну суми внутрішніх кутів.

Список літератури

Александров А.Д. та ін. Геометрія, 8 клас. - М: Просвітництво, 2006.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрія, 8 клас. - М: Просвітництво, 2011.
Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір С.М. Геометрія, 8 клас. – К.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Profmeter.com.ua ().
Narod.ru ().
Xvatit.com ().

Домашнє завдання

Ламана

Визначення

Ламаною лінією, або коротше, ламаноюназивається кінцева послідовність відрізків, така, що один з кінців першого відрізка служить кінцем другого, інший кінець другого відрізка служить кінцем третього і т.д. При цьому сусідні відрізки не лежать на одній прямій. Ці відрізки називають ланок ламаною.

Види ламаної

Ламана називається замкненоюякщо початок першого відрізка збігається з кінцем останнього.

Ламана може перетинати сама себе, торкнутися сама себе, налягати на себе. Якщо таких особливостей немає, то така ламана називається простий.

Багатокутники

Визначення

Проста замкнута ламана разом із частиною площини, обмеженою нею, називається багатокутником.

Зауваження

У кожній вершині багатокутника його сторони задають певний кут багатокутника. Він може бути як менше розгорнутого, так і більше розгорнутого.

Властивість

Кожен багатокутник має кут, менший $180^\circ$.

Доведення

Нехай дано багатокутник $P$.

Проведемо якусь пряму, що не перетинає його. Переміщатимемо її паралельно у бік багатокутника. У певний момент ми вперше отримаємо пряму $a$, що має з багатокутником $P$ хоча б одну загальну точку. Від цієї прямої багатокутник лежить по одну сторону (при цьому деякі точки лежать на прямій $a$).

На прямій $a$ лежить хоча б одна вершина багатокутника. У ній сходиться дві його сторони, розташовані по одну сторону від прямої $a$ (вважаючи і той випадок, коли одна з них лежить на цій прямій). А значить, при цій вершині кут менший за розгорнутий.

Визначення

Багатокутник називається опуклимякщо він лежить по одну сторону від кожної прямої, що містить його бік. Якщо багатокутник не є опуклим, його називають невипуклим.

Зауваження

Випуклий багатокутник є перетином напівплощин, обмежених прямими, які містять сторони багатокутника.

Властивості опуклого багатокутника

У опуклого багатокутника всі кути менші за $180^\circ$.

Відрізок, що з'єднує будь-які дві точки опуклого багатокутника (зокрема, будь-яка його діагональ) міститься в цьому багатокутнику.

Доведення

Доведемо першу властивість

Візьмемо будь-який кут $A$ опуклого багатокутника $P$ та його бік $a$, що йде з вершини $A$. Нехай $l$ - пряма, що містить бік $a$. Оскільки багатокутник $P$ опуклий, він лежить по одну сторону від прямої $l$. Отже, і його кут $A$ лежить по одну сторону від цієї прямої. Значить кут $A$ менший за розгорнутий кут, тобто менше $180^\circ$.

Доведемо другу властивість

Візьмемо будь-які дві точки $A$ і $B$ опуклого багатокутника $P$. Багатокутник $P$ є перетином кількох напівплощин. Відрізок $AB$ міститься в кожній із цих напівплощин. Тому він міститься і в багатокутник $P$.

Визначення

Діагоналлю багатокутниканазивається відрізок, що з'єднує його несусідні вершини.

Теорема (про кількість діагоналей n-кутника)

Кількість діагоналей опуклого $n$-кутника обчислюється за формулою $ dfrac (n (n-3)) (2) $.

Доведення

З кожної вершини n-кутника можна провести $n-3$ діагоналі (не можна провести діагональ у сусідні вершини і саму цю вершину). Якщо порахувати всі такі можливі відрізки, їх буде $n\cdot(n-3)$, оскільки вершин $n$. Але кожну діагональ буде пораховано двічі. Таким чином, кількість діагоналей n-кутника дорівнює $ dfrac (n (n-3)) (2) $.

Теорема (про суму кутів n-кутника)

Сума кутів опуклого $n$-кутника дорівнює $180^\circ(n-2)$.

Доведення

Розглянемо $n$-кутник $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Візьмемо всередині цього багатокутника довільну точку $O$.

Сума кутів усіх трикутників $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ дорівнює $180^\circ\cdot n$.

З іншого боку ця сума складається з суми всіх внутрішніх кутів багатокутника і повного кута $angle O=angle 1+angle 2+angle 3+ldots=30^circ$.

Тоді сума кутів аналізованого $n$-кутника дорівнює $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Слідство

Сума кутів неопуклого $n$-кутника дорівнює $180^\circ(n-2)$.

Доведення

Розглянемо багатокутник $A_1A_2\ldots A_n$, у якого тільки кут $\angle A_2$ невипуклий, тобто $\angle A_2>180^\circ$.

Позначимо суму його уловів $S$.

З'єднаємо точки $A_1A_3$ і розглянемо багатокутник $A_1A_3\ldots A_n$.

Сума кутів цього багатокутника дорівнює:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Отже, $ S = 180 ^ \ circ \ cdot (n-1-2) + 180 ^ \ circ = 180 ^ \ circ \ cdot (n-2) $.

Якщо у вихідного багатокутника більше одного неопуклого кута, то описану вище операцію можна зробити з кожним таким кутом, що і призведе до твердження, що доводиться.

Теорема (про суму зовнішніх кутів опуклого n-кутника)

Сума зовнішніх кутів опуклого $n$-кутника дорівнює $360^\circ$.

Доведення

Зовнішній кут при вершині $A_1$ дорівнює $180^\circ-\angle A_1$.

Сума всіх зовнішніх кутів дорівнює:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2) = 360 ^ \ circ $.

Дані геометричні фігури оточують нас усюди. Випуклі багатокутники бувають природними, наприклад, бджолиними стільниками або штучними (створеними людиною). Ці фігури використовуються у виробництві різних видів покриттів, живопису, архітектурі, прикрасах і т.д. Випуклі багатокутники мають ту властивість, що всі їхні точки розташовуються по одну сторону від прямої, що проходить через пару сусідніх вершин цієї геометричної фігури. Існують та інші визначення. Випуклим називається той багатокутник, який розташований в єдиній півплощині щодо будь-якої прямої, що містить одну з сторін.

У курсі елементарної геометрії завжди розглядаються винятково прості багатокутники. Щоб зрозуміти всі властивості таких, необхідно розібратися з їх природою. Спочатку слід усвідомити, що замкненою називається будь-яка лінія, кінці якої збігаються. Причому фігура, освічена нею, може мати різні конфігурації. Багатокутником називають просту замкнуту ламану лінію, у якої сусідні ланки не розташовуються на одній прямій. Її ланки та вершини є, відповідно, сторонами та вершинами цієї геометричної фігури. Проста ламана не повинна мати самоперетину.

Вершини багатокутника називають сусідніми, якщо вони є кінці однієї з його сторін. Геометрична постать, яка має n-е число вершин, отже, і n-е кількість сторін, називається n-угольником. Саму ламану лінію називають межею чи контуром цієї геометричної фігури. Багатокутною площиною або плоским багатокутником називають кінцеву частину будь-якої площини, ним обмеженою. Сусідними сторонами цієї геометричної фігури називають відрізки ламаної лінії, що виходять із однієї вершини. Вони будуть не сусідніми, якщо виходять з різних вершин багатокутника.

Інші визначення опуклих багатокутників

В елементарній геометрії існує ще кілька еквівалентних за своїм значенням визначень, що вказують на те, який багатокутник називається опуклим. Причому всі ці формулювання однаково вірні. Випуклим вважається той багатокутник, у якого:

Кожен відрізок, що з'єднує будь-які дві точки всередині нього, повністю лежить у ньому;

Усередині нього лежать усі його діагоналі;

Будь-який внутрішній кут вбирається у 180°.

Багатокутник завжди розбиває площину на 2 частини. Одна з них - обмежена (вона може бути поміщена в коло), а інша - необмежена. Першу називають внутрішньою областю, а другу – зовнішньою областю цієї геометричної фігури. Цей багатокутник є перетином (іншими словами - загальною складовою) декількох напівплощин. При цьому кожен відрізок, що має кінці в точках, що належать багатокутнику, належить йому повністю.

Різновиди опуклих багатокутників

Визначення опуклого багатокутника не вказує на те, що існує безліч видів. Причому кожен з них має певні критерії. Так, опуклі багатокутники, які мають внутрішній кут рівний 180°, називаються слабоопуклыми. Випукла геометрична фігура, що має три вершини, називається трикутником, чотири - чотирикутником, п'ять - п'ятикутником тощо. Геометрична фігура даного типу, у якої всі вершини розташовуються на одному колі, називається вписаною в коло. Випуклий багатокутник називають описаним, якщо всі його сторони біля кола торкаються нього. Два багатокутники називають рівними лише у тому випадку, коли за допомогою накладання їх можна поєднати. Плоським багатокутником називають багатокутну площину (частина площини), що обмежена цією геометричною фігурою.

Правильні опуклі багатокутники

Правильними багатокутниками називають геометричні фігури з рівними кутами та сторонами. Усередині них є точка 0, яка знаходиться на однаковій відстані від кожної його вершин. Її називають центром цієї геометричної постаті. Відрізки, що з'єднують центр з вершинами цієї геометричної фігури, називають апофемами, а ті, що з'єднують точку 0 зі сторонами - радіусами.

Правильний чотирикутник – квадрат. Правильний трикутник називають рівностороннім. Для таких фігур існує таке правило: кожен кут опуклого багатокутника дорівнює 180 ° * (n-2) / n,

де n – число вершин цієї опуклої геометричної фігури.

Площу будь-якого правильного багатокутника визначають за формулою:

де p дорівнює половині суми всіх сторін даного багатокутника, а h дорівнює довжині апофеми.

Властивості опуклих багатокутників

Випуклі багатокутники мають певні властивості. Так, відрізок, який сполучає будь-які 2 точки такої геометричної фігури, обов'язково розташовується в ній. Доведення:

Припустимо, що Р - опуклий багатокутник. Беремо 2 довільні точки, наприклад, А, В, які належать Р. За існуючим визначенням опуклого багатокутника ці точки розташовані в одній стороні від прямої, що містить будь-яку сторону Р. Отже, АВ також має цю властивість і міститься в Р. Випуклий багатокутник завжди можна розбити на кілька трикутників всіма діагоналями, які проведені з однієї його вершини.

Кути опуклих геометричних фігур

Кути опуклого багатокутника – це кути, що утворені його сторонами. Внутрішні кути знаходяться у внутрішній ділянці даної геометричної фігури. Кут, що утворений його сторонами, які сходяться на одній вершині, називають кутом опуклого багатокутника. з внутрішніми кутами даної геометричної фігури називають зовнішніми. Кожен кут опуклого багатокутника, розташований усередині нього, дорівнює:

де х – величина зовнішнього кута. Ця проста формула діє щодо будь-яких геометричних фігур такого типу.

У випадку, для зовнішніх кутів існує такі правило: кожен кут опуклого багатокутника дорівнює різниці між 180° і величиною внутрішнього кута. Він може мати значення від -180° до 180°. Отже, коли внутрішній кут становить 120°, зовнішній матиме величину 60°.

Сума кутів опуклих багатокутників

Сума внутрішніх кутів опуклого багатокутника встановлюється за такою формулою:

де n – число вершин n-кутника.

Сума кутів опуклого багатокутника обчислюється просто. Розглянемо будь-яку таку геометричну фігуру. Для визначення суми кутів усередині опуклого багатокутника необхідно з'єднати одну з вершин з іншими вершинами. Внаслідок такої дії виходить (n-2) трикутника. Відомо, що сума кутів будь-яких трикутників завжди дорівнює 180 °. Оскільки їх кількість у будь-якому багатокутнику дорівнює (n-2), сума внутрішніх кутів такої фігури дорівнює 180 х (n-2).

Сума кутів опуклого багатокутника, а саме будь-яких двох внутрішніх і суміжних з ними зовнішніх кутів, дана опукла геометрична фігура завжди дорівнюватиме 180°. Виходячи з цього, можна визначити суму всіх її кутів:

Сума внутрішніх кутів становить 180 ° * (n-2). Виходячи з цього, суму всіх зовнішніх кутів цієї фігури встановлюють за такою формулою:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Сума зовнішніх кутів будь-якого опуклого багатокутника завжди дорівнюватиме 360° (незалежно від кількості його сторін).

Зовнішній кут опуклого багатокутника у випадку представляється різницею між 180° і величиною внутрішнього кута.

Інші властивості опуклого багатокутника

Крім основних властивостей даних геометричних фігур, вони й інші, що виникають при маніпуляціях із нею. Так, будь-який із багатокутників може бути розділений на кілька опуклих n-кутників. Для цього необхідно продовжити кожну з його сторін та розрізати цю геометричну фігуру вздовж цих прямих ліній. Розбити будь-який багатокутник на кілька опуклих частин можна і таким чином, щоб вершини кожного шматка збігалися з усіма його вершинами. З такої геометричної фігури можна просто зробити трикутники шляхом проведення всіх діагоналей з однієї вершини. Таким чином, будь-який багатокутник, зрештою, можна розбити на певну кількість трикутників, що виявляється дуже корисним при вирішенні різних завдань, пов'язаних з такими геометричними фігурами.

Периметр опуклого багатокутника

Відрізки ламаної лінії, які називаються сторонами багатокутника, найчастіше позначаються такими літерами: ab, bc, cd, de, ea. Це сторони геометричної фігури з вершинами a, b, c, d, e. Сума довжини всіх сторін цього опуклого багатокутника називають його периметром.

Коло багатокутника

Випуклі багатокутники можуть бути вписаними та описаними. Коло, що стосується всіх сторін цієї геометричної фігури, називається вписаною в неї. Такий багатокутник називають описаним. Центр кола, яка вписана в багатокутник, являє собою точку перетину бісектрис усіх кутів усередині цієї геометричної фігури. Площа такого багатокутника дорівнює:

де r – радіус вписаного кола, а p – напівпериметр даного багатокутника.

Коло, що містить вершини багатокутника, називають описаним біля нього. При цьому ця опукла геометрична фігура називається вписаною. Центр кола, яка описана біля такого багатокутника, є точкою перетину так званих серединних перпендикулярів усіх сторін.

Діагоналі опуклих геометричних фігур

Діагоналі опуклого багатокутника – це відрізки, які з'єднують не сусідні вершини. Кожна з них лежить усередині цієї геометричної фігури. Число діагоналей такого n-кутника встановлюється за такою формулою:

N = n (n – 3)/2.

Число діагоналей опуклого багатокутника відіграє важливу роль елементарної геометрії. Число трикутників (К), на які можна розбити кожен опуклий багатокутник, обчислюється за такою формулою:

Кількість діагоналей опуклого багатокутника завжди залежить від його вершин.

Розбиття опуклого багатокутника

У деяких випадках для вирішення геометричних завдань необхідно розбити опуклий багатокутник на кілька трикутників з діагоналі, що не перетинаються. Цю проблему можна вирішити виведенням певної формули.

Визначення задачі: назвемо правильним якесь розбиття опуклого n-кутника на кілька трикутників діагоналями, що перетинаються лише у вершинах цієї геометричної фігури.

Рішення: Припустимо, що Р1, Р2, Р3 …, Pn – вершини цього n-кутника. Число Xn – кількість його розбиття. Уважно розглянемо отриману діагональ геометричної фігури Pi Pn. У будь-якому з правильних розбиття Р1 Pn належить певному трикутнику P1 Pi Pn, у якого 1

Нехай і = 2 буде однією групою правильних розбиття, що завжди містить діагональ Р2 Pn. Кількість розбиття, що входять до неї, збігається з числом розбиття (n-1)-кутника Р2 Р3 Р4… Pn. Іншими словами, воно дорівнює Xn-1.

Якщо і = 3, то ця інша група розбиття завжди міститиме діагоналі Р3 Р1 і Р3 Pn. При цьому кількість правильних розбиття, що містяться в цій групі, співпадатиме з числом розбиття (n-2)-кутника Р3 Р4… Pn. Іншими словами, воно дорівнюватиме Xn-2.

Нехай і = 4, тоді серед трикутників правильне розбиття неодмінно міститиме трикутник Р1 Р4 Pn, до якого примикатиме чотирикутник Р1 Р2 Р3 Р4, (n-3)-кутник Р4 Р5 ... Pn. Кількість правильних розбиття такого чотирикутника дорівнює Х4, а число розбиття (n-3)-кутника дорівнює Xn-3. Виходячи з усього викладеного, можна сказати, що повна кількість правильних розбиття, що містяться в цій групі, дорівнює Xn-3 Х4. Інші групи, у яких і = 4, 5, 6, 7… матимуть Xn-4 Х5, Xn-5 Х6, Xn-6 Х7 … правильних розбиття.

Нехай і = n-2, то кількість правильних розбиття в цій групі збігатиметься з числом розбиття в групі, у якої i = 2 (іншими словами, дорівнює Xn-1).

Так як Х1 = Х2 = 0, Х3 = 1, Х4 = 2 ..., то число всіх розбиття опуклого багатокутника дорівнює:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 Х4 + Xn-4 Х5 + … + Х5 Xn-4 + Х4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

Х5 = Х4 + Х3 + Х4 = 5

Х6 = Х5 + Х4 + Х4 + Х5 = 14

Х7 = Х6 + Х5 + Х4 * Х4 + Х5 + Х6 = 42

Х8 = Х7 + Х6 + Х5 * Х4 + Х4 * Х5 + Х6 + Х7 = 132

Кількість правильних розбиття, що перетинають всередині одну діагональ

При перевірці окремих випадків, можна прийти до припущення, що число діагоналей опуклих n-кутників дорівнює добутку всіх розбиття цієї фігури на (n-3).

Підтвердження цього припущення: припустимо, що P1n = Xn * (n-3), тоді кожен n-кутник можна розбити на (n-2)-трикутників. У цьому їх може бути складний (n-3)-четырехугольник. Поряд з цим, кожен чотирикутник матиме діагональ. Оскільки в цій опуклій геометричній фігурі можуть бути проведені дві діагоналі, це означає, що і в будь-яких (n-3)-чотирьохкутниках можна провести додаткові діагоналі (n-3). Виходячи з цього, можна дійти невтішного висновку, що у будь-якому правильному розбиття є можливість провести (n-3)-діагоналі, відповідальні умовам цього завдання.

Площа опуклих багатокутників

Нерідко при вирішенні різних завдань елементарної геометрії виникає необхідність визначити площу опуклого багатокутника. Припустимо, що (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n являє собою послідовність координат всіх сусідніх вершин багатокутника, що не має самоперетинів. У цьому випадку його площа обчислюється за такою формулою:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

де (Х 1 Y 1) = (X n +1 Y n + 1).

Визначення опуклості багатокутника.

Алгоритм Кіруса-Бека передбачає наявність опуклого багатокутника, що використовується як вікно.

Однак на практиці часто виникає завдання відсікання багатокутником, а інформація про те, є він опуклим чи ні спочатку не задається. У такому разі, перш ніж почати процедуру відсікання необхідно визначити, який заданий багатокутник – опуклий чи ні.

Дамо деякі визначення опуклості багатокутника

Випуклим вважається багатокутник, для якого виконується одна з нижчеперелічених умов:

1) у опуклому багатокутнику всі вершини розташовуються по одну сторону від лінії, що несе будь-яке ребро (з внутрішньої сторони щодо даного ребра);

2) всі внутрішні кути багатокутника менше 180 про;

3)всі діагоналі, що зв'язують вершини багатокутника, лежать усередині цього багатокутника;

4) всі кути багатокутника обходяться в одному напрямку (Рис. 3.3-1).

Для вироблення аналітичного подання останнього критерію опуклості використовуємо векторний твір.

Векторний витвір W двох векторів a і b (Рис. 3.3-2 а) визначається як:

A x ,a y ,a z та b x ,b y ,b z є проекціями на осі координат X ,Y ,Z , відповідно, векторів – співмножників aі b,

- i, j, k- Поодинокі вектори по координатних осях X, Y, Z.

Рис.3.3 ‑ 1

Рис.3.3 ‑ 2

Якщо розглядати двовимірне уявлення багатокутника як подання його в координатній площині XY тривимірної системи координат X, Y, Z (Рис. 3.3-2 b), то вираз для формування векторного твору векторів Uі Vде вектори Uі Vє сусідніми ребрами, що утворюють кут багатокутника, можна записати у вигляді визначника:

Вектор векторного твору перпендикулярний площині, в якій знаходяться вектори-множники. Напрямок вектора твору визначається за правилом буравчика або за правилом гвинта з правою нарізкою.

Для випадку, наведеного на Мал. 3.3-2 b), вектор W, що відповідає векторному твору векторів V, U, матиме ту саму спрямованість, що і спрямованість координатної осі Z .

Враховуючи те, що проекції на вісь Z векторів-множників у цьому випадку дорівнюють нулю, векторний твір можна представити у вигляді:

(3.3-1)

Одиничний вектор kзавжди позитивний, отже, знак вектора wвекторного твору визначатиметься лише знаком визначника D у наведеному вище виразі. Зазначимо, що на підставі властивості векторного твору при перестановці місцями векторів-множників Uі Vвектор знак wзмінюватиметься на протилежний.

Звідси випливає, що, як вектори Vі Uрозглядати два сусідні ребра багатокутника, то порядок перерахування векторів у векторному творі можна поставити у відповідність з обходом кута багатокутника, що розглядається, або ребер, що утворюють цей кут. Це дозволяє використовувати як критерій визначення опуклості багатокутника правило:

якщо для всіх пар ребер багатокутника виконується умова:

Якщо знаки векторних творів окремих кутів не збігаються, то багатокутник не опуклий.

Оскільки ребра багатокутник задаються як координат їх кінцевих точок, то визначення знака векторного твору зручніше використовувати визначник.

Визначення 1.Ламаною лінією називається кінцева послідовність відрізків, така, що один з кінців першого відрізка служить кінцем другого, інший кінець другого відрізка служить кінцем третього і т.п.

Відрізки, що становлять ламану лінію, називаються ланками. Сусідні відрізки не лежать на одній прямій. Якщо кінці ламаної збігаються, вона називається замкненою. Ламана може перетинати сама себе, торкатися сама себе та налягати сама на себе. Якщо таких особливостей у ламаної немає, вона називається простий.

Визначення 2.Проста замкнута ламана разом із частиною площини, обмеженою нею, називається багатокутником.

Сама ламана при цьому називається межею багатокутника, ланки ламаної – сторонамибагатокутника, кінці ланок – вершинами багатокутника. Дві сусідні сторони багатокутника утворюють кут. Число кутів у багатокутнику дорівнює числу сторін. Кожен багатокутник має кути менше 180°. Сторони та кути багатокутника називають елементамибагатокутник.

Відрізок, що з'єднує дві несусідні вершини багатокутника, називається діагоналлю. У будь-якому n-кутнику можна провести n-2 діагоналі.

Визначення 3.Багатокутник називається опуклимякщо він лежить по одну сторону від кожної прямої, що містить його бік. Багатокутники, які відповідають цій умові, називаються невипуклими.

Властивості опуклих багатокутників.

Властивість 1.У опуклого багатокутника всі кути менше 180 °.

Доказ: Візьмемо будь-який кут А опуклого багатокутника Р та його сторону а, що йде з вершини А. Нехай l – пряма, що містить сторону а. Так як багатокутник Р опуклий, він лежить по одну сторону від прямої l. Тому кут А лежить по одну сторону від прямої l. Отже, кут А менший за розгорнутий, тобто ÐA< 180°.

Властивість 2.Відрізок, який з'єднує будь-які дві точки опуклого багатокутника, міститься в цьому багатокутнику.

Доказ: Візьмемо будь-які дві точки М та N опуклого багатокутника Р. Багатокутник Р є перетином кількох напівплощин. Відрізок MN лежить у кожній із цих напівплощин. Тому він міститься і в багатокутнику Р.

Властивість 3.Сума кутів опуклого багатокутника дорівнює (n – 2) 180°.

Доказ: Візьмемо всередині опуклого багатокутника Р довільну точку Про з'єднаємо її з усіма вершинами багатокутника. Утворюється n трикутників, сума кутів кожного з яких дорівнює 180 °. Кути при вершині О в сумі дають 360 ° = 2 180 °. Тому сума кутів багатокутника дорівнює n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180°.

Концепція паралелограма. Властивості паралелограма.

Визначення 1.Чотирьохкутник, протилежні сторони якого попарно паралельні, називається паралелограмом.

У кожного паралелограма чотири вершини, чотири сторони, чотири кути. Дві сторони, що мають спільні кінці, називаються суміжними. У кожного паралелограма дві діагоналі – відрізки, що з'єднують протилежні вершини паралелограма. Сума кутів паралелограма дорівнює 360 °.

Властивості паралелограма.

Властивість 1.У паралелограма протилежні сторони рівні та протилежні кути попарно рівні.