Що є графіком рівняння із двома змінними. Лінійне рівняння з двома змінними

Тема:Лінійна функція

Урок:Лінійне рівняння з двома змінними та його графік

Ми познайомилися з поняттями координатної осі та координатної площини. Ми знаємо, що кожна точка площини однозначно задає пару чисел (х; у), причому перше число є абсцисом точки, а друге - ордината.

Ми дуже часто зустрічатимемося з лінійним рівнянням з двома змінними, рішенням якого і є пара чисел, яку можна уявити на координатній площині.

Рівняння виду:

Де a, b, з - числа, причому

Називається лінійним рівнянням з двома змінними х та у. Рішенням такого рівняння буде будь-яка така пара чисел х і у, підставивши яку в рівняння ми отримаємо правильну числову рівність.

Пара чисел зображуватиметься на координатній площині у вигляді точки.

У таких рівнянь ми побачимо багато рішень, тобто багато пар чисел і всі відповідні точки лежатимуть на одній прямій.

Розглянемо приклад:

Щоб знайти рішення даного рівняння, потрібно підібрати відповідні пари чисел х і у:

Нехай тоді вихідне рівняння перетворюється на рівняння з однією невідомою:

,

Тобто перша пара чисел, що є рішенням заданого рівняння (0; 3). Отримали точку А(0; 3)

Нехай. Отримаємо вихідне рівняння з однією змінною: , звідси отримали точку В(3; 0)

Занесемо пари чисел до таблиці:

Побудуємо на графіку точки та проведемо пряму:

Зазначимо, що будь-яка точка на даній прямій буде вирішенням заданого рівняння. Перевіримо – візьмемо точку з координатою та за графіком знайдемо її другу координату. Очевидно, що в цій точці . Підставимо цю пару чисел до рівняння. Отримаємо 0=0 - правильна числова рівність, отже точка, що лежить на прямій, є рішенням.

Поки довести, що будь-яка точка, що лежить на побудованій прямій, є рішенням рівняння, ми не можемо, тому приймаємо це за правду і доведемо пізніше.

Приклад 2 - побудувати графік рівняння:

Складемо таблицю, нам достатньо для побудови прямої двох точок, але візьмемо третю для контролю:

У першій колонці ми взяли зручний, знайдемо у:

, ,

У другому стовпчику ми взяли зручний, знайдемо х:

, , ,

Візьмемо для перевірки та знайдемо у:

, ,

Побудуємо графік:

Помножимо задане рівняння на два:

Від такого перетворення безліч рішень не зміниться і графік залишиться таким самим.

Висновок: ми навчилися вирішувати рівняння з двома змінними та будувати їх графіки, дізналися, що графіком подібного рівняння є пряма і будь-яка точка цієї прямої є рішенням рівняння

1. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 7. 6 видання. М: Просвітництво. 2010 р.

2. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 7. М: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягін Ю.М., Ткачова М.В., Федорова Н.Є. та ін Алгебра 7. М.: Просвітництво. 2006 р.

2. Портал для перегляду ().

Завдання 1: Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 7 № 960, ст.210;

Завдання 2: Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 7 № 961, ст.210;

Завдання 3: Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 7 № 962, ст.210;

Тема:Лінійна функція

Урок:Лінійне рівняння з двома змінними та його графік

Ми познайомилися з поняттями координатної осі та координатної площини. Ми знаємо, що кожна точка площини однозначно задає пару чисел (х; у), причому перше число є абсцисом точки, а друге - ордината.

Ми дуже часто зустрічатимемося з лінійним рівнянням з двома змінними, рішенням якого і є пара чисел, яку можна уявити на координатній площині.

Рівняння виду:

Де a, b, з - числа, причому

Називається лінійним рівнянням з двома змінними х та у. Рішенням такого рівняння буде будь-яка така пара чисел х і у, підставивши яку в рівняння ми отримаємо правильну числову рівність.

Пара чисел зображуватиметься на координатній площині у вигляді точки.

У таких рівнянь ми побачимо багато рішень, тобто багато пар чисел і всі відповідні точки лежатимуть на одній прямій.

Розглянемо приклад:

Щоб знайти рішення даного рівняння, потрібно підібрати відповідні пари чисел х і у:

Нехай тоді вихідне рівняння перетворюється на рівняння з однією невідомою:

,

Тобто перша пара чисел, що є рішенням заданого рівняння (0; 3). Отримали точку А(0; 3)

Нехай. Отримаємо вихідне рівняння з однією змінною: , звідси отримали точку В(3; 0)

Занесемо пари чисел до таблиці:

Побудуємо на графіку точки та проведемо пряму:

Зазначимо, що будь-яка точка на даній прямій буде вирішенням заданого рівняння. Перевіримо – візьмемо точку з координатою та за графіком знайдемо її другу координату. Очевидно, що в цій точці . Підставимо цю пару чисел до рівняння. Отримаємо 0=0 - правильна числова рівність, отже точка, що лежить на прямій, є рішенням.

Поки довести, що будь-яка точка, що лежить на побудованій прямій, є рішенням рівняння, ми не можемо, тому приймаємо це за правду і доведемо пізніше.

Приклад 2 - побудувати графік рівняння:

Складемо таблицю, нам достатньо для побудови прямої двох точок, але візьмемо третю для контролю:

У першій колонці ми взяли зручний, знайдемо у:

, ,

У другому стовпчику ми взяли зручний, знайдемо х:

, , ,

Візьмемо для перевірки та знайдемо у:

, ,

Побудуємо графік:

Помножимо задане рівняння на два:

Від такого перетворення безліч рішень не зміниться і графік залишиться таким самим.

Висновок: ми навчилися вирішувати рівняння з двома змінними та будувати їх графіки, дізналися, що графіком подібного рівняння є пряма і будь-яка точка цієї прямої є рішенням рівняння

1. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 7. 6 видання. М: Просвітництво. 2010 р.

2. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 7. М: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягін Ю.М., Ткачова М.В., Федорова Н.Є. та ін Алгебра 7. М.: Просвітництво. 2006 р.

2. Портал для перегляду ().

Завдання 1: Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 7 № 960, ст.210;

Завдання 2: Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 7 № 961, ст.210;

Завдання 3: Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 7 № 962, ст.210;

Цілі.

Освітня:

1. Знати визначення графіка рівняння із двома змінними;

2. Знати, що є графіком лінійного рівняння із двома змінними;

3. Вміти будувати графік лінійного рівняння із двома змінними.

Розвиваюча: вчити аналізувати, порівнювати, узагальнювати визначати і пояснювати поняття, тобто. вміння мислити.

Виховна: розвивати моральні стосунки у школярів із навколишнім світом (якість чесності, працьовитість).

Обладнання:

робоча картка;

кросворд;

карта-таблиця;

картки для додаткового рівневого завдання;

таблиця “Рівняння з двома змінними та їх графіки”;

таблиця "Розташування графіків лінійного рівняння з двома змінними щодо осей координат".

Хід уроку

1. Запис домашньої роботи: (вчитель промовляє)

п.41, повторити п.п.15-16.

№1046, №1049 для бажаючих № 1152 - графік з параметром.

2. Перевірка домашнього завдання. (До уроку на перерві)

Виразити одну змінну через іншу (а, б)

№1034(б), №1140(а)

На дошці “Перевір себе” (До уроку зміні учні перевіряють домашнє завдання, звіряючи з рішенням на дошці.) – рішення рівнянь, критерії оцінок.

(Виразити одну змінну через іншу (а, б))

а) 6х - у = 12;

б) 10х + 7у = 0;

у = (7 - 6х)/2;

у = 3,5 - 3х;

Крапки: (0; 3,5), (1; 0,5), (2; -2,5).

ах - 2у = 1, х = 5, у = 7, а =?

Критерій:

Все вирішено правильно та самостійно - "5";

Все вирішено правильно, але за допомогою – “4”;

Вирішено за допомогою та з помилкою - "3".

№ 1140 - оцінюється за тими ж критеріями, тільки "5" та "4".

Після запису домашньої роботи пропоную виставити оцінки згідно з критеріями кожному за свою домашню роботу (самооцінка) у робочу картку (попередньо підписавши картку). Робоча карта відбито малюнку 4.

3. Спільна постановка мети уроку.

Читаємо тему уроку на дошці.

Хлопці, як ви вважаєте, що повинні знати і чого навчитися на цьому уроці?

А щоб цього досягти, потрібно аналізувати, порівнювати, пояснювати поняття. Працюючи в класі, необхідно з повагою ставитися до оточуючих і бути чесним.

Для успішної роботи повторимо теоретичний матеріал, розгадуючи кросворд. Кросворди знаходяться у кожній групі (на роботу 3 хвилини).

Малюнок 1. Кросворд.

Запитання до кросворду:

1. Що є графіком лінійної функції?

2. Один із способів завдання функції.

3. Пара чисел, що зображується в координатній площині.

4. Незалежна змінна.

5. Безліч всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати - відповідним значенням функції.

6. Залежність між змінними, при якій кожному значенню незалежної змінної відповідає єдине значення залежної змінної.

7. Якими називаються рівняння з двома змінними, які мають одні й ті самі рішення, або не мають рішень?

Чия група вгадає швидше, отримує жетон. Усього дається три жетони, тобто. першим трьом групам.

Для тих, хто закінчив роботу, на дошці завдання (усно):

1. Назвати коефіцієнти у рівняннях;

2. Виразити учерез хз рівнянь:

у = 3,5 - 2,5 х.

2х - у = 11;

3. Як назвати ці рівності:

|х| +|у| = 10.

Увага на дошку, перевіримо кросворд. (Відповіді на кросворд та критерій оцінки роботи на дошці:)

2. Формула.

4. Аргумент.

5. Графік.

6. Функція.

7. Рівносильними.

Критерій: Швидко та правильно - два “+”, відзначити на жетоні номер групи;

Правильно – один “+”.

Підніміть руку, хто отримав два "+", один "+". Хто не вгадав, повторити визначення.

Переходимо до перевірки (рішення) усної вправи:

1. Промовляємо коефіцієнти;

2. Висловлюємо учерез хіз рівнянь;

3. Називаємо ці рівності – рівняннями із двома змінними.

Що є рішенням рівняння із двома змінними? (Пара значень змінних - хі у)

Скільки рішень має рівняння із двома змінними? (багато)

Як відображається пара значень змінних на координатній площині? (точкою)

Скільки таких точок можна зобразити? (багато)

Що координати кожної з цих точок? (Абсцис - значення х, ордината - значення у)

Що утворюють усі ці точки на координатній площині? (Графік)

То що називається графіком рівняння із двома змінними? (Багато всіх точок координатної площини, координати яких є рішеннями цього рівняння)

Відкрийте підручник, п.41 і знайдіть це визначення. Прочитаємо його. Повторимо. А тепер подивіться на дошку. (На дошці таблиця рівнянь із двома змінними та їх графіки – малюнок 2).

Рисунок 2. Рівняння з двома змінними та їх графіки.

Що бачите на таблиці? (Рівняння з двома змінними та їх графіки).

Чи є серед них лінійні рівняння із двома змінними? (Ні)

Графіки цих рівнянь ви будете вивчати у старших класах. А ми з вами повинні дізнатися, що є графіком лінійного рівняння із двома змінними.

4. Вивчення нового матеріалу.

Відкрили зошити, записали тему уроку. Дайте визначення лінійної функції та запишемо:

де хі у- Змінні, k, b- Деякі числа.

Дайте визначення лінійного рівняння з двома змінними та запишемо:

ах + bу = с,

де хі у- Змінні, а, b, с- Деякі числа.

Порівняйте, що спільного у цих видах математичного запису (входять дві змінні хі у, Числа).

Як інакше називаються числа? (Коефіцієнти).

Чим відрізняються? (кількістю чисел 2 і 3; у першому – виражена залежність – функція, у другому – не виражена – рівняння).

А чи можна в лінійному рівнянні із двома змінними виразити залежність однієї змінної від іншої? (Так).

Давайте висловимо залежність змінної увід змінної ху лінійному рівнянні з двома змінними:

де хі у- Змінні, а, b, с- Деякі числа.

Виражаємо у загальному вигляді: bу = с - ах.

Що зараз ми маємо обов'язково обговорити? (що коефіцієнт при змінній уне дорівнює нулю):

у = (с - ах) / b, за умови b 0.

у = (с/b) - (а/b)х.

Запишемо у стандартному вигляді:

у = - (а / b) х + (с / b).

Таким чином, ми набули вигляду лінійної функції у = kx + bтільки по-іншому записані числа.

Що є графіком лінійної функції? (Пряма).

Що потрібно, щоб побудувати пряму? (Побудувати дві точки).

А чому дві точки? (Згідно з аксіомою).

Так що ж є графіком лінійного рівняння з двома змінними, якщо коефіцієнт при уне дорівнює нулю (тобто. b 0)? (Пряма).

Що координати кожної з точок? (Пара значень змінних хі у, які є розв'язком даного рівняння).

Запишемо рівняння 2х - у = 3. Коефіцієнт при змінній уне дорівнює нулю. Запишіть одне рішення (запитую трьох і записую три рішення).

Як перевірити, що кожна пара значень змінних хі у, Чи є рішенням цього рівняння? (Підставити в рівняння замість змінних хі уїх значення. Якщо рівність правильна, значить, пара чисел є рішенням).

Як знайшли це рішення? ( Х- довільне значення, у- Знаходимо).

Яку фігуру зображатиме пара чисел, що є рішенням лінійного рівняння на координатній площині? (Точку).

Скільки пар рішень потрібно, щоб збудувати графік? (Дві пари).

Ми розглянули з вами загальний випадок побудови графіка лінійного рівняння із двома змінними. Крім загального випадку існують окремі випадки побудови графіків, коли хоча б один з коефіцієнтів дорівнює нулю.

Постановка проблемного питання.

А що ж є графіком лінійного рівняння з двома змінними, якщо хоча б один із коефіцієнтів дорівнює нулю?

Для відповіді це питання пропонується робота з групам. Візьміть карти-таблиці “Що є графіком рівняння ax + by = с, якщо хоча б один із коефіцієнтів дорівнює нулю?”. Підпишіть їх. Карта-таблиця представлена ​​малюнку 3.

Дивимося таблицю. У першому стовпці записані рівняння. Другий стовпець ви маєте заповнити, записуючи коефіцієнти лінійних рівнянь. Потім записуєте кілька рішень для кожного з рівнянь. Потім відповідно до координатної площини будуєте графіки. І в останньому стовпчику записуєте, що є графіком. Таблиця заповнюється рядками. (При цій роботі викликаю по одному учневі для заповнення картки-таблиці на дошці після деякого часу, коли більшість заповнять).

Якщо група закінчує роботу раніше за інших, то на дошці завдання, яке виконується усно.

Після закінчення роботи заслуховую двох людей. Узагальнюємо, що ж є графіком лінійного рівняння, якщо хоча б один із коефіцієнтів дорівнює нулю? (Пряма).

Малюнок 3 . Карта-таблиця “Що є графіком рівняння ax + by = с, якщо хоча б один із коефіцієнтів дорівнює нулю?”.

Увага! (На дошці таблиця з графіками лінійних рівнянь).

Якого випадку ми не маємо? ( а 0, b 0, с = 0). Що таке графік? (Пряма пропорційність).

А тепер знайдіть у тексті підручника п.41 визначення графіка лінійного рівняння з двома змінними та зачитайте його.

Повторимо, що є графіком лінійного рівняння з двома змінними, в якому хоча б один із коефіцієнтів не дорівнює нулю? (Пряма).

А чи можна у вигляді лінійного рівняння з двома змінними визначити, що графіком даного рівняння? (Можна, можливо).

На дошці записані лінійні рівняння із двома змінними:

1) 4х – 3у = 5;

3) 0х + 0у = 0;

Назвати рівняння, графіком яких є пряма, площина немає графіка. (Пряма - 1, 2, 5; площина - 3; немає графіка - 4, 6).

І ще раз, що є графіком лінійного рівняння з двома змінними, якщо хоча б один з коефіцієнтів відмінний від нуля.

А зараз за роботу з картою-таблицею консультант простовитиме кожному оцінки в робочу карту. Критерій оцінки - як домашнього завдання. Підніміть руку, хто впорався на “5”, хто на “4”.

5. Закріплення матеріалу.

Самостійна робота на дошці (перевірка у консультанта, консультант перевіряє у групи).

Побудуйте графік рівняння:

а) 2х - у = 6;

б) х + 6у = 0;

в) 1,2 х = - 4,8;

г) 1,5у = 6.

Критерій оцінки (на дошці):

правильно вирішені усі - "5";

правильно вирішено 4-5 - "4";

правильно вирішено 3 - "3".

Підніміть руку, хто впорався на 5, хто на 4, хто на 3.

Тому, хто закінчить раніше, даються рівні картки.

6. Рефлексія.

На робочій карті (рисунок 4) є незакінчені речення. Будь ласка, закінчіть їх.

На уроці мені було легко...

На уроці я відчував труднощі при...

Малюнок 4 . Робоча картка.

Робочі карти надати консультанту для підсумкової оцінки. Консультанти здадуть мені.

Урок завершено! До побачення!

§ 1 Відбір коренів рівняння за реальних ситуацій

Розглянемо таку реальну ситуацію:

Майстер та учень разом виготовили на замовлення 400 деталей. До того ж майстер працював 3 дні, а учень 2 дні. Скільки деталей виготовив кожен?

Складемо алгебраїчну модель цієї ситуації. Нехай майстер виготовляє за 1 день деталей. А учень у деталей. Тоді майстер за 3 дні виготовить 3 деталей, а учень виготовить за 2 дні 2 деталей. Разом вони виготовлять 3х + 2удеталей. Так як за умовою виготовлено 400 деталей, то отримаємо рівняння:

Отримане рівняння називають лінійним рівнянням із двома змінними. Тут нам треба знайти пару чисел х і у, при яких рівняння набуде вигляду вірної числової рівності. Зауважимо, що х = 90, у = 65, то отримаємо рівність:

3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400

Оскільки отримано правильну числову рівність, то пара чисел 90 і 65 буде рішенням цього рівняння. Але знайдене рішення не єдине. Якщо х = 96 та у = 56, то отримуємо рівність:

96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400

Це також вірна числова рівність, отже, пара чисел 96 і 56 як і є рішенням цього рівняння. А ось пара чисел х = 73і у = 23 не буде рішенням цього рівняння. Справді, 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 дасть нам неправильну числову рівність 265 = 400. Необхідно відзначити, що якщо розглядати рівняння стосовно даної реальної ситуації, то існуватимуть пари чисел, які, будучи розв'язанням даного рівняння, не будуть бути розв'язком задачі. Наприклад, пара чисел:

х = 200 та y = -100

є рішенням рівняння, але учень неспроможна зробити -100 деталей, тому така пара чисел відповіддю питанням завдання бути може. Таким чином, у кожній конкретній реальній ситуації необхідно розумно підходити до відбору коренів рівняння.

Підіб'ємо перші підсумки:

Рівняння виду ах + bу + с = 0 де а, b, с - будь-які числа, називають лінійним рівнянням з двома змінними.

Рішенням лінійного рівняння з двома змінними називають пару чисел відповідних х і у, за яких рівняння звертається у правильну числову рівність.

§ 2 Графік лінійного рівняння

Сам запис пари (х;у) наштовхує нас на думку про можливість зображення її у вигляді точки з координатами хі у на площині. Отже, ми можемо отримати геометричну модель конкретної ситуації. Наприклад, розглянемо рівняння:

2х + у - 4 = 0

Підберемо кілька пар чисел, які будуть рішеннями цього рівняння та побудуємо точки зі знайденими координатами. Нехай це будуть точки:

А(0; 4), В(2; 0), С(1; 2), D(-2; 8), Е(- 1; 6).

Зауважимо, що всі крапки лежать на одній прямій. Таку пряму називають графіком лінійного рівняння із двома змінними. Вона є графічною (або геометричною) моделлю цього рівняння.

Якщо пара чисел (х;у) є розв'язком рівняння

ах + ву + с = 0, точка М (х; у) належить графіку рівняння. Можна сказати і навпаки: якщо точка М (х; у) належать графіку рівняння ах + ву + с = 0, то пара чисел (х; у) є рішенням цього рівняння.

З курсу геометрії ми знаємо:

Для побудови прямої необхідно 2 точки, тому для побудови графіка лінійного рівняння з двома змінними достатньо знати лише 2 пари рішень. Але вгадування коріння процедура далеко не завжди зручна, не раціональна. Можна діяти і за іншим правилом. Оскільки абсцис точки (змінна х) це незалежна змінна, то можна надати їй будь-яке зручне значення. Підставивши це число рівняння, ми знайдемо значення змінної у.

Наприклад, нехай дано рівняння:

Нехай х = 0, тоді отримаємо 0 - у + 1 = 0 або у = 1. Отже, якщо х = 0, то у = 1. Пара чисел (0; 1) - розв'язання цього рівняння. Задамо для змінної х ще одне значення х = 2. Тоді отримаємо 2 - у + 1 = 0 або у = 3. Пара чисел (2; 3) також є розв'язком цього рівняння. За двома знайденими точками можна побудувати графік рівняння х - у + 1 =0.

Можна зробити і так: спочатку надати деяке конкретне значення змінної у, а потім обчислити значення х.

§ 3 Система рівнянь

Знайдіть два натуральні числа, сума яких 11, а різниця 1.

Для вирішення цього завдання спочатку складемо математичну модель (а саме алгебраїчну). Нехай перше число х, а друге – у. Тоді сума чисел х + у = 11 і різницю чисел х - у = 1. Так як в обох рівняннях йдеться про одних і тих же числах, то ці умови повинні виконатися одночасно. Зазвичай у разі використовують спеціальну запис. Рівняння записують одне під одним і поєднують фігурною дужкою.

Такий запис називають системою рівнянь.

Тепер побудуємо безліч рішень кожного рівняння, тобто. графіки кожного із рівнянь. Візьмемо перше рівняння:

Якщо х = 4, то у = 7. Якщо х = 9, то у = 2.

Через точки (4; 7) і (9; 2) проведемо пряму.

Візьмемо друге рівняння х - у = 1. Якщо х = 5, то у = 4. Якщо х = 7, то у = 6. Через точки (5; 4) і (7; 6) так само проведемо пряму. Здобули геометричну модель завдання. Цікава для нас пара чисел (х;у) повинна бути рішенням обох рівнянь. На малюнку бачимо єдину точку, що лежить обох прямих, це - точка перетину прямих.

Її координати (6; 5). Тому розв'язанням задачі буде: перше шукане число 6, друге 5.

Список використаної литературы:

1. Мордкович А.Г, Алгебра 7 клас у 2 частинах, Частина 1, Підручник для загальноосвітніх закладів/А.Г. Мордкович. – 10 – е вид., перероблене – Москва, «Мнемозина», 2007
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 клас у 2 частинах, Частина 2, Задачник для загальноосвітніх установ/[А.Г. Мордкович та ін.]; за редакцією А.Г. Мордковича – 10-те видання, перероблене – Москва, «Мнемозина», 2007
3. Є.Є. Тульчинська, Алгебра 7 клас. Бліц опитування: посібник для учнів загальноосвітніх установ, 4-е видання, виправлене та доповнене, Москва, «Мнемозина», 2008
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 клас. Тематичні перевірочні роботи у новій формі для учнів загальноосвітніх установ, за редакцією О.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 клас. Самостійні роботи для учнів загальноосвітніх установ, за редакцією О.Г. Мордковича – 6-те видання, стереотипне, Москва, «Мнемозина», 2010

Нам часто зустрічалися рівняння виду ах + b = 0, де а, b – числа, х – змінна. Наприклад, bх - 8 = 0, х + 4 = О, - 7х - 11 = 0 і т. д. Числа а, Ь (коефіцієнти рівняння) можуть бути будь-якими, виключає лише випадок, коли а = 0.

Рівняння ах + b = 0, де а називають лінійним рівнянням з однією змінною х (або лінійним рівнянням з одним невідомим х). Вирішити його, тобто виразити х через а і b, ми з вами вміємо:

Раніше ми зазначали, що досить часто математичною моделлюреальної ситуації служить лінійне рівняння з однією змінною чи рівняння, яке після перетворень зводиться до лінійного. А тепер розглянемо таку реальну ситуацію.

З міст A і В, відстань між якими 500 км, назустріч один одному вийшли два потяги, кожен зі своєю постійною швидкістю. Відомо, що перший поїзд вийшов на 2 год раніше за другий. Через 3 години після виходу другого поїзда вони зустрілися. Чому рівні швидкості поїздів?

Складемо математичну модель завдання. Нехай х км/год – швидкість першого поїзда, у км/год – швидкість другого поїзда. Перший був у дорозі 5 год і, отже, пройшов шлях bх км. Другий поїзд був у дорозі 3 год, тобто. пройшов шлях Зу км.

Їхня зустріч відбулася в пункті С. На малюнку 31 представлена ​​геометрична модель ситуації. Алгебраїчною мовою її можна описати так:

5х + Зу = 500

або
5х + Зу – 500 = 0.

Цю математичну модель називають лінійним рівнянням із двома змінними х, у.
Взагалі,

ах + by + с = 0,

де а, b, с - числа, причому - лінійне рівнянняз двома змінними х та у (або з двома невідомими х та у).

Повернемося до рівняння 5х + Зу = 500. Помічаємо, що якщо х = 40, у = 100, то 540 + 3100 = 500 - правильна рівність. Отже, відповідь на запитання задачі може бути такою: швидкість першого поїзда 40 км/год, швидкість другого поїзда 100 км/год. Пару чисел х = 40, у = 100 називають розв'язком рівняння 5х + Зу = 500. Кажуть також, що ця пара значень (х; у) задовольняє рівняння 5х + Зу = 500.

На жаль, це рішення не єдине (адже ми всі любимо визначеність, однозначність). Справді, можливий такий варіант: х = 64, у = 60; дійсно, 564 + 360 = 500 - правильна рівність. І такий: х = 70, у = 50 (оскільки 570 + 350 = 500 - правильна рівність).

А ось, скажімо, пара чисел х = 80, у = 60 рішенням рівняння не є, оскільки при цих значеннях правильної рівності не виходить:

Взагалі, рішенням рівняння ах + by + с = 0 називають будь-яку пару чисел (х; у), яка задовольняє цьому рівнянню, тобто звертає рівність зі змінними ах + by + с = 0 у правильну числову рівність. Таких рішень дуже багато.

Зауваження. Повернемося ще раз до рівняння 5х + Зу = 500, отриманого у розглянутому вище завданні. Серед нескінченної множини його рішень є, наприклад, і такі: х = 100, у = 0 (справді, 5100 + 30 = 500 - вірна числова рівність); х = 118, у = - 30 (оскільки 5118 + 3 (-30) = 500 - правильна числова рівність). Однак, будучи рішеннями рівнянняці пари не можуть служити рішеннями даного завдання, адже швидкість поїзда не може бути рівною нулю (тоді він не їде, а стоїть на місці); тим більше швидкість поїзда не може бути негативною (тоді він їде не назустріч іншому поїзду, як сказано за умови завдання, а в протилежний бік).

приклад 1.Зобразити розв'язки лінійного рівняння із двома змінними х + у - 3 = 0 точками в координатній площині хОу.

Рішення. Підберемо кілька розв'язків заданого рівняння, тобто кілька пар чисел, які задовольняють рівнянню: (3; 0), (2; 1), (1; 2) (0; 3), (- 2; 5).

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ