Що означає скоротити дріб. Онлайн калькулятор скорочення алгебраїчних дробів з докладним рішенням дозволяє скоротити дріб і перевести неправильний дріб у правильний дріб

Щоб зрозуміти, як скорочувати дроби, спочатку розглянемо приклад.

Скоротити дріб - значить, розділити чисельник і знаменник на те саме. І 360, і 420 закінчуються на цифру, тому можемо скоротити цей дріб на 2. У новому дробі і 180, і 210 теж діляться на 2, скорочуємо і цей дріб на 2. У числах 90 і 105 сума цифр ділиться на 3, тому обидва ці числа діляться на 3, скорочуємо дріб на 3. У новому дробі 30 і 35 закінчуються на 0 і 5, значить, обидва числа діляться на 5, тому скорочуємо дріб на 5. Дріб, що вийшов, шість сьомих — нескоротний. Це остаточна відповідь.

До цієї ж відповіді можемо дійти іншим шляхом.

І 360, і 420 закінчуються нулем, отже, вони діляться на 10. Скорочуємо дріб на 10. У новому дробі і чисельник 36, і знаменник 42 діляться на 2. Скорочуємо дріб на 2. У наступному дробі і чисельник 18 і знаменник на 3, отже, скорочуємо дріб на 3. Прийшли до результату – шість сьомих.

І ще один варіант вирішення.

Наступного разу розглянемо приклади скорочення дробів.

На погляд алгебраїчні дроби здаються дуже складними, і непідготовлений учень може подумати, що з ними неможливо нічого зробити. Нагромадження змінних, чисел і навіть ступенів навіює страх. Тим не менш, для скорочення звичайних (наприклад, 15/25) та алгебраїчних дробів використовуються одні й ті самі правила.

Кроки

Скорочення дробів

Ознайомтеся з простими дробами. Операції із звичайними та алгебраїчними дробами аналогічні. Наприклад, візьмемо дріб 15/35. Щоб спростити цей дріб, слід знайти спільний дільник. Обидва числа діляться на п'ять, тому ми можемо виділити 5 у чисельнику та знаменнику:

Тепер можна скоротити загальні множники, тобто викреслити 5 у чисельнику та знаменнику. В результаті отримуємо спрощений дріб 3/7 . У алгебраїчних виразах загальні множники виділяються так само, як і в звичайних. У попередньому прикладі ми змогли легко виділити 5 з 15 - той же принцип застосуємо і до більш складних виразів, таких як 15x - 5. Знайдемо спільний множник. В даному випадку це буде 5, тому що обидва члени (15x і -5) діляться на 5. Як і раніше, виділимо загальний множник і перенесемо його вліво.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Щоб перевірити, чи все правильно, достатньо помножити на 5 вираз, що стоїть у дужках - в результаті вийдуть ті ж числа, що були спочатку. Складні члени можна виділяти так само, як і прості. Для алгебраїчних дробів застосовні самі принципи, як і звичайних. Це найпростіший спосіб скоротити дріб. Розглянемо наступний дріб:

Зазначимо, що і в чисельнику (згори), і в знаменнику (знизу) присутній член (x+2), тому його можна скоротити так само, як загальний множник 5 у дробі 15/35:

В результаті отримуємо спрощений вираз: (x-3)/(x+10)

Скорочення алгебраїчних дробів

Знайдіть загальний множник у чисельнику, тобто у верхній частині дробу. При скороченні алгебраїчного дробу насамперед слід спростити обидві його частини. Почніть з чисельника і постарайтеся розкласти його якомога більше множників. Розглянемо в цьому розділі наступний дріб:

Почнемо з чисельника: 9x – 3. Для 9x та -3 загальним множником є ​​число 3. Винесемо 3 за дужки, як це робиться із звичайними числами: 3*(3x-1). В результаті цього перетворення вийде наступний дріб:

Знайдіть загальний множник у чисельнику. Продовжимо виконання наведеного вище прикладу та випишемо знаменник: 15x+6. Як і раніше, знайдемо, на скільки діляться обидві частини. І в цьому випадку загальним множником є ​​3, так що можна записати: 3*(5x+2). Перепишемо дріб у такому вигляді:

Скоротіть однакові члени. На цьому етапі можна спростити дріб. Скоротіть однакові члени у чисельнику та знаменнику. У прикладі це число 3.

Визначте, що дріб має найпростіший вигляд. Дроб повністю спрощена в тому випадку, коли в чисельнику і знаменнику не залишилося спільних множників. Врахуйте, що не можна скорочувати ті члени, які стоять усередині дужок - у наведеному прикладі немає можливості виділити x з 3x та 5x, оскільки повними членами є (3x -1) та (5x + 2). Таким чином, дріб не піддається подальшому спрощенню, і остаточна відповідь виглядає так:

Потренуйтесь скорочувати дроби самостійно. Найкращий спосіб засвоїти метод полягає у самостійному вирішенні завдань. Під прикладами наведено правильні відповіді.

Відповідь:(x=13)

Відповідь:(2x-1)/5

Спеціальні прийоми

Винесіть негативний знак межі дробу. Припустимо, дано такий дріб:

Зауважте, що (x-4) і (4-x) "майже" ідентичні, але їх не можна скоротити відразу, оскільки вони "перевернуті". Тим не менш, (x - 4) можна записати як -1 * (4 - x), подібно до того як (4 + 2x) можна переписати у вигляді 2 * (2 + x). Це називається "зміною знака".

Тепер можна скоротити однакові члени (4-x):

Отже, отримуємо остаточну відповідь: -3/5 . Навчіться розпізнавати різницю квадратів. Різниця квадратів - це коли квадрат одного числа віднімається з квадрата іншого числа, як у виразі (a 2 - b 2). Різницю повних квадратів завжди можна розкласти на дві частини - суму і різницю відповідного квадратного коріння. Тоді вираз набуде наступного вигляду:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Цей прийом дуже корисний при пошуку спільних членів в дробах алгебри.

• Перевірте, чи правильно ви розклали той чи інший вираз на множники. Для цього перемножте множники - в результаті має вийти те саме вираз.
• Щоб повністю спростити дріб, завжди виділяйте найбільші множники.

Якщо потрібно розділити 497 на 4, то при розподілі ми побачимо, що 497 не ділиться на 4 націло, тобто. залишається залишок від розподілу. У таких випадках кажуть, що виконано розподіл із залишком, і рішення записують у такому вигляді:
497: 4 = 124 (1 залишок).

Компоненти розподілу у лівій частині рівності називають так само, як при розподілі без залишку: 497 - ділене, 4 - дільник. Результат розподілу при розподілі із залишком називають неповним приватним. У нашому випадку це число 124. І, нарешті, останній компонент, якого немає у звичайному розподілі, - залишок. У тих випадках, коли залишку немає, кажуть, що одне число поділилося на інше без залишку, або націло. Вважають, що за такого поділу залишок дорівнює нулю. У нашому випадку залишок дорівнює 1.

Залишок завжди менший за дільник.

Перевірку під час поділу можна зробити множенням. Якщо, наприклад, є рівність 64: 32 = 2, перевірку можна зробити так: 64 = 32 * 2.

Часто у випадках, коли виконується поділ із залишком, зручно використовувати рівність
а = b * n + r
де а – ділене, b – дільник, n – неповне приватне, r – залишок.

Частку від поділу натуральних чисел можна записати у вигляді дробу.

Чисельник дробу - це подільне, а знаменник - дільник.

Оскільки чисельник дробу - це подільне, а знаменник - дільник, вважають, що риса дробу означає дію поділу. Іноді зручно записувати поділ у вигляді дробу, не використовуючи знак «:».

Приватне від розподілу натуральних чисел m і n можна записати у вигляді дробу \(\frac(m)(n) \), де чисельник m - ділене, а знаменник п - дільник:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Вірні такі правила:

Щоб отримати дріб \(\frac(m)(n) \), треба одиницю розділити на n рівних частин (часток) і взяти m таких частин.

Щоб отримати дріб \(\frac(m)(n) \), треба число m розділити на число n.

Щоб знайти частину від цілого, треба число, що відповідає цілому, розділити на знаменник і результат помножити на чисельник дробу, який виражає цю частину.

Щоб знайти ціле по його частині, треба число, відповідне до цієї частини, розділити на чисельник і результат помножити на знаменник дробу, який виражає цю частину.

Якщо і чисельник, і знаменник дробу помножити на те саме число (крім нуля), величина дробу не зміниться:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Якщо і чисельник, і знаменник дробу поділити на те саме число (крім нуля), величина дробу не зміниться:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Цю властивість називають основною властивістю дробу.

Два останні перетворення називають скороченням дробу.

Якщо дроби потрібно подати у вигляді дробів з тим самим знаменником, то таку дію називають приведенням дробів до спільного знаменника.

Правильні та неправильні дроби. Змішані числа

Ви вже знаєте, що дріб можна отримати, якщо поділити ціле на рівні частини та взяти кілька таких частин. Наприклад, дріб \(\frac(3)(4) \) означає три четверті частки одиниці. Багато завдань попереднього параграфа звичайні дроби використовувалися для позначення частини цілого. Здоровий глузд підказує, що частина завжди повинна бути меншою за ціле, але як тоді бути з такими дробами, як, наприклад, \(\frac(5)(5) \) або \(\frac(8)(5) \)? Зрозуміло, що це не частина одиниці. Напевно, тому такі дроби, у яких чисельник більший за знаменник або дорівнює йому, називають неправильними дробами. Інші дроби, тобто дроби, у яких чисельник менший за знаменник, називають правильними дробами.

Як ви знаєте, будь-який звичайний дріб, і правильний, і неправильний, можна розглядати як результат поділу чисельника на знаменник. Тому в математиці, на відміну від звичайної мови, термін «неправильний дріб» означає не те, що ми щось зробили неправильно, а тільки те, що цей дроб чисельник більше знаменника або дорівнює йому.

Якщо число складається з цілої частини та дробу, то такі дроби називаються змішаними.

Наприклад:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 - ціла частина, а \(\frac(2)(3) \) - дробова частина.

Якщо чисельник дробу \(\frac(a)(b) \) ділиться на натуральне число n, то щоб розділити цей дріб на n, треба його чисельник розділити на це число:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Якщо чисельник дробу \(\frac(a)(b) \) не поділяється на натуральне число n, то щоб розділити цей дріб на n, треба його знаменник помножити на це число:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Зауважимо, що друге правило справедливе у тому разі, коли чисельник ділиться на n. Тому ми можемо застосовувати його тоді, коли важко з першого погляду визначити, чи ділиться чисельник дробу на n чи ні.

Події з дробами. Додавання дробів.

З дрібними числами, як і з натуральними числами, можна виконувати арифметичні дії. Розглянемо спочатку додавання дробів. Легко скласти дроби з однаковими знаменниками. Знайдемо, наприклад, суму \(\frac(2)(7) \) і \(\frac(3)(7) \). Легко зрозуміти, що \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх чисельники, а знаменник залишити тим самим.

Використовуючи букви, правило додавання дробів з однаковими знаменниками можна записати так:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Якщо потрібно скласти дроби з різними знаменниками, їх попередньо слід привести до спільного знаменника. Наприклад:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Для дробів, як і для натуральних чисел, справедливі переміщувальне та поєднане властивості додавання.

Додавання змішаних дробів

Такі записи, як \(2\frac(2)(3) \), називають змішаними дробами. При цьому число 2 називають цілою частиноюзмішаного дробу, а число \(\frac(2)(3) \) - її дрібною частиною. Запис \(2\frac(2)(3) \) читають так: «дві та дві третини».

При розподілі числа 8 на число 3 можна отримати дві відповіді: \(\frac(8)(3) \) і \(2\frac(2)(3) \). Вони виражають те саме дробове число, тобто \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

Таким чином, неправильний дріб \(\frac(8)(3) \) представлений у вигляді змішаного дробу \(2\frac(2)(3) \). У таких випадках кажуть, що з неправильного дробу виділили цілу частину.

Віднімання дробів (дрібних чисел)

Віднімання дробових чисел, як і натуральних, визначається на основі дії додавання: відняти з одного числа інше - це означає знайти таке число, яке при додаванні з другим дає перше. Наприклад:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) оскільки \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) ) = \frac(8)(9) \)

Правило віднімання дробів з однаковими знаменниками схоже на правило додавання таких дробів:
щоб знайти різницю дробів з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого, а знаменник залишити колишнім.

За допомогою літер це правило записується так:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Розмноження дробів

Щоб помножити дріб на дріб, потрібно перемножити їх чисельники та знаменники та перший твір записати чисельником, а другий – знаменником.

За допомогою букв правило множення дробів можна записати так:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Користуючись сформульованим правилом, можна множити дріб на натуральне число, на змішаний дріб, а також перемножувати змішані дроби. Для цього потрібно натуральне число записати у вигляді дробу зі знаменником 1, змішаний дріб - у вигляді неправильного дробу.

Результат множення треба спрощувати (якщо це можливо), скорочуючи дріб та виділяючи цілу частину неправильного дробу.

Для дробів, як і для натуральних чисел, справедливі переміщувальна та поєднана властивості множення, а також розподільна властивість множення щодо додавання.

Розподіл дробів

Візьмемо дріб \(\frac(2)(3) \) і «перевернемо» її, помінявши місцями чисельник і знаменник. Отримаємо дріб \(\frac(3)(2) \). Цей дріб називають зворотнійдробу \(\frac(2)(3) \).

Якщо ми тепер «перевернемо» дріб \(\frac(3)(2) \), то отримаємо вихідний дріб \(\frac(2)(3) \). Тому такі дроби, як \(\frac(2)(3) \) і \(\frac(3)(2) \) називають взаємно зворотними.

Взаємно зворотними є, наприклад, дроби \(\frac(6)(5) \) і \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) і \(\frac (18) (7) \).

За допомогою букв взаємно зворотні дроби можна записати так: \(\frac(a)(b) \) і \(\frac(b)(a) \)

Зрозуміло, що добуток взаємно зворотних дробів дорівнює 1. Наприклад: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Використовуючи взаємно зворотні дроби, можна поділ дробів звести до множення.

Правило поділу дробу на дріб:
щоб розділити один дріб на інший, потрібно ділене помножити на дріб, зворотний дільник.

Використовуючи літери, правило розподілу дробів можна записати так:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Якщо ділене або дільник є натуральним числом або змішаним дробом, то для того, щоб скористатися правилом поділу дробів, його треба попередньо подати у вигляді неправильного дробу.

Розберемося в тому, що таке скорочення дробів, навіщо і як скорочувати дроби, наведемо правило скорочення дробів та приклади його використання.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Що таке "скорочення дробів"

Скоротити дріб - означає розділити її чисельник і знаменник на спільний дільник, позитивний та відмінний від одиниці.

В результаті такої дії вийде дріб з новим чисельником і знаменником, що дорівнює вихідному дробу.

Наприклад, візьмемо звичайний дріб 24 і скоротимо його. Розділимо чисельник та знаменник на 2 , внаслідок чого отримаємо 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 . У цьому прикладі ми скоротили вихідний дріб на 2 .

Приведення дробів до нескоротного виду

У попередньому прикладі ми скоротили дріб 6 24 на 2 , внаслідок чого отримали дріб 3 12 . Неважко помітити, що цей дріб можна скоротити ще. Як правило, метою скорочення дробів є отримання в результаті нескоротного дробу. Як привести дріб до нескоротного виду?

Це можна зробити, якщо скоротити чисельник і знаменник на їхній найбільший спільний дільник (НДД). Тоді, за якістю найбільшого спільного дільника, в чисельнику і в знаменнику будуть взаємно прості числа, і дріб виявиться нескоротним.

a b = a ÷ Н О Д (a , b) b ÷ Н О Д (a , b)

Приведення дробу до нескоротного виду

Щоб привести дріб до нескоротного виду, потрібно його чисельник і знаменник розділити на їх НОД.

Повернемося до дробу 6 24 з першого прикладу і наведемо його до нескоротного вигляду. Найбільший загальний дільник чисел 6 та 24 дорівнює 6 . Скоротимо дріб:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Скорочення дробів зручно застосовувати, щоб не працювати з великими цифрами. Взагалі, в математиці існує негласне правило: якщо можна спростити будь-який вираз, потрібно це робити. Під скороченням дробу найчастіше мають на увазі її приведення до нескоротного виду, а не просто скорочення на загальний дільник чисельника та знаменника.

Правило скорочення дробів

Щоб скорочувати дроби, досить запам'ятати правило, яке складається з двох кроків.

Правило скорочення дробів

Щоб скоротити дріб потрібно:

1. Знайти НОД чисельника та знаменника.
2. Розділити чисельник та знаменник на їх НОД.

Розглянемо практичні приклади.

Приклад 1. Скоротимо дріб.

Дано дріб 182 195 . Скоротимо її.

Знайдемо НОД чисельника та знаменника. Для цього в даному випадку найзручніше скористатися алгоритмом Евкліда.

195 = 182 · 1 + 13 182 = 13 · 14 Н О Д (182, 195) = 13

Розділимо чисельник та знаменник на 13 . Отримаємо:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Готово. Ми отримали нескоротний дріб, який дорівнює вихідному дробу.

Як ще можна скорочувати дроби? У деяких випадках зручно розкласти чисельник та знаменник на прості множники, а потім із верхньої та нижньої частин дробу прибрати всі загальні множники.

Приклад 2. Скоротимо дріб

Даний дріб 360 2940 . Скоротимо її.

Для цього представимо вихідний дріб у вигляді:

360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7

Позбавимося загальних множників у чисельнику та знаменнику, в результаті чого отримаємо:

360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 = 2 · 3 7 · 7 = 6 49

Зрештою, розглянемо ще один спосіб скорочення дробів. Це так зване послідовне скорочення. З використанням цього способу скорочення проводиться у кілька етапів, на кожному з яких дріб скорочується на якийсь очевидний спільний дільник.

Приклад 3. Скоротимо дріб

Скоротимо дріб 2000 4400 .

Відразу видно, що чисельник та знаменник мають загальний множник 100 . Скорочуємо дріб на 100 і отримуємо:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Результат, що вийшов, знову скорочуємо на 2 і отримуємо вже нескоротний дріб:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Поділі чисельника та знаменника дробу на їх спільний дільник, відмінний від одиниці, називають скороченням дробу.

Щоб скоротити звичайний дріб, потрібно розділити його чисельник і знаменник на те саме натуральне число.

Це число є найбільшим спільним дільником чисельника та знаменника даного дробу.

Можливі наступні форми запису рішенняприкладів скорочення звичайних дробів.

Студент має право вибрати будь-яку форму запису.

приклади. Спростити дроби.

Скоротимо дріб на 3 (ділимо чисельник на 3;

ділимо знаменник на 3).

Скорочуємо дріб на 7.

Виконуємо зазначені дії в чисельнику та знаменнику дробу.

Отриманий дріб скорочуємо на 5.

Скоротимо цей дріб 4) на 5·7³— найбільший загальний дільник (НДД) чисельника та знаменника, який складається із загальних множників чисельника та знаменника, взятих у ступеню з найменшим показником.

Розкладемо чисельник і знаменник цього дробу на прості множники.

Отримуємо: 756=2²·3³·7і 1176 = 2? · 3 · 7 ².

Визначаємо НОД (найбільший спільний дільник) чисельника та знаменника дробу 5) .

Це добуток загальних множників, узятих із найменшими показниками.

НОД(756; 1176) = 2²·3·7.

Ділимо чисельник і знаменник даного дробу з їхньої НОД, т. е. на 2²·3·7отримуємо нескоротний дріб 9/14 .

А можна було записати розкладання чисельника та знаменника у вигляді добутку простих множників, не застосовуючи поняття ступеня, а потім провести скорочення дробу, закреслюючи однакові множники у чисельнику та знаменнику. Коли однакових множників не залишиться — перемножуємо множники, що залишилися, окремо в чисельнику і окремо в знаменнику і виписуємо дроб, що вийшов. 9/14 .

І, нарешті, можна було скорочувати цей дріб 5) поступово, застосовуючи ознаки поділу чисел і до чисельника і знаменника дробу. Розмірковуємо так: числа 756 і 1176 закінчуються парною цифрою, отже, обоє поділяються на 2 . Скорочуємо дріб на 2 . Чисельник і знаменник нового дробу - числа 378 і 588 також поділяються на 2 . Скорочуємо дріб на 2 . Помічаємо, що число 294 - парне, а 189 - непарне, і скорочення на 2 вже неможливо. Перевіримо ознаку ділимості чисел 189 і 294 на 3 .

(1+8+9)=18 ділиться на 3 і (2+9+4)=15 ділиться на 3, отже, і числа 189 і 294 поділяються на 3 . Скорочуємо дріб на 3 . Далі, 63 ділиться на 3, а 98 - Ні. Перебираємо інші звичайні множники. Обидва числа поділяються на 7 . Скорочуємо дріб на 7 і отримуємо нескоротний дріб 9/14 .