Дано закон розподілу двох незалежних випадкових величин х і у. Незалежні випадкові величини

Закон розподілу мінімуму (максимуму) двох випадкових величин. Закон розподілу порядкових статистик

У цьому вся пункті ми розглянемо передусім таке функціональне перетворення з. в., яке полягає у виборі максимальної (мінімальної) із двох величин.

Завдання 1. Закон розподілу мінімуму двох випадкових величин. Дано безперервну систему с. в. (Х та Х 2)з п. р./(*!, х 2).Знайти функцію розподілу С.В. Y:

Рішення. Знайдемо спочатку Р ( Y>у) = Р (Xi >у; Х 2 > у). Область D(у), де Х> у і Х 2 > упоказано на рис. 9.6.1. Імовірність влучення точки (Х [, Х 2)в область D(у) дорівнює

де F (х ь х 2) -функція розподілу системи с. в. (Х ь Х 2), F x(jq), F 2 (х 2) - функції розподілу с. в. Хі Х 2 відповідно. Отже,

Для визначення п. н. g (у)потрібно знайти похідну правої частини (9.6.1):

Якщо з. в. Х х, Х 2 незалежні та розподілені однаково з п. н. Fi(х) =/ 2 (х) = f (x),то

Приклад 1. Розглядається робота ТУ, що складається із двох блоків Bi і Б 2 , спільна робота яких, безумовно, необхідна для роботи ТУ. Час роботи блоків Б! і Б 2 являють собою незалежні с. в. Хі Х 2 ,розподілені за показовими законами з параметрами Хі Х2.Потрібно знайти закон розподілу с. в. У-часу роботи ТУ.

Рішення. Очевидно, що

За формулами (9.6.4) знаходимо:

тобто. мінімум двох незалежних випадкових величин, розподілених за показниками з параметрами Х х і Х 2 , розподілений також за показовим законом з параметром Х х + Х2. ?

Завдання 2. Закон розподілу мінімального пнезалежних випадкових величин. Дана система пнезалежних с. в. (Х х, Х 2 ..., Х п)з п. р .f (x x), f 2 (х 2), ...,f n (х п). Знайти ф. нар. та щільність с. в. Y= min (Хх,.... Х п).

Рішення. За визначенням

Приклад 2. Розглядається робота автоматизованої системи (АС), що складається з ппідсистем. Для роботи АС необхідна робота всіх ппідсистем; час безвідмовної роботи/-ї підсистеми 7} розподілено за показовим законом з параметром (/ = 1, 2, д)і залежить від часу роботи інших підсистем. Визначити закон розподілу часу Дя) безвідмовної роботи АС.

Рішення. Очевидно, що

За формулою (9.6.6) знаходимо функцію розподілу с.в. Д л)

Отже, закон розподілу с. в. - мінімальною з пнезалежних с. в., розподілених за показовими законами, також є показовим; при цьому його параметр i) S n))дорівнює сумі параметрів цих показових розподілів. З цього виходить що

Можна показати, що закон розподілу с. в. Д я) за досить великого псходитиметься до показового закону, навіть якщо с. в. 7) (/= 1, 2, ..., д)не розподілено за показовими законами. Покажемо це з прикладу однаково рівномірно розподілених з. в.:

В цьому випадку

а це є ф. нар. показового закону.

Таким чином, можна зробити висновок, що широко застосовується в інженерних додатках: якщо якийсь пристрій складається з досить великої кількості елементів п, робота яких, безумовно, необхідна для роботи пристрою, то закон розподілу часу Ф п) безвідмовної роботи пристрою близький до показового параметра, що визначається за формулою

де М [ Tj -середній час безвідмовної роботи/-го елемента.

Потік відмов такого пристрою буде близьким до пуассонівського з параметром )S n ?

Завдання 3. Закон розподілу максимальної із двох випадкових величин. Дано безперервну систему с. в. (Хь Х 2)із щільністю/(лс ь х 2).Потрібно знайти закон розподілу с.в.

Рішення. За визначенням,

де F(x x, х 2) - функція розподілу системи (Х та Х 2).

Диференціюючи цей вислів, як робили раніше, отримаємо:

Якщо випадкові величини Х та Х2 розподілені однаково, то

Якщо випадкові величини Х ь Х 2 незалежні, то

Якщо випадкові величини Х ь Х 2 незалежні та розподілені однаково, то

Приклад 3. Робота ТУ не може бути розпочата раніше, ніж буде закінчено складання двох його блоків Bi і Б2. Час складання блоків Bi і Б2 являє собою систему незалежних с. в. Х хі Х 2 ,розподілених за показовими законами з параметрами Х хі Х2. Y-часу закінчення складання обох блоків ТУ.

Рішення. Очевидно, що Y= max (Х 'Х 2).Щільність розподілу с. в. ^ визначається за формулою (9.6.12)

Цей закон не є показовим. ?

Завдання 4. Закон розподілу максимального значення пнезалежних випадкових величин. Дано безперервну систему с. в. (Х х, Х 2 , ..., Х п)зі щільністю f(x x , х 2 ,

Знайти закон розподілу випадкової величини

Рішення. За визначенням

де F(x 1, х 2 ,..., х п) -функція розподілу системи (Х х, Х 2 ..., X п).Диференціюючи, знайдемо щільність розподілу:

де Fj (Xj) - ф. нар. с. в. Xjfj(xj) – її щільність.

Якщо з. в. Хь ..., Х пнезалежні та розподілені однаково (Fi(y) = F(y); f (у) = f(y)) (/"= 1,п)), то

Якщо випадкові величини Х і ..., Х пнезалежні, то

Приклад 4. Робота ТУ не може бути розпочата раніше, ніж буде закінчено складання всіх пйого блоків: Б ь Бг, ..., Б„. Часи складання блоків Б ь..., Б л являють собою систему пнезалежних с. в. (Х ь..., Х п),розподілених за показниками з параметрами А.1,..., А, п.

Потрібно знайти щільність с. в. У-часу закінчення складання всіх пблоків ТУ.

Рішення. Очевидно, що у = max (Х,..., Х п).За формулою (9.6.16) маємо

Завдання 5. Закон розподілу порядкових статистик. Розглянемо безперервну систему однаково розподілених, незалежних с. в. (X v Х 2 , ..., X п)із ф. нар. F(x)та п. р./(х). Розташуємо значення, прийняті випадковими величинами X v Х 2 ..., Х п,у порядку їх зростання та позначимо:

Х (1) - випадкова величина, що прийняла найменше значення: (X (1) = min (X v Х 2, ..., Х п));

Х(2) -друга за величиною прийнятого значення із випадкових величин X v Х 2, ..., Х п;

Х(т) - т-яза величиною прийнятого значення із випадкових величин Х х, Х 2 ..., Х п;

Х(П) -найбільша за прийнятим значенням із випадкових величин Х, Х 2 , х„ (Х (п) =шах (Х і Х 2 ..., Х п)).

Очевидно,

Випадкові величини X(i), Х@),..., Х(„)називаються порядковими статистиками.

Формули (9.6.8) та (9.6.17) дають закони розподілу крайніх членів X(i),і Х(„)системи (*).

Знайдемо функцію розподілу F^ m)(х) с. в. Х^ т уПодія (Х ^ х) полягає в тому, що тс. в. із системи пс. в. (Х ( , Х 2 ,..., Хд) будуть менше х і (п - т)с. в. будуть більше х. Оскільки с. в. X t (/" = 1, 2,..., д)незалежні та однаково розподілені, то Р (X t х) = F(х)Р (Xj >х) = 1 - F(х).Нам потрібно знайти ймовірність того, що в пнезалежних дослідах подія (Xj х) з'явиться рівно тразів. Застосовуючи біномний розподіл, отримаємо

Дві випадкові величини $X$ і $Y$ називаються незалежними, якщо закон розподілу однієї випадкової величини не змінюється від того, які можливі значення набула інша випадкова величина. Тобто, для будь-яких $x$ та $y$ події $X=x$ та $Y=y$ є незалежними. Оскільки події $X=x$ і $Y=y$ незалежні, то за теоремою добутку ймовірностей незалежних подій $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\right)\right)=P \left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$.

Приклад 1 . Нехай випадкова величина $X$ виражає грошовий виграш за квитками однієї лотереї «Російське лото», а випадкова величина $Y$ виражає грошовий виграш за квитками іншої лотереї «Золотий ключ». Вочевидь, що випадкові величини $X,\ Y$ будуть незалежними, оскільки виграш за квитками однієї лотереї залежить від закону розподілу виграшів за квитками інший лотереї. У тому випадку, коли випадкові величини $X,\Y$ виражали б виграш по одній і тій же лотереї, то, очевидно, дані випадкові величини були б залежними.

Приклад 2 . Двоє робітників працюють у різних цехах і виготовляють різні вироби, не пов'язані між собою технологіями виготовлення та використовуваною сировиною. Закон розподілу числа бракованих виробів, виготовлених першим робітником за зміну, має такий вигляд:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Число \ бракованих \ виробів \ x & 0 & 1 \\
\hline
Можливість & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\end(array)$

Число бракованих виробів, виготовлених другим робітником за зміну, підпорядковується таким закону розподілу.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Число \ бракованих \ виробів \ y & 0 & 1 \\
\hline
Можливість & 0,7 & 0,3 \\
\hline
\end(array)$

Знайдемо закон розподілу числа бракованих виробів, виготовлених двома робітниками за зміну.

Нехай випадкова величина $X$ - кількість бракованих виробів, виготовлених першим робітником за зміну, а $Y$ - кількість бракованих виробів, виготовлених другим робітником за зміну. За умовою, випадкові величини $ X, \ Y $ незалежні.

Число бракованих виробів, виготовлених двома робітниками за зміну, є випадковою величиною $X+Y$. Її можливі значення дорівнюють $0,\1$ і $2$. Знайдемо ймовірності, з якими випадкова величина $X+Y$ набуває своїх значень.

$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right) = 0,8 \ cdot 0,7 = 0,56.

$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\Y=1\ або\X=1,\Y=0\right)=P\left(X=0\right )P\left(Y=1\right)+P\left(X=1\right)P\left(Y=0\right)=0,8cdot 0,3+0,2cdot 0,7 = 0,38. $

$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\right) = 0,2 \ cdot 0,3 = 0,06.

Тоді закон розподілу числа бракованих виробів, виготовлених двома робітниками за зміну:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Число \ бракованих \ виробів & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Можливість & 0,56 & 0,38 & 0,06 \\
\hline
\end(array)$

У попередньому прикладі ми виконували операцію над випадковими величинами $X,\Y$, а саме знаходили їхню суму $X+Y$. Дамо тепер більш строго визначення операцій (складання, різницю, множення) над випадковими величинами і наведемо приклади рішень.

Визначення 1. Добутком $kX$ випадкової величини $X$ на постійну величину $k$ називається випадкова величина, яка приймає значення $kx_i$ з тими ж ймовірностями $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ dots ,\ n\ right) $.

Визначення 2. Сумою (різницею або добутком) випадкових величин $X$ і $Y$ називається випадкова величина, яка приймає всі можливі значення виду $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ або $x_i\cdot y_i$), де $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, з ймовірностями $p_(ij)$ того, що випадкова величина $X$ прийме значення $x_i$, а $Y$ значення $y_j$:

$$p_(ij)=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right].$$

Так як випадкові величини $ X, \ Y $ незалежні, то по теоремі множення ймовірностей для незалежних подій: $ p_ (ij) = P \ left (X = x_i \ right) \ cdot P \ left (Y = y_j \ right) = p_i\cdot p_j$.

Приклад 3 . Незалежні випадкові величини $X,\Y$ задані своїми законами розподілу ймовірностей.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(array)$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(array)$

Складемо закон розподілу випадкової величини $Z=2X+Y$. Сумою випадкових величин $X$ і $Y$, тобто $X+Y$, називається випадкова величина, яка набуває всіх можливих значень виду $x_i+y_j$, де $i=1,\ 2,\dots ,\ n$ , з ймовірностями $p_(ij)$ того, що випадкова величина $X$ прийме значення $x_i$, а $Y$ значення $y_j$: $p_(ij)=P\left[\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. Так як випадкові величини $ X, \ Y $ незалежні, то по теоремі множення ймовірностей для незалежних подій: $ p_ (ij) = P \ left (X = x_i \ right) \ cdot P \ left (Y = y_j \ right) = p_i\cdot p_j$.

Отже, має закони розподілу випадкових величин $2X$ і $Y$ відповідно.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(array)$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(array)$

Для зручності знаходження всіх значень суми $Z=2X+Y$ та його ймовірностей складемо допоміжну таблицю, у кожному клітині якої помістимо у лівому куті значення суми $Z=2X+Y$, а правому куті - ймовірності цих значень, отримані в результаті перемноження ймовірностей відповідних значень випадкових величин $2X$ та $Y$.

В результаті отримаємо розподіл $Z=2X+Y$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\end(array)$

Скласти закон розподілу кількості бракованих деталей, що випускаються протягом зміни на обох верстатах, та обчислити математичне очікування та середнє квадратичне відхилення цієї випадкової величини.

192. Імовірність того, що годинник потребує додаткового регулювання, дорівнює 0,2. Скласти закон розподіл кількості годин, які потребують додаткового регулювання, серед трьох випадково відібраних. За отриманим законом розподілу знайти математичне очікування та дисперсію цієї випадкової величини. Результат перевірити за відповідними формулами математичного очікування та дисперсією випадкової величини, розподіленої за біноміальним законом.

193. З наявних шести квитків лотереї, з яких чотири невиграшні, навмання виймають по одному квитку доти, доки не зустрінеться виграшний квиток. Скласти закон розподілу випадкової величини X – числа вийнятих квитків, якщо кожен вийнятий квиток не повертається назад. Знайти математичне очікування та середнє квадратичне відхилення цієї випадкової величини.

194. Студент може складати іспит не більше чотирьох разів. Скласти закон розподілу випадкової величини X - числа спроб скласти іспит, якщо ймовірність його складання - 0,75 і надалі зростає на 0,1 при кожній наступній спробі. Знайти дисперсію цієї випадкової величини.

195. Дано закони розподілу двох незалежних випадкових величин X та Y:

Скласти закон розподілу випадкової величини X-Y і перевірити властивість дисперсії D(X-Y) = D(X) + D(Y).

196. Серед п'яти однотипних годинників, що є в майстерні, тільки в одному зміщений маятник. Майстер перевіряє навмання взятий годинник. Перегляд закінчується, як тільки виявиться годинник зі зміщеним маятником (перевірений годинник знову не проглядається). Скласти закон розподілу числа переглянутих майстром годинника і обчислити математичне очікування та дисперсію цієї випадкової величини.

197. Незалежні випадкові величини X та Y задані законами розподілу:

Скласти закон розподілу випадкової величини X 2 + 2Y та перевірити властивість математичного очікування: M(X 2 + 2Y) = M(X 2) + 2M(Y).

198. Відомо, що випадкова величина X, яка приймає два значення x 1 = 1 і x 2 = 2, має математичне очікування, що дорівнює 7/6. Знайти ймовірності, із якими випадкова величина X приймає свої значення. Скласти закон розподілу випадкової величини 2 X 2 і знайти дисперсію.

199. Дві незалежні випадкові величини X та Y задані законами розподілу:

Знайти P(X=3) та P(Y=4). Скласти закон розподілу випадкової величини X – 2Y та перевірити властивості математичного очікування та дисперсії: M(X – 2Y) = M(X) – 2M(Y); D(X – 2Y) = D(X) + 4D(Y).

У завданнях 201–210 задані випадкові величини, розподілені за нормальним законом

201. Випадкова величина ξ розподілена нормально. Знайти Р(0< ξ<10), если Мξ= 10 и Р(10< ξ<20)= 0,3.

202. Випадкова величина ξ розподілена нормально. Знайти Р(35)< ξ<40), если Мξ= 25 и Р(10< ξ<15)= 0,2.

203. Випадкова величина ξ розподілена нормально. Знайти Р(1< ξ<3), если Мξ= 3 и Р(3< ξ<5)= 0,1915.

204. <σ).

205. Для випадкової величини ξ, розподіленої за нормальним законом, знайти Р(|ξ–а|<2σ).

206. Для випадкової величини ξ, розподіленої за нормальним законом, знайти Р(|ξ–а|<4σ).

207. Незалежні випадкові величини ξ та η розподілені нормально,

М? = -1; D = 2; Мη = 5; Dη= 7. Записати щільність ймовірностей та функцію розподілу їх суми. Знайти Р(ξ+η<5) и Р(–1< ξ+η<3).

208. Незалежні випадкові величини ξ, η, ζ розподілені за нормальним законом і Мξ= 3; D = 4; Мη = -2; Dη = 0.04; М? = 1; D = 0.09. Записати для їх суми щільність ймовірностей та функцію розподілу. Знайти Р(ξ+η+ζ<5) и Р(–1< ξ+η+ζ<3).

209. Незалежні випадкові величини ξ, η, ζ розподілені нормально і Мξ = -1; D = 9; Мη = 2; Dη=4; М? = -3; D = 0.64. Записати для їх суми щільність ймовірностей та функцію розподілу. Знайти Р(ξ+η+ζ<0) и

Р(-3< ξ+η+ζ<0).

210. Верстат автомат виготовляє валики, контролюючи їх діаметри ξ. Вважаючи, що ξ розподілена нормально і а = 10 мм, = 0,1 мм, знайти інтервал, в якому з ймовірністю 0.9973 будуть укладені діаметри виготовлених валиків.

У задачах 211–220 вибірка X об'ємом n =100 задана таблицею:

де результати вимірювань x i = 0,2 · a + (i -1) · 0,3 · b; n i - Частоти, з якими зустрічаються значення x i .

1) побудувати полігон відносних частот w i = ni / n;

2) обчислити середнє вибіркове, вибіркову дисперсію D B і середнє квадратичне відхилення σ B;

3) обчислити теоретичні частоти. Побудувати графік одному малюнку з полігоном;

4) за допомогою критерію 2 перевірити гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності при рівні значущості α = 0,05.

211. a = 4; b = 3; 212 . a = 3; b = 2; 213. a = 5; b = 1; 214. a = 1; b = 4;

215. a = 3; b = 5; 216. a=2; b = 3; 217. a = 4; b = 1; 218. a = 2; b = 5; 219. a = 1; b = 2; 220. a = 5; b = 4.

У задачах 221–230 двовимірна вибірка результатів спільних вимірювань ознак X та Y об'ємом n = 100 задана кореляційною таблицею:

де x i = 0,2 · a + (i -1) · 0,3 · b; y i = 0,5 · a + (j - 1) · 0,2 · b.

1) Знайти і y . Значення і x взяти з попереднього завдання.

2) Обчислити коефіцієнт кореляції r B. Зробити висновок характер зв'язку між ознаками X і Y.

3) Побудувати рівняння прямої лінії регресії Y на X як .

4) На графіці зобразити кореляційне полі, тобто. нанести точки (xi, yi) та побудувати пряму .

221. a = 4; b = 3; 222. a = 3; b = 2; 223. a = 5; b = 1;

224. a = 1; b = 4; 225. a = 3; b = 5; 226. a = 2; b = 3;

227. a = 4; b = 1; 228. a = 2; b = 5; 229. a = 1; b = 2

230. a = 5; b = 4

У задачах 231–240 знайти максимальне значення функції

за умов . Значення взяти з таблиці

потрібно:

1) розв'язати задачу лінійного програмування графічним методом;

2) розв'язати задачу табличним симплексним методом;

3) показати відповідність опорних рішень та вершин області допустимих рішень;

У задачах 241–250 деякий однорідний вантаж, зосереджений у трьох постачальників A i (), необхідно доставити п'яти споживачам B j (). Запаси вантажу у постачальників a i потреби споживачів b j , і навіть вартості перевезення одиниці вантажу від i-го постачальника j-му споживачеві C ij в таблиці.

Потрібно визначитиоптимальний план перевезень, що дозволяє вивезти всі вантажі від постачальників та задовольняє потреби всіх споживачів таким чином, щоб цей план мав мінімальну вартість. Перший опорний план знайти методом «північно-західного» кута. Оптимальний план визначити шляхом потенціалів. Обчислити вартість перевезень кожного плану.

У завданнях 251-260 галузі та здійснюють капітальні вкладення у чотири об'єкти.З урахуванням особливостей вкладу та місцевих умов прибуток галузі залежно від обсягу фінансування виражається елементами платіжної матриці. Для спрощення завдання прийняти, що збиток галузі дорівнює прибутку галузі. Знайти найкращі стратегії галузей. Потрібно:

1) звести вихідні дані в таблицю і знайти рішення матричної гри в чистих стратегіях, якщо воно існує (інакше див. наступний п. 2);

2) спростити платіжну матрицю;

3) скласти пару взаємно двоїстих завдань, еквівалентну даній матричній грі;

4) знайти оптимальне рішення прямого завдання (для галузі В) симплекс-методом;

5) використовуючи відповідність змінних, виписати оптимальне рішення двоїстої задачі (для галузі А);

6) дати геометричну інтерпретацію цього рішення (для галузі А);

7) використовуючи співвідношення між оптимальними рішеннями пари двоїстих завдань, оптимальними стратегіями та ціною гри, знайти рішення гри у змішаних стратегіях;

варіант 1 варіант 2 варіант 3

1. Аналітична геометрія та векторна алгебра ……………….. 4

2. Системи лінійних рівнянь та комплексні числа ………….. 5

3. Побудова графіків функцій, обчислення меж

і виявлення точок розриву функций.…………….……………. 6

4. Похідні функцій, найбільше та найменше значення

на відрізку..…………………………………………………….… 9

5. Дослідження функцій та побудова графіків,

функції багатьох змінних, метод найменших квадратів. 11

6. Невизначений, певний та невласний інтеграл ….. 12

7. Розв'язання диференціальних рівнянь та систем

диференціальних рівнянь …………….……….…….….…… 14

8. Кратні та криволінійні інтеграли …………………………… 15

9. Дослідження числових та статечних рядів, наближені

розв'язання диференціальних рівнянь ………………...……… 17

10. Теорія ймовірностей ……………….……………………...……… 18

Петро Олексійович Буров

Анатолій Миколайович Муравйов

Збірник завдань

©2015-2019 сайт
Усі права належати їх авторам. Цей сайт не претендує на авторства, а надає безкоштовне використання.
Дата створення сторінки: 2017-12-07

Призначення сервісу. За допомогою сервісу в онлайн-режимі обчислюються математичне очікування, дисперсія та середньоквадратичне відхилення(Див. приклад). Крім цього, будується графік функції розподілу F(X).

• Рішення онлайн
• Відеоінструкція

Властивості математичного очікування випадкової величини

1. Математичне очікування постійної величини дорівнює їй самій: M [C] = C, C - Постійна;
2. M=C M[X]
3. Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань: M=M[X]+M[Y]
4. Математичне очікування добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань: M = M [X] M [Y], якщо X і Y незалежні.

Властивості дисперсії

1. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю: D(c)=0.
2. Постійний множник можна винести з-під символу дисперсії, звівши його в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Якщо випадкові величини X та Y незалежні, то дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Якщо випадкові величини X та Y залежні: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Для дисперсії справедлива обчислювальна формула:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

приклад. Відомі математичні очікування та дисперсії двох незалежних випадкових величин X і Y: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Знайти математичне очікування та дисперсію випадкове величини Z=9X-8Y+7.
Рішення. Виходячи з властивостей математичного очікування: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Виходячи з властивостей дисперсії: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81 * 9 - 64 * 6 = 345

Безперервні випадкові величини. Системи випадкових величин. Функція двох довільних аргументів. Формула згортки. Стійкість нормального розподілу, сторінка 3

Нехай задано функцію випадкового аргументу Х. Потрібно знайти математичне очікування цієї функції, знаючи закон розподілу аргументу.

1. Нехай аргумент Х-дискретна випадкова величина із рядом розподілу

.

приклад 3.Дискретна випадкова величина Х задана розподілом

Знайти математичне очікування функції .

Можливі значення Y:

; ; .

2. Нехай аргумент Х-безперервна випадкова величина, задана густиною розподілу р(х). Для знаходження математичного очікування функції можна спочатку знайти густину розподілу g(y) величини Y, а потім скористатися формулою: .

Якщо можливі значення , то .

приклад 4.Випадкова величина Х задана щільністю в інтервалі (0, π/2); поза цим інтервалом р(х)=0. Знайти математичне очікування функції .

, , , ; Отже,

§ 17. Функція двох випадкових аргументів.

Формула згортки. Стійкість нормального розподілу.

o Якщо кожній парі можливих значень випадкових величин X та Y відповідає одне можливе значення випадкової величини Z, то Z називають функцією двох випадкових аргументів X та Y:

.

Далі на прикладах буде показано, як знайти розподіл функції за відомими розподілами доданків. Таке завдання часто трапляється на практиці. Наприклад, якщо Х-похибка показань вимірювального приладу (розподілена рівномірно), то виникає завдання-знайти закон розподілу суми похибок .

Випадок 1.Нехай Х та Y- дискретні незалежні випадкові величини. Щоб скласти закон розподілу функції Z=X+Y, треба знайти всі можливі значення Z та його ймовірності. Інакше кажучи, складається ряд розподілу випадкової величини Z.

приклад 1.Дискретні незалежні випадкові величини Х та Y, задані розподілами

3. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ. ПОНЯТТЯ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ

Випадковою величиноюНазивається величина, яка в результаті випробувань, що проводяться в одних і тих же умовах, приймає різні, взагалі кажучи, значення, що залежать від випадкових факторів, що не враховуються. Приклади випадкових величин: кількість очок, що випали на гральній кістці, число дефектних виробів в партії, відхилення точки падіння снаряда від мети, час безвідмовної роботи пристрою і т. п. Розрізняють дискретні і безперервні випадкові величини. ДискретноюНазивається випадкова величина, можливі значення якої утворюють лічильна множина, кінцева або нескінченна (тобто така множина, елементи якої можуть бути занумеровані).

БезперервнийНазивається випадкова величина, можливі значення якої безперервно заповнюють деякий кінцевий або нескінченний інтервал числової осі. Число значень безперервної випадкової величини завжди нескінченне.

Випадкові величини позначатимемо великими літерами кінця латинського алфавіту: X, Y, . ; значення випадкової величини - малими літерами: Х, у,. . Таким чином, XПозначає всю сукупність можливих значень випадкової величини, а Х -Деяке її конкретне значення.

Законом розподілудискретної випадкової величини називається відповідність у будь-якій формі відповідність між можливими значеннями випадкової величини та їх ймовірностями.

Нехай можливими значеннями випадкової величини XЄ . Через війну випробування випадкова величина прийме одне з цих значень, тобто. Відбудеться одна подія з повної групи попарно несумісних подій.

Нехай також відомі ймовірності цих подій:

Закон розподілу випадкової величини XМоже бути записаний у вигляді таблиці, яку називають Поруч розподілуДискретної випадкової величини:

Дано закон розподілу двох незалежних випадкових величин х і у

q p

q
p

Це геометричний закон розподілу.

(Отримуємо ряд, що сходить, так як
).

Завдання 4.У партії з 10 деталей міститься три нестандартні. Навмання відібрали дві деталі. Написати закон розподілу числа нестандартних деталей серед двох відібраних. Підрахувати математичне очікування цієї випадкової величини.

Рішення. Випадкова величина X– число нестандартних деталей серед двох відібраних має такі можливі значення:


Знайдемо їх ймовірності

Складемо шуканий закон розподілу випадкової величини

Знаходимо математичне очікування

.

Завдання 5.Імовірний прогноз для величини Х – відсоткової зміни вартості акцій стосовно їх поточного курсу протягом шести місяців – дано у вигляді закону розподілу:

Знайти ймовірність того, що купівля акцій буде вигідніша, ніж розміщення грошей на банківський депозит під 36% річних.

Рішення.Приріст суми на банківському депозиті за умови 3% на місяць становитиме через 6 місяців.

Завдання 6. Нехай щоденні витрати на обслуговування та рекламу автомобілів у деякому автосалоні становлять у середньому 100 тис. р., а кількість продажів Хавтомашин протягом дня підпорядковується наступному закону розподілу:

а)Знайти математичне очікування щоденного прибутку при ціні на машину 150 тис. р. б) Дисперсію щоденного продажу числа автомашин.

Рішення.а) Щоденний прибуток підраховується за формулою

П = (150 Х- 100) тис. н.

Шукана характеристика М(П) знаходиться з використанням зазначених вище властивостей математичного очікування (у тис. р.):

б) Закон розподілу випадкової величини Х 2 має вигляд:

М(Х 2) = 0 ∙ 0,25 + 1 ∙ 0,2 + 9 ∙ 0,1 + 16 ∙ 0,1 + 25 ∙ 0,1 + 36 ∙ ∙0,05 + 49 ∙ 0,05 + 64 ∙ 0,025 + 81 ∙ 0,025 = 13,475.

Математичне очікування М(Х) = 2,675. Отже, отримуємо шукану величину дисперсії:

Завдання 7. Випадкова величина Xзадана на всій осі функцією розподілу
. Знайти функцію щільності ймовірності та ймовірність того, що Xприйме значення, укладене в інтервалі ( 0,1 ).

Рішення. За визначенням

Корисно супроводити розв'язання задачі рис.4.

З адача 8. Функції розподілу випадкової величини має вигляд, зображений на рис.5.

Знайти: a)функцію щільності ймовірності; б) дивлячись на графік F(x), вказати основні особливості випадкової величини, наприклад, інтервал можливих значень, найімовірніші значення тощо; в) M(X), D(X) ; г) P(X 2 ) . Тоді ймовірність того, що деталь придатна, дорівнює

Виготовлення деталі розглядаємо як незалежний досвід з ймовірністю успіху p=0,31 . Тоді необхідна кількість деталей визначається із співвідношення

Завдання 1.У лотереї розігрується: автомобіль вартістю 5000 грош. од., 4 телевізори вартістю 250 ден. од., 5 відеомагнітофонів вартістю 200 ден. од. Усього продається 1000 квитків по 7 ден. од. Скласти закон розподілу чистого виграшу, отриманого учасником лотереї, який купив один квиток.

Рішення.Можливі значення випадкової величини Х – чистого виграшу однією квиток – рівні 0 – 7 = -7 ден. од. (якщо квиток не виграв), 200 - 7 = 193, 250 - 7 = 243, 5000 - 7 = = 4993 ден. од. (якщо на квиток випав виграш відповідно до відеомагнітофона, телевізора або автомобіля). Враховуючи, що з 1000 квитків кількість тих, хто не виграв, становить 990, а вказаних виграшів відповідно 5, 4 і 1, і використовуючи класичне визначення ймовірності, отримаємо:

тобто. ряд розподілу

Завдання 2.Імовірність того, що студент здасть семестровий іспит у сесію з дисциплін Аі Б, Дорівнюють відповідно 0,7 і 0,9. Скласти закон розподілу числа семестрових іспитів, які складе студент.

Рішення. Можливі значення випадкової величини Х- Число зданих іспитів - 0, 1, 2.

Нехай A i– подія, яка полягає в тому, що студент здасть i-й іспит ( i= 1,2). Тоді ймовірність того, що студент здасть у сесію 0,1,2 іспиту, будуть відповідно рівними (вважаємо події А 1 і А 2 незалежними):

Отже ряд розподілу випадкової величини

Завдання 3.Обчислити М(Х)для випадкової величини Х- Чистого виграшу за даними завдання 1.

тобто. середній виграш дорівнює нулю. Отриманий результат означає, що весь прибуток від продажу квитків йде на виграші.

Завдання 4.Відомі закони розподілу випадкових величин Xі Y– числа очок, що вибиваються 1-м та 2-м стрілками.

Необхідно з'ясувати, який із двох стрільців стріляє краще.

Розглядаючи ряди розподілу випадкових величин Xі Y, відповісти на це питання далеко не просто через безліч числових значень, До того ж у першого стрілка досить великі ймовірності (наприклад, більше 0,1) мають крайні значення числа очок, що вибиваються ( X= 0; 1 і X= 9; 10), а у другого стрілка – проміжні значення ( Y = 4; 5; 6).

Очевидно, що із двох стрільців краще стріляє той, хто в середньому вибиває більшу кількість очок.

тобто середнє число очок, що вибиваються, у двох стрільців однакове.

Завдання 5.У задачі 4 обчислити дисперсію та середнє квадратичне відхилення числа вибитих очок для кожного стрілка.

Отже, при рівності середніх значень числа очок, що вибиваються ( M(X)=M(Y)) його дисперсія, тобто. характеристика розсіювання щодо середнього значення, менша у другого стрілка ( D(X)

Переконуємось, що

Враховуючи, що закон розподілу випадкової величини X біноміальниймаємо

Завдання 7.Ряд розподілу дискретної випадкової величини і двох невідомих значень. Імовірність того, що випадкова величина набуде одного з цих значень дорівнює 0,8. Знайти функцію розподілу випадкової величини, якщо її математичне очікування 3,2, а дисперсія 0,16.

Рішення.Ряд розподілу має вигляд

або

Вирішуючи отриману систему, знаходимо два рішення:

і

Записуємо вираз функції розподілу:

або

Завдання 8.Дано функцію розподілу випадкової величини X:

а) Знайти густину ймовірності f(x); б) побудувати графіки f(x) та F(x); в) переконатися, що X- Безперервна випадкова величина; г) знайти ймовірності P(X=1), P(X

Завдання 10.Банк видав позички nрізним позичальникам у розмірі Sнар. кожному під ставку позичкового відсотка r. Знайти а) математичне очікування та дисперсію прибутку банку, а також умова на ставку позичкового відсотка, якщо ймовірність повернення позики позичальником дорівнює p; б) математичне очікування та середнє квадратичне відхилення прибутку при n =1000, p =0,8, S= 100 тис. н. і r = 30%.

Рішення.а) Оскільки позичальники між собою не пов'язані, можна вважати, що ми маємо nнезалежних випробувань. Імовірність втрати позички банку в кожному випробуванні дорівнює q = = 1 – p. Нехай X– кількість позичальників, які повернули позику із позичковим відсотком, тоді прибуток банку визначається формулою

де Xє випадковою величиною із біноміальним законом розподілу.

Оскільки видача позички має сенс лише за позитивного математичного очікування прибутку (позитивна середня величина прибутку), то умови М(П) > 0 випливає умова ставку позичкового відсотка:

б) Ставка позичкового відсотка задовольняє умові, щоб математичне очікування прибутку було позитивним: 30 >100(1 – 0,8)/0,8. Математичне очікування прибутку:

100 ∙ 1000(30 ∙ 0,8/100 – 0,2) = 4 млн. р.

Середнє квадратичне відхилення прибутку:

Завдання 1. У партії з 25 шкіряних курток 5 мають прихований дефект. Купують 3 куртки. Знайти закон розподілу числа дефектних курток серед куплених. Побудувати багатокутник розподілу.

Завдання 2.Імовірність того, що при складанні бухгалтерського балансу припущено помилку, дорівнює 0,3. Аудитору на висновок представлено 3 баланси підприємства. Скласти закон розподілу числа позитивних висновків на баланси, що перевіряються.

Завдання 3.Два покупці незалежно один від одного роблять по одній покупці. Імовірність того, що покупку зробить перший покупець, дорівнює 0,8, а ймовірність того, що другий – 0,6. Випадкова величина Х- Число покупок, зроблених покупцями. Описати закон розподілу випадкової величини Х.

Завдання 4.Два консервні заводи поставляють продукцію в магазин у пропорції 2:3. Частка продукції найвищої якості першому заводі становить 90%, але в другому – 80%. У магазині куплено 3 банки консервів. Знайти математичне очікування та середнє квадратичне відхилення числа банок з продукцією найвищої якості.

Завдання 5.Щільність ймовірності безперервної випадкової величини Хзадана в інтервалі (–π/2; π/2) функцією
Поза цим інтервалом
Знайти параметр Зта визначити ймовірність влучення випадкової величини Хв інтервал (0; π/4).

Завдання 6.Випадкова величина Хзадана щільністю ймовірності
при – ∞

4)M(X) = 2,519, σ( X) ≈ 0,64; 5)C = 1/2; 6)
7)M x= =1ч., D x= 1/3 год 2; 8) x = 48,8 р.

СМОЛЕНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ЗА ТЕОРІЮ МОЖЛИВОСТЕЙ

Граничні теореми теорії ймовірностей.

Для будь-якої випадкової величини, яка має математичне очікування та дисперсію, справедлива нерівність Чебишева:

P(| X— a|> ε )≤
(1)

P(| X— a|≤ ε )≥ 1-

Теорема Чебишева : Якщо дисперсії nнезалежних випадкових величин X 1 , X 2 . X nобмежені однієї і тієї ж постійної, то при необмеженому збільшенні числа nсередня арифметична випадкова величина сходиться ймовірно до середньої арифметичної їх математичних очікувань, тобто.

Наслідок:Якщо незалежні випадкові величини X 1 , X 2 . X nмають однакові математичні очікування, рівні a, які дисперсії обмежені однієї й тієї ж постійної, то нерівність Чебишева і теорема Чебышева набудуть:

Теорема Бернуллі : Відносна частота подій nповторних незалежних випробуваннях, у кожному з яких воно може статися з однією і тією самою ймовірністю p, при необмеженому збільшенні числа nсходиться ймовірно до ймовірності pцієї події в окремому випробуванні:

Центральна гранична теорема для однаково розподілених величин : Якщо X 1 , X 2 . X n- незалежні випадкові величини, у яких існують рівні математичні очікування M[ X i ] =a, дисперсії D[ X i ]= a 2 та абсолютні центральні моменти третього порядку M(| X i — a i | 3 )= m i , (
) , то закон розподілу суми Y n = X 1 + X 2 +. + X nпри
необмежено наближається до нормального. Зокрема, якщо всі випадкові величини X iоднаково розподілені, то закон розподілу їх суми необмежено наближається до нормального закону
.

Локальна теорема Муавра-Лапласа : Якщо ймовірність pнастання події Aу кожному випробуванні постійна та відмінна від 0 і 1, то ймовірність P m , nтого, що подія Aстанеться mраз на nнезалежних випробуваннях при досить великій кількості n, приблизно дорівнює

,

.

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа : Якщо ймовірність pнастання події Aу кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, то ймовірність того, що число mнастання події Aв nнезалежних випробуваннях укладено в межах від aдо b(включно), при досить великій кількості nприблизно дорівнює

–

функція (або інтеграл ймовірностей) Лапласа;

,
.

Мета заняття : 1. Домогтися засвоєння умов застосування центральної граничної теореми.

2. Закріпити навички обчислення ймовірностей, пов'язаних із нормальним законом розподілу.

3. Навчити студентів розпізнавати вияв закону великих чисел.

До заняття з цієї теми мають бути підготовлені відповіді такі вопросы:

У чому суть закону великих чисел?

Яке практичне та теоретичне значення має нерівність Чебишева?

Яке практичне значення має теорема Чебишева?

Пояснити, користуючись теоремою Бернуллі, властивість стійкості відносних частот.

У чому полягає суть центральної граничної теореми теорії ймовірностей?

Завдання 1.Середня витрата води на тваринницькій фермі становить 1000 л на день, а середнє відхилення цієї випадкової величини не перевищує 200 л. Оцінити ймовірність того, що витрата води на фермі будь-якого обраного дня не перевищить 2000 л, використовуючи нерівність Чебишева.

Рішення.Дисперсія D(X)=σ 2 ≤200 2 . Оскільки межі інтервалу 0≤X≤2000 симетричні щодо математичного очікування М (Х) = 1000, то оцінки ймовірності шуканої події можна застосувати нерівність Чебишева.

,

тобто. не менше ніж 0,96.

Завдання 2.За статистичними даними, у середньому 87% новонароджених доживають до 50 років. За допомогою нерівності Чебишева оцінити ймовірність того, що з 1000 новонароджених частка тих, хто дожив до 50 років, відрізнятиметься від ймовірності цієї події не більше, ніж на 0,04 (за абсолютною величиною).

,

тобто. не менше ніж на 0,929.

Завдання 3.Для визначення середньої тривалості горіння електроламп у партії із 200 однакових ящиків було взято на вибірку по одній лампі з кожної ящика. Оцінити ймовірність того, що середня тривалість горіння відібраних 200 електроламп відрізняється від середньої тривалості горіння ламп у всій партії не більше ніж на 5 годин (за абсолютною величиною), якщо відомо, що середнє квадратичне відхилення тривалості горіння ламп у кожній ящику менше 7 годин.

Знаходимо ймовірність події, що шукається

,

тобто. не менше ніж 0,9902.

Завдання 4.Скільки треба провести вимірів даної величини, щоб з ймовірністю не менше 0,95 гарантувати відхилення середньої арифметичної цих вимірів від справжнього значення величини не більше ніж на 1 (за абсолютною величиною), якщо середнє квадратичне відхилення кожного з вимірів не перевищує 5?

Необхідно знайти n, при якому

.

Застосуємо нерівність Чебишева:

, звідки

і при
, тобто. потрібно не менше 500 вимірів.

Завдання 5.Поїзди метро йдуть з інтервалом 2 хвилини. Кожен із пасажирів незалежно від інших приходить на платформу у випадковий момент часу. В даний поїзд село 75 пасажирів. Яка ймовірність того, що їхній сумарний час очікування буде укладений у межах від однієї до двох з половиною годин?

Рішення.Позначимо час очікування i-го пасажира через X i. Природно припускати, що рівноможливий прихід пасажира в будь-який момент між поїздами. Формально це означає, що X iмає рівномірний закон розподілу з функцією щільності ймовірності

f(x) =

Тоді
і

Сумарний час очікування Y=∑ X iє сумою більшої кількості незалежних однаково розподілених випадкових величин з обмеженими дисперсіями. З огляду на центральну граничну теорему можна стверджувати, що Yмає закон розподілу, близький до нормального. Нормальний закон розподілу визначається математичним очікуванням та дисперсією. Підрахуємо їх.

N(75,25) . У завданні потрібно обчислити

Завдання 6.Стрілець потрапляє в десятку з ймовірністю 0,4 , о дев'ятці — з ймовірністю 0,3 , у вісімку - з ймовірністю 0,2 , у сімку — з ймовірністю 0,1 . Яка ймовірність того, що при 25 пострілах стрілок з 250 окулярів виб'є від 220 до 240 окулярів?

Рішення.Нехай при i-м пострілі стрілок набирає X iокулярів. Величини X iнезалежні та мають однаковий розподіл

Сума очок Y= будучи сумою великої кількості незалежних однаково розподілених доданків з обмеженими дисперсіями, має закон розподілу близький до нормального, параметри якого

N(225,25) і P(220 2 ). Яка ймовірність того, що при одному вимірі помилка не перевищить 1 мк? Для підвищення точності вимірювання зроблено 25 вимірювань, як вимірюваної величини взято середнє арифметичне значень, що спостерігаються. Яка в цьому випадку ймовірність того, що помилка не перевершить 1 мк? (Вказівка: скористатися фактом стійкості нормального закону розподілу.) Визначити останню ймовірність, якщо закон розподілу помилки виміру невідомий, а відома лише її дисперсія рівна 4 мк 2 .

Рішення.Нехай Х– помилка виміру. Тоді

Якщо закон розподілу помилки виміру невідомий, то з нерівності Чебишева:

Р(|  0 | 1 , то справедливі обидві теореми Муавра - Лапласа.

а) За локальною теоремою Муавра – Лапласа

б) Випадкова величина Х має сенс відносної частоти успіхів у nдослідах, причому D

Так як у досвіді Пірсона було отримано відхилення відносної частоти успіхів від ймовірності успіху в одному досвіді, що дорівнює
то відповідно до інтегральної теореми Муавра – Лапласа

Завдання 1.У середньому 10% працездатного населення певного регіону – безробітні. Оцінити за допомогою нерівності Чебишева ймовірність того, що рівень безробіття серед обстежених 10 000 працездатних жителів міста буде в межах від 9 до 11% (включно).

Завдання 2.Досвід роботи страхової компанії показує, що страховий випадок посідає приблизно кожен п'ятий договір. Оцінити за допомогою нерівності Чебишева необхідну кількість договорів, які слід укласти, щоб із ймовірністю 0,9 можна було стверджувати, що частка страхових випадків відхилиться від 0,1 не більше ніж на 0,01 (за абсолютною величиною).

Завдання 3.При обстеженні статутних фондів банків встановлено, що частина банків мають статутний фонд понад 100 млн. крб. Знайти ймовірність того, що серед 1800 банків мають статутний фонд понад 100 млн руб.: а) не менше 300; б) від 300 до 400 включно.

Завдання 4.Імовірність того, що дилер, який торгує цінними паперами, продасть їх, дорівнює 0,7. Скільки має бути цінних паперів, щоб можна було стверджувати з ймовірністю 0,996, що частка проданих серед них відхилиться від 0,7 не більше ніж на 0,04 (за абсолютною величиною)?

Завдання 5.У страхової компанії є 10 000 клієнтів. Кожен із них, страхуючись від нещасного випадку, вносить 500 руб. Імовірність нещасного випадку 0,0055, а страхова сума, що виплачується потерпілому, становить 50 000 руб. Яка ймовірність того, що: а) страхова компанія зазнає збитків; б) на виплату страхових сум піде більше половини всіх коштів, що надійшли від клієнтів?

Це цікаво:

• Знаходження межі функції в точці за правилом Лопіталя Знаходження межі функції за правилом Лопіталя, що розкриває невизначеності виду 0/0 і ∞/∞. Калькулятор нижче знаходить межу функції за правилом Лопіталя (через похідні […]
• Математичний портал Nav view search Navigation Ви тут: Home Математичний аналіз Правило Лопіталя Правило Лопіталя. Теорема (правило Лопіталя розкриття невизначеностей виду $ frac $ або $ frac $). Нехай функції […]
• Правила акції "Відкриваємо другий мільйон!" >> Крок 1. Отримати промо-код Отримати промо-код учасника можна на сайті kia.ru або безпосередньо в офіційних дилерських центрах KIA: Для отримання промо-коду на сайті kia.ru необхідно […]
• Запит по морським судам Порядок присвоєння назв морським судам ЗАТВЕРДЖЕНО наказом Мінтрансу Росії від 20 серпня 2009 р. № 141 ПОЛОЖЕННЯ про порядок присвоєння назв морським судам I. Загальні положення 1. Положення про порядок […]