Дискретна випадкова величина, закон розподілу імовірностей. Приклади розв'язання задач на тему «Випадкові величини

Визначення 1

Випадкова величина $Х$ називається дискретною (перервною), якщо безліч її значень нескінченне чи кінцеве, але лічильне.

Іншими словами, величина називається дискретною, якщо її значення можна занумерувати.

Описати випадкову величину можна за допомогою закону розподілу.

Закон розподілу дискретної випадкової величини $Х$ може бути заданий у вигляді таблиці, у першому рядку якої вказані всі можливі значення випадкової величини в порядку зростання, а у другому рядку відповідні ймовірності цих значень:

Малюнок 1.

де $ р1 + р2 + ... + Рn = 1 $.

Дана таблиця є поряд розподілу дискретної випадкової величини.

Якщо безліч можливих значень випадкової величини нескінченно, то ряд $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ сходиться і його сума дорівнюватиме $1$.

Закон розподілу дискретної випадкової величини $Х$ можна уявити графічно, навіщо у системі координат (прямокутної) будують ламану лінію, яка послідовно з'єднує точки з координатами $(xi;pi), i=1,2, ... n$. Лінію, яку отримали багатокутником розподілу.

Малюнок 2.

Закон розподілу дискретної випадкової величини $Х$ може бути представлений аналітично (за допомогою формули):

$ P (X = xi) = \ varphi (xi), i = 1,2,3 ... n $.

Дії над дискретними ймовірностями

При вирішенні багатьох завдань теорії ймовірності необхідно проводити операції множення дискретної випадкової величини на константу, додавання двох випадкових величин, їх множення, піднесення до ступеня. У цих випадках необхідно дотримуватись таких правил над випадковими дискретними величинами:

Визначення 3

множеннямдискретної випадкової величини $X$ на константу $K$ називається дискретна випадкова величина $Y=KX,$ яка обумовлена ​​рівностями: $y_i=Kx_i, \ p\left(y_i\right)=p\left(x_i\right)= p_i, \ \ i = \ overline (1, \ n).

Визначення 4

Дві випадкові величини $x$ і $y$ називаються незалежнимиякщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі значення набула друга величина.

Визначення 5

Сумоюдвох незалежних дискретних випадкових величин $X$ і $Y$ називають випадкову величину $Z=X+Y,$ обумовлена ​​рівностями: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij)\right)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Визначення 6

множеннямдвох незалежних дискретних випадкових величин $X$ і $Y$ називають випадкову величину $Z=XY,$ обумовлена ​​рівностями: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right)=P\left( x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\left(x_i\right )=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Візьмемо до уваги, що деякі твори $x_(i\\\\)y_j$ можуть бути рівними між собою. У такому разі ймовірність додавання твору дорівнює сумі відповідних ймовірностей.

Наприклад, якщо $x_2\y_3=x_5\y_7,\$то ймовірність $x_2y_3$ (або теж саме $x_5y_7$) дорівнюватиме $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7.$

Сказане вище стосується також суми. Якщо $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ то ймовірність $x_1+\ y_2$ (або теж саме $x_4+\ y_6$) дорівнюватиме $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6.$

Пусні випадкові величини $X$ і $Y$ задані законами розподілу:

Малюнок 3.

Де $p_1+p_2+p_3=1, \ \ p"_1+p"_2=1.$ Тоді закон розподілу суми $X+Y$ матиме вигляд

Малюнок 4.

А закон розподілу твору $XY$ матиме вигляд

Малюнок 5.

Фунція розподілу

Повний опис випадкової величини також дає функція розподілу.

Геометрично функція розподілу пояснюється як ймовірність того, що випадкова величина $Х$ набуває значення, яке на числовій прямій зображується точкою, що лежить зліва від точки $х$.

Одним із найважливіших понять теорії ймовірностей є поняття випадкової величини.

Випадковийназивають величину, що приймає в результаті випробувань ті чи інші можливі значення, наперед невідомі та залежать від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути враховані.

Випадкові величини позначаються великими літерами латинського алфавіту X, Y, Zі т. д. або великими літерами латинського алфавіту з правим нижнім індексом , а значення, які можуть набувати випадкові величини - відповідними малими літерами латинського алфавіту x, y, zі т.д.

Поняття випадкової величини тісно пов'язане із поняттям випадкової події. Зв'язок із випадковою подієюполягає в тому, що прийняття випадковою величиною деякого числового значення є випадковою подією, що характеризується ймовірністю .

Насправді зустрічаються два основних типи випадкових величин:

1. Дискретні випадкові величини;

2. Безперервні випадкові величини.

Випадковою величиною називається числова функція випадкових подій.

Наприклад, випадковою величиною є кількість очок, що випали під час кидання гральної кістки, або зростання випадково обраного з навчальної групи студента.

Дискретними випадковими величинаминазиваються випадкові величини, що приймають лише віддалені один від одного значення, які можна заздалегідь перерахувати.

Закон розподілу(функція розподілу та ряд розподілу чи щільність ймовірності) повністю описують поведінку випадкової величини. Але в ряді завдань достатньо знати деякі числові характеристики досліджуваної величини (наприклад, її середнє значення та можливе відхилення від нього), щоб відповісти на поставлене запитання. Розглянемо основні числові характеристики дискретних випадкових величин.

Законом розподілу дискретної випадкової величининазивається всяке співвідношення , встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини відповідними їм ймовірностями .

Закон розподілу випадкової величини може бути поданий у вигляді таблиці:

Сума ймовірностей всіх можливих значень випадкової величини дорівнює одиниці, тобто.

Закон розподілу можна зобразити графічно: осі абсцис відкладають можливі значення випадкової величини, а по осі ординат - ймовірності цих значень; отримані точки з'єднують відрізками. Побудована ламана називається багатокутником розподілу.

приклад. Мисливець, що має 4 патрони, стріляє по дичині до першого влучення або витрачання всіх патронів. Імовірність влучення при першому пострілі дорівнює 0,7, при кожному наступному пострілі зменшується на 0,1. Скласти закон розподілу числа набоїв, витрачених мисливцем.

Рішення.Оскільки мисливець, маючи 4 патрони, може зробити чотири постріли, то випадкова величина X- число патронів, витрачених мисливцем, може набувати значень 1, 2, 3, 4. Для знаходження відповідних їм ймовірностей введемо події:

- “попадання при i -ом пострілі”, ;

- “Промах при i -ом пострілі”, причому події і - попарно незалежні.

Відповідно до умови завдання маємо:

,

По теоремі множення для незалежних подій та теоремі складання для несумісних подій знаходимо:

(Мисливець потрапив у ціль з першого пострілу);

(Мисливець потрапив у ціль з другого пострілу);

(Мисливець потрапив у ціль з третього пострілу);

(Мисливець потрапив у ціль з четвертого пострілу або промахнувся всі чотири рази).

Перевірка: - Правильно.

Таким чином, закон розподілу випадкової величини Xмає вигляд:

приклад.Робочий обслуговує три верстати. Імовірність того, що протягом години перший верстат не потребуватиме регулювання – 0,9, другий – 0,8, третій – 0,7. Скласти закон розподілу числа верстатів, які протягом години вимагатимуть регулювання.

Рішення.Випадкова величина X- Число верстатів, які протягом години вимагають регулювання, може приймати значення 0,1, 2, 3. Для знаходження відповідних їм ймовірностей введемо події:

- “i- ий верстат протягом години вимагатиме регулювання”, ;

- “i- ий верстат протягом години не вимагатиме регулювання”, .

За умовою завдання маємо:

, .

На цій сторінці ми зібрали приклади рішення навчальних задач про дискретні випадкові величини. Це досить широкий розділ: вивчаються різні закони розподілу (біноміальний, геометричний, гіпергеометричний, Пуассон та інші), властивості та числові характеристики, для кожного ряду розподілу можна будувати графічні уявлення: полігон (багатокутник) ймовірностей, функцію розподілу.

Нижче ви знайдете приклади рішень про дискретні випадкові величини, в яких потрібно застосувати знання з попередніх розділів теорії ймовірностей для складання закону розподілу, а потім обчислити математичне очікування, дисперсію, середнє відхилення, побудувати функцію розподілу, дати відповіді на питання про ДСВ і т.д. п.

Приклади для популярних законів розподілу ймовірностей:

Калькулятори на характеристики ДСВ

• Обчислення математичного очікування, дисперсії та середнього квадратичного відхилення ДСВ.

Вирішені завдання про ДСВ

Розподіли, близькі до геометричного

Завдання 1.На шляху руху автомашини 4 світлофори, кожен із яких забороняє подальший рух автомашини з ймовірністю 0,5. Знайти низку розподілу числа світлофорів, пройдених машиною до першої зупинки. Чому рівні математичне очікування та дисперсія цієї випадкової величини?

Завдання 2.Мисливець стріляє по дичині до першого влучення, але встигає зробити не більше чотирьох пострілів. Скласти закон розподілу числа промахів, якщо ймовірність влучення в ціль за одного пострілу дорівнює 0,7. Знайти дисперсію цієї випадкової величини.

Завдання 3.Стрілець, маючи 3 патрони, стріляє в ціль до першого влучення. Імовірності влучення при першому, другому та третьому пострілах відповідно 0,6, 0,5, 0,4. С.В. $\xi$ - кількість патронів, що залишилися. Скласти ряд розподілу випадкової величини, знайти математичне очікування, дисперсію, середнє квадратичне відхилення С.В., Побудувати функцію розподілу С.В., Знайти $ P (|

Завдання 4.У ящику міститься 7 стандартних та 3 бракованих деталі. Виймають деталі послідовно до появи стандартної, не повертаючи їх назад. $\xi$ - кількість вилучених бракованих деталей.
Скласти закон розподілу дискретної випадкової величини $xi, обчислити її математичне очікування, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, накреслити багатокутник розподілу та графік функції розподілу.

Завдання з незалежними подіями

Завдання 5.На переекзаменування з теорії ймовірностей з'явилися 3 студенти. Імовірність того, що перший складе іспит, дорівнює 0,8, другий - 0,7, третій - 0,9. Знайдіть ряд розподілу випадкової величини $\xi$ числа студентів, які склали іспит, побудуйте графік функції розподілу, знайдіть $М(\xi), D(\xi)$.

Завдання 6.Імовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,8 і зменшується з кожним пострілом на 0,1. Скласти закон розподілу числа влучень у ціль, якщо зроблено три постріли. Знайти математичне очікування, дисперсію та С.К.О. цієї випадкової величини. Побудувати графік функції розподілу.

Завдання 7.За метою виконується 4 постріли. Імовірність влучення при цьому зростає так: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Знайти закон розподілу випадкової величини $X$ - числа влучень. Знайти ймовірність, що $X \ge 1$.

Завдання 8.Підкидаються дві симетричні монети, підраховується кількість гербів на обох верхніх сторонах монет. Розглядається дискретна випадкова величина $ X $ - число випадань гербів обох монетах. Записати закон розподілу випадкової величини $X$, знайти її математичне очікування.

Інші завдання та закони розподілу ДСВ

Завдання 9.Два баскетболісти роблять по три кидки в кошик. Імовірність влучення для першого баскетболіста дорівнює 0,6, для другого – 0,7. Нехай $X$ - різниця між числом вдалих кидків першого та другого баскетболістів. Знайти ряд розподілу, моду та функцію розподілу випадкової величини $X$. Побудувати багатокутник розподілу та графік функції розподілу. Обчислити математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення. Знайти ймовірність події $(-2 \lt X \le 1)$.

Завдання 10.Число іногородніх суден, що прибувають щодня під навантаження у певний порт – випадкова величина $X$, задана так:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
А) переконайтеся, що заданий ряд розподілу,
Б) знайдіть функцію розподілу випадкової величини $X$,
В) якщо в даний день прибуває більше трьох суден, то порт бере на себе відповідальність за витрати внаслідок необхідності наймати додаткових водіїв та вантажників. Чому дорівнює можливість того, що порт понесе додаткові витрати?
Г) знайдіть математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини $X$.

Завдання 11.Вкидають 4 гральні кістки. Знайти математичне очікування на суму очок, які випадуть на всіх гранях.

Завдання 12.Двоє по черзі кидають монету до першої появи герба. Гравець, у якого випав герб, отримує від іншого гравця 1 карбованець. Знайти математичне очікування на виграш кожного гравця.

Випадковою величиноюназивають змінну величину, яка в результаті кожного випробування набуває одного заздалегідь невідомого значення, що залежить від випадкових причин. Випадкові величини позначають великими латинськими літерами: $ X, \ Y, Z, \ dots $ За своїм типом випадкові величини можуть бути дискретнимиі безперервними.

Дискретна випадкова величина- це така випадкова величина, значення якої можуть бути не більш ніж лічильними, тобто або кінцевими, або лічильними. Під рахунком мається на увазі, що значення випадкової величини можна занумерувати.

Приклад 1 . Наведемо приклади дискретних випадкових величин:

а) число попадань у мішень при $n$ пострілах, тут можливі значення $0, 1, dots, n $.

б) число гербів, що випали при підкиданні монети, тут можливі значення $0, 1, dots, n $.

в) число кораблів, що прибули на борт (лічильна безліч значень).

г) кількість викликів, що надходять на АТС (численна кількість значень).

1. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини.

Дискретна випадкова величина $X$ може приймати значення $x_1,\dots,\x_n$ з ймовірностями $p\left(x_1\right),\dots,\p\left(x_n\right)$. Відповідність між цими значеннями та їх ймовірностями називається законом розподілу дискретної випадкової величини. Як правило, ця відповідність задається за допомогою таблиці, у першому рядку якої вказують значення $x_1, \ dots , \ x_n $, а в другому рядку відповідні цим значенням ймовірності $ p_1, \ dots , \ p_n $.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(array)$

Приклад 2 . Нехай випадкова величина $X$ - кількість очок, що випали при підкиданні грального кубика. Така випадкова величина $X$ може приймати наступні значення $1, 2, 3, 4, 5, 6 $. Імовірності всіх цих значень дорівнюють $1/6$. Тоді закон розподілу ймовірностей випадкової величини $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Зауваження. Оскільки в законі розподілу дискретної випадкової величини $X$ події $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ утворюють повну групу подій, то в сумі ймовірності повинні дорівнювати одиниці, тобто $ \ sum (p_i) = 1 $.

2. Математичне очікування дискретної випадкової величини.

Математичне очікування випадкової величинизадає її "центральне" значення. Для дискретної випадкової величини математичне очікування обчислюється як сума творів значень $x_1,\dots ,\ x_n$ на відповідні цим значенням імовірності $p_1,\dots ,\ p_n$, тобто $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. В англомовній літературі використовують інше позначення $ E \ left (X \ right) $.

Властивості математичного очікування$M\left(X\right)$:

1. $M\left(Xright)$ укладено між найменшим і найбільшим значеннями випадкової величини $X$.
2. Математичне очікування від константи дорівнює самій константі, тобто. $M\left(Cright)=C$.
3. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування: $ M \ left (CX \ right) = CM \ left (X \ right) $.
4. Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань: $ M \ left (X + Y \ right) = M \ left (X \ right) + M \ left (Y \ right) $.
5. Математичне очікування твору незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань: $ M \ left (XY \ right) = M \ left (X \ right) M \ left (Y \ right) $.

Приклад 3 . Знайдемо математичне очікування випадкової величини $X$ із прикладу $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 ) \ over (6)) = 3,5. $ $

Можемо помітити, що $M\left(X\right)$ укладено між найменшим ($1$) і найбільшим ($6$) значеннями випадкової величини $X$.

Приклад 4 . Відомо, що математичне очікування випадкової величини $ X $ дорівнює $ M \ left (X \ right) = 2 $. Знайти математичне очікування випадкового розміру $3X+5$.

Використовуючи вищевказані властивості, отримуємо $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2 +5 = 11 $.

Приклад 5 . Відомо, що математичне очікування випадкової величини $ X $ дорівнює $ M \ left (X \ right) = 4 $. Знайти математичне очікування випадкової величини $2X-9$.

Використовуючи вищевказані властивості, отримуємо $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4 -9 = -1 $.

3. Дисперсія дискретної випадкової величини.

Можливі значення випадкових величин із рівними математичними очікуваннями можуть по-різному розсіюватися навколо своїх середніх значень. Наприклад, у двох студентських групах середній бал за іспит з теорії ймовірностей виявився рівним 4, але в одній групі всі виявилися хорошистами, а в іншій групі - лише трієчники та відмінники. Тому виникає потреба у такій числовій характеристиці випадкової величини, яка б показувала розкид значень випадкової величини навколо свого математичного очікування. Такою характеристикою є дисперсія.

Дисперсія дискретної випадкової величини$X$ дорівнює:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

В англомовній літературі використовуються позначення $ V \ left (X \ right), \ Var \ left (X \ right) $. Дуже часто дисперсію $D\left(X\right)$ обчислюють за формулою $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\left(X) \right)\right))^2$.

Властивості дисперсії$D\left(X\right)$:

1. Дисперсія завжди більша чи дорівнює нулю, тобто. $ D \ left (X \ right) \ ge 0 $.
2. Дисперсія від константи дорівнює нулю, тобто. $ D \ left (C \ right) = 0 $.
3. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії за умови зведення їх у квадрат, тобто. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій, тобто. $ D \ left (X + Y \ right) = D \ left (X \ right) + D \ left (Y \ right) $.
5. Дисперсія різниці незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій, тобто. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Приклад 6 . Обчислимо дисперсію випадкової величини $X$ із прикладу $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\approx 2,92.$$

Приклад 7 . Відомо, що дисперсія випадкової величини $ X $ дорівнює $ D left (X right) = 2 $. Знайти дисперсію випадкової величини $4X+1$.

Використовуючи вищезазначені властивості, знаходимо $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\ left (X right) = 16 cdot 2 = 32 $.

Приклад 8 . Відомо, що дисперсія випадкової величини $ X $ дорівнює $ D \ left (X \ right) = 3 $. Знайти дисперсію випадкової величини $3-2X$.

Використовуючи вищевказані властивості, знаходимо $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\ left (X \ right) = 4 \ cdot 3 = 12 $.

4. Функція розподілу дискретної випадкової величини.

Спосіб подання дискретної випадкової величини у вигляді ряду розподілу не єдиний, а головне він не є універсальним, оскільки безперервну випадкову величину не можна задати за допомогою ряду розподілу. Існує ще один спосіб подання випадкової величини – функція розподілу.

Функцією розподілувипадкової величини $X$ називається функція $F\left(x\right)$, яка визначає ймовірність того, що випадкова величина $X$ прийме значення, менше деякого фіксованого значення $x$, тобто $F\left(x\right )=P\left(X< x\right)$

Властивості функції розподілу:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Імовірність того, що випадкова величина $X$ прийме значення з інтервалу $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, дорівнює різниці значень функції розподілу на кінцях цього інтервалу: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $ F \ left (x \ right) $ - Незменшується.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right) = 1 \) $.

Приклад 9 . Знайдемо функцію розподілу $F\left(xright)$ для закону розподілу дискретної випадкової величини $X$ з прикладу $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Якщо $x\le 1$, то, очевидно, $F\left(x\right)=0$ (у тому числі і при $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Якщо $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Якщо $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Якщо $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Якщо $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Якщо $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Якщо $ x > 6 $, то $ F \ left (x \ right) = P \ left (X = 1 \ right) + P \ left (X = 2 \ right) + P \ left (X = 3 \ right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Отже, $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6, при 1< x\le 2,\\
1/3, \ при 2< x\le 3,\\
1/2, при 3< x\le 4,\\
2/3,\ при 4< x\le 5,\\
5/6,\ при\ 4< x\le 5,\\
1, \ при x > 6.
\end(matrix)\right.$

Дано ряд розподілу дискретної випадкової величини. Знайти ймовірність і побудувати графік функції розподілу. Обчислити математичне очікування та дисперсію цієї величини.

Випадкова величина Х набирає лише чотири значення: -4, -3, 1 і 2. Кожне з цих значень вона приймає з певною ймовірністю. Оскільки сума всіх ймовірностей має дорівнювати 1, то недостатня ймовірність дорівнює:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Складемо функцію розподілу випадкової величини Х. Відомо, що функція розподілу , тоді:

Отже,

Побудуємо графік функції F(x) .

Математичне очікування дискретної випадкової величини дорівнює сумі творів значення випадкової величини відповідну ймовірність, тобто.

Дисперсію дискретної випадкової величини знайдемо за формулою:

ДОДАТОК

Елементи комбінаторики Тут: - Факторіал числа

Дії над подіями Подія – це будь-який факт, який може статися чи не статися внаслідок досвіду. Об'єднання подій Аі У- ця подія З, яка полягає у появі або події А, або події У, або обох подій одночасно. Позначення: ; Перетин подій Аі У- ця подія З, що полягає у одночасному появі обох подій. Позначення: ;

Класичне визначення ймовірності Ймовірність події А- Це відношення числа дослідів , які сприяють появі події Адо загальної кількості дослідів :

Формула множення ймовірностей Ймовірність події можна знайти за формулою: - ймовірність події А, - ймовірність події В, - ймовірність події Уза умови, що подія Авже сталося. Якщо події А та В – незалежні (поява одного не впливає на появу іншого), то ймовірність події дорівнює:

Формула складання ймовірностей Ймовірність події можна знайти за формулою: Ймовірність події А, Ймовірність події В, - ймовірність спільної появи подій Аі У. Якщо події А і В несумісні (не можуть з'явитися одночасно), то ймовірність події дорівнює:

Формула повної ймовірності Нехай подія Аможе статися одночасно з однією з подій , , …, - Назвемо їх гіпотезами. Також відомі - ймовірність виконання i-ой гіпотези та - ймовірність появи події А під час виконання i-ой гіпотези. Тоді ймовірність події Аможе бути знайдена за формулою:

Схема Бернуллі Нехай проводиться n незалежних випробувань. Ймовірність появи (успіху) події Ау кожному їх постійна і дорівнює p, ймовірність невдачі (тобто не появи події А) q = 1 - p. Тоді ймовірність появи kуспіхів у nвипробуваннях можна знайти за формулою Бернуллі: Найімовірніше число успіхів у схемі Бернуллі – це кількість появи деякої події, якій відповідає найбільша ймовірність. Можна знайти за формулою:

Випадкові величини дискретні безперервні (н-р, кількість дівчаток у сім'ї з 5 дітьми) (н-р, час справної роботи чайника) Числові характеристики дискретних випадкових величин Нехай дискретна величина задана поряд розподілу: Х Р , , …, - значення випадкової величини Х; , , …, - відповідні їм значення ймовірностей. Функція розподілу Функцією розподілу випадкової величини Хназивається функція , задана на всій числовій прямій і дорівнює ймовірності того, що Хбуде менше х:

Питання до іспиту

Подія. Операції над випадковими подіями.

Концепція ймовірності події.

Правила складання та множення ймовірностей. Умовні можливості.

Формула повної ймовірності. Формула Байєса.

Схема Бернуллі.

Випадкова величина, її функція розподілу та ряд розподілу.

Основні характеристики функції розподілу.

Математичне очікування. Властивості математичного очікування.

Дисперсія. Властивості дисперсії.

Щільність розподілу ймовірностей одновимірної випадкової величини.

Види розподілів: рівномірний, експоненціальний, нормальний, біноміальний та розподіл Пуассона.

Локальна та інтегральні теореми Муавра-Лапласа.

Закон та функція розподілу системи двох випадкових величин.

Щільність розподілу двох випадкових величин.

Умовні закони розподілу, умовне математичне очікування.

Залежні та незалежні випадкові величини. Коефіцієнт кореляції.

Вибірка. Обробка вибірки. Полігон та гістограма частот. Емпірична функція розподілу.

Поняття оцінки параметрів розподілу. Вимоги до оцінки. Довірчий інтервал. Побудова інтервалів для оцінки математичного очікування та середнього квадратичного відхилення.

Статистичні гіпотези. Критерії згоди.