Дисперсія розраховується. Розрахунок групової, міжгрупової та загальної дисперсії (за правилом складання дисперсій)

Основними узагальнюючими показниками варіації у статистиці є дисперсії та середнє квадратичне відхилення.

Дисперсія це середня арифметична квадратів відхилень кожного значення ознаки від загальної середньої. Дисперсія називається середнім квадратом відхилень і позначається  2 . Залежно від вихідних даних дисперсія може обчислюватися за середньою арифметичною простою або зваженою:

 дисперсія незважена (проста);

 дисперсія зважена.

Середнє квадратичне відхилення це узагальнююча характеристика абсолютних розмірів варіації ознаки у сукупності. Виражається воно у тих самих одиницях виміру, як і ознака (в метрах, тоннах, відсотках, гектарах тощо. буд.).

Середнє квадратичне відхилення являє собою квадратний корінь з дисперсії і позначається :

 середнє квадратичне відхилення незважене;

 середнє квадратичне відхилення зважене.

Середнє квадратичне відхилення є мірилом середньої надійності. Чим менше середнє квадратичне відхилення, тим краще середня арифметична відбиває всю сукупність, що представляється.

Обчислення середнього квадратичного відхилення передує розрахунок дисперсії.

Порядок розрахунку дисперсії зваженої наступний:

1) визначають середню арифметичну зважену:

2) розраховують відхилення варіантів від середньої:

3) зводять у квадрат відхилення кожного варіанта від середньої:

4) множать квадрати відхилень на ваги (частоти):

5) підсумовують отримані твори:

6) отриману суму ділять на суму ваг:

Приклад 2.1

Обчислимо середню арифметичну зважену:

Значення відхилень від середньої та його квадратів представлені у таблиці. Визначимо дисперсію:

Середнє квадратичне відхилення дорівнюватиме:

Якщо вихідні дані представлені у вигляді інтервального ряду розподілу , спочатку потрібно визначити дискретне значення ознаки, а потім застосувати викладений метод.

Приклад 2.2

Покажемо розрахунок дисперсії для інтервального ряду даних про розподіл посівної площі колгоспу за врожайністю пшениці.

Середня арифметична дорівнює:

Обчислимо дисперсію:

6.3. Розрахунок дисперсії за формулою за індивідуальними даними

Техніка обчислення дисперсії складна, а при великих значеннях варіантів та частот може бути громіздкою. Розрахунки можна спростити, використовуючи властивості дисперсії.

Дисперсія має такі властивості.

1. Зменшення або збільшення ваг (частот) варіюючої ознаки в кілька разів дисперсію не змінює.

2. Зменшення або збільшення кожного значення ознаки на ту саму постійну величину Адисперсію не змінює.

3. Зменшення або збільшення кожного значення ознаки в якесь число разів kвідповідно зменшує або збільшує дисперсію в k 2 рази середнє квадратичне відхилення  в kразів.

4. Дисперсія ознаки щодо довільної величини завжди більше дисперсії щодо середньої арифметичної на квадрат різниці між середньою та довільною величинами:

Якщо А 0, то приходимо до наступної рівності:

тобто дисперсія ознаки дорівнює різниці між середнім квадратом значень ознаки та квадратом середньої.

Кожна властивість при розрахунку дисперсії може бути застосована самостійно або у поєднанні з іншими.

Порядок розрахунку дисперсії простий:

1) визначають середню арифметичну :

2) зводять у квадрат середню арифметичну:

3) зводять у квадрат відхилення кожного варіанта ряду:

х i 2 .

4) знаходять суму квадратів варіантів:

5) ділять суму квадратів варіантів з їхньої число, т. е. визначають середній квадрат:

6) визначають різницю між середнім квадратом ознаки та квадратом середньої:

Приклад 3.1Є такі дані про продуктивність праці робочих:

Зробимо такі розрахунки:

Дисперсія у статистицізнаходиться як індивідуальних значень ознаки у квадраті від . Залежно від вихідних даних вона визначається за формулами простої та зваженої дисперсій:

1. (Для несгрупованих даних) обчислюється за формулою:

2. Зважена дисперсія (для варіаційного ряду):

де n - Частота (повторюваність фактора Х)

Приклад знаходження дисперсії

На цій сторінці описано стандартний приклад знаходження дисперсії, також Ви можете переглянути інші завдання на її знаходження

Приклад 1. Є такі дані щодо групи з 20 студентів заочного відділення. Потрібно побудувати інтервальний ряд розподілу ознаки, розрахувати середнє значення ознаки та вивчити його дисперсію

Побудуємо інтервальне угруповання. Визначимо розмах інтервалу за формулою:

де X max - максимальне значення групувального ознаки;
X min-мінімальне значення групувальної ознаки;
n – кількість інтервалів:

Приймаємо n=5. Крок дорівнює: h = (192 - 159) / 5 = 6,6

Складемо інтервальне угруповання

Для подальших розрахунків збудуємо допоміжну таблицю:

X'i - середина інтервалу. (наприклад, середина інтервалу 159 – 165,6 = 162,3)

Середню величину зростання студентів визначимо за формулою середньої арифметичної зваженої:

Визначимо дисперсію за такою формулою:

Формулу дисперсії можна перетворити так:

З цієї формули випливає, що дисперсія дорівнює різниці середньої з квадратів варіантів і квадрата та середньої.

Дисперсія у варіаційних рядахз рівними інтервалами за способом моментів може бути розрахована наступним способом при використанні другої властивості дисперсії (розділивши всі варіанти на величину інтервалу). Визначення дисперсії, обчисленої за способом моментів, за такою формулою менш трудомісткий:

де i – величина інтервалу;
А - умовний нуль, як який зручно використовувати середину інтервалу, що володіє найбільшою частотою;
m1 - квадрат моменту першого порядку;
m2 - момент другого порядку

(якщо в статистичній сукупності ознака змінюється так, що є тільки два варіанти, що взаємно виключають один одного, то така мінливість називається альтернативною) може бути обчислена за формулою:

Підставляючи до цієї формули дисперсії q =1- р, отримуємо:

Види дисперсії

Загальна дисперсіявимірює варіацію ознаки у всій сукупності загалом під впливом всіх чинників, що зумовлюють цю варіацію. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки х від загального середнього значення х може бути визначена як проста дисперсія або зважена дисперсія.

характеризує випадкову варіацію, тобто. частина варіації, яка обумовлена ​​впливом неврахованих факторів і не залежить від ознаки-фактора, покладеної в основу угруповання. Така дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи X від середньої арифметичної групи і може бути обчислена як проста дисперсія або зважена дисперсія.

Таким чином, внутрішньогрупова дисперсія вимірюєваріацію ознаки всередині групи та визначається за формулою:

де хі - групова середня;
ni – число одиниць у групі.

Наприклад, внутрішньогрупові дисперсії, які треба визначити в задачі вивчення впливу кваліфікації робітників на рівень продуктивності праці в цеху показують варіації виробітку в кожній групі, викликані всіма можливими факторами (технічний стан обладнання, забезпеченість інструментами та матеріалами, вік робітників, інтенсивність праці тощо) .), крім відмінностей у кваліфікаційному розряді (всередині групи всі робітники мають одну й ту саму кваліфікацію).

Середня з внутрішньо групових дисперсій відображає випадкову , тобто ту частину варіації, яка відбувалася під впливом всіх інших факторів, за винятком фактора угруповання. Вона розраховується за такою формулою:

Характеризує систематичну варіацію результативної ознаки, яка обумовлена ​​впливом ознаки-фактора, покладеного в основу угруповання. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень групових середніх від загальної середньої. Міжгрупова дисперсія розраховується за такою формулою:

Правило складання дисперсії у статистиці

Згідно правилу складання дисперсійзагальна дисперсія дорівнює сумі середньої із внутрішньогрупових та міжгрупових дисперсій:

Сенс цього правилаполягає в тому, що загальна дисперсія, яка виникає під впливом всіх факторів, дорівнює сумі дисперсій, що виникають під впливом всіх інших факторів, та дисперсії, що виникає за рахунок угруповання.

Користуючись формулою складання дисперсій, можна визначити за двома відомими дисперсіями третю невідому, а також судити про силу впливу групувальної ознаки.

Властивості дисперсії

1. Якщо всі значення ознаки зменшити (збільшити) на ту саму постійну величину, то дисперсія від цього не зміниться.
2. Якщо всі значення ознаки зменшити (збільшити) в те саме число разів n, то дисперсія відповідно зменшиться (збільшити) в n^2 разів.

.

Назад, якщо - невід'ємна п.в. функція, така що , то є абсолютно безперервна ймовірнісна міра на така, що є її щільністю.

Заміна заходу в інтегралі Лебега:

,

де будь-яка борелівська функція, що інтегрується щодо ймовірнісної міри .

Дисперсія, види та властивості дисперсії Поняття дисперсії

Дисперсія у статистицізнаходиться як середнє квадратичне відхилення індивідуальних значень ознаки у квадраті від середньої арифметичної. Залежно від вихідних даних вона визначається за формулами простої та зваженої дисперсій:

1. Проста дисперсія(Для несгрупованих даних) обчислюється за формулою:

2. Зважена дисперсія (для варіаційного ряду):

де n – частота (повторюваність фактора Х)

Приклад знаходження дисперсії

На цій сторінці описано стандартний приклад знаходження дисперсії, також Ви можете переглянути інші завдання на її знаходження

Приклад 1. Визначення групової, середньої з групової, міжгрупової та загальної дисперсії

Приклад 2. Знаходження дисперсії та коефіцієнта варіації у групувальній таблиці

Приклад 3. Знаходження дисперсії у дискретному ряду

Приклад 4. Є такі дані щодо групи з 20 студентів заочного відділення. Потрібно побудувати інтервальний ряд розподілу ознаки, розрахувати середнє значення ознаки та вивчити його дисперсію

Побудуємо інтервальне угруповання. Визначимо розмах інтервалу за формулою:

де X max - максимальне значення групувального ознаки; X min-мінімальне значення групувальної ознаки; n – кількість інтервалів:

Приймаємо n=5. Крок дорівнює: h = (192 - 159) / 5 = 6,6

Складемо інтервальне угруповання

Для подальших розрахунків збудуємо допоміжну таблицю:

X"i - середина інтервалу. (наприклад середина інтервалу 159 - 165,6 = 162,3)

Середню величину зростання студентів визначимо за формулою середньої арифметичної зваженої:

Визначимо дисперсію за такою формулою:

Формулу можна перетворити так:

З цієї формули випливає, що дисперсія дорівнює різниці середньої з квадратів варіантів і квадрата та середньої.

Дисперсія у варіаційних рядахз рівними інтервалами за способом моментів може бути розрахована наступним способом при використанні другої властивості дисперсії (розділивши всі варіанти на величину інтервалу). Визначення дисперсії, обчисленої за способом моментів, за такою формулою менш трудомісткий:

де i – величина інтервалу; А - умовний нуль, як який зручно використовувати середину інтервалу, що володіє найбільшою частотою; m1 – квадрат моменту першого порядку; m2 – момент другого порядку

Дисперсія альтернативної ознаки (якщо в статистичній сукупності ознака змінюється так, що є тільки два варіанти, що взаємно виключають один одного, то така мінливість називається альтернативною) може бути обчислена за формулою:

Підставляючи до цієї формули дисперсії q =1- р, отримуємо:

Види дисперсії

Загальна дисперсіявимірює варіацію ознаки у всій сукупності загалом під впливом всіх чинників, що зумовлюють цю варіацію. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки х від загального середнього значення х може бути визначена як проста дисперсія або зважена дисперсія.

Внутрішньогрупова дисперсія характеризує випадкову варіацію, тобто. частина варіації, яка обумовлена ​​впливом неврахованих факторів і не залежить від ознаки-фактора, покладеної в основу угруповання. Така дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи X від середньої арифметичної групи і може бути обчислена як проста дисперсія або зважена дисперсія.

Таким чином, внутрішньогрупова дисперсія вимірюєваріацію ознаки всередині групи та визначається за формулою:

де хі - групова середня; ni – число одиниць у групі.

Наприклад, внутрішньогрупові дисперсії, які треба визначити в задачі вивчення впливу кваліфікації робітників на рівень продуктивності праці в цеху показують варіації виробітку в кожній групі, викликані всіма можливими факторами (технічний стан обладнання, забезпеченість інструментами та матеріалами, вік робітників, інтенсивність праці тощо) .), крім відмінностей у кваліфікаційному розряді (всередині групи всі робітники мають одну й ту саму кваліфікацію).

Середня всередині групових дисперсій відображає випадкову варіацію, тобто ту частину варіації, яка відбувалася під впливом всіх інших факторів, за винятком фактора угруповання. Вона розраховується за такою формулою:

Міжгрупова дисперсіяхарактеризує систематичну варіацію результативної ознаки, яка обумовлена ​​впливом ознаки-фактора, покладеного в основу угруповання. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень групових середніх від загальної середньої. Міжгрупова дисперсія розраховується за такою формулою:

Кроки

Обчислення дисперсії вибірки

1. Запишіть значення вибірки.Найчастіше статистикам доступні лише вибірки певних генеральних сукупностей. Наприклад, як правило, статистики не аналізують витрати на утримання сукупності всіх автомобілів у Росії – вони аналізують випадкову вибірку з кількох тисяч автомобілів. Така вибірка допоможе визначити середні витрати на автомобіль, але швидше за все отримане значення буде далеко від реального.

   • Наприклад, проаналізуємо кількість булочок, проданих у кафе за 6 днів, взятих у випадковому порядку. Вибірка має такий вигляд: 17, 15, 23, 7, 9, 13. Це вибірка, а не сукупність, тому що ми не маємо даних про продані булочки за кожен день роботи кафе.
   • Якщо вам дано сукупність, а не вибірка значень, перейдіть до наступного розділу.

2. Запишіть формулу обчислення дисперсії вибірки.Дисперсія є мірою розкиду значень певної величини. Чим ближче значення дисперсії до нуля, тим ближчі значення згруповані один до одного. Працюючи з вибіркою значень, використовуйте таку формулу для обчислення дисперсії:

   • s 2 (\displaystyle s^(2)) = ∑[(x i (\displaystyle x_(i))- x̅) 2 (\displaystyle ^(2))] / (n - 1)
   • s 2 (\displaystyle s^(2))– це дисперсія. Дисперсія вимірюється у квадратних одиницях виміру.
   • x i (\displaystyle x_(i))– кожне значення у вибірці.
   • x i (\displaystyle x_(i))треба відняти x̅, звести у квадрат, та був скласти отримані результати.
   • x̅ – вибіркове середнє (середнє значення вибірки).
   • n – кількість значень вибірці.

3. Обчисліть середнє значення вибірки.Воно позначається як x. Середнє значення вибірки обчислюється як звичайне середнє арифметичне: складіть усі значення у вибірці, а потім отриманий результат поділіть на кількість значень у вибірці.

   • У нашому прикладі складіть значення у вибірці: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
     Тепер результат поділіть на кількість значень у вибірці (у нашому прикладі їх 6): 84 ÷ 6 = 14.
     Вибіркове середнє x = 14.
   • Вибіркове середнє – це центральне значення, навколо якого розподілені значення вибірці. Якщо значення вибірці групуються навколо вибіркового середнього, то дисперсія мала; інакше дисперсія велика.

4. Відніміть середнє вибіркове з кожного значення у вибірці.Тепер обчисліть різницю x i (\displaystyle x_(i))- x̅, де x i (\displaystyle x_(i))– кожне значення у вибірці. Кожен отриманий результат свідчить про відхилення конкретного значення від вибіркового середнього, тобто як далеко це значення перебуває від середнього значення вибірки.

   • У нашому прикладі:
     x 1 (\displaystyle x_(1))- x̅ = 17 - 14 = 3
     x 2 (\displaystyle x_(2))- x̅ = 15 - 14 = 1
     x 3 (\displaystyle x_(3))- x̅ = 23 - 14 = 9
     x 4 (\displaystyle x_(4))- x̅ = 7 - 14 = -7
     x 5 (\displaystyle x_(5))- x̅ = 9 - 14 = -5
     x 6 (\displaystyle x_(6))- x̅ = 13 - 14 = -1
   • Правильність отриманих результатів легко перевірити, оскільки їх сума має дорівнювати нулю. Це з визначенням середнього значення, оскільки негативні значення (відстань від середнього значення до менших значень) повністю компенсуються позитивними значеннями (відстанями від середнього значення до великих значень).

5. Як зазначалося вище, сума різниць x i (\displaystyle x_(i))- x̅ повинна дорівнювати нулю. Це означає, що середня дисперсія завжди дорівнює нулю, що не дає уявлення про розкид значень деякої величини. Для вирішення цієї проблеми зведіть у квадрат кожну різницю x i (\displaystyle x_(i))- x̅. Це призведе до того, що ви отримаєте лише позитивні числа, які при додаванні ніколи не дадуть 0.

   • У нашому прикладі:
     (x 1 (\displaystyle x_(1))- x̅) 2 = 3 2 = 9 (\displaystyle ^(2)=3^(2)=9)
     (x 2 (\displaystyle (x_(2)))- x̅) 2 = 1 2 = 1 (\displaystyle ^(2)=1^(2)=1)
     9 2 = 81
     (-7) 2 = 49
     (-5) 2 = 25
     (-1) 2 = 1
   • Ви знайшли квадрат різниці - x̅) 2 (\displaystyle ^(2))для кожного значення у вибірці.

6. Обчисліть суму квадратів різниці.Тобто знайдіть ту частину формули, яка записується так: ∑[( x i (\displaystyle x_(i))- x̅) 2 (\displaystyle ^(2))]. Тут знак Σ означає суму квадратів різниць для кожного значення x i (\displaystyle x_(i))у вибірці. Ви вже знайшли квадрати різниць (x i (\displaystyle (x_(i)))- x̅) 2 (\displaystyle ^(2))для кожного значення x i (\displaystyle x_(i))у вибірці; Тепер просто складіть ці квадрати.

   • У нашому прикладі: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .

7. Отриманий результат розділіть на n - 1, де n – кількість значень вибірки.Якийсь час тому для обчислення дисперсії вибірки статистики ділили результат просто на n; у цьому випадку ви отримаєте середнє значення квадрата дисперсії, що ідеально підходить для опису дисперсії даної вибірки. Але пам'ятайте, що будь-яка вибірка – це лише невелика частина генеральної сукупності значень. Якщо взяти іншу вибірку і виконати такі самі обчислення, ви отримаєте інший результат. Як з'ясувалося, розподіл на n - 1 (а не просто на n) дає більш точну оцінку дисперсії генеральної сукупності, в чому ви зацікавлені. Розподіл на n – 1 став загальноприйнятим, тому воно включено до формули для обчислення дисперсії вибірки.

   • У прикладі вибірка включає 6 значень, тобто n = 6.
     Дисперсія вибірки = s 2 = 166 6 − 1 = (\displaystyle s^(2)=(\frac (166)(6-1))=) 33,2

8. Відмінність дисперсії стандартного відхилення.Зауважте, що у формулі є показник ступеня, тому дисперсія вимірюється у квадратних одиницях вимірювання аналізованої величини. Іноді такою величиною досить складно оперувати; у таких випадках користуються стандартним відхиленням, яке дорівнює квадратному кореню з дисперсії. Саме тому дисперсія вибірки позначається як s 2 (\displaystyle s^(2)), а стандартне відхилення вибірки – як s (\displaystyle s).

   • У прикладі стандартне відхилення вибірки: s = √33,2 = 5,76.

   Обчислення дисперсії сукупності

   1. Проаналізуйте деяку сукупність значень.Сукупність включає всі значення аналізованої величини. Наприклад, якщо ви вивчаєте вік жителів Ленінградської області, сукупність включає вік всіх жителів цієї області. У разі роботи із сукупністю рекомендується створити таблицю та внести до неї значення сукупності. Розглянемо наступний приклад:

      • У деякій кімнаті є 6 акваріумів. У кожному акваріумі мешкає така кількість риб:
        x 1 = 5 (\displaystyle x_(1)=5)
        x 2 = 5 (\displaystyle x_(2)=5)
        x 3 = 8 (\displaystyle x_(3)=8)
        x 4 = 12 (\displaystyle x_(4)=12)
        x 5 = 15 (\displaystyle x_(5)=15)
        x 6 = 18 (\displaystyle x_(6)=18)

   2. Запишіть формулу обчислення дисперсії генеральної сукупності.Так як сукупність входять всі значення деякої величини, то наведена нижче формула дозволяє отримати точне значення дисперсії сукупності. Для того щоб відрізнити дисперсію сукупності від дисперсії вибірки (значення якої є лише оцінним), статистики використовують різні змінні:

      • σ 2 (\displaystyle ^(2)) = (∑(x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)))/n
      • σ 2 (\displaystyle ^(2))- Дисперсія сукупності (читається як "сигма в квадраті"). Дисперсія вимірюється у квадратних одиницях виміру.
      • x i (\displaystyle x_(i))- Кожне значення в сукупності.
      • Σ – знак суми. Тобто з кожного значення x i (\displaystyle x_(i))потрібно відняти μ, звести у квадрат, та був скласти отримані результати.
      • μ – середнє значення сукупності.
      • n – кількість значень у генеральній сукупності.

   3. Обчисліть середнє значення сукупності.Працюючи з генеральною сукупністю її середнє значення позначається як μ (мю). Середнє значення сукупності обчислюється як звичайне середнє арифметичне: складіть усі значення в генеральній сукупності, а потім отриманий результат розділіть на кількість значень у генеральній сукупності.

      • Майте на увазі, що середні величини не завжди обчислюються як середнє арифметичне.
      • У прикладі середнє значення сукупності: μ = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 (\displaystyle (\frac (5+5+8+12+15+18)(6))) = 10,5

   4. Відніміть середнє значення сукупності з кожного значення в генеральній сукупності.Чим ближче значення різниці нанівець, тим ближче конкретне значення до середнього значення сукупності. Знайдіть різницю між кожним значенням у сукупності та її середнім значенням, і ви отримаєте перше уявлення про розподіл значень.

      • У нашому прикладі:
        x 1 (\displaystyle x_(1))- μ = 5 - 10,5 = -5,5
        x 2 (\displaystyle x_(2))- μ = 5 - 10,5 = -5,5
        x 3 (\displaystyle x_(3))- μ = 8 - 10,5 = -2,5
        x 4 (\displaystyle x_(4))- μ = 12 - 10,5 = 1,5
        x 5 (\displaystyle x_(5))- μ = 15 - 10,5 = 4,5
        x 6 (\displaystyle x_(6))- μ = 18 - 10,5 = 7,5

   5. Зведіть у квадрат кожен отриманий результат.Значення різниць будуть як позитивними, і негативними; якщо нанести ці значення на числову пряму, всі вони лежатимуть праворуч і ліворуч від середнього значення сукупності. Це не годиться для обчислення дисперсії, оскільки позитивні та негативні числа компенсують одна одну. Тому зведіть у квадрат кожну різницю, щоб отримати винятково позитивні числа.

      • У нашому прикладі:
        (x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2))для кожного значення сукупності (від i = 1 до i = 6):
        (-5,5)2 (\displaystyle ^(2)) = 30,25
        (-5,5)2 (\displaystyle ^(2)), де x n (\displaystyle x_(n))– останнє значення у генеральній сукупності.
      • Для обчислення середнього значення отриманих результатів потрібно знайти їхню суму та розділити її на n:(( x 1 (\displaystyle x_(1)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) + (x 2 (\displaystyle x_(2)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) + ... + (x n (\displaystyle x_(n)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)))/n
      • Тепер запишемо наведене пояснення з використанням змінних: (∑( x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)))/n і отримаємо формулу для обчислення дисперсії сукупності.

За даними вибіркового обстеження проведено угруповання вкладників за розміром вкладу в Ощадбанку міста:

Визначте:

1) розмах варіації;

2) середній розмір вкладу;

3) середнє лінійне відхилення;

4) дисперсію;

5) середнє квадратичне відхилення;

6) коефіцієнт варіації вкладів.

Рішення:

Цей ряд розподілу містить відкриті інтервали. У таких рядах умовно приймається величина інтервалу першої групи дорівнює величині інтервалу наступної, а величина інтервалу останньої групи дорівнює величині інтервалу попередньої.

Величина інтервалу другої групи дорівнює 200, отже, і величина першої групи також дорівнює 200. Величина інтервалу передостанньої групи дорівнює 200, отже останній інтервал матиме величину, рівну 200.

1) Визначимо розмах варіації як різницю між найбільшим та найменшим значенням ознаки:

Розмах варіації обсягу вкладу дорівнює 1000 рублів.

2) Середній розмір вкладу визначимо за формулою середньої арифметичної зваженої.

Попередньо визначимо дискретну величину ознаки у кожному інтервалі. Для цього за формулою середньої арифметичної простий знайдемо середини інтервалів.

Середнє значення першого інтервалу дорівнюватиме:

другого - 500 і т.д.

Занесемо результати обчислень до таблиці:

Середній розмір вкладу в Ощадбанку міста дорівнюватиме 780 рублів:

3) Середнє лінійне відхилення є середня арифметична з абсолютних відхилень окремих значень ознаки від загальної середньої:

Порядок розрахунку середнього лінійного відхилення в інтервальному ряду розподілу наступний:

1. Обчислюється середня арифметична зважена, як показано у п. 2).

2. Визначаються абсолютні відхилення варіантів від середньої:

3. Отримані відхилення множаться на частоти:

4. Знаходиться сума зважених відхилень без урахування знака:

5. Сума зважених відхилень ділиться на суму частот:

Зручно користуватися таблицею розрахункових даних:

Середнє лінійне відхилення обсягу вкладу клієнтів Ощадбанку становить 203,2 рубля.

4) Дисперсія – це середня арифметична квадратів відхилень кожного значення ознаки від середньої арифметичної.

Розрахунок дисперсії в інтервальних рядах розподілу провадиться за формулою:

Порядок розрахунку дисперсії у разі наступний:

1. Визначають середню арифметичну зважену, як показано у п. 2).

2. Знаходять відхилення варіант від середньої:

3. Зводять у квадрат відхилення кожної варіанти від середньої:

4. Помножують квадрати відхилень на ваги (частоти):

5. Підсумовують отримані твори:

6. Отримана сума поділяється на суму ваг (частот):

Розрахунки оформимо до таблиці: