Допустимі та неприпустимі значення змінної приклади. Допустимі значення змінних, що входять до дробового виразу

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Вирішуючи різні завдання, нам дуже часто доводиться проводити тотожні перетворення виразів. Але буває, що якесь перетворення в одних випадках допустиме, а в інших – ні. Істотну допомогу у плані контролю допустимості перетворень надає ОДЗ. Зупинимося на цьому детальніше.

Суть підходу полягає в наступному: порівнюються ОДЗ змінних для вихідного виразу з ОДЗ змінних для виразу, отриманого в результаті виконання тотожних перетворень, і на підставі результатів порівняння робляться відповідні висновки.

Взагалі тотожні перетворення можуть

• не впливати на ОДЗ;
• призводити до розширення ОДЗ;
• призводити до звуження ОДЗ.

Давайте пояснимо кожний випадок прикладом.

Розглянемо вираз x 2 +x+3·x , ОДЗ змінної x для цього виразу є множина R . Тепер зробимо з цим виразом наступне тотожне перетворення - наведемо подібні доданки, в результаті воно набуде вигляду x 2 +4 · x. Очевидно, ОДЗ змінної x цього виразу також є безліч R . Таким чином, проведене перетворення не змінило ОДЗ.

Переходимо далі. Візьмемо вираз x+3/x−3/x. У цьому випадку ОДЗ визначається умовою x≠0 , що відповідає множині (−∞, 0)∪(0, +∞) . Цей вираз також містить подібні доданки, після приведення яких приходимо до виразу x , для якого ОДЗ є R . Що бачимо: у результаті проведеного перетворення відбулося розширення ОДЗ (до ОДЗ змінної x для вихідного виразу додалося число нуль).

Залишилося розглянути приклад звуження області допустимих значень після перетворень. Візьмемо вираз . ОДЗ змінною x визначається нерівністю (x−1)·(x−3)≥0 , для його вирішення підходить, наприклад, у результаті маємо (−∞, 1]∪∪; під ред. С. А. Теляковського. - 17- е видавництво - М.: Просвітництво, 2008. - 240 с.: іл.- ISBN 978-5-09-019315-3.

Будь-який вираз зі змінною має свою область допустимих значень, де вона існує. ОДЗ необхідно завжди враховувати під час вирішення. За його відсутності можна отримати неправильний результат.

У цій статті буде показано, як правильно знаходити ОДЗ, використовувати на прикладах. Також буде розглянуто важливість вказівки ОДЗ під час рішення.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Допустимі та неприпустимі значення змінних

Це визначення пов'язане з допустимими значеннями змінної. При запровадженні визначення подивимося, якого результату приведе.

Починаючи з 7 класу, ми починаємо працювати з числами та числовими виразами. Початкові визначення зі змінними переходять до значення виразів із вибраними змінними.

Коли є вирази з вибраними змінними, деякі з них можуть не задовольняти. Наприклад, вираз виду 1: а, якщо а = 0 тоді воно не має сенсу, так як ділити на нуль не можна. Тобто вираз повинен мати такі значення, які підійдуть у будь-якому випадку та дадуть відповідь. Інакше кажучи, мають сенс із змінними.

Визначення 1

Якщо є вираз зі змінними, воно має сенс лише тоді, коли за їх підстановці значення то, можливо обчислено.

Визначення 2

Якщо є вираз зі змінними, воно немає сенсу, коли за їх підстановці значення може бути обчислено.

Тобто звідси випливає повне визначення

Визначення 3

Існуючими допустимими змінними називають такі значення, у яких вираз має сенс. А якщо сенсу не має, то вони вважаються неприпустимими.

Для уточнення сказаного вище: якщо змінних більше однієї, тоді може бути і пара відповідних значень.

Приклад 1

Наприклад розглянемо вираз виду 1 x - y + z де є три змінні. Інакше можна записати, як x = 0, y = 1, z = 2, інший запис має вигляд (0, 1, 2). Дані значення називають допустимими, отже, можна знайти значення виразу. Отримаємо, що 10 - 1 + 2 = 1 1 = 1 . Звідси бачимо, що (1, 1, 2) неприпустимі. Підстановка дає в результаті розподіл на нуль, тобто 11 - 2 + 1 = 10.

Що таке ОДЗ?

Область допустимих значень – важливий елемент при обчисленні виразів алгебри. Тому варто звернути на це увагу під час розрахунків.

Визначення 4

Область ОДЗ- Це безліч значень, допустимих для даного виразу.

Розглянемо з прикладу висловлювання.

Приклад 2

Якщо маємо вираз виду 5 z - 3 тоді ОДЗ має вигляд (− ∞ , 3) ​​∪ (3 , + ∞) . Ця область допустимих значень задовольняє змінної z для заданого виразу.

Якщо є вирази виду z x - y тоді видно, що x ≠ y z приймає будь-яке значення. Це і називають ОДЗ висловлювання. Його необхідно враховувати, щоб не отримати при підстановці поділ на нуль.

Область допустимих значень та область визначення має один і той же зміст. Тільки другий з них використовується для виразів, а перший – для рівнянь чи нерівностей. За допомогою ОДЗ вираз чи нерівність має сенс. Область визначення функції збігається з областю допустимих значень змінної х до виразу f(x).

Як знайти ОДЗ? Приклади, рішення

Знайти ОДЗ означає знайти всі допустимі значення, які підходять для заданої функції чи нерівності. У разі невиконання цих умов можна отримати невірний результат. Для знаходження ОДЗ часто необхідно пройти через перетворення у заданому виразі.

Існують вирази, де їх обчислення неможливе:

• якщо є поділ на нуль;
• вилучення кореня з негативного числа;
• наявність негативного цілого показника – лише позитивних чисел;
• обчислення логарифму від'ємного числа;
• область визначення тангенсу π 2 ​​+ π · k , k ∈ Z та котангенсу π · k , k ∈ Z ;
• знаходження значення арксинусу та арккосинусу числа при значенні, що не належить [-1; 1].

Все це говорить про те, наскільки важливою є наявність ОДЗ.

Приклад 3

Знайти ОДЗ вирази x 3 + 2 · x · y − 4 .

Рішення

У куб можна зводити будь-яке число. Даний вираз не має дробу, тому значення x і у можуть бути будь-якими. Тобто ОДЗ – це будь-яке число.

Відповідь: x та y – будь-які значення.

Приклад 4

Знайти ОДЗ вирази 1 3 - х + 1 0 .

Рішення

Видно, що є один дріб, де в знаменнику нуль. Це говорить про те, що за будь-якого значення х ми отримаємо поділ на нуль. Отже, можна дійти невтішного висновку у тому, що це вираз вважається невизначеним, тобто немає ОДЗ.

Відповідь: ∅ .

Приклад 5

Знайти ОДЗ заданого виразу x + 2 · y + 3 - 5 · x.

Рішення

Наявність квадратного кореня говорить про те, що цей вираз обов'язково має бути більшим або рівним нулю. При негативному значенні воно немає сенсу. Отже, необхідно записати нерівність виду x + 2 · y + 3 ≥ 0 . Тобто це і є потрібна область допустимих значень.

Відповідь:безліч x та y , де x + 2 · y + 3 ≥ 0 .

Приклад 6

Визначити ОДЗ виразу виду 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3).

Рішення

За умовою маємо дріб, тому її знаменник не повинен дорівнювати нулю. Отримуємо, що x + 1 – 1 ≠ 0 . Підкорене вираз завжди має сенс, коли більше чи дорівнює нулю, тобто x + 1 ≥ 0 . Оскільки має логарифм, його вираз має бути суворо позитивним, тобто x 2 + 3 > 0 . Основа логарифму також повинна мати позитивне значення і відмінне від 1 , тоді додаємо ще умови x + 8 > 0 і x + 8 ≠ 1 . Звідси випливає, що шукане ОДЗ набуде вигляду:

x + 1 - 1 ≠ 0 , x + 1 ≥ 0 , x 2 + 3 > 0 , x + 8 > 0 , x + 8 ≠ 1

Інакше кажучи, називають системою нерівностей із однією змінною. Рішення призведе до запису ОДЗ [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞) .

Відповідь: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Чому важливо враховувати ОДЗ під час проведення перетворень?

При тотожних перетвореннях важливо знаходити ОДЗ. Бувають випадки, коли існування ОДЗ немає. Щоб зрозуміти, чи має рішення заданий вираз, потрібно порівняти ОДЗ змінних вихідного виразу та ОДЗ отриманого.

Тотожні перетворення:

• можуть не впливати на ОДЗ;
• можуть призвести до розширення або доповнення ОДЗ;
• можуть звузити ОДЗ.

Розглянемо з прикладу.

Приклад 7

Якщо маємо вираз виду x 2 + x + 3 · x тоді його ОДЗ визначено на всій області визначення. Навіть при наведенні подібних доданків та спрощенні вираження ОДЗ не змінюється.

Приклад 8

Якщо взяти приклад виразу x + 3 x − 3 x , то справи інакше. У нас є дрібний вираз. А ми знаємо, що поділ на нуль неприпустимий. Тоді ОДЗ має вигляд (− ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) . Видно, що нуль не є рішенням, тому додаємо його з круглою дужкою.

Розглянемо приклад із наявністю підкореного виразу.

Приклад 9

Якщо є x - 1 · x - 3 тоді слід звернути увагу на ОДЗ, так як його необхідно записати у вигляді нерівності (x - 1) · (x - 3) ≥ 0 . Можливе рішення методом інтервалів, тоді отримуємо, що ОДЗ набуде вигляду (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . Після перетворення x - 1 · x - 3 та застосування властивості коренів маємо, що ОДЗ можна доповнити та записати все у вигляді системи нерівності виду x - 1 ≥ 0 , x - 3 ≥ 0 . При її вирішенні отримуємо, що [ 3 + ∞) . Отже, ОДЗ повністю записується так: (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

Потрібно уникати перетворень, що звужують ОДЗ.

Приклад 10

Розглянемо приклад виразу x-1 · x-3, коли х = -1. При підстановці отримаємо, що – 1 – 1 · – 1 – 3 = 8 = 2 2 . Якщо це вираз перетворити і призвести до виду x - 1 · x - 3, тоді при обчисленні отримаємо, що 2 - 1 · 2 - 3 вираз сенсу не має, тому що підкорене вираз не має бути негативним.

Слід дотримуватись тотожних перетворень, які ОДЗ не змінять.

Якщо є приклади, що його розширюють, його потрібно додавати в ОДЗ.

Приклад 11

Розглянемо з прикладу дробу виду x x 3 + x . Якщо скоротити на x, тоді отримуємо, що 1 x 2 + 1 . Тоді ОДЗ розширюється і стає (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Причому при обчисленні вже працюємо з другим спрощеним дробом.

За наявності логарифмів справа трохи інакша.

Приклад 12

Якщо є вираз виду ln x + ln (x + 3), його замінюють на ln (x · (x + 3)), спираючись на властивість логарифму. Звідси видно, що ОДЗ (0 , + ∞) до (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . Тому визначення ОДЗ ln (x · (x + 3)) необхідно проводити обчислення на ОДЗ, тобто (0 , + ∞) множини.

При вирішенні завжди необхідно звертати увагу на структуру та вид даного за умовою вираження. При правильному знаходженні області визначення результату буде позитивним.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter