Докладно раціональні рівняння приклади. Як вирішувати рівняння з дробами

Т. Косякова,
школа № 80, м. Краснодар

Розв'язання квадратних та дробово-раціональних рівнянь, що містять параметри

Урок 4

Тема урока:

Мета уроку:формувати вміння розв'язувати дробово-раціональні рівняння, які містять параметри.

Тип уроку:запровадження нового матеріалу.

1. (Усно.) Розв'яжіть рівняння:

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння

Рішення.

Знайдемо неприпустимі значення a:

Відповідь. Якщо якщо a = – 19 , то коріння немає.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння

Рішення.

Знайдемо неприпустимі значення параметра a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Відповідь. Якщо a = 5 a № 5 , то x = 10 - a .

Приклад 3. При яких значеннях параметра b рівняння має:

а) два корені; б) єдиний корінь?

Рішення.

1) Знайдемо неприпустимі значення параметра b :

x = b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 або b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 або b = – 2.

2) Розв'яжемо рівняння x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2 x + b 2 = 0:

D = 4 b 4 – 4b 2 (b 2 - 1), D = 4 b 2 .

а)

Виключаючи неприпустимі значення параметра b , отримуємо, що рівняння має два корені, якщо b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

б) 4b 2 = 0, b = 0, але це неприпустиме значення параметра b ; якщо b 2 –1=0 , тобто. b=1 або.

Відповідь: а) якщо b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , то два корені; б) якщо b=1 або b=-1 , то єдиний корінь.

Самостійна робота

Варіант 1

Розв'яжіть рівняння:

Варіант 2

Розв'яжіть рівняння:

Відповіді

В 1. а якщо a=3 , то коріння немає; якщо б) якщо якщо a № 2 , то коріння немає.

В 2.Якщо a=2 , то коріння немає; якщо a=0 , то коріння немає; якщо
б) якщо a=– 1 , то рівняння втрачає сенс; якщо то коріння немає;
якщо

Завдання додому.

Розв'яжіть рівняння:

Відповіді: а) Якщо a № –2 , то x= a ; якщо a=–2 , то рішень немає; б) якщо a № –2 , то x=2; якщо a=–2 , то рішень немає; в) якщо a=–2 , то x– будь-яке число, крім 3 ; якщо a № –2 , то x=2; г) якщо a=–8 , то коріння немає; якщо a=2 , то коріння немає; якщо

Урок 5

Тема урока:"Рішення дробово-раціональних рівнянь, що містять параметри".

Цілі уроку:

навчання розв'язання рівнянь з нестандартною умовою;
свідоме засвоєння учнями алгебраїчних понять та зв'язків між ними.

Тип уроку:систематизації та узагальнення.

Перевірка домашнього завдання.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння

а) щодо x; б) щодо y.

Рішення.

а) Знайдемо неприпустимі значення y: y = 0, x = y, y 2 = y 2 -2y,

y=0- Неприпустиме значення параметра y.

Якщо y№ 0 , то x=y–2; якщо y=0, то рівняння втрачає сенс.

б) Знайдемо неприпустимі значення параметра x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0- Неприпустиме значення параметра x; y(2+x–y)=0, y=0або y=2+x;

y=0не задовольняє умову y(y–x)№ 0 .

Відповідь: а) якщо y=0, то рівняння втрачає сенс; якщо y№ 0 , то x=y–2; б) якщо x=0 x№ 0 , то y=2+x .

Приклад 2. При яких цілих значеннях параметра коріння рівняння належать проміжку

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) · 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Якщо a № 0 або a № – 1 , то

Відповідь: 5 .

Приклад 3. Знайдіть відносно xцілі рішення рівняння

Відповідь. Якщо y=0, то рівняння немає сенсу; якщо y=–1, то x- будь-яке ціле число, крім нуля; якщо y№ 0, y№ – 1, то рішень немає.

приклад 4.Розв'яжіть рівняння з параметрами a і b .

Якщо a№ - b , то

Відповідь. Якщо a= 0 або b= 0 , то рівняння втрачає сенс; якщо a№ 0, b№ 0, a=-b , то x- Будь-яке число, крім нуля; якщо a№ 0, b№ 0, a№ -b, то x=-a, x=-b .

Приклад 5. Доведіть, що за будь-якого значення параметра n, відмінного від нуля, рівняння має єдиний корінь, рівний - n .

Рішення.

тобто. x=–n, що й потрібно було довести.

Завдання додому.

1. Знайдіть цілі рішення рівняння

2. При яких значеннях параметра cрівняння має:
а) два корені; б) єдиний корінь?

3. Знайдіть усі цілі корені рівняння якщо aПро N .

4. Розв'яжіть рівняння 3xy - 5x + 5y = 7:а) щодо y; б) щодо x .

1. Рівнянню задовольняють будь-які цілі рівні x і y, відмінні від нуля.
2. а) При
б) при або
3. – 12; – 9; 0 .
4. а) Якщо то коріння немає; якщо
б) якщо то коріння немає; якщо

Контрольна робота

Варіант 1

1. Визначте тип рівняння 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 при: а) c=-3; б) c=2;в) c=4 .

2. Розв'яжіть рівняння: а) x 2 -bx = 0;б) cx 2 –6x+1=0; в)

3. Розв'яжіть рівняння 3x–xy–2y=1:

а) щодо x ;
б) щодо y .

nx 2 - 26x + n = 0,знаючи, що параметр n набуває лише цілі значення.

5. При яких значеннях b рівняння має:

а) два корені;
б) єдиний корінь?

Варіант 2

1. Визначте тип рівняння 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0при: а) c=-4;б) c = 7;в) c=1 .

2. Розв'яжіть рівняння: а) y 2 +cy=0;б) ny 2 -8y + 2 = 0;в)

3. Розв'яжіть рівняння 6x–xy+2y=5:

а) щодо x ;
б) щодо y .

4. Знайдіть цілі корені рівняння nx 2 –22x+2n=0 ,знаючи, що параметр n набуває лише цілі значення.

5. При яких значеннях параметра a рівняння має:

а) два корені;
б) єдиний корінь?

Відповіді

В 1. 1. а) Лінійне рівняння;
б) неповне квадратне рівняння; в) квадратне рівняння.
2. а) Якщо b=0, то x=0; якщо b№ 0, то x=0, x=b;
б) якщо cО (9;+Ґ ), то коріння немає;
в) якщо a=–4 , то рівняння втрачає сенс; якщо a№ –4 , то x=– a .
3. а) Якщо y=3, то коріння немає; якщо);
б) a=–3, a=1.

Додаткові завдання

Розв'яжіть рівняння:

Література

1. Голубєв В.І., Гольдман А.М., Дорофєєв Г.В. Про параметри із самого початку. - Репетитор, № 2/1991, с. 3–13.
2. Гронштейн П.І., Полонський В.Б., Якір М.С. Необхідні умови завдання з параметрами. - Квант, № 11/1991, с. 44–49.
3. Дорофєєв Г.В., Затакавай В.В. Вирішення задач, що містять параметри. Ч. 2. - М., Перспектива, 1990, с. 2–38.
4. Тинякін С.А. П'ятсот чотирнадцять завдань із параметрами. - Волгоград, 1991.
5. Ястребинецький Г.А. Завдання із параметрами. - М., Просвітництво, 1986.

До цього часу ми вирішували лише рівняння цілі щодо невідомого, тобто рівняння, у яких знаменники (якщо були) не містили невідоме.

Часто доводиться вирішувати рівняння, що містять невідоме у знаменниках: такі рівняння називаються дробовими.

Щоб розв'язати це рівняння, помножимо обидві його частини тобто на многочлен, що містить невідоме. Чи буде нове рівняння рівносильне цьому? Щоб відповісти на запитання, розв'яжемо це рівняння.

Помноживши обидві частини його на , отримаємо:

Розв'язавши це рівняння першого ступеня, знайдемо:

Отже, рівняння (2) має єдиний корінь

Підставивши його в рівняння (1), отримаємо:

Отже, є коренем і рівняння (1).

Іншого коріння рівняння (1) не має. У прикладі це видно, наприклад, з того, що в рівнянні (1)

Як невідомий дільник повинен дорівнювати ділимому 1, поділеному на приватне 2, тобто

Отже, рівняння (1) та (2) мають єдиний корінь. Отже, вони рівносильні.

2. Вирішимо тепер таке рівняння:

Найпростіший загальний знаменник: ; помножимо на нього всі члени рівняння:

Після скорочення отримаємо:

Розкриємо дужки:

Навівши подібні члени, матимемо:

Розв'язавши це рівняння, знайдемо:

Підставивши в рівняння (1), отримаємо:

У лівій частині отримали вирази, які не мають сенсу.

Отже, коренем рівняння (1) немає. Звідси випливає, що рівняння (1) і нерівносильні.

Говорять у цьому випадку, що рівняння (1) набуло стороннього коріння.

Порівняємо рішення рівняння (1) з рішенням рівнянь, які ми розглянули раніше (див. § 51). При вирішенні цього рівняння нам довелося виконати дві такі операції, які раніше не зустрічалися: по-перше, ми помножили обидві частини рівняння на вираз, що містить невідомий (загальний знаменник), і, по-друге, ми скорочували дроби алгебри на множники, що містять невідоме .

Порівнюючи рівняння (1) з рівнянням (2), бачимо, що ні значення х, допустимі рівняння (2), є допустимими рівняння (1).

Саме числа 1 і 3 є допустимими значеннями невідомого рівняння (1), а результаті перетворення вони стали допустимими рівняння (2). Одне з цих чисел виявилося рішенням рівняння (2), але, зрозуміло, рішенням рівняння (1) воно не може. Рівняння (1) рішень немає.

Цей приклад показує, що при множенні обох частин рівняння на множник, що містить невідоме, і при скороченні дробів алгебри може вийти рівняння, нерівносильне даному, а саме: можуть з'явитися сторонні корені.

Звідси робимо такий висновок. При вирішенні рівняння, що містить невідоме у знаменнику, отримане коріння треба перевіряти підстановкою в початкове рівняння. Стороннє коріння треба відкинути.

Рівняння» ми ввели вище в § 7. Спочатку нагадаємо, що таке раціональне вираження. Це - вираз алгебри, складений з чисел і змінної х за допомогою операцій складання, віднімання, множення, поділу і зведення в ступінь з натуральним показником.

Якщо r(х) – раціональний вираз, то рівняння r(х) = 0 називають раціональним рівнянням.

Втім, практично зручніше користуватися дещо ширшим тлумаченням терміну «раціональне рівняння»: це рівняння виду h(x) = q(x), де h(x) і q(x) - раціональні висловлювання.

Досі ми могли вирішити не будь-яке раціональне рівняння, а тільки таке, яке внаслідок різних перетворень та міркувань зводилося до лінійному рівнянню. Тепер наші можливості значно більші: ми зуміємо вирішити раціональне рівняння, яке зводиться не тільки до лінійно-
му, а й до квадратного рівняння.

Нагадаємо, як ми вирішували раціональні рівняння раніше, і спробуємо сформулювати алгоритм розв'язання.

приклад 1.Вирішити рівняння

Рішення. Перепишемо рівняння у вигляді

При цьому, як завжди, ми користуємося тим, що рівності А = В і А - В = 0 виражають ту саму залежність між А і В. Це і дозволило нам перенести член у ліву частину рівняння з протилежним знаком.

Виконаємо перетворення лівої частини рівняння. Маємо

Згадаймо умови рівності дробинулю: тоді, і тільки тоді, коли одночасно виконуються два співвідношення:

1) чисельник дробу дорівнює нулю (а = 0); 2) знаменник дробу відмінний від нуля).
Прирівнявши нулю чисельник дробу в лівій частині рівняння (1), отримаємо

Залишилося перевірити виконання другої зазначеної вище умови. Співвідношення означає рівняння (1), що . Значення х 1 = 2 і х 2 = 0,6 зазначеним співвідношенням задовольняють і тому є корінням рівняння (1), а разом з тим і корінням заданого рівняння.

1) Перетворимо рівняння до виду

2) Виконаємо перетворення лівої частини цього рівняння:

(одночасно змінили знаки в чисельнику та
дроби).
Таким чином, задане рівняння набуває вигляду

3) Розв'яжемо рівняння х 2 - 6x + 8 = 0. Знаходимо

4) Для знайдених значень перевіримо виконання умови . Число 4 цій умові задовольняє, а число 2 - ні. Значить, 4 – корінь заданого рівняння, а 2 – сторонній корінь.
Відповідь: 4.

2. Вирішення раціональних рівнянь методом введення нової змінної

Метод введення нової змінної вам знайомий, ми не раз ним користувалися. Покажемо на прикладах, як він застосовується під час вирішення раціональних рівнянь.

приклад 3.Розв'язати рівняння х 4 + х 2 – 20 = 0.

Рішення. Введемо нову змінну у = х2. Так як х 4 = (х 2) 2 = у 2 то задане рівняння можна переписати у вигляді

у 2 + у – 20 = 0.

Це – квадратне рівняння, коріння якого знайдемо, використовуючи відомі формули; отримаємо у 1 = 4, у 2 = - 5.
Але у = х 2, отже, завдання звелося вирішення двох рівнянь:
x 2 = 4; х 2 =-5.

З першого рівняння знаходимо друге рівняння немає коренів.
Відповідь: .
Рівняння виду ах 4 + bx 2 +c = 0 називають біквадратним рівнянням («бі» - два, тобто як би «двічі квадратне» рівняння). Щойно вирішене рівняння було саме біквадратним. Будь-яке біквадратне рівняння вирішується так само, як рівняння з прикладу 3: вводять нову змінну у = х 2 вирішують отримане квадратне рівняння щодо змінної у, а потім повертаються до змінної х.

приклад 4.Вирішити рівняння

Рішення. Зауважимо, що тут двічі зустрічається те саме вираз х 2 + Зх. Отже, має сенс запровадити нову змінну у = х 2 + Зх. Це дозволить переписати рівняння у більш простому та приємному вигляді (що, власне кажучи, і становить мету введення нової змінної- і запис спрощення
ється, і структура рівняння стає більш ясною):

А тепер скористаємося алгоритмом розв'язання раціонального рівняння.

1) Перенесемо всі члени рівняння в одну частину:

= 0
2) Перетворимо ліву частину рівняння

Отже, ми перетворили задане рівняння на вигляд

3) З рівняння - 7у 2 + 29у -4 = 0 знаходимо (ми з вами вже вирішили досить багато квадратних рівнянь, тому завжди наводити в підручнику докладні викладки, напевно, не варто).

4) Виконаємо перевірку знайденого коріння за допомогою умови 5 (у - 3) (у + 1). Обидва корені цій умові задовольняють.
Отже, квадратне рівняння щодо нової змінної у вирішено:
Оскільки у = х 2 + Зх, а у, як ми встановили, набуває двох значень: 4 і , - нам ще належить вирішити два рівняння: х 2 + Зх = 4; х 2 + Зх =. Корінням першого рівняння є числа 1 і - 4, корінням другого рівняння - числа

У розглянутих прикладах метод запровадження нової змінної був, як люблять висловлюватися математики, адекватний ситуації, т. е. добре їй відповідав. Чому? Та тому, що один і той же вираз явно зустрічався в записі рівняння кілька разів і був сенс позначити цей вираз новою літерою. Але так буває не завжди, іноді нова змінна «виявляється» лише у процесі перетворень. Саме так буде справа в наступному прикладі.

Приклад 5.Вирішити рівняння
х(х-1)(x-2)(x-3) = 24.
Рішення. Маємо
х(х - 3) = х 2 - 3х;
(х - 1) (x - 2) = x 2-Зx +2.

Отже, задане рівняння можна переписати як

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Ось тепер нова змінна "проявилася": у = х 2 - Зх.

З її допомогою рівняння можна переписати у вигляді у (у + 2) = 24 і далі у 2 + 2у - 24 = 0. Корінням цього рівняння є числа 4 і -6.

Повертаючись до вихідної змінної х, отримуємо два рівняння х 2 - Зх = 4 та х 2 - Зх = - 6. З першого рівняння знаходимо х 1 = 4, х 2 = - 1; друге рівняння не має коріння.

Відповідь: 4, - 1.

Презентація та урок на тему: "Раціональні рівняння. Алгоритм та приклади вирішення раціональних рівнянь"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Посібник до підручника Макарічева Ю.М. Посібник до підручника Мордковича О.Г.

Знайомство з ірраціональними рівняннями

Нехай $r(x)$ – це раціональний вираз. Такий вираз може являти собою простий багаточлен від змінної $х$ або відношення багаточленів (вводиться операція поділу, як для раціональних чисел).
Рівняння $ r (x) = 0 $ називається раціональним рівнянням.
Будь-яке рівняння виду $p(x)=q(x)$, де $p(x)$ і $q(x)$ – раціональні вирази, також буде раціональним рівнянням.

Розглянемо приклади розв'язання раціональних рівнянь.

Рішення.
Перенесемо всі вирази в ліву частину: $ frac (5x-3) (x-3) - frac (2x-3) (x) = 0 $.
Якби в лівій частині рівняння були представлені звичайні числа, ми привели б два дроби до спільного знаменника.
Давайте так і зробимо: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x )=\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) *x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Отримали рівняння: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Дроб дорівнює нулю, тоді і тільки тоді, коли чисельник дробу дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. Тоді окремо прирівняємо чисельник до нуля і знайдемо коріння чисельника.
$3(x^2+2x-3)=0$ або $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=frac(-2±sqrt(4-4*(-3)))(2)=frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Тепер перевіримо знаменник дробу: $(x-3)*x≠0$.
Добуток двох чисел дорівнює нулю, коли хоча б одне з цих чисел дорівнює нулю. Тоді: $x≠0$ або $x-3≠0$.
$x≠0$ або $x≠3$.
Коріння, отримані в чисельнику та знаменнику, не збігаються. Значить у відповідь записуємо обидва корені чисельника.
Відповідь: $ х = 1 $ або $ х = -3 $.

Якщо раптом, один з коренів чисельника збігся з коренем знаменника, його слід виключити. Таке коріння називається стороннім!

Алгоритм розв'язання раціональних рівнянь:

приклад 2.
Розв'яжіть рівняння: $frac(3x)(x-1)+frac(4)(x+1)=frac(6)(x^2-1)$.

Рішення.
Вирішимо згідно з пунктами алгоритму.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Прирівняємо чисельник до нуля: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1) (3); 1 $.
4. Прирівняємо знаменник до нуля:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ і $x=-1$.
Один із коренів $х=1$ збігся з коренем із чисельника, тоді ми його у відповідь не записуємо.
Відповідь: $ х = -1 $.

Вирішувати раціональні рівняння зручно за допомогою методу заміни змінних. Давайте продемонструємо це.

приклад 3.
Розв'язати рівняння: $x^4+12x^2-64=0$.

Рішення.
Введемо заміну: $ t = x ^ 2 $.
Тоді наше рівняння набуде вигляду:
$t^2+12t-64=0$ - звичайне квадратне рівняння.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 $.
Введемо зворотну заміну: $ x ^ 2 = 4 $ або $ x ^ 2 = -16 $.
Корінням першого рівняння є пара чисел $х=±2$. Друге – не має коріння.
Відповідь: $ х = ± 2 $.

приклад 4.
Розв'язати рівняння: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Рішення.
Введемо нову змінну: $ t = x ^ 2 + x + 1 $.
Тоді рівняння набуде вигляду: $t=\frac(15)(t+2)$.
Далі діятимемо за алгоритмом.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $ t 2 +2 t-15 = 0 $.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - коріння не співпадає.
Введемо зворотну заміну.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Розв'яжемо кожне рівняння окремо:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ні коріння.
І друге рівняння: $ x ^ 2 + x-2 = 0 $.
Корінням цього рівняння будуть числа $х=-2$ і $х=1$.
Відповідь: $ х = -2 $ і $ х = 1 $.

Приклад 5.
Розв'язати рівняння: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Рішення.
Введемо заміну: $ t = x + \ frac (1) (x) $.
Тоді:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ або $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Здобули рівняння: $t^2-2+t=4$.
$ t 2 + t-6 = 0 $.
Корінням даного рівняння є пара:
$ t = -3 $ і $ t = 2 $.
Введемо зворотну заміну:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$ x + \ frac (1) (x) = 2 $.
Вирішимо окремо.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=frac(-3±sqrt(9-4))(2)=frac(-3±sqrt(5))(2)$.
Розв'яжемо друге рівняння:
$ x + \ frac (1) (x) -2 = 0 $.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Коренем цього рівняння є число $х = 1 $.
Відповідь: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Завдання для самостійного вирішення

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.