Дробні нерівності та системи нерівностей. Збір та використання персональної інформації

За допомогою цього уроку ви дізнаєтеся про раціональні нерівності та їх системи. Вирішується система раціональних нерівностей за допомогою еквівалентних перетворень. Розглядається визначення еквівалентності, спосіб заміни дробово-раціональної нерівності - квадратним, а також розуміється на чому відмінність нерівності від рівняння і як здійснюються рівносильні перетворення.

Алгебра 9 клас

Підсумкове повторення курсу алгебри 9-го класу

Раціональні нерівності та їх системи. Системи раціональних нерівностей.

1.1 Конспект.

1. Еквівалентні перетворення раціональних нерівностей.

Вирішити раціональна нерівністьозначає знайти всі його рішення. На відміну від рівняння, під час вирішення нерівності, зазвичай, виникає безліч рішень. Численна безліч рішень не можна перевірити методом підстановки. Тому потрібно так перетворювати вихідну нерівність, щоб у кожному наступному рядку виходила нерівність з тією ж безліччю рішень.

Раціональні нерівностівирішуються лише за допомогою еквівалентнихчи рівносильних перетворень. Такі перетворення не спотворюють безліч рішень.

Визначення. Раціональні нерівностіназивають еквівалентними, якщо безліч їхніх рішень збігаються.

Для позначення еквівалентностівикористовують знак

2. Розв'язання системи нерівностей

Перша та друга нерівність – це дробово-раціональні нерівності. Методи їх вирішення є природним продовженням методів розв'язання лінійних та квадратних нерівностей.

Перенесемо числа, що стоять у правій частині, до лівої з протилежним знаком.

У результаті правої частини залишиться 0. Це перетворення є еквівалентним. На це вказує знак

Виконаємо дії, які наказує алгебра. Віднімемо «1» у першій нерівності та «2» у другій.

3. Вирішення нерівності методом інтервалів

1) Введемо функцію. Нам потрібно дізнатися, коли ця функція менша за 0.

2) Знайдемо область визначення функції: у знаменнику не повинен стояти 0. «2» - точка розриву. При х = 2 функція невизначена.

3) Знайдемо коріння функції. Функція дорівнює 0, якщо в чисельнику стоїть 0.

Поставлені точки розбивають числову вісь на три інтервали – це інтервали знакопостійності. У кожному інтервалі функція зберігає знак. Визначимо знак першому інтервалі. Підставимо якесь значення. Наприклад, 100. Зрозуміло, як і чисельник, і знаменник більше 0. Значить і весь дріб позитивна.

Визначимо знаки інших проміжках. При переході через точку х=2 лише знаменник змінює знак. Значить, і весь дріб поміняє знак, і буде негативним. Проведемо аналогічне міркування. Під час переходу через точку х=-3 тільки чисельник змінює знак. Значить, дріб поміняє знак і буде позитивним.

Виберемо інтервал, що відповідає умові нерівності. Заштрихуємо його та запишемо у вигляді нерівності

4. Вирішення нерівності за допомогою квадратичної нерівності

Важливий факт.

У порівнянні з 0 (у разі суворої нерівності) дріб можна замінити на твір чисельника на знаменник або поміняти чисельник чи знаменник місцями.

Це так тому, що всі три нерівності виконуються за умови, що u і v різного знака. Ці три нерівності еквівалентні.

Використовуємо цей факт і замінимо дробово-раціональну нерівність квадратною.

Вирішимо квадратну нерівність.

Введемо квадратичну функцію. Знайдемо її коріння та побудуємо ескіз її графіка.

Значить, гілки параболи вгору. Всередині інтервалу коріння функція зберігає знак. Вона негативна.

Поза інтервалом коренів функція позитивна.

Розв'язання першої нерівності:

5. Вирішення нерівності

Введемо функцію:

Знайдемо її інтервали знаковості:

Для цього знайдемо коріння та точки розриву області визначення функції. Точки розриву виколюємо завжди. (х=3/2) Коріння виколюємо залежно від знаку нерівності. Наша нерівність сувора. Тому корінь виколюємо.

Розставимо знаки:

Запишемо рішення:

Закінчимо рішення системи. Знайдемо перетин безлічі рішень першої нерівності та безлічі рішень другої нерівності.

Вирішити систему нерівностей означає знайти перетин безлічі рішень першої нерівності і безлічі рішень другої нерівності. Тому, вирішивши першу і другу нерівність окремо, потрібно записати отримані результати в одну систему.

Зобразимо розв'язання першої нерівності над віссю Ох.

Продовжуємо заглиблюватися у тему «вирішення нерівностей з однією змінною». Нам уже знайомі лінійні нерівності та квадратні нерівності. Вони є окремими випадками раціональних нерівностей, Вивченням яких ми зараз і займемося. Почнемо з того, що з'ясуємо, нерівності якогось виду називаються раціональними. Далі розберемося з їхнім підрозділом на цілі раціональні та дробові раціональні нерівності. А вже після цього вивчатимемо, як проводиться розв'язання раціональних нерівностей з однією змінною, запишемо відповідні алгоритми та розглянемо розв'язання характерних прикладів із детальними поясненнями.

Навігація на сторінці.

Що таке раціональні нерівності?

У школі під час уроків алгебри, щойно заходить розмова про розв'язання нерівностей, відразу і відбувається зустріч із раціональними нерівностями. Однак спочатку їх не називають своїм ім'ям, тому що на цьому етапі види нерівностей становлять мало інтересу, а основна мета полягає у отриманні початкових навичок роботи з нерівностями. Сам термін «раціональна нерівність» запроваджується пізніше у 9 класі, коли починається детальне вивчення нерівностей саме цього виду.

Давайте дізнаємось, що таке раціональні нерівності. Ось визначення:

В озвученому визначенні нічого не сказано про кількість змінних, отже, допускається будь-яка їхня кількість. Залежно від цього розрізняють раціональні нерівності з одним, двома тощо. змінними. До речі, у підручнику дається таке визначення, але для раціональних нерівностей із однією змінною. Це і зрозуміло, тому що в школі основна увага приділяється вирішенню нерівностей з однією змінною (нижче ми теж говоритимемо лише про розв'язання раціональних нерівностей з однією змінною). Нерівності з двома зміннимирозглядають мало, а нерівності з трьома і більшою кількістю змінних практично взагалі не приділяють уваги.

Отже, раціональне нерівність можна розпізнати з його записи, при цьому досить поглянути висловлювання у його лівої і правої частини і переконатися, що є раціональними висловлюваннями. Ці міркування дозволяють навести приклади раціональних нерівностей. Наприклад, x>4 , x 3 +2·y≤5·(y−1)·(x 2 +1), - Це раціональні нерівності. А нерівність не є раціональним, тому що його ліва частина містить змінну під знаком кореня, а отже, не є раціональним виразом. Нерівність теж раціональне, оскільки обидві його частини є раціональними висловлюваннями.

Для зручності подальшого опису введемо підрозділ раціональних нерівностей на цілі та дробові.

Визначення.

Раціональну нерівність називатимемо цілим, якщо обидві його частини – цілі раціональні висловлювання.

Визначення.

Дробно раціональна нерівність– це раціональна нерівність, хоча одна частина якої – дробовий вираз.

Так 0,5·x≤3·(2−5·y) , - цілі нерівності, а 1:x+3>0 і - Дробово раціональні.

Тепер ми маємо чітке розуміння, що є раціональними нерівностями, і можна сміливо починати розбиратися з принципами вирішення цілих і дробово раціональних нерівностей з однією змінною.

Розв'язання цілих нерівностей

Поставимо перед собою завдання: нехай нам треба вирішити цілу раціональну нерівність з однією змінною x виду r(x) , ≥), де r(x) та s(x) – деякі цілі раціональні вирази. Для її вирішення будемо використовувати рівносильні перетворення нерівності.

Перенесемо вираз із правої частини до лівої, що нас призведе до рівносильної нерівності виду r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) з нулем праворуч. Очевидно, що вираз r(x)−s(x) , що утворився в лівій частині, теж цілий, а відомо, що можна будь-яке . Перетворивши вираз r(x)−s(x) на тотожно рівний йому багаточлен h(x) (тут зауважимо, що вирази r(x)−s(x) і h(x) мають однакову змінну x ), ми перейдемо до рівносильного нерівності h(x)<0 (≤, >, ≥).

У найпростіших випадках виконаних перетворень буде достатньо, щоб отримати потрібне рішення, оскільки вони приведуть нас від вихідної цілої раціональної нерівності до нерівності, яку ми вміємо вирішувати, наприклад, до лінійної або квадратної. Розглянемо приклади.

приклад.

Знайдіть розв'язання цілої раціональної нерівності x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1 .

Рішення.

Спочатку переносимо вираз із правої частини до лівої: x·(x+3)+2·x−(x+1) 2 −1≤0. Виконавши все в лівій частині, приходимо до лінійної нерівності 3·x−2≤0 , яка дорівнює вихідній цілій нерівності. Його рішення не становить складності:
3·x≤2 ,
x≤2/3.

Відповідь:

x≤2/3.

приклад.

Розв'яжіть нерівність (x 2 +1) 2 −3·x 2 >(x 2 −x)·(x 2 +x).

Рішення.

Починаємо як звичайно з перенесення виразу з правої частини, а далі виконуємо перетворення в лівій частині, використовуючи :
(x 2 +1) 2 −3·x 2 −(x 2 −x)·(x 2 +x)>0,
x 4 +2·x 2 +1−3·x 2 −x 4 +x 2 >0,
1>0 .

Так, виконуючи рівносильні перетворення, ми дійшли нерівності 1>0 , яка вірна за будь-яких значень змінної x . І це означає, що рішенням вихідної цілої нерівності є будь-яке дійсне число.

Відповідь:

x – будь-яке.

приклад.

Виконайте розв'язання нерівності x+6+2·x 3 −2·x·(x 2 +x−5)>0.

Рішення.

У правій частині нуль, тож із неї нічого переносити не потрібно. Перетворимо цілий вираз, що знаходиться в лівій частині, в багаточлен:
x+6+2·x 3 −2·x 3 −2·x 2 +10·x>0,
−2·x 2 +11·x+6>0 .

Отримали квадратну нерівність, яка дорівнює вихідній нерівності. Вирішуємо його будь-яким відомим нам методом. Проведемо розв'язання квадратної нерівності графічним способом.

Знаходимо коріння квадратного тричлена −2·x 2 +11·x+6 :

Робимо схематичне креслення, на якому відзначаємо знайдені нулі, та враховуємо, що гілки параболи спрямовані вниз, оскільки старший коефіцієнт негативний:

Так як ми вирішуємо нерівність зі знаком, то нас цікавлять проміжки, на яких парабола розташовується вище осі абсцис. Це має місце на інтервалі (-0,5, 6), він і є шуканим рішенням.

Відповідь:

(−0,5, 6) .

У більш складних випадках у лівій частині отриманої нерівності h(x)<0 (≤, >, ≥) буде багаточлен третього або вищого ступеня. Для вирішення таких нерівностей підходить спосіб інтервалів , першому етапі якого необхідно знайти все коріння многочлена h(x) , що часто робиться через .

приклад.

Знайдіть розв'язання цілої раціональної нерівності (x 2 +2)·(x+4)<14−9·x .

Рішення.

Перенесемо все в ліву частину, після чого там і :
(x 2 +2)·(x+4)−14+9·x<0 ,
x 3 +4 · x 2 +2 · x +8-14 +9 · x<0 ,
x 3 +4 · x 2 +11 · x-6<0 .

Зроблені маніпуляції призводять нас до нерівності, яка рівнозначна вихідному. У його лівій частині багаточлен третього ступеня. Вирішити його можна шляхом інтервалів. Для цього в першу чергу треба знайти коріння багаточлена, що впирається в x 3 +4 x 2 +11 x 6 = 0 . З'ясуємо, чи має воно раціональне коріння, яке може бути лише серед дільників вільного члена, тобто, серед чисел ±1, ±2, ±3, ±6. Підставляючи по черзі ці числа замість змінної x рівняння x 3 +4 x 2 +11 x 6 = 0 , з'ясовуємо, що корінням рівняння є числа 1 , 2 і 3 . Це дозволяє уявити многочлен x 3 +4 x 2 +11 x 6 у вигляді твору (x−1)·(x−2)·(x−3) , а нерівність x 3 +4·x 2 +11· x−6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.

А далі залишається виконати стандартні кроки методу інтервалів: відзначити на числовій прямій точці з координатами 1 , 2 і 3 , які розбивають цю пряму на чотири проміжки, визначити та розставити знаки, зобразити штрихування над проміжками зі знаком мінус (оскільки ми вирішуємо нерівність зі знаком<) и записать ответ.

Звідки маємо (−∞, 1)∪(2, 3) .

Відповідь:

(−∞, 1)∪(2, 3) .

Слід зазначити, що іноді недоцільно від нерівності r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) переходити до нерівності h(x)<0 (≤, >, ≥), де h(x) – багаточлен ступеня вище за другий. Це стосується тих випадків, коли складніше розкласти многочлен h(x) на множники, ніж уявити вираз r(x)−s(x) у вигляді добутку лінійних двочленів і квадратних тричленів, наприклад, шляхом винесення за дужки загального множника. Пояснимо це з прикладу.

приклад.

Розв'яжіть нерівність (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)≥2·x·(x 2 −2·x−1).

Рішення.

Це ціла нерівність. Якщо перенести вираз з його правої частини в ліву, після чого розкрити дужки і навести подібні доданки, то вийде нерівність x 4 −4·x 3 −16·x 2 +40·x+19≥0. Вирішити його дуже непросто, оскільки це передбачає пошук коренів багаточлена четвертого ступеня. Нескладно перевірити, що раціонального коріння він не має (ними могли б бути числа 1, -1, 19 або -19), а інші його коріння шукати проблематично. Тому цей шлях тупиковий.

Давайте пошукаємо інші можливості рішення. Неважко помітити, що після перенесення виразу з правої частини вихідної цілої нерівності в ліву, можна винести за дужки загальний множник x 2 −2·x−1 :
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)−2·x·(x 2 −2·x−1)≥0,
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −2·x−19)≥0.

Зроблене перетворення є рівносильним, тому рішення отриманої нерівності буде рішенням та вихідної нерівності.

А тепер ми можемо знайти нулі виразу, що знаходиться в лівій частині отриманої нерівності, для цього треба x 2 −2 x 1 = 0 і x 2 2 x 19 = 0 . Їх корінням є числа . Це дозволяє перейти до рівносильної нерівності , яке ми можемо вирішити методом інтервалів:

За кресленням записуємо відповідь.

Відповідь:

На закінчення цього пункту хочеться лише додати, що не завжди є можливість знайти все коріння многочлена h(x) , як наслідок розкласти їх у твір лінійних двочленів і квадратних тричленів. У цих випадках немає можливості розв'язати нерівність h(x)<0 (≤, >, ≥), отже, немає можливості знайти рішення вихідного цілого раціонального рівняння.

Вирішення дробово раціональних нерівностей

Тепер займемося вирішенням такого завдання: нехай потрібно розв'язати дробову раціональну нерівність з однією змінною x виду r(x) , ≥), де r(x) і s(x) – деякі раціональні вирази, причому хоча б один із них – дробовий. Давайте відразу наведемо алгоритм її розв'язання, після чого внесемо необхідні пояснення.

Алгоритм розв'язання дрібно раціональної нерівностіз однією змінною r(x) , ≥):

Спочатку треба знайти область допустимих значень (ОДЗ) змінної x для вихідної нерівності.
Далі потрібно перенести вираз з правої частини нерівності в ліву, і вираз r(x)−s(x), що там утворився, перетворити до виду дробу p(x)/q(x) , де p(x) і q(x) – цілі вирази, що є творами лінійних двочленів, нерозкладних квадратних тричленів та їх ступенів з натуральним показником.
Далі треба вирішити одержану нерівність методом інтервалів.
Нарешті, з отриманого на попередньому кроці рішення потрібно виключити точки, що не входять до ОДЗ змінної x для вихідної нерівності, яка була знайдена на першому кроці.

Так буде отримано розв'язання дробово раціональної нерівності.

Пояснень потребує другий крок алгоритму. Перенесення виразу з правої частини нерівності до лівої дає нерівність r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), яке дорівнює вихідному. Тут усе зрозуміло. А ось питання викликає подальше його перетворення на вигляд p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥).

Перше питання: «Чи завжди його можна провести»? Теоретично, так. Ми знаємо, що можна будь-яке . У чисельнику та знаменнику раціонального дробу знаходяться багаточлени. А з основної теореми алгебри та теореми Безу випливає, що будь-який багаточлен ступеня n з однією змінною можна подати у вигляді твору лінійних двочленів. Це пояснює можливість проведення зазначеного перетворення.

На практиці ж досить складно розкладати багаточлени на множники, а якщо їх ступінь вищий за четвертий, то і не завжди можливо. Якщо розкладання на множники неможливо, то й можливості знайти рішення вихідної нерівності, але у школі такі випадки зазвичай не трапляються.

Друге питання: «Чи буде нерівність p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥) рівнозначно нерівності r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), а отже, і вихідного»? Воно може бути як рівносильним, так і нерівносильним. Воно рівнозначне тоді, коли ОДЗ для виразу p(x)/q(x) збігається з ОДЗ для виразу r(x)-s(x). В цьому випадку останній крок алгоритму буде зайвим. Але ОДЗ для вираження p(x)/q(x) може виявитися ширшим, ніж ОДЗ для вираження r(x)-s(x). Розширення ОДЗ може відбуватися при скороченні дробів, як, наприклад, при переході від до. Також розширенню ОДЗ може сприяти приведення подібних доданків, як, наприклад, при переході від до. Для цього випадку і призначено останній крок алгоритму, на якому виключаються сторонні рішення, що виникають через розширення ОДЗ. Давайте стежимо за цим, коли розбиратимемо нижче рішення прикладів.

Попередні відомості

Визначення 1

Нерівність виду $f(x) >(≥)g(x)$, в якій $f(x)$ і $g(x)$ будуть цілими раціональними виразами, називається цілою раціональною нерівністю.

Прикладами цілих раціональних нерівностей є лінійні, квадратні, кубічні нерівності із двома змінними.

Визначення 2

Значення $x$, у якому виконується нерівність з визначення $1$, називається коренем рівняння.

Приклад розв'язання таких нерівностей:

Приклад 1

Вирішити цілу нерівність $4x+3 >38-x$.

Рішення.

Спростимо цю нерівність:

Здобули лінійну нерівність. Знайдемо його рішення:

Відповідь: $ (7, ∞) $.

У цій статті ми розглянемо такі способи вирішення цілих раціональних нерівностей.

Спосіб розкладання на множники

Цей спосіб полягатиме в следующем: Записується рівняння виду $f(x)=g(x)$. Це рівняння наводиться до виду $φ(x)=0$ (де $φ(x)=f(x)-g(x)$). Потім функція $φ(x)$ розкладається на множники з мінімально можливими ступенями. Застосовується правило:Добуток багаточленів дорівнює нулю, коли один з них дорівнює нулю. Далі знайдене коріння відзначається на числовій прямій і будується крива знаків. Залежно від знака початкової нерівності записується відповідь.

Наведемо приклади рішення в такий спосіб:

Приклад 2

Вирішити розкладанням на множники. $y^2-9

Рішення.

Розв'яжемо рівняння $y^2-9

Використовуючи формулу різниці квадратів, маємо

Використовуючи правило рівності нулю добутку множників, отримаємо наступне коріння: $3$ і $-3$.

Зобразимо криву знаків:

Так як у початковій нерівності знак «менший», то отримуємо

Відповідь: $(-3,3)$.

Приклад 3

Вирішити розкладанням на множники.

$x^3+3x+2x^2+6 ≥0$

Рішення.

Розв'яжемо наступне рівняння:

$x^3+3x+2x^2+6=0$

Винесемо за дужки загальні множники з перших двох доданків та з останніх двох

$x(x^2+3)+2(x^2+3)=0$

Винесемо загальний множник $(x^2+3)$

$(x^2+3)(x+2)=0$

Використовуючи правило рівності нулю добутку множників, отримаємо:

$x+2=0 \ і \ x^2+3=0$

$x=-2$ і "коріння немає"

Зобразимо криву знаків:

Так як у початковій нерівності знак «більше чи одно», то отримуємо

Відповідь: $(-∞,-2]$.

Спосіб введення нової змінної

Такий спосіб полягає в наступному: Записується рівняння виду $ f (x) = g (x) $. Вирішуємо його так: введемо таку нову змінну, щоб отримати рівняння, спосіб розв'язання якого вже відомий. Його, згодом, вирішуємо та повертаємося до заміни. Із неї і знайдемо рішення першого рівняння. Далі знайдене коріння відзначається на числовій прямій і будується крива знаків. Залежно від знака початкової нерівності записується відповідь.

Наведемо приклад застосування цього способу на прикладі нерівності четвертого ступеня:

Приклад 4

Вирішимо нерівність.

$x^4+4x^2-21 >0$

Рішення.

Розв'яжемо рівняння:

Зробимо наступну заміну:

Нехай $x^2=u (де \ u >0)$, отримуємо:

Вирішуватимемо цю систему за допомогою дискримінанта:

$D=16+84=100=10^2$

Рівняння має два корені:

$x=\frac(-4-10)(2)=-7$ і $x=\frac(-4+10)(2)=3$

Повернемося до заміни:

$x^2=-7$ і $x^2=3$

Перше рівняння немає рішень, та якщо з другого $x=\sqrt(3)$ і $x=-\sqrt(3)$

Зобразимо криву знаків:

Так як у початковій нерівності знак «більше», то отримуємо

Відповідь:$(-∞,-\sqrt(3))∪(\sqrt(3),∞)$

Раціональні нерівності та їх системи. Системи раціональних нерівностей
Підсумкове повторення курсу алгебри 9-го класу

Алгебра 9 клас

Підсумкове повторення курсу алгебри 9-го класу

Раціональні нерівності та їх системи. Системи раціональних нерівностей.

1.1 Конспект.

1. Еквівалентні перетворення раціональних нерівностей.

Визначення. Раціональні нерівностіназивають еквівалентними, якщо безліч їхніх рішень збігаються.

Для позначення еквівалентностівикористовують знак

2. Розв'язання системи нерівностей

Перенесемо числа, що стоять у правій частині, до лівої з протилежним знаком.

У результаті правої частини залишиться 0. Це перетворення є еквівалентним. На це вказує знак

Виконаємо дії, які наказує алгебра. Віднімемо «1» у першій нерівності та «2» у другій.

3. Вирішення нерівності методом інтервалів

1) Введемо функцію. Нам потрібно дізнатися, коли ця функція менша за 0.

3) Знайдемо коріння функції. Функція дорівнює 0, якщо в чисельнику стоїть 0.

Виберемо інтервал, що відповідає умові нерівності. Заштрихуємо його та запишемо у вигляді нерівності

4. Вирішення нерівності за допомогою квадратичної нерівності

Важливий факт.

Це так тому, що всі три нерівності виконуються за умови, що u і v різного знака. Ці три нерівності еквівалентні.

Використовуємо цей факт і замінимо дробово-раціональну нерівність квадратною.

Вирішимо квадратну нерівність.

Введемо квадратичну функцію. Знайдемо її коріння та побудуємо ескіз її графіка.

Значить, гілки параболи вгору. Всередині інтервалу коріння функція зберігає знак. Вона негативна.

Поза інтервалом коренів функція позитивна.

Розв'язання першої нерівності:

5. Вирішення нерівності

Введемо функцію:

Знайдемо її інтервали знаковості:

Розставимо знаки:

Запишемо рішення:

Зобразимо розв'язання першої нерівності над віссю Ох.

Рішення другої нерівності зобразимо під віссю.

А сьогодні раціональні нерівності не всі можуть вирішувати. Точніше, вирішувати можуть не тільки всі. Мало хто може це робити.
Кличко

Цей урок буде жорстким. Настільки жорстким, що до кінця його дійдуть лише Вибрані. Тому перед початком читання рекомендую прибрати від екранів жінок, кішок, вагітних дітей та...

Та гаразд, насправді все просто. Припустимо, ви освоїли метод інтервалів (якщо не освоїли - рекомендую повернутися і прочитати) і навчилися вирішувати нерівності виду $P\left(x \right) \gt 0$, де $P\left(x \right)$ - який-небудь багаточлен або добуток багаточленів.

Вважаю, що для вас не важко вирішити, наприклад, ось таку дичину (до речі, спробуйте для розминки):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Тепер трохи ускладнимо завдання і розглянемо не просто багаточлени, а так звані раціональні дроби виду:

де $P\left(x \right)$ і $Q\left(x \right)$ — ті самі багаточлени виду $((a)_(n))((x)^(n))+(( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, або добуток таких многочленів.

Це і буде раціональна нерівність. Принциповим моментом є наявність змінної $x$ у знаменнику. Наприклад, ось це раціональні нерівності:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\\end(align)\]

А це — не раціональна, а звичайнісінька нерівність, яка вирішується методом інтервалів:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Забігаючи вперед, відразу скажу: існує як мінімум два способи розв'язання раціональних нерівностей, але вони так чи інакше зводяться до вже відомого нам методу інтервалів. Тому перш ніж розбирати ці способи, давайте згадаємо старі факти, інакше користі від нового матеріалу не буде ніякого.

Що вже треба знати

Важливих фактів не буває багато. Справді знадобиться нам лише чотири.

Формули скороченого множення

Так, так: вони будуть переслідувати нас протягом усієї шкільної програми математики. І в університеті також. Цих формул досить багато, але нам знадобляться лише такі:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \right); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2)) \right). \\ \end(align)\]

Зверніть увагу на останні дві формули – це сума та різниця кубів (а не куб суми чи різниці!). Їх легко запам'ятати, якщо помітити, що знак у першій дужці збігається зі знаком у вихідному виразі, а в другій протилежний знаку вихідного виразу.

Лінійні рівняння

Це найпростіші рівняння виду $ax+b=0$, де $a$ і $b$ — це звичайні числа, причому $a\ne 0$. Таке рівняння вирішується просто:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\ & ax=-b; \ & x = - \ frac (b) (a). \\ \end(align)\]

Зазначу, що маємо право ділити на коефіцієнт $a$, адже $a\ne 0$. Ця вимога цілком логічна, оскільки за $a=0$ ми отримаємо ось що:

По-перше, у цьому рівнянні немає змінної $x$. Це, взагалі кажучи, не повинно нас бентежити (таке трапляється, скажімо, в геометрії, причому досить часто), але все ж таки перед нами вже не лінійне рівняння.

По-друге, рішення цього рівняння залежить лише від коефіцієнта $b$. Якщо $b$ теж нуль, то наше рівняння має вигляд $0=0$. Ця рівність вірна завжди; отже, $x$ — будь-яке число (зазвичай це записується так: $x\in \mathbb(R)$). Якщо коефіцієнт $b$ не дорівнює нулю, то рівність $b=0$ будь-коли виконується, тобто. відповідей немає (записується $x\in \varnothing$ і читається «безліч рішень порожньо»).

Щоб уникнути всіх цих складнощів, просто вважають $a\ne 0$, що анітрохи не обмежує нас у подальших роздумах.

Квадратні рівняння

Нагадаю, що квадратним рівнянням називається ось це:

Тут зліва многочлен другого ступеня, причому знову $a\ne 0$ (інакше замість квадратного рівняння отримаємо лінійне). Вирішуються такі рівняння через дискримінант:

Якщо $D \gt 0$, ми отримаємо два різні корені;
Якщо $ D = 0 $, то корінь буде один, але другий кратності (що це за кратність і як її враховувати про це трохи пізніше). Або можна сказати, що рівняння має два однакові корені;
При $D \lt 0$ коріння взагалі немає, а знак багаточлена $a((x)^(2))+bx+c$ за будь-якого $x$ збігається зі знаком коефіцієнта $a$. Це, до речі, дуже корисний факт, про який чомусь забувають розповісти під час уроків алгебри.

Саме коріння вважається за всією відомою формулою:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Звідси, до речі, обмеження на дискримінант. Адже квадратний корінь із негативного числа не існує. З приводу коріння у багатьох учнів моторошна каша в голові, тому я спеціально записав цілий урок: що таке корінь в алгебрі і як його рахувати — дуже рекомендую почитати.

Дії з раціональними дробами

Все, що було написано вище, ви знаєте, якщо вивчали метод інтервалів. А ось те, що ми розберемо зараз, не має аналогів у минулому, — це зовсім новий факт.

Визначення. Раціональний дріб - це вираз виду

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

де $P\left(x \right)$ і $Q\left(x \right)$ - багаточлени.

Очевидно, що з такого дробу легко отримати нерівність — достатньо лише приписати знак «більше» або «менше» праворуч. І трохи далі ми виявимо, що вирішувати такі завдання – одне задоволення, там усе дуже просто.

Проблеми починаються тоді, як у одному вираженні кілька таких дробів. Їх доводиться призводити до спільного знаменника — і саме в цей момент допускається велика кількість образливих помилок.

Тому для успішного вирішення раціональних рівнянь необхідно твердо засвоїти дві навички:

Розкладання многочлена $P\left(x \right)$ на множники;
Власне, приведення дробів до спільного знаменника.

Як розкласти багаточлени на множники? Дуже просто. Нехай у нас є багаточлена виду

Прирівнюємо його до нуля. Отримаємо рівняння $n$-го ступеня:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Припустимо, ми вирішили це рівняння і отримали коріння $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (не лякайтеся: у більшості випадків цього коріння буде не більше двох) . У такому разі наш вихідний багаточлен можна переписати так:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

От і все! Зверніть увагу: старший коефіцієнт $((a)_(n))$ нікуди не зник - він буде окремим множником перед дужками, і при необхідності його можна внести в будь-яку з цих дужок (практика показує, що при $((a)_ (n))\ne \pm 1$ серед коренів майже завжди є дроби).

Завдання. Спростіть вираз:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Рішення. Спочатку подивимося на знаменники: всі вони — лінійні двочлени, і розкладати на множники тут нічого. Тому давайте розкладемо на множники чисельники:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3 \right)\left(x-1 \right); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \right)\left(2-5x \right). \\end(align)\]

Зверніть увагу: у другому багаточлені старший коефіцієнт «2» у повній відповідності до нашої схеми спочатку опинився перед дужкою, а потім був внесений до першої дужки, оскільки там виліз дріб.

Те саме сталося і в третьому багаточлені, тільки там ще й порядок переплутаних доданків. Однак коефіцієнт «−5» у результаті виявився внесений у другу дужку (пам'ятайте: вносити множник можна в одну і тільки в одну дужку!), що позбавило нас незручностей, пов'язаних з дробовим корінням.

Щодо першого багаточлена, там все просто: його коріння шукається або стандартно через дискримінант, або за теоремою Вієта.

Повернемося до вихідного виразу та перепишемо його з розкладеними на множники чисельниками:

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matrix)\]

Відповідь: $5x+4$.

Як бачите, нічого складного. Небагато математики 7-8 класу - і все. Сенс всіх перетворень у тому й полягає, щоб отримати зі складного і страшного виразу щось просте, з чим легко працювати.

Однак, так буде не завжди. Тому зараз ми розглянемо більш серйозне завдання.

Але спочатку розберемося з тим, як привести два дроби до спільного знаменника. Алгоритм гранично простий:

Розкласти на множники обидва знаменники;
Розглянути перший знаменник і додати до нього множники, що є у другому знаменнику, проте відсутні у першому. Отриманий твір буде спільним знаменником;
З'ясувати, яких множників не вистачає кожного з вихідних дробів, щоб знаменники стали рівними загальному.

Можливо, цей алгоритм вам здасться просто текстом, в якому багато літер. Тому розберемо все на конкретному прикладі.

Завдання. Спростіть вираз:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Рішення. Такі об'ємні завдання краще вирішувати частинами. Випишемо те, що стоїть у першій дужці:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

На відміну від попереднього завдання, тут із знаменниками все не так просто. Розкладемо на множники кожен із них.

Квадратний тричлен $((x)^(2))+2x+4$ на множники не розкладається, оскільки рівняння $((x)^(2))+2x+4=0$ не має коріння (дискримінант негативний). Залишаємо його без змін.

Другий знаменник - кубічний багаточлен $((x)^(3))-8$ - при уважному розгляді є різницею кубів і легко розкладається за формулами скороченого множення:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \right)\]

Більше нічого розкласти на множники не можна, оскільки в першій дужці стоїть лінійний двочлен, а в другій — вже знайома нам конструкція, яка не має дійсних коренів.

Нарешті, третій знаменник є лінійний двочлен, який не можна розкласти. Таким чином, наше рівняння набуде вигляду:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

Цілком очевидно, що спільним знаменником буде саме $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$, і для приведення до нього всіх дробів необхідно перший дроб домножити на $\left(x-2 \right)$, а останню - на $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Потім залишиться лише навести такі:

\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ right))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ left(((x)^(2))+2x+4 \right)). \\ \end(matrix)\]

Зверніть увагу до другий рядок: коли знаменник вже загальний, тобто. замість трьох окремих дробів ми написали один великий, не варто відразу позбавлятися дужок. Краще напишіть зайвий рядок і відзначте, що, скажімо, перед третім дробом стояв мінус — і він нікуди не подінеться, а «висітиме» в чисельнику перед дужкою. Це позбавить вас безлічі помилок.

Ну і в останньому рядку корисно розкласти на множники чисельник. Тим більше, що це точний квадрат, і нам на допомогу знову приходять формули скороченого множення. Маємо:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Тепер так само розберемося з другою дужкою. Тут я просто напишу ланцюжок рівностей:

\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(matrix)\]

Повертаємося до вихідного завдання та дивимося на твір:

\[\frac(x-2)((((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Відповідь: \[\frac(1)(x+2)\].

Сенс цього завдання такий самий, як і в попередньої: показати, наскільки можуть спрощуватися раціональні вислови, якщо підійти до їхнього перетворення з розумом.

І ось тепер, коли ви все це знаєте, давайте перейдемо до основної теми сьогоднішнього уроку — розв'язання дрібних раціональних нерівностей. Тим більше що після такої підготовки самі нерівності ви клацатимете як горішки.:)

Основний спосіб розв'язання раціональних нерівностей

Існує щонайменше два підходи до вирішення раціональних нерівностей. Зараз ми розглянемо один із них — той, який є загальноприйнятим у шкільному курсі математики.

Але спочатку відзначимо важливу деталь. Усі нерівності поділяються на два типи:

Суворі: $f\left(x \right) \gt 0$ або $f\left(x \right) \lt 0$;
Нестрогі: $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $ або $ f \ left (x \ right) \ le 0 $.

Нерівності другого типу легко зводяться до першого, а також рівняння:

Це невелике «доповнення» $f\left(x \right)=0$ призводить до такої неприємної штуки, як зафарбовані точки - ми познайомилися з ними ще в методі інтервалів. В іншому ніяких відмінностей між строгими та нестрогими нерівностями немає, тому давайте розберемо універсальний алгоритм:

Зібрати всі ненульові елементи з одного боку знаку нерівності. Наприклад, ліворуч;

Привести всі дроби до спільного знаменника (якщо таких дробів виявиться кілька), навести подібні. Потім по можливості розкласти на чисельник та знаменник на множники. Так чи інакше ми отримаємо нерівність виду $ \ frac (P \ left (x \ right)) (Q \ left (x \ right)) \ vee 0 $, де "галочка" - знак нерівності.

Прирівнюємо чисельник до нуля: $ P \ left (x \ right) = 0 $. Вирішуємо це рівняння і отримуємо коріння $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Потім вимагаємо, щоб знаменник дорівнював нулю: $Q\left(x \right)\ne 0$. Зрозуміло, насправді доводиться вирішити рівняння $Q\left(x \right)=0$, і ми отримаємо коріння $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$, $x_(3 )^(*)$, ... (у справжніх завданнях такого коріння навряд чи буде більше трьох).

Відзначаємо все це коріння (і зі зірочками, і без) на єдиній числовій прямій, причому коріння без зірок зафарбоване, а зі зірками — виколоте.

Розставляємо знаки «плюс» та «мінус», вибираємо ті інтервали, які нам потрібні. Якщо нерівність має вигляд $f\left(x \right) \gt 0$, то у відповідь підуть інтервали, відзначені плюсом. Якщо $f\left(x \right) \lt 0$, то дивимося на інтервали з мінусами.

Практика показує, що найбільші труднощі викликають пункти 2 і 4 - грамотні перетворення та правильне розміщення чисел у порядку зростання. Ну, і на останньому кроці будьте дуже уважні: ми завжди розставляємо знаки, спираючись на остання нерівність, записана перед переходом до рівнянь. Це універсальне правило, успадковане ще методу інтервалів.

Отже, схема є. Давайте потренуємось.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Рішення. Перед нами сувора нерівність виду $f \ left (x \ right) \ lt 0 $. Очевидно, пункти 1 і 2 із нашої схеми вже виконані: всі елементи нерівності зібрані зліва, до спільного знаменника нічого не треба приводити. Тому переходимо одразу до третього пункту.

Прирівнюємо до нуля чисельник:

\[\begin(align) & x-3=0; \ & x = 3. \end(align)\]

І знаменник:

\[\begin(align) & x+7=0; \&((x)^(*))=-7. \\ \end(align)\]

У цьому місці багато хто залипає, адже за ідеєю потрібно записати $x+7\ne 0$, як того вимагає ОДЗ (на нуль ділити не можна, ось це все). Але ж надалі ми виколюватимемо точки, що прийшли зі знаменника, тому зайвий раз ускладнювати свої викладки не варто — скрізь пишіть знак рівності і не парьтеся. Ніхто за це бали не знизить.

Четвертий пункт. Відзначаємо отримане коріння на числовій прямій:
Усі точки виколоті, оскільки нерівність — сувора
Зверніть увагу: всі точки виколоти, оскільки вихідна нерівність сувора. І тут уже неважливо: з чисельника ці точки прийшли чи зі знаменника.

Та й дивимося знаки. Візьмемо будь-яке число $((x)_(0)) \gt 3$. Наприклад, $((x)_(0))=100$ (але з тим самим успіхом можна було взяти $((x)_(0))=3,1$ або $((x)_(0)) = 1 \ 000 \ 000 $). Отримаємо:

Отже, праворуч від усіх коренів у нас позитивна область. А при переході через кожен корінь знак змінюється (так буде не завжди, але це пізніше). Тому переходимо до п'ятого пункту: розставляємо знаки та обираємо необхідне:

Повертаємося до останньої нерівності, яка була перед розв'язанням рівнянь. Власне, воно збігається з вихідним, адже жодних перетворень у цьому ми не виконували.

Оскільки потрібно вирішити нерівність виду $f\left(x \right) \lt 0$, я заштрихував інтервал $x\in \left(-7;3 \right)$ - він єдиний відзначений знаком "мінус". Це є відповідь.

Відповідь: $x\in \left(-7;3 \right)$

От і все! Хіба складно? Ні, не складно. Щоправда, і завдання було легке. Зараз трохи ускладнимо місію і розглянемо «навороченішу» нерівність. При його вирішенні я вже не даватиму таких докладних викладок — просто позначу ключові моменти. Загалом, оформимо його так, як оформляли б на самостійній роботі чи іспиті.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Рішення. Це несувора нерівність виду $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $. Усі ненульові елементи зібрані зліва, різних знаменників немає. Переходимо до рівнянь.

Чисельник:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rightarrow ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(align)\]

Знаменник:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \ & 13x = 4; \ & ((x) ^ (*)) = \ frac (4) (13). \\ \end(align)\]

Не знаю, що за збоченець становив це завдання, але коріння вийшло не дуже: їх буде важко розставити на числовій прямій. І якщо з коренем $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ все більш-менш ясно (це єдине позитивне число - воно буде праворуч), то $((x)_(1) ))=-(1)/(7)\;$ і $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ вимагають додаткового дослідження: яке з них більше?

З'ясувати це можна, наприклад, так:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]

Сподіваюся, не треба пояснювати, чому числовий дріб $-(2)/(14); \gt -(2)/(11)\;$? Якщо потрібно, рекомендую згадати, як виконувати дії з дробами.

А ми відзначаємо всі три корені на числовій прямій:
Крапки з чисельника зафарбовані, зі знаменника - виколоти
Розставляємо знаки. Наприклад, можна взяти $((x)_(0))=1$ і з'ясувати знак у цій точці:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Остання нерівність перед рівняннями була $f\left(x \right)\ge 0$, тому нас цікавить знак «плюс».

Отримали дві множини: один — звичайний відрізок, а інший — відкритий промінь на числовій прямій.

Відповідь: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Важливе зауваження щодо чисел, які ми підставляємо для з'ясування знака на правому інтервалі. Зовсім необов'язково підставляти число, близьке до правого кореня. Можна брати мільярди або навіть «плюс-нескінченність» — у цьому випадку знак багаточлена стоїть у дужці, чисельнику чи знаменнику, визначається виключно знаком старшого коефіцієнта.

Давайте ще раз подивимося на функцію $f\left(x \right)$ з останньої нерівності:

У її записі присутні три багаточлени:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \& ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \ & Q \ left (x \ right) = 13x-4. \end(align)\]

Усі вони є лінійними двочленами, і в усіх старші коефіцієнти (числа 7, 11 та 13) позитивні. Отже, при підстановці дуже великих чисел самі багаточлени також будуть позитивними.:)

Це може здатися надмірно складним, але спочатку, коли ми розуміємо дуже легкі завдання. У серйозних нерівностях підстановка «плюс-нескінченності» дозволить нам з'ясувати знаки набагато швидше, ніж стандартне $((x)_(0))=100$.

Ми дуже скоро зіткнемося з такими завданнями. Але спочатку розберемо альтернативний спосіб розв'язання дрібно-раціональних нерівностей.

Альтернативний спосіб

Цей прийом мені підказала одна з моїх учениць. Сам я ніколи ним не користувався, проте практика показала, що багатьом учням справді зручніше вирішувати нерівності саме в такий спосіб.

Отже, вихідні дані самі. Потрібно вирішити дробово-раціональну нерівність:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Давайте подумаємо: чим багаточлен $Q\left(x \right)$ "гірше" багаточлена $P\left(x \right)$? Через що нам доводиться розглядати окремі групи коренів (зі зірочкою і без), думати про виколоті точки і т.д.? Все просто: у дробу є область визначення, згідно з якою дріб має сенс лише тоді, коли його знаменник відмінний від нуля.

В іншому ніяких відмінностей між чисельником і знаменником не простежується: ми так само прирівнюємо його до нуля, шукаємо коріння, потім відзначаємо їх на числовій прямій. То чому б не замінити дробову межу (фактично знак розподілу) звичайним множенням, а всі вимоги ОДЗ прописати у вигляді окремої нерівності? Наприклад, так:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Зверніть увагу: такий підхід дозволить звести завдання до методу інтервалів, але при цьому не ускладнить рішення. Адже все одно ми прирівнюватимемо багаточлен $Q\left(x \right)$ до нуля.

Погляньмо, як це працює на реальних завданнях.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Рішення. Отже, переходимо до методу інтервалів:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Перше нерівність вирішується елементарно. Просто прирівнюємо кожну дужку до нуля:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \ & x-11 = 0 \ Rightarrow ((x)_ (2)) = 11. \\ \end(align)\]

З другою нерівністю теж все просто:

Зазначаємо точки $((x)_(1))$ і $((x)_(2))$ на числовій прямій. Всі вони виколоті, оскільки нерівність сувора:
Права крапка виявилася виколотою двічі. Це нормально.
Зверніть увагу на точку $x=11$. Виходить, що вона «двічі виколота»: з одного боку, ми виколюємо її через суворість нерівності, з іншого — через додаткову вимогу ОДЗ.

У будь-якому випадку, це буде просто виколота крапка. Тому розставляємо знаки для нерівності $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ — останньої, яку ми бачили перед тим, як почали вирішувати рівняння:

Нас цікавлять позитивні області, оскільки ми вирішуємо нерівність виду $f\left(x \right) \gt 0$ - їх і зафарбуємо. Залишилося лише записати відповідь.

Відповідь. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

На прикладі цього рішення хотів би застерегти вас від поширеної помилки серед учнів-початківців. А саме: ніколи не розкривайте дужки у нерівностях! Навпаки, намагайтеся все розкласти на множники - це спростить рішення і позбавить вас багатьох проблем.

Тепер спробуємо дещо складніше.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Рішення. Це несувора нерівність виду $ f \ left (x \ right) \ le 0 $, тому тут потрібно уважно стежити за зафарбованими точками.

Переходимо до методу інтервалів:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\\end(align) \right.\]

Переходимо до рівняння:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1)) = 6,5; \ \ & 12x-9 = 0 \ Rightarrow ((x)_ (2)) = 0,75; \& & 15x+33=0\Rightarrow ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(align)\]

Враховуємо додаткову вимогу:

Відзначаємо всі отримані коріння на числовій прямій:
Якщо точка одночасно і виколота, і зафарбована, вона вважається виколотою
Знову дві точки «накладаються» одна на одну – це нормально, так буде завжди. Важливо лише розуміти, що точка, позначена одночасно виколотою та зафарбованою, насправді є виколотою. Тобто. «виколювання» — сильніша дія, ніж «зафарбовування».

Це абсолютно логічно, адже виколюванням ми відзначаємо точки, які впливають на знак функції, але самі не беруть участі у відповіді. І якщо в якийсь момент число перестає нас влаштовувати (наприклад, не потрапляє до ОДЗ), ми викреслюємо його з розгляду до кінця завдання.

Загалом, вистачить філософствувати. Розставляємо знаки та зафарбовуємо ті інтервали, які позначені знаком «мінус»:

Відповідь. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

І знову хотів звернути вашу увагу на це рівняння:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Ще раз: ніколи не розкривайте дужки у таких рівняннях! Ви лише ускладните собі завдання. Пам'ятайте: добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Отже, дане рівняння просто «розвалюється» на кілька дрібніших, які ми вирішували в попередній задачі.

Облік кратності коренів

З попередніх завдань легко помітити, що найбільшу складність становлять саме несуворі нерівності, тому що доводиться стежити за зафарбованими точками.

Але в світі є ще більше зло - це кратне коріння в нерівностях. Тут уже доводиться стежити не за якимись там зафарбованими точками - тут знак нерівності може раптово не змінитись при переході через ці точки.

Нічого подібного ми у цьому уроці ще розглядали (хоча аналогічна проблема часто зустрічалася у методі інтервалів). Тому введемо нове визначення:

Визначення. Корінь рівняння $((\left(x-a \right))^(n))=0$ дорівнює $x=a$ і називається коренем $n$-ї кратності.

Власне, нас не дуже цікавить точне значення кратності. Важливо лише те, парним чи непарним є це число $n$. Тому що:

Якщо $x=a$ корінь парної кратності, то знак функції при переході через нього не змінюється;
І навпаки, якщо $x=a$ — корінь непарної кратності, знак функції зміниться.

Приватним випадком кореня непарної кратності є попередні завдання, розглянуті у цьому уроці: там скрізь кратність дорівнює одиниці.

І ще. Перед тим, як ми почнемо вирішувати завдання, хотів би звернути вашу увагу на одну тонкість, яка здасться очевидною для досвідченого учня, але вганяє в ступор багатьох початківців. А саме:

Корінь кратності $n$ виникає тільки в тому випадку, коли в цей ступінь зводиться весь вираз: $((\left(x-a \right))^(n))$, а не $\left(((x)^( n))-a \right)$.

Ще раз: дужка $((\left(x-a \right))^(n))$ дає нам корінь $x=a$ кратності $n$, а ось дужка $\left(((x)^(n)) -a \right)$ або, як часто буває, $(a-((x)^(n)))$ дає нам корінь (або два корені, якщо $n$ — парне) першої кратності незалежно від того, чому і $n$.

Порівняйте:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Тут все чітко: вся дужка зводилася на п'яту ступінь, тому на виході ми отримали корінь п'ятого ступеня. А зараз:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Ми отримали два корені, але обидва вони мають першу кратність. Або ось ще:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

І нехай вас не бентежить десятий ступінь. Головне, що 10 — це парне число, тому на виході маємо два корені, і вони знову мають першу кратність.

Загалом будьте уважні: кратність виникає лише тоді, коли ступінь відноситься до всієї дужки, а не тільки до змінної.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7) \right))^(5)))\ge 0\]

Рішення. Спробуємо вирішити її альтернативним способом через перехід від приватного до твору:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align ) \right.\]

Розбираємось з першою нерівністю методом інтервалів:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \right))^(5))=0; \ \ & ((x) ^ (2)) = 0 \ Rightarrow x = 0 \ left (2k \ right); \& ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x + 4 = 0 \ Rightarrow x = -4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end(align)\]

Додатково вирішуємо другу нерівність. Насправді ми вже вирішували його, але щоб перевіряючі не причепилися до рішення, краще вирішити його ще раз:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Зверніть увагу: жодних кратностей в останній нерівності немає. Справді: яка різниця, скільки разів викреслювати точку $x=-7$ на числовій прямій? Хоч один раз, хоч п'ять — результат буде той самий: виколота точка.

Зазначимо все, що ми отримали, на числовій прямій:

Як я й казав, точка $x=-7$ у результаті буде виколота. Кратності розставлені з рішення нерівності шляхом інтервалів.

Залишилося розставити знаки:

Оскільки точка $x=0$ є коренем парної кратності, знак під час переходу неї не змінюється. Інші точки мають непарну кратність, і з ними все просто.

Відповідь. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Ще раз зверніть увагу на $x=0$. Через парну кратність виникає цікавий ефект: ліворуч від неї все зафарбовано, праворуч — теж, та й сама точка цілком собі зафарбована.

Як наслідок, її не потрібно відокремлювати під час запису відповіді. Тобто. не треба писати що-небудь на кшталт $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (хоча формально така відповідь теж буде правильною). Натомість відразу пишемо $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Такі ефекти можливі лише при коренях парної кратності. І в наступному завданні ми зіткнемося зі зворотним «виявом» цього ефекту. Чи готові?

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Рішення. На цей раз підемо за стандартною схемою. Прирівнюємо до нуля чисельник:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \ & (( \ left (x-3 \ right)) ^ (4)) = 0 \ Rightarrow ((x)_ (1)) = 3 \ left (4k \ right); \ \ & x-4 = 0 \ Rightarrow ((x)_ (2)) = 4. \\ \end(align)\]

І знаменник:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(align)\]

Оскільки ми вирішуємо нестрокову нерівність виду $f\left(x \right)\ge 0$, коріння зі знаменника (яке зі зірочками) буде виколоте, а з чисельника — зафарбоване.

Розставляємо знаки та штрихуємо області, відзначені «плюсом»:
Крапка $ x = 3 $ - ізольована. Це частина відповіді
Перед тим, як записати остаточну відповідь, уважно подивимося на картинку:

Крапка $x=1$ має парну кратність, але сама виколота. Отже, її доведеться відокремити у відповіді: потрібно записати $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, а не $x\in \left(-\ infty ;2 \right)$.

Крапка $x=3$ теж має парну кратність і зафарбована. Розташування знаків свідчить, що сама точка нас влаштовує, але крок ліворуч-праворуч — і ми потрапляємо в область, яка нас точно не влаштовує. Такі точки називаються ізольованими і записуються як $x\in \left$ 3 \right$$.

Об'єднуємо всі отримані шматочки в загальну кількість і записуємо відповідь.

Відповідь: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Визначення. Вирішити нерівність - значить знайти безліч його рішень, або довести, що це безліч порожньо.

Здавалося б: що тут може бути незрозумілим? Та в тому й річ, що безлічі можна ставити по-різному. Давайте ще раз випишемо відповідь до останнього завдання:

Читаємо буквально, що написано. Змінна «ікс» належить нікому множині, що виходить об'єднанням (значок «U») чотирьох окремих множин:

Інтервал $\left(-\infty ;1 \right)$, який буквально означає "всі числа, менші одиниці, але не сама одиниця";
Інтервал $ \ left (1; 2 \ right) $, тобто. «всі числа не більше від 1 до 2, але з самі числа 1 і 2»;
Безліч $ \ left \ (3 \ right \) $, Що складається з одного-однини - трійки;
Інтервал $ \ left [4; 5 \ right) $, що містить всі числа в межах від 4 до 5, а також саму четвірку, але не п'ятірку.

Інтерес тут є третім пунктом. На відміну від інтервалів, які задають нескінченні набори чисел і лише позначають лише межі цих наборів, безліч $ \ left \ (3 \ right \) $ задає строго одне число шляхом перерахування.

Щоб зрозуміти, що ми саме перераховуємо конкретні числа, що входять до множини (а не задаємо межі або ще), використовуються фігурні дужки. Наприклад, запис $ \ left \ (1; 2 \ right \) $ означає саме «множина, що складається з двох чисел: 1 і 2», але ніяк не відрізок від 1 до 2. У жодному разі не плутайте ці поняття.

Правило складання кратностей

Ну і на закінчення сьогоднішнього уроку трохи бляхи від Павла Бердова.:)

Уважні учні вже напевно запитали: а що буде, якщо в чисельнику і знаменнику виявиться однакове коріння? Так ось, працює таке правило:

Кратності однакового коріння складаються. Завжди. Навіть якщо це коріння зустрічається і в чисельнику, і в знаменнику.

Іноді краще вирішувати, аніж говорити. Тому вирішуємо таке завдання:

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \right))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(align)\]

Поки що нічого особливого. Прирівнюємо до нуля знаменник:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(align)\]

Виявлено два однакові корені: $((x)_(1))=-2$ і $x_(4)^(*)=-2$. Обидва мають першу кратність. Отже, замінюємо їх одним коренем $x_(4)^(*)=-2$, але вже з кратністю 1+1=2.

Крім того, є ще однакові корені: $((x)_(2))=-4$ і $x_(2)^(*)=-4$. Вони також першої кратності, тому залишиться лише $x_(2)^(*)=-4$ кратності 1+1=2.

Зверніть увагу: в обох випадках ми залишили саме виколотий корінь, а зафарбований викинули з розгляду. Тому що ще на початку уроку домовилися: якщо точка одночасно і виколота, і зафарбована, ми все одно вважаємо її виколотою.

У результаті у нас є чотири корені, причому всі виявилися виколоті:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \end(align)\]

Зазначаємо їх на числовій прямій з урахуванням кратності:

Розставляємо знаки і зафарбовуємо області, що цікавлять нас:

Всі. Жодних ізольованих точок та інших збочень. Можна записувати відповідь.

Відповідь. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Правило множення кратностей

Іноді зустрічається ще неприємніша ситуація: рівняння, що має кратне коріння, саме зводиться в деякий ступінь. При цьому змінюються кратності всіх вихідних коренів.

Таке зустрічається рідко, тому більшість учнів немає досвіду вирішення подібних завдань. А правило тут таке:

При зведенні рівняння ступінь $n$ кратності всіх його коренів теж збільшуються в $n$ разів.

Іншими словами, зведення у ступінь призводить до множення кратностей на цей же ступінь. Розглянемо це правило з прикладу:

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Рішення. Прирівнюємо до нуля чисельник:

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. З першим множником зрозуміло: $x=0$. А ось далі починаються проблеми:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \&((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

Як бачимо, рівняння $((x)^(2))-6x+9=0$ має єдиний корінь другої кратності: $x=3$. Потім усе це рівняння зводиться квадрат. Отже, кратність кореня становитиме $2\cdot 2=4$, що ми у результаті записали.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Зі знаменником теж жодних проблем:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(align)\]

У сумі у нас вийшло п'ять крапок: дві виколоті і три зафарбовані. Збігаються коріння в чисельнику і знаменнику не спостерігається, тому просто відзначаємо їх на числовій прямій:

Розставляємо знаки з урахуванням кратностей і зафарбовуємо інтервали, що цікавлять нас:
Знову одна ізольована точка та одна виколота
Через коріння парної кратності знову отримали пару «нестандартних» елементів. Це $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, а не $x\in \left[ 0;2 \right)$, а також ізольована точка $ x\in \left$3 \right$$.

Відповідь. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Як бачите, все не так складно. Головне – уважність. Останній розділ цього уроку присвячений перетворенням - тим, які ми обговорювали на самому початку.

Попередні перетворення

Нерівності, які ми розберемо у цьому розділі, не можна назвати складними. Однак, на відміну від попередніх завдань, тут доведеться застосувати навички з теорії раціональних дробів — розкладання на множники та приведення до спільного знаменника.

Ми детально обговорювали це питання на початку сьогоднішнього уроку. Якщо ви не впевнені, що розумієте, про що мова — рекомендую повернутися і повторити. Тому що немає жодного сенсу зубрити методи розв'язання нерівностей, якщо ви «плаваєте» у перетворенні дробів.

У домашній роботі, до речі, також буде багато подібних завдань. Вони винесені до окремого підрозділу. І там на вас чекають дуже нетривіальні приклади. Але це буде в хаті, а зараз давайте розберемо кілька таких нерівностей.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Рішення. Переносимо все вліво:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Приводимо до спільного знаменника, розкриваємо дужки, наводимо подібні доданки в чисельнику:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \) right))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Тепер перед нами класична дробово-раціональна нерівність, вирішення якої вже не становить труднощів. Пропоную вирішити його альтернативним методом через метод інтервалів:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(align)\]

Не забуваємо обмеження, що прийшло зі знаменника:

Відзначаємо всі числа та обмеження на числовій прямій:

Усі коріння мають першу кратність. Ніяких проблем. Просто розставляємо знаки та зафарбовуємо потрібні нам області:

Це все. Можна записувати відповідь.

Відповідь. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Зрозуміло, це був зовсім просто приклад. Тому зараз розглянемо завдання серйозніше. І до речі, рівень цього завдання цілком відповідає самостійним та контрольним роботам з цієї теми у 8 класі.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Рішення. Переносимо все вліво:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Перед тим, як приводити обидва дроби до спільного знаменника, розкладемо ці знаменники на множники. Раптом вилізуть однакові дужки? З першим знаменником легко:

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

З другим трохи складніше. Не соромтеся вносити множник-константу в ту дужку, де виявився дріб. Пам'ятайте: вихідний багаточлен мав цілі коефіцієнти, тому велика ймовірність, що і розкладання на множники матиме цілі коефіцієнти (насправді так буде завжди, за винятком випадків, коли дискримінант є ірраціональним).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

Як бачимо, є загальна дужка: $ \ left (x-1 \ right) $. Повертаємося до нерівності та наводимо обидва дроби до спільного знаменника:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(align)\]

Прирівнюємо до нуля знаменник:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( align)\]

Жодних кратностей і збігаються коріння. Зазначаємо чотири числа на прямій:

Розставляємо знаки:

Записуємо відповідь.

Відповідь: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ right) $.