Дрібний калькулятор онлайн зі ступенями. Зведення одночлена в ступінь

Серед різних виразів, що розглядаються в алгебрі, важливе місце посідають суми одночленів. Наведемо приклади таких виразів:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Суму одночленів називають багаточленом. Доданки в многочлен називають членами многочлена. Одночлени також відносять до многочленів, вважаючи одночлен, що складається з одного члена.

Наприклад, багаточлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можна спростити.

Представимо всі складові у вигляді одночленів стандартного вигляду:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Наведемо в отриманому багаточлені такі члени:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Вийшов багаточлен, усі члени якого є одночленами стандартного виду, причому серед них немає подібних. Такі багаточлени називають багаточленами стандартного вигляду.

За ступінь багаточленастандартного виду приймають найбільший із ступенів його членів. Так, двочлен \(12a^2b - 7b \) має третій ступінь, а тричлен \(2b^2 -7b + 6 \) - другий.

Зазвичай члени многочленів стандартного виду, що містять одну змінну, мають у своєму розпорядженні в порядку зменшення показників її ступеня. Наприклад:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Суму кількох багаточленів можна перетворити (спростити) на багаточлен стандартного виду.

Іноді члени багаточлена потрібно розбити на групи, укладаючи кожну групу на дужки. Оскільки укладання в дужки - це перетворення, зворотне розкриття дужок, то легко сформулювати правила розкриття дужок:

Якщо перед дужками ставиться знак «+», то члени, які укладаються у дужки, записуються з тими самими знаками.

Якщо перед дужками ставиться знак «-», то члени, які укладаються в дужки, записуються протилежними знаками.

Перетворення (спрощення) твору одночлена та багаточлена

За допомогою розподільної властивості множення можна перетворити (спростити) на багаточлен добуток одночлена та багаточлена. Наприклад:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Твір одночлена та багаточлена тотожно дорівнює сумі творів цього одночлена та кожного з членів багаточлена.

Цей результат зазвичай формулюють як правила.

Щоб помножити одночлен на багаточлен, треба помножити цей одночлен на кожен із членів багаточлена.

Ми вже не раз використовували це правило для множення на суму.

Добуток багаточленів. Перетворення (спрощення) твору двох багаточленів

Взагалі, добуток двох багаточленів тотожно дорівнює сумі добутку кожного члена одного багаточлена і кожного члена іншого.

Зазвичай користуються наступним правилом.

Щоб помножити багаточлен на багаточлен, треба кожен член одного помножити на кожен член іншого і скласти отримані твори.

Формули скороченого множення. Квадрати суми, різниці та різниця квадратів

З деякими висловлюваннями в перетвореннях алгебри доводиться мати справу частіше, ніж з іншими. Мабуть, найчастіше зустрічаються вирази \((a + b)^2, \;(a - b)^2 \) і \(a^2 - b^2 \), тобто квадрат суми, квадрат різниці і різницю квадратів. Ви помітили, що назви зазначених виразів як би не закінчені, наприклад, \((a + b)^2 \) - це, звичайно, не просто квадрат суми, а квадрат суми а і b. Однак квадрат суми а і b зустрічається не так часто, як правило, замість букв а і b в ньому виявляються різні, іноді досить складні вирази.

Вирази \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) неважко перетворити (спростити) на багаточлени стандартного виду, власне, ви вже зустрічалися з таким завданням при множенні багаточленів:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Отримані тотожності корисно запам'ятати та застосовувати без проміжних викладок. Допомагають цьому короткі словесні формулювання.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суми дорівнює сумі квадратів та подвоєного добутку.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - Квадрат різниці дорівнює сумі квадратів без подвоєного добутку.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - Різниця квадратів дорівнює добутку різниці на суму.

Ці три тотожності дозволяють у перетвореннях замінювати свої ліві частини правими і назад - праві частини лівими. Найважче при цьому - побачити відповідні вирази та зрозуміти, чим у них замінені змінні а та b. Розглянемо кілька прикладів використання формул скороченого множення.

• 02.12.2015

  Датчик температури кулера (вентилятора) починає працювати, коли температура підвищується до заданого значення і вимикається при її зниженні. Живлення на кулер подається через реле (12В, 200 Ом). Датчиком температури служить термістор із негативним температурним коефіцієнтом. Операційний підсилювач LM311 використовується як компаратор. При повішенні температури опір термістора зменшується, відповідно падає напруга на …

• 06.04.2015

  Мікросхема К1182ГГ3Р є інтегральною схемою високовольтного напівмостового автогенератора. Вона виготовлена ​​за унікальною біполярною технологією, розробленою для класу ІВ, орієнтованих на застосування в мережі змінного струму до 240В. ІС перетворює постійну напругу (зокрема, випрямлену мережеву напругу) у високочастотну напругу 30-50 кГц і дозволяє створювати гальванічно розв'язані вторинні джерела живлення потужністю до 12 Вт. Номінали елементів для вхідної напруги мережі 220В.

• 14.07.2015

  Як відомо напруга бортової мережі автомобіля знаходиться в межах від 12 до 14,4В, що вводить обмеження за потужністю підсилювачів ЗЧ, що використовуються. Для збільшення вихідної потужності підсилювача необхідно використовувати перетворювач напруги. Мікросхема TDA1562Q дозволяє легко вирішити цю проблему. Вихідна потужність підсилювача на TDA1562Q 18Вт (14,4В Rн = 4 Ом), при збільшенні потужності підсилювач переходить у …

• 23.09.2014

  Автомат працює з 7-ма лампочками і створює ефект світлової лінії, яка спочатку поступово виростає з центральної точки, що світиться, а потім гасне, поступово, від центру до країв. Автомат керує лампочками 15Вт 220В. Схема складається з мультивібратора, що задає періодичність пульсації, трьох ліній затримки та чотирьох вихідних тиристорів. Періодичність повторень пульсацій залежить ...

Зведення в ступінь - це арифметична операція множення, що повторюється. Якщо потрібно перемножити число n-ное кількість разів, досить звести їх у n-ную ступінь.

Основні дії зі ступенями

У першу чергу ступінь - це множення, що повторюється. Число 13 4 - це 13 × 13 × 13 × 13, де перемножуються чотири однакові співмножники. Якщо помножити 13 4 на 13 2 то ми отримаємо (13 × 13 × 13 × 13) × (13 × 13), що логічно перетворюється на 13 6 . Це і є перше правило зведення у ступінь, яке свідчить: при множенні чисел, зведених у ступінь, їх показники підсумовуються. Математично це записується як:

a m × a n = a (m+n) .

Якщо розділити 13 4 на 13 2 , нам потрібно обчислити дріб виду:

(13×13×13×13)/(13×13).

Ми можемо просто скоротити числа у чисельнику та знаменнику, і в результаті залишиться 13 × 13 = 13 2 . Очевидно, розподіл чисел, зведених у ступінь, відповідає віднімання їх показників. Друге правило дій зі ступенями математично виглядає так:

a m / a n = a (m - n).

Тепер давайте зведемо 114 в куб, тобто в третій ступінь. Для цього нам потрібно обчислити вираз (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11). Вийшло 12 співмножників, отже, при зведенні в n-ну ступінь числа до ступеня m, показники перемножуються. Третє правило записується так:

(a m) n = a (m × n).

Це основні правила роботи зі статечними виразами. Однак число можна звести в негативний ступінь, дробовий та нульовий. Який результат дасть вираз 15 0? Давайте скористаємось другим правилом дій ступенями і спробуємо розділити 15 4 на 15 4 , що запишеться як дріб:

Вочевидь, що у чисельнику і знаменнику стоять одні й самі числа, а коли число ділиться саме він, воно перетворюється на одиницю. Але згідно з правилом дій зі статечними числами це буде еквівалентно 15 0 . Отже:

15 4 / 15 4 = 15 0 = 1.

Таким чином, четверте правило свідчить, що будь-яке позитивне число в нульовому ступені дорівнює одиниці. Виглядає це правило так:

За допомогою другого правила легко пояснити роботу з негативними ступенями. Наприклад, давайте розділимо 8 2 на 8 4 і запишемо вираз у вигляді дробу.

(8×8)/(8×8×8×8).

Ми можемо скоротити дві вісімки в чисельнику та знаменнику та перетворити дріб у 1/(8×8). Але згідно з правилом у відповіді ми маємо отримати 8-2. У знаменнику у нас стоїть вісімка в квадраті. Таким чином:

При цьому значення -1 правило трансформується в елегантну формулу:

І останнє правило, яке стане вам у нагоді при роботі зі статечними функціями, говорить про дробових ступенях. Що ми можемо зробити з виразом 7 (1/2). Очевидно, що звести його в квадрат, і тоді за третім правилом у результаті залишиться лише сімка. Ступінь 1/2 - це витяг квадратного кореня, оскільки при зведенні його в квадрат ми отримуємо ціле число. Ступінь 1/3 відповідає витягу кубічного кореня, але як бути з показником 2/3? Логічно, що це кубічний корінь із числа, зведеного у квадрат. Останнє правило свідчить, що знаменник дробового показника означає вилучення кореня, а чисельник - зведення ступінь. Математично це виглядає як:

a (m/n) є корінь n-ного ступеня a m .

Тепер ви знаєте, як проводити будь-які арифметичні операції зі статечними виразами.

Ви можете використовувати наш калькулятор для обчислення статечних функцій. Програма дозволяє визначити основу, показник та результат операції. Крім того, калькулятор супроводжується ілюстрацією графіка функцій: параболи, кубічної параболи та параболи в n-му ступені. Розглянемо кілька прикладів.

Приклади із реального життя

Депозит у банку

Якщо ми покладемо на банківський депозит $1 000 під річну ставку у розмірі 9% річних, скільки грошей на рахунку буде через 20 років? Зростання з часом розраховуються за експоненційною формулою виду:

Зростання = a × e (kt) ,

де a – початкове значення, e – константа, що дорівнює 2,718; k – коефіцієнт зростання; t – час.

Для вирішення банківського завдання нам потрібно буде звести 2,718 у ступінь, що дорівнює 20 × 0,09 = 1,8. Скористаємося нашим калькулятором і введемо в комірку «Число, x =» значення 2,718, а в комірку «Ступінь, n =» значення 1,8. Ми отримаємо відповідь 6,049. Тепер, для підрахунку суми на банківському рахунку, нам необхідно помножити початкове значення $1 000 на приріст у розмірі 6,049. У результаті через 20 років на депозиті буде $6 049.

Шкільне завдання

Нехай у шкільному завданні потрібно побудувати графік функції y = x 2,5. Це завдання алгебри, для вирішення якої потрібно задатися трьома значеннями «x» і обчислити відповідні йому значення «y». Після цього за знайденими точками побудувати графік функції. Введіть у комірку «Ступінь, n =» значення 2,5. Після цього послідовно розрахуйте значення y, вводячи в Число, x = аргументи 1, 2, 3. Ви отримаєте відповідні значення функції 1; 5,657; 15,588. Вам залишиться лише намалювати криву за знайденими точками.

Висновок

Зведення у ступінь – арифметична операція послідовного множення. Ступені мають більше значення в прикладних науках, так як більшість реальних процесів описуються за допомогою статечних функцій. Використовуйте наш калькулятор для розрахунків будь-яких практичних чи шкільних завдань.

Можна зводити лише цілі позитивні ступеня. Для цього натисніть [C], введіть число, а потім натисніть [X] і [=]. Число буде зведено в ступінь 2. Наступні натискання кнопки [=] призведуть до зведення введеного вами числа в ступені 3, 4, 5, і так далі, доки не відбудеться переповнення розрядної сітки. У разі на індикаторі включиться сегмент E чи ERROR, а вважати результат достовірним буде нельзя.

Якщо показник ступеня значний, можна підраховувати натискання клавіші [=] за допомогою другого калькулятора. Після цього натисніть клавіші , [+] та [=]. Наступні натискання клавіші [=] призведуть до появи на індикаторі чисел 2, 3, 4, 5, і таке інше. Залишається натискати клавіші [=] на обох калькуляторах синхронно з таким розрахунком, щоб показання індикатора другого приладу відповідали мірі, в яку зведено число на першому.

Для зведення в ступіньна науковому калькуляторзі зворотним польським записом спочатку натисніть [C], потім число, що підлягає зведенню, потім кнопку зі стрілкою вгору (на апаратах фірми HP - з написом Enter), потім показник ступеня, а потім клавішу . Якщо цей напис розташований не на самій клавіші, а над ним, то перед ним натисніть [F]. Відрізнити такий від наукового з арифметичним записом можна за відсутністю кнопки [=].

При використанні наукового калькулятора з записом алгебри спочатку натисніть клавішу [C], потім число, що підлягає зведенню в ступінь, потім клавішу (при необхідності - спільно з клавішею [F], як зазначено вище), потім показник ступеня, а потім - клавішу [=].

Нарешті, при використанні дворядкового калькулятора з формульним записом введіть у верхній рядок весь вираз у тому вигляді, в якому воно записано на папері. Для введення знаку зведення в ступіньВикористовуйте або [^], залежно від типу апарата. Після натискання [=] результат з'явиться в нижньому рядку.

За відсутності калькулятора для зведення в ступіньможна використовувати комп'ютер. Для цього запустіть на ньому програму віртуального калькулятора: Windows - Calc, Linux - XCalc, KCalc, Galculator та ін. Переключіть програму в інженерний режим, якщо цього не було зроблено раніше. Калькулятор XCalc можна перевести в режим зворотного польського запису, запустивши його за допомогою xcalc -rpn. Компілятори мови Паскаль використовувати як калькулятори не рекомендується - команди зведення в ступіньтам немає, і реалізовувати відповідний алгоритм доводиться вручну. В інтерпретаторах мови Бейсік, наприклад, UBasic, здійснення цієї операції служить знак ^.

Процесори сучасних комп'ютерів здатні виконувати сотні трильйонів операцій на секунду. Відомо, що такі найпростіші завдання, як зведення числа в ступіньдля них дрібниці. Вони вирішуються мимохідь під час виконання серйозних завдань, наприклад, зі створення графіки віртуальних світів. Але король комп'ютера - користувач, а раз йому хочеться займатися такими дрібницями, супердракону доводиться прикидатися кошеням, зображуючи програму-калькулятор.

Вам знадобиться

• Windows.

Інструкція

Введіть вихідне число. У цьому інтерфейсі за операціями зведення в квадрат і куб закріплені окремі кнопки, тому для їх виконання вам достатньо натиснути на кнопки з символами x² або x³.

Якщо показник ступеня більший за трійку, після введення -підстави клацніть по кнопці з символом xʸ. Потім введіть показник ступеня та натисніть клавішу Enter або клацніть по кнопці зі знаком рівності. Калькулятор здійснить необхідні обчислення та відобразить результат.

Є ще один спосіб зведення числа в ступіньякий, швидше, можна назвати трюком. Щоб скористатися ним, введіть вихідне число і натисніть на кнопці вилучення кореня довільного ступеня ʸ√x. Потім введіть десяткову , яка є результатом розподілу одиниці на показник ступеня. Наприклад, для зведення в п'яту ступіньце має бути число 1/5 = 0,2. Натисніть кнопку Enter і отримайте результат зведення в ступінь.

Відео на тему

Ступінь числа розбирають у школі під час уроків алгебри. У житті така операція виконується рідко. Наприклад, для розрахунку площі квадрата чи обсягу куба використовуються ступеня, оскільки довжина, ширина, а куба і висота – рівні величини. В іншому зведення в ступінь найчастіше має прикладний виробничий характер.

Вам знадобиться

• Папір, ручка, інженерний калькулятор, таблиці ступенів, програмні продукти (наприклад, табличний редактор Excel).

Інструкція

Нехай Х = 125, а ступінь числа, Т. е. n = 3. Це означає, що число 125 потрібно помножити саме на себе 3 рази.
125^3 = 125*125*125 = 1 953 125
Ще.
3^4 = 3*3*3*3 = 81

Працюючи з негативним числом треба бути обережним зі знаками. Слід пам'ятати, що парний ступінь (n) надасть знак плюс, непарний – знак .
Наприклад
(-7)^2 = (-7)*(-7) = 49
(-7)^3 = (-7)*(-7)*(-7) = 343

Нульовий ступінь (n = 0) від будь-якого числазавжди дорівнюватиме одиниці.
15^0 = 1
(-6)^0 = 1
(1/3)^0 = 1Якщо n = 1, число множити саме на себе не треба.
Буде
7^1 = 7
329^1 = 329

можна знайти за допомогою множення. Наприклад: 5+5+5+5+5+5=5х6. Про такий вислів говорять, що суму рівних доданків згорнули у твір. І навпаки, якщо читати цю рівність справа наліво, отримуємо, що ми розгорнули суму рівних доданків. Аналогічно можна згортати добуток кількох рівних множників 5х5х5х5х5х5=5 6 .

Тобто замість множення шести однакових множників 5х5х5х5х5х5 пишуть 56 і кажуть «п'ять шостою мірою».

Вираз 56 - це ступенем числа, де:

5 - основа ступеня;

6 - показник ступеня.

Дії, за допомогою яких добуток рівних множників згортають у ступінь, називають зведенням у ступінь.

У загальному вигляді ступінь з основою "a" та показником "n" записується так

Звести число a до ступеня n - означає знайти добуток n множників, кожен із яких дорівнює а

Якщо основа ступеня «а» дорівнює 1, то значення ступеня за будь-якого натурального n дорівнює 1. Наприклад, 1 5 =1, 1 256 =1

Якщо звести число «а» звести до перший ступінь, то отримаємо саме число a: a 1 = a

Якщо звести будь-яке число в нульовий ступінь, то результаті обчислень отримаємо один. a 0 = 1

Особливими вважають другий та третій ступінь числа. Для них вигадали назви: другий ступінь називають квадратом числа, третю - кубомцього числа.

У ступінь можна зводити будь-яке число – позитивне, негативне чи нуль. При цьому не користуються такими правилами:

При знаходженні ступеня позитивного числа виходить позитивне число.

При обчисленнях нуля в натуральному ступені одержуємо нуль.

х m · Х n = х m + n

наприклад: 7 1.7 · 7 - 0.9 = 7 1.7 + (- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

Щоб розділити ступеня з однаковими підставамиоснову не міняємо, а показники ступенів віднімаємо :

х m /х n = х m - n , де, m > n,

наприклад: 13 3.8/13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

При розрахунках зведення ступеня в ступіньоснову не міняємо, а показники ступенів множимо один на одного.

(У m ) n = у m · n

наприклад: (2 3) 2 = 2 3 · 2 = 2 6

(х · у) n = х n · у m ,

наприклад:(2·3) 3 = 2 n · 3 m ,

При виконанні розрахунків з зведенню у ступінь дробуми на цей ступінь зводимо чисельник і знаменник дробу

(х/у) n = х n / у n

наприклад: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3 .

Послідовність виконання розрахунків при роботі з виразами, що містять ступінь.

При виконанні розрахунків виразів без дужок, але що містять ступеня, в першу чергу виробляють зведення в ступінь, потім дії множення та поділ, і лише потім операції додавання та віднімання.

Якщо необхідно обчислити вираз дужки, що містять, то спочатку в зазначеному вище порядку робимо обчислення в дужках, а потім дії, що залишилися, в тому ж порядку зліва направо.

Дуже широко у практичних обчисленнях для спрощення розрахунків використовують готові таблиці ступенів.