Дві сторони рівні та паралельні. Діагоналі ділять трапецію на чотири частини, дві з яких, прилеглі до бокових сторін, рівновеликі

Ознаки паралельності двох прямих

Теорема 1. Якщо при перетині двох прямих січні:

навхрест лежачі кути рівні, або

відповідні кути рівні, або

сума односторонніх кутів дорівнює 180 °, то

прямі паралельні(Рис.1).

Доказ. Обмежимося підтвердженням випадку 1.

Нехай при перетині прямих а і b сікної АВ навхрест кути, що лежать, рівні. Наприклад, ∠4 = ∠6. Доведемо, що а || b.

Припустимо, що прямі а та b не паралельні. Тоді вони перетинаються в деякій точці М і, отже, один із кутів 4 або 6 буде зовнішнім кутом трикутника АВМ. Нехай для визначеності ∠4 – зовнішній кут трикутника АВМ, а ∠6 – внутрішній. З теореми про зовнішній вугіллі трикутника випливає, що ∠4 більше ∠6, а це суперечить умові, отже, прямі а і 6 не можуть перетинатися, тому вони паралельні.

Наслідок 1 . Дві різні прямі на площині, перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої, паралельні(Рис.2).

Зауваження. Спосіб, яким ми щойно довели випадок 1 теореми 1, називається методом доказу від неприємності або приведенням до безглуздості. Першу назву цей спосіб отримав тому, що на початку міркування робиться припущення, неприємне (протилежне) тому, що потрібно довести. Приведенням до безглуздості він називається внаслідок того, що, розмірковуючи на підставі зробленого припущення, ми приходимо до безглуздого висновку (абсурду). Отримання такого висновку змушує нас відкинути зроблене спочатку припущення і прийняти те, що потрібно було довести.

Завдання 1.Побудувати пряму, що проходить через дану точку М і паралельну даній прямій а, що не проходить через точку М.

Рішення. Проводимо через точку М пряму р перпендикулярно до прямої а (рис. 3).

Потім проводимо через точку М пряму b перпендикулярно до прямої р. Пряма b паралельна прямий а відповідно до слідства теореми 1.

З розглянутого завдання випливає важливий висновок:
через точку, що не лежить на даній прямій, завжди можна провести пряму, паралельну даній.

Основна властивість паралельних прямих полягає у наступному.

Аксіома паралельних прямих. Через цю точку, що не лежить на даній прямій, проходить лише одна пряма, паралельна даній.

Розглянемо деякі властивості паралельних прямих, які випливають із цієї аксіоми.

1) Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, вона перетинає і іншу (рис.4).

2) Якщо дві різні прямі паралельні до третьої прямої, то вони паралельні (рис.5).

Справедлива та наступна теорема.

Теорема 2. Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною, то:

навхрест лежачі кути рівні;

відповідні кути рівні;

сума односторонніх кутів дорівнює 180 °.

Наслідок 2. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої(Див. рис.2).

Зауваження. Теорема 2 називається зворотної теореми 1. Висновок теореми 1 є умовою теореми 2. А умова теореми 1 є укладанням теореми 2. Не всяка теорема має зворотну, тобто якщо дана теорема вірна, то зворотна теорема може бути невірна.

Пояснимо це на прикладі теореми про вертикальні кути. Цю теорему можна сформулювати так: якщо два кути вертикальні, то вони рівні. Зворотна їй теорема була б такою: якщо два кути рівні, то вони вертикальні. А це, звісно, ​​не так. Два рівних кута не повинні бути вертикальними.

приклад 1.Дві паралельні прямі перетнуті третьою. Відомо, що різницю двох внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 30 °. Знайти ці кути.

Рішення. Нехай умові відповідає рисунок 6.

Однією з ознак паралелограма є те, що якщо у чотирикутнику дві сторони рівні та паралельні, то такий чотирикутник є паралелограмом . Тобто, якщо у чотирикутника дві сторони рівні та паралельні, то дві інші сторони також виявляються рівними між собою та паралельними одна одній, тому що цей факт є визначенням та властивістю паралелограма.

Таким чином, паралелограм можна визначити лише з двох сторін, які рівні та паралельні один одному.

Даний ознака паралелограма можна сформулювати як теорему та довести. У такому разі нам дано чотирикутник, у якого дві сторони рівні та паралельні одна одній. Потрібно довести, що такий чотирикутник є паралелограмом (тобто дві його інші сторони рівні та паралельні одна одній).

Нехай цей чотирикутник ABCD, і у ньому сторони AB || CD та AB = CD.

За умовою нам дано чотирикутник. Нічого не сказано про те, опуклий він чи ні (хоча паралелограмами можуть бути лише опуклі чотирикутники). Однак навіть у неопуклому чотирикутнику завжди є одна діагональ, яка ділить його на два трикутники. Якщо це буде діагональ AC, то отримаємо два трикутники ABC та ADC. Якщо це діагональ BD, то будуть ∆ABD та ∆BCD.

Допустимо, ми отримали трикутники ABC та ADC. У них одна сторона загальна (діагональ AC), сторона AB одного трикутника дорівнює стороні CD іншого (за умовою), кут BAC дорівнює куту ACD (як навхрест лежать між січною та паралельними прямими). Значить ∆ABC = ∆ADC по обидва боки та кут між ними.

З рівності трикутників випливає, що й інші сторони і кути відповідно рівні. Але стороні BC трикутника ABC відповідає стороні AD трикутника ADC, отже, BC = AD. Куту B відповідає кут D, отже, ∠B = ∠D. Ці кути можуть дорівнювати один одному, якщо BC || AD (оскільки AB || CD, ці прямі можна поєднати паралельним переносом, тоді ∠B стануть навхрест лежать ∠D, які рівність може лише при BC || AD).

За визначенням паралелограма ним є чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні та паралельні одна одній.

Таким чином було доведено, що якщо у чотирикутника ABCD сторони AB і CD рівні та паралельні і діагональ AC ділить його на два трикутники, то у нього інша пара сторін виявляється рівною один одному і паралельна.

Якщо чотирикутник ABCD був розділений на два трикутники іншою діагоналлю (BD), то розглядалися б трикутники ABD і BCD. Їхня рівність доводилася б аналогічно попередньому. Виявилося б, що BC = AD та ∠A = ∠C, звідки випливало, що BC || AD.

• Гострокутною трапецією називається трапеція, у якої кути, прилеглі до більшої основи гострі.

Тупокутна трапеція

• Тупокутною трапецією називається трапеція, у якої один з кутів, прилеглих до більшої основи тупий.

Рівностегнова трапеція

• Рівнобедреною (рівнобокою, рівнобічною) називається трапеція, у якої бічні сторони рівні.

Прямокутна трапеція

• Прямокутною називається трапеція, у якої одна бічна сторона перпендикулярна до основ

Визначте вид трапеції

Властивості трапеції

• Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.

Дано трапецію АВСD. КМ-середня лінія. Через точки В та М проведемо пряму. Продовжимо сторону AD за точку D до перетину з ВМ. Трикутники ВСМ та МРD рівні по стороні та двом кутам, тому ВМ=МР або точка М – середина ВР. КМ є середньою лінією у трикутнику АВР. За якістю середньої лінії трикутника КМ паралельна АР і зокрема АD і дорівнює половині АР.

Властивості трапеції

• Діагоналі ділять трапецію на чотири частини, дві з яких, прилеглі до бокових сторін, рівновеликі.

• Трикутники АВD та АСD рівновеликі: у них рівні висоти та загальна основа. Ці трикутники мають загальну частину ADD. Отже, площі червоних трикутників рівні.

Властивості трапеції

• якщо трапеція рівнобока, то біля неї можна описати коло;

• якщо сума підстав дорівнює сумі бічних сторін, то до неї можна вписати коло

Властивості рівнобічної трапеції

• Кути, що прилягають до кожної з основ рівнобічної трапеції, рівні.

Доведемо рівність кутів А і D за більшої підстави AD трапеції АВСD. Для цієї мети проведемо через точку С пряму паралельну бічній стороні АВ. Вона перетне велику основу у точці М. Чотирикутник АВСМ є паралелограмом, т.к. за побудовою має дві пари паралельних сторін. Отже, відрізок РМ, укладений усередині трапеції дорівнює її боці: СМ = АВ. Звідси зрозуміло, що СМ=СD, трикутник СМD - рівнобедрений , СМD=СDM, отже, А=D. Кути, що належать до меншої основи, т.к. є знайдених внутрішніми односторонніми.

Властивості рівнобічної трапеції

• Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.

• Розглянемо трикутники АВD та ACD. Вони рівні з двох сторін і куту між ними (АВ=СD, AD - загальна, кути А і D рівні за якістю рівнобічної трапеції). Тому АС = BD.

Площа трапеції

• Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту

• Формула

• S=1/2(AD+BC)*BH

Доказ

• Доказ:

• Розглянемо трапецію ABCD з основами AD та BC , висотою BH та площею S. Доведіть, що S=1/2(AD+BC)*BH.

• Діагональ BD поділяє трапецію на два трикутники ABD і BCD, тому S=S(ABD)+S(BCD).

• Приймемо відрізки AD та BH за основу та висоту трикутника ABD, а відрізки BC та DF за основу та висоту трикутника BCD. Тоді S(ABD)=1/2AD*BH, S(BCD)=1/2*CB*DF. Т.к. DF=BH, тоді S(BCD)=1/2*CB*BH.

• S=1/2AD*BH+1/2 BC*BH=1/2(AD+BС)*ВН.

Завдання

Трапеції у житті

"Паралельні площини 10 клас" - Дві площини не перетинаються. 1. Відрізки паралельних прямих, укладені між паралельними площинами, рівні. Властивості паралельних площин. Паралельність площин. Взаємне розташування площин. Дві площини не паралельні. Теорема. Дві площини перетинаються прямою.

«Паралельне та послідовне з'єднання» - Схема підключення приладів для перевірки законів послідовного з'єднання. Застосування змішаної сполуки. Застосування паралельного з'єднання. Схема паралельного з'єднання провідників. Змішаним називають з'єднання, що містить ділянки послідовного та паралельного з'єднання. Приклади схем змішаної сполуки.

«Чотирикутники» - Розв'язання задач. А. Нівен. Розв'яжіть тест, відповіді запишіть у таблицю. Капітани під час уроку заповнюють оціночні листи своєї групи. Кросворд. Рішення: Квадрат. Трапеція. Чотирикутники. Чотирикутники: Відповіді до кросворду. Правильні відповіді. Творче домашнє завдання. Правила роботи у групі.

«Паралельні прямі 7 клас» - Запитання 5. Запитання 3. Для кута 1 одностороннім буде кут … ТЕСТ на тему «Паралельні прямі». На малюнку прямі а, в і с пересічені січною d. Паралельними прямими будуть прямі. Питання 2. Можна безліч. Нахрест лежать. На малюнку кути 1 і 2 є питання 1. Правильних відповідей: Через вершину М провести прямих, паралельних прямий NK …

«Аксіома паралельних прямих» - Про аксіоми геометрії. Розв'язання задач. На аксіомах. Аксіома паралельних прямих. Урок: "Аксіома паралельних прямих". Будується геометрія. Геометрія 7 клас. Тема: «Паралельні прямі». Доведемо, що через точку М можна провести пряму, паралельну до прямої а. Теорема Теорема Теорема Теорема. Слово «аксіома» походить від грецького «аксіос», що означає «цінний, гідний».

«Кути при паралельних прямих» - 1. На малюнку прямі а і паралельні. 2. Для кута 1 одностороннім буде кут: 2 5 6 7. За малюнком знайти кут 1 і 2. Визначення паралельних прямих Що таке січна? Усне опитування. Прямі". Урок геометрії. Додаткове завдання. За малюнком довести паралельність прямих АК та ВМ. 2. По малюнку знайти кути 1, 2, 3.

Для того, щоб визначити, чи ця фігура є паралелограмом, існує ряд ознак. Розглянемо три основні ознаки паралелограма.

1 ознака паралелограма

Якщо чотирикутник дві сторони рівні і паралельні, цей чотирикутник буде паралелограммом.

Доказ:

Розглянемо чотирикутник ABCD. Нехай у ньому сторони AB та СD паралельні. І нехай AB = CD. Проведемо у ньому діагональ BD. Вона розділить цей чотирикутник на два рівні трикутники: ABD і CBD.

Ці трикутники рівні між собою по двох сторонах і кут між ними (BD - загальна сторона, AB = CD за умовою, кут1 = кут2 як навхрест лежачі кути при січній BD паралельних прямих AB і CD.), а отже кут3 = кут4.

А ці кути будуть навхрест лежать при перетині прямих BC і AD BD. З цього випливає, що BC і AD паралельні між собою. Маємо, що у чотирикутнику ABCD протилежні сторони попарно паралельні, і, отже, чотирикутник ABCD є паралелограмом.

2 ознака паралелограма

Якщо чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, цей чотирикутник буде паралелограммом.

Доказ:

Розглянемо чотирикутник ABCD. Проведемо у ньому діагональ BD. Вона розділить цей чотирикутник на два рівні трикутники: ABD і CBD.

Ці два трикутники будуть рівними між собою по трьох сторонах (BD - загальна сторона, AB = CD і BC = AD за умовою). З цього можна дійти невтішного висновку, що кут1 = кут2. Звідси випливає, що AB паралельна до CD. Оскільки AB = CD і AB паралельна CD, то за першою ознакою паралелограма, чотирикутник ABCD буде паралелограмом.

3 ознака паралелограма

Якщо чотирикутнику діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, цей чотирикутник буде паралелограммом.

Розглянемо чотирикутник ABCD. Проведемо в ньому дві діагоналі AC і BD, які перетинатимуться в точці О і діляться цією точкою навпіл.

Трикутники AOB і COD дорівнюють між собою, за першою ознакою рівності трикутників. (AO = OC, BO = OD за умовою, кут AOB = кут COD як вертикальні кути.) Отже, AB = CD та кут1 = кут 2. З рівності кутів 1 та 2 маємо, що AB паралельна CD. Тоді маємо, що у чотирикутнику ABCD сторони AB рівні CD і паралельні, і за першою ознакою паралелограма чотирикутник ABCD буде паралелограмом.