Рух по колу. Рух тіла по колу з постійною за модулем швидкістю Знаходження швидкості тіла під час руху по колу

На цьому уроці ми розглянемо криволінійний рух, саме рівномірний рух тіла по колу. Ми дізнаємося, що таке лінійна швидкість, доцентрове прискорення при русі тіла по колу. Також введемо величини, які характеризують обертальний рух (період обертання, частота обертання, кутова швидкість) і зв'яжемо ці величини між собою.

Під рівномірним рухом по колу розуміють, що за будь-який однаковий проміжок часу тіло повертається на однаковий кут (див. рис. 6).

Рис. 6. Рівномірний рух по колу

Тобто модуль миттєвої швидкості не змінюється:

Таку швидкість називають лінійної.

Хоча модуль швидкості не змінюється, напрямок швидкості змінюється безперервно. Розглянемо вектори швидкості у точках Aі B(див. мал. 7). Вони спрямовані у різні боки, тому не рівні. Якщо відняти від швидкості в точці Bшвидкість у точці A, отримуємо вектор.

Рис. 7. Вектори швидкості

Відношення зміни швидкості () до часу, протягом якого ця зміна відбулася (), є прискоренням.

Отже, будь-який криволінійний рух є прискореним.

Якщо розглянути трикутник швидкостей, отриманий малюнку 7, то за дуже близькому розташуванні точок Aі Bодин до одного кут (α) між векторами швидкості буде близьким до нуля:

Також відомо, що цей трикутник рівнобедрений, тому модулі швидкостей рівні (рівномірний рух):

Отже, обидва кути при підставі цього трикутника необмежено близькі до:

Це означає, що прискорення, яке спрямоване вздовж вектора фактично перпендикулярно дотичної. Відомо, що лінія в колі, перпендикулярна дотичній, є радіусом, тому прискорення спрямоване вздовж радіусу до центру кола. Називається таке прискорення доцентровим.

На малюнку 8 зображено розглянутий раніше трикутник швидкостей і рівнобедрений трикутник (дві сторони є радіусами кола). Ці трикутники є подібними, так як у них рівні кути, утворені взаємно перпендикулярними прямими (радіус, як і вектор, перпендикулярні до дотичної).

Рис. 8. Ілюстрація до висновку формули доцентрового прискорення

Відрізок ABє переміщенням (). Ми розглядаємо рівномірний рух по колу, тому:

Підставимо отриманий вираз для ABу формулу подоби трикутників:

Понять «лінійна швидкість», «прискорення», «координата» замало у тому, щоб описати рух кривою траєкторії. Тому необхідно запровадити величини, що характеризують обертальний рух.

1. Періодом обертання (T ) називається час одного повного обороту. Вимірюється у системі СІ в секундах.

Приклади періодів: Земля обертається навколо осі за 24 години (), а навколо Сонця - за 1 рік ().

Формула для обчислення періоду:

де – повний час обертання; - число обертів.

2. Частота обертів (n ) - Число оборотів, яке тіло здійснює в одиницю часу. Вимірюється в системі СІ у зворотних секундах.

Формула для знаходження частоти:

де – повний час обертання; - число обертів

Частота і період - обернено пропорційні величини:

3. Кутовою швидкістю () називають відношення зміни кута, на який повернулося тіло, на час, за який цей поворот відбувся. Вимірюється в системі СІ у радіанах, поділених на секунди.

Формула для знаходження кутової швидкості:

де - Зміна кута; - Час, за який відбувся поворот на кут.

Серед різних видів криволінійного руху особливий інтерес представляє рівномірний рух тіла по колу. Це найпростіший вид криволінійного руху. Разом з тим будь-який складний криволінійний рух тіла на досить малій ділянці його траєкторії можна приблизно розглядати як рівномірний рух по колу.

Такий рух здійснюють точки коліс, що обертаються, роторів турбін, штучні супутники, що обертаються по орбітах і т. д. При рівномірному русі по колу чисельне значення швидкості залишається постійним. Однак напрямок швидкості при такому русі безперервно змінюється.

Швидкість руху тіла в будь-якій точці криволінійної траєкторії спрямована по дотичній траєкторії в цій точці. У цьому можна переконатися, спостерігаючи за роботою точила, що має форму диска: притиснувши до каменю, що обертається, кінець сталевого прута можна побачити розжарені частинки, що відриваються від каменю. Ці частки летять із тією швидкістю, якою вони мали у момент відриву від каменю. Напрямок вильоту іскор завжди збігається з дотичною до кола в тій точці, де пруток стосується каменю. По дотичній до кола рухаються також бризки від коліс автомобіля, що буксує.

Таким чином, миттєва швидкість тіла в різних точках криволінійної траєкторії має різні напрямки, тоді як модуль швидкості може бути або всюди однаковим, або змінюватися від точки до точки. Але навіть якщо модуль швидкості не змінюється, її все одно не можна вважати постійною. Адже швидкість – величина векторна, а для векторних величин модуль та напрямок однаково важливі. Тому криволінійний рух завжди прискоренийнавіть якщо модуль швидкості постійний.

При криволінійному русі можуть змінюватися модуль швидкості та її напрямок. Криволінійний рух, при якому модуль швидкості залишається постійним, називають рівномірним криволінійним рухом. Прискорення за такого руху пов'язане лише зі зміною напрямку вектора швидкості.

І модуль, і напрямок прискорення повинні залежати від форми кривлінійної траєкторії. Однак немає необхідності розглядати кожну з її незліченних форм. Представивши кожну ділянку як окреме коло з деяким радіусом, завдання знаходження прискорення при криволінійному рівномірному русі зведеться до пошуку прискорення при рівномірному русі тіла по колу.

Рівномірний рух по колу характеризується періодом та частотою обігу.

Час, за який тіло робить один оборот, називають періодом звернення.

При рівномірному русі по колу період обігу визначається розподілом пройденого шляху, тобто довжини кола на швидкість руху:

Величина, зворотна до періоду, називається частотою обігу, позначається буквою ν . Число оборотів в одиницю часу ν називають частотою обігу:

Через безперервну зміну напрямку швидкості, тіло, що рухається по колу, має прискорення, яке характеризує швидкість зміни її напрямку, чисельне значення швидкості в даному випадку не змінюється.

При рівномірному русі тіла по колу прискорення в будь-якій її точці завжди спрямоване перпендикулярно швидкості руху по радіусу кола до її центру і називається доцентровим прискоренням.

Щоб знайти його значення, розглянемо відношення зміни вектора швидкості до інтервалу часу, за який ця зміна відбулася. Оскільки кут дуже малий, ми маємо.

Теми кодифікатора ЄДІ: рух по колу з постійною за модулем швидкістю, доцентрове прискорення.

Рівномірний рух по колу - це досить простий приклад руху з вектором прискорення, що залежить від часу.

Нехай точка обертається по колу радіусу. Швидкість точки постійна за модулем і дорівнює. Швидкість називається лінійною швидкістюточки.

Період звернення - Це час одного повного обороту. Для періоду маємо очевидну формулу:

. (1)

Частота звернення - це величина, обернена до періоду:

Частота показує, скільки повних обертів точка здійснює за секунду. Вимірюється частота об/с (обороти в секунду).

Нехай, наприклад, . Це означає, що за час точка робить один повний
оборот. Частота у своїй виходить дорівнює: про/с; за секунду точка здійснює 10 повних обертів.

Кутова швидкість.

Розглянемо рівномірне обертання точки декартової системі координат. Помістимо початок координат у центрі кола (рис. 1).

Рис. 1. Рівномірний рух по колу

Нехай – початкове положення точки; інакше кажучи, при точка мала координати . Нехай за час точка повернулася на кут і зайняла становище.

Відношення кута повороту до часу називається кутовий швидкістю обертання точки:

. (2)

Кут зазвичай вимірюється в радіанах, тому кутова швидкість вимірюється в рад/с. За час, що дорівнює періоду обертання, точка повертається на кут . Тому

. (3)

Зіставляючи формули (1) і (3) , отримуємо зв'язок лінійної та кутової швидкостей:

. (4)

Закон руху.

Знайдемо тепер залежність координат точки, що обертається від часу. Бачимо із рис. 1 , що

Але з формули (2) маємо: . Отже,

. (5)

Формули (5) є рішенням основного завдання механіки для рівномірного руху точки по колу.

Центрошвидке прискорення.

Тепер нас цікавить прискорення точки, що обертається. Його можна знайти, двічі продиференціювавши співвідношення (5) :

З урахуванням формул (5) маємо:

(6)

Отримані формули (6) можна записати у вигляді однієї векторної рівності:

(7)

де - радіус-вектор точки, що обертається.

Ми, що вектор прискорення спрямований протилежно радіус-вектору, т. е. до центру окружності (див. рис. 1 ). Тому прискорення точки, що рівномірно рухається по колу, називається доцентровим.

Крім того, з формули (7) ми отримуємо вираз для модуля доцентрового прискорення:

(8)

Виразимо кутову швидкість (4)

і підставимо (8) . Отримаємо ще одну формулу для доцентрового прискорення.

Так як лінійна швидкість рівномірно змінює напрямок, то рух по колу не можна назвати рівномірним, воно є рівноприскореним.

Кутова швидкість

Виберемо на колі крапку 1 . Збудуємо радіус. За одиницю часу точка переміститься до пункту 2 . У цьому радіус визначає кут. Кутова швидкість чисельно дорівнює куту повороту радіусу за одиницю часу.

Період та частота

Період обертання T- цей час, протягом якого тіло здійснює один оборот.

Частота обертання – це кількість обертів за одну секунду.

Частота та період взаємопов'язані співвідношенням

Зв'язок із кутовою швидкістю

Лінійна швидкість

Кожна точка на колі рухається із деякою швидкістю. Цю швидкість називають лінійною. Напрямок вектора лінійної швидкості завжди збігається з дотичною до кола.Наприклад, іскри з-під точильного верстата рухаються, повторюючи напрямок миттєвої швидкості.

Розглянемо точку на колі, яка здійснює один оборот, час, який витрачено – це є період T.Шлях, який долає точка - це є довжина кола.

Центрошвидке прискорення

При русі коло вектор прискорення завжди перпендикулярний вектору швидкості, спрямований у центр кола.

Використовуючи попередні формули, можна вивести такі співвідношення

Точки, що лежать на одній прямій, що виходить із центру кола (наприклад, це можуть бути точки, які лежать на спиці колеса), матимуть однакові кутові швидкості, період і частоту. Тобто вони обертатимуться однаково, але з різними лінійними швидкостями. Чим далі точка від центру, тим швидше вона рухатиметься.

Закон складання швидкостей справедливий і для обертального руху. Якщо рух тіла чи системи відліку перестав бути рівномірним, то закон застосовується для миттєвих швидкостей. Наприклад, швидкість людини, що йде по краю каруселі, що обертається, дорівнює векторній сумі лінійної швидкості обертання краю каруселі і швидкості руху людини.

Земля бере участь у двох основних обертальних рухах: добовому (навколо своєї осі) та орбітальному (навколо Сонця). Період обертання Землі навколо Сонця становить 1 рік або 365 діб. Навколо своєї осі Земля обертається із заходу Схід, період цього обертання становить 1 добу чи 24 години. Широтою називається кут між площиною екватора та напрямом із центру Землі на точку її поверхні.

Згідно з другим законом Ньютона причиною будь-якого прискорення є сила. Якщо тіло, що рухається, відчуває доцентрове прискорення, то природа сил, дією яких викликано це прискорення, може бути різною. Наприклад, якщо тіло рухається по колу на прив'язаній до нього мотузці, то силою, що діє, є сила пружності.

Якщо тіло, що лежить на диску, обертається разом із диском навколо його осі, то такою силою є сила тертя. Якщо сила припинить свою дію, то далі тіло рухатиметься прямою

Розглянемо переміщення точки на колі з А до В. Лінійна швидкість дорівнює

Тепер перейдемо у нерухому систему, пов'язану із землею. Повне прискорення точки А залишиться тим самим і за модулем, і за напрямом, оскільки при переході від однієї інерційної системи відліку до іншої прискорення не змінюється. З погляду нерухомого спостерігача траєкторія точки А - не коло, а складніша крива (циклоїда), вздовж якої точка рухається нерівномірно.