Двогранні та багатогранні кути. Багатогранний кут

ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ УРОКУ:

У планіметрії одним із об'єктів вивчення є кут.

Кут - це геометрична фігура, що складається з точки - вершини кута та двох променів, що виходять з цієї точки.

Два кути одна сторона, яких загальна та дві інші є продовженням одна одної, у планіметрії називаються суміжними.

Циркуль можна як модель плоского кута.

Згадаймо поняття двогранного кута.

Це фігура, утворена прямою а і двома напівплощинами із загальною межею а, що не належать одній площині в геометрії, називається двогранним кутом. Напівплощини – це грані двогранного кута. Пряма а – це ребро двогранного кута.

Дах будинку демонструє двогранний кут.

Але дах будинку на малюнку два виконано у вигляді фігури утвореної з шести плоских кутів із загальною вершиною так, що кути беруться у порядку і кожна пара сусідніх кутів, включаючи перший і останній, має спільну сторону. Як називається така форма даху?

У геометрії фігура, складена з кутів

А кути з яких складено цей кут називають плоскими кутами. Сторони плоских кутів називаються ребрами багатокутного кута. Точка О називається вершиною кута.

Приклади багатогранних кутів можна знайти в тетраедрі та паралелепіпеді.

Грані тетраедра DBA, ABC, DBC утворюють багатогранний кут ВADC. Найчастіше він називається тригранним кутом.

У паралелепіпеді грані АА1D1D, ABCD, AA1B1B утворюю тригранний кут AA1DB.

Ну а дах будинку виконаний у формі шестигранного кута. Вона складається із шести плоских кутів.

Для багатогранного кута справедливий ряд властивостей. Сформулюємо їх та доведемо. Тут сказано, що твердження

По-перше, для будь-якого опуклого багатогранного кута існує площина, що перетинає всі його ребра.

Розглянь докази багатогранний кут ОА1А2 А3…Аn.

За умовою він опуклий. Кут називається опуклим, якщо він лежить по одну сторону від площини кожного зі своїх плоских кутів.

Так як за умовою цей кут опуклий, то точки О, А1, А2, А3, Аn лежать по одну сторону від площини ОА1А2

Проведемо середню лінію KM трикутника ОА1А2 і виберемо з ребер ОА3, ОА4, ОАn те ребро, що утворює з площиною ГКМ, найменший двогранний кут. Нехай це буде ребро ОАi.

Розглянемо напівплощину α з кордоном КМ, що поділяє двогранний кут ОКМАi на два двогранні кути. Усі вершини від А до Аn лежать з одного боку від площині α, а точка О з іншого боку. Отже, площина перетинає всі ребра багатогранного кута. Твердження доведене.

Випуклі багатогранні кути мають ще одну важливу властивість.

Сума плоских кутів опуклого багатогранного кута менша за 360°.

Розглянемо опуклий багатогранний кут з вершиною в точці О. У силу доведеного твердження існує площина, яка перетинає його ребра.

Проведемо таку площину, нехай вона перетинає ребра кута в точках А1, А2, А3 і так далі Аn.

Площина від зовнішньої області плоского кута буде відсікати трикутник. Сума кутів якого 180 °. Отримаємо, що сума всіх плоских кутів від А1ОА2 до АnОА1 дорівнює виразу перетворимо, цей вираз перегрупуємо складові, отримаємо

У даному виразі суми зазначені в дужках є сумами плоских кутів тригранного кута, а як відомо вони більше третього плоского кута.

Цю нерівність можна записати для всіх тригранних кутів, що утворюють даний багатогранний кут.

Отже, отримаємо наступне продовження рівності

Отримана відповідь доводить, що сума плоских кутів опуклого багатогранного кута менша за 360 градусів.

Багатогранний кут

частина простору, обмежена однією порожниною багатогранної конічної поверхні, що направляє - плоский багатокутник без самоперетинів. Грані цієї поверхні називаються гранями М. у., вершину – вершиною М. у. М. в. називають правильним, якщо рівні всі його лінійні кути та всі його двогранні кути. Мірою М. в. є площа, обмежена сферичним багатокутником, отриманим перетином граней М. у., сферою з радіусом, рівним одиниці, і з центром у вершині М. у. також Тілесний кут .

Велика Радянська Енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .

Дивитись що таке "Багатогранний кут" в інших словниках:

Див. Тілесний кут … Великий Енциклопедичний словник

Див. Тілесний кут. * * * Багатогранний кут Багатогранний кут, див. Тілесний кут (див. ТІЛІВИЙ кут) … Енциклопедичний словник

Частина простору, обмежена однією порожниною багатогранної коніч. поверхні, що спрямовує до рій плоский багатокутник без самоперетинів. Грані цієї поверхні зв. гранями М. у., вершина вершиною М. у. Багатогранний кут зв. правильним … Математична енциклопедія

См Тілесний кут … Природознавство. Енциклопедичний словник

багатогранний кут- Матем. Частина простору, обмежена кількома площинами, що проходять через одну точку (вершину кута). Словник багатьох виразів

Багатогранна, багатогранна, багатогранна (книжн.). 1. Має кілька граней чи сторін. Багатогранний камінь. Багатогранний кут (частина простору, обмежена кількома площинами, що перетинаються в одній точці; мат.). 2. перен. Тлумачний словник Ушакова

- (Мат.). Якщо з точки на даній площині проведемо прямі ОА і 0В, то отримаємо кут АОВ (чорт. 1). Чорт. 1. Крапка 0 зв. вершиною кута, а прямі ОА та 0В сторонами кута. Припустимо, що дано два кути ΒΟΑ і Β 1 Ο 1 Α 1. Накладемо їх так, щоб… …

- (Мат.). Якщо з точки на даній площині проведемо прямі ОА і 0В, то отримаємо кут АОВ (чорт. 1). Чорт. 1. Крапка 0 зв. вершиною кута, а прямі ОА та 0В сторонами кута. Припустимо, що дано два кути ΒΟΑ і Β1Ο1Α1. Накладемо їх так, щоб вершини О… Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

Цей термін має й інші значення, див. Кут (значення). Кут ∠ Розмірність ° Одиниці виміру СІ Радіан … Вікіпедія

Плоский, геометрична постать, утворена двома променями (сторонами У.), які з однієї точки (вершини У.). Кожен У., що має вершину в центрі Про деяке коло (центральний У.), визначає на колі дугу AB, обмежену… Велика Радянська Енциклопедія

Багатогранні кути Багатогранний кут є просторовим аналогом багатокутника на площині. Нагадаємо, що багатокутником на площині називається фігура, утворена простою замкненою ламаною цієї площини та обмеженою нею внутрішньою областю.

Визначення багатогранного кута Поверхня, утворену кінцевим набором плоских кутів A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, An. SA 1 із загальною вершиною S, в яких сусідні кути не мають загальних точок, крім точок загального променя, а не сусідні кути не мають спільних точок, крім загальної вершини, називатимемо багатогранною поверхнею. Фігура, утворена зазначеною поверхнею та однією з двох частин простору, нею обмежених, називається багатогранним кутом. Загальна вершина S називається вершиною багатогранного кута. Промені SA 1, …, SAn називаються ребрами багатогранного кута, а самі плоскі кути A 1 SA 2, A 2 SA 3 …, An-1 SAn, An. SA 1 – гранями багатогранного кута. Багатогранний кут позначається літерами SA 1 ... An, що вказують вершину та точки на його ребрах.

Види багатогранних кутів Залежно від кількості граней багатогранні кути бувають тригранними, чотиригранними, п'ятигранними тощо.

Вправа 1 Наведіть приклади багатогранників, у яких грані, що перетинаються у вершинах, утворюють лише: а) тригранні кути; б) чотиригранні кути; в) п'ятигранні кути. Відповідь: а) Тетраедр, куб, додекаедр; б) октаедр; в) ікосаедр.

Вправа 2 Наведіть приклади багатогранників, у яких грані, перетинаючись у вершинах, утворюють лише: а) тригранні та чотиригранні кути; б) тригранні та п'ятигранні кути; в) чотиригранні та п'ятигранні кути. Відповідь: а) чотирикутна піраміда, трикутна біпіраміда; б) п'ятикутна піраміда; в) п'ятикутна біпіраміда.

Нерівність трикутника Для трикутника має місце така теорема. Теорема (Нерівність трикутника). Кожна сторона трикутника менша від суми двох інших сторін. Доведемо, що з тригранного кута має місце наступний просторовий аналог цієї теореми. Теорема. Кожен плоский кут тригранного кута менший за суму двох інших його плоских кутів.

Розглянемо тригранний кут SABC. Нехай найбільший із його плоских кутів є кут ASC. Тоді виконуються нерівності ASB ASC

Точка перетину бісектрис Для трикутника має місце така теорема. Теорема. Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці – центрі вписаного кола. Доведемо, що з тригранного кута має місце наступний просторовий аналог цієї теореми. Теорема. Біссектральні площини двогранних кутів тригранного кута перетинаються однією прямою.

Розглянемо тригранний кут SABC. Біссектральна площина двостороннього SAD кута SA є геометричним місцем точок цього кута, рівновіддалених від його граней SAB і SAC. Аналогічно, біссектральна площина SBE двогранного кута SB є геометричним місцем точок цього кута, віддалених від його граней SAB і SBC. Лінія їх перетину SO складатиметься з точок, що рівно віддалені від усіх граней тригранного кута. Отже, через неї проходитиме біссектральна площина двогранного кута SC.

Крапка перетину серединних перпендикулярів Для трикутника має місце така теорема. Теорема. Серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці – центр описаного кола. Доведемо, що з тригранного кута має місце наступний просторовий аналог цієї теореми. Теорема. Площини, що проходять через бісектриси граней тригранного кута і перпендикулярні до цих граней, перетинаються по одній прямій.

Розглянемо тригранний кут SABC. Площина, що проходить через бісектрису SD кута BSC і перпендикулярна до його площини, складається з точок рівновіддалених від ребер SB і SC тригранного кута SABC. Аналогічно, площина, що проходить через бісектрису SE кута ASC і перпендикулярна до його площини, складається з точок рівновіддалених від ребер SA і SC тригранного кута SABC. Лінія їх перетину SO складатиметься з точок, що рівно віддалені від усіх ребер тригранного кута. Отже, її міститиме площину, що проходить через бісектрису кута ASB і перпендикулярна його площині.

Точка перетину медіан Для трикутника має місце така теорема. Теорема. Медіани трикутника перетинаються в одній точці – центрі вписаного кола. Доведемо, що з тригранного кута має місце наступний просторовий аналог цієї теореми. Теорема. Площини, що проходять через ребра тригранного кута та бісектриси протилежних граней, перетинаються по одній прямій.

Розглянемо тригранний кут SABC. На його ребрах відкладемо рівні відрізки SA = SB = CS. Бісектриси SD, SE, SF плоских кутів тригранного кута є медіанами трикутників відповідно SBC, SAB. Отже, AD, BE, CF – медіани трикутника ABC. Нехай O – точка перетину медіан. Тоді пряма SO буде лінією перетину площин, що розглядаються.

Точка перетину висот Для трикутника має місце така теорема. Теорема. Висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці. Доведемо, що з тригранного кута має місце наступний просторовий аналог цієї теореми. Теорема. Площини, що проходять через ребра тригранного кута і перпендикулярні до площин протилежних граней, перетинаються по одній прямій.

Розглянемо тригранний кут Sabc. Нехай d, e, f – лінії перетину площин граней тригранного кута з площинами, що проходять через ребра a, b, c цього кута і перпендикулярні до відповідних площин граней. Виберемо якусь точку C на ребрі с. Опустимо з неї перпендикуляри CD та CE на прямі d та e відповідно. Позначимо A та B точки перетину прямих CD та CE з прямими SB та SA відповідно. Пряма d є ортогональною проекцією прямої AD на площину BSC. Так як BC перпендикулярна до прямої d, то вона перпендикулярна і до прямої AD. Аналогічно, пряма AC перпендикулярна до прямої BE. Нехай O – точка перетину прямих AD та BE. Пряма BC перпендикулярна площині SAD, отже, вона перпендикулярна до прямої SO. Аналогічно, Пряма AC перпендикулярна площині SBE, отже, вона перпендикулярна до прямої SO. Таким чином, пряма SO перпендикулярна прямим BC і AC, отже перпендикулярна площині ABC, значить, перпендикулярна і прямий AB. З іншого боку, пряма CO перпендикулярна до прямої AB. Таким чином, пряма AB перпендикулярна до площини SOC. Площина SAB проходить через пряму AB, перпендикулярну до площини SOC, отже, сама перпендикулярна до цієї площини. Отже, всі три площини, що розглядаються, перетинаються по прямій SO.

Сума плоских кутів Теорема. Сума плоских кутів тригранного кута менша за 360°. Доведення. Нехай SABC – це трикутний кут. Розглянемо тригранний кут із вершиною A, утворений гранями ABS, ACS та кутом BAC. Через нерівність трикутника, має місце нерівність BAС

Випуклі багатогранні кути Багатогранний кут називається опуклим, якщо він є опуклою фігурою, тобто разом з будь-якими двома своїми точками цілком містить і відрізок, що з'єднує їх. На малюнку наведено приклади опуклого та невипуклого багатогранних кутів. Властивість. Сума всіх плоских кутів опуклого багатогранного кута менша за 360°. Доказ аналогічний доведенню відповідної властивості для тригранного кута.
Вправа 5 Два плоскі кути тригранного кута дорівнюють 70° та 80°. У яких межах знаходиться третій плоский кут? Відповідь: 10 про

Вправа 6 Плоскі кути тригранного кута дорівнюють 45°, 45° та 60°. Знайдіть величину кута між площинами плоских кутів 45°. Відповідь: 90 о.

Вправа 7 У тригранному куті два плоскі кути рівні по 45°; двогранний кут між ними прямий. Знайдіть третій плоский кут. Відповідь: 60 о.

Вправа 8 Плоскі кути тригранного кута дорівнюють 60°, 60° та 90°. На його ребрах від вершини відкладено рівні відрізки OA, OB, OC. Знайдіть двогранний кут між площиною кута 90° і площиною ABC. Відповідь: 90 о.

Вправа 9 Кожен плоский кут трикутного кута дорівнює 60°. На одному з його ребер відкладений від вершини відрізок, що дорівнює 3 см, і з кінця опущений перпендикуляр на протилежну грань. Знайдіть довжину цього перпендикуляра. Відповідь: див.

№1 Дата05.09.14

Предмет Геометрія

Клас 11

Тема урока: Концепція багатогранного вугілля. Трикутний кут.

Цілі уроку:

запровадити поняття: "тригранні кути", "багатогранні кути", "багатогранник";

ознайомити учнів з елементами тригранного та багатогранного кутів, багатогранника, а також визначеннями опуклого багатогранного кута та властивостями плоских кутів багатогранного кута;

продовжити роботу з розвитку просторових уявлень та просторової уяви, а також логічного мислення учнів.

Тип уроку: вивчення нового матеріалу

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент.

Привітання учнів, перевірка готовності класу до уроку, організація уваги учнів, розкриття загальних цілей уроку та плану проведення.

2. Формування нових понять та способів дії.

Завдання: Забезпечити сприйняття, осмислення та запам'ятовування учнями матеріалу, що вивчається. Забезпечити засвоєння учнями методики відтворення вивченого матеріалу, сприяти філософському осмисленню понять, законів, правил, формул, що засвоюються. Встановити правильність та усвідомленість учнями вивченого матеріалу, виявити прогалини первинного осмислення, провести корекцію. Забезпечити співвідношення учнями свого суб'єктивного досвіду із ознаками наукового знання.

Нехай дані три променіа, b із с загальним початком крапкоюПро (Рис. 1.1). Ці три промені не обов'язково лежать в одній площині. На малюнку 1.2 променіb із лежать у площинір, а проміньа не лежить у цій площині.

Променіа, b із попарно задають три виділені дугами плоскі кути. (Рис. 1.3).

Розглянемо фігуру, що складається із трьох зазначених вище кутів та частини простору, обмеженої цими плоскими кутами. Цю просторову фігуру називаютьтригранним кутом (Рис. 2).

Променіа, b і з називаютьсяребрами тригранного кута, а кути: = AOC, = AOB,

= BOC , що обмежують тригранний кут, - йогогранями. Ці кути-грані утворюютьповерхню трикутного кута. КрапкаПро називаєтьсявершиною тригранного кута. Трикутний кут можна позначати так: OABC

Розглянувши уважно всі багатогранні кути, зображені малюнку 3, ми можемо зробити висновок, що з кожного з багатогранних кутів однакове число ребер і граней:

4 грані та одна вершина;

у п'ятигранного кута - 5 ребер, 5 граней та одна вершина;

• 
  у шестигранного кута - 6 ребер, 6 граней та одна вершина і т.д.

Багатогранні кути бувають опуклими і невипуклими.

Уявіть собі, що ми взяли чотири промені із загальним початком, як на малюнку 4. У цьому випадку ми отрималиневипуклий багатокутний кут.

Визначення 1. Багатогранний кут називається опуклим,якщо вінлежить по один бік від площини кожної його грані.

Іншими словами, опуклий багатогранний кут завжди можна покласти будь-якою його гранню на деяку площину. Ви бачите, що у випадку, зображеному на малюнку 4, так зробити не завжди вдається. Чотирьохгранний кут, зображений на малюнку 4, є неопуклим.

Зазначимо, що у нашому підручнику, якщо ми говоримо “багатогранний кут”, то маємо на увазі, що він опуклий. Якщо розглянутий багатокутний кут невипуклий, це буде сказано окремо.

Властивості плоских кутів багатогранного кута

Теорема 1.Кожен плоский кут тригранного кута менший за суму двох інших плоских кутів.

Теорема 2.Сума величин всіх плоских кутів опуклого багатогранного кута менша за 360°.

3. Застосування. Формування умінь та навичок.

Завдання: Забезпечити застосування учнями знань і способів дій, які їм необхідні СР, створити умови виявлення школярами індивідуальних способів застосування вивченого.

6.Етап інформації про домашнє завдання.

Завдання: Забезпечити розуміння учнями мети, змісту та способів виконання домашнього завдання.

§1(1.1, 1.2) стор. 4, № 9.

7.Підведення підсумків уроку.

Завдання: Дати якісну оцінку роботи класу та окремих учнів.

8. Етап рефлексії.

Завдання: Ініціювати рефлексію учнів самооцінку своєї діяльності. Забезпечити засвоєння учнями принципів саморегуляції та співробітництва.

Розмова з питань:

Що тобі на уроці було цікаво?

Що не зрозуміло?

На що звернути увагу вчителю на наступний урок?

Як ти оціниш свою роботу на уроці?

Слайд 1

Фігура, утворена зазначеною поверхнею та однією з двох частин простору, нею обмежених, називається багатогранним кутом. Загальна вершина S називається вершиною багатогранного кута. Промені SA1, …, SAn називаються ребрами багатогранного кута, а самі плоскі кути A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 – гранями багатогранного кута. Багатогранний кут позначається літерами SA1 ... An, що вказують вершину та точки на його ребрах. Поверхня, утворену кінцевим набором плоских кутів A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 із загальною вершиною S, у яких сусідні кути не мають спільних точок, крім точок загального променя, а несусідні кути не мають спільних точок, крім загальної вершини, будемо називати багатогранною поверхнею.

Слайд 2


Залежно від числа граней багатогранні кути бувають тригранними, чотиригранними, п'ятигранними тощо.

Слайд 3

ТРИГРАНІ КУТИ

Теорема. Кожен плоский кут тригранного кута менший за суму двох інших його плоских кутів. Розглянемо тригранний кут SABC. Нехай найбільший із його плоских кутів є кут ASC. Тоді виконуються нерівності ASB ASC

Слайд 4


Властивість. Сума плоских кутів тригранного кута менша за 360°. Аналогічно для тригранних кутів з вершинами B і С мають місце нерівності: ABС

Слайд 5

Випуклі багатогранні кути

Багатогранний кут називається опуклим, якщо він є опуклою фігурою, тобто разом з будь-якими двома своїми точками цілком містить і відрізок, що з'єднує їх. На малюнку наведені приклади опуклого і непуклого багатогранних кутів. Властивість.Сума всіх плоских кутів опуклого багатогранного кута менше 360 °. Доказ аналогічний доведенню відповідної властивості для тригранного кута.

Слайд 6

Вертикальні багатогранні кути

На рисунках наведено приклади тригранних, чотиригранних та п'ятигранних вертикальних кутів Теорема. Вертикальні кути рівні.

Слайд 7

Вимірювання багатогранних кутів

Оскільки градусна величина розгорнутого двогранного кута вимірюється градусною величиною відповідного лінійного кута і дорівнює 180о, то вважатимемо, що градусна величина всього простору, що складається з двох розгорнутих двогранних кутів, дорівнює 360о. Розмір багатогранного кута, виражена в градусах, показує яку частину простору займає даний багатокутний кут. Наприклад, тригранний кут куба займає одну восьму частину простору і, отже, його градусна величина дорівнює 360о: 8 = 45о. Тригранний кут у правильній n-вугільній призмі дорівнює половині двогранного кута при бічному ребрі. Враховуючи, що цей двогранний кут дорівнює, отримуємо, що тригранний кут призми дорівнює.

Слайд 8

Вимірювання трикутних кутів*

Виведемо формулу, що виражає величину тригранного кута через його двогранні кути. Опишемо біля вершини Sтрехгранного кута одиничну сферу і позначимо точки перетину ребер тригранного кута з цією сферою A, B, C. Площини граней тригранного кута розбивають цю сферу на шість попарно рівних сферичних двокутників, що відповідають двогранним кутам даного тригранного. Сферичний трикутник ABC і симетричний йому сферичний трикутник A"B"C" є перетином трьох двокутників.

Слайд 9

Вимірювання багатогранних кутів*

Нехай SA1 ... An - опуклий n-гранний кут. Розбиваючи його на тригранні кути, проведенням діагоналей A1A3, …, A1An-1 та застосовуючи до них отриману формулу, матимемо:  SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1…An. Багатогранні кути можна вимірювати і числами. Дійсно, трьомстам шістдесяти градусів всього простору відповідає число 2? Переходячи від градусів до числа в отриманій формулі, матимемо: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.

Слайд 10

Вправа 1

Чи може бути тригранний кут із плоскими кутами: а) 30°, 60°, 20°; б) 45 °, 45 °, 90 °; в) 30 °, 45 °, 60 °? Відповіді немає; б) ні; в) так.

Слайд 11

Вправа 2

Наведіть приклади багатогранників, у яких грані, перетинаючи у вершинах, утворюють лише: а) тригранні кути; б) чотиригранні кути; в) п'ятигранні кути. Відповідь: а) Тетраедр, куб, додекаедр; б) октаедр; в) ікосаедр.

Слайд 12

Вправа 3

Два плоскі кути тригранного кута дорівнюють 70° і 80°. У яких межах знаходиться третій плоский кут? Відповідь: 10о

Слайд 13

Вправа 4

Плоскі кути тригранного кута дорівнюють 45 °, 45 ° і 60 °. Знайдіть величину кута між площинами плоских кутів 45°. Відповідь: 90о.

Слайд 14

Вправа 5

У тригранному куті два плоскі кути рівні по 45°; двогранний кут між ними прямий. Знайдіть третій плоский кут. Відповідь: 60о.

Слайд 15

Вправа 6

Плоскі кути тригранного кута дорівнюють 60°, 60° та 90°. На його ребрах від вершини відкладено рівні відрізки OA, OB, OC. Знайдіть двогранний кут між площиною кута 90° і площиною ABC. Відповідь: 90о.

Слайд 16

Вправа 7

Кожен плоский кут тригранного кута дорівнює 60 °. На одному з його ребер відкладений від вершини відрізок, що дорівнює 3 см, і з кінця опущений перпендикуляр на протилежну грань. Знайдіть довжину цього перпендикуляра. Відповідь: див.

Слайд 17

Вправа 8

Знайдіть геометричне місце внутрішніх точок тригранного кута, рівновіддалених від його граней. Відповідь: Промінь, вершиною якого є вершина тригранного кута, що лежить на лінії перетину площин, що ділять двогранні кути навпіл.

Слайд 18

Вправа 9

Знайдіть геометричне місце внутрішніх точок тригранного кута, рівновіддалених від його ребер. Відповідь: Промінь, вершиною якого є вершина тригранного кута, що лежить на лінії перетину площин, що проходять через бісектриси плоских кутів і перпендикулярних площин цих кутів.

Слайд 19

Вправа 10

Для двогранних кутів тетраедра маємо: , звідки 70о30". Для тригранних кутів тетраедра маємо: 15о45". Відповідь: 15о45". Знайдіть наближені значення тригранних кутів тетраедра.

Слайд 20

Вправа 11

Знайдіть наближені значення чотиригранних кутів октаедра. Для двогранних кутів октаедра маємо: , звідки 109о30". Для чотиригранних кутів октаедра маємо: 38о56". Відповідь: 38о56".

Слайд 21

Вправа 12

Знайдіть наближені значення п'ятигранних кутів ікосаедра. Для двогранних кутів ікосаедра маємо: , звідки 138о11". Для п'ятигранних кутів ікосаедра маємо: 75о28". Відповідь: 75о28".

Слайд 22

Вправа 13

Для двогранних кутів додекаедра маємо: , звідки 116о34". Для тригранних кутів додекаедра маємо: 84о51". Відповідь: 84о51". Знайдіть наближені значення тригранних кутів додекаедра.

Слайд 23

Вправа 14

У правильній чотирикутній піраміді SABCD сторона основи дорівнює 2 см, висота 1 см. Знайдіть чотиригранний кут при вершині цієї піраміди. Рішення: Зазначені піраміди розбивають куб на шість рівних пірамід з вершинами в центрі куба. Отже, 4-х гранний кут при вершині піраміди становить одну шосту частину кута 360о, тобто. дорівнює 60о. Відповідь: 60о.

Слайд 24

Вправа 15

У правильній трикутній піраміді бічні ребра дорівнюють 1, кути при вершині 90о. Знайдіть тригранний кут при вершині цієї піраміди. Рішення: Вказані піраміди розбивають октаедр на вісім рівних пірамід з вершинами в центрі O октаедра. Отже, 3-х гранний кут при вершині піраміди становить одну восьму частину кута 360о, тобто. дорівнює 45о. Відповідь: 45о.

Слайд 25

Вправа 16

У правильній трикутній піраміді бічні ребра дорівнюють 1, а висота Знайдіть тригранний кут при вершині цієї піраміди. Рішення: Зазначені піраміди розбивають правильний тетраедр на чотири рівні піраміди з вершинами в центрі Oтетраедра. Отже, 3-гранний кут при вершині піраміди становить одну четверту частину кута 360о, тобто. дорівнює 90о. Відповідь: 90о.

Переглянути всі слайди