Двовимірна випадкова величина підпорядкована закону розподілу. Дискретні двовимірні випадкові величини

Результат зручніше представляти як табл.9.6.

Таблиця 9.6

Скористаємося формулами для початкових моментів та результатами таблиць 9.3 та 9.4 та обчислимо математичні очікування складових Xі Y:

Дисперсії обчислимо через другий початковий момент та результати табл. 9.3 та 9.4:

Для обчислення коваріації До(X,Y) використовуємо аналогічну формулу через початковий момент:

Коефіцієнт кореляції визначається за такою формулою:

Шукана ймовірність визначається як ймовірність попадання в область на площині, що визначається відповідною нерівністю:

9.2. Кораблем передається повідомлення SOS, яке може бути прийнято двома радіостанціями. Цей сигнал може бути прийнятий однією радіостанцією незалежно від іншої. Імовірність того, що сигнал прийнятий першою радіостанцією становить 0,95; ймовірність того, що сигнал прийнятий другою радіостанцією, дорівнює 0,85. Знайти закон розподілу двовимірної випадкової величини, що характеризує прийом сигналу двома радіостанціями. Написати функцію розподілу.

Рішення:Нехай X– подія, яка полягає в тому, що сигнал приймає перша радіостанція. Y– подія полягає в тому, що сигнал приймає друга радіостанція.

Безліч значень .

Х=1 – сигнал прийнятий першою радіостанцією;

Х=0 – сигнал не прийнято першою радіостанцією.

Безліч значень .

Y=l – сигнал прийнятий другою радіостанцією,

Y=0 – сигнал не прийнятий другою радіостанцією.

Імовірність того, що сигнал не прийнятий ні першою, ні другою радіостанціями дорівнює:

Імовірність прийняття сигналу першою радіостанцією:

Імовірність того, що сигнал прийнятий другою радіостанцією:

Імовірність того, що сигнал прийнятий і першою та другою радіостанціями, дорівнює: .

Тоді закон розподілу двовимірної випадкової величини дорівнює:

х,y) значення F(х,y) дорівнює сумі ймовірностей тих можливих значень випадкової величини ( X,Y), які потрапляють всередину вказаного прямокутника.

Тоді функція розподілу матиме вигляд:

9.3. Дві компанії випускають однакову продукцію. Кожна незалежно від іншої може ухвалити рішення про модернізацію виробництва. Імовірність того, що перша фірма ухвалила таке рішення, дорівнює 0,6. Імовірність прийняття такого рішення другою фірмою дорівнює 0,65. Написати закон розподілу двовимірної випадкової величини, що характеризує ухвалення рішення про модернізацію виробництва двох фірм. Написати функцію розподілу.

Відповідь:Закон розподілу:

При кожному фіксованому значенні точки з координатами ( x,y) значення дорівнює сумі ймовірностей тих можливих значень , які потрапляють всередину вказаного прямокутника .

9.4. На токарному верстаті-автоматі виготовляються кільця поршневі для двигунів автомобіля. Вимірюються товщина кільця (випадкова величина X)і діаметр отвору (випадкова величина Y). Відомо, що близько 5% усіх поршневих кілець браковані. Причому 3% шлюбу обумовлені нестандартними діаметрами отворів, 1% – нестандартною товщиною та 1% – бракують за обома ознаками. Знайти: спільний розподіл двовимірної випадкової величини ( X,Y); одномірні розподілу складових Хі Y;математичні очікування складових Xі Y; кореляційний момент та коефіцієнт кореляції між складовими Xі Yдвовимірної випадкової величини ( Х,Y).

Відповідь:Закон розподілу:

; ; ; ; ; .

9.5. У продукції заводу шлюб унаслідок дефекту Астановить 4%, а внаслідок дефекту У- 3,5%. Стандартна продукція складає 96%. Визначити який відсоток усієї продукції має дефекти обох типів.

9.6. Випадкова величина ( X,Y)розподілена з постійною щільністю усередині квадрата R, Вершини якого мають координати (-2; 0), (0; 2), (2; 0), (0; - 2). Визначити густину розподілу випадкової величини ( X,Y)і умовні щільності розподілу р(х\у), р(у\х).

Рішення.Побудуємо на площині x 0yзаданий квадрат (рис.9.5) і визначимо рівняння сторін квадрата ABCD, скориставшись рівнянням прямою, що проходить через дві задані точки: Підставивши координати вершин Аі Уотримаємо послідовно рівняння сторони АВ: або .

Аналогічно знаходимо рівняння сторони НД: ;сторони CD: і сторони DA: . : .D X , Y) являє собою півкулю з центром на початку координат радіусу R.Знайти щільність розподілу ймовірностей.

Відповідь:

9.10. Задано дискретну двовимірну випадкову величину:

Знайти: а) умовний закон розподілу X, за умови, що у= 10;

б) умовний закон розподілу Y, за умови, що x =10;

в) математичне очікування, дисперсію, коефіцієнт кореляції.

9.11. Безперервна двовимірна випадкова величина ( X,Y)рівномірно розподілена всередині прямокутного трикутника з вершинами Про(0;0), А(0;8), У(8,0).

Знайти: а) густина розподілу ймовірностей;

Досить часто щодо випадкових величин доводиться мати справу з двома, трьома і навіть великою кількістю випадкових величин. Наприклад, двовимірною випадковою величиною $ \ left (X, \ Y \ right) $ буде описуватися точка попадання снаряда, де випадкові величини $ X, \ Y $ абсцис і ординату відповідно. Успішність удачу взятого студента в період сесії характеризується $n$-вимірною випадковою величиною $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$, де випадкові величини $X_1, \ X_2, \ \dots ,\ X_n $ - це оцінки, проставлені в заліковій книжці з різних дисциплін.

Набір $n$ випадкових величин $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$ називається випадковим вектором. Ми обмежимося розглядом випадку $\left(X,\Y\right)$.

Нехай $X$ - дискретна випадкова величина з можливими значеннями $x_1,x_2,\dots,\x_n$, а $Y$ - дискретна випадкова величина з можливими значеннями $y_1,y_2,\dots,\y_n$.

Тоді дискретна двовимірна випадкова величина $\left(X,\Y\right)$ може приймати значення $\left(x_i,\ y_j\right)$ з ймовірностями $p_(ij)=P\left(\left(X=x_i \right)\left(Y=y_j\right)\right)=P\left(X=x_i\right)P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$. Тут $P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$ - це умовна ймовірність того, що випадкова величина $Y$ прийме значення $y_j$ за умови, що випадкова величина $X$ прийняла значення $x_i$.

Імовірність того, що випадкова величина $X$ прийме значення $x_i$ дорівнює $p_i=\sum_j(p_(ij))$. Імовірність того, що випадкова величина $Y$ прийме значення $y_j$ дорівнює $q_j=\sum_i(p_(ij))$.

$$P\left(X=x_i|Y=y_j\right)=((P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right))\over (P\ left(Y=y_j\right)))=((p_(ij))\over (q_j)).$$

$$P\left(Y=y_j|X=x_i\right)=((P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right))\over (P\ left(X=x_i\right)))=((p_(ij))\over (p_i)).$$

Приклад 1 . Задано розподіл двовимірної випадкової величини:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X\backslash Y & 2 & 3 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end(array)$

Визначимо закони розподілу випадкових величин $X$ та $Y$. Знайдемо умовні розподілу випадкової величини $X$ за умови $Y=2$ та випадкової величини $Y$ за умови $X=0$.

Заповнимо наступну таблицю:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X\backslash Y&2&3&p_i&p_(ij)/q_1\\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 & 0,4 & 0,29 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 & 0,41 & 0,54 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 & 0,19 & 0,17 \\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 & 1 & \\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0,68 & 0,32 & & \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end(array)$

Пояснимо, як заповнюється таблиця. Значення перших трьох стовпців перших чотирьох рядків взято з умови. Суму чисел $2$-го і $3$-го стовпців $2$-го ($3$-го) рядка вкажемо в $4$-му стовпчику $2$-го ($3$-го) рядка. Суму чисел $2$-го і $3$-го стовпців $4$-го рядка вкажемо в $4$-му стовпці $4$-го рядка.

Суму чисел $2$-й, $3$-й і $4$-й рядків $2$-го ($3$-го) стовпця запишемо в $5$-му рядку $2$-го ($3$-го) стовпця. Кожне число $2$-го стовпця ділимо на $q_1=0,52$, результат округляємо до двох цифр після коми і пишемо в $5$-му стовпці. Числа з $2$-го і $3$-го стовпців $3$-го рядка ділимо на $p_2=0,41$, результат округляємо до двох цифр після коми і пишемо в останньому рядку.

Тоді закон розподілу випадкової величини $X$ має такий вигляд.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,41 & 0,19 \\
\hline
\end(array)$

Закон розподілу випадкової величини $Y$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Y & 2 & 3 \\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 \\
\hline
\end(array)$

Умовний розподіл випадкової величини $X$ за умови $Y=2$ має такий вигляд.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_(ij)/q_1 & 0,29 & 0,54 & 0,17 \\
\hline
\end(array)$

Умовний розподіл випадкової величини $Y$ за умови $X=0$ має такий вигляд.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Y & 2 & 3 \\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0,68 & 0,32 \\
\hline
\end(array)$

Приклад 2 . Маємо шість олівців, серед яких два червоні. Розкладаємо олівці у дві коробки. У першу кладуть $2$ штуки, а в другу теж дві. $X$ - кількість червоних олівців у першій коробці, a $Y$ - у другій. Написати закон розподілу системи випадкових величин $(X,\Y)$.

Нехай дискретна випадкова величина $X$ – кількість червоних олівців у першій коробці, а дискретна випадкова величина $Y$ – кількість червоних олівців у другій коробці. Можливі значення випадкових величин $ X, \ Y $ відповідно $ X: 0, \ 1, \ 2 $, $ Y: 0, \ 1, \ 2 $. Тоді дискретна двовимірна випадкова величина $\left(X,\Y\right)$ може приймати значення $\left(x,\y\right)$ з ймовірностями $P=P\left(\left(X=x\right) \times \left(Y=y\right)\right)=P\left(X=x\right)\times P\left(Y=y|X=x\right)$, де $P\left(Y =y|X=x\right)$ - умовна ймовірність того, що випадкова величина $Y$ прийме значення $y$ за умови, що випадкова величина $X$ прийняла значення $x$. Зобразимо відповідність між значеннями $\left(x,\y\right)$ і ймовірностями $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y=y\right)\right)$ у вигляді наступного таблиці.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X\backslash Y&0&1&2\\
\hline
0 & ((1)\over (15)) & ((4)\over (15)) & ((1)\over (15)) \\
\hline
1 & ((4)\over (15)) & ((4)\over (15)) & 0 \\
\hline
2 & ((1)\over (15)) & 0 & 0 \\
\hline
\end(array)$

По рядках такої таблиці вказуються значення $X$, а за стовпцями значення $Y$, тоді ймовірності $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y=y\right)\right)$ вказуються на перетині відповідного рядка та стовпця. Розрахуємо ймовірності, використовуючи класичне визначення ймовірності та теорему добутку ймовірностей залежних подій.

$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((1)\over (6))=((1)\over (15));$$

$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=1\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^1_2\) cdot C^1_2)\over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((2\cdot 2)\over (6))=((4)\over (15)) ;$$

$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=2\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((1)\over (6))=((1)\over (15));$$

$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\over (C^2_6))\cdot ( (C^2_3)\over (C^2_4))=((2\cdot 4)\over (15))\cdot ((3)\over (6))=((4)\over (15)) ;$$

$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=1\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\over (C^2_6))\cdot ( (C^1_1\cdot C^1_3)\over (C^2_4))=((2\cdot 4)\over (15))\cdot ((1\cdot 3)\over (6))=(( 4) \ over (15)); $ $

$$P\left(\left(X=2\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_2)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_4) \over (C^2_4))=((1)\over (15))\cdot 1=((1)\over (15)).$$

Оскільки в законі розподілу (отриманої таблиці) все безліч подій утворює повну групу подій, то сума ймовірностей має дорівнювати 1. Перевіримо це:

$$\sum_(i,\ j)(p_(ij))=((1)\over (15))+((4)\over (15))+((1)\over (15))+ ((4)\over (15))+((4)\over (15))+((1)\over (15))=1.$$

Функція розподілу двовимірної випадкової величини

Функцією розподілудвовимірної випадкової величини $\left(X,\Y\right)$ називається функція $F\left(x,\ y\right)$, яка для будь-яких дійсних чисел $x$ і $y$ дорівнює ймовірності спільного виконання двох подій $ \left\(X< x\right\}$ и $\left\{Y < y\right\}$. Таким образом, по определению

$$F\left(x,\y\right)=P\left\(X< x,\ Y < y\right\}.$$

Для дискретної двовимірної випадкової величини функція розподілу знаходиться шляхом підсумовування всіх ймовірностей $p_(ij)$, для яких $x_i< x,\ y_j < y$, то есть

$$F\left(x,\y\right)=\sum_(x_i< x}{\sum_{y_j < y}{p_{ij}}}.$$

Властивості функції розподілу двовимірної випадкової величини.

1 . Функція розподілу $F\left(x,\y\right)$ є обмеженою, тобто $0\le F\left(x,\y\right)\le 1$.

2 . $F\left(x,\ y\right)$ не менша для кожного зі своїх аргументів при фіксованому іншому, тобто $F\left(x_2,\ y\right)\ge F\left(x_1,\ y\right )$ при $x_2>x_1$, $F\left(x,\y_2\right)\ge F\left(x,\y_1\right)$ при $y_2>y_1$.

3 . Якщо хоча б один з аргументів набуває значення $-\infty $, то функція розподілу дорівнюватиме нулю, тобто $F\left(-\infty ,\ y\right)=F\left(x,\ -\infty \right ), \ F \ left (- \ infty, \ - \ infty \ right) = 0 $.

4 . Якщо обидва аргументи приймають значення $+\infty $, то функція розподілу дорівнюватиме $1$, тобто $F\left(+\infty ,\ +\infty \right)=1$.

5 . У тому випадку, коли рівно один з аргументів набуває значення $+\infty $, функція розподілу $F\left(x,\ y\right)$ стає функцією розподілу випадкової величини, що відповідає іншому елементу, тобто $F\left(x ,\ +\infty \right)=F_1\left(x\right)=F_X\left(x\right),\ F\left(+\infty ,\ y\right)=F_y\left(y\right) = F_Y \ left (y \ right) $.

6 . $F\left(x,\ y\right)$ є безперервною зліва для кожного зі своїх аргументів, тобто

$$(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) F\left(x,\ y\right)\ )=F\left(x_0,\ y\right),\ (\mathop(lim) _(y\to y_0-0) F\left(x,\ y\right)\ )=F\left(x,\ y_0\right).$$

Приклад 3 . Нехай дискретна двовимірна випадкова величина $ \ left (X, \ Y \ right) $ задана поруч розподілу.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X\backslash Y&0&1\\
\hline
0 & ((1)\over (6)) & ((2)\over (6)) \\
\hline
1 & ((2)\over (6)) & ((1)\over (6)) \\
\hline
\end(array)$

Тоді функція розподілу:

$F(x,y)=\left\(\begin(matrix)
0,\ при\ x\le 0,\ y\le 0 \\
0, \ при \ x \ le 0, \ 0< y\le 1 \\
0,\ при\ x\le 0,\ y>1 \\
0,\ при 0< x\le 1,\ y\le 0 \\
((1)\over (6)),\ при\ 0< x\le 1,\ 0 < y\le 1 \\
((1)\over (6))+((2)\over (6))=((1)\over (2)),\ при\ 0< x\le 1,\ y>1 \\
0,\ при\ x>1,\ y\le 0 \\
((1)\over (6))+((2)\over (6))=((1)\over (2)),\ при\ x>1,\ 0< y\le 1 \\
((1)\over (6))+((2)\over (6))+((2)\over (6))+((1)\over (6))=1,\ при\ x >1,\ y>1 \\
\end(matrix)\right.$

Двовимірною називають випадкову величину ( X, Y), можливі значення якої є пари чисел ( x, у). складники Xі Y, що розглядаються одночасно, утворюють системудвох випадкових величин.

Двовимірну величину геометрично можна витлумачити як випадкову точку M(Х; Y) на площині xOyабо як випадковий вектор OM.

Дискретноюназивають двовимірну величину, складові якої є дискретними.

Безперервнийназивають двовимірну величину, складові якої безперервні.

Законом розподілуймовірностей двовимірної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями та їх ймовірностями.

Закон розподілу дискретної двовимірної випадкової величини може бути заданий: а) у вигляді таблиці з подвійним входом, що містить можливі значення та їх ймовірність; б) аналітично, наприклад, у вигляді функції розподілу.

Функцією розподілуймовірностей двовимірної випадкової величини називають функцію F(x, у), що визначає для кожної пари чисел (x, у)ймовірність того, що Xприйме значення менше x, і при цьому Yнабуде значення, менше y:

F(x, у) = Р(Х< x, Y < y).

Геометрично цю рівність можна витлумачити так: F(х, у)є ймовірність того, що випадкова точка ( X, Y) потрапить у нескінченний квадрант з вершиною ( x,y)розташований ліворуч і нижче цієї вершини.

Іноді замість терміну "функція розподілу" використовують термін "інтегральна функція".

Функція розподілу має такі властивості:

Властивість 1. Значення функції розподілу задовольняють подвійну нерівність

0 ≤ F (x, у) ≤ 1.

Властивість 2. Функція розподілу є незменшною функцією за кожним аргументом:

F(x 2 , y) ≥ F(x 1 , y), якщо x 2 > x 1 ,

F(x, y 2) ≥ F(x, y 1), якщо y 2 > y 1 .

Властивість 3. Мають місце граничні співвідношення:

1) F(–∞, y) = 0,

3) F(–∞, –∞) = 0,

2) F(x, –∞) = 0,

4) F(∞, ∞) = 1.

Властивість 4. а) При у=∞ функція розподілу системи стає функцією розподілу складової X:

F(x, ∞) = F 1 (x).

б) При x = ∞ функція розподілу системи стає функцією розподілу складової Y:

F(∞, y) = F 2 (y).

Використовуючи функцію розподілу, можна знайти можливість попадання випадкової точки в прямокутник x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2 :

P(x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2) = – .

Щільністю спільного розподілу ймовірностей (двовимірною густиною ймовірності)безперервної двовимірної випадкової величини називають другу змішану похідну від функції розподілу:

Іноді замість терміну «двовимірна густина ймовірності» використовують термін «диференціальна функція системи».

Щільність спільного розподілу можна розглядати як межу відношення ймовірності попадання випадкової точки у прямокутник із сторонами D xта D yдо площі цього прямокутника, коли обидві його сторони прагнуть нуля; геометрично її можна витлумачити як поверхню, яку називають поверхнею розподілу.

Знаючи густину розподілу, можна знайти функцію розподілу за формулою

Імовірність потрапляння випадкової точки (X, Y) у область D визначається рівністю

Двовимірна щільність ймовірності має наступні властивості:

Властивість 1. Двовимірна щільність ймовірності невід'ємна:

f(x,y) ≥ 0.

Властивість 2. Подвійний невласний інтеграл з нескінченними межами від двовимірної щільності ймовірності дорівнює одиниці:

Зокрема, якщо всі можливі значення (X, У) належать кінцевій ділянці D, то

226. Задано розподіл ймовірностей дискретної двовимірної випадкової величини:

Знайти закони розподілу складових.

228. Задано функцію розподілу двовимірної випадкової величини

Знайти ймовірність попадання випадкової точки ( X, Y x = 0, x= p/4, y= p/6, y= p/3.

229. Знайти ймовірність попадання випадкової точки ( X, Y) у прямокутник, обмежений прямими x = 1, x = 2, y = 3, y= 5, якщо відома функція розподілу

230. Задано функцію розподілу двовимірної випадкової величини

Знайти двовимірну густину ймовірності системи.

231. У колі x 2 + y 2 ≤ R 2двомірна щільність ймовірності; поза коло f(x, y)= 0. Знайти: а) постійну C; б) ймовірність попадання випадкової точки ( X, Y) у коло радіусу r= 1 з центром на початку координат, якщо R = 2.

232. У першому квадранті задана функція розподілу системи двох випадкових величин F(x, y) = 1 + 2 - x - 2 - y + 2 - x-y. Знайти: а) двомірну густину ймовірності системи; б) ймовірність попадання випадкової точки ( X, Y) у трикутник з вершинами A(1; 3), B(3; 3), C(2; 8).

8.2. Умовні закони розподілу ймовірностей складових
дискретної двовимірної випадкової величини

Нехай складові Xі Yдискретні та мають відповідно такі можливі значення: x 1, x 2, …, x n; y 1 , y 2 , …, y m.

Умовним розподілом складової Xпри Y=y j(j зберігає те саме значення при всіх можливих значеннях X) називають сукупність умовних ймовірностей

p(x 1 | y j), p (x 2 | y j), …, p (x n | y j).

Аналогічно визначається умовний розподіл Y.

Умовні ймовірності складових X та Y обчислюють відповідно за формулами

Для контролю обчислень доцільно переконатися, що сума ймовірностей умовного розподілу дорівнює одиниці.

233. Задана дискретна двовимірна випадкова величина ( X, Y):

Знайти: а) умовний закон розподілу Xза умови, що Y=10; б) умовний закон розподілу Yза умови, що X=6.

8.3. Знаходження щільностей та умовних законів розподілу
складових безперервної двовимірної випадкової величини

Щільність розподілу однієї зі складових дорівнює невласному інтегралу з нескінченними межами від густини спільного розподілу системи, причому змінна інтегрування відповідає іншій складовій:

Тут передбачається, що можливі значення кожної зі складових належать до всієї числової осі; якщо ж можливі значення належать кінцевому інтервалу, то як межі інтегрування приймають відповідні кінцеві числа.

Умовною щільністю розподілу складової Xпри заданому значенні Y = yназивають відношення щільності спільного розподілу системи до густини розподілу складової Y:

Аналогічно визначається умовна щільність розподілу складової Y:

Якщо умовні щільності розподілу випадкових величин Xі Yрівні їх безумовним щільностям, такі величини незалежні.

Рівномірнимназивають розподіл двовимірної безперервної випадкової величини ( X, Y), якщо в області, якій належать усі можливі значення ( x, у), густина спільного розподілу ймовірностей зберігає постійне значення.

235. Задано щільність спільного розподілу безперервної двовимірної випадкової величини (X, Y)

Знайти: а) щільність розподілу складових; б) умовні густини розподілу, що становлять.

236. Щільність спільного розподілу безперервної двовимірної випадкової величини ( X, Y)

Знайти: а) постійний множник C; б) густини розподілу складових; в) умовні густини розподілу складових.

237. Безперервна двовимірна випадкова величина ( X, У) розподілена рівномірно всередині прямокутника з центром симетрії на початку координат та сторонами 2а та 2b, паралельними координатним осям. Знайти: а) двомірну густину ймовірності системи; б) густини розподілу складових.

238. Безперервна двовимірна випадкова величина ( X, У) рівномірно розподілена всередині прямокутного трикутника з вершинами O(0; 0), А(0; 8), У(8; 0). Знайти: а) двомірну густину ймовірності системи; б) щільності та умовні щільності розподілу складових.

8.4. Числові характеристики безперервної системи
двох випадкових величин

Знаючи щільності розподілу складових X і Y безперервної двовимірної випадкової величини (X, У), можна знайти їх математичні очікування та дисперсії:

Іноді зручніше використовувати формули, що містять двовимірну густину ймовірності (подвійні інтеграли беруться по області можливих значень системи):

Початковим моментом n k, sпорядку k+sсистеми ( X, Y) називають математичне очікування твору X k Y s:

n k, s = M.

Зокрема,

n 1,0 = M(X), n 0,1 = M(Y).

Центральним моментом m k, sпорядку k+sсистеми ( X, Y) називають математичне очікування твору відхилень відповідно k-й та s-й ступенів:

m k, s = M (k ∙ s).

Зокрема,

m 1,0 = M = 0, m 0,1 = M = 0;

m 2,0 = M 2 = D (X), m 0,2 = M 2 = D (Y);

Кореляційним моментом m xусистеми ( X, Y) називають центральний момент m 1,1порядку 1 + 1:

m xу = M( ∙ ).

Коефіцієнт кореляціївеличин X та Y називають відношення кореляційного моменту до твору середніх квадратичних відхилень цих величин:

r xy = m xy / (s x s y).

Коефіцієнт кореляції - безрозмірна величина, причому | r xy| ≤ 1. Коефіцієнт кореляції служить для оцінки тісноти лінійного зв'язку між Xі Y: чим ближче абсолютна величина коефіцієнта кореляції до одиниці, тим сильніший зв'язок; що ближче абсолютна величина коефіцієнта кореляції до нуля, тим зв'язок слабший.

Корельованиминазивають дві випадкові величини, якщо їхній кореляційний момент відмінний від нуля.

Некорельованиминазивають дві випадкові величини, якщо їхній кореляційний момент дорівнює нулю.

Дві корельовані величини також залежні; якщо дві величини залежні, всі вони можуть бути як корельованими, і некоррелированными. З незалежності двох величин випливає їхня некорелеваність, але з некорелюваності ще не можна зробити висновок про незалежність цих величин (для нормально розподілених величин з некорелеваності цих величин випливає їхня незалежність).

Для безперервних величин X та Y кореляційний момент може бути знайдений за формулами:

239. Задано щільність спільного розподілу безперервної двовимірної випадкової величини (X, Y):

Знайти: а) математичні очікування; б) дисперсії складових X та Y.

240. Задано щільність спільного розподілу безперервної двовимірної випадкової величини (X, Y):

Знайти математичні очікування та дисперсії складових.

241. Задано щільність спільного розподілу безперервної двовимірної випадкової величини ( X, Y): f(x, y) = 2 cosx cosyу квадраті 0 ≤ x≤p/4, 0 ≤ y≤p/4; поза квадратом f(x, y)= 0. Знайти математичні очікування складових.

242. Довести, що якщо двовимірну густину ймовірності системи випадкових величин ( X, Y) можна у вигляді твори двох функцій, одна з яких залежить тільки від x, а інша – тільки від y, то величини Xі Yнезалежні.

243. Довести, що якщо Xі Yпов'язані лінійною залежністю Y = aX + b, Абсолютна величина коефіцієнта кореляції дорівнює одиниці.

Рішення. За визначенням коефіцієнта кореляції,

r xy = m xy / (s x s y).

m xу = M( ∙ ). (*)

Знайдемо математичне очікування Y:

M(Y) = M = aM(X) + b. (**)

Підставивши (**) у (*), після елементарних перетворень отримаємо

m xу = aM 2 = aD(X) = as 2 x .

Враховуючи що

Y – M(Y) = (aX + b) – (aM(X) + b) = a,

знайдемо дисперсію Y:

D(Y) = M 2 = a 2 M 2 = a 2 s 2 x.

Звідси s y = |a|s x. Отже, коефіцієнт кореляції

Якщо a> 0, то r xy= 1; якщо a < 0, то r xy = –1.

Отже, | r xy| = 1, що потрібно було довести.

Упорядкована пара (X, Y) випадкових величин X і Y називається двовимірною випадковою величиною, або випадковим вектором двовимірного простору. Двовимірна випадкова величина (X,Y) називається також системою випадкових величина X і Y. Безліч всіх можливих значень дискретної випадкової величини зі своїми ймовірностями називається законом розподілу цієї випадкової величини. Дискретна двовимірна випадкова величина (X, Y) вважається заданою, якщо відомий її закон розподілу:

P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m

Призначення сервісу. За допомогою сервісу за заданим законом розподілу можна знайти:

• ряди розподілу X та Y, математичне очікування M[X], M[Y], дисперсію D[X], D[Y];
• коваріацію cov(x,y), коефіцієнт кореляції r x,y, умовний ряд розподілу X, умовне математичне очікування M;

Інструкція. Вкажіть розмірність матриці розподілу ймовірностей (кількість рядків та стовпців) та її вигляд. Отримане рішення зберігається у файлі Word.

Приклад №1. Двовимірна дискретна випадкова величина має таблицю розподілу:

Рішення. Величину q знайдемо з умови ∑p ij = 1
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0.91 + q = 1. Звідки q = 0.09

Користуючись формулою ∑P(x i,y j) = p i(j=1..n), знаходимо ряд розподілу X.

Коваріація cov(X,Y) = M - M [X] · M [Y] = 2 · 10 · 0.11 + 3 · 10 · 0.12 + 4 · 10 · 0.03 + 2 · 20 · 0.13 + 3 · 20 · 0.09 + 4 · 20 · 0.02 + 1 · 30 · 0.02 + 2 · 30 · 0.11 + 3 · 30 · 0.08 + 4 · 30 · 0.01 + 1 · 40 · 0.03 + 2 · 40 · 0.11 + 3 · 40 · 0.05 + 4 · 40 · 0.09 - 25.2 · 2.59 = -0.068
Коефіцієнт кореляції r xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0.068/(11.531*0.801) = -0.00736

Приклад 2 . Дані статистичної обробки відомостей щодо двох показників X та Y відображені у кореляційній таблиці. Потрібно:

1. написати ряди розподілу для X і Y та обчислити для них вибіркові середні та вибіркові середні квадратичні відхилення;
2. написати умовні ряди розподілу Y/x та обчислити умовні середні Y/x;
3. зобразити графічно залежність умовних середніх Y/x від значень X;
4. розрахувати вибірковий коефіцієнт кореляції Y X;
5. написати вибіркове рівняння прямої регресії;
6. зобразити геометричні дані кореляційної таблиці та побудувати пряму регресію.

Умовне математичне очікування M = 11 * 0.33 + 16 * 0.67 + 21 * 0 + 26 * 0 + 31 * 0 + 36 * 0 = 14.33
Умовна дисперсія D = 11 2 * 0.33 + 16 2 * 0.67 + 21 2 * 0 + 26 2 * 0 + 31 2 * 0 + 36 2 * 0 - 14.33 2 = 5.56
Умовний закон розподілу X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0.67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0.33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Умовне математичне очікування M = 11 * 0 + 16 * 0.67 + 21 * 0.33 + 26 * 0 + 31 * 0 + 36 * 0 = 17.67
Умовна дисперсія D = 11 2 *0 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0.33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17.67 2 = 5.56
Умовний закон розподілу X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0.11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0.82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0.0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Умовне математичне очікування M = 11 * 0 + 16 * 0 + 21 * 0.11 + 26 * 0.82 + 31 * 0.0727 + 36 * 0 = 25.82
Умовна дисперсія D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.11 + 26 2 *0.82 + 31 2 *0.0727 + 36 2 *0 - 25.82 2 = 4.51
Умовний закон розподілу X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0.13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0.5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0.38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Умовне математичне очікування M = 11 * 0 + 16 * 0 + 21 * 0.13 + 26 * 0.5 + 31 * 0.38 + 36 * 0 = 27.25
Умовна дисперсія D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0 + 21 2 * 0.13 + 26 2 * 0.5 + 31 2 * 0.38 + 36 2 * 0 - 27.25 2 = 10.94
Умовний закон розподілу X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0.29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0.5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0.21
Умовне математичне очікування M = 11 * 0 + 16 * 0 + 21 * 0 + 26 * 0.29 + 31 * 0.5 + 36 * 0.21 = 30.64
Умовна дисперсія D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0 + 21 2 * 0 + 26 2 * 0.29 + 31 2 * 0.5 + 36 2 * 0.21 - 30.64 2 = 12.37
3. Умовний закон розподілу Y.
Умовний закон розподілу Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Умовне математичне очікування M = 20 * 1 + 30 * 0 + 40 * 0 + 50 * 0 + 60 * 0 = 20
Умовна дисперсія D = 20 2 * 1 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 0 - 20 2 = 0
Умовний закон розподілу Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0.4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0.6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Умовне математичне очікування M = 20 * 0.4 + 30 * 0.6 + 40 * 0 + 50 * 0 + 60 * 0 = 26
Умовна дисперсія D = 20 2 * 0.4 + 30 2 * 0.6 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 0 - 26 2 = 24
Умовний закон розподілу Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0.27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0.55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0.18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Умовне математичне очікування M = 20 * 0 + 30 * 0.27 + 40 * 0.55 + 50 * 0.18 + 60 * 0 = 39.09
Умовна дисперсія D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0.27 + 40 2 * 0.55 + 50 2 * 0.18 + 60 2 * 0 - 39.09 2 = 44.63
Умовний закон розподілу Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0.79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0.14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0.0702
Умовне математичне очікування M = 20 * 0 + 30 * 0 + 40 * 0.79 + 50 * 0.14 + 60 * 0.0702 = 42.81
Умовна дисперсія D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0.79 + 50 2 * 0.14 + 60 2 * 0.0702 - 42.81 2 = 34.23
Умовний закон розподілу Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0.24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0.35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0.41
Умовне математичне очікування M = 20 * 0 + 30 * 0 + 40 * 0.24 + 50 * 0.35 + 60 * 0.41 = 51.76
Умовна дисперсія D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0.24 + 50 2 * 0.35 + 60 2 * 0.41 - 51.76 2 = 61.59
Умовний закон розподілу Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Умовне математичне очікування M = 20 * 0 + 30 * 0 + 40 * 0 + 50 * 0 + 60 * 1 = 60
Умовна дисперсія D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 1 - 60 2 = 0
Коваріація.
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20·11·2 + 20·16·4 + 30·16·6 + 30·21·3 + 40·21·6 + 50·21·2 + 40·26·45 + 50 · 26 · 8 + 60 · 26 · 4 + 40 · 31 · 4 + 50 · 31 · 6 + 60 · 31 · 7 + 60 · 36 · 3)/100 - 25.3 · 42.3 = 38.11
Якщо випадкові величини незалежні, їх коваріації дорівнює нулю. У нашому випадку cov(X,Y) ≠ 0.
Коефіцієнт кореляції.


Рівняння лінійної регресії з y на x має вигляд:

Рівняння лінійної регресії з x на y має вигляд:

Знайдемо необхідні числові характеристики.
Вибіркові середні:
x = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3)) / 100 = 42.3
y = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3)) / 100 = 25.3
Дисперсії:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 – 42.3 2 = 99.71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 – 25.3 2 = 24.01
Звідки отримуємо середньоквадратичні відхилення:
x = 9.99 і y = 4.9
та підступність:
Cov (x, y) = (20 · 11 · 2 + 20 · 16 · 4 + 30 · 16 · 6 + 30 · 21 · 3 + 40 · 21 · 6 + 50 · 21 · 2 + 40 · 26 · 45 + 50 · 26 · 8 + 60 · 26 · 4 + 40 · 31 · 4 + 50 · 31 · 6 + 60 · 31 · 7 + 60 · 36 · 3)/100 - 42.3 · 25.3 = 38.11
Визначимо коефіцієнт кореляції:


Запишемо рівняння ліній регресії y(x):

та обчислюючи, отримуємо:
y x = 0.38 x + 9.14
Запишемо рівняння ліній регресії x(y):

та обчислюючи, отримуємо:
x y = 1.59 y + 2.15
Якщо побудувати точки, що визначаються таблицею та лінії регресії, побачимо, що обидві лінії проходять через точку з координатами (42.3; 25.3) та точки розташовані близько до ліній регресії.
Значення коефіцієнта кореляції.

За таблицею Стьюдента з рівнем значимості α=0.05 і ступенями свободи k=100-m-1 = 98 знаходимо t крит:
t критий (n-m-1;α/2) = (98; 0.025) = 1.984
де m = 1 – кількість пояснюючих змінних.
Якщо t набл > t критич, то отримане значення коефіцієнта кореляції визнається значущим (нульова гіпотеза, яка стверджує рівність нуля коефіцієнта кореляції, відкидається).
Оскільки t набл > t критий, то відхиляємо гіпотезу про рівність 0 коефіцієнта кореляції. Інакше кажучи, коефіцієнт кореляції статистично - значимий.

Завдання. Кількість попадань пар значень випадкових величин X і Y відповідні інтервали наведені в таблиці. За цими даними знайти вибірковий коефіцієнт кореляції та вибіркові рівняння прямих ліній регресії Y на X та X на Y.
Рішення

приклад. Розподіл ймовірностей двовимірної випадкової величини (X, Y) встановлено таблицею. Знайти закони розподілу складових величин X, Y та коефіцієнт кореляції p(X, Y).
Завантажити рішення

Завдання. Двовимірна дискретна величина (X, Y) задана законом розподілу. Знайти закони розподілу складових X та Y, підступність та коефіцієнт кореляції.

двовимірний дискретний розподіл випадковий

Найчастіше результат досвіду описується кількома випадковими величинами: . Наприклад, погоду в даному місці у певний час доби можна охарактеризувати такими випадковими величинами: Х 1 - температура, Х 2 - тиск, Х 3 - вологість повітря, Х 4 – швидкість вітру.

У цьому випадку говорять про багатовимірну випадкову величину або про систему випадкових величин.

Розглянемо двовимірну випадкову величину, можливі значення якої є кілька чисел. Геометрично двовимірну випадкову величину можна витлумачити як випадкову точку на площині.

Якщо складники Хі Y- дискретні випадкові величини, то - дискретна двовимірна випадкова величина, а якщо Хі Y- безперервні, то - безперервна двовимірна випадкова величина.

Законом розподілу ймовірностей двовимірної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями та їх ймовірностями.

Закон розподілу двовимірної дискретної випадкової величини може бути заданий у вигляді таблиці з подвійним входом (див. таблицю 6.1), де - ймовірність того, що складова Хприйняла значення x i, а складова Y- значення y j .

Таблиця 6.1.1.

	y 1	y 2		y j		y m
x 1	p 11	p 12		p 1j		p 1m
x 2	p 21	p 22		p 2j		p 2m
x i	p i1	p i2		p ij		p im
x n	p n1	p n2		p nj		p nm

Оскільки події, становлять повну групу попарно несумісних подій, сума ймовірностей дорівнює 1, тобто.

З таблиці 6.1 можна знайти закони розподілу одновимірних складових Хі Y.

приклад 6.1.1 . Знайти закони розподілу складових Хі Y,якщо встановлено розподіл двовимірної випадкової величини у вигляді таблиці 6.1.2.

Таблиця 6.1.2.

Якщо зафіксувати значення одного з аргументів, наприклад, отриманий розподіл величини Хназивається умовним розподілом. Аналогічно визначається умовний розподіл Y.

приклад 6.1.2 . По розподілу двовимірної випадкової величини заданої табл. 6.1.2, знайти: а) умовний закон розподілу складової Хза умови; б) умовний закон розподілу Yза умови, що.

Рішення. Умовні ймовірності складових Хі Yобчислюються за формулами

Умовний закон розподілу Хза умови має вигляд

Контроль: .

Закон розподілу двовимірної випадкової величини можна поставити у вигляді функції розподілу, Що визначає для кожної пари чисел ймовірність того, що Хнабуде значення, менше х, і при цьому Yнабуде значення, менше y:

Геометрично функція означає можливість потрапляння випадкової точки в нескінченний квадрат з вершиною в точці (рис. 6.1.1).

Зазначимо властивості.

• 1. Область значень функції - , тобто. .
• 2. Функція - неубутня функція за кожним аргументом.
• 3. Мають місце граничні співвідношення:

При функція розподілу системи стає рівною функції розподілу складової Х, тобто. .

Аналогічно, .

Знаючи, можна знайти можливість попадання випадкової точки в межі прямокутника ABCD.

А саме,

Приклад 6.1.3. Двовимірна дискретна випадкова величина задана таблицею розподілу

Знайти функцію розподілу.

Рішення. Значення у разі дискретних складових Хі Yзнаходиться підсумовуванням усіх ймовірностей з індексами iі j, для яких, . Тоді, якщо і, то (події і – неможливі). Аналогічно отримуємо:

якщо і, то;

якщо і, то;

якщо і, то;

якщо і, то;

якщо і, то;

якщо і, то;

якщо і, то;

якщо і, то;

якщо й, то.

Отримані результати оформимо у вигляді таблиці (6.1.3) значень:

Для двовимірної безперервноївипадкової величини вводиться поняття густини ймовірності

Геометрична щільність ймовірності є поверхнею розподілу у просторі

Двовимірна щільність ймовірності має наступні властивості:

3. Функція розподілу може бути виражена через за формулою

4. Імовірність попадання безперервної випадкової величини в область дорівнює

5. Відповідно до властивості (4) функції мають місце формули:

Приклад 6.1.4.Задано функцію розподілу двовимірної випадкової величини