Якщо дивитися матрицю у зворотному порядку. Як знайти зворотну матрицю

Щоб знайти зворотну матрицю онлайн, вам потрібно вказати розмір самої матриці. Для цього клацніть на іконки «+» або «-» доти, доки значення кількості стовпців та рядків вас не влаштує. Далі введіть у поля потрібні елементи. Нижче знаходиться кнопка "Обчислити" - натиснувши її, ви отримаєте на екрані відповідь з докладним рішенням.

У лінійній алгебрі часто доводиться стикатися з процесом обчислення зворотної матриці. Вона існує лише невиражених матриць і квадратних матриць за умови відмінного від нуля детермінанта. В принципі, розрахувати її не є особливою складністю, особливо якщо ви маєте справу з невеликою матрицею. Але якщо потрібні складніші розрахунки або ретельна перевірка свого рішення, краще скористайтеся даним онлайн калькулятором. З його допомогою ви оперативно та з високою точністю вирішите зворотну матрицю.

За допомогою даного онлайн калькулятора ви зможете значно полегшити собі завдання щодо розрахунків. Крім того, він допомагає закріпити матеріал, отриманий теоретично – це своєрідний тренажер для мозку. Не варто розглядати його як заміну обчисленням вручну, він може дати вам набагато більше, полегшивши розуміння самого алгоритму. До того ж, зайва перевіряння себе ніколи не завадить.

Продовжуємо розмову про дії з матрицями. А саме – під час вивчення даної лекції ви навчитеся знаходити зворотну матрицю. Навчіться. Навіть якщо з математикою важко.

Що таке зворотна матриця? Тут можна провести аналогію зі зворотними числами: розглянемо, наприклад, оптимістичне число 5 та зворотне число . Добуток цих чисел дорівнює одиниці: . З матрицями все схоже! Добуток матриці на зворотну їй матрицю дорівнює - одиничної матриціяка є матричним аналогом числової одиниці. Однак про все по порядку - спочатку вирішимо важливе практичне питання, а саме, навчимося цю зворотну матрицю знаходити.

Що необхідно знати та вміти для знаходження зворотної матриці? Ви повинні вміти вирішувати визначники. Ви повинні розуміти, що таке матрицята вміти виконувати деякі дії з ними.

Існує два основні методи знаходження зворотної матриці:
за допомогою алгебраїчних доповненьі за допомогою елементарних перетворень.

Сьогодні ми вивчимо перший, простіший спосіб.

Почнемо з найжахливішого та незрозумілого. Розглянемо квадратнуматрицю. Зворотну матрицю можна знайти за такою формулою:

Де - визначник матриці - транспонована матриця алгебраїчних доповнень відповідних елементів матриці .

Поняття зворотної матриці існує лише для квадратних матриць, матриць "два на два", "три на три" і т.д.

Позначення: Як ви вже, напевно, помітили, зворотна матриця позначається надрядковим індексом

Почнемо з найпростішого випадку - матриці "два на два". Найчастіше, звичайно, потрібно «три на три», але, настійно рекомендую вивчити просте завдання, щоб засвоїти загальний принцип рішення.

Приклад:

Знайти зворотну матрицю для матриці

Вирішуємо. Послідовність дій зручно розкласти за пунктами.

1) Спочатку знаходимо визначник матриці.

Якщо з розумінням цього дійства погано, ознайомтеся з матеріалом Як визначити обчислювач?

Важливо!Якщо визначник матриці дорівнює НУЛЮ– зворотної матриці НЕ ІСНУЄ.

У аналізованому прикладі, як з'ясувалося, отже, все гаразд.

2) Знаходимо матрицю мінорів.

Для вирішення нашого завдання не обов'язково знати, що таке мінор, проте бажано ознайомитися зі статтею Як визначити обчислювач.

Матриця мінорів має такі самі розміри, як і матриця, тобто в даному випадку.
Справа за малим, залишилося знайти чотири числа і поставити їх замість зірочок.

Повертаємось до нашої матриці
Спочатку розглянемо лівий верхній елемент:

Як знайти його мінор?
А робиться це так: ДУМКОВО викреслюємо рядок і стовпець, в якому знаходиться даний елемент:

Що залишилося і є мінором цього елемента, яке записуємо в нашу матрицю мінорів:

Розглядаємо наступний елемент матриці:

Подумки викреслюємо рядок і стовпець, у якому стоїть цей елемент:

Те, що залишилося, є мінор даного елемента, який записуємо в нашу матрицю:

Аналогічно розглядаємо елементи другого рядка та знаходимо їх мінори:


Готово.

Це просто. У матриці мінорів потрібно ЗМІНИТИ ЗНАКИу двох чисел:

Саме ці цифри, які я обвів у гурток!

- матриця алгебраїчних доповнень відповідних елементів матриці.

І всього лише...

4) Знаходимо транспоновану матрицю додатків алгебри.

– транспонована матриця додатків алгебри відповідних елементів матриці .

5) Відповідь.

Згадуємо нашу формулу
Все знайдено!

Таким чином, зворотна матриця:

Відповідь краще залишити у такому вигляді. НЕ ПОТРІБНОділити кожен елемент матриці на 2, тому що вийдуть дробові числа. Докладніше цей нюанс розглянуто в тій же статті Дії з матрицями.

Як перевірити рішення?

Необхідно здійснити матричне множення або

Перевірка:

Отримано вже згадану одинична матриця- це матриця з одиницями на головної діагоналіта нулями в інших місцях.

Таким чином, зворотну матрицю знайдено правильно.

Якщо провести дію, то в результаті також вийде одинична матриця. Це один з небагатьох випадків, коли множення матриць перестановочно, більш детальну інформацію можна знайти у статті Властивості операцій над матрицями. Матричні вирази. Також зауважте, що під час перевірки константа (дроб) виноситься вперед і обробляється наприкінці – після матричного множення. Це стандартний прийом.

Переходимо до найпоширенішого на практиці випадку – матриці «три на три»:

Приклад:

Знайти зворотну матрицю для матриці

Алгоритм такий самий, як і для випадку «два на два».

Зворотну матрицю знайдемо за формулою: де - транспонована матриця алгебраїчних доповнень відповідних елементів матриці .

1) Знаходимо визначник матриці.

Тут визначник розкритий по першому рядку.

Також не забуваємо, що , отже, все нормально - зворотна матриця існує.

2) Знаходимо матрицю мінорів.

Матриця мінорів має розмірність «три на три» , і нам потрібно знайти дев'ять чисел.

Я докладно розгляну пару мінорів:

Розглянемо наступний елемент матриці:

ДУМКОВО викреслюємо рядок і стовпець, в якому знаходиться даний елемент:

Чотири числа, що залишилися, записуємо в визначник «два на два»

Цей визначник «два на два» та є мінором даного елемента. Його потрібно обчислити:


Все, мінор знайдено, записуємо його в нашу матрицю мінорів:

Як ви, напевно, здогадалися, необхідно вирахувати дев'ять визначників «два на два». Процес, звичайно, моторошний, але випадок не найважчий, буває гіршим.

Ну і для закріплення – знаходження ще одного мінору у картинках:

Інші мінори спробуйте вирахувати самостійно.

Остаточний результат:
- матриця мінорів відповідних елементів матриці.

Те, що всі мінори вийшли негативними – чиста випадковість.

3) Знаходимо матрицю алгебраїчних доповнень.

У матриці мінорів необхідно ЗМІНИТИ ЗНАКИсуворо у таких елементів:

В даному випадку:

Знаходження зворотної матриці для матриці «чотири на чотири» не розглядаємо, оскільки таке завдання може дати лише викладач-садист (щоб студент вирахував один визначник «чотири на чотири» та 16 визначників «три на три»). У моїй практиці зустрівся лише один такий випадок, і замовник контрольної роботи заплатив за мої муки досить дорого.

У ряді підручників, методик можна зустріти дещо інший підхід до знаходження зворотної матриці, проте я рекомендую користуватися саме вищевикладеним алгоритмом рішення. Чому? Тому що ймовірність заплутатися в обчисленнях і знаках набагато менше.

Матриця А -1 називається зворотною матрицею по відношенню до матриці А, якщо А * А -1 = Е де Е - одинична матриця n -го порядку. Зворотна матриця може існувати лише для квадратних матриць.

Призначення сервісу. За допомогою даного сервісу в онлайн режимі можна знайти додатки алгебри , транспоновану матрицю A T , союзну матрицю і зворотну матрицю. Рішення проводиться безпосередньо на сайті (в онлайн) і є безкоштовним. Результати обчислень оформляються у звіті формату Word та у форматі Excel (тобто є можливість перевірити рішення). див. приклад оформлення.

Інструкція. Для отримання рішення необхідно встановити розмірність матриці. Далі в новому діалоговому вікні заповніть матрицю A.

також Зворотня матриця методом Жордано-Гаусса

Алгоритм знаходження зворотної матриці

1. Знаходження транспонованої матриці A T .
2. Визначення додатків алгебри. Замінюють кожен елемент матриці його додатком алгебри.
3. Складання зворотної матриці з додатків алгебри: кожен елемент отриманої матриці ділять на визначник вихідної матриці. Результуюча матриця є зворотною для вихідної матриці.

1. Визначають, чи квадратна матриця. Якщо ні, то зворотної матриці не існує.
2. Обчислення визначника матриці A. Якщо він не дорівнює нулю, продовжуємо рішення, інакше – зворотної матриці не існує.
3. Визначення додатків алгебри.
4. Заповнення союзної (взаємної, приєднаної) матриці C .
5. Складання зворотної матриці з додатків алгебри: кожен елемент приєднаної матриці C ділять на визначник вихідної матриці. Результуюча матриця є зворотною для вихідної матриці.
6. Роблять перевірку: перемножують вихідну та отриману матриці. В результаті повинна вийти поодинока матриця.

Приклад №1. Запишемо матрицю у вигляді:

Інший алгоритм знаходження зворотної матриці

1. Знаходимо визначник цієї квадратної матриці A .
2. Знаходимо додатки алгебри до всіх елементів матриці A .
3. Записуємо додатки алгебри елементів рядків в стовпці (транспонування).
4. Ділимо кожен елемент отриманої матриці на визначник матриці A.

Особливий випадок: Зворотній, по відношенню до одиничної матриці E є одинична матриця E .

Розглянемо квадратну матрицю. Позначимо Δ = det A її визначник. Квадратна є (ОМ) для квадратної А того ж порядку, якщо їх добуток А * В = В * А = Е, де Е - одинична матриця того ж порядку, що і А і В.

Квадратна А називається невиродженою, або неособливою, якщо її визначник відмінний від нуля, і виродженою, або особливою, якщо Δ = 0.

Теорема. Для того щоб А мала зворотну, необхідно і достатньо, щоб її визначник був відмінний від нуля.

(ОМ) А, позначається через А -1 так що В = А -1 і обчислюється за формулою

, (1)

де А i j - Додатки алгебри елементів a i j , Δ = detA.

Обчислення A -1 за формулою (1) для матриць високого порядку дуже трудомістке, тому практично зручно знаходити A -1 з допомогою методу елементарних перетворень (ЭП). Будь-яку неособливу А шляхом ЕП тільки стовпців (або лише рядків) можна привести до одиничної Е. Якщо скоєні над матрицею А ЕП у тому ж порядку застосувати до одиничної Е, то в результаті вийде A-1. Зручно здійснювати ЕП над А і Е одночасно, записуючи обидві поряд через межу A E. Якщо потрібно знайти A -1 , в процесі перетворення слід використовувати лише рядки або тільки стовпці.

Знаходження зворотної матриці за допомогою додатків алгебри

Приклад 1. Для знайти A-1.

Рішення.Знаходимо спочатку детермінант А
значить, (ОМ) існує і ми її можемо знайти за формулою: , де А i j (i,j = 1,2,3) - додатки алгебри елементів а i j вихідної А.

Алгебраїчне доповнення елемента a ij це визначник або мінор M ij. Він виходить викресленням стовпця i і рядка j. Потім мінор множиться на (-1) i + j, тобто. A ij =(-1) i+j M ij

звідки .

Знаходження зворотної матриці за допомогою елементарних перетворень

Приклад 2. Методом елементарних перетворень визначити A -1 для: А = .

Рішення.Приписуємо до вихідної A справа одиничну того ж порядку: . За допомогою елементарних перетворень стовпців наведемо ліву "половину" до одиничної, здійснюючи одночасно такі перетворення над правою "половиною".
Для цього поміняємо місцями перший та другий стовпці: ~. До третього стовпця додамо перший, а до другого - перший, помножений на -2: . З першого стовпця віднімемо подвоєний другий, та якщо з третього - помножений на 6 другий; . Додамо третій стовпець до першого та другого: . Помножимо останній стовпець на -1: . Отримана праворуч від вертикальної межі квадратна таблиця є зворотною А -1 . Отже,
.

Знаходження зворотної матриці – процес, що складається з досить простих дій. Але ці дії повторюються так часто, що процес виходить досить тривалим. Головне – не втратити увагу при вирішенні.

При вирішенні найпоширенішим методом - додатків алгебри - знадобиться:

За рішення прикладів ми розберемо ці дії докладніше. А поки дізнаємося, що говорить теорія про зворотну матрицю.

Для зворотної матриці існує доречна аналогія зі зворотним числом. Для кожного числа a, не рівного нулю, існує таке число b, що твір aі bодно одиниці: ab= 1. Число bназивається зворотним для числа b. Наприклад, число 7 зворотним є число 1/7, оскільки 7*1/7=1.

Зворотною матрицею , яку потрібно знайти для цієї квадратної матриці А, називається така матриця

твір на яку матриці Аправоруч є одиничною матрицею, тобто,
. (1)

Одиничною матрицею називається діагональна матриця, яка має всі діагональні елементи рівні одиниці.

Знаходження зворотної матриці- завдання, яке найчастіше вирішується двома методами:

• методом додатків алгебри, при якому, як було помічено на початку уроку, потрібно знаходити визначники, мінори і алгебраїчні доповнення і транспонувати матриці;
• методом виключення невідомих Гаусса, у якому потрібно проводити елементарні перетворення матриць (складати рядки, множити рядки одне й те число і т. буд.).

Для особливо допитливих існують інші методи, наприклад, метод лінійних перетворень. На цьому уроці розберемо три згадані методи та алгоритми знаходження зворотної матриці цими методами.

Теорема.Для кожної неособливої ​​(невиродженої, несингулярної) квадратної матриці можна знайти зворотну матрицю, і до того ж лише одну. Для особливої ​​(виродженої, сингулярної) квадратної матриці зворотна матриця немає.

Квадратна матриця називається неособливою(або невиродженою, несингулярною), якщо її визначник не дорівнює нулю, та особливою(або виродженою, сингулярною), якщо її визначник дорівнює нулю.

Зворотну матрицю можна знайти тільки для квадратної матриці. Звичайно, зворотна матриця також буде квадратною і того ж порядку, що і ця матриця. Матриця, на яку може бути знайдена зворотна матриця, називається оборотною матрицею.

Знаходження зворотної матриці методом виключення невідомих Гаусса

Перший крок для знаходження зворотної матриці методом виключення невідомих Гаус - приписати до матриці Aодиничну матрицю того ж порядку, відокремивши їх вертикальною межею. Ми отримаємо здвоєну матрицю. Помножимо обидві частини цієї матриці на , тоді отримаємо

,

Алгоритм знаходження зворотної матриці методом виключення невідомих Гаусса

1. До матриці Aприписати одиничну матрицю того самого порядку.

2. Отриману здвоєну матрицю перетворити так, щоб у лівій її частині вийшла одинична матриця, тоді у правій частині на місці одиничної матриці автоматично вийде зворотна матриця. Матриця Aу лівій частині перетворюється на одиничну матрицю шляхом елементарних перетворень матриці.

2. Якщо у процесі перетворення матриці Aв одиничну матрицю в якомусь рядку або в якомусь стовпці виявляться тільки нулі, то визначник матриці дорівнює нулю, і, отже, матриця Aбуде виродженою, і вона не має зворотної матриці. І тут подальше перебування зворотної матриці припиняється.

приклад 2.Для матриці

знайти зворотну матрицю.

і будемо її перетворювати, так щоб у лівій частині вийшла поодинока матриця. Починаємо перетворення.

Помножимо перший рядок лівої та правої матриці на (-3) і складемо її з другим рядком, а потім помножимо перший рядок на (-4) і складемо її з третім рядком, тоді отримаємо

.

Щоб по можливості не було дробових чисел при наступних перетвореннях, заздалегідь створимо одиницю в другому рядку в лівій частині здвоєної матриці. Для цього помножимо другий рядок на 2 і віднімемо з нього третій рядок, тоді отримаємо

.

Складемо перший рядок з другим, а потім помножимо другий рядок на (-9) і складемо його з третім рядком. Тоді отримаємо

.

Розділимо третій рядок на 8, тоді

.

Помножимо третій рядок на 2 і складемо його з другим рядком. Виходить:

.

Переставимо місцями другий та третій рядок, тоді остаточно отримаємо:

.

Бачимо, що у лівій частині вийшла одинична матриця, отже, у правій частині вийшла зворотна матриця . Таким чином:

.

Можна перевірити правильність обчислень, помножимо вихідну матрицю на знайдену матрицю зворотну:

В результаті повинна вийти зворотна матриця.

Перевірити рішення можна за допомогою онлайн калькулятора для знаходження зворотної матриці .

приклад 3.Для матриці

знайти зворотну матрицю.

Рішення. Складаємо здвоєну матрицю

і будемо її перетворювати.

Перший рядок множимо на 3, а другий на 2, і віднімаємо з другого, а потім перший рядок множимо на 5, а третій на 2 і віднімаємо з третього рядка, тоді отримаємо