Фізичний зміст рівня ферми. Енергія ферми та температура виродження

Функцію розподілу для виродженого колективу ферміонів вперше було отримано італійським фізиком Енріко Фермі та англійським фізиком Полем Діраком:

Хімічний потенціал μ для ферміонів зазвичай називають енергією, або рівнем Фермі – Е Ф.

Аналіз виразу показує, що за Е=Е Фта температурі Т>0, f Ф(Е)=½, тобто. ймовірність заселення рівня Фермі при Т>0 дорівнює ½.

Для того щоб зрозуміти властивості функції Фермі-Дірака, корисно розглянути її поведінку при Т=0. Провідник можна подати у вигляді потенційної ями для електронів, вихід з якої вимагає здійснення роботи з подолання сил зв'язку, що утримують електрони – роботи виходу (рис. 3.3, а). На малюнку показано енергетичні рівні, які можуть опинитися займати електрони. Згідно з постулатом Паулі, на кожному рівні може розташовуватися не більше двох електронів (з протилежними спинами).

а) б)

Мал. 3.3. Електрони у провіднику: а – Т=0; б – Т>0

Як видно на малюнку, при Т=0 всі рівні нижче рівня Фермі зайняті, проте рівні вище цього рівня порожні, тобто. функція f Ф(Е) при Т=0 має форму сходинки (рис. 3.4, а).

а) б)

Мал. 3.4. Розподіл Фермі-Дірака: а- Функція розподілу Ф-Д;
б- Повна функція розподілу

Таким чином, можна визначити фізичний зміст рівня Фермі, але тільки для провідників. У випадку напівпровідників або ізоляторів це визначення неприйнятне, оскільки в цих матеріалах недостатньо вільних електронів і рівень Фермі знаходиться в забороненій зоні(П. 4.5).

Помноживши функцію розподілу (3.20) на кількість станів (3.13), отримаємо вираз для повної функції розподілу при Т=0 (рис. 3.4, б)

оскільки в інтервалі Е Ф ≥ Е >0, f Ф(Е)=1.

Проінтегрувавши (3.21) у вказаному інтервалі енергій, матимемо вираз для енергії Фермі:

, (3.22)

де n- Концентрація електронного газу в провіднику.

Використовуючи вираз (3.21), можна отримати формули для обчислення середньої енергії – максимальної швидкості електронів при абсолютному нулі

Слід зазначити, що кінетична енергія електронів Е Фне є тепловою енергією, а має суто квантову природу та визначається властивостями електронів як Фермі-часток.

З підвищенням температури електрони піддаються тепловому збудженню і переходять більш високі енергетичні рівні (див. рис. 3.3, б). Відбувається "розмивання" функцій розподілу (див.
Мал. 3.4), та сходинка Е=Е Фперетворюється на інтервал, ширина якого дорівнює 2 kT. Проте глибші стану електронів залишаються незмінними.

Проведені розрахунки показують, що кількість термічно збуджених частинок становить кімнатної температури всього 1...2% від загальної кількості. Якщо проінтегрувати повну функцію розподілу в усьому енергетичному діапазоні, можна отримати вираз для температурної залежності енергії Ферми

, (3.25)

де Е Фо – енергія Фермі для Т=0К (3.22).

Нагадаємо, що теплове збудження так незначно впливає на характеристики виродженого Фермі-газу, що у багатьох випадках цим впливом можна знехтувати та вважати Е Ф=Е Фпро у всьому температурному діапазоні.

Можна також обчислити середню енергію електронів за ненульової температури Т>0

, (3.26)

де Е п- Повна енергія електронного газу.

Раніше ми говорили про Фермі-газ, вважаючи його виродженим колективом. Однак у разі виконання критерію (3.11) G>>Nможна говорити про зняття виродження. Тоді критерій невиродженості (3.11) набуде вигляду

(3.27)

або у випадку Е=0

З останнього співвідношення випливає, що для невиродженого Фермі-газу має виконуватися умова

-Е Ф > kT (3.29)

При виконанні умови (3.27) одиницею у знаменнику виразу (3.20) можна знехтувати, і вираз (3.20) збігається з формулою функції Максвелла-Больцмана.

У провідниках, де концентрація електронів висока, електронний газ завжди у виродженому стані. З невиродженим електронним газом доводиться стикатися у власних (бездомісних) та слаболегованих (1016...1024 м-3) напівпровідниках. За таких умов виконується критерій (3.11) і електронний газ можна вважати невиродженим. Тому доречно, на наш погляд, навести таблицю, де містяться основні характеристики електронного газу: його середня енергія, квадратична швидкість υ кв, імпульс P(Табл. 3.2).

Таблиця 3.2

Параметри електронного газу

З даних таблиці видно, що параметри виродженого газу на відміну газу невиродженого при нульової температурі не рівні нулю і майже залежить від температури. Це, у свою чергу, говорить про нетепловий квантово-механічний характер даних процесів.

Енергія Фермі та температура виродження

Середня енергія класичного (невиродженого) газу становить величину порядку ~ kT. При кімнатних температурах ( T≈300 K) kT≈ 0,025 еВ.Порівняння цієї величини з енергією Фермі показує, що kT << E F . Це означає, що електронний газ у металах завжди вироджений, тобто виявляє суто квантові властивості.

Одним із критеріїв виродження є температура виродження, рівна

При T < T Fсистема вироджена та підпорядковується квантовим статистикам. При T > T Fсистема не вироджена, та її поведінка підпорядковується класичної статистики Максвелла-Больцмана.

У таблиці 3.1 наведено також температури виродження електронного газу. Вони становлять по порядку величини десятки та сотні тисяч градусів. Отже електронний газ є виродженим за всіх температур, у яких метал перебуває у твердому стані. Виродження газу сприяють мале значення маси електронів mта їх висока концентрація n.

Розглянемо поведінку функції розподілу f Fпри Т>0

.(3.2.8)

З підвищенням температури електрони набувають теплової енергії порядку kТі переходять на більш високі енергетичні рівні (вище за рівень Фермі), внаслідок чого змінюється характер розподілу їх за енергетичними станами (рис.3.3, б). У порівнянні з нульовою температурою спад кривої f F (E) відбувається не стрибком до нуля при E= E F, А відбувається плавно в смузі шириною порядку ~ 2 kT. Оскільки енергія теплового руху kТзначно менше енергії Фермі, то тепловому збудженню можуть піддаватися лише електрони вузької енергетичної смуги порядку kТбезпосередньо розташованої поблизу рівня Фермі (рис.3.5).

Електрони, що знаходяться на глибших енергетичних рівнях, залишаються практично незайманими, оскільки енергії теплового руху kТнедостатньо їх збудження (для перекладу рівень Ферми). Енергії E= E Fвідповідає значення функції розподілу
. Тому при Т> 0рівень Фермі - це рівень енергії, ймовірність заповнення якого дорівнює .

На рис.3.3 б заштриховані площі пропорційні числу електронів, що залишають стан з енергією
, (майданчик АДВ) та перехідних на рівні, розташовані вище за рівень Фермі
(майданчик ВМС). За величиною ці площі дорівнюють один одному. Частка електронів, що надходять у стан теплового збудження, дорівнює

, (3.2.9)

При кімнатній температурі ця частка незначна і не перевищує 1% від загальної кількості електронів провідності.

Даною обставиною пояснюється той факт, що теплоємність електронного газу виявляється надзвичайно малою в порівнянні з теплоємністю решітки. Молярна теплоємність його
, а з класичної теорії
. (Тут R-універсальна газова постійна). Цей результат добре узгоджується з досвідом і знімає одну із труднощів класичної електронної теорії металів.

3.3. Поняття про квантову теорію електропровідності металів

Теорія електропровідності металів, побудована на основі квантової механіки та квантової статистики Фермі-Дірака, називається квантовою теорією електропровідності металу.

Розрахунок електропровідності металів у квантовій теорії був зроблений Зоммерфельдом. Було виведено закон Ома в диференційній формі

, (3.3.1)

де  - Питома провідність; - Щільність струму в даній точці; - Напруженість електричного поля.

Для питомої провідності було отримано такий вираз:

; (3.3.2)

де
- Середня довжина вільного пробігу електрона, що володіє енергією Фермі,
- Швидкість такого електрона, m - Його маса.

Порівняємо (3.12) з виразом, отриманим із класичної електронної теорії металів

. (3.3.3)

У цьому виразі < λ > - Середня довжина вільного пробігу електрона,
- Середня швидкість його теплового руху.

Незважаючи на те, що вирази (3.12) і (3.13) на вигляд схожі, їх зміст різний. Середня швидкість теплового руху
залежить від температури, як
, а
майже залежить від температури, оскільки зі зміною температури енергія Фермі, отже, і швидкість, залишаються майже постійними.

Найбільш істотна відмінність формул (3.3.2) та (3.3.3) полягає в тому, який сенс вкладається в поняття довжини вільного пробігу електрона. < λ > у класичній та квантовій теорії металів.

Класична електронна теорія розглядає електрони як звичайні частинки і причиною електричного опору металів вважає зіткнення електронів із вузлами кристалічних ґрат. Вважаючи, що електрони стикаються майже з усіма вузлами решітки, що зустрічаються на їхньому шляху, класична теорія приймає < λ > рівною параметру решітки d(d  10 -10 м).

Квантова теорія розглядає електрон як частинку, що має хвильові властивості, а електричний струм у металі - як процес поширення електронних хвиль, довжина хвилі яких визначається формулою де Бройля

. (3.3.4)

Такі уявлення дозволяють пояснити експериментально температурну залежність питомої провідності, що спостерігається.  та питомого опору . Розглянемо ідеальну кристалічну решітку металу, у вузлах яких знаходяться нерухомі іони, а домішки та дефекти відсутні. Такі ідеальні грати не розсіюють електронні хвилі, і електричний опір такого металу має дорівнювати нулю.

У реальних кристалах при T > 0 іони здійснюють теплові коливання біля положення рівноваги, порушуючи строгу періодичність грат. Крім того, у таких ґратах зазвичай присутні структурні дефекти: домішки, вакансії, дислокації тощо. Всі ці неоднорідності відіграють роль центрів розсіювання для електронних хвиль і є причиною електричного опору. Розрахунок показує, що середня довжина вільного пробігу < λ F > залежить від температури згідно із законом

, (3.3.5)

де
- модуль пружності; d - Параметр решітки.

З урахуванням (3.15) питома провідність  , що визначається формулою (3.12), матиме вигляд

, (3.3.6)

тобто , а  , що добре узгоджується з досвідом у області не надто низьких температур.

П при дуже низьких температурах формула (3.3.5) не виконується. При цьому довжина вільного пробігу виявляється обернено пропорційною не першому, а п'ятому ступеню температури, тому і питомий опір ρ буде пропорційно п'ятому ступеню абсолютної температури.

На рис.3.7 зображено залежність питомого електричного опору металу від температури. При Т=0питомий опір металу не нулю, а залишковому опору  ост , обумовленого розсіюванням електронних хвиль на структурних дефектах грат металу.

Вироджений електронний газ у металі.

Розподіл електронів за різними квантовими станами підпорядковується принципу Паулі, згідно з яким в одному стані не може бути двох однакових (з однаковим набором чотирьох квантових чисел) електронів, вони повинні відрізнятися якоюсь характеристикою, наприклад, напрямком спина. Отже, за квантовою теорією, електрони в металі не можуть розташовуватися на найнижчому енергетичному рівні навіть за 0 К. Принцип Паулі змушує електрони підніматися вгору «енергетичними сходами».

Електрони провідності в металі можна розглядати як ідеальний газ, що підпорядковується розподілу Фермі-Дірака. Якщо μ 0 – хімічний потенціал електронного газу при T= 0 К, то середня кількість електронів у квантовому стані з енергією Еодно

(1)

Для ферміонів (електрони є ферміонами) середня кількість частинок в квантовому стані і можливість заселеності квантового стану збігаються, оскільки квантовий стан або може бути не заселено, або в ньому буде знаходитися одна частка. Це означає, що для ферміонів = f(Е), де f(Е) - функція розподілу електронів за станами. З (1) слід, що з Т = 0 До функція розподілів = 1, якщо E< μ 0 , и =0, если E> μ 0,. Графік цієї функції наведено на рис. 15, а.В області енергій від 0 до μ 0 функція дорівнює одиниці. При E= μ 0 вона стрибкоподібно змінюється до нуля. Це означає, що за Т = 0 До всі нижні квантові стани, аж до стану з енергією E= μ 0 , заповнені електронами, а всі стани з енергією, більшою за μ 0 , вільні. Отже, μ 0 є нічим іншим, як максимальна кінетична енергія, яку можуть мати електрони провідності в металі при 0 К. Ця максимальна кінетична енергія називається енергією Ферміі позначається Е F .(Е F= μ 0). Тому розподіл Фермі - Дірака зазвичай записується як

(2)

Найвищий енергетичний рівень, зайнятий електронами, називається рівнем Фермі.Рівню Фермі відповідає енергія Фермі Е F: ,яку мають електрони цьому рівні. Рівень Фермі, очевидно, буде тим вищим, чим більша щільність електронного газу. Роботу виходу електрона з металу потрібно відраховувати не від дна "потенційної ями", як це робилося в класичній теорії, а від рівня Фермі, т. с. від верхнього із зайнятих електронами енергетичних рівнів.

Для металів при не дуже високих температурах виконується нерівність kT<< E F. Це означає, що електронний газ у металах практично завжди перебуває у стані сильного виродження. Температура T 0 виродження перебуває з умови kT 0 = E F .Вона визначає межу, вище якої квантові ефекти перестають бути суттєвими. Відповідні розрахунки показують, що для електронів у металі Т 0 ≈ 10 4 До, тобто. для всіх температур, при яких метал може існувати у твердому стані, електронний газ у металі вироджений.

При температурах, відмінних від 0 К, функція розподілу Фермі-Дірака (2) плавно змінюється від 1 до 0 у вузькій області (порядку kT) в околиці Е F(Рис. 15, б). (Тут для порівняння пунктиром наведена функція розподілу при Т= 0 К.) Це пояснюється тим, що при T> 0 невелика кількість електронів з енергією, близькою до Е F ,збуджується за рахунок теплового руху та їх енергія стає більшою Е F .Поблизу кордону Фермі у Е< Е F заповнення електронами менше одиниці, а при Е >Е F .- більше нуля. У тепловому русі бере участь лише невелика кількість електронів, наприклад при кімнатній температурі Т≈ 300 К та температурі виродження T 0 = 3 10 4 К - це 10 -5 від загального числа електронів.

Якщо ( Е - Е F)>> kТ(«хвіст» функції розподілу), то одиницею в знаменнику (2) можна знехтувати проти експонентою і тоді розподіл Фермі - Дірака перетворюється на розподіл Максвелла - Больцмана.

Фермі-енергія - значення енергії, нижче якої при температурі абсолютного нуля Т = 0 К, всі енергетичні стани системи частинок, що підкоряються статистиці Фермі - Дірака, зайняті, а вище - вільні. Рівень Фермі - певний умовний рівень, який відповідає енергії Фермі системи ферміонів; зокрема електронів твердого тіла відіграє роль хімічного потенціалу для незаряджених частинок. Статистичний зміст рівня Фермі - за будь-якої температури його заселеність дорівнює 1/2 .

Положення рівня Фермі є однією з основних характеристик стану електронів (електронного газу) у твердому тілі. У квантовій теорії ймовірність заповнення енергетичних станів електронами визначається функцією Фермі F(E):

F(E) =1/(e (E-E F)/kT +1), де

Е- енергія рівня, ймовірність заповнення якого визначається,

E F- енергія характеристичного рівня, щодо якого крива ймовірності симетрична;

Т- Абсолютна температура;

При абсолютному нулі з виду функції випливає, що

F(E) = 1при Е F;

F(E) = 0 при Е >E F .

Тобто всі стани, що лежать нижче за рівень Фермі, повністю зайняті електронами, а вище за нього вільні.

Енергія Фермі E F- максимальне значення енергії, яке може мати електрон за нормальної температури нуля. Енергія Фермі збігається зі значеннями хімічного потенціалу газу ферміонів при Т = 0 Ктобто рівень Фермі для електронів відіграє роль рівня хімічного потенціалу для незаряджених частинок. Відповідний їй потенціал j F = E F /еназивають електрохімічним потенціалом.

Таким чином, рівнем Фермі або енергією Фермі у металах є енергія, яку може мати електрон при температурі абсолютного нуля. При нагріванні металу відбувається збудження деяких електронів, що знаходяться поблизу рівня Фермі (за рахунок теплової енергії, величина якої порядку kT). Але за будь-якої температури для рівня з енергією, що відповідає рівню Фермі, ймовірність заповнення дорівнює 1/2. Всі рівні, розташовані нижче за рівень Фермі, з ймовірністю більше 1/2 заповнені електронами, а всі рівні, що лежать вище за рівень Фермі, з ймовірністю більше 1/2 вільні від електронів.

Для електронного газу в металах при Т = 0величина енергії Фермі однозначно визначається концентрацією електронів і її можна виразити через число nчастинок електронного газу в одиниці об'єму: залежність енергії Фермі від концентрації електронів є нелінійною.

Зі зростанням температури (і навіть зменшенням концентрації електронів) рівень Фермі зміщується за шкалою енергій вліво, та його заселеність залишається рівною 1/2. У реальних умовах зміна E F зі збільшенням температури мало. Наприклад, для Ag, що має при Т=0 значення E F дорівнює 5, 5 еВ, зміна енергії Фермі при температурі плавлення становить близько 0, 03% від вихідного значення.

У напівпровідниках при дуже низьких температурах рівень Фермі лежить посередині між дном зони провідності та стелею валентної зони. (Для донорних напівпровідників - напівпровідників n-Типу провідності - рівень Фермі лежить посередині між дном зони провідності та донорним рівнем). З підвищенням температури можливість заповнення донорних станів зменшується, і рівень Фермі переміщається вниз. При високих температурах напівпровідник за властивостями близький до свого, і рівень Фермі прямує до середини забороненої зони. Аналогічні закономірності виявляються і в напівпровідниках. р-Типу провідності.

Існування енергії Фермі є наслідком Принципу Паулі. Розмір енергії Фермі істотно залежить від властивостей системи. Поняття про енергію Фермі використовується у фізиці твердого тіла, в ядерній фізиці, в астрофізиці і т.д.